khóa luận tốt nghiệp bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh thpt qua dạy học giải hệ phương trình không mẫu mực

A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay vấn đề "Bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy sáng tạo" là
một chủ đề thuộc một lĩnh vực nghiên cứu có tính lâu dài và mang tính thực tiễn
cao. Nó nhằm tìm ra các phương án, biện pháp thích hợp để kích thích khả năng
sáng tạo và để bồi dưỡng, tăng cường khả năng tư duy của cá nhân hay tập thể
về một vấn đề hoặc lĩnh vực nào đó. Nghị quyết Đại hội lần thứ XI của Đảng
khẳng định: "Thực hiện đồng bộ các giải pháp phát triển và nâng cao chất
lượng đào tạo. Đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy học và học
theo hướng hiện đại. Nâng cao giáo dục toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo dục
lý tưởng, đạo đức, năng lực sáng tạo, kỹ năng thực hành, tác phong công
nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội". Để tạo ra những con người lao động mới có
năng lực tư duy sáng tạo cần có một phương pháp dạy học mới nhằm khơi
nguồn sự sáng tạo và phát triển tư duy của người học. Chính vì vậy, một yêu cầu
cấp thiết được đặt ra trong hoạt động giáo dục phổ thông là phải đổi mới phương
pháp dạy học, trong đó đổi mới phương pháp dạy học Toán là một trong những
vấn đề đang được quan tâm nhiều nhất. Bởi lý do rất đơn giản Toán học là môn
học của sự đam mê, sáng tạo, sự tư duy lôgic và luôn đi khám phá những điều
mới lạ. Nó giúp cho người học rèn luyện được phương pháp tư duy, suy luận,
phương pháp giải quyết vấn đề, rèn luyện trí thơng minh sáng tạo xứng danh là
"Nữ hồng của các mơn học tự nhiên". Điều quan trọng trong đổi mới phương
pháp dạy học Toán là người giáo viên phải nhận thức rõ được nhiệm vụ của
mình chính là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kĩ năng tư duy sáng tạo cho
học sinh, đồng thời dạy cho các em biết tự suy nghĩ, phát triển được hết năng lực
của bản thân mình để giải quyết những vấn đề khó khăn gặp phải trong q trình
học tập, chứ khơng phải làm đầy trí tuệ của các em bằng cách truyền thụ những
tri thức sẵn có. "Bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy sáng tạo" là một mục
tiêu mà các nhà giáo dục đang quan tâm và hướng tới.
Thực tiễn cho thấy trong q trình Tốn học, rất nhiều học sinh còn bộc lộ
những yếu kém, hạn chế về năng lực tư duy sáng tạo. Nhìn các đối tượng Toán
1

học một cách rời rạc, chưa thấy được bản chất và mối quan hệ giữa các yếu tố
Toán học. Đặc biệt là không linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp
trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khn, áp dụng một cách máy móc những
kinh nghiệm cũ vào những hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng những
yếu tố thay đổi, nên học sinh chưa có tính độc đáo khi đi tìm lời giải trong các
bài tốn. Do đó "Bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy sáng tạo" là chính một
yêu cầu cấp bách trong Tốn học.
Trong các nội dung ở chương tình Tốn THPT thì "Hệ phương trình
khơng mẫu mực" là một phần rất quan trọng. Đặc thù của hệ phương trình
khơng mẫu mực là khá đa dạng và phong phú, ẩn bên trong nó là sự khó khăn và
thách thức rất lớn khi học sinh đối diện và tìm ra cách giải nó vì khơng có một
phương pháp hay một quy tắc giải nào cụ thể. Đặc biệt là giải các hệ phương
trình khơng mẫu mực khó và phức tạp như ở trong các đề thi Đại học - Cao
Đẳng. Chính vì thế tuy "Hệ phương trình khơng mẫu mực " là một phần nhỏ
trong hệ thống kiến thức Toán THPT nhưng trong nó chứa đựng đầy đủ các yếu
tố để tạo nên sức hấp dẫn, thú vị và kích thích năng lực tư duy sáng tạo cho các
bạn học sinh.
Nhận thức được tầm quan trọng của vấn đề nêu trên tôi chọn: “Bồi dưỡng
và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học giải
hệ phương trình khơng mẫu mực” làm khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu những vấn đề cơ bản của năng lực tư duy sáng tạo và biểu
hiện tư duy sáng tạo của học sinh THPT để từ đó đề xuất những phương pháp
cần thiết nhằm bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh
THPT qua dạy học giải hệ phương trình khơng mẫu mực; góp phần nâng cao
chất lượng đào tạo của nhà trường.
3. Đối tượng nghiên cứu
Một số biện pháp cơ bản giúp bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy

sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học giải hệ phương trình khơng mẫu mực
học sinh trong q trình giải toán.
2


4. Phạm vi nghiên cứu
Phương pháp và biện pháp dạy học thông qua các thao tác và một số
thành tố đặc trưng tư duy sáng tạo trong nghiên cứu nội dung giải hệ phương
trình khơng mẫu mực trong chương trình trung học phổ thông.
5. Giả thuyết khoa học
Chất lượng học tập và khả năng giải tốn hệ phương trình của học sinh
THPT còn rất hạn chế. Nếu giúp học sinh bồi dưỡng và phát triển tốt năng lực tư
duy sáng tạo trong giải tốn hệ phương trình thì sẽ nâng cao chất lượng học tập
nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống hóa cơ sở lí luận phương pháp dạy học và một số kiến thức
làm cơ sở cho việc giải hệ phương trình khơng mẫu mực.
- Nêu ra một số phương pháp giải tốn hệ phương trình khơng mẫu
mực, giúp học sinh bồi dưỡng và nâng cao chất lượng trong dạy học giải hệ
phương trình.
7. Phương pháp nghiên cứu
- Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu, phân tích
tiên nghiệm.
- Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Quan sát - Điều tra khảo sát,
thực nghiệm giáo dục.
8. Đóng góp mới của khóa luận
- Về mặt khoa học: Khóa luận đã đưa ra quan điểm của một số tác giả về
tư duy, tư duy sáng tạo có tính khoa học cao và làm rõ cơ sở lý luận về tư duy,
tư duy sáng tạo và các kỹ năng phát triển tư duy sáng tạo.
- Về mặt thực tiễn: Đối với vấn đề thực tiễn của khóa luận đã tổng kết một

số thực trạng về dạy và học hệ phương trình không mẫu mực, vấn đề thực tiễn
làm điểm xuất phát cũng như là đích đến của khóa luận. Đặc biệt khóa luận đã đề
xuất các biện pháp cụ thể và mang tính mới lạ để rèn luyện và phát triển tư duy
sáng tạo cho học sinh, đây chính là điểm mới và quan trọng của khóa luận. Trong
mỗi biện pháp đều được phân ra thành các loại phương pháp giải, các ví dụ minh
3


họa đều có lời giải rõ ràng và dễ hiểu. Đồng thời đã tổ chức thực nghiệm sư phạm
để xác định tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất.
9. Cấu trúc khóa luận
Ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 3
chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Biện pháp chủ yếu bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy
sáng tạo trong dạy học giải toán hệ phương trình khơng mẫu mực cho học
sinh THPT.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

4


B. NỘI DUNG
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA KHÓA LUẬN
1.1. Tư duy
1.1.1. Một số vấn đề cơ bản về tư duy
1.1.1.1. Khái niệm tư duy
Theo từ điển tiếng Việt “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức
đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình
thức như biểu tượng, khái niệm, phán đốn và suy lý” [9, tr.1437].

Theo các tác giả Nguyễn Quang Uẩn, Nguyễn Quang Lũy, Đinh Văn Vang
“Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối
liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện
thực khách quan mà bước đó ta chưa biết” [7, tr.79 ].Trong cuốn: “Rèn luyện tư
duy trong dạy học toán” PGS.TS Trần Thúc Trình có định nghĩa: "Tư duy là một
q trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có
tính quy luật của sự vật và hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết" [6].
Theo một nghiên cứu về tư duy của X.L Rubinstein thì “Tư duy đó là sự
khơi phục trong ý nghĩa của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, tồn
diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” (dẫn
theo Đavưđov) [8, tr.25].
Qua phân tích một số quan điểm về tư duy ta có thể hiểu sâu thêm về khái
niệm tư duy: “Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh hiện thực khách quan một
cách gián tiếp là khái quát, là sự phản ánh những thuộc tính chung và bản chất
tìm ra những mối liên hệ quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng mà ta
chưa từng biết”.
Trong học tập bộ mơn tốn có các loại hình tư duy như: Tư duy logic, tư duy
sáng tạo, tư duy phê phán, tư duy trừu tượng, tư duy thuật toán, tư duy hàm…
1.1.2. Các giai đoạn của quá trình tư duy
Các giai đoạn của một quá trình tư duy bao gồm :
1. Xác định vấn đề và biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy. Nói cách khác
là tìm câu hỏi cần giải đáp.
5


2. Huy động các tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng hình thành giả
thuyết về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.
3. Xác minh giả thuyết trong thực tiễn nếu đúng thì tiếp bước sau, nếu sai
thì phủ định nó và hình thành giả thuyết mới.
4. Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng.

1.1.3. Đặc điểm của tư duy
Tư duy có những đặc điểm cơ bản sau:
1. Tính có vấn đề của tư duy
2. Tính gián tiếp của tư duy
3. Tính trừu tượng và khái quát của tư duy
4. Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngơn ngữ.
5. Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính.
Như vậy để cơng tác giảng dạy được hiệu quả:
- Phải coi trọng phát triển tư duy cho học sinh. Nếu khơng có khả năng tư
duy học sinh không học tập và rèn luyện được.
- Muốn kích thích học sinh tư duy thì phải tạo cho các em các “tình
huống có vấn đề” và tổ chức cho học sinh độc lập, sáng tạo giải quyết các
nhiệm vụ đặt ra.
- Phát triển tư duy cho học sinh phải được tiến hành song song và thông
qua truyền thụ tri thức. Đồng thời phải gắn với việc trau dồi ngôn ngữ.
- Phát triển tư duy phải gắn liền với việc rèn luyện cảm giác, tri giác,
năng lực quan sát và trí nhớ cho học sinh. Vì thiếu những tài liệu cảm tính thì tư
duy khơng thể diễn ra được.
1.1.4. Các thao tác của tư duy
Xét về bản chất, tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác trí
tuệ để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra. Các thao tác tư duy là:
+ Phân tích - tổng hợp
+So sánh.
+ Trừu tượng hóa và khái quát hóa.

6


1.2. Tư duy sáng tạo
1.2.1. Khái niệm về sáng tạo

Theo định nghĩa trong từ điển: “ Sáng tạo là tìm ra cái mới cách giải
quyết vấn đề mới không bị gị bó và phụ thuộc vào cái đã có” [9, tr.1130 ].
Theo Bách Khoa toàn thư: “Sáng tạo là hoạt động của con người trên cơ
sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã
hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con người, sáng tạo là hoạt động có
tính đặc trưng khơng lặp lại, tính độc đáo và duy nhất” .
Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng “Sáng tạo là sự vận động của tư duy
từ những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới” cũng theo tác giả thì “Người có
óc sáng tạo là người có kinh nghiệm về phát triển và giải quyết vấn đề” [2, tr.17].
Như vậy một cách ngắn gọn, sáng tạo có thể được coi là quá trình tiến tới
cái mới, là năng lực tạo ra cái mới có giá trị.
Đối với Tốn học, tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với
người học toán “Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với
họ, nếu họ đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới
mà họ chưa từng biết” [6]. Như vậy một bài tập cũng được xem như là mang
yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó khơng bị những mệnh lệnh nào đó chi
phối (từng phần hay toàn phần), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật tốn
để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi chưa biết trước.
1.2.2. Tư duy sáng tạo
Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo.
Theo tâm lý học : “Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra ngoài phạm vi giới hạn
của hiện thực, của vốn kinh nghiệm và tri thức đã có, giúp q trình giải quyết
nhiệm vụ của tư duy được linh hoạt hiệu quả”. Theo Tôn Thân: “Tư duy sáng
tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải
quyết vấn đề cao”. Cũng theo tác giả “Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó
khơng bị gị bó phụ thuộc vào cái đã có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong
việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp. Mỗi sản phẩm của tư duy sáng
tạo đều mang rất đậm các dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó”. (Tơn Thân,
7

xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy
sáng tạo cho học sinh khá và giỏi toán ở trường THCS Việt Nam). Trong bộ
mơn tốn theo G.Polya “Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến
lời giải một bài tốn cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra
những tư liệu, phương tiện giải các bài toán khác. Các bài toán vận dụng những
tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng mn màu, mn vẻ thì
mức đó sáng tạo của tư duy càng cao” [2 ].
Đối với học sinh có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá,
tự tìm cách giải quyết một bài tốn mà học sinh đó chưa biết đến hoặc đã biết
nhưng làm theo phương thức khác. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề tư duy sáng
tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao thể hiện
tính mới lạ độc đáo, khả thi.
1.2.3. Một số thành tố đặc trưng của tư duy sáng tạo
Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học về cấu trúc của tư
duy sáng tạo đã đưa ra năm thành tố cơ bản: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn,
tính độc đáo, tính nhạy cảm vấn đề, tính hồn thiện.
a. Tính mềm dẻo
Đó là năng lực dễ dàng làm thay đổi các trật tự của hệ thống tri thức, có
khả năng bao quát sự vật hiện tượng theo nhiều khía cạch khác nhau, có thể định
nghĩa lại sự vật hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới
trong các mối quan hệ mới.
b. Tính nhuần nhuyễn
Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện năng lực tạo ra một cách nhanh
chóng sự kết hợp các yếu tố riêng lẻ của tình huống, hồn cảnh đưa ra giả thuyết
mới và ý tưởng mới.
c. Tính độc đáo:
Tính độc đáo là khả năng tìm và quyết định phương thức mới.
d. Tính hồn thiện
Tính hồn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành

động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng.
8


e. Tính nhạy cảm vấn đề
Là năng lực phát hiện ra vấn đề, sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic... Từ
đó đưa ra hướng giải quyết, tạo ra cái mới.
Để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học bộ mơn tốn
cần chú ý:
- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo theo các thành tố cơ bản của tư duy sáng tạo
đó là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm vấn đề và
tính hồn thiện.
- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ như :
phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái qt hóa, đặc biệt hóa...
- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả
năng phát hiện và giải quyết vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới.
- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần được tiến hành thường xuyên và lâu dài.
1.3. Hệ phương trình đại số khơng mẫu mực trong chương trình tốn
THPT
Trong chương trình tốn phổ thơng hệ phương trình đại số khơng mẫu
mực là một mảng kiến thức quan trọng. Đây là một mảng kiến thức phong phú
và khó, địi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhuần nhuyễn
nhiều mảng kiến thức khác nhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện.
Khi học sinh giải hệ phương trình đại số khơng mẫu mực địi hỏi các em
thường xuyên sử dụng nhiều kiến thức liên quan và vận dụng linh hoạt các kiến
thức đó. Đồng thời cần có kỹ năng trong việc sử dụng các phương pháp giải hệ,
đặc biệt là năng lực tư duy sáng tạo, phương pháp suy nghĩ tìm lời giải. Mỗi bài
tốn hệ phương trình khơng mẫu mực có thể có nhiều con đường tìm ra lời giải
trong đó có cả cách ngắn gọn hợp lý, đơi khi có cả phương án sáng tạo, độc đáo.
Đó là cơ hội để học sinh so sánh, lựa chọn phương pháp phù hợp và tốt nhất

trong trường hợp có thể, giúp học sinh rèn luyện được các thao tác tư duy như
phân tích, tổng hợp và khả năng khái qt hóa, đặc biệt hóa bài tốn...
Nội dung các vấn đề về hệ phương trình rất phong phú. Tuy nhiên trong
khn khổ chương trình sách giáo khoa 10 nâng cao nội dung về hệ phương
9


trình được đưa vào chương III gồm hai bài (§) dự kiến thực hiện trong 5 tiết và
ba tiết tự chọn.
1.4. Thực trạng dạy và học giải toán hệ phương trình khơng mẫu mực
ở trường THPT đối với u cầu phát triển tư duy sáng tạo của học sinh
Qua thời gian dạy thử nghiệm ở trường phổ thông cùng với việc trao đổi
với các giáo viên dạy Toán và các em học sinh chúng tôi nhận thấy :
Do số tiết học trên lớp cịn ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt nhiều
đồng thời phải đúng lịch theo phân phối chương trình nên việc mở rộng, khai
thác ứng dụng sáng tạo các kiến thức đã học chưa được triệt để sâu sắc. Trong
chương trình sách giáo khoa, số lượng các dạng tốn về hệ phương trình khơng
mẫu mực cịn hạn chế. Hệ thống bài tập về hệ phương trình khơng mẫu mực
trong sách tham khảo đa dạng và phong phú nhưng còn rời rạc và thiếu sự liên
kết. Đây là một nội dung khó địi hỏi tổng hợp nhiều kiến thức muốn học tốt thì
học sinh phải bỏ nhiều thời gian và công sức. Khi làm bài tập nhiều học sinh
thường bị động, áp dụng phương pháp giải một cách máy móc nên khi gặp các
dạng tốn khơng phải dạng bài tập đã gặp thì học sinh khơng giải quyết được.
Từ những kinh nghiệm và đóng góp ý kiến của nhiều giáo viên và học
sinh cho thấy:
Dạy học sinh giải hệ phương trình khơng mẫu mực khơng chỉ đơn thuần
giúp học sinh có được lời giải bài tốn đó, mà cần giúp học sinh cách tìm ra lời
giải bài tốn thông qua dạy tri thức, truyền thụ tri thức. Với cách làm như vậy
dần dần học sinh tự đúc kết được phương pháp giải tốn tiến tới có được phương
pháp học tập bộ môn. Giáo viên không nên đưa quá nhiều bài tập trong một tiết

dạy, cần dự kiến phân phối thời gian hợp lý, dạy có trọng tâm chú ý các bài tập
trọng tâm (bài tập có điều kiện củng cố khắc sâu kiến thức, kỹ năng...) lựa chọn
thêm cho học sinh bài tập có cách giải tương tự để học sinh tự luyện tập. Làm
bài tập là cách củng cố, khắc sâu hệ thống kiến thức.
Để hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải bài tốn giáo viên phải đóng vai trị
người học, tự tìm ra chương trình giải các dạng tốn. Trên cơ sở đó giáo viên
phân bậc hoạt động phù hợp với từng đối tượng học sinh, dự kiến các câu hỏi
10


dẫn dắt, gợi mở sao cho thông qua hoạt động học sinh khơng những tìm được
lời giả bài tốn mà cịn nắm được tri thức về phương pháp giải tốn.
Các bài tập phần này khá đa dạng phong phú nên giáo viên phải kỳ công
chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành một hệ thống phù hợp với từng đối
tượng học sinh. Đồng thời giáo viên yêu cầu và hướng dẫn học sinh tự học, tự
tìm hiểu thêm ở nhà.
Bên cạnh đó giáo viên cũng phải dự kiến một số sai lầm và những khó
khăn học sinh gặp phải khi giải hệ phương trình khơng mẫu mực để chỉnh sửa và
giúp đỡ kịp thời. Ngoài ra khi dạy giải hệ phương trình khơng mẫu mực giáo
viên nên liên hệ với các nội dung kiến thức khác.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương 1, khóa luận đã trình bày một số vấn đề về lý luận và thực
tiễn làm cơ sở cho khóa luận. Đối với vấn đề về lý luận, tác giả đã đưa ra quan
điểm của một số tác giả về tư duy, tư duy sáng tạo. Đồng thời cũng đưa ra định
hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thơng qua dạy học bộ mơn tốn.
Đối với vấn đề thực tiễn khóa luận tổng kết một số thực trạng về dạy và học hệ
phương trình khơng mẫu mực, vấn đề thực tiễn làm điểm xuất phát cũng như là
đích đến của khóa luận.

11

Chương 2. BIỆN PHÁP CHỦ YẾU BỒI DƯỠNG VÀ PHÁT TRIỂN
TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH QUA DẠY HỌC HỆ PHƯƠNG
TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC
2.1. Hệ thống một số dạng hệ phương trình thường gặp
Một số hệ phương trình được học trong chương trình phổ thơng có phương
pháp giải rõ ràng, học sinh chỉ cần nhớ thuật giải, rèn luyện các kĩ năng biến đổi,
tính tốn là có thể làm được. Thực chất các hệ phương trình này ta gặp rất nhiều
ở cả THCS, đặc biệt là ở THPT và khơng riêng bộ mơn Tốn mà cả mơn Lí,
mơn Hóa,… Một lần nữa ta nhắc lại các dạng hệ phương trình như vậy.
2.1.1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
ax  by  c
a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng 
, trong đó x, y là ẩn.
a 'x  b ' y  c'


b) Cách giải: Với hệ này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau như:
Phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng đồ thị, sử dụng máy tính cầm tay,
tính định thức, đặt ẩn phụ,…
2.1.2. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn
a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng:

a1x  b1y  c1z  d1

a 2 x  b 2 y  c2z  d 2 , trong đó x, y, z là ẩn.
a x  b y  c z  d
3
3

3
 3
b) Cách giải: Với hệ này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau như:
Phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng máy tính cầm tay, ...
2.1.3. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình khác

ax  by  c  0
a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng 
, trong đó x, y
f (x, y)  0
là ẩn, còn f  x, y  là biểu thức hai biến x, y.
b) Cách giải: Sử dụng phương pháp thế.
2.1.4. Hệ đối xứng loại 1
a) Định nghĩa: Là hệ mà khi ta đổi vai trị của hai ẩn cho nhau trong mỗi
phương trình, từng phương trình đó khơng thay đổi.
12


b) Cách giải: Biến đổi tương đương làm xuất hiện tổng và tích của các
nghiệm rồi đặt tổng bằng S, tích bằng P ( S2  4P ). Thơng thường sau bước này
ta được một hệ đơn giản.
2.1.5. Hệ đối xứng loại 2
a) Định nghĩa: Là hệ mà khi ta đổi vai trò của hai ẩn cho nhau trong mỗi
phương trình, phương trình này biến thành phương trình kia.
b) Cách giải: Trừ vế cho vế làm xuất hiện nhân tử chung x  y rồi đưa hệ
đã cho về hai hệ mới đơn giản hơn.
2.1.6. Hệ đẳng cấp
a) Định nghĩa: Định nghĩa hệ phương trình cùng bậc (đẳng cấp): Là hệ có
f (x; y)  f 2 (x; y)
dạng  1

, ở đó f i (x; y), gi (x; y) là các đa thức đẳng cấp hai biến
g1 (x; y)  g 2 (x; y)

và cùng bậc.
b) Cách giải: Xét riêng x  0 . Nếu x  0 thì ta đặt y  kx rồi nhận xét và
chia vế cho vế ta được phương trình một ẩn k.Tìm được k ta tìm được x và y.
2.2. Biện pháp 1: Bồi dưỡng và phát triển theo các thành phần cơ bản
của tư duy sáng tạo
2.2.1. Bài tập có nhiều cách giải
Loại 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn
phụ, phương pháp thế và kết hợp cùng với phương pháp dùng tính đơn điệu
của hàm số.
Cấu tạo: Bài tập có những yếu tố, những quan hệ có thể xem xét dưới nhiều
khía cạnh khác nhau.
Tác dụng: Bồi dưỡng và phát triển khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ
này sang hoạt động trí tuệ khác, rèn luyện khả năng nhìn nhận một đối tượng
tốn học dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã
biết những phương pháp khác dẫn tới rèn luyện tính mềm dẻo, nhuần nhuyễn.
Phương pháp chung:
+) Phương pháp biến đổi tương đương: Một số kĩ năng thường áp dụng
như phân tích thành tích, thương, bình phương hoặc lập phương hai vế, thêm bớt
làm xuất hiện nhân tử chung,…
13


+) Phương pháp đặt ẩn phụ: Một số phương trình sau khi nhân hoặc chia
hai vế cho cùng một biểu thức khác không hoặc bằng một số động tác tách và
ghép khéo léo ta làm xuất hiện các đại lượng mà nhờ cách đặt ẩn phụ ta có thể
đưa hệ phức tạp về một hệ đơn giản, quen thuộc.
+) Phương pháp thế: Nhiều phương trình sau khi rút một ẩn (hoặc một biểu

thức) từ phương trình này thế vào phương trình kia ta được một phương trình
đơn giản hoặc nhờ đó mà ta có cách biến đổi về một hệ đơn giản. Ta thường áp
dụng cách này với các hệ mà ta quan sát thấy một phương trình nào đó của hệ
mà một ẩn chỉ có nhất hoặc ở cả hai phương trình của hệ có cùng một biểu thức
chung nào đó.
+) Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số: Để vận dụng phương
pháp này ta cần đến một tính chất quan trọng sau đây: Nếu hàm số f  x  đơn
điệu và liên tục trên khoảng  ,   thì phương trình f  x   0 có nghiệm duy
nhất trên khoảng  ,   , hơn nữa f  a   f  b  khi và chỉ khi a  b.
Ví dụ 1.

1
1

 x  x  y  y (1)
Giải hệ phương trình 
 2y  x 3  1
(2)

Phân tích. - Cách 1: Từ cấu trúc của pt (1) ta thấy có thể đưa (1) về dạng tích.
- Cách 2: Giải hệ này bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của
hàm số. Từ phương trình (1) ta dựa vào tính đơn điệu của hàm số

f (t)  t 

1
(t  0) trên tập xác định của nó, nên ta có thể giải hệ phương trình
t

đã cho rất dễ dàng.

Lời giải.
- Cách 1.(Dùng phương pháp thế)
Điều kiện: xy  0
 xy

(1)


1 1
xy
1 
 0 xy
 0  (x  y) 1 
0
x y
xy
xy 



Trường hợp 1: x  y thế vào (2) ta được x 3  2x  1  0  x  1

14


hoặc x 

1  5
(t/m)
2

Trường hợp 2: 1 

1
1
 0  y   thế vào (2) ta được:
xy
x

1
1
3
x 4  x  2  0  (x 2  )2  (x  )2   0
2
2
2
PT này vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của hệ là:


 1  5 1  5   1  5 1  5  


;
;
S = (1;1); 
; 
.
2
2  

2
2 




- Cách 2.( Dùng phương pháp hàm số)
Xét hàm số f (t)  t 

1
1
(t  0)  f '(t)  1  2  0 nên hàm số đồng biến.
t
t

Từ (1)  f (x)  f (y)  x  y . Thay vào (2) có nghiệm x  1;

1  5
4

Vậy tập nghiệm của hệ là:



 1  5 1  5   1  5 1  5  

;
;
S = (1;1); 
; 

 .
2
2  
2
2 




Ví dụ 2.

1
1

 x  x 3  y  y3
Giải hệ phương trình: 
 x  4y  2x  y  4   36


1
 2

Phân tích: - Cách 1: Ta biến đổi (1) về dạng tích rồi giải.
- Cách 2: Giải hệ này bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu
của hàm số. Từ phương trình (1) ta dựa vào tính đơn điệu của hàm số

f (t)  t 

1
(t  0) trên tập xác định của nó, nên ta có thể giải hệ phương trình

t3

đã cho rất dễ dàng.
Lời giải.
- Cách 1.(Biến đổi tương đương)
Biến đổi phương trình (1) ta được :
15


xy

1
1
(y  x)(y  xy  x )

x  3  y  3  (x  y) 
  y 2  xy  x 2
3 3
 1
x
y
x y

x 3 y3

2

2

Trường hợp 1: x  y thế vào pt thứ hai ta được:

 x  6
x 2  4x  12  0  
x  2

y 2  xy  x 2
Trường hợp 2:
 1  xy  0
x 3y3

 2   2x 2  4y 2  9xy  4x  16y  36
 2(x  1) 2  4(y  2) 2  9xy  18
Trường hợp này không xảy ra do xy  0  2(x  1)2  4(y  2)2  9xy  0
Trường hợp này không xảy ra do xy  0  2(x  1)2  4(y  2)2  9xy  0
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S = (2;2); (6; 6).
- Cách 2.(Dùng phương pháp hàm số)
Xét hàm số f (t)  t 

1
t3

(t  0)  f '(t)  1 

3
 0 nên hàm số đồng biến.
t4

Từ (1)  f (x)  f (y)  x  y
Thay vào (2) có nghiệm x  2; 6. Vậy hệ có nghiệm (2;2); ( 6; 6) .
Ví dụ 3.
 x 2  y 2  2(x  y)  7


Giải hệ phương trình : 
 y(y  2x)  2x  10


1
 2

Phân tích: Đối với hệ phương trình này ta có thể giải theo 2 cách như sau:
- Cách 1: Đặt ẩn phụ, để đưa hệ phương trình đã cho đơn giản hơn, thuận
lợi trong việc giải.
- Cách 2: Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh thế phương trình (1) vào
phương trình (2) và rút gọn ta sẽ giải hệ phương trình đã cho một cách dễ dàng.

16


Hai cách giải này đều hay và khá đơn giản trong việc tìm nghiệm. Chính
vì thế học sinh trong q trình giải hệ phương trình có thể tư duy và suy nghĩ để
tìm được nhiều cách giải hay cho cùng một bài toán.
Lời giải.
- Cách 1.(Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)

(x  1) 2  (y  1) 2  9
 x 2  y 2  2(x  y)  7

Hệ phương trình 

2
2

 y(y  2x)  2x  10
(y  x)  (x  1)  9

a 2  b 2  9

Đặt a  x  1, b  y  1  b  a  y  x ta được hệ 
2
2
(b  a)  a  9


 a 2  b 2  (b  a)2  a 2  a 2  2ab  a  0 hoặc a  2b
Với a  0  b  3  x  1, y  2 hoặc x  1, y  4
Với a  2b  5b 2  9  b  

 x  1 

3
6
a 
5
5

6
3
6
3
, y  1 
hoặc x  1 
, y  1 

5
5
5
5

Kết luận: Vậy hệ phương trình  I  có 4 nghiệm:

 1; 2  ,  1,  4  ,  1 



6
3  
6
3 
; 1 
; 1
 ,  1 

5
5 
5
5

- Cách 2.(Dùng phương pháp thế)
Thế (1) vào PT (2) và rút gọn ta được:

x  1  0
x 2  2xy  4x  2y  3  0  (x  1)(x  2y  3)  0  
 

 x  2y  3  0
Giải   ta được hệ phương trình  I  có 4 nghiệm:



 1; 2  ,  1,  4  ,  1 


6
3  
6
3 
; 1
; 1 
 ,  1 
.
5
5 
5
5

Ví dụ 4.

 2x 2  3xy  y2  15 1

Giải hệ phương trình: 
2
2
2
 x  xy  2y  8


17


Lời giải.
- Cách 1. ( Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)
Khử số hạng tự do từ hệ ta được: x 2  9xy  22y2  0

y  0
 3  y t  9t  22  0   t  2

 t  11

2



2



2x 2  15

Với y  0 , hệ có dạng: 
(Vơ nghiệm)
2
x  8

Với t  2 ta được x  2y, khi đó:

  x1  2

 y1  1
 y1  1
2

 2  y  1  
 y 2  1   x 2  2


  y 2  1

Với t  11 ta được x  11y, khi đó:


 y3 
1
2
 2  y   
14
y 
 4


1
14
1
14



11
 x 3  
14


1

y3 

14



11
  x 4  14


1

y4  

14


Kết luận: Vậy hệ phương trình có bốn cặp nghiệm là:

11 1   11
1 
,
,

;
.
14 
 14 14   14
- Cách 2.( Dùng phương pháp thế)

 2;1;  2;  1 ;  


Ta thấy rằng nếu  x, y  là nghiệm của hệ thì y  0
Khử số hạng x 2 từ hệ ta được:

xy  3y2  1  x 

3y 2  1
y

 3

Thế  3  vào  2  ta được:

18

 3


 y2  1
14y 4  15y 2  1  0  4    2 11
y 



4
  x1  2

 y1  1
 y1  1
2
Với y  1  

 y 2  1   x 2  2


  y 2  1


11
  x 3   14


1
1


y3 
y3 


14
1
14


Với y2   

14
11

y  1
4
  x 4  14

14



1

y4  

14

Kết luận: Vậy hệ phương trình có bốn cặp nghiệm là:
11 1   11
1 
,
 2;1;  2;  1 ;   ,

;
.
14 
 14 14   14

2.2.2. Bài tập có tính đặc thù
Loại 2: Dùng phương pháp đưa về hệ phương trình cùng bậc (đẳng cấp)
Cấu tạo: Bài tập này có cách giải riêng , đặc thù do tính cá biệt.
Tác dụng : Chống suy nghĩ rập khn, áp dụng cơng thức thuật tốn một
cách máy móc. Việc giải bài tập có tính đặc thù nhằm rèn luyện cho học sinh
thói quen biết nghiên cứu những điều kiện cụ thể của bài tập trước khi áp dụng
các thuật toán tổng quát.
Phương pháp chung:
+) Cách giải: Xét riêng x  0. Nếu x  0 thì ta đặt y  kx rồi nhận xét và
chia về cho vế ta được phương trình một ẩn k. Tìm được k ta tìm được x và y.
Ví dụ 1.

8xy
 2
2
(1)
 x  y  x  y  16
Giải hệ phương trình 
 x  y  x2  y
(2)

- Phân tích. Rõ ràng, việc giải phương trình (2) hay kết hợp (1) với (2)
không thu được kết quả khả quan nên chúng ta tập trung để giải (1).
19


Lời giải.
Điều kiện: x  y  0 . (1)  (x 2  y 2 )(x  y)  8xy  16(x  y)

  (x  y)2  2xy  (x  y)  8xy  16(x  y)




 (x  y) (x  y)2  16  2xy(x  y  4)  0


 (x  y  4) (x  y)(x  y  4)  2xy   0
Trường hợp 1: x  y  4  0 thế vào (2) ta được:
 x  3  y  7
x2  x  6  0  
x  2  y  2

Trường hợp 2: (x  y)(x  y  4)  2xy  0  x 2  y2  4(x  y)  0
vô nghiệm (do điều kiện).
Vậy tập nghiệm của hệ là S = (3;7); (2;2) .
Ví dụ 2.

 x  y  x  y  2 y 1

Giải hệ phương trình: 
 2
 x  5y  3

Lời giải.
Điều kiện của phương trình x  y  0
Phương trình (1) của hệ là phương trình đồng bậc:

x  y  x  y  2 y  2x+2 x 2  y2  4y  x 2  y 2  2y  x
 2y  x
 2y  x  0

 2y  x



 2
  y  0
2 
2
2
5y  4xy  0
 x  y   2y  x 

 5y  4x  0


Với y  0 thay vào (2) ta suy ra x  9 (loại)
Với 5y  4x  0 thay vào (2) ta có

x 1 x 1 y 

 4
Vậy hệ phương trình có nghiệm là  1;  .
 5

20

4
(thỏa mãn).
5

Ví dụ 3.



1 
 3x  1 
2

 xy
Giải hệ phương trình: 
 7y 1  1   4 2
 xy





1
 2

- Phân tích. Các biểu thức trong ngoặc có dạng a + b và a – b nên ta chia
hai vế pt thứ nhất cho

3x và chia hai vế pt thứ hai cho

7y .

Lời giải.
Điều kiện: x  0, y  0, x  y  0 .

Dễ thấy x  0 hoặc y  0 không thỏa mãn hệ pt. Vậy x  0, y  0
Hệ phương trình:


1 
 1 

 x  y 

 1  1  
 x  y 




 1
2
4 2
2 2


 1 1
2 

3x
7y
7y

 3x



4 2
2
2
4 2

 1 2 2  1


x  y
 3x
7x
3x
7y
7y x  y


2
3x

Nhân theo vế hai pt trong hệ ta được:

 1
2 2  1
2 2
1






 3x
7y  3x
7y  x  y



 y  6x
1
8
1
2
2



 7y  38xy  24x  0  
4
y   x
3x 7y x  y

7
Trường hợp 1: y  6x thế vào pt (1) ta được:

1
2
11  4 7
22  8 7

1 x 

y
21
7
3x
21x
4
Trường hợp 2: y   x không xảy ra do x  0, y  0 .
7

 11  4 7 22  8 7 
Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất  x, y   
,
.
21
7



21


a  b  m  m  n  2a
- Chú ý. Hệ phương trình có dạng 

.
abn
m  n  2b


Trong trường hợp này, dạng thứ nhất có vế phải chứa căn thức nên ta

chuyển về dạng thứ hai sau đó nhân vế để mất căn thức.




- Tổng qt ta có hệ sau: 




a
n
m
px  qy
bx
c
n
m
px  qy
dy

Ví dụ 4.

2x  3y  x 2  3xy  y2

Giải hệ phương trình sau: 
2
2
 x  2y  x  2y


1
2

I

Phân tích: Rõ ràng, hệ phương trình đã cho không thuộc dạng đặc biệt
nào cả, nhưng quan sát kĩ ta thấy điểm mấu chốt của bài toán nằm ở vấn đề sau:
ta xét trường hợp x  y  0 và x  0, y  0 sau đó có thể đưa về dạng phương
trình cùng bậc so với x, y, tiếp theo ta đặt x  ty để đưa về phương trình một ẩn
giải như hệ phương trình cùng bậc (đẳng cấp).
Lời giải.
- Ta thấy x  y  0 là một nghiệm của hệ.
- Xét trường hợp x  0, y  0 , ta nhân vế theo vế của phương trình 1 với
phương trình hai của hệ đã cho, khi đó:

 I    2x  3y   x 2  2y2    x 2  3xy  y 2   x  2y 
 x 3  4y 3  3xy 2  2x 2 y  0  
Ta thấy   là phương trình đẳng cấp bậc ba, nên đặt x  ty rồi thế vào
phương trình   ta được:
Trường hợp 1: t  1  x  y thế vào phương trình  2  :

x  1
 x  0 (loại)

 2   3x  x  1  0  

Trường hợp này hệ phương trình  I  có một nghiệm là 1,1 .
22

Trường hợp 2: t 

1  17
thế vào phương trình  2  :
2

 2   t 2 y 2  2y 2  ty  2y   t 2  2  y 2   t  2  y  0
 y  t 2  2  y    t  2   0


 y  0  loai 


 1  17  5  17 
t2
5  17
y 2

x 



t  2 17  17
 2  25  17 

Trường hợp 3: t 

1  17
thế vào phương trình  2  :

2

 2   t 2 y 2  2y 2  ty  2y  y  t 2  2  y   t  2   0


 y  0  loai 



 1  17  5  17 
t2
5  17
 y  t 2  2  17  17  x   2  25  17 





Kết luận: Hệ phương trình  I  có bốn nghiệm là:

  1  17  5  17  5  17 

,

;

2  25  17  25  17 



  1  17  5  17  5  17 



;

2  17  17  17  17 



Ví dụ 5.

 x 2  y 2  xy  2y  x  2

Giải hệ phương trình:  2
2
 2x  y  2y  2  0


1
I
 2

Lời giải.
Đặt x  u  a; y  v  b thay vào phương trình 1 ta có:

1   u  a 

2

2

  v  b    u  a  v  b   2  v  b   u  a  0

Để hệ phương trình đồng bậc thì điều kiện cần trong phương trình 1
khơng có hạng số bậc nhất:
 2a  b  1  0
a  0


 2b  a  2  0 b  1

Tóm lại ta đặt y  v  1 , thế vào hệ 1 ta có:

23


 x 2  v2  xv  3
 I   2 2

2x  v  1


 II 

Vì x  0 không là nghiệm của hệ, ta đặt v  tx thế vào hệ  II  ta có:
2
2
 x 2  t 2 x 2  tx 2  3  x 1  t  t   3 1




 II    2 2 2
2
2
2x  t x  1

 x  t  2   1  2 


t  1
1  t  t2
2

 3  4t  t  5  0  
5
t  
t2  2

4
 x  1  y1  1
g Khi t  1 thế vào 1   1
 x 2  1  y 2  1
4

x3 
 y3  

5
16

7
g Khi t   thế vào 1  x 2 

4
7
x   4  y  
4
 2
7


5
7
5
7

Kết luận: Hệ phương trình  I  có bốn nghiệm là:

5   4 5 
 4
;
;
,  
.
7 
7 7
 7

1; 1 ,  1;  1 , 
2.2.3. Bài tập có tính mở

Loại 3: Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số và phương pháp
xét các trường hợp có thể xảy ra của bài toán để giải các hệ phương trình
chứa tham số.
Tác dụng: Kích thích trí tị mị, đặt học sinh trước một tình huống có vấn
đề với những cái chưa biết, những cái cần khám phá, làm cho học sinh thấy có
nhu cầu, có hứng thú và quyết tâm huy động kiến thức, năng lực tư duy sáng tạo
của bản thân để tìm tịi, phát hiện kết quả cịn tiềm ẩn trong bài tốn. Bài tốn
mở cịn góp phần rèn luyện khả năng nhìn nhận ra vấn đề trong điều kiện quen
thuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết, tác động rõ
rệt đến tính mềm dẻo của tư duy. Ở bài tập này thường là dạng hệ phương trình
có tham số.
Phương pháp chung:

24


+) Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số: Để vận dụng phương
pháp này ta cần đến một tính chất quan trọng sau đây: Nếu hàm số f  x  đơn
điệu và liên tục trên khoảng  ,   thì phương trình f  x   0 có nghiệm duy
nhất trên khoảng  ,   , hơn nữa f  a   f  b  khi và chỉ khi a  b.
+) Phương pháp xét các trường hợp có thể xảy ra: Ta tiến hành phân tích
bài tốn rồi xét các trường hợp có thể xảy ra đối với bài tốn. Việc này sẽ giúp
cho ta giải quyết bài toán một cách nhanh chóng và đơn giản hơn.
Ví dụ 1.
Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm:

 x 3  y3  3y2  3x  2  0



 x 2  1  x 2  3 2y  y2  m  0


1
 2

Lời giải.
Điều kiện: 1  x  1, 0  y  2
(1)  x 3  3x  (y  1)3  3(y  1)
Hàm số f (t)  t 3  3t nghịch biến trên đoạn [1;1]
Do x, y  1  1;1 nên thế vào pt (2) ta được x 2  2 1  x 2   m (3)
Hệ có nghiệm  Pt (3) có nghiệm x  1;1


1
Xét g(x)  x 2  2 1  x 2 , x   1;1 ,g '(x)  2x 1 

1  x2







g '(x)  0  x  0 , g(0)  2, g(1)  1

Pt (3) có nghiệm x   1;1  2   m  1  1  m  2 .
Ví dụ 2.

x 3  y3  m  x  y 

Cho hệ phương trình 
 x  y  1


1
2

Tìm m để hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt

 x 3 ; y3  sao cho

 x1; y1  ,  x 2 ; y 2  ,

x1 , x 2 , x 3 lập thành cấp số cộng (cơng sai d  0 ), đồng thời có

hai số x i thỏa mãn x i  1.
25