khóa luận tốt nghiệp một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

L
ỜI CẢM
ƠN
Khóa lu
ận được hoàn thành tại trường Đại học Hà Tĩnh, dưới sự hướng dẫn
t
ận tình của Th.S. Nguyễn Thị Minh Hưng. Trước hết, tôi xin được bày tỏ lòng cảm
ơn sâu s
ắc tới cô giáo hướng dẫn, người đã định hướng nghiên cứu và tạo điều kiện
thu
ận lợi
cho tôi trong su
ốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn.
Đ
ồng thời qua đây tôi cũng xin đ
ư
ợc gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy
giáo, cô giáo trong khoa Sư ph
ạm Tự nhi
ên, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Toán đã
giúp tôi s
ớm hoàn thành
lu
ận văn này.
Mặc dù đã rất cố gắng song khóa luận không thể tránh khỏi những sai sót.
Tôi r
ất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để
khóa lu
ận được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành c
ảm ơn!

1
M
Ở ĐẦU
1. Lý do ch
ọn
đ
ề tài
Trong chương tr
ình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một
ph
ần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11, học sinh thường gặp nhiều khó khăn
khi gi
ải các bài toán liên quan đến dãy số và đặc biệt là bài toán xác định công thức
s
ố hạn
g t
ổng quát của dãy số. Hơn nữa, ở một số lớp bài toán khi đã xác định được
công th
ức tổng quát của d
ãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết.
Do đó xác đ
ịnh công thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất định trong các
bài toán dãy s
ố
.
Nhằm chia sẻ một vài phương pháp cụ thể để xác định công thức tổng
quát c
ủa dãy số, tôi đã chọn đề tài “
M
ột số p

hương pháp xác đ
ịnh công thức
t
ổng quát của dãy số”.
2. M
ục đích nghi
ên c
ứu
Khóa lu
ận thực hiện với mục đích tr
ình bày 3 phương pháp để đi tì
m công
th
ức tổng quát của dãy số: Sử dụng phương trình sai phân, Sử dụng cấp số cộng,
c
ấp số nhân, Sử dụng phép thế lượng giác. Trong mỗi phương pháp đã trình bày
m
ột cách có hệ thống các dạng thường gặp để nhằm giúp bạn đọc có thể tìm thấy
cách gi
ải nhanh
cho bài toán xác đ
ịnh công thức tổng quát của dãy số.
3. Đ
ối tượng nghiên cứu
Tìm hi
ểu cách xác định công thức tổng quát của d
ãy số.
4. Gi
ả thuyết khoa học
Nếu trong quá trình dạy học giáo viên và học sinh có thể phân dạng và có

phương pháp giải cho từng dạng toán cụ thể trong việc xác định công thức tổng quát
c
ủa dãy số thì việc giải bài toán có thể đạt kết quả cao hơn.
5. Phương pháp nghiên c
ứu
Phương pháp nghiên c
ứu lý thuyết:
- Thu th
ập các bài báo khoa học, các tài liệu của các tác giả nghiên cứu liê
n
quan đ
ến việc xác định công thức tổng quát của dãy số.
6. D
ự kiến đóng góp của khóa luận
- H
ệ thống lý thuyết và phân dạng các bài toán về tìm công thức tổng quát của
dãy s
ố.
2
- Giúp h
ọc sinh v
à giáo viên dạy toán có thêm tài liệu để nghiên cứu về dãy số
nói chung và vi
ệc xác định công thức tổng quát của dãy số nói riêng.
7. C
ấu trúc của khóa luận tốt nghiệp
Ngoài ph
ần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm 2 chương:
Chương 1: Cơ s
ở lý thuyết.

Chương 2: M
ột số phương pháp xác định công thức tổng
quát c
ủa dãy số.
3
Chương 1. CƠ S
Ở LÍ THUYẾT
1.1. Dãy số
1.1.1. Đ
ịnh nghĩa
Đ
ịnh nghĩa 1
: Dãy s
ố là một hàm số từ
vào m
ột tập hợp số
( )
, , ,
hay
m
ột tập con n
ào đó của các tập hợp trên. Các số hạng của dãy số
thư
ờng đ
ược kí hiệu
là u
n,
v
n
, x

n
, y
n
thay vì u(n), v(n), x(n), y(n). B
ản thân d
ãy số được kí hiệu là {x
n
}.
Vì dãy s
ố là một trường hợp đặc biệt của hàm số nên nó cũng có các tính chất
c
ủa một hàm số.
Đ
ịnh nghĩa 2:
Dãy s
ố {x
n
} đư
ợc gọi l
à dãy tăng (giảm)
n
ếu mọi n ta có
( )
n 1 n 1 n
x x x x
n+ +
≥ ≤
. Dãy s
ố tăng hoặc dãy số giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.
Dãy s

ố {x
n
} đư
ợc gọi l
à b
ị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho với mọi n
ta có
n
x M≤
.
Dãy s
ố {x
n
} đư
ợc gọi là bị chặn dưới
n
ếu tồn tại số thực m sao cho với mọi n
ta có
n
x m≥
.
M
ột dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn.
Dãy s
ố x
n
đư
ợc gọi là tuần hoàn với chu kỳ k nếu x
n+k
= x

n
v
ới mọi
n∈
Dãy s
ố tuần ho
àn
v
ới chu k
ì 1 gọi là dãy số hằng.
Định nghĩa 3: Ta nói dãy số {x
n
} có giới hạn hữu hạn a khi n dẫn đến vô cùng
n
ếu với mọi
0

>
, t
ồn tại số tự nhiên N
0
( ph
ụ thuộc vào dãy số {x
n
} và

) sao cho
v
ới mọi n> N
0

ta có
n
x a

− <
.
0 0
lim 0, : ,
n n
n
x a N N n N x a
 
→∞
= ⇔ > ∃ ∈ ∀ > − <
.
Ta nói dãy s
ố {x
n
} d
ần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng nếu với mọi số thục
dương M l
ớn t
ùy ý, tồn tại số tự nhiên N
0
(ph
ụ thuộc v
ào dãy số x
n
và M) sao cho
v

ới mọi n > N
0
ta có
n
x
l
ớn h
ơn M.
0 0
lim 0, : ,
n n
n
x M N N n N x M
→∞
→ ∞ ⇔ ∀ > ∃ ∈ ∀ > >
.
Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy số hội tụ.
4
Dãy s
ố không có giới hạn hoặc dần đến vô c
ùng khi n dần đến vô cùng gọi là
dãy phân kì.
Đ
ịnh nghĩa 4
: Dãy {x
n
} đư
ợc gọi l
à Cauchy n
ếu

0 0
0, : , ,
m n
N m n N x x
 
∀ > ∃ ∈ ∀ > − <
Đ
ịnh nghĩa 5
: ( Tiêu chu
ẩn Cauchy).
Dãy s
ố {x
n
} có gi
ới hạn hữu hạn khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.
1.1.2. Một số tính chất của dãy số
Đ
ịnh lý 1
: ( T
ổng, hiệu, tích thương các dãy hội tụ).
N
ếu {x
n
}, {y
n
}là các dãy h
ội tụ v
à có giới hạn
tương
ứng l

à a,b thì các dãy số
{x
n
+y
n
}, {x
n
-y
n
}, {x
n
.y
n
}, {x
n
/y
n
}c
ũng hội tụ và có giới hạn tương ứng là a+b, a
-b,
a.b,và a/b .( Trong trư
ờng hợp dãy số thương, ta giả sử y
n
và b khác không).
Đ
ịnh lí 2:
( Chuy
ển qua giới hạn trong bất đẳng thức ).
Cho dãy s
ố {x

n
} gi
ới hạn hữu hạn 1, nếu
0 0
:N n N∃ ∈ ∀ >
ta có
n
a x b≤ ≤
thì
n
a x b≤ ≤
.
Đ
ịnh lí 3:
(Đ
ịnh lí kẹp). Cho ba d
ãy số {x
n
},{y
n
}{z
n
} trong đó {x
n
} và {x
n
}
cùng có gi
ới hạn là l, và
0 0

:N n N∃ ∈ ∀ >
ta có
n n n
x y z≤ ≤
. Khi đó y
n
c
ũng có giới
h
ạn l
à 1.
Đ
ịnh lí 4:
( V
ề dãy các đoạn thẳng lồng nhau).
Cho hai dãy s
ố {a
n
},{b
n
} sao cho:
a).
, ;
n n
n a b∀ ∈ ≤
b).
[ ] [ ]
1 1
, , , ;
n n n n

n a b a b
+ +
∀ ∈ ⊂
c).
0
n n
b a− 
khi
n → ∞
Khi đó t
ồn tại duy nhất số thực l sao cho :
[ ]
,
n n
a b l∩ =
.
1.2. C
ấp số cộng, cấp số nhân
1.2.1. C
ấp số cộng
1.2.1.1.Đ
ịnh nghĩa :
Dãy s
ố {x
n
} đư
ợc gọi là cấp số cộng khi và chỉ khi tồn tại d sao cho
1
,
n n

n x x d
+
∀ ∈ = +
5
d đư
ợc gọi l
à công sai của cấp số cộng, x
0
là s
ố hạng đầu, x
n
là s
ố hạng thứ n.
1.2.1.2. Tính chất
Ta có các công th
ức cơ bản sau:
0
0 1 1
0
0 1

( 1)
2
( )
2
n
n n
n
x x nd
S x x x

nx n n d
n x x
−
−
= +
= + + +
+ −
=
+
=
1.2.2. C
ấp số nhân
1.2.2.1.Đ
ịnh nghĩa:
Dãy s
ố {x
n
} đư
ợc gọi là cấp số nhân khi và
ch
ỉ khi tồn tại q sao cho
1
,
n n
n x qx
+
∀ ∈ =
d đư
ợc gọi l
à công bội của cấp số nhân, x

0
là s
ố hạng đầu, x
n
là s
ố hạng thứ n.
1.2.2.2. Tính ch
ất:
Ta có các công th
ức cơ bản sau:
0
0
0 1 1
( 1)

( 1)
n
n
n
n n
x q x
q x
S x x x
q
−
=
−
= + + + =
−
N

ếu
1q <
thì {x
n
} đư
ợc gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
T
ổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức
( )
0
1
x
S
q
=
−
1.3. Phương tr
ình sai phân
1.3.1. Sai phân
1.3.1.1. Đ
ịnh nghĩa:
Cho hàm s
ố y=f(x) xác định trên
, đ
ặt
( )
*
0k
x x kh k= + ∈
v

ới
0
,x h∈ ∈
,
bất kì , cho trước.
6
G
ọi y
k
=f(y
k
) là giá tr
ị của h
àm số f(x) tại x=x
k
.
Khi đó, hi
ệu số
( )
*
1
:
k k k
y y y k
+
∆ = − ∈
đư
ợc gọi l
à sai phân cấp 1 của hàm số f(x).
Hi

ệu số
( )
2 *
1
: ( )
k k k k
y y y y k
+
∆ = ∆ − ∆ = ∆ ∆ ∈
đư
ợc gọ
i là sai phân c
ấp 2 của hàm
s
ố f(x).
T
ổng quát,
( )
1 1 1 *
1
: ( )
i i i i
k k k k
y y y y k
− − −
+
∆ = ∆ − ∆ = ∆ ∆ ∈
đư
ợc gọi là sai phân cấp i
c

ủa hàm số f(x) (i=1;2;…;n;….).
1.3.1.2. M
ột số tính chất
Mệnh đề 1: ( Sai phân của hằng số).
Sai phân c
ủa hằng số bằng 0.
M
ệnh đề 2:
( Tính ch
ất tuyến t
ính c
ủa sai phân)
Sai phân m
ọi cấp là một toán tử tuyến tính trên tập các hàm số. Tức là:
*
, , , ( ); ( ) : ,i f x g x
 
∀ ∈ ∀ ∈ ∀ →
ta luôn có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
i i i
f x g x f x g x
   
∆ + = ∆ + ∆
.
M
ệnh đề 3:
( Sai phân c

ủa đa thức).
Sai phân c
ấp I của một đa thức bậc n:
+) Là m
ột đa thức bậc
n-i khi i<n;
+) Là hằng số khi i=n;
+) B
ằng 0 khi i>n;
M
ệnh đ
ề 4: (Công th
ức sai phân từng phần)
( )
1k k k k k k
f g f g g f
+
∆ = ∆ + ∆
M
ệnh đề
5: (T
ổng các sai phân)
1 1
1
n
k n
k
y y y
+
=

∆ = −
∑
1.3.2. Phương tr
ình sai phân
1.3.2.1.Đ
ịnh nghĩa:
7
Phương tr
ình sai phân (
c
ấp k) l
à một hệ thức tuyến tính chứa sai phân các cấp
t
ới k
( )
2
; ; ; ; 0
k
n n n n
f y y y y∆ ∆ ∆ =
(1)
Vì sai phân các c
ấp đều có thể biểu diễn theo giá trị của h
àm số nên (1) có dạng:
( )
0 1 1

n k n k k n
a y a y a y f n
+ + −

+ + + =
(2)
Trong đó
0 1
; ; ; ; ( )
k
a a a f n
đã biết còn
1
, , ,
n n n k
y y y
+ +
là các giá trị chưa biết.
Phương tr
ình (2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp k.
N
ếu f(n) =0 thì phương trình (2) có dạng
0 1 1
0
n k n k k n
a y a y a y
+ + −
+ + + =
Và đư
ợc gọi là phương trình sai phân tuyến tính thu
ần nhất cấp k.
N
ếu f(n)=0 th
ì (2)được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất.

1.3.2.2. Nghi
ệm
Hàm số y
n
biến n thỏa mãn (2) được gọi là nghiệm của phương trình sai phân
tuy
ến tính (2).
Hàm s
ố y
n
ph
ụ thuộc k tham số thỏa mãn (3)được gọi
là nghi
ệm tổng quát của (3).
M
ột nghiệm y
n
*
th
ỏa mãn (2) được gọi là một nghiệm riêng của (2).
8
1.3.2.3. Phương tr
ình sai phân tuyến tính bậc nhất
a. Đ
ịnh nghĩa
Phương tr
ình sai phân tuy
ến tính bậc nhất (cấp một) là phương trình sai phân dạng:
*
1 1

, ( ),
n n
u au bu f n n

+
= + = ∈
(1)
Trong đó

; a=0; b=0 là các h
ằng số và f(n) là biểu thức của n cho trước.
b. Phương pháp gi
ải
- Gi
ải ph
ương trình sai phân thuần nhất tương ứng.
+ Gi
ải phương trình đặc trưng
0a b

+ =
đ
ể tìm

.
+ Tìm nghi
ệm ri
êng c
ủa phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương
ứng

1
0
n n
au bu
+
+ =
dư
ới dạng
n
n
u c

∧
=
(c là h
ằng số).
- Tìm m
ột nghiệm riêng u
n
*
c
ủa phương trình hông thuần nhất.
- Tìm nghi
ệm tổng quát của phương trình (1):
*
n
n n
u u u
∧
= +

1.3.2.4. Phương tr
ình sai phân tuyến tính bậc hai
a. Đ
ịnh nghĩa
Phương tr
ình sai phân tuyến tính bậc hai (cấp hai) là phương trình sai phân dạng:
*
1 2 2 1
, , ( ),
n n n
u u au bu cu f n n
 
+ +
= = + + = ∈
(1)
Trong đó
, , , ,a b c
 
; là các h
ằng số, a=0; b=0 và f(n) là biểu thức của n cho trước.
b. Phương pháp gi
ải
- Gi
ải phương trình sai phân thuần nhất tương ứng.
- Tìm m
ột nghiệm riêng u
n
*
c
ủa phương trình không thuần nhất.

- Tìm nghi
ệm tổng quát của phương
trình (1) d
ưới dạng:
*
n
n n
u u u
∧
= +
.
9
1.3.2.4. Phương tr
ình sai phân tuyến tính bậc ba
a. Đ
ịnh nghĩa
Cho a,b,c,
, ,
  
là các h
ằng số thuộc
, a=0, d=0 còn f (n) là m
ột h
àm biến
s
ố n. Ph
ương tr
ình:
1 2 3
3 2 1

; ;
( )
n n n n
u u u
au bu cu du f n
  
+ + +
= = =


+ + + =

Đư
ợc gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc ba (cấp ba).
b. Phương pháp gi
ải
Phương tr
ình sai phân tuyến tính bậc ba luôn giải được. Nghiệm tổng quát của
nó có d
ạng:
*
n
n n
u u u
∧
= +
Trong đó,
n
u
∧

là nghi
ệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần
nh
ất, còn
*
n
u
là m
ột nghiệm riêng nào đó của phương trình đã cho.
1.3.2.4. Phương tr
ình sai phân tuyến tính bậc k
a. Định nghĩa
Phương tr
ình:
( )
0 1 1

n k n k k n
a y a y a y f n
+ + −
+ + + =
(1)
Đư
ợc gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc k (cấp k).
b. Phương pháp gi
ải
- Gi
ải phương trình đặc trưng
1
0 1 1

0
k k
k k
a a a a
  
−
−
+ + + + =
(2)
Để t
ìm k.
- Tìm nghi
ệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng.
+ N
ếu
(2) có k nghi
ệm thực khác nhau là
1 2
, , ,
k
  
thì nghi
ệm tổng quát là
1 1 2 2

n n n
k k
n
y c c c
  

∧
= + + +
(3)
10
Trong đó c
1
, c
2
,…,c
k
là các h
ằng số t
ùy ý.
+ N
ếu (2) có nghiệm thực
j

b
ội s thì nghiệm tổng
quát là:
1
1 1; #
s k
i n n
n j j i i
i i i j
y c in c
 
−
∧

= =
 
= + +
 
 
∑ ∑
+ N
ếu (2) có nghiệm phức đ
ơn
:
( )
os isin
j
r c
  
= +
thì
( )
os isin
j
r c
  
= −
c
ũng l
à nghiệm của (2).
Đ
ặt
1j j
 

+
=
. Đ
ể thu được công thức nghiệm tổng quát, trong công thức (3) ta
thay b
ộ phậ
n
1 1
n n
j j j j
c c
 
+ +
+
b
ởi bộ phận tương ứng:
1
cos sin
n n
j j
c r n c r n
 
+
+
+ N
ếu (2) có nghiệm phức bội s
( )
1 1
os isin
j j j s

r c
    
+ + −
= = = = +
Thì (2) c
ũng có nghiệm phức bội s liên hợp với
j

là
j

mà ta đ
ặt
là
( )
1 2 1
os isin
j s j s j s
r c
    
+ + + + −
= = = = −
Trong trư
ờng hợp này, để thu được công thức nghiệm tổng quát, trong công
th
ức (3) tat hay bộ phận
1 1 2 1 2 1

n n n
j j j j j s j s

c c c
  
+ + + − + −
+ + +
b
ởi bộ phận tương ứng
1 1
0 0
cos sin
s s
i n i n
j i j s i
i i
c n r n c n r n
 
− −
+ + +
= =
   
+
   
   
∑ ∑
.
11
Chương 2. M
ỘT SỐ PH
ƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH
CÔNG TH
ỨC

T
ỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
2.1. S
ử dụng phương trình sai phân xác định công thức tổng quát của
dãy s
ố
2.1.1. S
ử dụng p
hương tr
ình sai phân bậc nhất
D
ạng 1:
Cho dãy s
ố
{ }
0
1
ons
:
ax 0
n
n n
x c t
x
bx
+
=


+ =


.
Tìm s
ố hạng tổng quát của dãy số?
Gi
ải:
T
ừ công thức t
ruy h
ồi
, ta có:
2
1 2 0

n
n n n
b b b
x x x x
a a a
− −
     
= − = − = = −
     
     
Khi đó công thức tổng quát (CTTQ) của dãy số được xác định bởi:
0
.
n
n
b

x x
a
 
= −
 
 
Ví d
ụ
: Cho dãy s
ố
{ }
0
1
5
: ,
x 3 0
n
n n
x
x n
x
+
=

∀ ∈

− =

.
Tìm s

ố hạng tổng quát của d
ãy s
ố.
Gi
ải
:
Từ công thức truy hồi ta có:
2
1 2 0
3 3 3
n
n n n
x x x x
− −
= = = =
hay
5.3
n
n
x =
.
D
ạng 2:
Cho dãy s
ố
{ }
( )
0
1
:

ax
n
n n k
x
x
bx P n
+



+ =


, v
ới
( )
k
P n
là đa th
ức bậc k của n.
Tìm s
ố hạng tổng quát của dãy số.
12
Gi
ải:
Xét phương tr
ình đặc trưng:
0
b
a b

a
 
+ = ⇔ = −
.
Đ
ối với dạng này ta xét thêm một giá trị
*
n
x
g
ọi là nghiệm riêng của phương
trình sai phân.
Khi đó s
ố hạng tổng quát của dãy được xác định bởi:
*n
n n
x c x

= +
. Trong đó
nghi
ệm ri
êng
*
n
x
đư
ợc xá
c đ
ịnh nh

ư sau:
- N
ếu
0a b+ ≠
thì nghi
ệm riêng
( )
*
n k
x Q n=
thay vào phương tr
ình ta được:
( ) ( ) ( )
. 1
k k k
a Q n bQ n P n+ + =
.
Đ
ồng nhất hệ số ta tìm được
( )
k
Q n
.
- N
ếu
0a b+ =
thì nghi
ệm
riêng
( )

*
n k
x nQ n=
thay vào phương tr
ình ta được:
( ) ( ) ( ) ( )
1 . 1 .
k k k
a n Q n bnQ n P n+ + + =
.
Đ
ồng nhất hệ số ta tìm được
( )
k
nQ n
.
Ví d
ụ 1:
Cho dãy s
ố
{ }
0
2
1
7
:
x 2 3 4 5,
n
n n
x

x
x n n n
+
=



− = + + ∀ ∈


Tìm s
ố hạng tổng quát của dãy số.
Giải:
Xét phương trình đặc trưng
2 0 2
 
− = ⇔ =
Ta có:
1 2 1 0a b+ = − = − ≠
nên nghi
ệm ri
êng phương tr
ình có dạng
:
* 2
an
n
x bn c= + +
.
Thay

*
n
x
vào phương tr
ình ta
được
:
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2
1 1 2 2 2 3 4 5
2 3 4 5
a n b n c an bn c n n
an a b n a b c n n
+ + + + − − − = + +
⇔ − + − + + − = + +
13
Đ
ồng nhất hệ số hai vế ta đ
ượ
c:
* 2
3 3
2 4 10 3 10 18
5 18
n
a a
a b b x n n

a b c c
− = = −
 
 
− = ⇔ = − ⇒ = − − −
 
 
+ − = = −
 
CTTQ c
ủa số hạng trong dãy:
2
2 3 10 18
n
n
x c n n= − − −
.
T
ừ
0
7 18 7 25x c c= ⇒ − = ⇒ =
.
Suy ra
2
25.2 3 10 18
n
n
x n n= − − −
Ví d
ụ 2:

Cho dãy s
ố
{ }
0
1
5
:
x 4 5,
n
n n
x
x
x n n
+
=


− = + ∀ ∈

.
Tìm s
ố hạng tổng quát của dãy số.
Gi
ải:
Xét phương trình
đặc trưng
1 0 1
 
− = ⇔ =
Ta có:

1 1 0a b+ = − =
nên nghi
ệm ri
êng phương tr
ình có dạng:
( )
* 2
=an
n
x n an b bn= + +
.
Thay
*
n
x
vào phương tr
ình ta
được
:
( ) ( )
2
2
1 1 4 5
2 4 5
a n b n an bn n
an a b n
+ + + − − = +
⇔ + + = +
Đ
ồng nhất hệ số hai vế

ta đư
ợc:
* 2
2 4 2
2 3
5 3
n
a a
x n n
a b b
= =
 
⇔ ⇒ = +
 
+ = =
 
CTTQ c
ủa số hạng trong dãy:
2
2 3
n
x c n n= + +
.
Từ
0
5 5x c= ⇒ =
. Suy ra
2
2 3 5
n

x n n= + +
.
D
ạng 3:
Cho dãy s
ố
{ }
( )
0
1
: ,
ax ons
n
n n
x
x n
bx d d c t
+


∀ ∈

+ = =


Khi đó s
ố hạng tổng quát của d
ãy số là:
14
n 0

n 0
b
d 1
a
b
x x khi (a b 0)
a
b
a 1
a
x x nd khi (a b 0)

 
 
− −

 
 
 
 
 

= − + + ≠

 
 
 
 

− −

 
 

 
 

= + + =


Ví d
ụ 1:
Cho dãy s
ố
{ }
0
1
5
: ,
x 6
n
n n
x
x n
x
+
=

∀ ∈

− =


.
Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
Gi
ải:
T
ừ công thức truy hồi ta có:
1 2 3 0
6 2.6 3.6 6
n n n n
x x x x x n
− − −
= + = + = + = = +
hay
6 5
n
x n= +
.
Ví dụ 2: Cho dãy số
{ }
0
1
3
: ,
x 8 4
n
n n
x
x n
x

+
=

∀ ∈

− =

.
Tìm s
ố hạng tổng quát của dãy số.
Gi
ải:
T
ừ công thức truy hồi ta có:
2
2 2
1 2 2 2
0
8 1
8 4 8(8 4) 4 8 4(8 1) 8 4
8 1
8 1
8 4
8 1
n n n n n
n
n
x x x x x
x
− − − −

−
= + = + + = + + = +
−
−
= = +
−
Suy ra
( )
4 25 4
3.8 8 1 .8
7 7 7
n n n
n
x = + − = −
.
D
ạng 4:
Cho dãy s
ố
{ }
0
1
: ,
ax .
n
n
n n
x
x n
bx d


+


∀ ∈

+ =


.
Tìm s
ố hạng tổng quát của dãy số.
Gi
ải:
Xét phương trình đặc trưng:
0
b
a b q
a
 
+ = ⇔ = − =
.
15
- N
ếu
 
≠
thì nghi
ệm riêng của phương trình
*

.
n
n
x c

=
thay vào phương tr
ình
ta đư
ợc:
( )
1 *
. . . . .
.
n
n n n
n
d d
a c bc d c x
a b a q

  
 
+
+ = ⇔ = ⇒ =
+ −
(do b= - qa) .
S
ố hạng tổng quát của dãy
( )

*
1
. .
n
n n
n n
d
x c q x c q
a q


= + = +
−
T
ừ
( ) ( )
0 1 1 0
d d
x c c x
a q a q
 
= + ⇒ = −
− −
( ) ( )
0 0
. . .
n n n
n n
n
d d d q

x x q x q
a q a q a q
 
  
 
−
⇒ = − + = +
 
 
− − −
 
- N
ếu
 
=
thì nghi
ệm riêng của phương trình
*
.
n
n
x cn

=
thay vào phương
trình ta
đư
ợc:
( )
( ) ( )

1
. 1 . . . . .
1 1
n n n
d d d
a c n bcn d c
a n bn a n aqn aq
  
 
+
+ + = ⇔ = = =
+ + + −
(do
q

=
).
Suy ra
1
*
n n
n
dnq dnq
x
aq a
−
= =
.
S
ố hạng tổng quát của dãy:

1
*
1
. .
n
n n
n n
dnq
x c q x c q
a
−
= + = +
T
ừ
1
0 1 0
.
n
n
n
dnq
x c x x q
a
−
= ⇒ = +
.
V
ậy từ trên suy ra
:
0

1
.
.
n n
n
n
n
d q
a q
x x q
dnq
a


−

−

−

= +




khi
q
q



≠


=

Ví d
ụ 1:
Cho dãy s
ố
{ }
0
1
5
: ,
x 3 2.5
n
n
n n
x
x n
x
+
=


∀ ∈

− =



Tìm s
ố hạng tổng quát
c
ủa dãy số.
16
Gi
ải:
Ta có:
3; 2; 5
b
q d
a
 
−
= = = = =
.
Vì
q

≠
nên ta có s
ố hạng tổng quát của dãy sẽ là :
0
3 5
. . 5.3 2. 4.3 5
3 5
n n n n
n n n n
n
d q

x x q
a q


− −
= + = + = +
− −
.
Ví d
ụ 2:
Cho dãy s
ố
{ }
0
1
2
: ,
x 3 5.3
n
n
n n
x
x n
x
+
=


∀ ∈


− =


Tìm s
ố hạng tổng quát của d
ãy số.
Gi
ải
:
Ta có:
3; 5; 3
b
q d
a
 
−
= = = = =
.
Vì
q

=
nên ta có s
ố hạng tổng quát của d
ãy sẽ là :
1 1 1
0
. . 2.3 5 .3 (5 6).3
n n n n n
n

d
x x q nq n n
a
− − −
= + = + = +
.
D
ạng 5:
Cho dãy s
ố
{ }
0
1 1 1 2 2
: ,
ax . . .
n
n n n
n n k k
x
x n
bx d d d
  
+


∀ ∈

+ = + + +



Tìm s
ố hạng tổng quát của dãy số.
Gi
ải:
G
ọi
*1
n
x
là nghi
ệm riêng của phương trình
1 1 1
ax
n
n n
bx d

+
+ =
G
ọi
*2
n
x
là nghi
ệm riêng của phương trình
1 2 2
ax
n
n n

bx d

+
+ =
………………………
G
ọi
*1
n
x
là nghi
ệm riêng của phương trình
1
ax
n
n n k k
bx d

+
+ =
Khi đó nghi
ệm riêng của phương trình
1 1 1 2 2
ax . . .
n n n
n n k k
bx d d d
  
+
+ = + + +

s
ẽ
là
* *1 *2 *3 *

k
n n n n n
x x x x x= + + +
Khi đó s
ố hạng tổng quát
*n
n n
b
x c x
a
 
 
= + = −
 
 
17
Ví d
ụ:
Cho dãy s
ố
{ }
( )
0
1
2

: ,
ax 2 3.2 5.7 *
n
n n
n n
x
x n
x
+
=


∀ ∈

− = +


Tìm s
ố hạng tổng quát của dãy số.
Gi
ải:
Xét phương tr
ình
đ
ặc t
rưng:
2 0 2
 
− = ⇔ =
.

Do
1
 
=
nên nghiệm riêng
*1
1
.2
n
n
x d n=
thay vào phương trình, ta được:
( )
1 *1 1
1 1 1
3
1 .2 2 .2 3.2 3 .2
2
n n n n
n
d n d n d x n
+ −
+ − = ⇔ = ⇒ =
Do
2
 
≠
nên nghi
ệm riêng
*2

2
.7
n
n
x d=
thay vào phương trình, ta
được:
1 *2
2 2 2
.7 2 .7 5.7 1 7
n n n n
n
d d d x
+
− = ⇒ = ⇒ =
S
ố hạng tổng quát của dãy
:
*1 *2 1
.2 .2 3 .2 7
n n n n
n n n
x c x x c n
−
= + + = + +
T
ừ x
0
= 2
1 2 1.c c⇒ + = ⇒ =

Suy ra
1
2 3 .2 7
n n n
n
x n
−
= + +
D
ạng 6:
Cho dãy s
ố
{ }
( )
0
1
: ,
ax .
n
n
n n k
x
x n
bx P n d

+


∀ ∈


+ = +


Tìm s
ố hạng tổng quát của dãy số
.
Giải:
G
ọi
*1
n
x
là nghi
ệm ri
êng c
ủa phương trình
( )
1
ax
n n k
bx P n
+
+ =
G
ọi
*2
n
x
là nghi
ệm riêng của phương trình

1
ax
n
n n
bx d

+
+ =
Công th
ức tổng quát của d
ãy s
ố được xác định là
*1 *2
.
n
n n n
x c x x

= + +
Từ giá trị của x
0
ta tìm được giá trị c.
Ví d
ụ:
Cho dãy s
ố
{ }
0
1
3

: ,
x 5 3. 2 2.3
n
n
n n
x
x n
x n
+
=


∀ ∈

− = + +


18
Tìm s
ố hạng tổng quát của d
ãy số.
Giải:
Xét phương trình đặc trưng:
5 0 5
 
− = ⇔ =
.
G
ọi
*1

n
x
là nghi
ệm riêng của phương
trình
*1
1
3 11
x 5 3 2
4 16
n n n
x n x n
+
− = + ⇒ = − −
G
ọi
*2
n
x
là nghi
ệm riêng của phương trình
*2
1
x 5 2.3 3
n n
n n n
x x
+
− = ⇒ = −
Công thức tổng quát của dãy số được xác định là :

*
3 11
. .5 3
4 16
n n n
n n
x c x c n

= + = − − −
T
ừ
0
11 75
3 1 3
16 16
x c c= ⇒ − − = ⇒ =
Suy ra
75 3 11
.5 3
16 4 16
n n
n
x n= − − −
2.1.2. S
ử dụng p
hương tr
ình sai phân bậ
c hai:
D
ạng 1:

D
ạng thuần nhất và có phương trình đặc trưng bậc hai tồn tại nghiệm thực.
Cho dãy số
{ }
0 1
2 1
;
x :
0,
n
n
n n
x x
ax bx cx n
+ +





+ + = ∀ ∈
.
Tìm CTTQ c
ủa
x
n
.
Gi
ải:
Xét phương tr

ình đặc trư
ng
2
0a b c
 
+ + =
(1)
Phương tr
ình (1) có nghiệm
2
1 2 1
; ( )
   
≠
thì s
ố hạng tổng quát có dạng :
0 1 1 2 2
. .
n n
x c c
 
= +
.
T
ừ
0 1
x ;x
ta tìm
được
1

c
và
2
c
Phương tr
ình (1) có nghiệm
1 2
  
= =
thì s
ố hạng tổng quát có dạng :
( )
0 1 2
n
x c nc

= +
.
T
ừ
0 1
x ;x
ta tìm
được
1
c
và
2
c
19

Ví d
ụ 1:
Cho dãy s
ố
{ }
1
0 1
2
2 5
6 ,
;
x :
5
n n
n
n
x n
x x
x x
+
+
= =


− ∀ ∈

=
.
Tìm CTTQ của
x

n
.
Gi
ải
:
Xét phương tr
ình đặc trưng
1 2
2
5 6 0 2 3
   
− + = ⇔ = ∨ =
S
ố hạng tổng quát của dãy có dạng
1 2
.2 .3
n n
n
x c c= +
T
ừ
0
1 2 1
1 2 2
1
2
2 1
2 3 5 1
5
x

c c c
c c c
x
=
+ = =

 
⇒ ⇒
  
+ = =
=
 

.
Suy ra
2 3
n n
n
x = +
Ví d
ụ
2: Cho dãy s
ố
{ }
1
0 1
2
3 10
4 ,
;

x :
4
n n
n
n
x n
x x
x x
+
+
= =


− ∀ ∈

=
.
Tìm CTTQ c
ủa
x
n
.
Gi
ải:
Xét phương tr
ình đặc trưng
1,2
2
4 4 0 2
  

− + = ⇔ =
S
ố hạng tổng quát của dãy có dạng
1 2
( ).2
n
n
x c nc= +
T
ừ
0
2 1
1 2 2
1
3
3 2
2( ) 10 3
10
x
c c
c c c
x
=
= =

 
⇒ ⇒
  
+ = =
=

 

Suy ra
(2 3).2
n
n
x n= +
D
ạng 2:
D
ạng thuần nhất v
à phương tr
ình đặc trưng vô nghiệm thực.
Cho dãy s
ố
{ }
0 1
2 1
;
x :
0,
n
n
n n
x x
ax bx cx n
+ +






+ + = ∀ ∈
.
Tìm CTTQ c
ủa
x
n
.
Gi
ải:
Xét phương tr
ình đặc trưng
2
0a b c
 
+ + =
(2) .Ta có phương tr
ình (2) không
t
ồn tại nghiệm thực , khi đó số hạng tổng quát của d
ãy có d
ạng :
20
1 2
( cos sin )
n
n
x r c n c n
 

= +
Trong đó r =
2 2
B
A + B ; arctan
A

=
v
ới
A ;B =
2 2
b
a a
∆
= −
T
ừ hai giá trị
0
x
và
1
x
ta tìm
được
1
c
và
2
c

Ví d
ụ
: Cho dãy s
ố
{ }
1
0 1
2
1 3 3 1
16 ,
;
x :
2
n n
n
n
x n
x x
x x
+
+

= = +


− ∀ ∈


=
.

Tìm CTTQ c
ủa
x
n
.
Gi
ải:
Xét phương tr
ình dặc trưng
2
2 4 0
 
− + =
có
2
2 16 12 0∆ = − = − <
Suy ra phương tr
ình sai phân không có nghi
ệm thực
Đ
ặt
A = - 1;B = 3
2 2
b
a a
∆
= =
và
2 2
B

A + B 2; arctan
A 3
r


= = = =
Khi đó s
ố hạng tổng quát của
x
n
có d
ạng
:
1 2
2 os sin
3 3
n
n
n n
x c c c
 
 
= +
 
 
T
ừ
1
0
1

1 2
2
1
1
1
1
3
2 3 3 1
3
3 3 1
2 2
c
x
c
c c
c
x
=

=

=



 
⇒ ⇔
  
+ = +
=

= +
 




 
 

.
Suy ra
2
2 cos sin
3 3
n
n
n n
x c
 
 
= +
 
 
D
ạng
3: Cho dãy s
ố
{ }
0 1
2 1

;
x :
,
n
n
n n
x x
ax bx cx d n
+ +



+ + = ∀ ∈
.
Tìm CTTQ c
ủa
x
n
.
Gi
ải:
G
ọi
*
n
x
là nghi
ệm riêng của phương trình
. Khi đó nghi
ệm riêng

*
n
x
đư
ợc xác
định như sau:
21
*
*
*
0
0;2 0
2
( 1) 0;2 0
2
n
n
n
d
x khi a b c
a b c
dn
x khi a b c a b
a b
d
x n n khi a b c a b
a

= + + ≠


+ +


= + + = + ≠

+


= − + + = + =


Xét phương tr
ình đặc trưng
, xét nghi
ệm của phương trình đặc trưng như các
trư
ờng hợp tr
ên . Kết hợp với nghiệm riêng ta có công thức của
x
n
.
Ví d
ụ 1:
Cho dãy số
{ }
0 1
2 1
4 1
5 2 3
;

x :
,
n
n
n n
x x
2x x x n
+ +
= − =


= − +

∀ ∈
.
Tìm CTTQ c
ủa
x
n
.
Giải:
Xét phương tr
ình
đ
ặc tr
ưng :
2
1 2
1
2 5 2 0 2

2
   
− + = ⇔ = ∨ =
Do a+b+c
≠
0 nên nghi
ệm của phương trình
*
3
3
2 5 2
n
d
x
a b c
= = = −
+ + − +
S
ố hạng tổng quát của dãy số :
1 2
1
.2 . 3
2
x
n
n
n
c c= + −
T
ừ

1 2
0
1
2
2
1
1
3 4
4
3
4
1
2 3 1
2
c c
x
c
c
c
x
c
+ − = −

= −
=



⇒ ⇔
  

= −
=
+ − =




.
Suy ra
2
1
3.2 3
2
n
n
n
x
−
= − −
Ví d
ụ 2:
Cho dãy s
ố
{ }
0 1
2 1
89
5
5
7 6 11

;
x :
,
n
n
n n
x x
x x x n
+ +

= =



= − +

∀ ∈
.
Tìm s
ố hạng tổng quát
x
n
.
Gi
ải
:
Xét phương tr
ình đặ
c trưng
2

1 2
7 6 0 1 6
   
− + = ⇔ = ∨ =
22
Do a+b+c=0 và 2a+b
≠
0 nên nghi
ệm ri
êng
*
11 11
2 2 7 5
n
dn n n
x
a b
= = = −
+ −
S
ố hạng tổng quát của dãy là:
1 2
11
.6 ,
5
n
n
x c c n n= + − ∀ ∈
T
ừ

0
1 2
1
2
1 2
1
5
5
2
11 89
89
3
6
5 5
5
x
c c
c
c
c c
x
=
+ =


=

 
⇒ ⇔
  

=
+ − =
=

 


.
Suy ra
11
2 3.6
5
n
n
x n= + −
Ví dụ 3: Cho dãy s
ố
{ }
0 1
2 1
3 2
2 6
;
x :
,
n
n
n n
x x
x x x n

+ +
= =


= − +

∀ ∈
.
Tìm số hạng tổng quát
x
n
.
Gi
ải:
Xét phương tr
ình đặ
c trưng
2
1,2
2 1 0 1
  
− + = ⇔ =
Do a+b+c=0 và 2a+b
≠
0 nên nghi
ệm riêng
*
( 1) 3 ( 1)
2
n

d
x n n n n
a
= − = −
S
ố hạn
g t
ổng quát của dãy là:
1 2
3 ( 1) ,
n
x c nc n n n= + + − ∀ ∈
T
ừ
0
1 1
1 2 2
1
3
3 1
2 3
2
x
c c
c c c
x
=
= = −

 

⇒ ⇔
  
+ = =
=
 

.
Suy ra
2
3 4 3,
n
x n n n= − + ∀ ∈
D
ạng
4: Cho dãy s
ố
{ }
0 1
2 1
;
x :
,
n
n
n
n n
x x
ax bx cx dq n
+ +






+ + = ∀ ∈
.
Xác đ
ịnh CTTQ của
x
n
.
G
ọi
*
n
x
là nghi
ệm riêng
c
ủa phương trình sai phân trên
. Khi đó nghi
ệm riêng
này đư
ợc xác định nh
ư sau:
23
*
1 2
2
1

*
1 2
* 2
1 2
q q
q q
2
( 1) .q q =
2
n
n
n
n
n
n
dq
x khi
aq bq c
ndq
x khi
aq b
d
x n n khi
q
 
 
 
−
−


= ≠ ∧ ≠

+ +


= = ∨ =

+


= − =



Xét phương tr
ình đặc trưng,
l
ập công thức nghiệm và ta có được công thức
n
x
.
Ví d
ụ 1:
Cho dãy s
ố
{ }
0 1
2 1
2 5
8 15 3.4

;
x :
,
n
n
n
n n
x x
x x x n
+ +
= =



− + =


∀ ∈
.
L
ập công thức tính
x
n
.
Gi
ải:
Xét phương trình đặc trưng
2
1 2
8 15 0 3 5

   
− + = ⇔ = ∨ =
Ta có
1 2
q q
 
≠ ∧ ≠
nên nghi
ệm của phươngtrình
*
2
3.4
3.4
16 32 15
n n
n
n
dq
x
aq bq c
= = = −
+ + − +
S
ố hạng tổng quát của
dãy là:
1 2
.3 .5 3.4 ,
n n n
n
x c c n= + − ∀ ∈

T
ừ
0
1 2 1
1 2 2
1
2
3 2 4
3 5 12 5 1
5
x
c c c
c c c
x
=
+ − = =

 
⇒ ⇔
  
+ − = =
=
 

.
Suy ra
2
3 4 3,
n
x n n n= − + ∀ ∈

.
Ví d
ụ 2:
Cho dãy s
ố
{ }
0 1
2 1
8 5
11 28 6.7
;
x :
,
n
n
n
n n
x x
x x x n
+ +
= =



− + =


∀ ∈
.
Tìm CTTQ c

ủa
x
n
.
Giải:
Xét phương tr
ình đăc trưng
2
1 2
11 28 0 4 7
   
− + = ⇔ = ∨ =
.
Ta có
2
q

=
nên nghi
ệm của phương
trình
1 1
* 1
6 .7
2 .7
2 2.1.7 11
n n
n
n
ndq n

x n
aq b
− −
−
= = =
+ −
24
S
ố hạng tổng quát của d
ãy có dạng:
1
1 2
.4 .7 2 .7 ,
n n n
n
x c c n n
−
= + − ∀ ∈
T
ừ
0 1 2
1
2
1 1 2
8
10
2
4 7 2 28
x c c
c

c
x c c
= + =
=


⇒
 
= −
= + + =


.
Suy ra
1
10.4 - 2.7 + 2n7 ,
n n n
n
x n
−
= ∀ ∈
Ví dụ 3: Cho dãy số
{ }
0 1
2 1
4 5
10 25 2.( 5)
;
x :
,

n
n
n
n n
x x
x x x n
+ +
= = −



− + = −


∀ ∈
.
Tìm CTTQ c
ủa
x
n
.
Gi
ải:
Xét phương tr
ình
đăc trưng
2
1 2
10 25 0 5
   

− + = ⇔ = = −
Ta có
1 2
q
 
= =
nên nghi
ệm của ph
ương
trình:
* 2 2
( 1) . ( 1).( 5)
2
n n
n
d
x n n q n n
a
− −
= − = − −
S
ố hạng tổng quát của dãy có dạng:
1 2
( . ).( 5) + n(n -1).(-5) ,
n n
n
x c n c n= + − ∀ ∈
T
ừ
0 2

1
2
1 1 2
4
3
4
5( ) 5
x c
c
c
x c c
= =
= −


⇒
 
=
= − + = −


Suy ra
2
( 3 4).( 5) +n(n -1).(-5) = (n -76n +100).(-5) ,
n n n
n
x n n= − + − ∀ ∈
.
D
ạng 5:

Cho dãy s
ố
{ }
x
n
đư
ợc xác định bởi:
0 1
2 1
( )
;
,
n k
n n
n
x x
ax bx cx P n
+ +



+ + = ∀ ∈
V
ới
( )
k
P n
là đa th
ức bậc k theo n
. Xác đ

ịnh số hạng t
ổng quát của d
ãy số .
Giải:
Nghi
ệm riêng
*
n
x
c
ủa phương trình được xác định như sau: