Bài toán cực trị hay và khó

Vận dụng hằng đẳng thức
vào giảI các bài toán cực trị.
Vận dụng 1. Vận dụng tính chất của luỹ thừa bậc hai. A
2

0
Bài toá1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2C x x= - +


Bài toán.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcA = (x + 2)
2
+ (x-1)
2
Bài toán.3. Cho biểu thức P = x
2
+ xy + y
2
- 3x- 3y + 2009. Với giá trị nào của x ; y thì P có giá trị nhỏ
nhất , tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài toán .4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = (x- ay)
2
+ 6(x-ay) +x
2
+ 16y
2
- 8xy + 2x - 8y + 10 ; (x; y ; a : là các số nguyên)
Bài .5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 3 2 1M x xy y x= - + - +
Bài toán .6. Cho hàm số:

2
2
2 2005
( )
x x
f x
x
- +
=
; với x khác 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên.
Bài toán .7. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
2
2
1
( 1)
x x
D
x
+ +
=
+
.
Bài toán 8. Tìm x ; y để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: D = 15- 10x- 10x
2
+ 24xy- 16y
2
.
Bài toán 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
( 1)

x
G
x
=
+
Bài toán 10.Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m sao cho BĐT sau đây luôn đúng
x R" ẻ

(x+1)(x+2)
2
(x+3)

m.
Bài 11. Cho x + y + z =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức G = x
2
+ y
2
+ z
2
Bài toán 12. Cho hai số thực x, y thoả điều kiện: x
2
+ y
2
= 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức M = x + y.
Vận dụng 2:
(a- b)
2

0
ị
(a + b)
2


4ab
Với a, b là các số không âm thì :
2a b ab+
(BĐT Cô-Si)
Với a

0, b

0 và a + b không đổi thì:
K
2


4ab
ị
ab
Ê
K
2
/4
ị
Max a.b = K
2
/4 khi a = b = K/2.

Với a

0, b

0 và a.b = K không đổi thì:
(a+b)
2


4K
ị
a + b

2 K

ị
Min (a+b) =
2 K
khi a = b =
K
Bài toán .1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 4A x x= - + -
Bài toán .2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
2 1
1
x
x x
+
-
; với 0 < x < 1.\

Bài toán .3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )( )x a x b
A
x
+ +
=
Với x > 0; a và b là các hằng số dơng cho trớc.
Bài toán .4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
1
y
x
B
x y
-
-
= +

Bài toán .5. Cho x; y là hai số dơng có tổng bằng 1. Tìm gá trị nhỏ nhất của biểu thức : A=
2 2
1 1
( ) ( )x y
x y
+ + +
Bài toán .6. Cho a >0 , b > 0 và a + b = a.b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a + b.
Bài tập tự luyện:
1. Tìm giá trị của x để biểu thức A = x-
2005x -
đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị
nhỏ nhất đó.

2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 5x
2
- 12xy + 9y
2
- 4x + 4 .
3. Tìm x; y để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
C = x
2
+ y
2
- 2xy+ 6x - 6y + 10.
4.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2
2
1
2 1
x x
F
x x
- +
=
- +

5. Cho x, y là hai số dơng thay đổi thoả mãn điều kiện: x.y = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

4 2 2 4
x y
A

x y x y
= +
+ +
6. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
A = (x
4
+1)(y
4
+1) ; Cho biết x ; y
0
và x + y =
10
.
Bi 1:
a)Tỡm GTNN
20085
2
+=
xxA
b)Tỡm GTLN B = 1 + 3x - x
2
c)Tỡm GTNN C =
( )
513413
2
+
xx
d)Tỡm GTLN D =
xx 52007
2

Bi 2: Tỡm GTNN ca cỏc biu thc
a)
( )( )( )( )
6321
+++
xxxx
b) x
4
+ 2x
3
+ 3x
2
+ 2x + 1.
c)
122510
234
++ xxx
d) (x + 8)
4
+ (x + 6)
4
Bi 3: Tỡm GTNN ca cỏc biu thc
a)
13
3
2
++ xx
b)
52

5
2
xx
Bi 4: Tỡm GTNN ca cỏc biu thc
1.
2
2
14
x
xx +
2.
( )
2
2
12
164

+
x
xx
3.
228
41162
2
2
+
+
xx
xx
4.

8
512
2
6
+
+
x
x
5.
42
3
2
+
xx
6.
1
3
2
2
+
x
x
Bi 5: Tỡm GTNN v GTLN ca cỏc biu thc
1.
9
1227
2
+

=

x
x
A
2.
14
38
2
+
+
=
x
x
B

3.
2
12
2
+
+
=
x
x
C
4.
1
323
2
2
+

+−
=
x
xx
D
5.
5
14
2
+
+
=
x
x
E
Bài 6: Tìm GTLN của các biểu thức
1.
( )
2
2008+x
x
Bài 7: Tìm GTNN của các biểu thức
1.
3222
22
+−−+= xxyyxA
2.
1710222
22
+−++−= yxyxyxB

3.
yxyxyxC 22
22
−−+−=
4.
yxyxyxD 33
22
−−++=
5.
yxyxyxE 228522
22
−−++=
6.
7222
22
+−−+=
xxyyxF
7.
3222
222
+−−−++=
zyxzyxG
8.
zxyzxyzyxH
−−−++=
222
Bài 8:
1.
Cho x + 2y = 1. Tìm GTNN của x
2

+ 2y
2
2.
Cho 4x - 3y = 7. Tìm GTNN của 2x
2
+ 5y
2
3.
Cho x + y = 1. Tìm GTNN của x
4
+ y
4
4.
Cho x + y = 1. Tìm GTNN của x
3
+ y
3
5.
Cho xy = 1 Tìm GTNN của
yx +
6.
Cho : 7x
2
+ 8xy + 7y
2
= 10. Tìm giá trị nhỏ nhất
và giá trị lớn nhất của : x
2
+ y
2

7.
Cho x và y là các số nguyên dương thoả mãn :
x + y = 2009 .Tìm GTNN và GTLN của A = x.y
Bài
9:
Tìm GTNN của các biểu thức
1.
( )
2
22
yx
yx
+
+
2.
1
4
2
+x
x
3.






+









+
2
2
2
2
11
x
y
y
x

4.
( )( )
0;
94
>
++
x
x
xx
5.
( )
0;

2009
2
>
+
x
x
x
6.
2;
2
3
3
>
−
+ x
x
x
7.
0;
11
2
11
3
3
3
6
6
6
>







++






+
−






+−






+
x
x

x
x
x
x
x
x
x
Bài
10:
Cho x + y = 1; x > 0; y > 0. Tìm GTNN của
1.
yx
11
+
2.
y
b
x
a
22
+
với a và b là các hằng số dương
3.
2
2
11









++






+
y
y
x
x
Bài
11:
Tìm GTNN của
xy
yx
2
22
++
với x và y cùng dấu
Bài
12:
Cho các số dương x và y thoả mãn:
2
111

22
=+
yx
.Tìm GTNN
của
1. A = xy.
2. B = x + y
Bài
13:
Tìm GTNN của
1.
( )






++=
ba
baA
11
với a,b>0
2.
( )







++++=
cba
cbaA
111
với a,b,c >0
3.
( )






++++++=
dcba
dcbaA
1111
với a,b,c,d >0
Bài 14: Cho a,b,c là các số dương.Tìm GTNN của các biểu thức
1.
ba
c
ac
b
cb
a
A
+
+

+
+
+
=
2.
c
ba
ba
c
b
ac
ac
b
a
cb
cb
a
B
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=

Bài 15: 1. Cho x,y,z là các số dương có tổng bằng 1.Tìm
GTNN của biểu thức
xyz
yx
A
+
=
2. Cho x,y,z,t là các số dương có tổng bằng 2.Tìm
GTNN của biểu thức
( )( )
xyzt
yxzyx
B
+++
=
Bài 16:
Tìm GTNN của biểu thức
zxyzxy
A
111
++=
biết x,y,z là
các số dương và
3
222
≤++ zyx
Bài 17: 1. Tìm GTLN của tích xy với x,y là các số dương
và x + y =100 và y
≥

60
2. Tìm GTLN của xyz với x,y,z là các số dương và
x + y + z =100 và z
≥
60
Bài 18:
Tìm GTNN của biểu thức
t
z
y
x
A +=
biết rằng
1
≤
x
≤
y
≤
z
≤
2,5
Bài 14: Cho a,b,c là các số dương.Tìm GTNN của các biểu thức
3.
ba
c
ac
b
cb
a

A
+
+
+
+
+
=
4.
c
ba
ba
c
b
ac
ac
b
a
cb
cb
a
B
+
+
+
+
+
+
+
+
+

+
+
=

Bài 15: 3. Cho x,y,z là các số dương có tổng bằng 1.Tìm
GTNN của biểu thức
xyz
yx
A
+
=
4. Cho x,y,z,t là các số dương có tổng bằng 2.Tìm
GTNN của biểu thức
( )( )
xyzt
yxzyx
B
+++
=
Bài 16:
Tìm GTNN của biểu thức
zxyzxy
A
111
++=
biết x,y,z là
các số dương và
3
222
≤++ zyx

Bài 17: 3. Tìm GTLN của tích xy với x,y là các số dương
và x + y =100 và y
≥
60
4. Tìm GTLN của xyz với x,y,z là các số dương và
x + y + z =100 và z
≥
60
Bài 18:
Tìm GTNN của biểu thức
t
z
y
x
A +=
biết rằng
1
≤
x
≤
y
≤
z
≤
t
≤
25