tạp chí lộ đề bám sát đề thi đại học MÔN TOÁN HAY
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.1 MB, 109 trang )
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
TOÁN
ĐỀ SỐ 1
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
42
2 1 0y x mx m
(1), với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với
1m
.
2. Tìm giá trị của m để hàm số đã cho có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị lập thành một tam giác
có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1.
Hướng dẫn:
1. Khảo sát hàm số
42
2y x x
. Bài toán cơ bản – học sinh tự giải.
2.
3 2 2
2
0
4 4 4 ; 0 0
2
x
y x mx x x m y x x m
xm
Hàm số (1) đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
0m
.
Khi đó ba điểm cực trị của (1) là
22
0; 1 , ; 1 , ; 1A m B m m m C m m m
.
Nhận xét rằng tam giác ABC cân tại A.
Gọi H là trung điểm của BC thì AH vuông góc với BC tại H. Ta có
22
0; 1 , , 2H m m AH m BC m
.
2 4 2
1 . . . .
. . 2 . 2 1 1 0
2 4 4
1 5 5 1
0; 1; 1;
22
ABC
AB AC BC AB AC BC
S AH BC AH AB AC m m m m m m m
R
m m m m
Câu 2 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
22
2 3 4 6 5
;
2 3 4 1 6
x y y x x y
xy
xy
.
Hướng dẫn:
Điều kiện
1
2; ;3
4
xy
. Hệ phương trình đã cho tương đương với
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
22
22
2 2 3 3 1
2 4 4 3 6 9
2 3 4 1 6
2 3 4 1 6 2
x x y y
x x x y y y
xy
xy
Xét hàm số
4
;0f t t t t
ta có hàm liên tục và đồng biến trên miền
0;
do
3
4 1 0 0f t t t
.
1 2 3 2 3 5f x f x x x x y
.
Khi đó
2 13 2 4 1 6 13 2 6 4 1y y y y
.
2
1
1
3
3
4
23
4
8 12 0
2 4 1 4
y
y
yx
yy
yy
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
; 3;2xy
.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình
2
21
14
tanx tanx
sin x x
tan x
.
Hướng dẫn:
Điều kiện
0cosx
.
Phương trình đã cho tương đương với
22
11
2. . 2 1 0
1
2
4
1
2
1
6
2
5
2
6
sinx sinx cosx
sinx cosx sinx cosx sinx
cos x tan x
xk
tanx
x k k
sinx
xk
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
1
2
0
1
2
ln x
I dx
x
.
Hướng dẫn:
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
Đặt
2
1
1;
12
2
dx dx
u ln x du dv v
xx
x
.
1
1
1
0
0
0
1
1 1 1 4
22
2 1 2 3 2 3 3
ln x
dx x
I ln ln ln ln
x x x x
.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật
ABCD
tâm
O
,
0AB a a
và các cạnh
bên bằng nhau. Gọi
K
là hình chiếu của
A
trên mặt phẳng
SCD
,
5
2
a
OK
. Mặt phẳng
SAB
tạo với mặt
phẳng đáy một góc
60
. Tính thể tích khối chóp
ACKD
theo
a
.
Hướng dẫn:
Gọi O’ là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).
Ta có
22
;SO h SA SB SC SD x O A OB O C O D x h
, suy ra O’ trùng với O ( O là tâm
hình chữ nhật). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
, 60SAB ABCD SMN
Tam giác SMN đều, hay
MN SM SN a
.
Đặt
0AD BC x x
. Kẻ MI vuông góc với SN và IK song song với ND.
Ta có
AM ND IK AM
. MIKA là hình chữ nhật nên
3
2
x
AK MI
;
1
2
KD IN x
.
2
2 2 2 2 2 2
;
4
x
KC CD KD a AC a x
Sử dụng công thức trung tuyến KO trong tam giác KAC :
2 2 2 2 2
2
2 4 4
KA KC AC a x
KO
.
22
5
2
22
a a x
xa
23
1 1 3
. . 3.
3 3 2 6
ACKD KCD
aa
V AK S a dvtt
.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực dương
,,x y z
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 3
( )( ) ( )( ) ( )( )
xy yz zx
T
z x z y x y x z y z y x
.
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
Hướng dẫn:
Đặt
;;y z a z x b x y c
thì
,,abc
là độ dài 3 cạnh một tam giác có ba góc tương ứng là A, B, C. Ta có
2
2
2 2 2
1 1 1
4 4 4 2 2 2
b c a c a b c a b
xy c a b
cosC
z x z y ab ab ab
.
Tương tự
1 1 1 1
;
2 2 2 2
yz xz
cosB cosA
x y x z x y y z
. Suy ra
37
22
P cosC cosA cosB
.
22
2
3 3 3 3
2 2 1 2 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 11 11 5
3
2 3 6 6 3
A C A C B A C B B B
cosC cosA cosB cos cos cosB sin sin sin sin sin
B
sin P
Giá trị nhỏ nhất của P là
5
3
. Đạt được khi
24
2
2 3 3
B
sin b a
x z y
A C a c
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho đường tròn
2
2
: 4 4C x y
và điểm
4;1E
. Tìm tọa độ các điểm
M
nằm trên trục tung sao từ
M
kẻ được hai tiếp tuyến
,MA MB
đến
C
sao cho ba điểm
,,A E B
thẳng hàng.
Hướng dẫn:
Gọi điểm
0;Mm
là điểm cần tìm. Đường tròn (C) có tâm
4;0 , 2 , 4I R d I Oy
, suy ra với mọi điểm
M trên trục tung ta luôn được hai tiếp tuyến MA, MB tới (C).
Gọi
00
;T x y
là một tiếp điểm của (C) thì phương trình tiếp tuyến của (C) tại T là
22
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
: 4 0 4 4 4 12
4 .0 4 12 4 12 0 : 4 12 0
4.4 .1 12 0 4 0;4
d x x x y y y x x y y x x y x
M d x y m x x my AB x my
E AB m m M
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
Câu 8.a (1,0 điểm). Giải bất phương trình
3
2 3 2
3 2 2
x x x
x x x
x
.
Hướng dẫn:
Điều kiện
0x
.
Bất phương trình đã cho tương đương với
83
1
2
3
1
2
x
x
.
Đặt
3
0; 1
2
x
t t t
thu được
2
3
2
2
2
1
88
3
9
3
11
11
01
01
0
00
9
t
x log
t
t
t
tt
t
t
x
tt
t
Bất phương trình có nghiệm
3
2
;0 ;x log
Câu 9.a (1,0 điểm). Xác định số hạng tự do trong khai triển nhị thức Newton
3
2
n
x
x
biết n là số nguyên
dương thỏa mãn đẳng thức
6 7 8 9 8
2
3 3 2
n n n n n
C C C C C
.
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức Paxcal
1
1
k k k
n n n
C C C
ta có
6 7 8 9 6 7 8 8 9 7 8 9 7 8 8 9 8 9 9
1 1 1 1 1 1 1 2 2 3
3 3 2 2
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
C C C C C C C C C C C C C C C C C C C
Do đó với
6n
thì
98
32
15 30 5
36
2
1 15 15
3 ! 2 !
2 2. 3 9.2 15
6 !9! 6 !8!
22
nn
kk
k
k k k k
k
nn
C C n n
nn
T C x x C x
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
Để là số hạng tự do thì
66
15
30 5 0 6 2k k C
là hệ số cần tìm.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho hai điểm
2; 3 , 1;3AB
. Tìm tọa độ hai điểm
,MN
lần lượt thuộc hai đường thẳng có phương trình
12
: 2 1 0; : 2 3 0d x y d x y
sao cho
MN
vuông
góc với
1
d
và độ dài đoạn gấp khúc
AMNB
ngắn nhất.
Hướng dẫn:
Nhận xét rằng hai đường thẳng đã cho song song với nhau.
Ta có
3;6AB
nên đường thẳng AB :
2 1 0xy
vuông góc với hai đường thẳng
12
;dd
.
Tọa độ 2 giao điểm H, K lần lượt là:
1
2 1 0
13
5
;
2 1 0 3
55
5
1
2 3 0
17
5
;
2 1 0 7
55
5
x
xy
H
xy
y
x
xy
K
xy
y
Dễ thấy
2
;;
5
AM AH BN BK MN
nên độ dài đoạn gấp khúc AMNB ngắn nhất khi M trùng với H, N trùng
với K.
Tóm lại 2 điểm cần tìm :
1 3 1 7
; , ;
5 5 5 5
MN
.
Câu 8.b (1,0 điểm). Giải phương trình
22
2
5 1 5 1 1
log x log x
x x x
.
Hướng dẫn:
Điều kiện
0x
.
Đặt
2
4
t
log x t x
. Phương trình đã cho tương đương với
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
5 1 1 0
5 1 4 . 5 1 1 16 5 1 1 4 5 1 1 0 0 1
4 5 1 1 0
t
t t t t
t t t
t
t
tx
Phương trình có nghiệm duy nhất
1x
.
Câu 9.b (1,0 điểm). Tìm giá trị thực của m để đường thẳng
:d y x m
cắt đồ thị hàm số
2
1x
y
x
tại hai
điểm phân biệt
,AB
thỏa mãn
2 2 3AB
.
Hướng dẫn:
Đường thẳng
y x m
và đồ thị (C)
2
1x
y
x
.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
2
2
0
1
2 1 0 *
x
x
xm
x mx
x
Đặt vế trái của (*) là
fx
; (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0, tức
là
2
00
80
f
m
m
2 nghiệm
12
;xx
của (*) tương ứng là hoành độ của hai giao điểm A,B. Suy ra
1 1 2 2
; , ;A x x m B x x m
.
Áp dụng định lý Viete cho (*) ta có
12
12
2
1
2
m
xx
xx
Khoảng cách
2
2 2 2
22
1 2 1 2 1 2 1 2
1
2 4 2. 4 4
22
m
AB x x x x x x x x m
.
22
0
1
2 2 3 4 12 4 4 12
44
2
m
AB AB m
m
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
ĐỀ SỐ 2
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
21
1
x
y
x
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
C
của hàm số đã cho.
2. Lập phương trình tiếp tuyến của
C
sao cho tiếp tuyến đó cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai
điểm
,AB
thỏa mãn
16OA OB
(với
O
là gốc tọa độ).
Hướng dẫn:
1. Bài toán tự giải.
2. Gọi điểm
00
;M x y
bất kỳ thuộc đồ thị hàm số (C). Phương tình tiếp tuyến d tại M cắt trục hoành và
trục tung lần lượt tại A, B sao cho
16OA OB
.
Tam giác OAB vuông tại O suy ra hệ số góc
1
tan
16
OB
A
OA
, hệ số góc của d bằng
1
16
hoặc bằng
1
16
.
Mặt khác
0
00
22
0
00
0 0 1
0 0 2
5
1 1 1
0 1 4
3
16
11
9 1 41
* 5 :
4 16 16
7 1 25
* 3 :
4 16 16
x
y x x
x
xx
x y d y x
x y d y x
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
2
3
2 2 2 1
2
sinx cosx
tan x sin x x
sinx cosx
.
Hướng dẫn:
Điều kiện
20cos x
. Phương trình đã cho tương đương với
2
2
2
2
22
2 1 2 2 2 2 2
2 cos
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0
22
21
21
2
sinx cosx
sin x
cos x sin x cos x sinx cosx cos x
cos x x sinx
sin x cos x sin x cos x cos x cos x
cos x
cos x x k k
cos x
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân
2
4
3
6
.
4
cos x
I dx
sin x sin x
.
Hướng dẫn:
2 2 2
4 4 4
2
6 6 6
cot cot cot
22
sin sin 1 cot
4
x x x
I dx dx dx
x sinx cosx x x
sinxsin x
2
3
33
2
2
11
1
cot .
3; 1
64
1 1 1 3
2 2 1 2 ln 1 2 2 3 ln
1 1 2 2
dx
t x dt
sin x
x t x t
t
I dt t dt t t t
tt
Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
3 2 2
2 2 2
4 1 2 1 6
;
2 1 1 4 1
x y x x
xy
x y y x x
.
Hướng dẫn:
Điều kiện
0x
. Nhận xét
0x
không thỏa mãn hệ đã cho. Với
0x
thì
2 2 2 2
2
11
2 1 1 4 1 2 1 4 1 1 1x y y x x y y
xx
(1)
Do
0x
nên từ (1) suy ra
0y
Xét hàm số
2
1 1 ; 0 0f t t t f t t
nên hàm số liên tục và đồng biến.
1
1 2 2 1f y f xy
x
. Phương trình thứ 2 của hệ trở thành
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
32
6 5 2
2 3 2
2
3
2
2 2 6 0
0 2 2 6 0
1 2 2 3 0
1 11
0
24
10
1 1 0
1
1 ; 1;
2
x x x x x
u x u u u u u
u u u u u u
uu
u
u
u x y
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp
.S ABCD
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
()ABCD
,
( 0)SA a a
.Đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
,A AB BC a
,
2AD a
,
E
là trung điểm của
AD
. Xác định tâm và tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
.S CED
.
Hướng dẫn:
Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ sao cho
0
3
0;0; , ; ; ; 0; ;0
22
aa
S a O z E a
. Ta có
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
0 0 0 0 0
22
0
97
2;
4 4 2 4 4 2
3 3 3 11
;;
2 2 2 2 2
a a a a a a
SO z a z az OE z z
a a a a a
SO OE z O R OE
Câu 6 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương
,,x y z
thỏa mãn điều kiện
2 2 2
3x y z
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 2
1 1 1
y x z x y z x z y
F
xy yz zx x y z
.
Hướng dẫn:
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
Sử dụng hằng bất đẳng thức
2
10x
ta có
2
12xx
. Do đó
2
2 2 2 2 2 2 2 2
12
2 3 2 2
2
1 1 1 1 1
x
y x z x y z x x x
x x x x x
Tương tự
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
12
2 3 2 2
2
1 1 1 1 1
12
2 3 2 2
2
1 1 1 1 1
y
x y z x y z y y y
y y y y y
z
x z y x y z z z z
z z z z z
Kết hợp lại ta được
6
F
xy yz xz
. Chú ý rằng
222
2 2 2
0 3 2x y x y x y xy yz zx x y z F
.
Giá trị nhỏ nhất của F bằng 2, đạt được khi
1x y z
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho đường tròn
22
: 1 2 1C x y
và đường
thẳng
:2 1 0d x y
. Tìm tọa độ điểm
M
nằm trên đường thẳng
d
để từ
M
kẻ được các tiếp tuyến
,MA MB
(
,AB
là các tiếp điểm) đến
C
sao cho diện tích tam giác
MAB
bằng
27
10
.
Hướng dẫn:
Đường tròn đã cho có tâm
1; 2I
và bán kính
1R
. Ta có
, 5 1d I d
nên với mọi điểm M nằm trên
đường thẳng d, ta luôn kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C).
Gọi điểm
;2 1M m m
là điểm cần tìm.
22
2 2 2 2 2 2
1 2 3 5 10 10; 5 10 9MI m m m m MA MI R m m
.
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
22
22
33
22
2 2 2
2 3 2
11
. . 2 sin
22
5 10 9 5 10 9
. . 5 10 9; 0
5 10 10 1
0
27
27 1 10 3 5 10 0
1
10
* 0 0;1
* 1 1; 1
MAB
MAB
S MA MB sin AMB MA sin AMI MA AMIcos AMI
m m m m
IA MA MA R t
MA t m m t
MI MI MI m m t
m
S t t t m m
m
mM
mM
Câu 8.a (1,0 điểm). Giải phương trình
22
4 2 4
64 3.2 3. 4
log x log x log x
xx
.
Hướng dẫn:
Điều kiện
0x
.
Đặt
4
0
log x
x t t
thu được
22
24
23
2 ;64
log x log x
tt
. Phương trình đã cho tương đương với
3 2 2 2
4
2
4
1
3 3 4 0 4 1 0 1 ; 4
4
10
t
t t t t t t log x x x
tt
Phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Câu 9.a (1,0 điểm). Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau và tổng của 8 chữ số đó là số chẵn ?
Hướng dẫn:
Các số tự nhiên thỏa mãn bài toán sẽ có 4 chữ số chẵn và 4 chữ số lẻ.
Xét trường hợp chữ số 0 có thể đứng ở vị trí bất kỳ
Chọn 4 chữ số chẵn và 4 chữ số lẻ có
44
55
25CC
cách. Hoán vị 8 chữ số này ta có
8!25 1008000
số.
Xét trường hợp chữ số 0 đứng ở vị trí đầu tiên
Chọn 3 chữ số chẵn và 4 chữ số lẻ có
34
45
20CC
cách. Hoán vị 7 chữ số này ta có
7!20 100800
số.
Tóm lại có
1008000 108000 907200
số.
B. Theo chương trình Nâng cao
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho hình chữ nhật
ABCD
có tâm
4;2I
. Gọi
M
là
trung điểm của cạnh
BC
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết rằng tam giác
MOI
có diện tích bằng 1,
đường thẳng
AB
đi qua điểm
11;3N
và cạnh
AD
tiếp xúc với đường tròn
22
: 4 2 2C x y
.
Hướng dẫn:
Hình chữ nhật đã cho có tâm
4;2I
trùng với tâm đường tròn. Do đó AD và BC là hai tiếp tuyến của đường
tròn (C).
1 2 2
. , 1 , 2
2
2
MOI
S IM d O IM d O IM
IM
.
Phương trình đường thẳng IM qua I và cách O một khoảng
2
:
42y k x
.
2 2 2
2
1
42
2 16 16 4 2 1 7 8 1 0
7
1
1
k
k
k k k k k
k
k
Với
1k
thì phương trình BC qua
11;3N
và song song với IM :
14 0xy
;
, 8 2d I BC
.
2
2
8 2 130IA IB IC ID R
.
Điểm K đối xứng với N qua tâm
4;2I
:
19;1K
.
Phương trình đường thẳng DC qua K và song song với IM :
18 0yx
.
Tọa độ các đỉnh hình chữ nhật thỏa mãn
22
22
4 2 130
; 3;11 , 5;9
14 0
4 2 130
; 13; 5 , 11; 7
18 0
xy
xy
xy
xy
xy
xy
Tọa độ các đỉnh là
3;11 , 5;9 , 13; 5 , 11; 7A B C D
.
Câu 8.b (1,0 điểm). Tìm giá trị thực của m để đồ thị hàm số
2
2 1 1
1
x m x
y
x
tiếp xúc với trục hoành.
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
Hướng dẫn:
Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau là
2
2
2 3 2
2
2
2
2
2
2 2 1 0
1
2 1 1
1
0
2 2 1 0 1 2 5 4 1 0
1
11
2 2 1 0
24
2 1 0
11
2
1
1
2 1 1 0
1
2
1
m
m
x
x
x m mx
m
x m x
m
x x m x m m m
x
xx
x x m
mm
m
mm
m
x
m
m
mm
m
x
Câu 9.b (1,0 điểm). Giải bất phương trình
1 1 1
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
x
x x x x
x
.
Hướng dẫn:
Bất phương trình đã cho tương đương với
1 1 1
1 1 1
2
1 1 1 1 1
1
12
8 2 18 8 2 18.2
2 1 2 8 18.2
2 1 2 1 2 2 2 2 1
21
2 0 1 8 18 9 8 0 1 8 0 1 3 1 4
x x x
x x x
x x x x x
x
x
t t t t t t t t x x
ĐỀ SỐ 6
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
32
1
1 4 1
3
y x m x mx
(1), với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với
0m
.
2. Xác định giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực trị tại
12
;xx
sao cho
12
5 2 3xx
.
Hướng dẫn:
1. Bài toán tự giải.
2. Ta có
22
2 1 4 ; 0 2 1 4 0 *y x m x m y x m x m
.
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
Hàm số (1) có cực trị khi (*) có nghiệm
2
10m
(luôn đúng với mọi giá trị của m).
Áp dụng định lý Viete cho 2 nghiệm
12
;xx
của phương trình (1):
12
12
21
4
x x m
x x m
1 2 1 2
12
2 2 1
12
12
5 2 3 5 2 6
5 5 10 1
10 4 4 10
7 10 4 ;
77
5 2 6
1
4 10 4 4 10 49.4 1 10 39 0
39
10
x x x x
x x m
mm
x m x x
xx
m
x x m m m m m m
m
Câu 2 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
3 3 2
8 3 5 4 3
;
2 5 2 2
x y y y x
xy
x y x
.
Hướng dẫn:
Điều kiện
2 5 0; 1x y x
.
Biến đổi hệ phương trình đã cho về dạng
3
3
8 4 1 1 1
2 5 2 1 2
x x y y
x y x
Xét hàm số
32
; 3 1 0f t t t f t t t
nên hàm số liên tục và đồng biến với mọi giá trị thực của t.
1 2 1 2 1f x f y x y
. Phương trình (2) trở thành
2 6 1yy
2
31
1 ; 0; 1
4 5 0
y
y x y
yy
Hệ đã cho có nghiệm duy nhất
; 0; 1xy
.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình lượng giác
3
2
4
sin x sinx
Hướng dẫn:
Cách 1: Phương trình đã cho tương đương với:
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
3
3
22
3 2 2 3
22
22
2 cos 4
2
3 3 sin 0
30
30
1
4
sinx cosx
sinx sinx x sinx sin x cos x
sin x sin xcosx xcos x cos x
sin x sinx cosx cos x sinx cosx
sinx cosx sin x cos x
sinx cosx tanx x k
Cách 2: Phương trình đã cho tương đương với:
3
33
2
3
3 2 2
4
4 1 4 1
3 3 1 0 1 3 1 0 1
sinx cosx sinx
sinx cosx sinx tanx tanx tan x
cosx cos x
tan x tan x tanx tanx tan x tanx
.
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
ln5
ln3
1
1
xx
x
ee
I dx
e
.
Hướng dẫn:
Đặt
2
1 1 2 ; 5 2; 3 2
x x x
e t e t e dx tdt x ln t x ln t
.
2
2
2
3
2
2
22
40 16 2
22
33
tt
t
I dt t
t
.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
22AB BC a
. Cạnh
SA
vuông
góc với mặt phẳng
ABCD
. Gọi M là trung điểm của cạnh
CD
. Hai mặt phẳng
,ABCD SBM
tạo với nhau
một góc
60
. Tính thể tích khối chóp
.S AMB
theo
a
.
Hướng dẫn:
Gọi K là giao điểm của AC và BM.
Xét hai tam giác vuông ABC và BCM đồng dạng vì
2
AB BC
BC CM
.
Suy ra
90CAB MBC CAB CBM AC BM
. Lại có
SA ABCD BM SA
.
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
Mặt khác
BM SAC SBM SAC
. Do đó
, 60SBM ABCD SKA
.
2
2
2
3; .
3
AB a
AC a AB AK AC AK
AC
.
23
.
.2
1 1 1 2
. 2 .
2 2 3 3
2
ABM ABCD S ABM ABM
SA AK tan SKA a
aa
S S a a V SAS dvtt
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hai số thực dương
,xy
thỏa mãn điều kiện
1xy
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
11
P x y
xy
.
Hướng dẫn:
22
2
2
2
1 1 1 1 1 1
1
2 1 2 2 1 2 2 1
1 1 1
: 2 2 1
44
x x y y y x x y
P
x y x y
x y x y
P x y x y xy xy xy
y x xy xy
xy t xy x y P t f t
t
Khảo sát hàm số
ft
với
1
0
4
t
ta được
1
0;
4
6
t
Min f t
. Suy ra
6P
. Đẳng thức xảy ra khi hai số cùng
bằng
1
2
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác OAB vuông tại O, phương trình đường
thẳng BO thuộc trục Ox và hoành độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác OAB là 2.
Tìm tọa độ đỉnh A và B
biết đường thẳng AB đi qua điểm
2 2;2 2G
.
Hướng dẫn:
Tam giác OAB vuông tại O và OI là phân giác của góc AOB nên phương trình đường thẳng OI là
yx
hoặc
yx
.
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
Mặt khác
2 2;2 2G
nằm trên AB nên OI :
yx
;
Đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm
2;2I
và bán kính
2R
:
22
2 2 4xy
(C).
Dễ thấy G thuộc phân giác
yx
và nằm trên đường tròn nên AB tiếp xúc với (C) tại G.
Đường thẳng AB qua G và vuông góc với IG :
4 2 2yx
.
Tọa độ hai điểm A và B:
0;4 2 2 , 4 2 2;0AB
.
Câu 8.a (1,0 điểm).Giải hệ phương trình
2
log
22
2
22
2 log
2
;
log 2log
x
x
yy
xy
xy x y x
.
Hướng dẫn:
Điều kiện
0; 0xy x y x
.
Hệ đã cho tương đương với
2
2
2
2
2
2
2
22
22
2
22
22
2
2
1
2
1 2 2
2 1 2
2 1 2 1
21
10
2 2 2 2 2
1 2 1 2 2
log x
log x
log x
t
log x
t t t
tt
y log x y log x
x log x x log x
y log y
x y x
xy
xy x y x
log x t x x
tt
Xét hàm số
2 ; 0
u
f u u u
. Hàm này liên tục và đồng biến nên
2
2
2
1 2 1 0 1 1 2; 2f t f t t t log x x y
Hệ có nghiệm có duy nhất
; 2;2xy
.
Câu 9.a (1,0 điểm). Tính giá trị của biểu thức
3 1 3 2 3 3 3 2012
2012 2012 2012 2012
1 2 3 2012T C C C C
.
Hướng dẫn:
Xét khai triển
2012
0 0 1 2012 2012
2012 2012 2012
1 x C x C x C x
. Đạo hàm hai vế đẳng thức này ta có
2011 2011
1 2 2011 2012 1 2 2 2012 2012
2012 2012 2012 2012 2012 2012
2012 1 2 2012 2012 1 2 2012x C xC x C x x xC x C x C
.
Tiếp tục đạo hàm hai vế thu được
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
2010
1 2 2 2 2011 2012
2012 2012 2012
2010
2 1 2 2 2 2 2012 2012
2012 2012 2012
2012 1 2012 1 2 2012
2012 1 2012 2 2012
x x C xC x C
x x x xC x C x C
Thực hiện đạo hàm
2009 2010
2 1 3 2 3 2011 2012
2012 2012 2012
2012 2010 2012 1 1 2012.2 1 2 2012x x x x x C xC x C
.
Với
1 0 0x T T
.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho hai đường tròn có phương trình
2
2
2
: 6 25C x y
và
22
1
: 13C x y
. Gọi
A
là giao điểm có tung độ dương của hai đường tròn, lập
phương trình đường thẳng
d
đi qua
A
và cắt hai đường tròn tại theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.
Hướng dẫn:
Tọa độ giao điểm của hai đường tròn là nghiệm của hệ phương trình
22
22
22
2
22
2
13
13
13
; 2;3 , 2; 3
2
12 11 0
6 25
xy
xy
xy
xy
x
x y x
xy
Do điểm A có tung độ dương nên
2;3A
. Gọi H và H’ là giao điểm của đường thẳng d và hai đường tròn thỏa
mãn hệ thức
AH AH
. Hiển nhiên H và H’ đối xứng với nhau qua A. Gọi
1
C
là ảnh của (C) qua phép đối
xứng tâm A thu được
1
C
có tâm
11
; 13OR
. A là trung điểm của
1
OO
nên
1
4;6O
. Suy ra
22
1
: 4 6 13C x y
.
Tọa độ H’ là nghiệm của hệ phương trình
22
2
2
2
4 6 13
37
37 24
; ; , 2;3
55
10 78 44 0
6 25
37 24
; : 3 7 0
55
xy
xy
xy
yy
xy
H d x y
Câu 8.b (1,0 điểm). Giải phương trình
2
33
3
. 3 4 3 3
16
xx
log xlog x log log x
.
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
Hướng dẫn:
Điều kiện
01x
. Phương trình đã cho tương đương với
2
2
3 3 3
2
3 3 3
33
33
22
3 3 3 3
2
1 129
8
3
2
3 4 1 1 2 1
1
16 2 4
2 3 2 1
0
44
4 3 8 4 8 0 (*)
4 3 8 0
1 129
; * 3
8
4 8 0
log x log x log x
log x log x log x
log x log x
log x log x
log x log x log x log x
t t L
log x t t x
tt
Phương trình đã cho có hai nghiệm.
Câu 9.b (1,0 điểm). Cho hàm số
2
9
1
xx
y
x
, có đồ thị là
C
. Lập phương trình parabol
P
đi qua các
điểm cực đại, cực tiểu của
C
và tiếp xúc với đường thẳng
:2 10 0xy
.
Hướng dẫn:
Tọa độ các điểm cực trị của (C) là nghiệm của hệ phương trình
2 2 2
2
22
9 9 2 8
21
11
2 8 0
2 8 0 2 8 0
x x x x x x
yx
yy
xx
xx
x x x x
Do đó tọa độ các điểm cực trị nghiệm đúng phương trình
2
2 1 2 8y x m x x
(P). Parabol này tiếp xúc
với đường thẳng
: 2 10d y x
khi phương trình
2
2 1 2 8 2 10x m x x x
có nghiệm kép.
2
0 1 : 9m P y x
.
ĐỀ SỐ 7
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
32
18
3
33
y x x x
.
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số đã cho.
2. Lập phương trình đường thẳng
d
song song với trục hoành và cắt đồ thị
C
tại hai điểm phân biệt
,AB
sao cho tam giác
OAB
cân tại
O
(với
O
là gốc tọa độ).
Hướng dẫn:
1. Bài toán tự giải
2. Đường thẳng d song song với trục hoành :
ym
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d là
3 2 3 2
18
3 3 9 3 8 0 1
33
x x x m x x x m
Gọi 2 giao điểm của 2 đồ thị là A và B thì
12
; , ;A x m B x m
.
Tam giác OAB cân tại O khi
22
12
12
12
12
0
OA OB
xx
xx
xx
xx
Đặt
32
3
12
32
3 9 8 3 0 3
19 19
0 2 18 0 :
3
33
3 9 8 3 0
a a a m a
x a a x a a a m d y
a
a a a m
Câu 2 (1,0 điểm). Giải bất phương trình
3
2
3 2 1
1
31
xx
xx
xx
.
Hướng dẫn:
Điều kiện
1x
.
Ta có
2
2
1 11
3 1 3 0
6 12
x x x
với mọi
x
thực nên bất phương trình đã cho tương đương với
2 3 2 2
2
2
3 1 1 3 2 1 3 1 1 1 1 3 1 0
1 1 3 1 0
0
0
51
01
1
51
2
0
1
2
x x x x x x x x x x x x
x x x x
x
x
x
x x x
x
xx
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình
2
1
22
cos x cosx
sinx x
cosx sinx
.
Hướng dẫn:
Điều kiện
0sinx cosx
. Phương trình đã cho tương đương với
2
1 1 1 2 1 1 1 1 2 0
1
2
1 sin 1 0 1 1 0
2
1
2
sinx sinx cosx sinx sinx cosx sinx sinx cosx sinx cosx
sinx
xk
sinx xcosx sinx cosx sinx cosx k
cosx
xk
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
6
1
6 3 12
dx
I
xx
.
Hướng dẫn:
2
3
33
22
22
2
3 3 2
1 2; 6 3
1 3 3 36 1
2 2 2 3
3 3 25 5
33
x t x t dx tdt
x t x t
t
I dt dt ln t ln
tt
tt
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ
1 1 1
.ABC A BC
có
1
A ABC
là hình chóp tam giác đều cạnh đáy
AB a
. Biết
độ dài đoạn vuông góc chung của
1
AA
và BC là
3
4
a
. Tính thể tích khối chóp
1 1 1
ABBCC
.
Hướng dẫn:
Gọi O là tâm của đáy ABC và M là trung điểm của cạnh BC. Kẻ MN vuông góc với
1
AA
. Do BC vuông góc
với mặt phẳng
1
A AM
nên MN là đoạn vuông góc chung của
1
AA
và BC. Suy ra
3
4
a
MN
.
Ta có
22
3 2 3
;;
2 3 4
3
a a a
AM AO AM AN AM MN
.
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
Hai tam giác
,A OA MNA
đồng dạng nên
1
1
.
3
AO
AO MN AO a
AO
MN AN AN
.
1 1 1 1 1 1
23
2 3 3
3 3 4 18
A BB C C AB C ABC A ABC
a a a
V V V dvtt
.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương
,,x y z
thỏa mãn điều kiện
1xyz
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 1 1
4 4 4
F
x y y z z x
.
Hướng dẫn:
Đặt
2 2 2
; ; ; ; 0 1x a y b z c a b c abc
. Sử dụng bất đẳng thức
2
2
1 0 1 2t t t
ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1 1 2 1 1 2 1 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2
F
a b b c c a
Q
a b a b a b a b c b a c
Đặt
3 3 3
; ; 1a u b v c w uvw
.
Chú ý rằng
2
33
0u v u v u v uv u v
. Áp dụng bất đẳng thức này ta có
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
1
Q
u v v w w u uv u v uvw ew v ew uvw wu ew u uvw
u v w uv vw uw
Suy ra
1
2
F
. Giá trị lớn nhất của F là
1
2
, đạt được khi
1x y z
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
cho đường tròn
22
:4 4 16 8 29C x y x y
.Tìm tọa
độ các điểm
M
có hoành độ dương nằm trên parabol
2
:2P y x
sao cho từ
M
kẻ được hai tiếp tuyến tới
C
mà góc giữa hai tiếp tuyến đó là
60
.
Truonghocso.com – Mạng xã hội học tập tốt nhất Việt Nam
Trường học số - luôn cam kết mang lại những điều tốt nhất
Hướng dẫn:
Đường tròn đã cho có tâm
2;1I
, bán kính
7
2
R
.
Theo tính chất tiếp tuyến MI là phân giác của MA và MB, do đó
1
30
2
AMI BMI AMB
Tam giác IAM vuông tại A nên
27IA MIsin AMI MI AI
.
Tọa độ điểm
; 0; 0M x y x y
thỏa mãn hệ phương trình
2
2 2 2
32
42
2
2
2
2
2
2 4 8 13 22 0
4 3 4 44 0 2
2 1 49 2 2 1 49
8
2
2
2
2
x x x x
x x x x
x y x x
y
yx
yx
yx
yx
Vậy điểm cần tìm là
2;8M
.
Câu 8.a (1,0 điểm). Cho khai triển Newton
7
4
1
n
x
x
. Xác định hệ số của hạng tử chứa
26
x
biết rằng n là số
nguyên dương thỏa mãn hệ thức
1 2 20
2 1 2 1 2 1
2 1
n
n n n
C C C
.
Hướng dẫn:
1 2 20 1 2 20 0 1 2 20
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 1 2 2
n n n
n n n n n n n n n n
C C C C C C C C C C
.
Chú ý rằng
21
2 1 2 1
k n k
nn
CC
với mọi k thỏa mãn
0 2 1kn
nên
0 2 1 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
; ; ;
n n n n
n n n n n n
C C C C C C
.
Do đó
0 1 2 1 2 1 0 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
0 1 2 0 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
21
0 1 2 2 1 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2
1
2
1 1 2 2
n n n n
n n n n n n n n n n
nn
n n n n n n n n
n
nn
n n n n
C C C C C C C C C C
C C C C C C C C
C C C C
0
10n
10 10
7 10
7 4 70 11
10 10
4
00
1
n
k
k k k k
kk
x C x x C x
x
.
Hạng tử chứa
26
x
thỏa mãn
4
10
70 7 26 4 210k k C
.
