Luận án tiến sĩ toán học Toán tử Monge Ampère trong Cn và trên đa tạp Kähler compact

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết
chung với các đồng tác giả. Các kết quả viết chung với các đồng tác giả
đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết
quả trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong
các công trình khác.
Nghiên cứu sinh
Hoàng Nhật Quy
1
Mục lục
Lời cam đoan 1
Lời cảm ơn 4
Bảng thống kê các ký hiệu 6
Mở đầu 8
0.1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.3 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.4 Bố cục ý tưởng nghiên cứu của luận án . . . . . . . . . 12
0.5 Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài . . . . . . . 13
1 Tính chất địa phương của lớp E
χ,loc
(Ω) 15
1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Lớp N (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Lớp E
χ,loc
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Tính chất địa phương của lớp E
χ,loc
. . . . . . . . . . . 20

2 Tô pô trên không gian δE
χ
30
2
3
2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Các lớp Cegrell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Không gian δE
χ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Khái niệm dung lượng . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Các kết quả trên không gian δE
χ
. . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1 Tô pô trên không gian δE
χ
. . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 Sự hội tụ trong không gian δE
χ
. . . . . . . . . 39
2.3.3 Toán tử Monge-Ampère trên không gian δE
χ
. . 41
2.3.4 Một số chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn của đa
tạp K¨ahler compact 48
3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Sự hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn . . 54

Kết luận 65
Các công trình được sử dụng trong luận án 67
Tài liệu tham khảo 68
Phụ lục 74
Lời cảm ơn
Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của
PGS. TS. Phạm Hoàng Hiệp. Nhân dịp này, tôi xin được gửi đến Thầy
lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất. Tôi thực sự cảm thấy vô cùng
may mắn khi được làm việc cùng Thầy và nhận được nhiều sự hướng
dẫn trong quá trình làm nghiên cứu sinh của mình.
Nhân đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS. TSKH.
Nguyễn Văn Khuê, GS. TSKH. Lê Mậu Hải và GS. TSKH. Nguyễn
Quang Diệu vì những trao đổi và những lời góp ý vô cùng quý báu của
các Thầy. Đặc biệt GS. TSKH. Nguyễn Văn Khuê đã gợi mở việc so
sánh tô pô xây dựng được trên δE
χ
trong chương 3 với các tô pô cảm
sinh từ các tô pô được xây dựng bởi các tác giả khác trước đó. Điều
này khiến cho việc nhận thức về tô pô vừa xây dựng được thêm sâu
sắc và các kết quả đạt được ở chương 3 thêm hoàn chỉnh. Tôi cũng
xin cảm ơn các Giảng viên, và các thành viên nhóm seminar Giải tích
phức Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã có những
tranh luận, trao đổi, góp ý rất hữu ích trong quá trình làm nghiên cứu
sinh của tôi tại Tổ bộ môn Lý thuyết hàm. Các kết quả trong luận án
được viết thành ba bài báo cụ thể như sau:
• [1] Vũ Việt Hùng, Hoàng Nhật Quy (2012), "Convergence in ca-
4
5
pacity on smooth hypersurfaces of compact K¨ahler manifolds", Ann.
Polon. Math. 103, 175-187.

• [2] Lê Mậu Hải, Phạm Hoàng Hiệp, Hoàng Nhật Quy (2013), "Lo-
cal property of the class E
χ,loc
", J. Math. Anal. Appl., 402, 440–445.
• [3] Hoàng Nhật Quy (2013), "The topology on the space δE
χ
",
Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica, 51, 61 - 73.
Nhân đây tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn tới GS. S. Kolodziej vì
những trao đổi, góp ý làm hoàn thiện hơn một số kết quả trong luận
án.
Tôi cũng rất biết ơn Phòng sau đại học, Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội vì những hướng dẫn và tạo điều kiện để tôi thực hiện đầy đủ
các thủ tục kịp thời và đúng quy chế trong quá trình làm nghiên cứu
sinh của mình.
Nghiên cứu sinh
Hoàng Nhật Quy
Bảng thống kê các ký hiệu
Ký hiệu Nội dung
PSH
−
(Ω) Tập các hàm đa điều hòa dưới âm trên Ω
PSH(X, ω) Tập các hàm tựa đa điều hòa dưới trên đa tạp X
E
0
Xem định nghĩa mục 2.2.1
F Xem định nghĩa mục 2.2.1
E Xem định nghĩa mục 2.2.1
χ Xem định nghĩa mục 1.3
E

χ
Xem định nghĩa mục 1.1
N (Ω) Xem định nghĩa mục 1.2.1
δH Xem định nghĩa mục 2.1
E
χ,loc
(Ω) Xem định nghĩa mục 1.2.2
δE
χ
Xem định nghĩa mục 2.2.2
h
ϕ
D,Ω
Xem định nghĩa mục 1.2.2
6
7
Ký hiệu Nội dung
B(Ω) Xem định nghĩa mục 3.2.5
DMA(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.6
E(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.7
E
p
(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.7
F(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.8
K
a
(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.8
D(S, a) Xem định nghĩa mục 3.2.9
cap(E) Xem định nghĩa mục 2.2.3
cap

X
(E) Xem định nghĩa mục 3.2.2
e
χ
(u) Xem định nghĩa mục 2.2.2
Mở đầu
0.1 Lý do chọn đề tài
Lý thuyết hàm nhiều biến phức nói chung và lý thuyết đa thế vị nói
riêng đã thu hút được nhiều sự quan tâm và đầu tư nghiên cứu của
các nhà toán học lớn trên thế giới bắt đầu từ nửa sau của thế kỷ thứ
XX. Sau hơn nửa thế kỷ phát triển, đến nay sự hiểu biết về lớp hàm
đa điều hòa dưới - đối tượng nghiên cứu chính trong lý thuyết đa thế
vị, và các cộng cụ thiết lập được là tương đối sâu sắc và phong phú.
Tại Tổ bộ môn Lý thuyết hàm, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, lý
thuyết đa thế vị đã bắt đầu được các giảng viên tập trung nghiên cứu
trong vài thập kỷ trở lại đây. Và đến nay những vấn đề mà các giảng
viên trong bộ môn tập trung nghiên cứu riêng cũng như các vấn đề
được seminar chung đã dần dần tiếp cận được những xu hướng nghiên
cứu mới của các chuyên gia về lý thuyết đa thế vị trên thế giới.
Trong số rất nhiều kết quả đã đạt được về lý thuyết đa thế vị, chúng
tôi quan tâm tới các lớp con các hàm đa điều hòa dưới có năng lượng
Monge - Ampère hữu hạn. Năm 2004, U. Cegrell đã đưa ra nhiều lớp
năng lượng hữu hạn trên miền siêu lồi trong C
n
như E
0
(Ω), E(Ω), F(Ω),
trong đó E(Ω) là lớp con các hàm đa điều hòa dưới lớn nhất mà trên đó
8
9

toán tử Monge - Ampère định nghĩa được như một độ do Radon không
âm và bảo tồn được tính liên tục theo dãy giảm các hàm đa điều hòa
dưới. Năm 2006, Z. Blocki đã đưa ra đặc trưng của lớp Cegrell E(Ω)
trên tập mở trong C
n
và đề cập tới tính chất địa phương của lớp E(Ω).
Năm 2009, nhóm tác giả S. Benelkourchi, V. Guedj, A. Zeriahi đã đưa
ra các lớp năng lượng với trọng E
χ
(Ω). Quan sát tính chất địa phương
của các lớp này chúng tôi nhận thấy rằng, giữa các lớp E(Ω) và F(Ω)
có mỗi quan hệ địa phương toàn cục, tức là mỗi hàm u ∈ E(Ω) và mỗi
tập K  Ω tồn tại v ∈ F(Ω) sao cho u = v trên K, và lớp E(Ω) có
tính chất địa phương trong khi lớp F(Ω) không có. Đối với lớp E
χ
(Ω)
cũng không có tính chất địa phương. Vậy vấn đề chúng tôi quan tâm
ở đây là nghiên cứu xây dựng lớp mới từ lớp E
χ
(Ω), có tính chất địa
phương và có mỗi quan hệ địa phương toàn cục với lớp E
χ
(Ω) tương
tự như cặp E(Ω) và F(Ω).
Tiếp tục nghiên cứu sâu hơn lớp hàm E
χ
(Ω), chúng tôi đã dẫn đến
giới thiệu và nghiên cứu trong luận án này lớp hàm δE
χ
. Về lớp hàm δ

- đa điều hòa dưới (δ - psh) đã được đề cập và nghiên cứu bắt đầu từ
năm 1977. Ta ký hiệu H = H(Ω) là lớp con bất kỳ các hàm thuộc lớp
PSH(Ω) và δH = H−H là tập các hàm u ∈ L
1
loc
(Ω) sao cho u = v −w,
với v, w ∈ H. Khi H = PSH(Ω) thì không gian δPSH(Ω) với tô pô
được cảm sinh từ tô pô trên không gian L
1
loc
(Ω) đã được nghiên cứu
bởi C. O. Kiselman 1977 [36] và U. Cegrell 1979 [13]. Các kết quả về
sau trên lớp δH đều được nghiên cứu với tô pô cảm sinh từ chuẩn
Monge - Ampère. Với H = F(Ω), thì lớp hàm δF đã được đưa ra và
nghiên cứu bới U. Cegrell và J. Wiklund 2005 [19], ở đó các tác giả
10
đã chứng minh được rằng lớp δF là không gian Banach không khả ly
và không gian đối ngẫu tô pô (δF)

được phân tích là (δF)

= δF

.
Với H = E(Ω), thì lớp hàm δE đã được đưa ra và nghiên cứu bới L.
M. Hải và P. H. Hiệp 2006 [27], ở đó các tác giả đã chỉ ra rằng δE là
không gian Fréchet không khả ly và không phản xạ và toán tử Monge
- Ampère có thể định nghĩa được trên δE. Với H = E
p
(Ω), thì lớp hàm

δE
p
đã được đưa ra và nghiên cứu bởi P.
˚
Ahag và R. Czy˙z 2010 [4].
Bắt nguồn từ sự gợi mở của các kết quả trên đây, trong luận án này
chúng tôi sẽ đưa ra và nghiên cứu lớp δE
χ
với tô pô được sinh bởi một
họ các tập lồi, cân, hấp thụ. Và với tô pô này không gian δE
χ
là không
gian Fréchet không khả ly và không phản xạ.
Một vấn đề khác trong lý thuyết đa thế vị thu hút được nhiều sự
quan tâm đó là nghiên cứu sự hội tụ theo dung lượng của dãy các hàm
đa điều hòa dưới. Khái niệm dung lượng được giới thiệu và nghiên cứu
đầu tiên bởi các tác giả E. Bedford và B. A. Taylor năm 1982 [6], và
tiếp tục được nghiên cứu bởi Y. Xing từ 1996 [43]. Và gần đây hơn,
năm 2003, S. Kolodziej đã đưa ra và nghiên cứu khái niệm dung lượng
trên đa tạp K¨ahler compact [41]. Tiếp tục nghiên cứu khái niệm này,
tác giả P. H. Hiệp đã thu được một số kết quả được công bố vào các
năm 2008 và 2010 trong [32], [31] và [34]. Đặc biệt trong [24], các tác
giả S. Dinew và P. H. Hiệp đã đưa ra nhiều hệ điều kiện đủ để một
dãy các hàm tựa đa điều hòa dưới là hội tụ theo dung lượng trên đa
tạp K¨ahler compact. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu các hệ
điều kiện đó có đảm bảo cho sự hội tụ theo dung lượng của các hàm
tựa đa điều hòa dưới khi chúng được thu hẹp trên một siêu mặt trơn
11
của đa tạp K¨ahler compact. Đây là một vấn đề khó nhưng khả thi và
đã được chúng tôi tập trung nghiên cứu trong luận án này.

0.2 Mục đích nghiên cứu
Luận án này tập trung nghiên cứu các vấn đề sau đây:
• Xây dựng lớp năng lượng mới E
χ,loc
(Ω) và chứng minh rằng lớp đó
có tính chất địa phương;
• Đưa ra không gian δE
χ
. Xây dựng và nghiên cứu một số tính chất
của tô pô trên không gian đó;
• Nghiên cứu sự hội tụ theo dung lượng của các hàm tựa đa điều hòa
dưới khi chúng được hạn chế trên siêu mặt trơn của đa tạp K¨ahler
compact.
0.3 Phương pháp nghiên cứu
- Xác định phạm vi nghiên cứu là lĩnh vực lý thuyết đa thế vị
- Nghiên cứu tổng quan trong lĩnh vực nói trên để tìm kiếm các chủ
đề thời sự được quan tâm trong thời gian gần đây hoặc những câu hỏi
mở được các tác giả giới thiệu trong các công trình đã công bố của họ,
cụ thể chúng tôi thấy có một số vấn đề như sau:
+ Nghiên cứu về toán tử Monge - Ampère
+ Nghiên cứu các lớp hàm đa điều hòa dưới được giới thiệu bởi Cegrell
+ Nghiên cứu các lớp hàm đa điều hòa dưới với năng lượng Monge -
Ampère với trọng hữu hạn
+ Nghiên cứu sự hội tụ theo dung lượng của dãy các hàm đa điều hòa
12
dưới và tựa đa điều hòa dưới
- Tiến hành đặt vấn đề hoặc các câu hỏi cụ thể và tiến hành các chứng
minh chi tiết. Trong quá trình này chúng tôi chủ yếu sử dụng các
phương pháp nghiên cứu và kỹ thuật truyền thống của Giải tích phức
nhiều biến.

0.4 Bố cục ý tưởng nghiên cứu của luận án
Tổng quan ý tưởng nghiên cứu của luận án tập trung vào việc ứng
dụng toán tử Monge - Ampère để nghiên cứu về các hàm đa điều hòa
dưới và tựa đa điều hòa dưới, cụ thể tập trung vào hai hướng như sau:
- Nghiên cứu lớp hàm đa điều hòa dưới với năng lượng Monge -
Ampère với trọng hữu hạn
- Nghiên cứu sự hội tụ theo dung lượng của dãy các hàm tựa đa
điều hòa dưới trên đa tạp K¨ahler compact
Quá trình tập trung nghiên cứu vào hai hướng trên đây, chúng tôi
đã đạt được ba kết quả chính cụ thể như sau:
• Kết quả 1: Đưa ra lớp hàm mới E
χ,loc
(Ω) và nghiên cứu tính chất
địa phương trên lớp hàm đó;
• Kết quả 2: Đưa ra không gian vectơ mới δE
χ
, sau đó tiến hành
xây dựng tô pô và nghiên cứu các tính chất tô pô trên không gian đó;
• Kết quả 3: Thiết lập các hệ điều kiện đủ cho sự hội tụ theo dung
lượng trên siêu mặt phức trơn của đa tạp K¨ahler compact.
Các kết quả trên đây được trình bày chi tiết thành ba chương của
luận án.
13
0.5 Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài
Luận án nghiên cứu về phương trình và toán tử Monge - Ampère
của hàm đa điều hòa dưới trên miền siêu lồi trong C
n
và của hàm tựa
đa điều hòa dưới trên đa tạp K¨ahler compact. Một số kết quả chính
chúng tôi đã đạt được trong luận án có thể liệt kê như sau:

• Đưa ra định nghĩa đầy đủ tính chất địa phương của các hàm đa
điều hòa dưới với năng lượng Monge - Ampère và năng lượng Monge
- Ampère với trọng hữu hạn;
• Chứng minh được rằng lớp E
χ,loc
(Ω) có tính chất địa phương;
• Đưa ra lớp hàm δE
χ
và phương pháp xây dựng tô pô lồi địa phương
trên đó;
• Chỉ ra rằng không gian δE
χ
là không gian Fréchet không khả ly
và không phản xạ;
• Chứng minh rằng sự hội tụ trên không gian tô pô δE
χ
mạnh hơn
sự hội tụ theo dung lượng;
• Đưa ra định nghĩa tập con các hàm tựa đa điều hòa dưới, liên tục
ngoài một siêu mặt trơn trong đa tạp K¨ahler compact và bị chặn bởi
hàm log |f| (với f là hàm chỉnh hình) ở gần siêu mặt trơn nói trên;
• Đưa ra được các hệ điều kiện và chứng minh được rằng chúng là
đủ để một dãy hàm tựa đa điều hòa dưới hội tụ theo dung lượng khi
thu hẹp lên một siêu mặt trơn trong đa tạp K¨ahler compact vẫn còn
hội tụ theo dung lượng.
Các kết quả đạt được trong luận án giúp chúng tôi hiểu biết sâu
hơn về các lớp năng lượng và sự hội tụ theo dung lượng của dãy các
14
hàm tựa đa điều hòa dưới trên siêu mặt K¨ahler compact.
Chương 1

Tính chất địa phương của lớp
E
χ,loc
(Ω)
1.1 Giới thiệu
Từ nay về sau ta luôn ký hiệu Ω là một miền siêu lồi trong C
n
và
PSH
−
(Ω) là tập các hàm đa điều hòa dưới âm trên Ω, những trường
hợp khác sẽ có nói rõ cụ thể. Như chúng ta đã biết, toán tử Monge -
Ampère đóng một vai trò trung tâm trong lý thuyết đa thế vị và được
các nhà toán học tập trung nghiên cứu sâu thêm trong những năm gần
đây. Sau đây ta sẽ tổng kết lại quá trình phát triển của khái niệm này
trong lý thuyết đa thế vị.
Trong [5], E. Bedford và B. A. Taylor đã chỉ ra rằng toán tử này có thể
định nghĩa được trên lớp các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương
và cho "giá trị" thuộc lớp các độ đo không âm. Mặt khác, trong [37],
C. O. Kiselman đã đưa ra ví dụ chỉ ra rằng toán tử Monge - Ampère
không thể mở rộng tới toàn bộ các hàm đa điều hòa dưới mà "giá trị"
của nó vẫn thuộc lớp các độ đo không âm. Vì vậy, vấn đề tìm miền định
15
16
nghĩa của toán tử Monge - Ampère là rất cần thiết trong lý thuyết đa
thế vị và nó đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học
lúc bấy giờ. Trong [14], U. Cegrell đã đưa ra các lớp con các hàm đa
điều hòa dưới E
0
(Ω), F

p
(Ω), E
p
(Ω) mà trên đó toán tử Monge - Ampère
định nghĩa được. Sau đó trong [15], U. Cegrell lại tiếp tục đưa ra hai
lớp F(Ω) và E(Ω) và chỉ ra rằng lớp E(Ω) là miền định nghĩa tự nhiên
của toán tử Monge - Ampère và là lớp lớn nhất mà toán tử Monge -
Ampère còn bảo tồn được tính liên tục theo dãy giảm các hàm đa điều
hòa dưới (Định lý 4.5 trong [15]). Và hơn nữa, theo định nghĩa của lớp
E(Ω) ta thấy rằng đây là một lớp "địa phương" theo nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.1.1. Lớp K(Ω) ⊂ PSH
−
(Ω) được gọi là lớp "địa phương"
nếu thỏa mãn các điều kiện sau đây:
i. Nếu ϕ ∈ K(Ω) thì ϕ ∈ K(D) với mọi miền siêu lồi D  Ω;
ii. Nếu ϕ ∈ PSH
−
(Ω), ϕ|
Ω
i
∈ K(Ω
i
), ∀i ∈ I ở đó Ω =

i∈I
Ω
i
thì
ϕ ∈ K(Ω).
Định nghĩa 1.1.2. Cho K(Ω) ⊂ PSH

−
(Ω). Ta nói hàm ϕ ∈ PSH
−
(Ω)
thuộc lớp K
loc
(Ω) nếu với mọi miền siêu lồi D  Ω đều tồn tại hàm
ψ ∈ K(Ω) sao cho ψ = ϕ trên D.
Nhằm tổng quát hóa các lớp hàm đa điều hòa dưới được giới thiệu
bởi U. Cegrell, năm 2009 trong [9] các tác giả S. Benelkourchi, V.
Guedj và A. Zeriahi đã giới thiệu và nghiên cứu lớp năng lượng với
trọng các hàm đa điều hòa dưới E
χ
(Ω) sau đây. Thực ra lớp hàm đa
điều hòa dưới với trọng đã được đề cập lần đầu tiên vào năm 2006 bới
P. H. Hiệp trong [33].
17
Giả sử χ : R
−
−→ R
+
là hàm giảm. Khi đó theo [9] ta có định
nghĩa sau đây về lớp E
χ
(Ω).
E
χ
(Ω) =




ϕ ∈ PSH
−
(Ω) : ∃ E
0
(Ω)  ϕ
j
 ϕ, sup
j≥1

Ω
χ(ϕ
j
)(dd
c
ϕ
j
)
n
< +∞



,
ở đó E
0
(Ω) là tập nón các hàm đa điều hòa dưới được định nghĩa như
sau:
E
0

(Ω) =

ϕ ∈ PSH ∩ L
∞
(Ω) : lim
z→ξ
ϕ(z) = 0, ∀ξ ∈ ∂Ω,

Ω
(dd
c
ϕ)
n
< +∞

.
Chú ý rằng từ phép chứng minh của các Định lý 1.4 và Định lý 1.5
trong [3] ta suy ra nếu ϕ ∈ E
χ
(Ω) thì lim
z→ξ
ϕ(z) = 0, ∀ξ ∈ ∂Ω. Vì
vậy, nếu ϕ ∈ E
χ
(Ω) thì ϕ /∈ E
χ
(D) với D là miền con compact tương
đối trong Ω, tức là lớp E
χ
(Ω) không phải là lớp địa phương.

Nếu ta giả sử thêm rằng χ(2t) ≤ aχ(t) với a > 1 nào đó thì lớp E
χ
(Ω)
là một nón lồi, tức là một lớp thỏa mãn các tính chất sau đây:
i. ϕ ∈ E
χ
(Ω), ψ ∈ PSH
−
(Ω), ψ ≥ ϕ ⇒ ψ ∈ E
χ
(Ω);
ii. ϕ, ψ ∈ E
χ
(Ω) ⇒ kϕ + lψ ∈ E
χ
(Ω), ∀k, l ≥ 0.
Hơn nữa, theo Mệnh đề A trong [8] S. Benelkourchi đã chứng minh
được đặc trưng của lớp E
χ
(Ω) như sau:
E
χ
(Ω) =

ϕ ∈ N(Ω) : χ ◦ ϕ ∈ L
1
((dd
c
ϕ)
n

)

,
ở đó lớp N (Ω) được giới thiệu ở trong [16] và chúng ta cũng sẽ nhắc
lại ở mục sau.
Cũng Mệnh đề A trong [8] hoặc tổng quát hơn theo Hệ quả 3.3
trong [28] ta có nếu χ ≡ 0 thì E
χ
(Ω) ⊂ E(Ω). Vì vậy lúc này, toán tử
18
Monge - Ampère có thể định nghĩa được trên E
χ
(Ω). Trong mỗi quan
hệ với lớp E
χ
(Ω), trong các mục sau đây, chúng tôi sẽ đưa ra lớp năng
lượng đa phức với trọng mới các hàm đa điều hòa dưới âm E
χ,loc
(Ω)
và nghiên cứu tính chất địa phương của nó khi hàm trọng χ được bổ
sung thêm một số điều kiện.
1.2 Kiến thức chuẩn bị
Trong mục này ta sẽ nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của
lớp hàm N (Ω), sau đó là đưa ra định nghĩa lớp E
χ,loc
(Ω) để chuẩn bị
cho việc chứng minh tính chất địa phương của nó ở mục sau. Những
kết quả nêu ở mục này có thể được tìm thấy ở trong [6], [14], [15], [22],
[33], [38], [39], và [40].
1.2.1 Lớp N (Ω)

Lớp N (Ω) được giới thiệu và nghiên cứu trong [16]. Cho Ω là một
miền siêu lồi trong C
n
và Ω
j
∞
j=1
là dãy cơ bản của Ω, tức là một dãy
tăng các tập con giả lồi chặt Ω
j
của Ω sao cho Ω
j
 Ω
j+1
, ∀j ≥ 1 và
∞

j=1
Ω
j
= Ω. Cho ϕ ∈ PSH
−
(Ω). Với mỗi j ≥ 1 ta đặt:
ϕ
j
= sup{u : u ∈ PSH(Ω), u ≤ ϕ trên Ω \ Ω
j
}.
Như trong [15], hàm xác định bởi ϕ =


lim
j→+∞
ϕ
j

∗
∈ PSH(Ω) và
ϕ ∈ MPSH(Ω), ở đó MPSH(Ω) là tập các hàm đa điều hòa dưới
cực đại trên Ω và (f)
∗
là chính quy hóa nửa liên tục trên của hàm f.
19
Khi đó lớp N (Ω) được định nghĩa như sau:
N = N (Ω) = {ϕ ∈ E(Ω) : ϕ = 0},
hay tương đương là:
N = N (Ω) = {ϕ ∈ PSH
−
(Ω) : ϕ
j
↑ 0, j → +∞}.
Từ định nghĩa của lớp N (Ω) và bằng lập luận tương tự như trong
chứng minh của Định lý 1.4 và Định lý 1.5 trong [3] ta suy ra rằng:
nếu ϕ ∈ N (Ω) thì lim sup
z→ξ
ϕ(z) = 0 với mọi ξ ∈ ∂Ω, tức là lớp N (Ω)
cũng không phải là lớp địa phương.
1.2.2 Lớp E
χ,loc
(Ω)
Bây giờ ta sẽ định nghĩa lớp E

χ,loc
(Ω). Trong Định nghĩa 1.1.2 ta đã
định nghĩa lớp K
loc
(Ω), áp dụng định nghĩa này khi K(Ω) = E
χ
(Ω) ta
sẽ có lớp E
χ,loc
(Ω).
Sau đây ta sẽ rút ra một số chú ý quan trọng về lớp E
χ,loc
(Ω) và sẽ
được sử dụng để nghiên cứu tính chất địa phương ở mục sau của chính
lớp đó.
Cho miền siêu lồi tùy ý D  Ω và ϕ ∈ PSH
−
(Ω), ta đặt:
h
ϕ
D,Ω
= sup{u ∈ PSH
−
(Ω) : u  ϕ trên D}.
Khi đó, hàm h
ϕ
D,Ω
là hàm đa điều hòa dưới âm lớn nhất và băng ϕ trên
D và ta có:
E

χ,loc
(Ω) = {ϕ ∈ PSH
−
(Ω) : h
ϕ
D,Ω
∈ E
χ
(Ω), ∀ D  Ω}.
20
Chú ý. Bằng cách lập luận tương tự như trong [38] ta có
supp(dd
c
h
ϕ
D,Ω
)
n
⊂ D  Ω.
Nhận xét. Trong định nghĩa của lớp E
χ,loc
(Ω), ta có cảm giác rằng
đây là một lớp địa phương, nhưng ta có thể nhận ra rằng tính chất địa
phương trong trường hợp này là không tầm thường vì hai lớp E
0
(Ω) và
E
0
(D) là rất khác biệt nhau với D là một miền siêu lồi compact tương
đối trong Ω.

1.3 Tính chất địa phương của lớp E
χ,loc
Trong suốt mục này ta luôn giả sử χ : R
−
−→ R
+
là hàm giảm thỏa
mãn χ(2t) ≤ aχ(t) với a > 1 nào đó, khi đó theo mục 1.1 ta có lớp
E
χ
(Ω) là một tập nón lồi. Ta cũng sẽ giả sử thêm là χ ≡ 0 và khi đó
ta có E
χ
(Ω) ⊂ E(Ω) và toán tử Monge - Ampère hoàn toàn định nghĩa
được trên lớp E
χ
(Ω).
Ngoài ra, để có thể chứng minh được tính chất địa phương của lớp
E
χ,loc
(Ω), ta cần phải giả sử thêm tính chất sau đây của hàm χ.



tχ

(t)  constant.χ(t)
tχ

(t)  constant.|χ


(t)|, ∀ t < 0.
(1.3.1)
Chú ý 1.3.1. a. Ta có thể kiểm tra dễ dàng rằng hàm χ(t) = (−t)
p
, p >
0 thỏa mãn điều kiện (1.3.1).
b. Ta đặt:
K = {χ : R
−
−→ R
+
: χ là hàm giảm và thỏa mãn(1.3.1)}.
Khi đó, lớp K có các tính chất sau đây:
21
i. Nếu χ
1
, χ
2
∈ K và a
1
, a
2
≥ 0, thì a
1
χ
1
+ a
2
χ

2
∈ K.
ii. Nếu χ
1
, χ
2
∈ K, thì χ
1
.χ
2
∈ K.
iii. Nếu χ ∈ K, thì χ
p
∈ K với mọi p > 0.
iv. Nếu χ ∈ K, thì (−t)χ(t) ∈ K và hơn nữa |t
k
|χ(t) ∈ K với mọi
k = 0, 1, 2,
Trước khi phát biểu và chứng minh kết quả chính của chương này,
ta sẽ phát biểu và chứng minh một số bổ đề cần thiết sau đây.
Bổ đề 1.3.2. Cho u, v ∈ P SH
−
∩ L
∞
(Ω) thỏa mãn u ≤ v trên Ω và
T là một (n − 1, n − 1)- dòng dương đóng. Giả sử rằng χ thỏa mãn
(1.3.1). Khi đó ta có:

Ω


χ(u)dd
c
v ∧ T  c


Ω

χ(u)dd
c
u ∧ T +

Ω

χ(u)|u|dd
c
|z|
2
∧ T

,
Với Ω

 Ω

 Ω và c = c(Ω

, Ω

, Ω) là một hằng số chỉ phụ thuộc vào
Ω


, Ω

, Ω và χ.
Chứng minh. Lấy tập Ω

thỏa mãn Ω

 Ω

 Ω

và hàm φ ∈
C
∞
0
(Ω), 0  φ  1, sao cho φ|
Ω

= 1 và suppφ  Ω

 Ω

. Khi
đó theo công thức tích phân từng phần ta có

Ω

χ(u)dd
c

v ∧ T ≤

Ω
φχ(u)dd
c
v ∧ T
=

Ω
vdd
c
(φχ(u)) ∧ T. (1.3.2)
Mặt khác ta lại có
dd
c
(φχ(u)) =χ(u)dd
c
φ + φdd
c
χ(u) + dφ ∧ d
c
χ(u) + dχ(u) ∧ d
c
φ
=χ(u)dd
c
φ + φ (χ

(u)du ∧ d
c

u + χ

(u)dd
c
u)
+ χ

(u) (dφ ∧ d
c
u + du ∧ d
c
φ) .
22
Với một hắng số t, ta có d(u + tφ) ∧ d
c
(u + tφ) ≥ 0.
Thực hiện khai triển rồi áp dụng cho t = u và t = −u ta có
±u(du ∧ d
c
φ + dφ ∧ d
c
u)  du ∧ d
c
u + u
2
dφ ∧ d
c
φ.
Từ đó suy ra
χ


(u) (dφ ∧ d
c
u + du ∧ d
c
φ) ≥ −χ

(u)

udφ ∧ d
c
φ +
1
u
du ∧ d
c
u

.
Mặt khác, vì φ ∈ C
∞
0
(Ω) nên ta có thể chọn được hằng số A > 0 đủ
lớn sao cho các bất đẳng thức sau thỏa mãn
dd
c
φ ≥ −Add
c
|z|
2

và dφ ∧ d
c
φ ≤ Add
c
|z|
2
.
(1.3.3)
Kết hợp các bất đẳng thức này và các bất đẳng thức trên ta có bất
đẳng thức sau đây
dd
c
(φχ(u)) ≥ − Aχ(u)dd
c
|z|
2
+ φχ

(u)dd
c
u + φχ

(u)du ∧ d
c
u
− χ

(u)

udφ ∧ d

c
φ +
1
u
du ∧ d
c
u

.
Ta xét các trường hợp của χ

(u) như sau
- Nếu χ

(u) ≤ 0 thì sử dụng các điều kiện u ≤ v ≤ 0, 0 ≤ φ ≤ 1 ta có
vdd
c
(φχ(u))  − Auχ(u)dd
c
|z|
2
+ uχ

(u)dd
c
u + uχ

(u)du ∧ d
c
u

− u
2
χ

(u)dφ ∧ d
c
φ − χ

(u)du ∧ d
c
u
= − Auχ(u)dd
c
|z|
2
+ uχ

(u)dd
c
u + u min(χ

(u), 0)du ∧ d
c
u
− u
2
χ

(u)dφ ∧ d
c

φ − χ

(u)du ∧ d
c
u.
23
- Nếu χ

(u) ≥ 0 thì đánh giá trực tiếp ta có
vdd
c
(φχ(u))  − Auχ(u)dd
c
|z|
2
+ uχ

(u)dd
c
u
− u
2
χ

(u)dφ ∧ d
c
φ − χ

(u)du ∧ d
c

u
= − Auχ(u)dd
c
|z|
2
+ uχ

(u)dd
c
u + u min(χ

(u), 0)du ∧ d
c
u
− u
2
χ

(u)dφ ∧ d
c
φ − χ

(u)du ∧ d
c
u
Như vậy trong mọi trường hợp của χ

(u) ta có

Ω


χ(u)dd
c
v ∧ T A

Ω

−uχ(u)dd
c
|z|
2
∧ T +

Ω

uχ

(u)dd
c
u ∧ T
+

Ω

u min(χ

(u), 0)du ∧ d
c
u ∧ T
+


Ω

(−u
2
)χ

(u)dφ ∧ d
c
φ ∧ T
+

Ω

−χ

(u)du ∧ d
c
u ∧ T.
Bây giờ sử dụng điều kiện (1.3.1) của hàm χ ta có
uχ

(u) ≤ c
1
χ(u) suy ra (−u
2
)χ

(u) ≤ c
1

(−u)χ(u),
uχ

(u) ≤ c
2
(−χ

(u)).
Từ đó kết hợp với (1.3.3), ta sẽ thu được xấp xỉ sau đây

Ω

χ(u)dd
c
v ∧ T ≤A

Ω

(−u)χ(u)dd
2
|z|
2
∧ T + c
1

Ω

χ(u)dd
c
u ∧ T

− (c
2
+ 1)

Ω

χ

(u)du ∧ d
c
u ∧ T + Ac
1

Ω

|u|χ(u)dd
c
|z|
2
∧ T
=A(c
1
+ 1)

Ω

|u|χ(u)dd
c
|z|
2

∧ T + c
1

Ω

χ(u)dd
c
u ∧ T
− (c
2
+ 1)

Ω

χ

(u)du ∧ d
c
u ∧ T.
(1.3.4)
24
Nếu đặt χ
1
(t) = −
t

0
χ(x)dx thì ta suy ra χ

1

(t) = −χ(t), χ

1
(t) =
−χ

(t).
Hơn nữa ta có bất đẳng thức sau đây
χ(t)|t| ≥ χ
1
(t) ≥ χ(
t
2
)|
t
2
|.
(1.3.5)
Ta chọn ψ ∈ C
∞
0
(Ω) sao cho ψ|
Ω

= 1 và suppψ  Ω

. Sử dụng (1.3.5)
ta suy ra
−


Ω

χ

(u)du ∧ d
c
u ∧ T ≤ −

Ω
ψdχ(u) ∧ d
c
u ∧ T
=

Ω
χ(u)dψ ∧ d
c
u ∧ T +

Ω
ψχ(u) ∧ dd
c
u ∧ T
≤

Ω
χ(u)dψ ∧ d
c
u ∧ T +


Ω

χ(u)dd
c
u ∧ T
=

Ω
−dψ ∧ d
c
χ
1
(u) ∧ T +

Ω

χ(u)dd
c
u ∧ T
=

Ω
χ
1
(u)dd
c
ψ ∧ T +

Ω


χ(u)dd
c
u ∧ T
≤ B

Ω

χ(u)|u|dd
c
|z|
2
∧ T +

Ω

χ(u)dd
c
u ∧ T,
Với B > 0 được chọn đủ lớn sao cho dd
c
ψ ≤ Bdd
c
|z|
2
trên Ω và kết
hợp với các đánh giá ở trên ta suy ra bất đẳng thức trong bổ đề.
Ta cần tiếp một bổ đề sau đây nữa trước khi đi đến kết quả chính.
Bổ đề 1.3.3. Giả sử hàm χ thỏa mãn χ(2t) ≤ aχ(t) với a > 1 nào đó,
u ∈ E
χ

(Ω) và Ω

 Ω. Khi đó ta có các đánh giá sau đây
i.

Ω

χ(u)(−u)
k
(dd
c
u)
n−k
∧ (dd
c
|z|
2
)
k
< +∞, k = 0, n.
ii.

Ω

χ(u)(−u)
k−1
du ∧ d
c
u ∧ (dd
c

u)
n−k−1
∧ (dd
c
|z|
2
)
k
< +∞, k = 1, n.
25
Chứng minh. Chọn số R > 0 đủ lớn sao cho |z|
2
− R
2
< 0 trên Ω và
giả sử hàm ϕ ∈ E
0
(Ω) đã được chọn.
Ta tiếp tục chọn số A > 0 đủ lớn sao cho |z|
2
− R
2
≥ Aϕ trên Ω

.
Đặt h = max

|z|
2
− R

2
, Aϕ

. Thì ta có h ∈ E
0
(Ω) và dd
c
h = dd
c
|z|
2
trên Ω

.
Đặt χ
0
(t) = χ(t) và với mỗi k ≥ 1 , ta đặt χ
k
(t) = −
t

0
χ
k−1
(x)dx.
Sử dụng điều kiện χ(2t) ≤ aχ(t) với t < 0, ta dễ dàng suy ra được
χ
k
(t) = χ(t)(−t)
k

O(1).
Trước hết, ta chứng minh rằng i. đúng trong trường hợp u ∈ E
0
(Ω).
Thật vậy
Đặt
I
k
=

Ω
χ
k
(u)(dd
c
u)
n−k
∧ (dd
c
h)
k
, với k = 0, n.
Thì ta có
I
k
≥

Ω

χ

k
(u)(dd
c
u)
n−k
∧ (dd
c
h)
k
.
Sử dụng công thức tích phân từng phần ta suy ra
I
k
=

Ω
h(dd
c
u)
n−k
(dd
c
h)
k−1
∧ dd
c
χ
k
(u)
=


Ω
h(dd
c
u)
n−k
(dd
c
h)
k−1
∧ (χ

k
(u)du ∧ d
c
u + χ

k
(u)dd
c
u)
≤

Ω
hχ

k
(u)(dd
c
u)

n−k+1
∧ (dd
c
h)
k−1
=

Ω
−hχ
k−1
(u)(dd
c
u)
n−k+1
∧ (dd
c
h)
k−1
≤ ||h||
L
∞
(Ω)

Ω

χ
k−1
(u)(dd
c
u)

n−k+1
∧ (dd
c
h)
k−1
≤ ||h||
L
∞
(Ω)
I
k−1
.