các dạng toán luyện thi vào lớp 10

Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

Các dạng toán luyện thi vào lớp 10
A. Căn thức và biến đổi căn thức
A.1.Kiến thức cơ bản
A.1.1. Căn bậc hai
a. Căn bậc hai số học
- Với số dơng a, số
a
đợc gọi là căn bậc hai số học của a
- Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0
- Một cách tổng quát:
2
0x
x a
x a


=

=

b. So sánh các căn bậc hai số học
- Với hai số a và b không âm ta có:
a b a b< <
A.1.2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
2
A A=
a. Căn thức bậc hai
- Với A là một biểu thức đại số , ngời ta gọi
A

là căn thức bậc hai của A, A đợc gọi là
biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn
-
A
xác định (hay có nghĩa)

A

0
b. Hằng đẳng thức
2
A A=
- Với mọi A ta có
2
A A=
- Nh vậy: +
2
A A=
nếu A

0
+
2
A A=
nếu A < 0
A.1.3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng
a. Định lí: + Với A

0 và B

0 ta có:
. .A B A B=
+ Đặc biệt với A

0 ta có
2 2
( )A A A= =
b. Quy tắc khai phơng một tích: Muốn khai phơng một tích của các thừa số không âm, ta có
thể khai phơng từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau
c. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể
nhân các số dới dấu căn với nhau rồi khai phơng kết quả đó
A.1.4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng
a. Định lí: Với mọi A

0 và B > 0 ta có:
A A
B
B
=
b. Quy tắc khai phơng một thơng: Muốn khai phơng một thơng a/b, trong đó a không âm và
b dơng ta có thể lần lợt khai phơng hai số a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chí cho kết quả
thứ hai.
c. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số b dơng ta
có thể chia số a cho số b rồi khai phơng kết quả đó.
A.1.5. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
a. Đa thừa số ra ngoài dấu căn
- Với hai biểu thức A, B mà B

0, ta có
2

A B A B=
, tức là
+ Nếu A

0 và B

0 thì
2
A B A B=
+ Nếu B < 0 và B

0 thì
2
A B A B=
b. Đa thừa số vào trong dấu căn
+ Nếu A

0 và B

0 thì
2
A B A B=
+ Nếu B < 0 và B

0 thì
2
A B A B=
c. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
- Với các biểu thức A, B mà A.B

0 và B

0, ta có
A AB
B B
=
Lê Thanh Tịnh
1
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

d. Trục căn thức ở mẫu
- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có

A A B
B
B
=
- Với các biểu thức A, B, C mà
0A

và
2
A B
, ta có

2
( )C C A B
A B
A B

=


- Với các biểu thức A, B, C mà
0, 0A B
và
A B
, ta có

( )C A B
C
A B
A B

=


A.1.6. Căn bậc ba
a. Khái niệm căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x
3
= a
- Với mọi a thì
3 3 3
3
( )a a a= =
b. Tính chất
- Với a < b thì
3 3
a b<

- Với mọi a, b thì
3 3 3
.ab a b=
- Với mọi a và
0b

thì
3
3
3
a a
b
b
=
A.2.Kiến thức bổ xung
A.2.1. Căn bậc n
a. Căn bậc n (
2 n N
) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a
b. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)
Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
Căn bậc lẻ của số dơng là số dơng
Căn bậc lẻ của số âm là số âm
Căn bậc lẻ của số 0 là số 0
c. Căn bậc chẵn (n = 2k )
Số âm không có căn bậc chẵn
Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
Số dơng có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là
2k
a

và
2k
a
d. Các phép biến đổi căn thức.

2 1
.
k
A
+
xác định với
A
2
.
k
A
xác định với
0A


2 1
2 1
k
k
A A
+
+
=
với

A
2
2
k
k
A A=
với

A

2 1 2 1
2 1
. .
k k
k
A B A B
+ +
+
=
với

A, B
2
2 2
. .
k
k k
A B A B=
với

A, B mà
. 0A B


2 1 2 1
2 1
. .
k k
k
A B A B
+ +
+
=
với

A, B
2 2
2
. .
k k
k
A B A B=
với

A, B mà
0B

Lê Thanh Tịnh
2
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

2 1
2 1
2 1
k
k
k
A A
B
B
+
+
+
=
với

A, B mà B

0
2
2
2
k
k
k
A
A
B
B

=
với

A, B mà B

0,
. 0A B


m
n mn
A A=
với

A, mà
0A


m
m
n
n
A A=
với

A, mà
0A

A.2.2. Bất đẳng thức và bất phơng trình
Bất đẳng thức

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: f
1
(x), f
2
(x), ,f
n
(x) là các biểu thức bất kì
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
f x f x f x f x f x f x+ + + + + +
.
Đẳng thức xảy ra khi
( )
( ) 1,
i
f x i n=
cùng dấu
Bất đẳng thức Côsi: a
1
, a
2
, , a
n
là các số không âm, khi đó
1 2
1 2

.
n

n
n
a a a
a a a
n
+ + +

Đẳng thức xảy ra khi a
1
= a
2
= = a
n
Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (a
1
, a
2
, , a
n
) và (b
1
, b
2
, , b
n
) là hai bộ số bất kì, khi đó
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
n n n n

a b a b a b a a a b b b+ + + + + + + + +
Đẳng thức xảy ra khi
1 2
1 2

n
n
a
a a
b b b
= = =
(quy ớc b
i
== 0 thì a
i
= 0)
Bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

( ) ( 0) ( )f x f x



( ) ( 0) ( )f x f x


hoặc
( )f x


A.2.3. Dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai

a. Cho nhị thức f(x) = ax + b (a

0). Khi đó ta có.
x -

-b/a +

f(x) = ax + b Trái dấu với a Cùng dấu với a
b. Cho tam thức f(x) = ax
2
+ bx + c (a

0). Khi đó ta có
Nếu
0

x -

-b/2a
+

f(x) = ax
2
+ bx + c Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a
Nếu
0 >
x -

x
1

x
2

+

f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a
A.2.4. Biến đổi tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c (a

0). Khi đó ta có

2 2
( ) ( )
2 4
b
f x ax bx c a x
a a

= + + =
với
2
4b ac =
Nếu a > 0 thì
( )
4
f x
a

nên
min ( )
4
x R
f x
a


=
2
b
x
a

=
Nếu a < 0 thì
( )
4
f x
a


nên
max ( )
4
x R
f x
a

=
2
b
x
a

=
Lê Thanh Tịnh
3
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

* Chú ý. Nếu
'
k
A
A
=
(k là hằng số dơng) khi đó ta có
Amin

Amax
Amax

Amin
A.3.Ví dụ minh họa
A.4.Bài tập chọn lọc
Bài 1. Cho biểu thức:
1 3 2 2
1 1 2 2 2

x x
P
x x x x x x

+

=
ữ
ữ
ữ



a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P với
3 2 2x =
Bài 2. Cho biểu thức
1 1 2 1 2
:
1
1 1
x x x x x x
P
x
x x x x

+ +

= +
ữ

ữ
ữ

+



a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P với
7 4 3x =
c. Tính giá trị lớn nhất của a để P > a
Bài 3. Cho biểu thức
3 2( 3) ( 3)
2 3 1 3
x x x x
P
x x x x
+
= +
+
a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P với
11 6 5x =
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 4. Cho biểu thức :
3 2 2
1 :
1 2 3 5 6
x x x x
M

x x x x x

+ + +
= + +
ữ ữ
ữ ữ
+ +

a. Rút gọn M
b. Tìm x để M > 0
c. Tìm các giá trị củ m để có các giá trị của x thỏa mãn:
( 1) ( 1) 2M x m x+ = +
Bài 5: Cho biểu thức:
2 2
2 2
4 4
4 4
x x x x x x
A
x x x x x x
+
=
+
a. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
b. Rút gọn A.
c. Tìm x để
5A <
.
Bài 6: Cho
1

2
2 1 1
x x x x x
A
x x x

+
=
ữ ữ
ữ ữ
+

.
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A > -6.
Bài 7: Cho
2 1 10
: 2
4
2 2 2
x x
B x
x
x x x



= + + +
ữ
ữ

ữ

+ +


.
a. Rút gọn B.
b. Tìm x để B > 0.
Bài 8: Cho
1 2 2
1 1 1
C
x x x x x
= +
+ +
.
a. Rút gọn C.
b. Chứng minh rằng C < 1.
Bài 9: Cho biểu thức:
2
4 4 12 9A x x x= +
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A = -15.
Lê Thanh Tịnh
4
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

Bài 10: Cho biểu thức:
( )
( )

2
2 2
2
2
2 8
1 2 3
x x
y x x
x
+
= + +
.
a. Rút gọn y.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để y có giá trị nguyên.
Bài 11: Cho biểu thức:
2 1 2 1A x x x x= + +
với x 1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 12: Cho biểu thức:
2
2 6 9A x x x= + +
.
a. Rút gọn rồi tìm giá trị của A khi a = -5.
b. Tìm x khi A = 15.
Bài 13: Cho biểu thức:
2
3 3
1 : 1
1

1
M x
x
x


= + +
ữ
ữ
+



.
a. Rút gọn M.
b. Tìm giá trị của M khi
3
2 3
x =
+
.
c. Tìm giá trị của x để
M M>
.
Bài 14: Cho biểu thức: Q = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1.
a. Chứng minh Q 0 với mọi x.
b. Tính giá trị của Q khi
7 5
2
x

=
.
Bài 15: Cho biểu thức:
2
3 1 4 9 12A x x x= +
.
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm giá trị của x để A = 3.
Bài 16: Rút gọn biểu thức:
2
1
2 1
4
A x x x= +
rồi tìm giá trị của x để A = 3/2.
Bài 17: Cho biểu thức:
( )
2
4 2
2
3 2 6
x
y
x x

=
+
.
a. Rút gọn y.

b. Tìm giá trị lớn nhất của y.
Bài 18: Cho biểu thức:
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
Q
x x x x
+ +
=
+
a. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để Q < 1.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên.
Bài 19: Cho biểu thức:
3 9 3 1 2
2 2 1
x x x x
P
x x x x
+ +
= +
+ +
a. Rút gọn P.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
Bài 20: Cho biểu thức:
2
2
1
1
x x x x
Q

x x x
+ +
= +
+
a. Rút gọn Q.
b. Biết x > 1, hãy so sánh Q với {Q}.
c. Tìm x để Q = 2.
d. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q?
Lê Thanh Tịnh
5
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

Bài 21. Cho biểu thức
2
4 2
2
( 3 2) 6
x
M
x x

=
+
a. Rút gọn M
b. Tìm x để M có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó
Bài 22. Cho biểu thức
( )
2
2 2
2

2
3 12
( 2) 8
x x
A x x
x
+
= + +
a. Rút gọn A
b. Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên
Bài 23. Cho biểu thức
3 9 3 1 2
2 2 1
x x x x
C
x x x x
+ + +
= +
+ +
a. Tìm điều kiện cỉa x để C có nghĩa
b. Rút gọn biểu thức C
c. Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của C là một số nguyên
Bài 24. Cho biểu thức
2 3 3 2 2
: 1
9
3 3 3
x x x x
P
x

x x x

+
= +
ữ ữ
ữ ữ

+

, với x

0 và x

9
a. Rút gọn P
b. Tìm các giá trị của x để P < -1/3
c. Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 25. Cho biểu thức
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
Q
x x x x
+ +
=
+
a. Tìm các giá trị của x để Q có nghĩa
b. Rút gọn Q
c. Tìm các giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên
Bài 26. Cho biểu thức

2
4( 1) 4( 1)
1
. 1
1
4( 1)
x x x x
M
x
x x
+ +

=
ữ



a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa
b. Rút gọn M
Bài 27. Cho biểu thức
3 3
3 3
1 1 2 1 1
. :
x y x x y y
A
x y
x y x y
x y xy

+ + +
= + + +

ữ
ữ
+
+



với x > 0, y > 0
a. Rút gọn A
b. Biết xy = 16. Tìm giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó
Bài 28. Cho biểu thức
2
2 2
2
1 1
( 1) : 2 3B x x x x
x x

= + + + +
ữ ữ

, với x

0
a. Rút gọn B
b. Tìm giá trị của x để B có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó

Bài 29. Cho biểu thức:
2
2 2
1 1 1 1
. 1 .
1 1
1 1 1 1
x x x x
P
x x
x x
x x x x


+
=
ữ ữ
ữ
ữ ữ
+
+ +


a. Tìm điều kiện để P có nghĩa
b. Rút gọn P
Bài 30. Cho biểu thức
2
2 2 1 8A x x x= + +
Lê Thanh Tịnh
6

Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

a. Rút gọn biểu thức A
b. Với giá trị nào của x thì A = -3
Bài 31: Cho
2
2 1 2 1 1
1
1
4( 1)
x x x x
A
x
x x
+ +

=
ữ



.
a. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
b. Rút gọn A.
Bài 32: Cho biểu thức:
2 2 2 2
2 1 2 1A x x x x= +
.
a. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
b. Tính giá trị của A khi

2.x
Bài 33: Cho
2
1 1
:
x
A
x x x x x x
+
=
+ +
.
a. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
b. Rút gọn A.
Bài 34: Cho
3
1 1
1 1 1
x x
B
x x x x x

=
+
.
a. Tìm điều kiện của x để B có nghĩa.
b. Tĩm x để B > 0.
Bài 35: Cho biểu thức:
( ) ( )
1

2 1 2
1 .
1
1 2 1
x x x
x x x x x x
E
x
x x x


+ +
= +
ữ
ữ

+

.
a. Tìm điều kiện để E có nghĩa.
b. Rút gọn E.
Bài 36: Cho
3 3 2 2
1 1
:
a b a b
A ab
a b
a b

=
ữ
ữ



.
a. Tìm điều kiện của a, b để A có nghĩa.
b. Rút gọn A.
Bài 37: Cho biểu thức:
2 2
6 9 6 9A x x x x= + + +
.
a. Rút gọn A.
b. Tìm các giá trị của x để A = 1.
Bài 38: Cho biểu thức:
2 2
2 2
2 2
.
2 2
x x x x x x
A
x x x x x x
+
=
+

a. Tìm điều kiện xác định của A.
b. Rút gọn A.
c. Tìm x để A < 2.
Bài 39: Cho biểu thức
2
2
a
M
a
+
=

.
a. Tìm các số nguyên a để M là số nguyên.
b. Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên.
Bài 40. Cho biểu thức
6
1
a
M
a
+
=
+
a. Tìm các số nguyên a để M là số nguyên
b. Chứng minh rằng với a = 4/9 thì M là một số nguyên
c. Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên
Bài 41. Xét biểu thức
1 2
(1 ) : ( )

1
1 1
a a
B
a
a a a a a
= +
+
+
a. Rút gọn B
Lê Thanh Tịnh
7
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

b. Tìm các giá trị của a sao cho B > 1
c. Tính giá trị của B nếu
6 2 5a =
Bài 42. Xét biểu thức
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
A
x x x x
+ +
=
+
a. Rút gọn A
b. Tìm các giá trị của x để A < 1
c. Tìm các giá trị nguyên của x sao cho A cũng là số nguyên
Bài 43. Xét biểu thức

2 3 6
2 3 6 2 3 6
a b ab
A
ab a b ab a b
+
=
+ + + +
a. Rút gọn A
b. Cho giá trị của biểu thức A sau khi đã rút gọn bằng
10
( 10)
10
b
b
b
+


. Chứng minh rằng a/b
= 9/10
Bài 44. Xét biểu thức
2 2 4 3
:
4
2 2 2
x x x x
P
x
x x x x

+
=
ữ
ữ

+

a. Rút gọn P
b. Tìm các giá trị của x để P > 0, P < 0
c. Tìm các giá trị của x để |P| = 1
Bài 45:
Cho biểu thức:
2 2
2 1 1 1
.
3 1
2 1 2 1
1 1
3 3
N
x
x x



= +

+

+

+ +
ữ ữ



.
Rút gọn rồi tính giá trị của x để N = 1/3.
Bài 46:
1. Cho biểu thức:
2
4 4 4 4
8 16
1
x x x x
A
x x
+ +
=
+
.
Rút gọn rồi tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
2. Cho biểu thức:
( ) ( )
3 3
2
2
1 1 . 1 1
2 1

x x x
P
x

+ +


=
+
.
Rút gọn rồi tính giá trị của P khi x = 1/2, từ đó tính sao cho sin = P.
Bài 47. Cho biểu thức
2
4 9 12 4A x x x= +
a. Rút gọn A
b. Tính giá trị của A khi x = 2/7
Bài 48: Cho
2
2
1
1
1
A x x
x x
= +
+
trong đó
x R
.
Xác định x để giá trị của A là một số tự nhiên.

Bài 49. Cho biểu thức
2 2
0 1
1 1
x x x x
A x
x x x x
+
=
+ + +
Bài 50. Cho biểu thức
2
5 6 9A x x x= + + +
Lê Thanh Tịnh
8
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

a. Rút gọn B
b. Tính giá trị của x để B = -9
Bài 51: Cho biểu thức:
1 5 2
.
2 6 3
x
P
x x x x

=
+
a. Rút gọn P.

b. Tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài 52: Cho
2
: 1
1
1 1
x y x y
x y xy
P
xy
xy xy

+

+ +
= + +
ữ
ữ
ữ

+


.
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P với
2
2 3
x =
+

.
c. Tìm giá trị lớn nhất của P.
B. Hệ phơng trình
B.1.Kiến thức cơ bản
b.1.1. Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
a. Phơng trình bậc nhất hai ẩn
Phơng trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c

R (a
2
+ b
2


0)
Tập nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn:
Phơng trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó
đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d): ax + by = c
- Nếu a

0, b

0 thì đờng thẳng (d) là đồ thị hàm số
a c
y x
b b
= +
- Nếu a

0, b = 0 thì phơng trình trở thành ax = c hay x = c/a và đờng thẳng (d) song

song hoặc trùng với trục tung
- Nếu a = 0, b

0 thì phơng trình trở thành by = c hay y = c/b và đờng thẳng (d) song
song hoặc trùng với trục hoành
b. Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:
' ' '
ax by c
a x b y c
+ =


+ =


trong đó a, b, c, a, b, c

R
Minh họa tập nghiệm của hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
Gọi (d): ax + by = c, (d): ax + by = c, khi đó ta có
(d) // (d) thì hệ vô nghiệm
(d)

(d) =
{ }
A
thì hệ có nghiệm duy nhất
(d)

(d) thì hệ có vô số nghiệm
Hệ phơng trình tơng đơng
Hệ hai phơng trình tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
c. Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế
Quy tắc thế
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế
Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc một hệ phơng trình mới trong
đó có một phơng trình một ẩn
Giải phơng trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ
d. Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số
Quy tắc cộng
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế
Nhân hai vế của mỗi phơng trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của
một ẩn nào đó trong hai phơng trình bằng nhau hoặc đối nhau
Lê Thanh Tịnh
9
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình
mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (phơng trình một ẩn)
Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
b.1.2. Hệ phơng trình đa về phơng trình bậc hai
- Nếu hai số x và y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S
2


4P) khi đó hai số x, y là nghiệm
của phơng trình: x
2
+ SX + P = 0

B.2.Kiến thức bổ xung
b.2.1. Hệ phơng trình đối xứng loại 1
a. Định nghĩa:
Hệ hai phơng trình hai ẩn x và y đợc gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó
thì từng phơng trình của hệ không đổi
b. Cách giải
Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S
2

4P
Giải hệ để tìm S và P
Với mỗi cặp (S, P) thì x và y là hai nghiệm của phơng trình:
t
2
St + P = 0
c. Ví dụ
Giải hệ phơng trình
2 2
7
13
x y xy
x y xy
+ + =


+ + =


2 2
1 0

22
x y xy
x y x y
+ + + =


+ =

2 2
8
( 1)( 1) 12
x y x y
xy x y

+ + + =

+ + =

Giải phơng trình
2 2
17 17 9x x x x+ + =

( 7 48 ) ( 7 48 ) 14
x x
+ + =
b.2.2. Hệ phơng trình đối xứng loại 2
a. Định nghĩa
Hệ hai phơng trình hai ẩn x và y đợc gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ
hai ẩn x và y thì phơng trình này trở thành phơng trình kia và ngợc lại
b. Cách giải

Trừ vế theo vế hai phơng trình trong hệ để đợc phơng trình hai ẩn
Biến đổi phơng trình hai ẩn vừa tìm đợc thành phơng trình tích
Giải phơng trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phơng trình trong hệ để đợc phơng trình một ẩn
Giải phơng trình một ẩn vừa tìm đợc ròi suy ra nghiệm của hệ
c. Ví dụ
Giải hệ phơng trình

2
2
2 4 5
2 4 5
x y y
y x x

= +


= +



3
3
13 6
13 6
x x y
y y x

=

=


Giải phơng trình
3
3
1 2 2 1x x+ =
2
2 2 1 4 1x x x+ + = +
b.2.3. Hệ phơng trình đẳng cấp bậc 2
a. Định nghĩa
- Hệ phơng trình đẳng cấp bậc hai có dạng:
2 2
2 2
0
' ' ' 0
ax bxy cy
a x b xy c y

+ + =


+ + =


b. Cách giải
- Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phơng trình không
- Nếu x

0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phơng trình trong hệ
- Khử x rồi giải hệ tìm t
- Thay y = tx vào một trong hai phơng trình của hệ để đợc phơng trình một ẩn (ẩn x)
- Giải phơng trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx
Lê Thanh Tịnh
10
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

* Lu ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải tơng tự
c. Ví dụ
Giải hệ phơng trình
2 2
2
4 1
3 4
x xy y
y xy

+ =


=


2 2
2 2
2 3 3
2 2 6
x xy y

x xy y

+ =


+ =


B.3.Ví dụ minh họa
B.4.Bài tập chọn lọc
Bài 1. Giải các hệ phơng trình
( 2)( 2)
( 4)( 3) 6
x y xy
x y xy
+ =


+ = +


( 1)( 2) ( 1)( 3) 4
( 3)( 1) ( 3)( 5) 18
x y x y
x y x y
+ =


+ =

( 5)( 2)
( 5)( 12)
x y xy
x y xy
+ =


+ =

2 5 1 2
16
11 3
7 2( 1)
31
5 3
x y x y
x y x


+ =



+

+ =


9 2
28

7 3
3 12
15
2 5
x y
x y

=




+ =


4 3
5
15 9
3
14
x
x y
y
x y


+ =

+ =


5 1
10
1 1
1 3
18
1 1
x y
x y

+ =





+ =



4 1
1
2 2
20 3
1
2 2

x y x y
x y x y

=

+



+ =

+

4 3 13
36
6 10
1
x y
x y

+ =




+ =


2 2
2 2

2 3 0
2 0
xy y x
y x y x

+ =


+ + =


3 2 1 2
2 3 1 4
x y
x y

+ + =


+ + + =


2
2
( ) 4( ) 45
( ) 2( ) 3
x y x y
x y x y

+ + =

=


( 3)( 5)
( 2)( 5)
x y xy
x y xy
+ =


+ =

2 2 2 2
2 2
( 1) ( 2) ( 1) ( 1)
( 3) ( 1)
x y x y
x y x y

+ = + + +


=


2 2 0
3 8
xy x y

x y
+ =


+ =

2 5
3
3 3
1 2 3
3 3 5
x y x y
x y x y

=





+ =



7 4 5
3
7 6
5 3 13
6
7 6

x y
x y

=

+



+ =

+

3 2
8
3 1
3 1
1,5
3 1
x y x y
x y x y

=

+



+ =

+ +

1
12
2
12
x x
y y
x x
x y

=

+



=



4( ) 5( )
40 40
9
x y x y
x y x y
+ =

+ =

+

1 1 3
4
1 1 2
6 5 15
x y
x y

+ =




+ =


2 3
2 3
( 3) 2 6
3( 3) 5 7
x y
x y

+ =


+ + =

2 2
2 2
2 10
2 5
x y
x y

+ =


=


2
2
7 13 39
5 11 33
x y
x y

+ =


=


Bài 2. Giải các hệ phơng trình
1 1 5

1 4 4
x y
x y

+ + =


+ =


2 3 0
3 0
y x
y x

+ =


+ =


1 1 5
1 4 4 0
x y
x y

+ + =


+ + =

1 2 1
1 3 3
x y
x y

+ =


+ =


.
2
2
10 25 5
10 25 5
x x x
x x x

+ + = +


+ =



2 2 1 9
1 1

x y
x y

+ =


+ =


2 2
4
2
x xy y
x xy y

+ + =

+ + =

341
330
x x y y
x y y x

+ =


+ =

2 2
11
3 4 2
x y
x xy y

+ =


+ + = +


Lê Thanh Tịnh
11
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

2 2
2( 2)
6
x y xy
x y

+ = +

+ =

2 2
1 0
22
x y xy

x y x y
+ + + =


+ − − =

2 2
7
13
x y xy
x y xy
+ + =


+ + =

2 2
5
5
x xy y
y x
+ + =


+ =

4 2 2 4
2 2
481
37

x x y y
x xy y

+ + =


+ + =


2 2
2 2
8
7
x y x y
y x xy

+ + + =


+ + =


2 2
10
4
x y
x y

+ =


+ =

2 2
65
( 1)( 1) 18
x y
x y

+ =

− − =

2 2
6
5
x y xy
xy x y

+ =

+ + =

3 3
5 5 2 2
1x y
x y x y

+ =



+ = +


3 3 2 2
1x y
x y x y
+ =


+ = +

( 1)( 1) 10
( )( 1) 25
x y
x y xy
+ + =


+ + =

5
13
6
x y
x y
y x
+ =




+ =


3 3
2 2
2
2
x y
x y xy

+ =


+ =


4 4
2 2
97
( ) 78
x y
xy x y

+ =


+ =


3

1
x y xy
x y xy
+ + =


+ − =

2 2
2 3 2
6
x y xy
x y

+ + = +


+ =


2 2 2
9
27
x y z
x y z
+ + =


+ + =


4 4
3
17
x y
x y
+ =


+ =

2 2
84
14
x xy y
x xy y

+ + =


+ + =


2 2
19
84
xy x y
x y xy
+ + =



+ =

( 1)( 1) 72
( 1)( 1) 2
xy x y
x y
+ + =


− − =

2 2
1
5
x y xy
x y
+ − =


+ =

2 2
( 1)( 1) 10
( )( 1) 3
x y
x y xy

+ + =

+ − =


5 5
1
31
x y
x y
+ =


+ =

2 2
4
2
x xy y
x xy y

+ + =

+ + =

3 3
4 4
1
1
x y
x y

+ =



+ =


3
3
5
5
x x y
y x y

= +


= +


2
2
2 2 0
2 2 0
x x xy y
y y xy x

− + − =


+ − − =



2
2
2 4 5
2 4 5
x y y
y x x

= − +


= − +


1 1
1 1
x y
x y

+ + =


+ + =


2 2
2 2
( ) 17
( ) 25
x x y
y x y


+ + =


+ + =


3
2
1 3
1 3
x y
y x

+ =


+ =


2
2
1
1
x xy y
x xy y

+ + =



+ + =


3
3
2
2
x x y
y y x

= +


= +


2 2
2 2
2
2
x y y
xy x

+ =


+ =


2 2 2

12
12
x y z
xy yz zx

+ + =

+ + =

2 2 2
3 3 3
1
1
x y z
x y z

+ + =


+ + =


2
2
2 2 0
2 2 0
x x xy y
y y xy x

− + − =



+ − − =


2 2
2 2
11
( ) 108
x xy y
x y xy

− − = −


− =


2 2
2 2
( )( ) 5
( )( ) 9
x y x y
x y x y

− + =


+ − =



C¸c bµi HPT cã chøa tham sè
Bµi 4. Cho hÖ ph¬ng tr×nh
2
3
9 3 3
x y m
x m y
− = −



− = −


a. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
Lª Thanh TÞnh
12
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

b. Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng
quát nghiệm của hệ phơng trình
c. Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
Bài 5. Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình
4
1
mx y
x my
+ =

=

Có nghiệm thỏa mãn điều kiện
2
8
1
x y
m
+ =
+
. Khi đó hãy tìm các giá trị của x và y.
Bài 6. Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phơng trình
2 3
1
mx y m
x y m
+ =


+ = +

Có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó.
Bài 7. Cho hệ phơng trình
2 6
2 2
x y
x y
+ =

=

a. Giải hệ phơng trình đã cho bằng phơng pháp đồ thị
b. Nghiệm của hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm của phơng trình 3x 7y = - 8
không ?
c. Nghiệm của hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm của phơng trình 4,5x + 7,5y = 25
không ?
Bài 8. Cho hai đờng thẳng (d
1
): 2x 3y = 8 và (d
2
): 7x 5y = -5
Tìm các giá trị của a để đờng thẳng y = ax đi qua giao điểm của hai đờng thẳng (d
1
) và
(d
2
)
Bài 9. Cho ba đờng thẳng
(d
1
): y = 2x 5 (d
2
): y = 1 (d
3
): y = (2m 3)x 1
Tìm các giá trị của m để ba đờng thẳng đồng quy
Bài 10. Cho hệ phơng trình
2

2 1
x ay
ax y
+ =


=

Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0
Bài 11. Tìm các giá trị của a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(-5; -3) và điểm B(3;
1)
Bài 12. Tìm các giá trị của m để
a. Hệ phơng trình:
5
2 3 7
mx y
x my
=


+ =

có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0
b. Hệ phơng trình:
3
4 6
mx y
x my
+ =

+ =

có nghiệm thoả mãn điều kiện x > 1, y > 0
Bài 13. Cho hệ phơng trình
2
1
mx y m
x my m
+ =


+ = +

Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phơng trình có nghiệm x, y là các số nguyên
Bài 14. Cho hệ phơng trình
2
( 1) 2 1
2
m x my m
mx y m
+ + =


=

Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn
nhất
Bài 15. Hãy tìm giá trị của m và n sao cho đa thức
P(x) = mx

3
+ (m + 1)x
2
(4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x 1) và (x + 2).
Bài 16. Cho hệ phơng trình
Lê Thanh Tịnh
13
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

( 1) 1
( 1) 2
m x y m
x m y
+ = +


+ =

Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: S = x + y đạt giá
trị lớn nhất
Bài 17. Cho hệ phơng trình
2
mx my m
mx y m
+ =


+ =

m, n là các tham số

a. Giải và biện luận hệ phơng trình
b. trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất hãy tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trình
thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0
Bài 18. Tìm a và b để hệ phơng trình sau có nghiệmcó nghiệm với mọi giá trị của tham số m
( 3) 4 5 3
2 3 1
m x y a b m
x my am b m
+ + = + +


+ = +

Bài 19. Tìm tham số a để hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
2 3 2
2 3 2
4 .
4
y x x a x
x y y ay

= +


= +


Bài 20. Biết cặp số (x, y) là nghiệm của hệ phơng trình:
2 2 2
6

x y m
y x m
+ =


+ = +

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = xy + 2(x + y).
Bài 21. Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phơng trình:
2 2 2
2 1
2 3
x y a
y x a a
+ =


+ = +

Xác định giá trị của tham
số a để hệ thỏa mãn tích xy nhỏ nhất.
Bài 22. Cho hệ phơng trình:
2
1 1 1
xy a
x y b

=

+ =


Giải và biện luận hệ phơng trình biết rằng x, y là độ dài các cạnh của một hình chữ nhất.
Bài 23. Cho hệ phơng trình:
2 1
2 1
x my
mx y
+ =


+ =

a. Giải và biện luận theo tham số m.
b. Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên.
Bài 24. Cho hệ phơng trình:
4
4 10
x my
mx y m
+ =


+ =

(m là tham số).
a. Giải và biện luận theo m.
b. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dơng.
Bài 25. Cho hệ phơng trình:

( 1) 3 1
2 5
m x my m
x y m
=


= +

Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà S = x
2
+ y
2

đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 26. Cho hệ phơng trình:
2
( 1) 2 1
2.
m x my m
mx y m
+ + =


=

Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà tích P = xy đạt giá trị
lớn nhất.
Bài 27. Cho hệ phơng trình:
2

1.
mx y m
x my m
+ =


+ = +

Lê Thanh Tịnh
14
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

a. Giải hệ khi m = -1.
b. Tìm m để hệ có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm: x = 1, y = 1.
Bài 28. Giải và biện luận hệ phơng trình sau đây theo tham số m:
2 1
2 3.
mx y m
x my
+ = +


+ =

Bài 29. Cho hệ phơng trình:
2
2 1.
x my
mx y
+ =

=

a. Giải hệ khi m = 2.
b. Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0 và y < 0.
c. Tìm số nguyên n để có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên.
Bài 30. Cho hệ phơng trình:
1
3 2 3.
x my
mx my m
+ =


= +

a. Giải hệ khi m = - 3.
b. Giải và biện luận hệ đã cho theo m.
Bài 31. Cho hệ phơng trình:
2
3 2 5
x y m
x y
+ =


=

(m là tham số nguyên).

Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0, y < 0.
Bài 32. Cho hệ phơng trình:
2
3 5.
mx y
x my
=


+ =

a. Giải và biện luận hệ đã cho.
b. Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn hệ thức:
2
2
1
3
m
x y
m
+ =
+
.
Bài 33. Cho hệ phơng trình:
2 1
( 1) 2.
mx my m
x m y
+ = +

+ + =

a. Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x; y) luôn luôn thuộc một
đờng thẳng cố định khi m thay đổi.
b. Xác định m để M thuộc góc vuông phần t thứ nhất.
c. Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng
5
.
Bài 34. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phơng trình:
4 2
.
mx y m
x my m
+ = +


+ =

có nghiệm duy nhất (x;
y) với x; y là các số nguyên.
Bài 35. Cho hệ phơng trình:
2 1
2 1.
x my
mx y
+ =


+ =

a. Giải và biện luận theo m.
b. Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên.
c. Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x; y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy trên một
đờng thẳng cố định.
d. Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng
2
2
.
Bài 36. Giải và biện các hệ phơng trình:
a.
2
2 3( 1) 3
( ) 2 2
m x m y
m x y y

+ =

+ =

b.
2 1
2 .
x y m
x y m
= +


+ =

c.
1
.
x my
x y m
=


=

Bài 37. Cho hệ phơng trình:
2 5
3 1.
mx y
mx y
+ =


+ =

a. Giải hệ phơng trình lúc m = 1.
b. Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số.
Bài 38. Cho hệ phơng trình (m là tham số ):
1
.
mx y
x y m
=

+ =

Lê Thanh Tịnh
15
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

a. Chứng tỏ lúc m = 1, hệ phơng trình có vô số nghiệm.
b. Giải hệ lúc m khác 1.
Bài 24. Tìm nghiệm nguyên dơng nhỏ nhất của hệ phơng trình:
a.
5 3
11 7
x y
x z
= +


= +

b.
2 3 20
3 5 4 37
x y z
x y z
+ + =


+ + =

Bài 39. Với giá trị nào của x, y, z; ta có đẳng thức sau: 4x
2
+ 9y
2
+ 16z
2
4x 6y 8z +3 = 0.

Bài 40. Với giá trị nào của m, hệ phơng trình:
2 2
25
3 4
x y
mx y m

+ =

=

có nghiệm?
Bài 62. Cho hệ phơng trình:
2 2
2
2 1 2
x y a
xy a

+ =

+ =

. Xác định a để hệ có hai nghiệm phân biệt. Tìm các
nghiệm đó.
Bài 41. Giải hệ phơng trình:
2 3
14
1 1 1
1
2 3 6 2 3 6
x y z
x y z
x y z

+ + =




+ + + + =
ữ
ữ




(x, y, z là các số dơng)
Bài 42. Cho hệ phơng trình:
8
x y
m

y x
x y

+ =



+ =

. Xác định m để hệ phơng trình có nghiệm kép.
Bài 43. Cho hệ phơng trình:
2 2
1
x y m
y x
=


+ =

. Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.
Bài 44. Cho x, y là hai số nguyên dơng sao cho:
2 2
71
880
xy x y
x y xy
+ + =

+ =

. Tìm giá trị của biểu thức: M =
x
2
+y
2
.
Bài 45. Cho hệ phơng trình:
1
3 1
x my m
mx y m
+ = +


+ =

a. Giải và biện luận hệ phơng trình trên.
b. Không giải hệ phơng trình, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy
nhất?
Bài 46. Cho hệ phơng trình:
( 1) 1
( 1) 2
a x y a
x a y
+ = +


+ =

(a là tham số).
a. Giải hệ phơng trình với a = 2.
b. Giải và biện luận hệ phơng trình.
c. Tìm giá trị nguyên của a để hệ phơng trình có nghiệm nguyên.
d. Tìm giá trị của a để nghiệm của hệ thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ nhất.
Bài 47. Lập phơng trình đờng thẳng đi qua gốc O và song song với AB biết:
A(-1; 1), B(-1; 3).
A(1; 2), B(3; 2).
A(1; 5), B(4; 3).
Bài 48. Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1). Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD.
Bài 49. Cho bốn điểm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5). Chứng minh rằng bốn điểm A, B,
C, D thẳng hàng.
Bài 50. Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2). Hãy xác định tứ giác ABCD là hình gì?
Bài 51. Tìm giá trị của m để hệ phơng trình sau vô nghiệm, vô số nghiệm:
2( 1) ( 2) 3
( 1) 3 7
m x m y m
m x my m
+ + + =


+ + = +

Lê Thanh Tịnh
16
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

Bài 52. Cho hệ phơng trình:
( 1) 2 2 0

2 ( 1) ( 1) 0
m x my
mx m y m
+ + =


+ =

(m là tham số).
a. Giải hệ phơng trình trên.
b. Tìm giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0, y < 0.
Bài 53. Cho hệ phơng trình:
( 1) 3 4
( 1)
m x y m
x m y m
+ =


+ =

(m là tham số)
a. Giải hệ phơng trình.
b. Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên.
c. Tìm giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm dơng duy nhất.
Bài 54. Cho hệ phơng trình:
1
3 1
x my m
mx y m

+ = +


+ =

(m là tham số)
a. Giải hệ phơng trình.
b. Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện xy nhỏ nhất.
Bài 55. Các số không âm x, y, z thỏa mãn hệ phơng trình:
4 4 2 1
8 4 8
x y z
x y z
+ =


+ + =

a. Biểu thị x và y theo z.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y z.
Bài 56. Giải hệ phơng trình:
2 2 2 2
3 3 3 3
x y z a
x y z a
x y z a
+ + =


+ + =

+ + =

Bài 57. Tìm giá trị của a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2 2
2 1
4
x y a
x y a

+ = +

+ =

Bài 58.
a. Tìm các giá trị nguyên của tham số a hoặc m để hệ phơng trình có nghiệm là số dơng, số
âm.
2 1
2
ax y
x ay
=


+ =

;
3 5
2 1

x y m
x y
+ =


+ =

b. Tìm giá trị nguyên của m để hệ phơng trình sau:
2
3 2 5
x y m
x y
+ =


=

có nghiệm x > 0 và y < 0.
c. Với giá trị khác 0 nào của m thì hệ phơng trình:
2
3 5
mx y
x my
=


+ =

có nghiệm thỏa mãn
2

2
1
3
m
x y
m
+ =
+
Bài 59.
1. Cho hệ phơng trình:
. 3
1 2
a x y
x y
+ =



+ + =


a. Giải hệ phơng trình với a = 2.
b. Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.
2. Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình sau vô nghiệm.
C. Phơng trình
C.1.Kiến thức cơ bản
C.1.1. Phơng trình bậc nhất một ẩn
a. Định nghĩa
- Phơng trình có dạng ax + b = 0. Trong đó a, b

R và a

0
b. Cách giải và biện luận
Lê Thanh Tịnh
17
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

- Nếu a = 0. Khi đó: + b = 0 thì phơng trình có VSN
+ b

0 thì phong trình VN
- Nếu a

0. Khi đó phơng trình có nghiệm duy nhất x = - b/a
C.1.2. Phơng trình bậc hai một ẩn
a. Định nghĩa
- Phơng trình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0. Trong đó a, b, c

R và a

0
b. Cách giải và biện luận
- Nếu a = 0. Phơng tình có dạng bx + c = 0: Phơng trình bậc nhất
- Nếu a

0. Khi đó
2

4b ac =
(hoặc
2
' 'b ac =
)
+
0 <
(hoặc
' 0 <
): Pt vô nghiệm
+
0 =
(hoặc
' 0 =
): Pt có nghiệm kép
1 2
2
b
x x
a
= =
(hoặc
1 2
'b
x x
a
= =
)
+
0

>
(hoặc
' 0 >
): Pt có hai nghiệm phận biệt
'
1,2
'b
x
a

=
(hoặc
1,2
2
b
x
a

=
)
Chú ý: Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thì ta có thể viết
ax
2
+ bx + c = a(x x

1
)(x x
2
)
C.1.3. Định lí Viet
a. Định lí thuận
- Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thì tổng và tích hai nghiệm đó là
1 2
b
S x x
a
= + =
và
1 2
.
c
P x x
a
= =
b. Định lí đảo
- Nếu hai số x và y có tổng
1 2
x x S+ =
và tích

1 2
.x x P=
thỏa mãn
2
4S P
thì hai số x và y là
hai nghiệm của phơng trình t
2
St + P = 0
C.2.Kiến thức bổ xung
C.2.1. Phơng trình đa thức, phơng trình bậc cao
C.2.2. Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
C.2.3. Phơng trình vô tỉ
C.2.4. Phơng trình nghiệm nguyên
C.3.Ví dụ minh họa
C.4.Bài tập chọn lọc
Bài 1. Tìm các giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung
x
2
+ mx + 1 = 0; x
2
+ x + m = 0
Bài 2. Cho hai phơng trình x
2
+ p
1
x + q
1
= 0; x
2

+ q
2
x + q
2
= 0
Chứng minh rằng nếu
1 2 1 2
2( )p p q q +
thì ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có
nghiệm
Bài 3. Với giá trị bào của k thì hai phơng trình sau:
2x
2
+ (3k + 1)x - 9 = 0; 6x
2
+ (7k 1)x - 19 = 0
Có ít nhất một nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó
Bài 4. Chứng minh rằng phơng trình sau luôn có nghiệm với mọi a, b, c
(x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) = 0
Bài 5. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của m ột tam giác. Chứng minh phơng trình sau vô
nghiệm:
a
2
x
2
+ (a
2
+ b
2
c

2
)x + b = 0
Bài 6. Cho ba phơng trình
x
2
+ 2ax + ac = 0; x
2
2bx + ab c = 0; x
2
+ 2cx + c = 0
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phơng trình trên có nghiệm
Bài 7. Cho phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0. Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm nếu
một trong hai điều kiện sau đợc thỏa mãn
a. a(a + 2b + c) < 0
b. 5a + 3b + 2c = 0
Bài 8. Tìm các giá trị của k để phơng trình: kx
2
(1 2k)x + k 2 = 0 có nghiệm là số hữu
tỉ.
Lê Thanh Tịnh
18
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

Bài 10. Cho phơng trình: 2x
2
3x + 1 = 0. Gọi x
1
, x

2
là các nghiệm của phơng trình . Không
giải phơng trình hãy tìm giá trị các biểu thức sau:
a.
1 2
1 1
A
x x
= +
b.
1 2
1 2
1 1x x
B
x x

= +
c.
2 2
1 2
C x x= +
d.
1 2
2 1
1 1
x x
D
x x
= +
+ +

Bài 11. Cho phơng trình: x
2
+ (2m 1)x m = 0
a. Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b. Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để biểu thức
2 2
1 2 1 2
6A x x x x= +
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 12. Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình: 3x
2
+ 5x 6 = 0. Không giải phơng trình hãy
lập phơng trình bậc hai ẩn y có các nghiệm
1 1
2
1
y x
x
= +
;
2 2
1

1
y x
x
= +
Bài 13. Cho phơng trình
2
2 3 1 0x x + =
. Không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức
a.
3 3
1 2
A x x= +
b.
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
3 5 3
4 4
x x x x
B
x x x x
+ +
=
+
Bài 14. Cho phơng trình (k 1)x
2
2kx + k 4 = 0. Gọi x
1
, x

2
là hai nghiệm của phơng trình
trên, hãy lập hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào k
Bài 15. Tìm các giá trị của m để các nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình:
a. x
2
+ (m 2)x + m + 5 = 0 thỏa mãn
2 2
1 2
10x x+ =
b. x
2
- (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 thỏa mãn x
1
= 2x
2
c. x
2
- mx + m + 1 = 0 thỏa mãn x
1
x
2

+ 2(x
1
+ x
2
) -19 = 0
Bài 16. Cho phơng trình bậc hai: mx
2
(5m 2)x + 6m - 5 = 0
a. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm là hai số đối nhau
b. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
Bài 17. Cho phơng trình: x
2
2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
Tìm các giá trị của m để hai nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình thỏa mãn

2 2
1 2 1 2
10A x x x x= + +
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó
Bài 18. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình
2x
2

+ 2(m + 1)x + m
2
+ 4m + 3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = |x
1
x
2
- 2x
1
2x
2
|
Bài 19. Cho phơng trình: x
2
mx + m 1 = 0
a. Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2( 1)
x x
P
x x x x

+
=
+ + +
Bài 20. Cho phơng trình: x
2
+ px + q = 0
Tìm các giá trị của p và q sao cho hai nghiệm của phơng trình thỏa mãn
1 2
3 3
1 2
5
35
x x
x x
=



=


Bài 21. Cho phơng trình bậc hai: x
2
2x m
2
= 0 có các nghiệm x
1
, x
2
. Lập phơng trình bậc

hai có các nghiệm y
1
, y
2
sao cho:
a. y
1
= x
1
3, y
2
= x
2
3
b. y
1
= 2x
1
1, y
2
= 2x
2
1
Bài 22. Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm thỏa mãn:
1 2
3 3
1 2
2
26
x x

x x
=



=


Bài 23. Chứng minh rằng trong ba phơng trình sau có ít nhất một phơng trình vô nghiệm
x
2
+ ax + b - 1 = 0
x
2
+ bx + c - 1 = 0
x
2
+ cx + a - 1 = 0
Lê Thanh Tịnh
19
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

Bài 24. Cho 2 phơng trình:
x
2
+ 2x + a = 0 (1) và (1 + a)(x
2
+ 2x + a) 2(a 1)(x
2
+ 1) = 0 (2)

Chứng minh rằng nếu phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) vô
nghiệm.
Bài 25. Cho phơng trình: x
2
2(m + 1)x + m 1 = 0.
a. Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b. Chứng minh rằng biểu thức: A = x
1
(1 x
1
) + x
2
(1 x
2
) tron đó x
1
, x
2
là hai nghiệm
của phơng trình không phụ thuộc vào m
Bài 26. Cho phơng trình (m 1)x
2
2mx + m + 4 = 0
a. Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có tích bằng 5, từ đó hãy tính tổng
hai nghiệm của phơng trình
c. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x

2
thỏa mãn đẳng thức:
1 2
2 1
5
0
2
x x
x x
+ + =
Bài 27. Tìm các giá trị của m và n để hai phơng trình sau tơng đơng
x
2
+ (4m + 3n)x 9 = 0.
x
2
+ (3m + 4n)x + 3n = 0
Bài 28. Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt x
1
, x
2
a. Chứng minh rằng phơng trình cx
2
+ bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt
b. Chứng minh rằng S = x
1
+ x
2

+ x
3
+ x
4


4
Bài 29. Cho phơng trình: x
2
(2m + 1)x + m
2
+ m = 0
a. Biết rằng phơng trình có một nghiệm x
1
= 2,tìm m rồi tìm nghiệm còn lại
b. Tìm các giá trị của m để các nghiệm của phơng trình thỏa mãn bất đẳng thức
-2 < x
1
< x
2
< 4
Bài 30. Tìm a sao cho nghiệm của phơng trình
x
4
+ 2x
2
+ 2ax + a
2
+ 2a + 1 = 0.
Đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Bài 31. Cho a, b, c là ba số dơng khác nhau có tổng bằng 12. Chứng minh rằng trong ba phơng
trình sau:
x
2
+ ax + b = 0
x
2
+ bx + c = 0
x
2
+ cx + a = 0.
Có một phơng trình vô nghiệm, một phơng trình có nghiệm
Bài 32. Cho biết phơng trình x
2
+ bx + c = 0, với b, c là các số hữu tỉ có một nghiệm là
1 2
2 4
+
.
Tìm các cặp số (b, c)
Bài 33. Biết số đo độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phơng trình
bậc hai: (m 2)x
2
2(m 1)x + m = 0. Tìm m để số đo chiều cao ứng với cạnh huyền là
2
5
Bài 34. Tìm giá trị của m để các nghiệm x
1
, x
2

của phơng trình sau thỏa mãn điều kiện:
2 2
1 2
1x x+ =
: mx
2
2(m 2)x + (m 3) = 0.
Bài 35. Cho phơng trình: mx
2
2(m + 1)x + (m 4) = 0 (m là tham số).
1. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
2. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có
giá trị tuyệt đối lớn hơn.
3. Xác định m để các nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình thỏa mãn x
1
+ 4x
2
= 3.
4. Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
mà không phụ thuộc vào m.
Bài 36. Cho phơng trình x
2
2(m 2)x + (m

2
+ 2m 3) = 0.
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
phân biệt thỏa mãn
1 2
1 2
1 1
5
x x
x x
+
+ =
.
Bài 37. Chứng minh rằng tồn tại một phơng trình có các hệ số hữu tỉ nận một trong các nghiệm
là:
Lê Thanh Tịnh
20
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

3 5
3 5

+
2 3
2 3
+

2 3+
Bài 38. Cho phơng trình x
2
+ 5x 1 = 0 (1)
Không giải phơng trình (1), hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là lũy thừa
bậc bốn của các nghiệm phơng trình (1).
Bài 39. Xác định các số m, n của phơng trình x
2
+ mx + n = 0 sao cho các nghiệm của phơng
trình cũng là m và n.
Bài 40. Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi a và b:
(a + 1)x
2
2(a + b)x + (b 1) = 0.
Bài 41. Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi m:
x
2
(3m
2
5m + 1)x (m
2
4m + 5) = 0.
Bài 42. Tìm giá trị của m để hệ phơng trình sau có nghiệm:
2 2
4 3 7
2 5
x y
x y m
=

+ =

Bài 43. Tìm giá trị của a để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x
2
+ ax + 8 = 0 (1) và x
2
+ x + a = 0 (2).
Bài 44. Tìm giá trị của m để phơng trình sau có ít nhất một nghiệm x 0:
(m + 1)x
2
2x + (m 1) = 0.
Bài 45. Xác định m để phơng trình: (m + 1)x
2
2(m + 2)x + 2(m + 1) = 0 có hai nghiệm cùng
âm, cùng dơng, và trái dấu nhau
Bài 46. Tìm giá trị của m để phơng trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: x
3
m(x + 1) + 1 =
0.
Bài 47. Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi a, b và c:
x(x a) + x(x b) + (x a)(x b) = 0
(x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) = 0.
Bài 48. Chứng minh rằng với mọi a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phơng trình sau có
nghiệm:
ax
2
+ 2bx + c = 0; bx
2

+ 2cx + a = 0; cx
2
+ 2ax + b = 0
Bài 49. Chứng minh rằng phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) có nghiệm biết rằng
5a + 2c = b.
Bài 50. Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phơng trình sau có
nghiệm:
(a
2
+ b
2
c
2
)x
2
4abx + (a
2
+ b
2
c
2
) = 0.
Bài 51. Chứng minh rằng phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) có nghiệm nếu
2
4
b c

a a
+
.
Bài 52. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình sau có nghiệm nếu bm = 2(c +
n):
x
2
+ bx + c = 0 và x
2
+ mx + n = 0.
Bài 53. Cho phơng trình bậc hai: f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực mà af() 0 thì phơng trình có nghiệm.
Bài 54. Cho phơng trình: f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) (1)
Chứng minh rằng nếu tồn tại hai giá trị , của x mà f(x) đổi dấu (tức là
( ). ( ) 0f f


)
thì phơng trình (1) có nghiệm.
Bài 55. Cho biết các phơng trình ax
2
+ bx +2 c = 0 và ax
2
+ bx c = 0 (a 0) có nghiệm. Vận
dụng bài 22 để chứng minh phơng trình ax
2

+ bx + c = 0 có nghiệm.
Bài 56. Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình sau có nghiệm:
2 2
3 1x y
x y a
+ =


+ =

Bài 57. Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x
2
+ 2x + m = 0 (1)và x
2
+ mx + 2 = 0 (2).
Bài 58. Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x
2
+ (m 2)x + 3 = 0 và 2x
2
+ mx + m + 2 = 0.
Bài 59. Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
2x
2
+ (3m 5)x - 9 = 0 và 6x
2
+ (7m-15)x -19 = 0.
Lê Thanh Tịnh
21

Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

Bài 60. Tìm giá trị nguyên của a để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
2x
2
+ (3m 1)x 3 = 0 và 6x
2
(2m 3)x 1 = 0.
Bài 61. Tìm giá trị của m để một nghiệm của phơng trình 2x
2
13x + 2m = 0 (1) gấp đôi một
nghiệm của phơng trình x
2
4x + m = 0 (2).
Bài 62. Cho các số a, b, c khác nhau đôi một, c 0. Biết rằng các phơng trình
x
2
+ ax + bc = 0(1) và x
2
+ bx + ca = 0 (2) có ít nhất một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó.
Bài 63. Cho các phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (1) và cx
2
+ dx + a = 0 (2)
Biết rằng phơng trình (1) có các nghiệm m và n, phơng trình (2) có các nghiệm p và q. Chứng
minh rằng:
m
2
+ n

2
+ p
2
+ q
2
4.
Bài 64. Cho các phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (1) và cx
2
+ bx + a = 0 (2).
1. Biết phơng trình (1) có nghiệm dơng m,
2. Chứng minh rằng phơng trình (2) có nghiệm n sao cho m + n 2.
Bài 65. Cho các phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (1) và cx
2
+ bx + a = 0 (2).
Tìm liên hệ giữa các số a, b, c biết rằng các nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình (1), các nghiệm
x
3
, x
4
của phơng trình (2) thỏa mãn đẳng thức:
2 2 2 2
1 2 3 4

4x x x x+ + + =
.
Bài 66. Phơng trình x
2
+ bx + c = 0 có nghiệm x
1
, x
2
. Phơng trình x
2
b
2
x + bc = 0 có nghiệm
x
3
, x
4
.
Biết x
3
x
1
= x
4
x
2
= 1. Xác định b và c.
Bài 67. Tìm các số a, b sao cho các phơng trình: x
2
+ ax + 6 = 0 và x

2
+ bx + 12 = 0 có ít nhất
một nghiệm chung và
a b+
nhỏ nhất.
Bài 68. Tìm m để phơng trình x
2
+ mx + 2m 4 = 0 có ít nhất một nghiệm không âm.
Bài 69. Tìm m để phơng trình
2 2
2 2 4 3 0x m x x m+ + + =
có nghiệm.
Bài 70. Tìm m để phơng trình 3x
2
4x + 2(m 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2.
Bài 71. Tìm m để phơng trình (m 1)x
2
(m 5)x + (m 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt
lớn hơn -1.
Bài 72. Với giá trị nào của m thì hai nghiệm của phơng trình x
2
+ x + m = 0 đều lớn hơn m?
Bài 73. Tìm giá trị của m để phơng trình sau có ba nghiệm phân biệt:
x
3
(m + 1)x
2
+ (m
2
+ m 3)x m

2
+ 3 = 0.
Bài 74. Tìm giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm: (m 3)x
4
2mx
2
+ 6m = 0.
Bài 75. Tìm giá trị của m để phơng trình: mx
4
10mx
2
+ m + 8 = 0
1. Có bốn nghiệm phân biệt.
2. Có bốn nghiệm x
1
, x
2
, x
3
, x
4
(x
1
< x
2
< x
3
< x
4
) thỏa mãn điều kiện:x

4
x
3
= x
3
x
2
= x
2
x
1
.
Bài 76. Cho phơng trình ẩn x: x
2
2(m 1)x 3 m = 0.
1. Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm số với mọi m.
2. Tìm m sao cho nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình thỏa mãn điều kiện:
2 2
1 2
10x x+
.
Bài 77. Cho phơng trình: x
2
2mx + 2m 1 = 0.
1. Chứng tỏ phơng trình có nghiệm x
1

, x
2
với mọi m.
2. Đặt
2 2
1 2 1 2
2( ) 5A x x x x= +
Chứng minh A = 8m
2
18m + 9.
Tìm m sao cho A = 27.
3. Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia.
Bài 78. Cho phơng trình: (m 1)x
2
+ 2(m 1)x m = 0.
a. Định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b. Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
Bài 79. Cho phơng trình: x
2
(2m 3)x + m
2
3m = 0.
a. Chứng minh rằng, phơng trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi.
b. Định m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn: 1 < x
1
< x

2
< 6.
Bài 80. Cho hai phơng trình: x
2
+ x + a = 0 (1)
x
2
+ ax + 1 = 0 (2)
Tìm các giá trị của a để hai phơng trình:
a. Tơng đơng với nhau.
Lê Thanh Tịnh
22
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

b. Có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 81
a. Chứng minh hằng đẳng thức: (m
2
+ m 1)
2
+ 4m
2
+ 4m = (m
2
+ m + 1)
2
b. Cho phơng trình: mx
2
(m
2

+ m + 1)x + m + 1 = 0. Tìm điều kiện của m để phơng trình
có hai nghiệm phân biệt khác -1.
Bài 82. Gọi a, b là hai nghiệm của phơng trình: x
2
+ px + 1 = 0
Gọi c, d là hai nghiệm của phơng trình: y
2
+ qy + 1 = 0
Chứng minh hệ thức: (a c)(a d)(b c)(b d) = (p q)
2
.
Bài 83. Gọi a, b là hai nghiệm của phơng trình: x
2
+ px + 1 = 0
Gọi c, d là hai nghiệm của phơng trình: y
2
+ qy + 1 = 0
Chứng minh hệ thức: (a c) (b c) (a + d) (b + d) = q
2
p
2
.
Bài 84. Cho phơng trình: (m + 2)x
2
(2m 1)x 3 + m = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m.
2. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2

và khi đó
hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia.
Bài 85. Cho phơng trình: x
2
4x + m + 1 = 0.
1. Định m để phơng trình có nghiệm.
2. Tìm m sao cho phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2
10x x+ =
.
Bài 85. Cho phơng trình x
2
2mx + m + 2 = 0.
1. Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm không âm.
2. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức:
1 2
E x x= +
theo m.
Bài 87. Cho phơng trình: 3x
2
mx + 2 = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa
mãn: 3x
1
x
2

= 2x
2
2.
Bài 88. Cho phơng trình: x
2
2(m 1)x m = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
2. Với m 0, lập phơng trình ẩn y thỏa mãn:
1 1
2
1
y x
x
= +
,
2 2
1
1
y x
x
= +
.
Bài 89. Cho phơng trình: 3x
2
5x + m = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa
mãn:

2 2
1 2
5
9
x x =
.
Bài 90. Cho phơng trình: x
2
2(m + 4)x + m
2
8 = 0. Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm
x
1
, x
2
thỏa mãn:
A = x
1
+ x
2
3x
1
x
2
đạt giá trị lớn nhất.
2 2
1 2 1 2
B x x x x= +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm hệ thức giữa x

1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 91. Cho phơng trình: x
2
4x (m
2
+ 3m) = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
2. Xác định m để:
2 2
1 2 1 2
4( )x x x x+ = +
.
3. Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y
1
và y
2
thỏa mãn: y
1
+ y
2
= x
1
+ x

2
,
1 2
2 1
3
1 1
y y
y y
+ =

.
Bài 92. Cho phơng trình: x
2
+ ax + 1 = 0. Xác định a để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa
mãn:
2 2
1 2
2 1
7.
x x
x x

+ >
ữ ữ

Bài 93. Cho phơng trình: 2x

2
+ 2(m + 2)x + m
2
+ 4m + 3 = 0.
1. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
.
2. Chứng minh rằng các nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn bất đẳng thức:
2
1 2 1 2
2
3 1
2
x x x x

+ + +
ữ
ữ

.
Bài 94. Cho phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a 0). Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để ph-
ơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2b

2
.
Lê Thanh Tịnh
23
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

Bài 95. Cho phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a 0). Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để ph-
ơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là: kb
2
= (k + 1)
2
ac.
Bài 96. Cho hai phơng trình: x
2
+ mx + 2 = 0 (1) x
2
+ 2x + m = 0 (2)
a. Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
b. Định m để hai phơng trình tơng đơng.
c. Xác định m để phơng trình: (x
2
+ mx +2)(x
2
+ 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 97. Với giá trị nào của tham số a và b, các phơng trình:
(2a + 1)x
2
(3a 1)x + 2 = 0 và (b + 2)x

2
(2b + 1)x 1 = 0 có hai nghiệm chung.
Bài 98. Với giá trị nào của tham số k, hai phơng trình sau có nghiệm chung:
2x
2
+ (3k + 1)x 9 = 0 và 6x
2
+ (7k 1)x 19 = 0.
Bài 99. Với giá trị nào của số nguyên p, các phơng trình sau đây có nghiệm chung: 3x
2
4x + p
2 = 0; x
2
2px + 5 = 0.
Bài 100. Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 với a, b, c là các số hữu tỉ, a 0. Cho biết ph-
ơng trình có một nghiệm
1 2+
. Hãy tìm nghiệm còn lại.
Bài 101. Tìm tất cả các số nguyên k để phơng trình: kx
2
(1 2k)x + k 2 = 0 luôn luôn có
nghiệm số hữu tỷ.
Bài 102. Cho phơng trình: 3x
2
+ 4(a 1)x + a
2
4a + 1 = 0 xác định a để phơng trình có hai
nghiệm phân biệt x

1
, x
2
thỏa mãn hệ thức:
1 2
1 2
1 1
2
x x
x x
+
= +
.
Bài 103. Cho biết phơng trình: x
2
+ px + 1 = 0 có 2 nghiệm là a và b, phơng trình: x
2
+ qx + 2
= 0 có hai nghiệm b và c. Chứng minh hệ thức: (b a)(b c) = pq 6.
Bài 104. Cho các phơng trình: x
2
5x + k = 0 (1) x
2
7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp hai một trong các nghiệm của
phơng trình (1).
Bài 105. Cho hai phơng trình: 2x
2
+ mx 1 = 0 (1) mx
2

x + 2 = 0 (2)
Với giá trị nào của m, phơng trình (1) và phơng trình (2) có nghiệm chung.
Bài 106. Giả sử x
1
và x
2
là hai nghiệm của phơng trình: 3x
2
cx + 2c 1 = 0. Tính theo c giá
trị của biểu thức:
3 3
1 2
1 1
S
x x
= +
.
Bài 107. Xác định a để 2 phơng trình: x
2
+ ax + 8 = 0 và x
2
+ x + a = 0 có nghiệm chung.
Bài 108. Cho phơng trình: 2x
2
+ 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phơng trình có hai
nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn:

1 2
2 1
2
x x
x x
+ =
.
Bài 109. Cho biết x
1
, x
2
là hai nghiệm phân biệt khác 0 của phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c
= 0 (
0; , ,a a b c R
). Hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là:
2 2
1 2
1 1
,
x x
.
Bài 110. Biết rằng x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0. Hãy viết phơng trình

bậc hai nhận
3 3
1 2
,x x
làm hai nghiệm.
Bài 111. Cho f(x) = x
2
2(m + 2)x + 6m + 1.
1. Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
2. Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0 có
hai nghiệm lớn hơn 2.
Bài 112. Cho phơng trình: x
2
(2m + 1)x + m
2
+ m 6.
1. Định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm.
2. Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
3 3
1 2
50x x =
.
Bài 113. Chứng minh rằng phơng trình: (x + 1)(x + 3) + m(x + 2)(x + 4) = 0. Luôn luôn có
nghiệm số thực với mọi giá trị của tham số m.
Bài 114. Cho phơng trình: x
2

6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phơng trình có 2
nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn
3 3
1 2
72x x+ =
.
Bài 115. Giả sử a và b là hai số khác nhau. Chứng minh rằng nếu phơng trình:
x
2
+ ax + 2b = 0 (1) và x
2
+ bx + 2a = 0 (2) có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại
của (1) và (2) là nghiệm của phơng trình: x
2
+ 2x + ab = 0.
Lê Thanh Tịnh
24
Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

Bài 116. Cho phơng trình: x
2
(m 1)x m
2
+ m - 2 = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
2. Với giá trị nào của tham số m, biểu thức:

2 2
1 2
E x x= +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 117. Cho hai phơng trình: x
2
+ a
1
x + b
1
= 0 và x
2
+ a
2
x + b
2
= 0
Cho biết a
1
a
2
2(b
1
+ b
2
). Chứng minh ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm.
Bài 118. Cho ba phơng trình: ax
2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx

2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (3) với a, b, c khác 0. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phơng trình
trên phải có nghiệm.
Bài 119. Cho phơng trình: x
2
2(m 1)x + m
2
3m + 4 = 0.
1. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
1 1
1
x x
+ =
.
2. Lập một hệ thức giữa x
1
và x
2
độc lập với m.
Bài 120. Cho phơng trình: (m + 2)x
2
2(m 1)x + 3 m = 0.

1. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2 1 2
x x x x+ = +
.
2. Lập một hệ thức giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m
3. Lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là:
1 2
1 2
1 2
1 1
,
1 1
x x
X X
x x

= =
+ +
.
Bài 121. Cho phơng trình: x
2

+ (m + 1)x + m = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
2. Với giá trị nào của tham số m, biểu thức:
2 2
1 2
E x x= +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 122. Cho phơng trình: (a 3)x
2
2(a 1)x + a 5 = 0.
1. Giải phơng trình khi a = 13.
2. Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 123. Cho phơng trình: 2x
2
+ (2m 1)x + m 1 = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
2. Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó.
3. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn: -1 < x
1
< x
2
< 1.

4. Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, hãy lập một hệ thức giữa x
1
,
x
2
không có m.
Bài 124. Cho phơng trình: x
2
2(m 1)x + m 3 = 0.
1. Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
2. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau.
Bài 125. Cho phơng trình: x
2
+ ax + b = 0. Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm phân
biệt x
1
, x
2
thỏa mãn: x
1
x
2
= 5 và
3 3
1 2
35x x =

. Tính các nghiệm đó.
Bài 126. Giả sử phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0; (a, b, c khác 0) có hai nghiệm phân biệt trong đó
có đúng một nghiệm dơng x
1
thì phơng trình: ct
2
+ bt + a = 0 cũng có hai nghiệm phân biệt trong
đó t
1
> 0 thỏa mãn: x
1
+ t
1
2.
Bài 127. Cho hai phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (1) cx
2
+ bx + a = 0 (2) (a, b, c khác 0).
Chứng minh rằng nếu (1) có hai nghiệm dơng x
1
, x
2
thì (2) cũng có hai nghiệm x
3
và x
4
. Ngoài ra

các nghiệm đó thỏa mãn: x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
4.
Bài 128. Không giải phơng trình: 3x
2
+ 17x 14 = 0. Hãy tính giá trị của biểu thức:
2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
3 5 3
4 4
x x x x
S
x x x x
+ +
=
+
. Với x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình.
Bài 129.

1. Không giải phơng trình, hãy tính hiệu các lập phơng của các nghiệm lớn và nghiệm nhỏ
của phơng trình:
2
85 5
1 0
4 16
x x + =
.
2. Với giá trị nào của số nguyên a, các nghiệm của phơng trình:
ax
2
+ (2a 1)x + a 2 = 0 là các số hữu tỷ.
Bài 130. Cho phơng trình: 2x
2
(2m + 1)x + m
2
9m + 39 = 0.
1. Giải phơng trình khi m = 9.
Lê Thanh Tịnh
25