Báo cáo phương pháp phần tử hữu hạn

Báo cáo môn học
Phơng pháp phần tử hữu hạn
Câu 1: Trong nhóm phơng pháp số còn những phơng pháp nào nữa ?
- Trong nhóm phơng pháp số còn 2 phơng pháp là: phơng pháp sai phân hữu hạn
và phơng pháp tích phân số.
Câu 2: Hãy nêu sự khác nhau chính giữa PPSFHH và PPPTHH ?
Phng pháp phn t hu hn
(PPPTHH)
Phng pháp sai phân hu hn
(PPSFHH)
1
L ph ng pháp s gii các b i toán
c miêu t bi các ph ng trình vi
phân riêng ph n vi các i u ki n biên
c th.
L m t phng pháp khác gii
phng trình vi phân tng phn.
2
L ph ng pháp xp x li gii ca b i
toán phng trình vi phân.
L ph ng pháp xp x b i toán ph ng
trình vi phân.
3
Có kh nng áp dng cho nhng b i
toán hình hc v nh ng b i toán biên
phc tp vi mi quan h ri rc.
Ch áp dng c trong dng hình ch
nht vi mi quan h n gin.
Câu 3: Hãy cho biết tên và các chức năng cơ bản cũng nh u nhợc điểm của những
phần mềm thơng mại ứng dụng PPPTHH ?
Phần mềm SAP:

- Phần mềm cho phép phân tích các bài toán thờng gặp của kết cấu công trình, tích
hợp các chức năng phân tích kết cấu bằng phơng pháp phần tử hữu hạn và chức
năng thiết kế kết cấu làm một.
- Phần mềm hỗ trợ nhiều tiêu chuẩn thiết kế với khả năng giải các bài toán lớn
không hạn chế số ẩn số và thuật toán ổn định và hiệu suất cao.
- Phần mềm đợc áp dụng cho nhiều loại kết cấu khác nhau nh:
Thanh dầm, dàn.
Tấm vỏ, màng.
Phần tử 2 chiều ứng suất phẳng biến dạng phẳng đối xứng trục.
Phần tử khối.
Phần tử phi tuyến
- Với các dạng liên kết bao gồm:
1
Liên kết cứng
Liên kết đàn hồi
Liên kết cục bộ khử bớt các thành phần phản lực
- Có thể dùng nhiều hệ toạ độ để mô hình hoá từng phần của kết cấu
- Vật liệu có thể là tuyến tính đẳng hớng hoặc trực hớng và phi tuyến.
- Tải trọng bao gồm:
Tải trọng tập trung tại nút
áp lực lên phần tử
ảnh hởng của nhiệt độ
Tải trọng điều hoà, tải trọng di động, tải trọng phổ gia tốc
- Ngoài ra, các phân tích kết cấu bao gồm:
Phân tích tĩnh và động lực học
Phân tích tuyến tính và phi tuyến (bao gồm cả phân tích về động đất)
Phân tích P delta.
Phân tích cầu với tải trọng xe di động.
Phần mềm Geo slope
Geo-slope là phần mềm nổi tiếng về địa kỹ thuật, chức năng của nó bao gồm:

tính ổn định mái dốc, tính thấm theo phơng pháp phần tử hữu hạn, tính ứng suất biến
dạng theo phơng pháp phần tử hữu hạn, tính truyền nhiệt theo phần tử hữu hạn, tính
truyền chất, tính toán động đất.
Câu 4: Hãy cho biết các loại phần tử thanh và ma trận độ cứng phần tử của từng loại?
Có 7 loại phần tử thanh:
1. Phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục
2. Phần tử thanh chịu uốn
3. Phần tử dầm chịu xoắn thuần tuý
4. Phần tử giàn phẳng
5. Phần tử khung phẳng
6. Phần tử giàn không gian
7. Phần tử khung không gian
1. Phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục
Ma trận độ cứng của phần tử này là:
2
2. Phần tử thanh chịu uốn
Ma trận độ cứng của phần tử này là:
3. Phần tử thanh chịu xoắn thuần tuý
Ma trận độ cứng của phần tử này là:
4. Phần tử giàn phẳng
Ma trận độ cứng của phần tử này là:
3
[ ]

=
a
EA
a
EA
a
EA
a
EA
k
[ ]

=
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a

EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
k
zzzz
zzzz
zzzz
zzzz
4626
612612
2646
612612
22
2323
22
2323
[ ]

=
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
GJ
k
xx
xx
[ ]

=
0000
00
0000
00
a
EA
a
EA
a
EA
a
EA
k
5. PhÇn tö khung ph¼ng
Ma trËn ®é cøng cña phÇn tö nµy lµ:
6. PhÇn tö giµn kh«ng gian
Ma trËn ®é cøng cña phÇn tö nµy lµ:
7. PhÇn tö khung kh«ng gian
Ma trËn ®é cøng cña phÇn tö nµy lµ:

4
[ ]































−
−−−
−
−
−
−
=
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EA
a
EA
a

EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EA
a
EA
k
zzzz
zzzz
zzzz
zzzz
46
0
26
0
612
0

612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
22
2323
22
2323
[ ]































−
−
−
−
−
−
=
33
3
33
33
12
00

12
00
0000
12
0
0000
12
00
12
00
0
12
00
12
0
0000
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EA
a
EA
a
EJ
a
EJ

a
EJ
a
EJ
a
EA
a
EA
k
yy
z
yy
zz
Câu 5: Trình bày tọa độ tự nhiên trong phần tử 1 chiều, 2 chiều và 3 chiều ?
1. Toạ độ tự nhiên trong phần tử 1 chiều
x
x2
x1
L2(x) 1
1L1(x)
2P1
x
Vị trí điểm P bất kỳ trong toạ độ tổng quát Ox đợc xác định bằng toạ độ x, x
biến đổi từ x
1
đến x
2
Toạ độ tự nhieen của điểm P gồm 2 toạ độ
L
1

(x) =
12
2
xx
xx


, L
2
(x) =
12
1
xx
xx


L
1
(x), L
2
(x) là hàm của toạ độ tổng quát x của điểm M và của toạ độ nút x
1
, x
2
,
giữa chúng có quan hệ:
L
1
(x) + L
2

(x) = 1
5
[ ]

=
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ

a
EJ
a
EJ
a
GJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EA
a
EA
a
EJ

a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
GJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ
a
EJ

a
EJ
a
EJ
a
EA
a
EA
k
zzzz
yyyy
x
y
yyyy
zzzz
zzzz
yyyy
y
x
yyyy
zzzz
4
000
6
0
2
000
6
0
0

4
0
6
000
2
0
6
00
0000000
6
000
0
6
0
12
000
6
0
12
00
6
000
12
0
6
000
12
0
0000000000
2

000
6
0
4
000
6
0
0
2
0
6
000
4
0
6
00
00
6
00000000
0
6
0
12
000
6
0
12
00
6
000

12
0
6
000
12
0
0000000000
22
22
2
2323
2323
22
22
2
2323
2323
VÞ trÝ cña ®iÓm P x¸c ®Þnh qua hÖ to¹ ®é tù nhiªn:
x = L
1
(x)x
1
+ L
2
(x)x
2
2. Tọa độ tự nhiên của phần tử hai chiều (phần tử tam giác).
ξ
η
r

e1
e2
3
2
1
P(x,y)
j
i
x
y
Ta đưa vào tọa độ tổng quát (x, y) và tọa độ địa phương (ξ, η).
Vị trí điểm P trong phần tử tam giác trong tọa độ xOy được xác định bằng vị trí véc
tơ
OP
:
→
r
= xi + yj = x
3
i + y
3
j + ξe
1
+ ηe
2
Đưa vào tọa độ tự nhiên:
32
2
31
1

l
L,
l
L
ξ
=
ξ
=
Với:
l
31
e
1
= (x
1
– x
3
) i + (y
1
– y
3
) j
l
32
e
2
= (x
2
– x
3

) i + (y
2
– y
3
) j
⇒
→
r
= [L
1
x
1
+ L
2
x
2
+ (1 – L
1
– L
2
)x
3
] i + [L
1
y
1
+ L
2
y
2

+ (1 – L
1
– L
2
)y
3
] j
Khi đó vị trí điểm P được xác định bởi 3 tọa độ tự nhiên L
1
, L
2
, L
3
như sau:
x = L
1
x
1
+ L
2
x
2
+ L
3
x
3
y = L
1
y
1

+ L
2
y
2
+ L
3
y
3
Với:
L
3
= 1 – L
1
– L
2
Tọa độ tự nhiên của phần tử ba chiều (phần tử tam giác).
3(0,0,1,0)
y
1(1,0,0,0)
4(0,0,0,1)
2(0,1,0,0)
P(x,y,z)
x
z
6
Đối với phần tử ba chiều ta sử dụng tọa độ thể tích dưới dạng tứ diện. Quan hệ giữa
tọa độ tổng quát x, y, z và tọa độ thể tích L
i
(i = 1, 2, 3, 4) như sau:
x = L

1
x
1
+ L
2
x
2
+ L
3
x
3
+ L
4
x
4
y = L
1
y
1
+ L
2
y
2
+ L
3
y
3
+ L
4
y

4
z = L
1
z
1
+ L
2
z
2
+ L
3
z
3
+ L
4
z
4
C©u 6: Tr×nh bµy tÝch ph©n sè ?
Khi thiết lập ma trận độ cứng và véc tơ tải của phần tử đẳng tham số ta cần tính tích
phân sau đây:
∫∫∫
− − −
ζηξζηξ
1
1
1
1
1
1
ddd),,(f

Hàm f(ξ,η,ζ) đưới dấu tích phân nói chung rất phức tạp, ngay cả khi viết được dưới
dạng tường minh, cho nên để được kết quả người ta thường dùng phép tích phân số.
Nội dung của phép tích phân này là người ta chọn một số điểm trong phần tử, gọi là
điểm tích phân, rồi tìm giá trị của hàm f tại điểm đó, sau đó căn cứ vào các giá trị số đó để
tìm giá trị số của biểu thức tích phân.
Với phép tích phân Gauss, có thể dùng tương đối ít số điểm tích phân mà vẫn cho độ
chính xác tương đối cao.
Công thức tích phân Gauss đối với hàm một biến.
Giả sử có hàm f(ξ) là một đa thức thì:
∫
∑
−
=
ξ=ξξ
1
1
n
1i
ii
)(fHd)(f
Trong đó:
f(ξ
i
) - Giá trị hàm f tại điểm tích phân ξ
i
H
i
- Trọng số
n - Số lượng điểm tích phân
Với n = 2 ÷ 7 ta có tọa độ điểm tích phân và trọng số của tích phân Gauss như sau:

n
ξ
i
H
i
2 0,5773502692 1,0000000000
3
0,7745966692
0,0000000000
0,5555555556
0,8888888889
4
0,8611363116
0,3399810436
0,3478548451
0,6521451549
5
0,9061798459
0,5384693101
0,0000000000
0,2369268851
0,4786286705
0,5688888889
6
0,9324695142
0,6612093865
0,2386191861
0,1713244924
0,3607615731
0,4679139346

7 0,9491079123 0,1294849662
7
0,7415311856
0,4058451514
0,0000000000
0,2797053915
0,3818300505
0,4179591837
Cụng thc tớch phõn Gauss i vi hm hai bin cú dng nh sau:


= =

=
n
1j
n
1i
jiji
1
1
1
1
),(fHHdd),(f
S im tớch phõn theo mt phng l n, theo hai phng l n
2
.
Cụng thc tớch phõn Gauss i vi hm ba bin cú dng nh sau:
Cụng thc ny c dựng khi tớnh ma trn cng ca phn t ng tham s.

= = =

=
n
1m
n
1j
n
1i
mjijim
1
1
1
1
1
1
),,(fHHHddd),,(f
S im tớch phõn theo c ba phng l n
3
.
Câu 7: Trình bày khái niệm cách xác định các ma trận độ cứng, véc tơ tải trọng trong
phần tử đẳng tham số của phần tử lục diện 8 điểm nút?
Khỏi nim phn t ng tham s:
Phn t ng tham s l phn t cú tớnh cht cỏc hm ni suy ta [N] l ng
nht vi cỏc hm ni suy chuyn v [N], hay hm dng ca phn t v hm ni suy ta l
nh nhau.
i vi phn t lc din 8 im nỳt, hm dng cú dng:
N
i

(,,) =
8
1
(1+
i
)(1+
i
)(1+
i
) =
8
1
(1+
0
)(1+
0
)(1+
0
)
Quan h gia ta t nhiờn v ta tng quỏt vuụng gúc:
x =

=
8
1i
ii
xN
, y =

=

8
1i
ii
yN
, z =

=
8
1i
ii
zN
Quan h gia hm chuyn v v chuyn v nỳt:
u =

=
8
1i
ii
uN
, v =

=
8
1i
ii
vN
, w =

=
8

1i
ii
wN
Cỏch xỏc nh ma trn cng, vộc t ti trng phn t lc din 8 im nỳt:
Bin dng ca phn t:
{} = [B]{} = [B
1
B
2
B
8
]{}
Trong ú:
[B] = [B
1
B
2
B
8
]
{} = [u
1
v
1
w
1
u
8
v
8

w
8
]
T
8





































∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=

x
N
0
z
N
y
N
z
N
0
0
x
N
y
N
z
N
00
0
y
N
0
00
x
N
]B[
ii
ii
ii
i

i
i
i
Ứng suất trong phần tử được xác định theo quan hệ sau:
{σ} = [D][B]{δ} = [S]{δ} = [S
1
S
2
S
8
]{δ}
Trong đó:
[S] = [S
1
S
2
S
8
]
[S
i
] = [D][B
i
] (i = 1, 2, , 8)
Lực nút trên phần tử:
{P}
e
= [U
1
V

1
W
1
U
2
V
2
W
2
U
8
V
8
W
8
]
T
Véc tơ tải trọng phần tử:
{P}
e
= [k]{δ}
Ma trận độ cứng được xác định như sau:
∫∫∫
∫
− − −
ζηξ=
==
1
1
1

1
1
1
T
V
T
dddJ]B][D[]B[
dV]B][D[]B[]k[
Trong đó |J| là định thức của ma trận Jacobien, và lấy giá trị tuyệt đối.
Với [J] được xác định như sau:


















ζ∂
∂

ζ∂
∂
ζ∂
∂
η∂
∂
η∂
∂
η∂
∂
ξ∂
∂
ξ∂
∂
ξ∂
∂
=
∑ ∑∑
∑ ∑∑
∑ ∑∑
= ==
= ==
= ==
8
1i
8
1i
i
i
8

1i
i
i
i
i
8
1i
8
1i
i
i
8
1i
i
i
i
i
8
1i
8
1i
i
i
8
1i
i
i
i
i
z

N
y
N
x
N
z
N
y
N
x
N
z
N
y
N
x
N
]J[
9

=
888
222
111
8
21
8
21
8
21
zyx

zyx
zyx
N

NN
N

NN
N

NN

Vi [B] tớnh theo ta tng th, [J] tớnh theo ta cc b
Ma trn cng ca phn t:












=
888281
282221
181211
k kk

k kk
k kk
]k[
Trong ú cỏc ma trn con:


=
1
1
1

1
1
1
s
T
rrs
dddJ]B][D[]B[]k[
Câu 8: Các phơng trình cơ bản của PPPTHH trong bài toán động ?
Trong bi toỏn ng, ngoi vic xột ti trng lng bn thõn ca kt cu, cỏc ti
trng khỏc, ta cũn phi ý ti lc quỏn tớnh, lc cn phõn b trong ton b th tớch ca kt
cu.
Biu thc vộc t ti trng phn t c xỏc nh nh sau:
==

V
Te
dV}p{]N[}P{
}{
t
dV]N[]N[}{
t
dV]N[]N[dV}p{]N[
V
T
V
2
2
T
V
t

T






=

Ta t:

=
V
t
Te
t
dV}p{]N[}P{
- Vộc t ti trng tnh nỳt ca phn t

=
V
T
dV]N[]N[]m[
- Ma trn khi lng ca phn t

=
V
T
dV]N[]N[]c[
- Ma trn cn ca phn t

}{
t
}{


=

- Vn tc nỳt ca phn t
}{
t
}{
2
2



=

- Gia tc nỳt ca phn t
Biu thc trờn cú th vit thnh:
}]{[}]{[}{}{


cmPP
e
t
e
=
Nu xột ti iu kin cõn bng tt c cỏc nỳt trong kt cu, ta cú c phng trỡnh
cõn bng ng lc hc ca ton b kt cu nh sau:

}P{}]{M[}]{C[}]{K[
t
=++

10
Trong ú:
[K] - Ma trn cng ca ton b kt cu
{} - Vộc t chuyn v nỳt ca ton b kt cu
{P
t
} - Vộc t ti trng tnh nỳt ca ton b kt cu
[C] - Ma trn cn ca kt cu
[M] - Ma trn khi lng ca kt cu
Trong trng hp kt cu chu dao ng cng bc di tỏc dng ca lc kớch thớch
thay i theo thi gian P(t) thỡ ta cú:
)}t(P{}]{M[}]{C[}]{K[ =++

Câu 9: Khái niệm, ý nghĩa và các loại phần tử bậc cao ?
Xột phn t thanh chu bin dng dc trc.
Hm xp x ca chuyn v l mt a thc bc (n-1).
u(x) =
1
+
2
x +
3
x
2
+ +
n

x
n-1
Phn t mt chiu bc cao:
i vi phn t mt chiu bc hai cú 3 nỳt:
Hm chuyn v l a thc bc 2 cú 3 s hng:
u(x) =
1
+
2
x +
3
x
2
= [1 x x
2
] {} = [C] {}
Vi:
{} = [A] {}
Nh vy:
u(x) = [C] [A]
-1
{} = [N] {}
Vi:
[N] = [N
1
N
2
N
3
]

Cỏc hm dng l:






=






=













=
l

x
21
l
x
N,
l
x
1
l
x
4N,
l
x
1
l
x
21N
321
Trong h ta t nhiờn:
21
i
32
i
21
i
1i
LLLLN ++=
(i = 1, 2, 3)
Trong ú cỏc h s
i

j

(j = 1, 2, 3) c xỏc nh t iu kin nỳt:
N
i
(x
j
) =




=
)ji(0
)ji(1
Ta cú:
N
1
= L
1
(2L
1
1), N
2
= 4L
1
L
2
, N
3

= L
2
(2L
1
1)
i vi phn t mt chiu bc ba cú 4 nỳt:
Hm chuyn v l a thc bc 3 cú 4 s hng:
u(x) =
1
+
2
x +
3
x
2
+
4
x
3
= [1 x x
2
x
3
] {} = [C] {}
[N] = [N
1
N
2
N
3

N
4
]
Cỏc hm dng l:
11






−






−=






−







−−=






−






−=






−







−






−=
l2
x3
1
l
x
31
l
x
N,
l
x
1
l
x
31
l2
x9
N
l
x
1
l2

x3
1
l
x
9N,
l
x
1
l2
x
31
l
x
31N
43
21
Trong hệ tọa độ tự nhiên:
2
2
1
i
421
i
32
i
21
i
1i
LLLLLLN α+α+α+α=
(i = 1, 2, 3, 4)

Trong đó các hệ số
i
j
α
(j = 1, 2, 3, 4) được xác định từ điều kiện ở nút:
N
i
(x
j
) =



≠
=
)ji(0
)ji(1
Ta có:
( )
( )
12141213
12122111
L1LL
2
9
N,L
2
3
1LL9N
L31LL

2
9
N,LL
2
9
1LN
−−=






−=
−−=






−=
Phần tử tam giác bậc cao:
• Đối với phần tử tam giác bậc hai có 6 nút:
Hàm xấp xỉ có dạng:
u = α
1
+ α
2
x + α

3
y + α
4
xy + α
5
x
2
+ α
6
y
2
v = α
7
+ α
8
x + α
9
y + α
10
xy + α
11
x
2
+ α
12
y
2
Tương ứng với 12 thông số độc lập, phần tử phải có 12 bậc tự do. Ta có:
{f} =







v
u
= [N
1
N
2
N
3
N
4
N
5
N
6
] {δ}
Trong hệ tọa độ tự nhiên:
13
i
632
i
521
i
43
i
32

i
21
i
1i
LLLLLLLLLN α+α+α+α+α+α=
(i = 1, 2, , 6)
Trong đó các hệ số
i
j
α
(j = 1, 2, , 6) được xác định từ điều kiện ở nút:
N
i
(x
j
) =



≠
=
)ji(0
)ji(1
Ta có:
N
1
= L
1
(2L
1

– 1), N
2
= L
2
(2L
2
– 1), N
3
= L
3
(2L
3
– 1)
N
4
= 4L
1
L
2
, N
5
= 4L
2
L
3
, N
6
= 4L
3
L

1
• Đối với phần tử tam giác bậc ba có 10 nút:
Phần tử có 20 bậc tự do, hàm xấp xỉ có dạng:
u = α
1
+ α
2
x + α
3
y + α
4
xy + α
5
x
2
+ α
6
y
2
+ α
7
x
2
y + α
8
xy
2
+ α
9
x

3
+ α
10
y
3
v = α
11
+ α
12
x + α
13
y + α
14
xy + α
15
x
2
+ α
16
y
2
+ α
17
x
2
y + α
18
xy
2
+ α

19
x
3
+ α
20
y
3
Tương ứng với 20 thông số độc lập, phần tử phải có 20 bậc tự do. Ta có:
{f} =






v
u
= [N
1
N
2
N
10
] {δ}
Trong hệ tọa độ tự nhiên:
)10, ,2,1i(LLLLL
LLLLLLLLLLLLLN
321
i
1013

i
9
32
i
821
i
713
i
632
i
521
i
43
i
32
i
21
i
1i
=α+α+
α+α+α+α+α+α+α+α=
12
Trong đó các hệ số
i
j
α
(j = 1, 2, , 10) được xác định từ điều kiện ở nút:
N
i
(x

j
) =



≠
=
)ji(0
)ji(1
Ta có:
)3,2,1i()2L3)(1L3(L
2
1
N
iiii
=−−=
N
4
=
2
9
L
1
L
2
(3L
1
– 1), N
5
=

2
9
L
1
L
2
(3L
2
– 1), N
6
=
2
9
L
2
L
3
(3L
2
– 1)
N
7
=
2
9
L
2
L
3
(3L

3
– 1), N
8
=
2
9
L
3
L
1
(3L
3
– 1)
N
9
=
2
9
L
1
L
3
(3L
1
– 1), N
10
= 27L
1
L
2

L
3
• Đối với phần tử tam giác có 4 nút, gồm 3 nút ở đỉnh và 1 nút ở trung tâm:
Phần tử có 20 bậc tự do, hàm xấp xỉ có dạng:
u = N
1
u
1
+ N
2
u
1,x
+ N
3
u
1,y
+ N
4
u
2
+ N
5
u
2,x
+ N
6
u
2,y
+ N
7

u
3
+ N
8
u
3,x
+ N
9
u
4,y
+ N
10
u
4
Trong đó:
N
1
=
2
1
L
(L
1
+ 3L
2
+ 3L
3
) – 7L
1
L

2
L
3
N
2
=
2
1
L
(c
3
- c
2
L
3
) + (c
2
– c
3
) L
1
L
2
L
3
N
3
=
2
1

L
(b
2
L
3
– b
3
L
2
) + (b
3
– b
2
) L
1
L
2
L
3
N
4
=
2
2
L
(L
2
+ 3L
3
+ 3L

1
) – 7L
1
L
2
L
3
N
5
=
2
2
L
(c
1
L
3
– c
3
L
1
) + (c
3
– c
1
) L
1
L
2
L

3
N
6
=
2
2
L
(b
3
L
1
– b
1
L
3
) + (b
1
– b
3
) L
1
L
2
L
3
N
7
=
2
3

L
(L
3
+ 3L
1
+ 3L
2
) – 7L
1
L
2
L
3
N
8
=
2
3
L
(c
2
L
1
– c
1
L
2
) + (c
1
– c

2
) L
1
L
2
L
3
N
9
=
2
3
L
(b
1
L
1
– b
2
L
1
) + (b
2
– b
1
) L
1
L
2
L

3
N
10
= 27L
1
L
2
L
3
Phần tử tứ giác bậc cao:
• Đối với phần tử tứ giác bậc hai 8 nút:
Chọn hàm xấp xỉ:
u(ξ,η) = α
1
+ α
2
ξ + α
3
η + α
4
ξ
2
+ α
5
ξη + α
6
η
2
+ α
7

ξ
2
η + α
8
ξη
2
Ma trận các hàm dạng:
[N] = [N
1
N
2
N
8
]
Với:
N
i
=
4
1
(1 + ξξ
i
) (1 + ηη
i
) (ξξ
i
+ ηη
i
-1) (i = 1, 2, 3, 4)
N

5
=
2
1
(1 - ξ
2
) (1 + ηη
5
), N
6
=
2
1
(1 + ξξ
6
) (1 - η
2
)
N
7
=
2
1
(1 - ξ
2
) (1 + ηη
7
), N
8
=

2
1
(1 + ξξ
8
) (1 - η
2
)
• Đối với phần tử tứ giác bậc ba 12 nút:
Chọn hàm xấp xỉ:
u(ξ,η) = α
1
+ α
2
ξ + α
3
η + α
4
ξ
2
+ α
5
ξη + α
6
η
2
+ α
7
ξ
3
+ α

8
ξ
2
η + α
9
ξη
2
+
13
+ α
10
ξ
3
+ α
11
ξ
3
η + α
12
ξη
3
Ma trận các hàm dạng:
[N] = [N
1
N
2
N
8
]
Với:

N
i
=
32
1
(1 + ξξ
i
) (1 + ηη
i
) (9ξ
2
+ 9η
2
– 10) (i = 1, 2, 3, 4)
N
i
=
32
9
(1 + ξξ
i
) (1 - η
2
) (1 + 9ηη
i
) (i = 1, 2, 3, 4)
N
i
=
32

9
(1 + ηη
i
) (1 - ξ
2
) (1 + 9ξξ
i
) (i = 1, 2, 3, 4)
14