đề tài sử dụng tính chất về số phần tử của tập hợp để giải toán tổ hợp

Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 1

TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG
TỔ HÀNH CHÁNH






ĐỀ TÀI:












Người thực hiện : NGUYỄN VŨ THANH

Năm học 2007-2008

Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 2
I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Từ khi tham dự các hội nghị Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi THPT
do trường Đại học Khoa học tự nhiên Hà nội tổ chức hàng năm từ 2002 đến nay,được
học tập các chuyên đề do các giảng viên , các chuyên gia Toán của Bộ trình bày và
được sự động viên của thầy Trương Thành Phú chuyên viên môn Toán của Sở Giáo
dục và đào tạo Tiền Giang chúng tôi có một tâm huyết là sẽ cố gắng thực hiện hoàn
chỉnh , cụ thể hoá các chuyên đề phù hợp với trình độ học sinh tỉnh nhà để đóng góp
vào thành tích chung của Tỉnh trong các kỳ thi HSG cấp khu vực và cấp quốc gia.
Trong những năm gần đây bộ môn Toán của tỉnh Tiền Giang đã có
những tiến bộ rõ rệt và có nhiều thành tích trong các kỳ thi HSG khu vực. Nhưng gần
đây Bộ đã thay đổi mạnh về quy chế thi HSG cấp Quốc gia đó là không còn phân chia
hai bảng A,B như trước mà chỉ có một bảng thống nhất chung toàn quốc. Đề thi khó
hơn và số lượng giải ít hơn gây khó khăn cho cả Giáo viên và học sinh môn Toán tỉnh
nhà.
Một số chuyên đề khó ở bảng A như: Tổ hợp, lý thuyết đồ thị, các bài
toán tô màu,…đã có trong các đề thi.Trong điều kiện khó khăn đó việc tìm tài liệu và
viết các chuyên đề này là việc cần thiết trong tình hình hiện nay.Được sự ủng hộ của
các thầy cô trong tổ Toán Tin trường THPT Chuyên Tiền Giang chúng tôi thực hiện
viết chuyên đề :”Sử dụng tính chất số phần tử của tập hợp để giải toán Tổ hợp”.
2. Mục tiêu nghiên cứu:
Nhằm hệ thống kiến thức về tính chất số phần tử của tập hợp,trình bày
các kết quả đạt được để áp dụng vào giải các bài toán về Tổ hợp.Giúp cho học sinh có
hệ thống kiến thức về tập hợp và biết vận dụng vào việc giải các bài toán tổ hợp đồng
thời định hướng suy nghĩ tư duy toán học và khả năng vận dụng sáng tạo trong các bài
toán mới.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 3
Trình bày và chứng minh rõ ràng các tính chất số phần tử của tập hợp,vận
dụng các kiến thức để giải các bài toán về tổ hợp.
Hệ thống các bài tập có liên quan đến phần tử của tập hợp trong đó có sử
dụng kiến thức về số học.
Rèn luyện tư duy toán thông qua các bài tập về tổ hợp và số học đồng
thời trao đổi và học tập kinh nghiệm với các thầy cô bộ môn Toán của tỉnh Tiền
Giang.
4. Phương pháp nghiên cứu
-Dựa vào các chuyên đề đã học ở Hà Nội và các tài liệu trong tất cả các
đợt bồi dưỡng để trình bày hệ thống các tính chất về số phần tử của tập hợp có chứng
minh và áp dụng cụ thể.
-Hướng dẫn học sinh Đội tuyển tìm tài liệu có liên quan,cùng chứng
minh các tính chất về số phần tử của tập hợp,tạo tình huống có vấn đề để HS cùng trao
đổi nghiên cứu.
-Hệ thống và sắp xếp các dạng bài tập từ dễ đến khó và có các lời giải cụ
thể.
-Phương pháp phân tích:giúp học sinh nắm rõ bản chất vấn đề , lựa chọn
phương pháp giải phù hợp đồng thời mở rộng và tương tự hoá bài toán.
5. Một số kết quả đạt được
Giúp cho học sinh đội tuyển có thêm phương pháp và tài liệu cần thiết để
giải các bài toán về tổ hợp.
Qua chuyên đề này giúp học sinh khắc sâu thêm kiến thức về số học.
Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để viết các chuyên đề nâng cao
khác.
II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1.Ý tưởng về việc sử dụng số phần tử của tập hợp để giải toán tổ hợp:Xuất
phát từ một số đề thi HSG về tổ hợp có áp dụng số phần tử của tập hợp nảy sinh việc
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 4
hệ thống và trình bày một phương pháp giải các bài toán tổ hợp dựa vào số phần tử
của tập hợp.
2. Đề tài được chia làm 2 chương:
-Chương I giới thiệu về số phần tử của tập hợp và áp dụng.Trong chương
này nhiệm vụ chính là trình bày các khái niệm cơ bản và các tính chất về số phần tử
của tập hợp đặc biệt là số phần tử của hợp n tâp hợp.Tính chất này được áp dụng để
giải rất nhiều các bài toán khó về tổ hợp .Ngoài các bài tập áp dụng ra chúng tôi còn
nêu chứng minh các tính chất của tổ hợp bằng tập hợp để học sinh thấy rõ mối quan
hệ giữa tập hợp và tổ hợp.
-Chương II chúng tôi đưa việc áp dụng số phần tử của tập hợp vào giải
tích tổ hợp và một số bài tập áp dụng.
Dù cố gắng nhiều nhưng đề tài không tránh khỏi sai sót , rất mong nhận được
sự đóng góp từ các đồng nghiệp môn Toán của tỉnh nhà.
Sau đây và trình bày phần nội dung của đề tài.












Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 5

Chương I. Số phần tử của tập hợp và áp dụng.
I.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa I.1.1: Tập hợp A và B được gọi là tương đương với nhau kí hiệu là
A~B nếu tồn tại một song ánh f từ A đến B.
Định nghĩa I.1.2: Nếu hai tập hợp A và B tương đương nhau ta nói A và B có
cùng lực lượng.Lực lượng của A kí hiệu là
A
Định nghĩa I.1.3: Tập hợp A gọi là tập hữu hạn nếu hoặc tồn tại số
nguyên dương n sao cho
A =∅
n
A Z {1,2, ,n}
=
:

• Trong trường hợp A là tập hữu hạn thì khái niệm lực lượng của tập A được
thay thế bởi khái niệm số lượng phần tử của tập A
• Nếu
A =∅ thì A = 0
• Nếu thì
n
A Z {1,2, ,n}=: A = n
I.2.Tính chất:
Tính chất I.2.1 : Nếu A,B là hai tập hữu hạn và
AB
∩
=∅ thì
ABAB∪= + (1)
Chứng minh:
Nếu hoặc thì (1) đúng

A =∅ B =∅
Xét
A = m, B = n (m , n nguyên dương). Khi đó tồn tại hai song ánh :
f : A và g : B .Xét ánh xạ h: sao
cho: Vì
{1, 2, . , m}→
f(t)
h(t)
mg
⎧
=
⎨
⎩
{1,2, ,n}→
A
B
AB∪ {1, 2, . , m n}→+
khi t
(t)khit
∈
+∈
AB
∩
=∅ nên h là một song ánh, từ đó
tức
AB{1,2, ,m:∪ n}+ ABmnAB∪=+= +
Tính chất I.2.2
: Nếu A
1
,A

2
,…,A
n
(n nguyên dương và
n
)là n tập hợp hữu
hạn rời nhau thì
2≥
n
n
ii
1
1
AA=
∑
U
(2)
Chứng minh:
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 6
Với n = 2 thì (2) đúng theo tính chất I.2.1. Giả sử (2) đúng với n = k ta chứng minh (2)
đúng với n = k+1.Thật vậy ta có:
k+1 k k
k1
iik1ik1
1
11 1
A(A)A AA A
+

++
=∪=+=
i
∑
UU U

(do và giả thiết qui nạp )
kk
ik1 ik1
11
(A)A (A A)
++
∩= ∩ =
UU
∅
Hệ quả I.2.3 (Quy tắc trừ )
Nếu và A hữu hạn thì
BA⊂ A\B A B
=
−
Chứng minh :
Vì nên
A(
và
BA⊂ A\B) B=∪(A \ B) B
∩
=∅
do đó AA\BB=+ suy ra
A\ B−B A=
Tính chất I.2.4: Với A,B hữu hạn ta có ABABAB∪= + −∩

Chứng minh :
Ta có và
ABA(B\(AB)∪=∪ ∩ ) A(B\(AB))
∩
∩=∅
nên theo tính chất I.2.1
ta có
ABAB\(AB)∪= + ∩ mà
ABB
∩
⊂
nên theo hệ quả I.2.3
B\(A B) B A B∩=−∩ do đó ABABAB∪= + −∩.
Tính chất I.2.5: A,B,C là ba tập hữu hạn ta có :
ABCABCABBCCAABC∪∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩∩
Chứng minh :Ta có :
A B C A (B C) A B C A (B C)
ABCBC(AB)(AC)
∪∪=∪∪ = +∪−∩∪
++−∩− ∩∪∩=
=

ABCABBCCAABC++−∩−∩−∩+∩∩(đpcm)
Tính chất I.2.6: Nếu A
1
,A
2
,…,A
n
(n nguyên dương và )là n tập hợp hữu

hạn thì :
n2≥
j
12 k
nk
nn
k1 n1
iiiij
k1 1i i i n i 1ijn
1j1
A ( 1) A A A A ( 1) A
− −
=≤〈〈〈≤ ≤〈≤
=
=− = − ∩++−
∑∑ ∑∑
UI
n
i
1
I

Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 7
Chứng minh:
Sử dụng tính chất I.2.4 và phương pháp qui nạp .Ta có :
n1 n n n
n
i i n1 i n1 i n1 i i j

11ijn
11 1 1
nn n
n1
n1 n1
in1 in1 i ij i
11ijn
11 1
n1
n n1
n1
in1 ijn1 i i i
11ijn 1
1
A ( A) A A A ( A) A A A A
(1) AA (AA) A AA (1) A
( A A A A A ( 1) A ) A A
+
++ +
≤〈≤
+
− −
++
≤〈≤
+
+
−
++
≤〈≤
=∪=+−∩=− ∩+

−+−∩=−∩++−
−∩− ∩∩++− =−
∑∑
∑∑
∑∑ ∑
UU U U
IU I
I
+
l
1ijn1
n1
n
ijk i
1ijkn1
1
A
AAA (1) A
≤〈≤ +
+
≤〈〈 ≤ +
∩
+
∩∩ ++−
∑
∑
I
Tính chất I.2.7: Số tập con của một tập hợp có n phần tử bằng 2
n

Chứng minh:
Cách 1(dùng tập hợp)
Với n = 0 thì A= khi đó A có một tập con duy nhất .
∅
Với n > 0 giả sử . Gọi T
a
là tập hợp tất cả tập con của A và không chứa Aa ∈
a : T
a
=
{}
XaAX ∉⊂ /
Gọi L
a
là tập hợp tất cả tập con của A và chứa a : L
a
=
{
}
XaAX ∈⊂ /
∅=
.Gọi P(A) là tập
hợp tất cả các tập con của A ta có P(A)=T
a
L
a
, ∪
∩
aa
LT và

aa
LT = Do đó
aaa
LLTAP 2)( =+=
Gọi số tập con của tập có n phần tử là a
n
thì a
n
= 2a
n-1
từ đó

suy ra
a
n
= 2a
n-1
= 2
2
a
n-2
=…= 2
n-1
a
1
= 2
n
(do a
1
=2) Vậy

n
AP 2)( =
Cách 2(dùng ánh xạ) Giả sử
nA = và Y={0,1}.Mỗi
A
B
⊂ xác định ánh xạ
sao cho :
YAf →:
⎩
⎨
⎧
∉
∈
=
Bxkhi
Bxkhi
xf
0
1
)( Mỗi A
B
⊂ có một ánh xạ từ A vào Y và ngược lại , sự tương ứng
ấy là một song ánh .Do đó số tập con của A bằng số ánh xạ từ A đến Y , số ánh xạ này
bằng 2
n
( do mỗi phần tử của A có 2 cách chọn ảnh mà A có n phần tử nên có 2
n

ánh xạ từ A vào Y )

Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 8
Cách 3 ( dùng qui nạp )
Với n =1 mệnh đề đúng
Giả sử mệnh đề đúng với n Ta CM mệnh đề đúng với n+1.Giả sử A có n+1 phần tử ,
lấy .Khi đó A\{a} có n phần tử , theo giả thiết qui nạp A\{a} có 2
n
tập con .Mỗi
tập con X của A\{a} sẽ tương ứng với tập con của A. Do đó số tập con của A
là 2
n
+2
n
=2
n+1
(đpcm)
Aa ∈
}{aX ∪
Tính chất I.2.8: Số tập con k phần tử của tập hợp n phần tử là
)!(!
!
knk
n
a
k
−
=

(a

k
chính là số tổ hợp chập k của n phần tử , tức )
k
nk
Ca =
Chứng minh:
Giả sử a
k-1
là số tập con k-1 phần tử của tập A có n phần tử.Mỗi tập con k-1 phần tử
của A có thể bổ sung để thành tập con k phần tử bằng cách thêm 1 trong
n-(k-1)=n-k+1 phần tử khác .Khi đó ta thu được (n-k+1)a
k-1
tập con k phần tử của A.
Nhưng không phải các tập con này đều khác nhau,vì ta có thể dựng mỗi tập con k
phần tử theo k cách , cụ thể là lấy mỗi một trong k phần tử của nó ghép thêm vào k-1
phần tử còn lại.Vậy (n-k+1).a
k-1
= k.a
k
từ đó suy ra :
121
.
2) 1(
)1) (2)(1(

1
2
.
11
a

kk
nknkn
a
k
kn
k
kn
a
k
kn
a
kkk
−
−
+
−
+
−
==
−
+
−+−
=
+−
=
−−

Mà a
1
= n nên

)!(!
!
knk
n
a
k
−
=

I.3. Chứng minh các tính chất của tổ hợp bằng tập hợp:
Tính chất I.3.1:
kn
n
k
n
CC
−
=
Chứng minh: Giả sử tập A có n phần tử. là số tập con có k phần tử của A .Ứng
với mỗi tập con k phần tử ta có tương ứng một tập con n-k phần tử (phần bù của tập
con k phần tử trên A)
k
n
C
Vậy
kn
n
k
n
CC

−
=
Tính chất I.3.2:
k
n
k
n
k
n
CCC =+
−
−
− 1
1
1
Chứng minh:
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 9
Ta hãy tìm có bao nhiêu tập con có k phần tử của A chứa phần tử a của A và có
bao nhiêu tập con có k phần tử của A không chứa phần tử a
Các tổ hợp chập k của n phần tử có chứa a lập nên từ cách chọn k-1 phần tử trong số
n-1 phần tử còn lại ( trừ a ra ) .Vậy có tập hợp có k phần tử và chứa a
1
1
−
−
k
n
C

Các tổ hợp chập k của n phần tử không chứa a lập nên từ cách chọn k phần tử trong
số n-1 phần tử còn lại. Vậy có tập hợp có k phần tử và không chứa a.
k
n
C
1−
Tổng cộng có tập hợp có k phần tử.Vậy .
k
n
C
k
n
k
n
k
n
CCC =+
−
−
− 1
1
1
Tính chất I.3.3:
nn
nnn
CCC 2
10
=+++
Chứng minh:
Ta có : là số tập con của tập hợp có n phần tử do đó ta có

n
nnn
CCC +++
10
nn
n
C 2 =++
nn
CC
10
+
Tính chất I.3.4: Có 2
n-1
-1 cách chia tập hợp n phần tử thành hai tập con không
rỗng
Chứng minh:
Gọi m là số cách chia tập A có n phần tử thành hai tập con không rỗng.Ứng với mỗi
cách chia ta được 2 tập con không rỗng.Như vậy có tất cả 2m tập con không rỗng của
A. 2m là tổng của số các tập con có 1,2,…,n-1 phần tử của A.Do đó ta có:
=2
n
-2 ( theo tính chất I.3.3).Từ đó suy ra m=2
n-1
-1 (đpcm)
121
2
−
+++=
n

nnn
CCCm
Tính chất I.3.5:
()
(
)
(
)
n
n
n
nnn
CCCC
2
22
1
2
0
=+++
Chứng minh:
Xét tập hợp có 2n phần tử A={a
1
,a
2
,…,a
n
,a
n+1
,…,a
2n

}.A có tập con n phần tử.
Chia tập con đó thành n+1 lớp V
0
,V
1
,…,V
n
như sau : V
i
là lớp các tập có n phần
tử của A bằng cách ghép i phần tử của tập {a
1
,a
2
,…,a
n
} với n-i phần tử của tập
{a
n+1
,…,a
2n
}.Theo quy tắc nhân V
i
có
n
n
C
2
n
n

C
2
(
)
2
.
i
n
i
n
i
n
in
n
i
n
CCCCC ==
−
tập con.Vì các lớp V
i
đôi
một không giao nhau nên
()
(
)
(
)
n
n
n

n
CC
2
2
=+
nn
CC
2
1
2
0
++ .
Tính chất I.3.6:
k
mnm
k
n
k
mn
k
mn
CCCCCCC
+
−
=+++
0110

Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 10

Chứng minh:
Xét tập hợp có m+n phần tử A={a
1
,a
2
,…,a
n
,a
n+1
,…,a
n+m
}.A có tập con k phần tử
.Chia tập con đó thành k+1 lớp V
0
,V
1
,…,V
k
như sau : V
i
là lớp các tập có k
phần tử của A bằng cách ghép i phần tử của tập {a
1
,a
2
,…,a
n
} với k-i phần tử của tập
{a
n+1

,…,a
n+m
}.Theo quy tắc nhân V
i
có tập con.Vì các lớp V
i
đôi một không
giao nhau nên .
k
mn
C
+
k
mn
C
+
ik
m
i
n
CC
−
k
mn
C
+m
k
n
k
mn

k
mn
CCCCCC
−
=+++
0110

Nhận xét :Nếu thay k = n = m thì ta có tính chất I.3.5
Tính chất I.3.7:
1
1
1
2
1
1

−
−
−
−
−
−
+++=
k
k
k
n
k
n
k

n
CCCC
Chứng minh:
Xét tập hợp có n phần tử A={a
1
,a
2
,…,a
n
}.A có tập con k phần tử .Chia tập
con đó thành n-k+1 lớp V
1
,V
2
,…,V
n-k+1
bằng cách đưa vào lớp V
i
tất cả các tập con k
phần tử của A trong đó có phần tử a
i
với chỉ số i nhỏ nhất. Vì mỗi tập con của lớp V
i

đều có thể tạo thành bằng cách ghép thêm a
i
vào một tập con k-1 phần tử của tập có
k
n
C

k
n
C
n-i phần tử là {a
i+1
,…,a
n
} nên lớp V
i
có tập con.Vì các lớp V
i
đôi một không giao
nhau nên
1−
−
k
in
C
1
1
1
2
1
1

−
−
−
−
−

−
+++=
k
k
k
n
k
n
k
n
CCCC
Nhận xét:Trong tính chất I.3.7 thay k bởi k+1 và n bởi k+m thì được đẳng thức :
k1 k k k
km k k1 km1
C C C C
+
++
=+ ++
+−

Áp dụng quy tắc đối xứng ta suy ra đẳng thức sau:
m1 0 1 m1
km k k1 km1
C C C C
−−
+
++
=+ ++
−

I.4. Bài tập áp dụng
Bài 1: Một đề thi có 3 câu , một câu đại số,một câu hình học và một câu giải
tích.Trong 1000 thí sinh có 800 người giải được câu đại số,700 người giải được câu
hình học,600người giải được câu giải tích.Có 600 người giải được hai câu đại số và
hình học,500 người giải được hai câu đại số và giải tích,400 người giải được hai câu
hình học và giải tích, 300 người giải được cả ba câu.Hỏi có bao nhiêu thí sinh không
giải được câu nào ?
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 11
Giải : Ta kí hiệu T ,A,B,C lần lượt là tập hợp tất cả các thí sinh, tập hợp các thí
sinh giải được câu đại số ,tập hợp các thí sinh giải được câu hình học ,tập hợp các thí
sinh giải được câu giải tích.Ta có :
ABCABCABBCCAABC∪∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩∩=
800+700+600-600-500-400+300=900. Vì nên
TCBA ⊂∪∪
CBATCBAT ∪∪−=∪∪ )(\ = 1000 – 900 = 100.
Vậy có 100 thí sinh không giải được câu nào.
Bài 2: Khi điều tra kết quả học tập các môn Toán, Lí, Hoá của một lớp có 45
học sinh người ta nhận thấy có 19 học sinh không giỏi môn nào,18 HS giỏi môn
Toán,17 HS giỏi môn Lí,13 HS giỏi Hoá,10 HS giỏi hai môn Toán và Lí,9 HS giỏi hai
môn Hoá và Lí , 10 HS giỏi hai môn Hoá và Toán.Hỏi có bao nhiêu HS giỏi cả ba
môn?
Giải : Kí hiệu T là tập hợp HS của lớp.A,B,C lần lượt là tập hợp các HS giỏi
Toán, Lí , Hoá cùa lớp đó.Vì
))(\(\ CBATTCBA ∪∪
=
∪∪ nên số HS giỏi ít nhất một
môn là :
261945)(\ =−=∪∪−=∪∪ CBATTCBA Từ đó suy ra số HS giỏi cả ba môn là :

71091013171826 =+++−−−=∩+∩+∩+−−−∪∪=∩∩ ACCBBACBACBACBA
Bài 3: Tìm hiểu kết quả học tập ở một lớp học, người ta thấy:
*Hơn 2 /3 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Toán cũng đồng thời đạt điểm giỏi
ở môn Vật lí ;
*Hơn 2 /3 số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Vật lí cũng đồng thời đạt điểm giỏi
ở môn Văn ;
*Hơn 2 /3số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Văn cũng đồng thời đạt điểm giỏi ở
môn Lịch sử ;
*Hơn 2 /3số học sinh đạt điểm giỏi ở môn Lịch sử cũng đồng thời đạt điểm
giỏi ở môn Toán;
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 12
Chứng minh rằng trong lớp học nói trên có ít nhất một học sinh đạt điểm giỏi cả ở
bốn môn Toán, Vật lí, Văn và Lịch sử. ( Đề thi HSG Quốc gia THPT Bảng B – 2005 )
Giải: Kí hiệu T, L,V, S lần lượt là tập hợp các HS giỏi Toán,Vật Lí,Văn,Lịch
sử.Theo đề bài ta có:
,
3
2
,
3
2
,
3
2
,
3
2
STSVSVLVLTLT >∩>∩>∩>∩ (*)

Giả sử không có HS nào đạt điểm Giỏi ở cả bốn môn khi đó ta có :
∅
=
∩
VT hoặc

∅=∩ SL
Nếu thì
∅=∩VT
∅
=
∩
∩
∩
)()( VLLT và
∅
=
∩
∩∩ )()( VSST mà
và
LLT ∩ )( VL ⊂∩∪ )( SVSST ⊂
∩
∪
∩
)()( nên LVLLT ≤∩+∩ và
SVSST ≤∩+∩ Suy ra :
SLVSSTVLLT +≤∩+∩+∩+∩ (1)
Mặt khác từ (*) ta có :
)(
3

2
SVLTVSSTVLLT +++>∩+∩+∩+∩ .Mà:

)(
3
1
))()()()((
3
1
)(
3
2
VSVSVLVLSTSTLTLT
VSVLSTLTSVLT
∩+∪+∩+∪+∩+∪+∩+∪
=+++++++=+++

Nên
SLSLVSVLSTLTVSSTVLLT +++≥∪+∪+∪+∪>∩+∩+∩+∩ )(2 .
Suy ra
SLVSSTVLLT +>∩+∩+∩+∩
(2)
Từ (1) và (2 ) ta suy ra đpcm.
Nếu ta CM tương tự.
∅=∩VT
Bài 4: Nhân kì thi Olympic Đồng bằng Sông Cửu Long ngày 9/1/2003 thí sinh
A đố thí sinh B :
“ Từ ba chữ số 9,1,3 có thể lập được bao nhiêu số có 9 chữ số thoả mãn đồng thời
hai điều kiện sau:
1.

Trong mỗi số , mỗi chữ số có mặt đúng 3 lần
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 13
2. Trong mỗi số , không có chữ số nào chiếm 3 vị trí liên tiếp”.Bạn hãy trả lời
giúp B (Thi HSG ĐBSCL 2003)
Giải:
Gọi S là tập hợp tất cả các số có 9 chữ số lập từ 9,1,3 mà mỗi chữ số có mặt đúng 3
lần.Theo hoán vị lặp ta có
3
)!3(
!9
=S
.Gọi A là tập con của S trong đó ba chữ số 9
chiếm ba vị trí liên tiếp.Gọi B là tập con của S trong đó ba chữ số 1 chiếm ba vị trí
liên tiếp.Gọi C là tập con của S trong đó ba chữ số 3 chiếm ba vị trí liên tiếp.Ta tìm
số phần tử của A
Với x thuộc A x có ba chữ số 9 ở ba vị trí liên tiếp nên ta xem chúng như 1 chữ số
.Theo hoán vị lặp ta có
2
)!3(
!7
=A
. Tương tự ta có
2
)!3(
!7
=== CBA

Mặt khác ta có

!3
!5
=∩=∩=∩ CBCABA
và !3=∩∩ CBA
Số các số thoả yêu cầu là :
CBASCBAS ∪∪−=∪∪ )(\

Mà
ABCABCABBCCAABC∪∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩∩
nên
1314!3
!3
!5
.3
)!3(
!7
.3
)!3(
!9
)(\
23
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

+−−=∪∪ CBAS

Bài 5: Cho n và k là các số nguyên dương , n>3,n/2 <k< n.Cho n điểm trong
mặt phẳng sao cho bất kì 3 điểm nào cũng không cùng ở trên một đường thẳng.Giả sử
mọi điểm đã cho đều nối với ít nhất k điểm khác bởi các đoạn thẳng.Chứng minh rằng
tồn tại ba đoạn tạo thành một tam giác.
Giải: Vì n > 3 và k > n/2 nên . Vậy trong số n điểm của mặt phẳng tồn tại hai
điểm x và y nối với nhau bởi một đoạn thẳng.Gọi A là tập hợp các điểm khác y và nối
với x và B là tập hợp các điểm khác x và nối với y thì
2≥k
1;1 −≥−≥ kBkA
Do đó :
02222 >−≥∩⇒∩−−≥∩−+=∪≥− nkBABAkBABABAn
Vậy tồn tại một điểm z nối với x và y để tạo thành một tam giác
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 14
Bài 6: Một cuộc hội thảo toán học qui tụ 1990 nhà toán học trên thế giới.Cho
biết cứ mỗi nhà toán học đều đã có dịp làm việc chung với 1327 nhà toán học khác
tham dự hội thảo.CMR ta có thể tìm được 4 nhà toán học từng đôi một đã làm việc
chung với nhau
Giải.Mỗi nhà toán học được xem như là một điểm.Hai nhà toán học đã làm việc
chung với nhau xem như 2 điểm được nối với nhau bởi một đoạn thẳng.Gọi x và y là 2
điểm được nối với nhau .Gọi A là tập hợp các điểm khác y nối với x và B là tập hợp
các điểm khác x nối với y .Ta có:
066419881326.2 >
=
−
≥∪−+=∩ BABABA do đó tìm được nhà toán học
z đã làm việc chung với x và y.Gọi C là tập hợp các điểm nối với z nhưng không nối

với x và y .Ta có
1325≥C
Vậy:
0119881325664
1988)(1988
>=−+
≥−+∩≥∩∩⇒∩∩−+∩=∪∩≥
CBACBACBACBACBA
Vậy
∅≠∩∩ CBA
nên tìm được CBAt
∩
∩
∈
tức tìm được 4 nhà toán học x,y,z,t
từng đôi một đã làm việc chung với nhau.
Bài 7: Cho S={1,2,…,280}.n là số tự nhiên sao cho mọi tập con n phần tử của S
đều chứa 5 số tự nhiên nguyên tố cùng nhau từng đôi một.CMR
217≥n
Giải:Gọi A
1
,A
2
,A
3
,A
4
lần lượt là các tập con của S chứa các bội số cùa 2,3,5,7.Ta
có
1,2

4,6,9,48
,13,18,20,28,40,56,93,140
4321432
43142132143
423241314321
=∩∩∩=∩∩
=∩∩=∩∩=∩∩=∩
=∩=∩=∩=∩====
AAAAAAA
AAAAAAAAAAA
AAAAAAAAAAAA
Áp dụng tính chất I.2.6 với n = 4 ta có
2161246981318202846405693140
4321
=−++++−−−−−−+++=∪∪∪ AAAA
Vậy nếu thì tập hợp chứa một tập hợp con có n phần tử
không chứa 5 phần tử nào nguyên tố nhau từng đôi một.Vậy
216≤n
4321
AAAA ∪∪∪
217≥n
Chương II. ÁP DỤNG VÀO GIẢI TÍCH TỔ HỢP.
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 15
II.1.Tập tích
Tính chất II.1.1 : Cho A={a
1
,a
2

,…,a
m
},B={b
1
,b
2
,…,b
n
},tập tích
AxB={(a
i
,b
j
)/
i =1,2,…,m;j =1,2,…,n
}có m.n phần tử
Tông quát :Cho n tập hữu hạn A
1
,A
2
,…,A
n
ta có :
nn
AAAAAA ×××=×××
2121

Hệ quảII.1.2:Nếu A
1
=A

2
=…=A
n
=A thì
n
n
AA =
Mở rộng :a/ Với hai tập hợp hữu hạn A,B và số nguyên dương k cho trước mà
Bk ≤
ta xây dựng tập hợp mới kí hiệu M(A,B,k) như sau:
M(A,B,k) ={(a,b)/a và mỗi phần tử a
BbA ∈∈ , A
∈
được ghép cặp với đúng k phần tử
thuộc tập B}Ta gọi M(A,B,k) là tich suy rộng của hai tập hợp A và B theo thứ tự đó
b/ Với A
1
,A
2
,…,A
n
là n tập hữu hạn bất kì và k
1
,k
2
,…,k
n
là n số nguyên
dương cho trước thoả điều kiện
niAkAk

ii
, ,3,2,
11
=≤=
M(A
1
,…,A
n
;k
1
,…,k
n
)={(a
1
,…,a
n
)/a
1
1
A
∈
,
a
2
thuộc đúng k
2
phần tử của A
2
,…,a
n

thuộc
đúng k
n
phần tử của A
n
}.Ta gọi M(A
1
,…,A
n
;k
1
,…,k
n
) là tích suy rộng của n tập hợp
A
1
,A
2
,…,A
n
Ta có
∏
=
=
n
i
n
)
in
kkkAAM

1
11
, ,;, ,(

II.2. Số phần tử của một số dạng tập hợp:
Cho các số nguyên dương k, n và A={a
1
,…,a
n
}
a/ Tập hợp T
1
={( có thứ tự /), ,,
21 k
iii
aaa Aa
j
i
∈
, không bắt buộc
đôi một khác nhau} .Mỗi phần tử của T
1
được gọi là chỉnh hợp lặp chập k của n phần
tử
k
iii
aaa , ,,
21
Định lí II.2.1 : Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là:
kk

n
nFT ==
1

Chứng minh: Ta có T
1
= do đó
k
AAAA =×××
kk
n
nFT ==
1

b/Giả sử tập hợp T
2
={( có thứ tự / , đôi
một khác nhau} .Mỗi phần tử của T
2
được gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử .
nk ≤ ), ,,
21 k
iii
aaa
Aa
j
i
∈
k
iii

aaa , ,,
21
Định lí II.2.2 : Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là:
)!(
!
2
kn
n
AT
k
n
−
==

Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 16
Chứng minh: Ta có T
2
= , trong đó A
1
=A
2
=…=A
k
=A và n
1
= n ,
n
2

= n-1,…,n
k
= n-k+1 do đó
), ,;, ,(
11 kk
nnAAM
)!(
!
)1) (1(
2
kn
n
knnnT
−
=+−−=

Đặc biệt khi k = n thì mỗi phần tử của T
2
được gọi là một hoán vị của n phần tử
Hệ quảII.2.3 : Số hoán vị của n phần tử là P
n
= n!
c/Cho tập hợp T
3
={( không có thứ tự / ,
đôi một khác nhau}.Mỗi phần tử của T
3
được gọi là tổ hợp chập k của n
phần tử .
nk ≤ ), ,,

21 k
iii
aaa
Aa
j
i
∈
k
iii
aaa , ,,
21
Định lí II.2.4 : Số tổ hợp chập k của n phần tử là:
)!(!
!
3
knk
n
CT
k
n
−
==

Chứng minh:Số phần tử của T
3
chính là số tập con k phần tử của A,theo tính chất I.2.8
thì
)!(!
!
3

knk
n
CT
k
n
−
==

d/Tập hợp T
4
={( không có thứ tự / , không
bắt buộc đôi một khác nhau} .Mỗi phần tử của T
4
được gọi là tổ hợp lặp chập k của n
phần tử .
), ,,
21 k
iii
aaa
Aa
j
i
∈
k
iii
aaa , ,,
21
Định lí II.2.5 : Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử là:
k
kn

CT
14 −+
=
Chứng minh: Với mỗi phần tử ( của T
4
ta cho tương ứng với (i
1
,i
2
,…,i
k
)
trong đó .Xét S={(i
1
,i
2
,…,i
k
) /
), ,,
21 k
iii
aaa
i
k
iii ≤≤≤
21 k
ii
≤
≤

≤

21
}.Ta có ∼S.Xét tương ứng
(i
1
,i
2
,…,i
k
) →(i
1
,i
2
+1,…,i
k
+k-1) là một song ánh .Ta có 1
4
T
≤
i
1
<i
2
<…<i
k
+k-1 1
−
+
≤

kn
và (i
1
,i
2
+1,…,i
k
+k-1) là một tổ hợp chập k của n+k-1 phần tử do đó
k
kn
CT
14 −+
=

e/ Giả sử k=k
1
+k
2
+…+k
n
(k
i
nguyên dương )Tập hợp T
5
={( có
thứ tự / mà trong mỗi bộ ta đều thấy phần tử a
i
xuất hiện đúng k
i
lần với mọi

), ,,
21 k
iii
aaa
Aa
j
i
∈
i = 1,2,…,n.Mỗi phần tử của T
5
được gọi là một hoán vị lặp cấp k , kiểu (k
1,
k
2
,…,k
n
)
của n phần tử .
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 17
Định lí II.2.6: Số hoán vị lặp cấp k , kiểu (k
1,
k
2
,…,k
n
) của n phần tử là:
!! !
!

), ,(
21
15
n
nn
kkk
n
kkCT ==

Chứng minh:Xét một hoán vị lặp cấp k , kiểu (k
1,
k
2
,…,k
n
) của n phần tử .Nếu ta thay
thế tất cả các phần tử giống nhau bằng các phần tử khác nhau thì số hoán vị khác nhau
mà ta có thể lập được từ hoán vị lặp đang xét bằng k
1
! k
n
!.Như vậy ta có :

⇒= !!! !), ,(
211
nkkkkkC
nnn
!! !
!
), ,(

21
15
n
nn
kkk
n
kkCT ==

II.3. Bài tập áp dụng:
Bài 8: Cho k,n nguyên dương .Gọi A={aN }.Tìm /an,ak
∗
∈≤M A
Giải: Ta có A={k,2k,…,m.k} với m thoả
kmnmk )1(
+
<
≤
suy ra mA = với m
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
k
n

Bài 9: Cho n nguyên dương và k số nguyên dương a
1

,…,a
k
đôi một nguyên tố cùng
nhau.Gọi A= { không chia hết cho mọi a
i
} .Tìm anaNa ,/ ≤∈
∗
A
Giải: Đặt
{
}
ii
A a A /a a ,i {1,2, ,k} A {1,2, ,n}
∗∗
=∈ ∈ =M Ta có :
k
ii
i1
AA\(A) A A
∗∗
=
=⊂
U
i∀
j
1m
km
k
m1
ii

m1 1i i k
i1 j1
AA A n (1) A
∗−
=≤<<≤
−=
⇒= − =− −
∑∑
UI

Theo bài 8 ta có :
j
12 m
m
i
j1
ii i
n
A
aa a
=
⎡⎤
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
I
do đó :
⎥
⎦

⎤
⎢
⎣
⎡
−++
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
∑∑
≤<≤=
k
k
kji
ji
k
i
i

aaa
n
aa
n
a
n
nA

)1(
21
11

Chẳng hạn Có bao nhiêu số không vượt quá 100 và không chia hết cho 2 , 3 , 5
Ta có
26
5.3.2
100
5.2
100
5.3
100
3.2
100
5
100
3
100
2
100
100 =

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦

⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=A
Bài 10: Cho n là số nguyên dương.Gọi
{
}
*
AaN/an;(a,n)1
=
∈≤ = Tìm A
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 18
Giải:Giả sử n= k

i
là số nguyên dương và p
i
là tất cả các ước nguyên
tố của n.Khi đó : A= { không chia hết cho mọi p
i
}.Theo bài 9 thì
12
kk k
12 m
p p p
Na /∈
∗
m
ana ,≤
m
m
m
i1 1i jm
i1
iij 12m i
nn n 1
A n ( 1) n (1 ) ( n)
p p p p p p p
=≤<≤
=
=− + + +− = − =ϕ
∑∑
∏
(Hàm Euler)

Bài 11: Cho n là số nguyên dương.Gọi
{
}
*
AaN/an,an=∈ ≤ M tập các ước dương
của n.
Tìm
A
Giải:Giả sử n= k
i
là số nguyên dương và p
i
là tất cả các ước nguyên
tố của n.Mỗi thì a = t
i
là số nguyên và
12
kk k
12 m
p p p
aA∈ pp
m
m
i
12
tt t
12 m
p
ii
0t k≤≤

AB=:{(t
1
,t
2
,…,t
m
) có thứ tự và
i
0t k
≤
≤ }=B
1
xB
2
x… xB
m
với B
i
={0,1,…,k
i
}
Vậy
mm
ii
i1 i1
AB(1k
==
==+
∏∏
)

Bài 12: Cho a, n là các số nguyên dương với n> k
2
–k+1 và n tập hợp A
1
,A
2
,…,A
n

thoả :
i/
i
Ak=
ii/
ij
AA2k1 j∪=− )(i
≠
. Tìm
n
i
i1
A
=
U

Giải:Ta có
jiAAAAAAAA
jijijiji
≠∀=∩⇒∩−+=∪ ,1 .Xét một tập hợp bất kì
chẳng hạn A

1
ta có
1
1
=∩
i
AA
với i=2,3,…,n.Vì nên tồn tại
là phần tử chung của ít nhất m tập của A
2
,…,A
n
với
knkkn ≥−⇒+−> 11
2
1
Aa ∈ 1
1
−>
−
≥ k
k
n
m .Nếu m<n-1
thì tồn tại A
j
: kmAAa
jj
>+≥⇒∉ 1 (do A
j

có chung khác a với m A
i
ở trên )
Vậy m = n-1
n
i
i1
A
=
⇒=
I
1 và
n
i
i1
A
=
U
=n(k-1)+1
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 19
Bài 13: Hỏi từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số có 15 chữ số mà
trong mỗi số mỗi chữ số đều có mặt đúng 3 lần và không có chữ số nào chiếm 3 vị trí
liên tiếp trong số?
Giải: Gọi A
*
là tập hợp gồm tất cả các số thoả yêu cầu.A là tập hợp gồm tất cả các số
15 chữ số lập từ 1,2,3,4,5 mà mỗi chữ số có mặt đúng 3 lần.A
i

là tập những số thuộc A
mà trong mỗi số chữ số I chiếm đúng 3 vị trí liên tiếp ( i=1,2,3,4,5).Ta có :
k
i
5k
i1
(15 2k)!
A
(3!)
−
=
−
=
I

2858830680
)!3(
!5
)!3(
!7
)!3(
!9
)!3(
!11
)!3(
!13
)!3(
!15
0
5

5
1
4
5
2
3
5
3
2
5
4
1
5
5
*
=−+−+−= CCCCCA
Bài 14: Hỏi từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số có mười chữ số
thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
i/ Trong mỗi số,mỗi chữ số có mặt đúng 2 lần
ii/ Trong mỗi số,hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau
( Thi HSG cấp QG 1995)
Giải : Gọi A tập tất cả các số 10 chữ số lập từ 1,2,3,4,5 thoả điều kiện i/,A
i
tập tất cả
các số thuộc A mà trong mỗi số đều có hai chữ số i đứng cạnh nhau.Ta có :
55
5
ii iijij
1 1ij5 1ijk5
i1 i1

5
ijlk i
1i j5
1
SA\ A A A A A A A A A A
AAAA A
≤<≤ ≤<< ≤
==
≤<≤
==−=−+∩−∩∩
∩∩∩ −
∑∑ ∑
∑
UU
I
k
+

Ta có
55
2
!10
)!2(
!10
==A
Xét và bộ (i
1
,i
2
,…,i

k
) bất kì t}5,4,3,2,1{∈k hoả: 5 1
21
≤
<
<
<
≤
k
iii
Gọi T c là tập gồm các cố ó 10-k chữ số lập từ các chữ số 1,2,3,4,5 mà trong mỗi số
mỗi chữ số i
1
,i
2
,…,i
k
đều có mặt đúng 1 lần, còn các chữ số khác mỗi chữ số có mặt
đúng 2 lần.Ta có :
kk
kk
k
i
A
i
A
i
A
−−
−

=
−
=∩∩∩
55
2
)!10(
)!2(
)!10(

21

Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 20
Vậy 39480
2
!5
2
!6
2
!7
2
!8
2
!9
2
!10
0
5
5

1
4
5
2
3
5
3
2
5
4
1
5
5
=−+−+−= CCCCCS
Bài 15: Cho n là số nguyên dương.Tính số các số nguyên dương không lớn hơn
)(n+2) mà không chia hết cho các số n , n+1 , n+2
Giả
n(n+1
i : Gọi S={1,2,…,n(n+1)(n+2)};

{
}
{
}
{
}
A kS/kn;B kS/k(n1);C k=∈ =∈ + =MM S/k(n2)∈ +M
Số cần tìm bằng
CBAS ∪∪−
Mà

ABCABCABBCCAABC∪∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩∩
Và
)2)(1( += nnnS + ; )2)(1(
+
+
=
nnA ; )2(
+
=
nnB ; )1( += nnC
:Ta có
nCBnBA
=
∩+=∩ ,2.Để tính CBACA
∩
∩
∩
, ta xét:
i/ Nếu n lẻ thì (n,n+2)=1
) suy ra

kA∈ C kn(n2∩⇔ +M 1
+
=
∩
nCA
suy ra
kA BC kn(n1)(n2)∈∩∩⇔ + +M 1
=
∩

∩
CBA Khi đó:
nn
nnnnnnnS
+
)2)( nnnnnCBA
−=
−+++++++−+−+−+=∪∪−
3
121)2)(1()2()1(1(
ii/Nếu n chẵn thì (n,n+2)=2

n(n 2)
kA C k
2
+
∈∩⇔
M suy ra )1(2
+
=
∩
nCA
n(n 1)(n 2)++
kA BC k∈∩∩⇔
M suy ra
2
2
=
∩
∩

CBA
Khi đó:
CBAS ∪∪− =n
3

Bài 16: Cho n số (n>4) đôi một khác nhau a
1
,a
2
,…,a
n
.H i có tất cả bao nhiêu
ó, mà tong mỗi hoán vị không có ba số nào trong 4 số a
1
,a
2
,a
3
,a
4

nằm
ỏ
hoán vị của n số đ
ở ba vị trí liên tiếp ? (Thi
HSG QG 1996)
Giải: Gọi H là tập hợp tất cả các hoán vị của a
1
,a
2

,…,a
n .
H
/
là tập hợp tất cả các hoán vị
thoả yêu cầu .
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 21
H
1
={h
H
∈ / trong H có đúng 3 trong 4 số a
1
,a
2
,a
3
,a
4
nằm ở ba vị trí liên tiếp }
H
2
={h
H
∈ / trong H có 4 số a
1
,a
2

,a
3
,a
4
nằm ở bốn vị trí liên tiếp }
Ta có
21
/
212121
,,,)(\ HHHHHHHHHHHH −−=∅=∩⊂∪∪=
/
H
Tìm
1
H ấy i,j,k khác nhau đôi một thuộc {1,2,3,4} a
l
khác với a
i
,a l
j
,a
k
và
.Khi đó có (n-2)! Hoán vị của a
i
,a
l
,a
5
,…,a

n
( xem a
i
a
j
a
k
là một) trong
ai vị trí
liên tiếp .Suy ra c
ị
},,,{
4321
aaaaa
l
∈
đó có 2(n-3)! Hoán vị của n-2 số trên mà trong mỗi hoán vị có a
i
,a
l
nằm ở h
ó (n-2)!-2(n-3)! Hoán vị của a
i
,a
l
,a
5
,…,a
n
mà trong mỗi hoán vị có

a
i
,a
l
không nằm ở hai vị trí liên tiếp .Mỗi hoán vị loại này cho ta 3! hoán vị của
a
1
,a
2
,…,a
n
mà trong mỗi hoán vị có đúng 3 số a
i
,a
j
,a
k
trong 4 số a
1
,a
2
,a
3
,a
4
nằm ở ba v
trí liên tiếp .
[]
[
]

)!3(2)!2(!4)!3(2)!2(!3
3
41
−
−
−
=
−−−= nnCnnH Ta có )!3(!4
2
−= nH
Vậy
[]
)!3)(18)(4()!3()!2(!4!
−
−
+
−
=
−−− nnnnnn
Bài 17: Cho hai số nguyên dương k , n và
−= nH
n
k
≤
<
1.Hỏi có bao nhiêu cách chọn
ố đôi một khác nhau từ n số nguyên dương đầu tiên sao cho trong mỗi bộ k số
được ên liên
ra k s
chọn ra không có hai số nào là hai số nguy tiếp?

Giải : Gọi A={(a
1
,a
2
,…,a
k
) không thứ tự / }, ,2,1{ na
i
∈
,i=1,2,…,n và
jiaa ≠∀∉− },1,0{ }.Với (a
1
,…,a
k
)
ji
∈
A giả sử a
1
<a
2
<…<a
k
.
1 2 k 1 2 k
-k+1) .
A
~B với B={(b
1
,b

2
,… ự
Xét tương ứng (a ,a ,…,a ) →(a ,a -1,…,a
,b
k
) không thứ t khác nhau đôi một và
}1, ,2,1{
+
−
∈ kn
i
b
}
Vậy
k
kn
CBA
1+−
==
Bài 18 : Cho các số nguyên dương k , n, m thoả m > 1 và n
k
≤<1. Hỏi có tất
hiêu chỉnh hợp chập k (a
1
,a
2
,…,a
k
) của n số nguyên dương đầu tiên mà mỗi
chỉn

a hết cho m
Giải: Gọi n ả yêu cấu bài toán
cả
bao n
h hợp đều thoả mãn ít nhất một trong hai điều kiện sau:
i/ Tồn tại i≠ j:i < j và a
j
> a
i

ii/ Tồn tại i thuộc {1,2,…,k} sao cho a
i
-i không chi
B là số chỉ h hợp không tho
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 22
B={(a
1
,a
2
}


-k+km)
,…,a
k
) thứ tự / a
1
< a

2
<… < a
k
và

a
i
– i chia hết cho m,với mọi i
Xét tương ứng (a
1
,a
2
,…,a
k
) ∈B→(a
1
-1+m,a
2
-2+2m,…,a
k
Hay (a
1
,a
2
,…,a
k
) ∈B→(a
1
+m-1,a
2

+2(m-1),…,a
k
+k(m-1))
B
~B
1
={(b
1
,b
2
,…,b
k
) không thứ /
ii
b {1,2, ,n k(m 1) ; b m tự }
∈
+− M }
Do đó :
k
CB =
k
kn
+
−
⎥
⎥
⎥
⎤
⎢
⎢

⎢
⎡
1
m
⎥
⎦
⎢
⎣
19: Cho 167 tập A
1
,A
2
,…,A
167
thoả :
i/
Bài
167
i
i1=
A 2004=
∑

ii/
jiij
AAAAi=∩j≠
Tính
167
i
1

A
U

Giải:
Với mọi :
ij≠
2
ijijiij ij
AAAAAAA AA1(doi=∩=∩⇒∩=

)
Vậy
j
i
AA=
với mọi i,j suy ra
i
A12,i
=
∀ và
ij
AA1,ij
∩
=∀≠

Xét A
1
, với mỗi A
2
,…,A

167
chứa và chỉ chứa một phần tử của A
1
.Ta có 166>12.13
có ít nhất 1 A
i
, giả sử là A
2
,…,A
15
cùng chứa nên theo nguyên tắc Dicrichlet 4 tập
phần tử
1
aA∈ .Ta chứng minh
i
aA,i
∈
∀ .Giả sử
k
k15:a A
∃
〉∉, mỗi A
j
(j=2, ,15)
12
jk jkj12 jj
AA1AA{b}jj bb∩=⇒∩= ≠⇒≠ vì nếu
12 1 2
jj j j
bb AA=⇒ ∩ ≥2 (vô lý).

Vậy b
2
,…,b
15
A
k
từ đó ∈
k
A12〉 (vô lý).Vậy
{
}
ij
AA aij
∩
=∀≠

Khi đó
167
i
1
A
U
=
{
}
{
}
{
}
{

}
ii
(A \ a A \ 1=) a a a 167.11 1838∪ + = +=
∑
U


Trường THPT Chuyên Tiền Giang Người thực hiện: NGUYỄN VŨ THANH

Sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ SỐ PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP 23



MỤC LỤC


I. PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
ứu
ứu
ứu
c
II. N U
tập hợp và áp dụng.
hất của tổ hợp bằng tập hợp:
dụng
Ch
dụng

2. Mục tiêu nghiên c
3. Nhiệm vụ nghiên c
4. Phương pháp nghiên c
5. Một số kết quả đạt đượ
ỘI DUNG NGHIÊN CỨ
Chương I. Số phần tử của
I.1.Các khái niệm cơ bản
I.2. Tính chất
I.3. Chứng minh các tính c
I.4. Bài tập áp
ương II. ÁP DỤNG VÀO GIẢI TÍCH TỔ HỢP.
II.1. Tập tích
II.2. Số phần tử của một số dạng tập hợp
II.3. Bài tập áp