tài liệu một số hệ phương trình cơ bản

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (438.88 KB, 39 trang )

Một số hệ phương trình cơ bản

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TIỀN GIANG
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN TIỀN GIANG
****  ****
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN : THẦY ĐỖ KIM SƠN
NHÓM THỰC HIỆN:
Nguyễn Kiều Thanh Thảo Lê Trung Hiếu
Trần Ngọc Đăng Khoa Nguyễn Trung Kiên
Nguyễn Ngọc Thanh Thảo Nguyễn Hoàng Yến
LỚP 10 TOÁN
NIÊN KHÓA: 2008-2011
1
Một số hệ phương trình cơ bản
2
Trong chương trình Toán ở trung học phổ thông, hệ phương
trình chiếm vị trí không nhỏ. Hệ phương trình với những ứng
dụng của nó trong các phân môn như Hình học, Đại số, Lượng
giác,… đã trở thành một công cụ đắc lực giúp chúng ta giải các
bài toán khó. Bên cạnh đó, những nét riêng, cái hay, sự đa dạng
của Hệ phương trình cũng đã góp phần thúc đẩy nhóm chúng
em thực hiện chuyên đề này. Chúng em đã tổng hợp các dạng
toán hệ, những phương pháp giải cũng như những bài toán hay
và khó mà chúng em sưu tầm được trong quá trình thực hiện
trong quyển chuyên đề này, hy vọng thầy cô và các bạn hài
lòng.
Do tính chất đa dạng và phức tạp của Hệ phương trình, việc biên
soạn của chúng em chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót
ngoài ý muốn. Chúng em rất mong nhận được sự phê bình và
góp ý của thầy cô và các bạn để lần sau thực hiện sẽ có kết quả
hơn.

Cuối cùng, chúc các bạn khi đọc quyển chuyên đề này cảm thấy
hài lòng và tiếp nhận thêm được nhiều kiến thức từ chuyên đề.
Các học sinh lớp 10 Toán khóa 2008-2011
Một số hệ phương trình cơ bản
PHẦN 1.HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN 4
A.HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 4
I.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN 4
B.HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 13
C.HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN 16
I.HỆ GỒM 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 16
II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1 17
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 29
IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 35
D. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 42
E.HÊ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 75

F.HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 92
PHẦN 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 103
PHẦN 3. TRẮC NGHIỆM 122
PHẦN 4. CÓ THỂ EM CHƯA BIẾT ? 133
PHẦN 5. PHỤ LỤC 137
3
Trang
Một số hệ phương trình cơ bản
A.HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. Hệ phương trình cổ điển:
1/ Phương pháp:
Hệ pt bậc nhất 2 ẩn có dạng:
1 1 1
2 2 2

a x b y c
a x b y c
+ =


+ =

* TH 1: a
1
= b
1
= a
2
= b
2
=0, ta có;
1
2
0
0
c
c
=


→


=



* TH2:
2 1 2 2
1 1 2 2
0a b a b+ + + >
.
Tính:
1 1
2 2
a b
D
a b
=
;
1 1
2 2
x
c b
D
c b
=
;
1 1
2 2
y
a c
D
a c
=
+ Nếu

0D ≠
: hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất:
x
y
D
x
D
D
y
D

=




=


+ Nếu D = 0
0
x
D ≠
hay
0
y
D ≠
: hệ phương trình vô nghiệm.
D
x

= D
y
= 0 : hệ phương trình có vô số nghiệm:
x R∀ ∈
, được tính theo x
2/ Ví dụ:
VD1: Giải hệ phương trình:
6 3 2
5
1 1
4 2 4
2
1 1
x y
y x
x y
y x
−

− =

− +


−

− =

− +


Đặt
2 1
,
1 1
x y
u v
y x
−
= =
− +
. Hệ đã cho trở thành
2
3 2 5
1
2 4 2
2
u
u v
u v
v
=

− =


⇔
 
− =
=




Ta được hệ phương trình:
2 1
2
0
2 2 1
1
1
2 1
1
2
1 2
x
x
x y
y
x y
y
y
x
−

=
=


− = −

−

 
⇔ ⇔
  
− = −
=

 
=


+


Vậy
1
0;
2
S
 
 
=
 
 ÷
 
 
4
Đúng: hpt có vô số nghiệm
,x R y R∀ ∈ ∀ ∈
Sai: hpt vô nghiệm
Một số hệ phương trình cơ bản

VD2:Định m để hệ vô nghiệm
( )
( )
( )
2
2 3 1 3
2
m x m y
I
m x y y

+ − =


+ − =


( )
( )
( )
2
2 3 1 3
2 2
m x m y
I
mx m y

+ − =

⇔


+ − =


Ta có
( ) ( )
( ) ( )
2 3 2
2 2 3 1 2 7 3
3 2 6 1 3
x
D m m m m m m m
D m m m
= − − − = − +
= − − − = −
Hệ đã cho vô nghiệm

( )
( )
2
3 2
2
0
0
2 7 3 0
2 7 3 0
3 0
0
1
2 7 3 0 3

2
x
D
I
D
m m m
m m m
m
m
m m m m
=

⇔

≠


− + =

− + =

⇔ ⇔
 
− ≠
≠



⇔ − + = ⇔ = ∨ =
Vậy hệ vô nghiệm khi:

1
3
2
m m= ∨ =
VD3: định m để hệ có vô số nghiệm:
( )
4 1
6 2 3
x my m
m x y m
− + = +



+ + = +


Ta có:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
8 6 6 8
2 1 3 2
4 3 1 6 11 18
x
y
D m m m m

D m m m m m
D m m m m m
= − − + = − − −
= + − + = − − +
= − + − + + = − − −
Hệ có vô số nghiệm
0
0
0
x
y
D
D
D

=

⇔ =


=

2
2
2
6 8
2 4
2 2 1 2
2 9
11 18

m m
m m
m m m m m
m m
m m

− − −
= − ∨ = −



⇔ − − + ⇔ = − ∨ = ⇔ = −
 
 
= − ∨ = −
− − −


Vậy hệ có vô số nghiệm khi m= -2.
VD 4: Tìm các giá trị của b sao cho với mọi thì hệ phương trình sau có nghiệm
( )
2
2
1
x ay b
ax a y b
+ =




+ − =


Ta có:
2
2
1 2
1
0 2 1 0 1
2
D a a
D a a a a
= − −
≠ ⇔ + − ≠ ⇔ ≠ − ∧ ≠
Thì hệ luôn có nghiệm
5
Một số hệ phương trình cơ bản
Khi a = -1, hệ trở thành:
2
2
2
x y b
x y b
− =


− = −

Hệ có nghiệm
2 2

0 0 1b b b b b b⇔ = − ⇔ + = ⇔ = ∨ = −
Khi
1
2
a =
, hệ trở thành
2
2
x y b
x y b
+ =

⇔

+ =

Hệ có nghiệm
( )
2
1
2 2 1 0 0
2
b b b b b b⇔ = ⇔ − = ⇔ = ∨ = −
Vậy hệ có nghiệm với mọi
a ∈¡
khi:
0 1
0
1
0

2
b b
b
b b
= ∨ = −


⇔ =

= ∨ = −


VD5: Giải và biện luận hệ phương trình sau:
( )
( )
1 1
1 1
a x by
b x ay
− + =


− + =


Hệ tương đương:
1 1
1 1
ax a by ax by a
bx b ay bx ay b

− + = + = +
 
⇔
 
− + = + = +
 
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1
x
y
D a b a b a b
D a b a b
D a b
= − = − +
= − + +
= −
Biện luận:
1/
2 2
0 0D a b a b≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ ±
Hệ có nghiệm duy nhất:
( ) ( )
( ) ( )
1
1
x
y

a b a b
D
x
D a b a b
D
y
D a b
− + +
= =
− +
= =
+
2/
0; 0; 0
x y
a b D D D= ⇒ = = =
*
0b ≠
: Hệ có vô số nghiệm.
3/
; 0; 2
y
a b D D b= − = = −
0; 0; 0
y
b D D≠ = ≠

⇒
hệ vô nghiệm
4/

0. 0. 1
0 :
0. 0. 1
x y
a b
x y
+ =

= =

+ =


⇒
hệ vô nghiệm
VD6: Tìm m để hệ phương trình
( 1) 8 4
( 3) 3 1
m x y m
mx m y m
+ + =


+ + = −

có nghiệm duy nhất
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1m
D

m
+
=

8
3m +
2
( 1)( 3) 8 4 3m m m m m= + + − = − +
Hệ đã cho có nghiệm duy nhất
2
0 4 3 0D m m⇔ ≠ ⇔ − + ≠

1m⇔ ≠
và
3m ≠
.
6
Một số hệ phương trình cơ bản
VD7:Giải và biện luận hệ phương trình:
2 (1)
4 6(2)
mx y m
x my m
− =


− = +

Hướng dẫn giải:
Từ (1) suy ra

2y mx m= −
, thay vào (2) ta được:
2 2
4 ( 2 ) 6 (4 ) 2 6x m mx m m m x m m− − = + ⇔ − = − + +
2
( 4) ( 2)(2 3)m x m m⇔ − = − +
(3)
i)
2
4 0 2m m− ≠ ⇔ ≠ ±
: Hệ có nghiệm duy nhất:
2
2 3 2 3
; 2 2
2 2 2
m m m m
x y mx m m
m m m
+ + −
= = − = − =
+ + +
ii) m=2: Hệ trở thành
2 4
2 4
4 2 8
x y
x y
x y
− =


⇔ − =

− =

.
Hệ có vô số nghiệm
( ;2 4);x x x R− ∈
iii) m=-2:(3) trở thành
0 4x =
:Hệ vô nghiệm.
Bài tập củng cố:
Bài 1:Giải hệ phương trình:
( 3) 5)
)
( 2)( 5)
1 1 3
4
)
1 1 2
6 5 15
x y xy
a
x y xy
x y
b
x y
+ − =


− + =



+ =




+ =


c/
5 4 3
7 9 8
x y
x y
− =


− =

d/
3 2 7
5 3 1
x y
x y
+ =−


− =


e/
3 2 1
2 2 3 0
x y
x y

+ = −


+ =


f
3( )
7
5 5
3
x y
x y
x y
y x
+

= −

−


−


=

−

7
Một số hệ phương trình cơ bản
g/
6 5
3
9 10
1
x y
x y

+ =




− =


h/
6 2
3
2 2
3 4
1
2 2
x y x y

x y x y

+ =

− +



+ = −

− +

k/
1 1
1 1
m
x y x y
n
x y x y

+ =

− +



− =

− +


j/
4 1
3
1
2 2
4
1
x y
x y

+ =

−



− =

−

l/
2 4 1
2 4 2 5
x y
x y

+ =−


+ =



Bài 2: Giải và biện luận hệ phương trình:
a)
2
4 2
x my
mx y m
− =


− = −

b)
2
7 4 2
5 3 1
3 6
x y
x y
mx y m

− =

− =


+ = +

c/

0
1
x my
mx y m
− =


− = +

d/
2 3 5
( 1) 0
ax y
a x y
+ =


+ + =

e/
4
2 ( 1)
mx y m
x m y m
+ = −


+ − =

8

Một số hệ phương trình cơ bản
f/
3 1
2 ( 1) 3
mx y m
x m y
+ = −


+ − =

g/
1 0
2 0
mx y
x my
− + =


+ + =

Bài 3:Tìm các giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình sau là số dương:
2
3
x y
mx y
− =


+ =


Bài 4: Cho hệ phương trình:
2
1
mx y m
x my m
+ =


+ = +

a/ tìm m đễ hệ có nghiệm duy nhất. Tìm hệ thức liên hệ x, y độc lập với m.
b/ Định m ngun để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm ngun.
Bài 5: Cho hệ phương trình:
3 0
2 1 0
x my m
mx y m
+ − =


+ − − =

a/ Định m để hệ có nghiệm duy nhất
b/ gọi (x,y) là nhgiệm của hệ,tìm hệ thức liên hệ giữa x,y độc lập với m.
Bài 6: Định m ngun để hệ có nghiệm ngun
1/
2
( 1) ( 1) 1
mx y m

m x m y
+ =


− + − =

; 2/
2 2
2 2
( 1) 1
mx y m
m x y m
− = −


− − = −

Bài 7: Định m để hệ sau có vơ số nghiệm:
1/
2( 2) (5 3) 2( 2)
( 2) 3 2
m x m y m
m x my m
+ − + = −


+ − = −

2/
4 1

( 6) 2 3
x my m
m x y m
− + = +


+ + = +

3/
2 ( 1) 2
3 2
x m y
mx y m
− + =


+ = −

Bài 8: Cho 4 số a,b,p,q thỏa mãn abpq (p-q) khác 0. Hãy giải hệ phương trình.
( )
( )
( ) ( )
2 2 3 3
2 2 3 3 4 4
0
0
ap bq x ap bq y ap pq
ap bq x ap bq y ap bq

+ + + + + =



+ + + + + =


Bài 9: Bằng đònh thức, giải các hệ phương trình sau:
9
Một số hệ phương trình cơ bản
1/
5 4 3
7 9 8
x y
x y
− =


− =

2/
3 2 7
5 3 1
x y
x y
+ = −


− =

3/
3 2 1

2 2 3 0
x y
x y

+ = −


+ =


4/
2 4 1
2 4 2 5
x y
x y

+ = −


+ =


5/
4 1
3
1
2 2
4
1
x y

x y

+ =

−



− =

−

6/
3( )
7
5 5
3
x y
x y
x y
y x
+

= −

−


−


=

−

7/
6 5
3
9 10
1
x y
x y

+ =




− =


8/
6 2
3
2 2
3 4
1
2 2
x y x y
x y x y


+ =

− +



+ = −

− +

9/
1
2 5
x a
y x

− =


− =


10/
1 1
1 1
m
x y x y
n
x y x y


+ =

− +



− =

− +

11/
2
2 1
x y
x y

− =


− = −


Bài 10: Một ca nô chạy trên dòng sông trong 8 giờ, xuôi dòng 135 km và ngược dòng 63
km. Một lần khác, ca nô cũng chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược
dòng 84 km. Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc của ca nô( biết rằng vận tốc thật
của ca nô và vận tốc dòng nước chảy trong cả hai lần là bằng nhau và không đổi)
Bài 11 : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 2p ( mét). Nếu mở rộng miếng đất đó
bằng cách tăng một cạnh thêm 3 mét và cạnh kia thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 246
m
2

. Tính các kích thước của miếng đất đó ( biện luận theo p).
Bài 12 : Giải và biện luận các hệ phương trình:
1/
0
1
x my
mx y m
− =


− = +

2/
2 3 5
( 1) 0
ax y
a x y
+ =


+ + =

3/
2 1
( 1)
ax y
x a y a
+ =



+ − =

4/
( 2) ( 4) 2
( 1) (3 2) 1
a x a y
a x a y
− + − =


+ + − = −

5/
( )
1 (2 3)
( 1) 3 6
a x a y a
a x y

− + − =


+ + =


6/
1
3 2 3
x my
mx my m

+ =


− = +

7/
4
2 ( 1)
mx y m
x m y m
+ = −


+ − =

8/
3( )
2
1
x y
a
x y
x y a
y x
+

=

−



− −

=

−

9/
6 . (2 ) 3
( 1) 2
a x a y
a x ay
+ − =


− − =

10/
1
2 1
x my
mx y m
+ =


+ = +

11/
. . 1
. . 1

a x b y a
b x a y b
+ = +


+ = +

12/
1 0
2 0
mx y
x my
− + =


+ + =

13/
2 2
.
2
a x by a b
bx ay ab

+ = +

+ =

14/
2

2
.a x y a
bx y b

− =


− =


15/
2
2
. .
4
a x b y a b
bx b y b

− = −


− =


16/
3 1
2 ( 1) 3
mx y m
x m y
+ = −



+ − =

17/
5 ( 2)
( 3) ( 3) 2
x a y a
a x a y a
+ − =


+ + + =

Bài 13 : Với giá trò nào của a thì mỗi hệ phương trình sau có nghiệm:
1/
( 1) 1
( 1) 2
a x y a
x a y
+ − = +


+ − =

2/
( 2) 3 3 9
( 4) 2
a x y a
x a y

+ + = +


+ + =

10
Một số hệ phương trình cơ bản
3/
2
( 1) ( 1) 1
ax y a
a x a y
+ =


− + − =

4/
3 1
3 4
x ay
ax y a
− =


− + = −

5/
3
2 3 4

( 1) ( 1) 2
( 1) ( 1) 1
a a x a a y a
a x a y a

− + + = +


− + + = −


Bài 14: Tìm tất cả các cặp số nguyên (a;b) sao cho hệ phương trình sau có nghiệm:

2
6 4
ax by
x by
+ =


+ =

Bài 15 : Đònh m để các hệ phương trình sau vô nghiệm:
1/
2
1
( ) 2
mx my m
m m x my
− = +



− + =

2/
2
2 3( 1) 3
( ) 2 2
m x m y
m x y y

+ − =

+ − =

3/
2
5
(2 ) 4
(2 1) 2
m x m m
mx m y m

+ − = +


+ − = −


Bài 16 : Đònh ( a; b ) để hệ phương trình sau vô nghiệm :

ax by a b
bx ay a b
+ = +


+ = −


Bài 17: Đònh m để hệ phương trình sau có vô số nghiệâm:
1/
2( 2) (5 3) 2( 2)
( 2) 3 2
m x m y m
m x my m
+ − + = −


+ − = −

2/
4 1
( 6) 2 3
x my m
m x y m
− + = +


+ + = +

3/

( 1)
3 (5 ) 2 1
mx m y m
x m y m
+ − =


+ − = −

4/
2 ( 1) 2
3 2
x m y
mx y m
− + =


+ = −

5/
(1 ) ( )
(5 ) 2( ) 1
a x a b y b a
a x a b y b
+ + + = −


+ + + = −

6/

2 2
2
2 4
a x by a b
bx by b

− = −


− = +



7/
2 2 2 2 2
( ) ( )
( ) ( ) 1
a b x a b y a
a b x a b y a

+ + − =

+ + − = +

Bài 18: Đònh m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
1/
8 4 4 0
( 1) ( 2) 4 3 0
mx y m
m x m y m

+ + − =


− + + + − =

2/
2 1
( 1) 1
2 2
( 3) 2( 2)
m m m
x y
m m
x y

+ − = −




− + = −


3/
( 5) (2 3) 3 2
(3 10) (5 6) 2 4
m x m m
m x m y m
+ + + = +



+ + + = +

4/
( 1)( 2) 1
( 3) 2( 2) 2 4
m x m y m
m x y m

+ − − = −


− + − = −


5/
2
2
2
( 3) 1
mx y m
x m y m

− =


+ − = −


6/

2
1
x y m
mx my m
− =



− = −


7/
1
2
x my
mx y m
+ =



+ =


Bài 19: Cho hệ phương trình :
2
1
mx y m
x my m
+ =



+ = +

1/ Đònh m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất .Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc
lập với m.
2/ Đònh m nguyên để hệ nghiệm nguyên có nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên.
Bài 20: Đònh m nguyên để hệ có nghiệm nguyên:
11
Một số hệ phương trình cơ bản
1/
2
( 1) ( 1) 1
mx y m
m x m y
+ =


− + − =

2/
2 2
2 2
( 1) 1
mx y m
m x y m
− = −


− − = −


Bài 21: Đònh m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất nguyên:
1/
2 2
( 1) 2 1
2
m x y m
m x y m m
+ − = −


− = +

2/
6 0
2 1 0
mx y
x my m
+ − =


+ − − =

3/
3
2 1
mx y m
x my m
+ =



+ = +

Bài 22: Cho hệ phương trình:
( 1) 3 1
2 5
m x my m
x y m
− − = −


− = +

Đònh m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) mà x
2
+ y
2
nhỏ nhất
Bài 23: Cho hệ phương trình
2
( 1) 2 1
2
m x my m
mx y m
+ + = −


− = −

Đònh m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x.y lớn nhất.
Bài 24: Cho hệ phương trình :

. 2 2
1
a x y
x ay
− =


+ = −

1/ Chứng minh rằng hệ phương trình có nghiệm với mọi a.
2/ Tìm a để hệ có nghiệm ( x; y) thỏa mãn: x + y > 0
Bài 25: Tìm b để hệ phương trình sau có nghiệm với mọi giá trò của a:
2
3ax y b
x ay b b
+ =


+ = +

Bài 26: Xác đònh a, b, c để hệ phương trình
2
( 1) 10 3
ax by a b
c x cy a b
− = −


+ + = − +


có vô số nghiệm,
đồng thời x = 1, y = 3 là một nghiệm trong các nghiệm đó.
Bài 27: Cho hệ phương trình:
( 1) ( 1)
(3 ) 3 2
m x m y m
m x y
− + + =


− + =

1/ Tìm các giá trò của m để hệ phương trình có nghiệm. Khi đó, hãy tính theo m các
nghiệm của hệ .
2/ Tìm nghiệm gần đúng của hệ, chính xáx đến hàng phần nghìn khi m
Bài 28: Cho hệ phương trình:
3 0
2 1 0
x my m
mx y m
+ − =


+ − − =

1/ Đònh m để hệ có nghiệm duy nhất
2/ Gọi (x;y) là nghiệm của hệ. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với m.
12
Một số hệ phương trình cơ bản
B. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN:

1. Phương pháp:
Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng :
1 1 1 1
2 2 2
2 2 2 2
3 3 3 3
, 0, 1,2,3
i i i
a x b y c z d
a x b y c z d a b c i
a x b y c z d
+ + =


+ + = + + > =


+ + =


Các phương pháp giải hệ phương trình này là: pp Gau – xơ, pp Cramer, pp thế.
2. Ví dụ:
VD1: Giải hệ:
3 2(1)
4 2 3 15(2)
2 4 7(3)
x y z
x y z
x y z
− + = −



+ − = −


− + =

Hướng dẫn giải:
Ta khử ẩn z ở phương trình (2) và (3) bằng cách nhân (1) với 3 rồi cộng vào (2), nhân (1)
với -4 rồi cộng vào (3). Khi đó ta được:
3 2
7 7 21(2')
2 11 15(3')
x y z
x y
x y
− + = −


− = −


− + =

Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (2’) và (3’) ta được x=-2,y=1. Thay các giá rị này vào
(1) ta được z=3. Vậy hệ đã cho có nghiệm (-2;1;3).
VD 2:Biết rằng hệ phương trình
ax by c
bx cy a
cx ay b

+ =


+ =


+ =

có nghiệm
Hãy chứng minh:
3 3 3
3a b c abc+ + =

Hướng dẫn giải:
Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ đã cho. Khi đó:
ax by c
bx cy a
cx ay b
+ =


+ =


+ =

, suy ra
2 3
2 3
2 3

( )
( )
( )
c ax by c
a bx cy a
b cx ay b

+ =

+ =


+ =

Cộng từng vế ta được:
3 3 3 2 2 2 2 2 2
a b c a bx a cy b cx b ay c ax c by
+ + = + + + + +
( ) ( ) ( )
3
ab ax by bc bx cy ca cx ay
abc bca cab abc
= + + + + +
= + + =
13
Một số hệ phương trình cơ bản
Bài tập củng cố:
1/Giải hệ phương trình:

2 1

) 6 3 2 5
4 2 3 16
3 2 5
) 0
4 5 3
2 5
) 2 2 5
7 10
x y z
a x y z
x y z
x y z
b x y z
x y z
x y z
c x y z
x y z
− − =−


+ + =


− + =

+ + =


+ − =



− + =

+ − =


− + =−


+ − =


d)
4 4 0
5 2 3
8 2 1
x y z
x y z
z y z
− − + =


+ − =


− + − =

e)
11
2 5

3 2 14
x y z
x y z
x y z
+ + =


− + =


+ + =

f)
2
2
2
2
3
4
x xy xz
y yz xy
z xz yz

+ + =

+ + =


+ + =


g)
3 2 9
2 3 2 3
4 3 11
x y z
x y z
x y z
− + + =


− − =−


+ − =−

h)
3 2 2
2 5 5
3 7 4 8
x y z
x y z
x y z
− + = −


− + + =


− + =


j)
5 2
2 9 2 8
3 4 5
x y z
x y z
x y z
− + + =


− + =


− + =

2/ Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m,a
12
) 5 4 46
5 3 38
x y z
a ax y z
x ay z
+ + =


+ + =


+ + =


14
12
Một số hệ phương trình cơ bản
2
) 3
2
ax y z a
b x ay z a
x y az

+ + =

+ + =


+ + =

c)
2
2 4
4 ( 1)
x y
x y
x y m z m
− =


+ =



+ + + =

e)
1
2 3 3
3 2
x y z
x y mx
x my z
+ − =


+ + =


+ + =

3/ Giải và biện luận hệ phương trình (với a,b,c là tham số, a+b+c
≠
0)
0
) 0
0
)
ax by cz
a bx cy az
cx ay bz
ax by cz a b c
b bx cy az a b c
cx ay bz a b c

+ + =


+ + =


+ + =

+ + = + +


+ + = + +


+ + = + +


c)
( )( )
( )( )
( )( )
a b x y cz a b
b c y z ax b c
a c x z by c a
+ + − = −


+ + − = −



+ + − = −


d)
2 3
3 2
5 8
x y z a
x y z b
x y z c
+ − =


− + =


− + =

4/ Giải hệ phương trình:1/
6
5
4
3
12
7
xy
x y
yz
y z
zx

z x

=

+


=

+


=

+

;
5
2) 11
7
( ) 4
3) ( ) 9
( ) 1
xy x y
yz y z
zx z x
x y z
y z x
z x y
− − =



− − =


− − =

− = −


− =


+ =

Bài 5: Giả sử hệ :
ax by c
bx cy a
cx ay b
+ =


+ =


+ =

có nghiệm
15
Mt s h phng trỡnh c bn

Chng minh rng:
3 3 3
3a b c abc+ + =
Bi 6: Cho tam giỏc ABC cú cỏc cnh a = 7, b = 5, c = 3.Hóy tỡm bỏn kớnh ng trũn
tõm A, tõm B, tõm C ụi mt tip xỏc nhau.
C.H PHNG TRèNH BC HAI HAI N:
I. H phng trỡnh gm 1 phng trỡnh bc nht v 1 phng trỡnh
bc hai:
1. Phng phỏp:
Cú dng :
2 2
ax by c
dx exy fy gx hy k
+ =

+ + + + =

T phng trỡnh bc nht, ta tớnh y theo x ( hay x theo y) v th vo phng trỡnh bc hai
c phng trỡnh bc hai theo 1 n x ( hay n y)
2. Vớ d:
Bi tp cng c:
Bi 1:Gii cỏc h phng trỡnh sau:
1/
2
2 3 1
24
x y
x xy
=

=

2/
3 4 1 0
3( ) 9
x y
xy x y
+ =

= +

3/
2 3 2
6 0
x y
xy x y
+ =

+ + + =

4/
2
4
2 5 0
y x x
x y

+ =

+ =

5/
2 2
2 3 5
3 2 4
x y
x y y
+ =

+ =

6/
2 2
2 5
7
x y
x xy y
=

+ + =

7/
2 2
3 2 5 4 0

2 4
x xy y x y
x y

+ + =

+ =

8/
2 2
2
164
x y
x y
=

+ =

9/
2 2
5 7
2 1
x xy y
x y

+ =

+ =

10/
2 2
2 7 0
2 2 4 0
x y
y x x y
=

+ + + =

11/
2
4 9 6
3 6 3 0
x y
x xy x y
+ =

+ + =

12/
2 2
2 3 7 12 1
1 0
x xy y x y
x y

+ = +

+ =

13/
(2 3 2)( 5 3) 0
3 1
x y x y
x y
+ =

=

Bi 2: Gii cỏc h phng trỡnh sau:
1/
2 2
1 1 1
3 2 3
1 1 1
9 4 4
x y
x y

=

=

2/
2 2
1 1 1
1 3
1 1 1
( 1) 4
x y
x y

+ =

+

=

+

3/
3
2
1 2
4
x y x y
x y
x y
+

=

=

Baứi 3: Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh :
16
Một số hệ phương trình cơ bản
1/
4 2
( ) 4( ) 117 0
25
x y x y
x y

+ + + − =

− =

2/
2 2
(18 18 18 17)(12 12 1) 0
3 4 0
x x y x xy
x y

+ + − − − =


+ =

3/
3 3
1
7
x y
x y
− =


− =

4/
2 2
( )( ) 45
5
x y x y
x y

− − =

+ =

Bài4: Giải các hệ phương trình:
1/
2 2
( ) 2( ) ( )( ) 2
2
x a y a x a y a

x y

+ + − − + − =

+ =

2/
2 2
( ) ( ) 11
2 7
x m y y x m
x y m

+ − + + =

+ = −

3/
2 2
2( ) ( 2 ) 2
3 2 5
x m y m m
x y m

− + + = +

+ = −

Bài 5: Giải và biện luận theo tham số a của hệ phương trình:
4 4 4

x y a
x y a
+ =


+ =

II. Hệ phương trình đối xứng loại 1:
1. Phương pháp:
Hệ đối xứng loại 1 có đặc trưng là nếu thay x bởi y, y bởi x thì mỗi phương trình trong hệ
khơng đổi.
Cho hệ đối xứng loại 1: (I)
( ; ) 0
( ; ) 0
f x y
g x y
=


=

- Đặt S = x + y và P = x.y, biến đổi hệ (I) thành hệ theo S và P :
(II)
( ; ) 0
( ; ) 0
F S P
G S P
=



=

Giải hệ (II) để tính S và P.
Điều kiện để tồn tại x, y là
2
0 0
4 0S P− ≥
Với mỗi cặp nghiệm ( S
0
; P
0
) của (II) thì x, y là nghiệm của phương trình X
2
– S
0
P + P
0
= 0.
Ngồi ra, ta cũng có thể đặt ẩn phụ thì hệ phương trình mới có dạng đối xứng, nhưng khi đó
ta cần lưu ý đến điều kiện.
* Chú ý: Tính chất của nghiệm đối xứng :
- Nếu ( x
o
; y
0
) là một nghiệm thì ( x
0
; y
0
) cũng là một nghiệm của hệ. Do đó, nếu hệ có

nghiệm duy nhất ( x
0
; y
0
) thì nghiệm đó cũng là ( y
0
; x
0
), suy ra x
0
= y
0
.
2. Ví dụ:
VD1: Giải hpt sau:
( )
2 2
3
2
x y xy
I
x y y x
+ + =


+ =

Đây là hpt đối xứng loại 1
( )
( )

( )
3
2
x y xy
I
xy x y
+ + =

⇔

+ =


17
Một số hệ phương trình cơ bản
Đặt:
S x y
P xy
= +


=

với
2
4 0S P− ≥
Hpt đã cho trở thành:
( )
3
2

1
2
2
1
S P
SP
S
P
l
S
P
+ =


=

 =



=


⇔

=



=




Với
2
1
S
P
=


=

thì
2
1
x y
xy
+ =


=

1
1
x
y
=

⇔


=

Vậy hệ có nghiệm x = 1 và y = 1
VD2:
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
8
7
x y x y
x y xy

+ + + =


+ + =


Hướng dẫn giải:
Ta có
2 2
2 2
8
7
x y x y
x y xy

+ + + =



+ + =



⇔

2
2
( ) 8
( ) 7
x y xy x y
x y xy

+ − + + =

+ + =

Có dạng
2
2
2 8
7
S P S
S P

− + =

− =


với
S x y
P xy
= +


=


2 2
2
2( 7) 8
7
S S S
P S

− − + =
⇔

= −

thoả S
2
– 4P
≥
0
Với
2 3 1
3 1 3
S x y x x

hay
P xy y y

= + = − = − −
 
⇔
  
= = − = = −
 

Với
3 1 2
2 2 1
S x y x x
hay
P xy y y

= + + = =
 
⇔
  
= = = =
 

VD3:
Giải hệ phương trình:
2 2
2 3 2
6
x xy y

x y

+ + = +


+ =


Hướng dẫn giải:
Đặt
S x y= +
;
P xy=
, ta có hệ:
18
Một số hệ phương trình cơ bản
2 2 2
2
2 10 6 2 ( 1) (3 2)
2 3 2
2 6
2 3 2 2 3 2
S S S
S P
S P
S P P S
 

+ = + + = +
+ = +

  
⇔ ⇔
  
− =
+ = + = + −

 

 
2 2
2 2
4 2
6 4 2
S
P
S
P


= +




=


⇔



= − −




= +




Với
2 2S = +
;
2 2P =
; x,y là nghiệm phương trình:

2
2
(2 2) 2 2 0
2
X
X X
X
=

− + + = ⇔

=

Với

4 2S = − −
;
6 4 2P = +
;x,y là nghiệm phương trình:

2
(4 2) 6 4 2 0X X+ + + + =
: vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm:
(2; 2)
và
( 2;2)
.
VD4:
Giải hệ phương trình:
3 3
2
( ) 2
x y
xy x y

+ =

+ =

Hướng dẫn giải:
3 3 3
2 ( ) 3 ( ) 2
( ) 2 ( ) 2
x y x y xy x y

xy x y xy x y
 
+ = + − + =
⇔
 
+ = + =
 
Đặt:
;u x y v xy= + =
Ta có
3 3
3 2 6 2
2 2
u uv u
uv uv
 
− = − =
⇔
 
= =
 
2 2
2 1
u u
uv v
= =
 
⇔ ⇔
 
= =

 
Vậy
2
1
x y
xy
+ =


=

x,y là nghiệm của phương trình
2
2 1 0X X− + =
1X⇔ =
Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
(1;1)
.
VD5: Cho hệ phương trình:
2 2
x y xy m
x y m
+ + =


+ =

1/ Giải hệ với m=5

2/ Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm?
Giải:
19
Một số hệ phương trình cơ bản
1/Với m=5, ta có:
2 2
5
5
x y xy
x y
+ + =


+ =

2
5
( ) 2 5
x y xy
x y xy
+ + =

⇔

+ − =

2 2
5 2
2 5 2 15 0
S P P S

S P S S

+ = = −

⇔ ⇔
 
− = + − =


3
2
5
10
S
P
S
P

=



=


⇔

= −




=



Ta chỉ nhận
3
2
S
P
=


=

thoả S
2
- 4P
≥
0
Ta chỉ nhận
3
2
S
P
=


=


thoả S
2
– 4P
≥
0 nên x,y là nghiệm của phương trình X
2
– 3X +2 =0
1
2
X
X
=

⇔

=

Vậy
1 2
2 1
x x
hay
y y

= =

 
= =



2/ Giá trị của m để hệ có nghiệm
Ta có:
2 2 2
(1)
2 (2)
x y xy m S P m
x y m S P m

+ + = + =

⇔
 
+ = − =


với
S x y
P xy
= +


=

⇔
2
2
3 3 0
2( )
P m S
S S m

S m S m
= −

⇔ + − =

− − =

1
1 1
2
2 2
1 1 3
1 1 3
S m
P m S
S m
P m S


= − − +



= −



⇔



= − + +




= −



( với điều kiện 1+3m
≥
0
⇔
m
≥
-
1
3
)
Với m
≥
-
1
3
hệ phương trình sẽ có nghiệm nếu S
2
≥
4P hay:
2
1 1

2
2 2
4
4
S P
S P

≥

≥

2
2
( 1 1 3 ) 4( 1 1 3 )
( 1 1 3 ) 4( 1 1 3 )
m m m
m m m

− − + ≥ + + +
⇔

− − + ≥ + − +


1 1 3 2 1 3 4 4 4 1 3
1 1 3 2 1 3 4 4 1 3
m m m m
m m m m

+ + + + ≥ + + +

⇔

+ + − + ≥ + − +


⇔

2 1 3 ( 2)
2 1 3 2 0
m m
m m

+ ≤ − +

+ ≥ + >


(loại vì m
≥
-
1
3
)
( với m
≥
-
1
3
)
⇔

4(1+3m)
≥
m
2
+4m+4
⇔
m
2
-8m
≤
0
⇔
m
[ ]
0;8∈
Vậy m
[ ]
0;8∈
Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ phương trình:
20
Một số hệ phương trình cơ bản
VD6:Cho hệ phương trình
2 2 2
2 1
2 3
x y a
x y a a
+ = −



+ = + −

Xác định a để tích xy nhỏ nhất
Giải
Ta có:
2
2 2
2 1
2 1
3
2 2 3
3 2
2
S s
S a
a
S P a a
P a

= −

= −
 
⇔
 
− = + −
= − +
 



Để phương trình có nghiệm thì :S2 - 2P
≥
0
⇔
(2a – 1)2-4(
2
3
2
a
- 3a + 2)
≥
0

⇔
-2a + 8a -7
≥
0
⇔
a
∈
2 2
2 ;2
2 2
 
− +
 
 
P = xy =
2
3

3 2
2
a
a− +
là biểu thức hàm bậc hai có hoành độ đỉnh cực tiểu nhỏ nhất tại a= 1
≤
2-
2
2
Vậy xy đạt giá trị nhỏ nhất tại a=2-
2
2
VD7: Cho hệ phương trình
2 2
3 8
x y xy a
x y xy a
+ + =


+ = −

a/ Giải hệ với a =
7
2
b/ Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm
Giải
a/ Ta có :

⇔

2 2
2 2
3 8
7
2
5
2
x y xy a
x y xy a
x y xy
x y xy
+ + =


+ = −


+ + =




+ =



⇔
7
2
5

.
2
S P
S P

+ =




=


⇔
1
5
2
5
2
1
S
P
S
P

=






=






=





=


Ta chỉ nhận
5
2
1
S
P

=



=


thoả điểu kiện S
2
– 4P
≥
0 và x, y là nghiệm của phương trình
21
Một số hệ phương trình cơ bản
X
2
-
5
2
X + 1= 0
⇔

2
1
2
X
X
=



=


Vậy
2 1
hay

2
1
2
2
x
x
y
y

=

=
 
 
=
 
=


b/ Trường hợp tổng quát
. 3 8
S P a
S P a
+ =


= −

thì S,P là nghiệm của phương trình X
2

– aX +3a – 8
=0 (1)
Phương trình có nghiệm khi
2
4(3 8) 0a a∆ = − − ≥
2
4
12 32 0
8
a
a a
a
≤

⇔ − + ≥ ⇔

≥

Với điều kiện đó phương trình (1) có nghiệm
2
1
2
2
12 32
2
12 32
2
a a a
X
a a a

X
− − +
=
+ − +
=
• Nếu chọn S=
2
12 32
2
a a a− − +
và P=
2
12 32
2
a a a+ − +
thì hệ có nghiệm khi
S2 – 4P
≥
0
⇔
(
2
12 32a a a− − +
)
2

≥
8(
2
12 32a a a+ − +

)
⇔
a2 – 10a +16
≥
(a+4)
2
12 32a a− +
⇔
(a - 2)(a – 8)
≥
(a+4)
( 4)( 8)a a− −
(2)
• Nếu chọn S=
2
12 32
2
a a a+ − +
và P=
2
12 32
2
a a a− − +
thì hệ có nghiệm khi:
S2 – 4P
≥
0
⇔
(a – 2)(a – 8)
≥

-(a+4)
( 4)( 8)a a− −
(3)
Từ (2) va (3) suy ra:
(a – 2)(a – 8)
≥
-
4a +
( 4)( 8)a a− −
(4)
Vì (a – 2)(a – 8)
≥
0
⇔
2

8
a
a
≤


≥

thì thỏa (4)
Do đó với a
∈

(
]

2;4
thì (a – 2)(a – 8) < 0 nên
22
Một số hệ phương trình cơ bản
(4)
2 2 2
2
( 2) ( 8) ( 4) ( 4)( 8)
4 13 8 0
13 3 33 13 3 33
;
8 8
a a a a a
a a
a
⇔ − − ≤ + − −
⇔ − − ≤
 
− +
⇔ ∈
 
 
Kết hợp với các điều kiện trên ta thấy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi a
≤
13 3 33
8
+

hay a
8

≥
Bài tập củng cố:
Bài 1/ Giải hệ phương trình:
2 2
4
2
x xy y
x xy y

+ + =

+ + =

HD: Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P
≥
0 ta được kết quả
2 0
hay
0 2
x x
y y

= =

 
= =


Bài 2/ Giải hệ phương trình
30

35
x y y x
x x y y

+ =


+ =


HD: Đặt S=
x y+
& P=
xy
ta được kết quả
9 4
4 9
x x
hay
y y

= =

 
= =


Bài 3/ Giải hệ phương trình
2 2
2 3 2

6
x xy y
x y

+ + = +


+ =


HD: Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P
≥
0 ta được kết quả
2
2
2 2
x
x
hay
y y

=

=
 
 
= =





Bài 4/ Giải hệ phương trình
a)
( )
2 2
2 2
1
( ) 1 5
1
1 9
x y
xy
x y
x y

 
+ + =

 ÷
 


 

+ + =
 ÷

 

HD:

1
3 5
hay
2
3 5
1
2
x
x
y
y

=

±
=
 
 
±
=
 
=


Bài 5/Giải hệ phương trình:
23
Một số hệ phương trình cơ bản
2 2
5
)

7
x y
a
x xy y
+ =


− + =

c)
2 2
2 2
1 1
5
1 1
49
x y
x y
x y
x y

+ + + =




+ + + =


2 2

15
)
42
xy
b
x y x y
=


+ + + =


3 3 3 3
17
)
5
x x y y
d
x xy y

+ + =

+ + =

Bài 6/ Giải hpt sau:
5 5
9 9 4 4
1x y
x y x y


+ =


+ = +


( ĐS:
( ) ( )
0;1 , 1;0
)
Giải hệ phương trình:
2 2
4
2
x xy y
x xy y

+ + =

+ + =

HD: Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P
≥
0 ta được kết quả
2 0
hay
0 2
x x
y y


= =

 
= =


Bài 7:
Cho hệ phương trình
2 2
2
4 (1)
3 4 (2)
x xy y k
y xy

− + =

− =

1/ Giải hệ với k = 1
2/ Chứng tỏ rẳng hệ có nghiệm với mọi k
HD: 1/
1 1
hay
4 4
x x
y y

= = −


 
= = −


2/ ket hợp 2 phương trình để tìm x theo y va thay vào phương trình còn lại để còn một
phương trình theo ẩn y duy nhất
Bài 8: Cho hệ phương trình
2 2
2
2(1 )
( ) 4
x y a
x y

+ = +

+ =

1/ Giải hệ với a=1
2/ Tìm các giá trị của a để hệ có đúng 1 nghiệm
HD: 1/ Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P
≥
0 ta được kết quả
0 2
hay
2 0
x x
y y

= = ±


 
= ± =


2/
2 2
2
2(1 )
( ) 4
x y a
x y

+ = +

+ =


2
( ) 2 2(1 )
2
x y xy a
x y

+ − = +
⇔

+ = ±


1
2
xy a
x y
= −

⇔

+ = ±

Điều kiện có nghiệm là (x+y)
2
– 4xy
≥
0

⇔
4 – 4(1 – a)
≥
0
⇔
a
≥
0
Vậy x,y là nghiệm của phương trình có cùng biệt số
' a∆ =
và có 4 nghiệm khác nhau X= 1
a±
,
X’= -1

a±
khi a>0 ,nên để chỉ còn 2 nghiệm a thì a=0 , lúc đó X=x = y=1, X’=x=y= -1
Vậy hệ phương trình có đúng 2 nghiệm là (1:1) , (-1:-1) khi a=0
Bài 9: Cho hệ phương trình
2 2
2 2
x y m
x y x
+ =


− + =

giải va biện luận theo m
HD: 1/ Nếu m=-1 Hệ vô nghiệm
24
Một số hệ phương trình cơ bản
2/ Nếu m
≠
-1, hệ có nghiệm
2
2
2
2( 1)
2
2( 1)
m
x
m
m m

y
m

+
=

+


+ −

=

+

Bài10: Cho hệ phương trình
2 2
1x xy y m
x y xy m
+ + = +


+ =

1/ Giải hệ với m=2
2/ Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm thỏa điều kiện x>0 : y>0
HD:
1/ Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P
≥
0 ta được kết quả x=y=1

2/x,y là nghiệm của phương trình bậc hai X
2
– SX + P =0 từ đó ta suy ra giá trị của m đệ hệ
có ít nhất một nghiệm thỏa x>0, y>0
ĐS: m
∈
1
0; hay m 2
4
 
≥


 
Bài 11: Giải hệ phương trình
30
35
x y y x
x x y y

+ =


+ =


HD: Đặt S=
x y+
& P=
xy

ta được kết quả
9 4
4 9
x x
hay
y y

= =

 
= =


Bài 12: Giải hệ phương trình
2 2
2 3 2
6
x xy y
x y

+ + = +


+ =


HD: Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P
≥
0 ta được kết quả
2