Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia 2015

Chuyên đề 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn:
Ví dụ : Giải các hệ:
a)



=−+
=+
522
52
22
xyyx
yx
b)
2 2
x 2y 1
x 14y 1 4xy
− =


+ − =

Cách giải: Giải bằng phép thế
2. Hệ phương trình đối xứng loai 1:
1/



=++
=++

7
5
22
xyyx
xyyx
2/



=+
=++
8
22
33
yx
xyyx
4/





=+
=+
35
30
33
22
yx
xyyx

5/
( ) ( )
2 2
8
1 1 12
x y x y
xy x y

+ + + =


+ + =



3. Hệ phương trình đối xứng loại II:
1)
2 3 2
2 3 2
3 2
3 2
y x x x
x y y y

= − +


= − +



2)
2
2
1
3
1
3
x y
x
y x
y

+ =




+ =


3)







+
=

+
=
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
y
y
4)
3 2
3 2
x 2x 2x 1 2y
y 2y 2y 1 2x

− + + =


− + + =


4. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai:
Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:

1)
2 2
2 2
3 2 11
2 5 25
x xy y
x xy y

+ + =


+ + =


2)





=−−
=−−
495
5626
22
22
yxyx
yxyx
3)
3 2

3 2
2 3 5
6 7
x x y
y xy

+ =


+ =



5. Các hệ phương trình khác:
1/
2
2 2
1
2 2
2 2
x x
y
y y x y

+ − =



− − = −


. ĐK :
0y ≠
hệ
2
2
1
2 2 0
2 1
2 0
x x
y
x
y y

+ − − =


⇔


+ − − =


đưa hệ về dạng
2
2
2 2 0
2 2 0
u u v
v v u


+ − − =


+ − − =


2/





=−++
=+−+−
0222
0964
22
224
yxyx
yyxx
hd :





=−++
=−+−
022)2(

4)3()2(
22
222
xyx
yx
2 2 2
2 2
( 2) ( 3) 4
( 2 4)( 3 3) 2 20 0
x y
x y x

− + − =


− + − + + − − =


3/
2 2
4
( 1) ( 1) 2
x y x y
x x y y y

+ + + =

+ + + + =





−=
=+++
⇔
2
4
22
xy
yxyx




−=
=+++
⇔
2
0)()(
2
xy
yxyx






−=




−=+
=+
⇔
2
1
0
xy
yx
yx
4/
3 3
log log 2
2 2
4 4 4
4 2 ( )
log ( ) 1 log 2 log ( 3 )
xy
xy
x y x x y

= +


+ + = + +


ĐK: x>0 , y>0 : (1) ⇔
3 3

2log log
2 2 2 0
xy xy
− − =

⇔log
3
xy = 1 ⇔ xy = 3⇔y=
3
x
; (2)⇔ log
4
(4x
2
+4y
2
) = log
4
(2x
2
+6xy) ⇔ x
2
+ 2y
2
= 9
5/
x 3 y x
y 3 x y


= +


= +


+ Điều kiện
x 0 , y 0 ≥ ≥
+ Trừ vế theo vế hai PT (1) và (2) , có :

( ) ( ) ( )
x y 2 y x x y x y 2 0 x y 0 ( do x y 2 0
− = − ⇔ − + + = ⇔ − = + + >

x y x y
⇔ = ⇔ =
1
+ Thay y = x vào hệ PT , có hệ
x 4 x x 0
x 4 x x( x 4) 0
x 16
x 4 x


= =


⇔ = ⇔ − = ⇔



=
=



(thỏa)
+ Hệ PT đã cho có hai nghiệm là (0; 0) và (16; 16)
6/
2 2
4 4 4
2
4 4 4
log ( ) log (2 ) 1 log ( 3 )
log ( 1) log (4 2 2 4) log ( ) 1
x y x x y
x
xy y y x
y

+ − + = +


+ − + − + = −


ĐK: x>0, y>0 và 4y
2
+2y-2x+4>0 (*)
2 2

2 2
2
2
4( )
3
3 0
2
1
2 2 4 4 0
4y +2y-2x+4 4
x y
x y
x xy y
x
xy x
x xy y x
y

+
= +


− + =
 
⇔ ⇔
 
+
− + − =




=



( )( 2 ) 0
( )( 2) 0
x y x y
x y x
− − =


− − =

Vậy hệ có nghiệm
x=2
víi >0 tuú ý:
y=1
x
y
α
α
α
=
 
 
=
 
6/






−=−
=+−
235
323
2
22
yxy
yxyx






−=−
=+−
235
323
2
22
yxy
yxyx
<=>






−=−
−=+−−
235
)35(3)23(2
2
222
yxy
yxyyxyx
<=>





−=−
=−+
235
0592
2
22
yxy
yxyx
<=>



−=−
=+−

)2(235
)1(0)5)(2(
2
yxy
yxyx
Từ (1) có hai trường hợp:
*)TH1: y = 2x thế vào (2) suy ra nghiệm (1;2) (-1;-2).
*)TH2: x = -5y thế vào (2) cho nghiệm (5
14/1;14/1 −
) và (-5
14/1;14/1
)
7/





=−+
=+−
25)yx)(yx(
13)yx)(yx(
22
22
(x, y
∈
)
Hệ đã cho tương đương với :




=+−
=+−
25))((
13))((
2
22
yxyx
yxyx
⇔



=+−
=−
25)yx)(yx(
1)yx(
2
3
⇔



±=+
=−
5yx
1yx
⇔




−=−=
==
3y,2x
2y,3x
8/



=−++
=+++
yyxx
yyxyx
)2)(1(
4)(1
2
2
(x, y
∈R
)
2
2
1
( 2) 2
1
( 2) 1
x
x y
y
x

x y
y

+
+ + − =



+

+ − =


§Æt
2yxv,
y
1x
u
2
−+=
+
=

Ta cã hÖ
1vu
1uv
2vu
==⇔




=
=+
Suy ra





=−+
=
+
12yx
1
y
1x
2
.
Gi¶i hÖ trªn ta ®îc nghiÖm cña hpt ®· cho lµ (1; 2), (-2; 5)
2
9/
4 3 2 2
3 2
x x y x y 1
x y x xy 1

− + =


− + =



(I) ⇔

− + + =


− + + =


2 2 3
2 3
( x xy) x y 1
( x xy) x y 1
Đặt u = − x
2
+ xy, v = x
3
y
(I) thành
= − +
 
= =
 
 + =
⇔ ⇔ ∨
   
= =
+ = − =
 

 
 
2
2
v u 1
u 0 u 1
u v 1
v 1 v 0
u v 1 u u 0
Do đó hệ đã cho tương đương:
2 2
4 2
3 3
y x y 0
x xy 0 x xy 1
x 1 x 1(vn)
x y 1 x y 0
 
= =
 
− + = − + =
   
∨ ⇔ ∨
   
= = −
 
= =
 
 
 

= = −
 
⇔ ∨
 
= = −
 
x 1 x 1
y 1 y 1
10/
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y

+ =


− + =


. Đặt
2 2 2 2 2
S x y 0, P x y 0 (S 4P)= + =³ ³³
. Hệ phương trình trở thành:
2 2
2
2 2

S 5 x 4 x 1 x 2 x 1
S 3P 13
y 1 y 2
P 4
S 5
y 1 y 4
ì ì
ì
= = = = ± = ±
ì ï ï
ì ì
- =
ï
ï
ï ï
ï ï
ï
ï ï ï ï ï
Û Û Ú Û Ú
í í í í í í
ï ï ï ï ï ï
= ± = ±
=
=
= =
ï ï ï ï ï ï
ỵ ỵ
ỵ
ỵ
ï ï

ỵ ỵ
.
11/





=−−−
=+−+
38923
143
22
22
yxyx
yxyx
12/





−=+−
−=++
)(7
)(19
22
222
yxyxyx
yxyxyx

( ĐH Hàng Hải–2001)
HD: Đặt ẩn phụ u = x - y , v = x.y
ĐS: (0 ; 0) ; (3 ; 2) , (–2 ; –3)
13/





=+
=+
1
1
66
44
yx
yx
(ĐH TCKT – 2001)
HD: Đặt ẩn phụ:
2222
.; yxPyxS =+=
ĐS : ( 0; 1) , ( 0 ; –1) , ( 1 ; 0) , ( –1 ; 0)
14/





=
−

++
=−+−−+
3
2
1
2
)1(0)2(6)4(5)2(
2222
yx
yx
yxyxyx
HD: Đặt
yx
yx
X
−
+
=
2
2
;
065)1(
2
=+−⇔ XX
ĐS:
)
2
1
:
4

3
(),
4
1
;
8
3
(
15/







−=+++
−=++++
4
5
)21(
4
5
24
222
xxyyx
xyxyyxyx
HD: Đặt u = x
2
+ y , v = x.y

16/





+=+
+=++
662
922
2
2234
xxyx
xyxxx
Thế
2
33
2
x
xxy −+=

3