Nâng cao năng lực tự học và kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 10 trung học phổ thông qua dạy học giải phương trình

1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC





NGUYỄN TRUNG HIẾU






NÂNG CAO NĂNG LỰC TỰ HỌC VÀ KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
CHO HỌC SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
QUA DẠY HỌC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH



LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC


Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN HỌC)
Mã số :60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN NHỤY






HÀ NỘI - 2010


2
LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tác giả xin được bày tỏ lòng lòng kính trọng và biết ơn sâu
sắc tới PGS.TS Nguyễn Nhụy, người thầy đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn
và động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong trường Đại
học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy truyền thụ
cho tác giả về những kiến thức quý báu về PPDH và hết lòng giúp đỡ tác giả
trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Nam Định, Ban
Giám hiệu, các thầy, cô giáo trường Trung học Phổ thông A Hải Hậu, tỉnh Nam
Định, các thầy, cô giáo trong tổ Toán – Tin của nhà trường đã động viên tạo mọi
điều kiện cho tác giả được đi học cũng như trong quá trình thực hiện đề tài .
Tác giả bày tỏ sự cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bè bạn và các bạn học
viên khóa 3, khóa 4 Cao học Lý luận và Phương pháp Dạy học trường Đại
học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã động viên, giúp đỡ tác giả trong
suốt quá trình học tập và có nhiều ý kiến quý báu giúp tác giả hoàn thành luận
văn tốt nghiệp.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn chắc chắn không thể tránh
được những thiếu sót, tác giả mong được lượng thứ và mong nhận được
những sự chỉ bảo, góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn.
Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2010
Tác giả


Nguyễn Trung Hiếu

3
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

THPT : Trung học Phổ thông
THCS : Trung học Cơ sở
GV : Giáo viên
HS : Học sinh
SGK : Sách giáo khoa
∆ : Delta

4
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
Trang
1. Lý do chọn đề tài
1
2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu
2
3. Phạm vi nghiên cứu.
2
4. Mẫu khảo sát
2
5. Vấn đề nghiên cứu
3
6. Giả thuyết khoa học
3
7. Phương pháp nghiên cứu
3
8. Luận cứ.
3
9. Cấu trúc luận văn
4
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
5
1.1. Tự học…
5

1.1.1. Về khái niệm tự học
5
1.1.2. Bồi dưỡng năng lực tự học cho HS THPT
7
1.1.3. Những nhân tố ảnh hưởng đến hoạt động tự học
8
1.2. Kỹ năng giải toán
9
1.2.1. Về khái niệm kỹ năng
9
1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng cho HS trong quá trình học toán
13
1.3. Dạy học giải bài tập toán học
21
1.3.1. Vị trí và chức năng của bài tập toán học đối với sự phát triển trí
tuệ của HS trong nhà trường THPT

21
1.3.2. Yêu cầu đối với lời giải…
21
1.3.3. Dạy học phương pháp tìm lời giải
22
Kết luận chương 1
23
Chƣơng 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP GIẢI PHƢƠNG
TRÌNH NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC TỰ HỌC VÀ KỸ NĂNG
GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG


24

2.1. Về vấn đề phương trình ở lớp 10 THPT
24
2.1.1. Nội dung phương trình trong chương trình toán lớp 10 THPT
24

5
2.1.2. Vị trí và vai trò của nội dung phương trình trong chương trình
toán lớp 10 THPT

27
2.1.3. Những khó khăn và sai lầm HS thường gặp trong giải phương
trình.

27
2.2. Phương trình bậc nhất và bậc hai
32
2.2.1. Các kiến thức cơ bản
32
2.2.2. Hướng xây dựng bài tập vận dụng
33
2.3. Phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
58
2.3.1. Các kiến thức cơ bản
58
2.3.2. Hướng xây dựng bài tập vận dụng
58
2.4. Phương trình có chứa căn thức
71
2.4.1. Các kiến thức cơ bản
71

2.4.2. Hướng xây dựng bài tập vận dụng
72
2.5. Hệ thống bài tập vận dụng
91
Kết luận chương 2
100
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
101
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm.
101
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm
101
3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm
101
3.2. Kế hoạch triển khai
101
3.2.1. Đối tượng thực nghiệm
101
3.2.2. Thời gian thực nghiệm
101
3.2.3 Nội dung thực nghiệm.
102
3.3. Kết quả thử nghiệm sư phạm .
108
3.3.1. Kết quả bài kiểm tra và kết quả giảng dạy.
108

6
3.2.2. Kết luận về thực nghiệm sư phạm
110

Kết luận chương 3
110
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
111
1. Kết luận
111
2. Khuyến nghị
111
TÀI LIỆU THAM KHẢO
113








1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Nâng cao năng lực tự học để người học có thể tự học trong suốt cả cuộc
đời là một trong những mục đích của toàn bộ quá trình dạy học, đối với tất cả
các môn học. Do vậy, mục tiêu quan trọng hàng đầu chi phối quá trình giảng
dạy của mỗi giáo viên chính là làm sao để hình thành được năng lực tự học và
kỹ năng tư duy cho học sinh. Nhận thức rõ vấn đề đó, trong quá trình giảng
dạy của mình, tôi đã có những nỗ lực nhất định trong việc triển khai hoạt
động giảng dạy để đạt tới mục tiêu hình thành ở học sinh năng lực tự học và
kỹ năng giải toán.

Điều 29, luật Giáo dục (2005) quy định: “Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học
sinh;….; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn
luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem
lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”
Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống
xã hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá sản xuất, trở
thành công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và được coi là chìa khoá của
sự phát triển.
Trong nhà trường phổ thông môn Toán giữ một vị trí rất quan trọng và
chủ đề phương trình trong chương trình lớp 10 THPT giữ một vị trí then chốt, là
công cụ cho nhiều nội dung khác. Phương trình ở lớp 10 THPT gồm một số loại
phương trình đại số trên trường số thực, với lượng bài tập rất lớn, phong phú về
cách giải và có mối liên hệ chặt chẽ. Để dạy học sinh học chủ đề này, thông
thường giáo viên cung cấp cho học sinh cách giải từng loại bài và chữa cho học
sinh một số bài tập theo mỗi loại. Nhằm làm cho học sinh nắm vững kiến thức
và có thể sử dụng linh hoạt để giải toán, đòi hỏi người giáo viên phải giúp học

2
sinh cách thức phân lớp các loại bài tập và các công cụ thích hợp để giải từng
loại bài tập. Mặt khác, để giải được nhiều bài có tính chất tổng hợp và nhìn nhận
chúng trong một hệ thống logíc chặt chẽ, điều này thì đa phần học sinh chưa làm
được và cần có sự trợ giúp về nhiều mặt của giáo viên.
Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài: “Nâng cao năng lực tự học
và kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 10 Trung học Phổ thông qua dạy học
giải phương trình” làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình.
2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục tiêu:
Tìm giải pháp dạy học giải bài tập về phương trình nhằm nâng cao năng lực

tự học và kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 10 Trung học Phổ thông
Nhiệm vụ:
Làm rõ cơ sở lí luận về tự học, kĩ năng giải toán và các yếu tố ảnh
hưởng đến sự phát triển của năng lực tự học và kĩ năng giải toán
Vị trí và chức năng của bài tập toán học đối với sự phát triển trí tuệ của
học sinh trong nhà trường THPT; vị trí và chức năng của bài tập phương trình
đối với việc rèn luyện kỹ năng giải toán, phát triển năng lực tự học của học
sinh lớp 10
Đề xuất các chủ đề dạy học giải phương trình cho học sinh lớp 10
THPT theo hướng xây dựng hệ thống bài tập được phân loại theo phương
pháp giải nhằm giúp học sinh tích cực tự học, nâng cao kỹ năng giải toán.
3. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi về nội dung: Dạy học nội dung giải phương trình cho học sinh
lớp lớp 10 THPT
Phạm vi về thời gian: 1 năm (năm học 2009 – 2010)
4. Mẫu khảo sát
Năng lực tự học và kỹ năng giải toán của học sinh lớp 10A1, 10A2 năm
học 2009 – 2010 trường THPT A Hải Hậu, tỉnh Nam Định trong việc học giải
phương trình.

3
5. Vấn đề nghiên cứu
Dạy học giải phương trình như thế nào để giúp học sinh nâng cao năng
lực tự học và kỹ năng giải toán?.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu dạy học sinh lớp 10 THPT giải phương trình theo hướng xây dựng
các chủ đề kiến thức và luyện tập bằng hệ thống bài tập tương ứng thì sẽ giúp
học sinh nâng cao năng lực tự học và kỹ năng giải toán.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu viết về vấn đề tự học, về vấn đề rèn luyện kỹ

năng giải toán cho học sinh, nghiên cứu về phương pháp dạy học bài tập toán
học, nghiên cứu về các tài liệu liên quan đến chủ đề phương trình trong
chương trình toán THPT của Bộ Giáo dục và Đào tạo
Tham khảo ý kiến giáo viên, đặc biệt các giáo viên có kinh nghiệm lâu
năm trong giảng dạy về các vấn đề liên quan đến việc rèn luyện kỹ năng và
hướng dẫn học sinh tự học
Dự giờ, quan sát quá trình học tập của học sinh trên lớp, thái độ học
tập, tiếp thu bài giảng và hiệu quả của quá trình học sinh tự học tập ở nhà để
nắm tình hình học tập, rèn luyện kỹ năng và năng lực tự học của học sinh.
Tổ chức dạy học thực nghiệm tại trường THPT A Hải Hậu tỉnh Nam
Định, cung cấp bài tập và kiểm tra kết quả sau thực nghiệm
Thống kê và xử lý số liệu sau thực nghiệm để kiểm tra tính đúng đắn
của giả thuyết khoa học.
8. Luận cứ
Luận cứ lý thuyết:
Xây dựng hệ thống bài tập cho học sinh luyện tập để từ đó học sinh rút
ra những kiến thức, kỹ năng cần thiết và tích cực học tập dựa trên cơ sở là
những kết quả nghiên cứu về Triết học, Tâm lý học, Giáo dục học
Cơ sở Triết học: “Mâu thuẫn là động lực của sự phát triển”, mâu thuẫn
giữa yêu cầu nhận thức và những tri thức, kỹ năng còn hạn chế là động lực
thúc đẩy nhận thức ở học sinh

4
Cơ sở Tâm lý học: “Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh
nhu cầu tư duy”. Khi có nhu cầu hiểu biết, có niềm say mê, hứng thú thì quá
trình nhận thức có hiệu quả tăng rõ rệt.
Cơ sở Giáo dục học: Sẽ có hiệu quả cao hơn khi quá trình đào tạo được
biến thành quá trình tự đào tạo.
Luận cứ thực tế:
Thực tế cho thấy, học sinh thường lĩnh hội tri thức không phải vì giáo

viên truyền đạt cho mình một số chân lí mà giáo viên đã biết mà vì chính bản
thân học sinh nảy ra nhu cầu muốn biết các tri thức đó. Do vậy, dạy học phải
tạo ra cho học sinh tựa hồ như phát hiện ra tri thức cần lĩnh hội
Sau khi học lý thuyết, nếu giáo viên giúp học sinh hệ thống kiến thức
đã học, xây dựng các hướng phát triển bài tập và tìm phương pháp giải từ đó
cung cấp đến học sinh hệ thống bài tập tương ứng thì sẽ giúp học sinh tích
cực học tập, rèn luyện kỹ năng và tạo hứng thú, niềm vui khi học sinh tự học.
Việc học sinh tự giải quyết được nhiều bài toán giúp học sinh nhìn
nhận vấn đề tổng quát hơn và nâng cao kỹ năng giải toán
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận
văn được chia làm 3 chương
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: xây dựng hệ thống bài tập giải phương trình nhằm nâng cao
năng lực tự học và kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 10 Trung học Phổ thông
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

5
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tự học
1.1.1. Về khái niệm tự học
Để trang bị kiến thức và hiểu biết của mình trong suốt cả cuộc đời thì
không có cách gì ngoài tự học. Tự học là một vấn đề có tính truyền thống và
tính phổ biến không chỉ ở nước ta mà còn là vấn đề của toàn thế giới. Ngay từ
xa xưa, Khổng Tử đã ý thức được tầm quan trọng của việc tự học đối với mỗi
con người, ông cho rằng: “cách học quan trọng hơn học cái gì”.
Cha ông ta luôn đặt tự học làm trọng, một tấm gương sáng nhất của tự
học là Chủ tịnh Hồ Chí Minh. Theo Người, tự học là sự nỗ lực của bản thân
người học, sự làm việc của bản thân người học một cách có kế hoạch dựa trên
tinh thần tự giác học tập. Người cho rằng, trong học tập phải lấy tự học làm

nòng cốt.
Theo Rubakin: “Hãy mạnh dạn tự mình đặt ra câu hỏi rồi tự mình tìm
lấy câu trả lời, đó là phương pháp tự học”. Ông còn đưa ra một nguyên tắc
của việc tự học là “Hãy làm tất cả những gì có thể là được và hãy cố gắng
làm sao có thể làm được và hãy có gắng làm sao có thể làm được nhiều nhất”
Theo Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn, “Tự học là tự mình động não, suy
nghĩ, sử dụng các năng lực trí tuệ (quan sát, so sánh, phân tích, tổng hợp,…)
và có khi cả cơ bắp (khi phải sử dụng công cụ) cùng các phẩm chất của mình,
rồi cả động cơ, tình cảm, cả nhân sinh quan, thế giới quan (như trung thực,
nhẫn nại, khách quan, có chí tiến thủ, không ngại khó ngại khổ, lòng say mê
khoa học, ý muốn thi đỗ, biết biến khó khăn thành thuận lợi,…) để chiếm lĩnh
một lĩnh vực hiểu biết nào đó của nhân loại, biến lĩnh vực đó thành sở hữu
của mình”. Tự học là một quá trình con người vượt qua hoàn cảnh và vượt
qua chính mình, nâng mình lên một trình độ cao hơn, phục vụ cho công việc
thuận lợi và có hiệu quả hơn. [24, tr. 22]
Như vậy, để sử dụng hình thức tự học, người học chủ yếu phải tự học
bằng SGK, các tài liệu học tập liên quan và kế hoạch, điều kiện, phương tiện

6
của mình để đạt được mục tiêu học tập. Tự học nhiều khi còn là sự chủ động
khai thác kinh nghiệm và tri thức của người khác để làm giàu cho vốn hiểu
biết của chính bản thân mình. Bản chất của nó là người học biến quá trình đào
tạo thành quá trình tự đào tạo.
Tự học có những đặc điểm sau:
Tự học có tính độc lập cao và mang đậm màu sắc cá nhân
Tự học có quan hệ chặt chẽ với quá trình dạy học
Tự học có tính mục đích
Tự học có tính đối tượng
Tự học vận hành theo nguyên tắc gián tiếp
Tự học là một chu trình liên tục, diễn ra theo hình xoắn ốc mà ở đó

điểm kết thúc của chu trình này là điểm khởi đầu của chu trình khác. Sau mỗi
chu trình kiến thức của người học lại được nâng lên một tầm mới.
Tự học có các mức độ như sau :
Mức độ 1: Có SGK và có GV giáp mặt một số tiết trong ngày, trong
tuần. GV và HS nhìn mặt nhau và có thể trao đổi thông tin bằng lời nói trực
tiếp, chữ viết trực tiếp ngay trên bảng, trên giấy, bằng ánh mắt, nét mặt, cử
chỉ. Bằng hình thức thông tin trực tiếp không qua máy móc, HS học giáp mặt
với GV trên lớp và về nhà tự học có hướng dẫn. Đây là mức độ tự học đơn
giản nhất.
Mức độ 2: Có SGK và có GV ở xa hướng dẫn bằng tài liệu hoặc các
phương tiện viễn thông khác. Hướng dẫn tự học chủ yếu là hướng dẫn tư duy,
hướng dẫn tự phê bình trong quá trình chiếm lĩnh kiến thức. Đây là tự học có
hướng dẫn.
Mức độ 3: Có SGK rồi người học tự đọc lấy mà rút ra kiến thức, kinh
nghiệm về tư duy. HS phải tự mình vận dụng nội lực của bản thân để giải
quyết công việc học tập. Đây là tự học ở mức độ cao nhất.
Tóm lại, tự học là hoạt động của cá nhân người học. Xác định điều này
để ta thấy rõ hơn vai trò chủ động của người học. Dạy học dù có hay đến đâu

7
cũng không thể thay thế được việc tự học của HS. GV giỏi chính là người biết
hướng dẫn cho HS học chứ không phải làm hộ HS. Tự học cũng là công việc
khó khăn, phải trải qua nhiều mức độ, nhiều đòi hỏi. Phấn đấu đạt được mức
độ tự học cao nhất là mục tiêu cần đạt tới của người học.
1.1.2. Bồi dưỡng năng lực tự học cho HS THPT
Bồi dưỡng năng lực tư học cho HS là việc làm rất cần thiết trong điều
kiện hiện nay. Thời gian tự học là lúc HS có điều kiện tự nghiền ngẫm vấn đề
học tập theo một yêu cầu, phong cách riêng và với tốc độ thích hợp. Điều đó
không những giúp HS nắm vấn đề một cách chắc chắn và bền vững, bồi
dưỡng phương pháp học tập và kỹ năng vận dụng tri thức, mà còn là dịp tốt

để HS rèn luyện ý chí và năng lực hoạt động sáng tạo. Đó cũng là điều không
ai có thể cung cấp đươc cho HS nếu các em không thông qua hoạt động của
chính bản thân mình. Năng lực tự học là phẩm chất cần thiết cho sự phát triển
và thành đạt lâu dài của mỗi con người
Để tự học có hiệu quả, cần cần hướng dẫn HS các thao tác sau:
1.1.2.1. Chuẩn bị cho hoạt động tự học
Xác định nhu cầu và động cơ, kích thích hứng thú học tập. Việc làm
đầu tiên để có hoạt động tự học là người học phải làm sao tự kích thích, động
viên mình, làm cho tự cảm thấy cần thiết và hứng thú bắt tay vào việc học,
qua việc xác định ý nghĩa quan trọng của vấn đề nghiên cứu, tinh thần trách
nhiệm với công việc, qua cảm giác hứng thú với nội dung vấn đề và phương
pháp làm việc.
Xác định mục đích và nhiệm vụ tự học. Trong trường hợp HS tự học
dưới sự hướng dẫn của GV thì công việc này thực chất là cụ thể hóa những
bài tập, nhiệm vụ mà GV giao. Nhìn chung để việc tự học có hiệu quả, mục
đích nhiệm vụ tự học phải có tính chất thiết thực, vừa sức có tính định hướng
cao và cố gắng tập trung dứt điểm từng vấn đề trong từng thời kì nhất định
Xây dựng kế hoạch. Việc tự học chỉ thực sự hiệu quả khi người học xác
định đúng trọng tâm công việc: học cái gì là chính, cái gì là quan trọng nhất,

8
có tác dụng trực tiếp đến mục đích. Bởi vì nội dung phải học thì nhiều mà sức
lực và thời gian thì có hạn, nếu việc học dàn trải, phân tán quá thì việc học sẽ
không có hiệu quả.
1.1.2.2. Tự lực nắm nội dung học tập
Đây là giai đoạn quan trọng nhất và chiếm nhiều thời gian nhất và là
giai đoạn quyết định khối lượng kiến thức, kỹ năng tích lũy được cũng như sự
phát triển của con người, nghĩa là quyết định sự thành công của tự học. Giai
đoạn này gồm nhiều công việc:
Nghiên cứu tài liệu,sách giáo khoa

Nghe giảng
Tiếp nhận và xử lí thông tin: dùng các thao tác của tư duy như trừu
tượng hóa, khái quát hóa để làm xuất hiện cái mới
Vận dụng thông tin để giải quyết vấn đề: Đây là giai đoạn khó khăn,
người học cần làm bài tập, làm thí nghiệm, xử lí các tình huống…
1.1.2.3. Kiểm tra và đánh giá
Kết quả tự học phải được kiểm tra và đánh giá. Người học cần được
kiểm tra đánh giá lại các kết quả học được theo mục đích đã đề ra. Ngoài ra
người học cũng cần có kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá để điều tự điều chỉnh và
làm cho quá trình tự học ở chu trình sau hiệu quả cao hơn.
1.1.3. Những nhân tố ảnh hưởng đến hoạt động tự học
Có nhiều nhân tố ảnh hưởng đến hoạt động tự học của người học. Phải
điều khiển, phối hợp những nhân tố ấy trong quá trình tổ chức tự học mới đạt
được chất lượng và hiệu quả mong muốn. Sau đây là những nhân tố chính:
Bản thân người học phải chú ý đến động lực học tập, tố chất, năng
khiếu bẩm sinh, trình độ lí luận và trải nghiệm thực tiễn, kỹ năng tự học,
phẩm chất, ý chí, cảm xúc…
GV, cha mẹ, bạn bè và xã hội. GV ảnh hưởng trực tiếp và quan trọng
đến quá trình tự học qua nội dung, phương pháp, phương tiện và hình thức tổ
chức dạy học. Ngoài ra, thái độ và mối quan hệ GV, HS sẽ có ảnh hưởng

9
nhiều đến chất lượng dạy học nói chung cũng như chất lượng tự học. Cha mẹ,
anh em trong gia đình, họ hàng…là nguồn động viên tinh thần quí giá và liên
tục, đồng thời cũng là nơi kiểm tra, đánh giá chặt chẽ và nghiêm khắc, là
nguồn cung cấp tài chính và phương tiện cho người học. Bạn bè, nhất là các
nhóm nhỏ có tác động rất quan trọng trong việc trao đổi, tranh luận, giúp đỡ
nhau trong học tập nhằm vượt qua những khó khăn, làm nảy nở các tư tưởng,
khoa học mới, phát triển lòng yêu khoa học và củng cố niềm tin ở bản thân và
cộng đồng.

Các điều kiện vật chất và tinh thần như: sách vở, thời gian, tài chính,
môi trường đạo đức lành mạnh của gia đình, nhà trường và xã hội là những
nhân tố rất quan trọng.
Tất cả những nhân tố trên cần được xem xét dưới một dạng tổng thể khi
giải quyết vấn đề tự học và phải phát hiện kịp thời những lỗ hổng, những
điểm yếu để bổ sung, khắc phục nhằm tạo ra một sự phát triển hài hòa cân
đối. Đồng thời phải tìm được điểm chính yếu nhằm tạo ra động lực để thúc
đẩy quá trình tự học.[23, tr. 13-14]
1.2. Kỹ năng giải toán
1.2.1. Về khái niệm kỹ năng
Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khả
năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết
một nhiệm vụ mới” [11, tr.131].
Còn Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các
dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát
hiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những
nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”[18, tr.149].
Từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến
thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế"[25, tr.426].
Theo G. Pôlya: “Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng
những hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn

10
có thể đặc trưng như toàn bộ các thói quen nhất định, kỹ năng là khả năng
làm việc có phương pháp. G .Pôlya đã khẳng định rằng trong Toán học , kỹ
năng là giải các bài toán , thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có
phê phán các lời giải và chứng minh nhận được ”.[10. tr.386]
Tóm lại, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết nhiệm
vụ mới. Trong thực tế dạy học, HS thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến
thức (khái niệm, cách thức, phương pháp ) vào giải quyết các bài tập cụ thể.

HS thường khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đối
tượng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn có giữa
kiến thức và đối tượng. Sở dĩ như vậy là do kiến thức không chắc chắn, khái
niệm trở nên kém linh hoạt, không gắn liền cơ sở của kỹ năng.
Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, những thuộc
tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định.
Do đó cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trước hành
động, để hành động biến đổi đối tượng đạt mục tiêu (tất nhiên mục tiêu đặt ra
thu được thông tin mới). Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức
(hình thành kỹ năng) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát
hiện, nhìn thấy trong các dữ liệu đã cho của bài toán, có những thuộc tính và
những quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho.
Theo các nhà Tâm lý học sự hình thành kỹ năng chịu ảnh hưởng của
các yếu tố sau:
a) Nội dung bản chất của vấn đề được yêu cầu giải quyết bị che khuất bởi các dữ
liệu xuất phát, làm lệch hướng tư duy.
Ví dụ 1. Giải phương trình:

     
4 2 4 2
1 1 9 3 1
x x x x
16 2 16 2 2

Mới nhìn dễ gây cho HS tâm lý hoảng sợ vì nghĩ là phương trình vô tỉ
phức tạp nhưng chịu khó suy nghĩ, xem xét các biểu thức dưới dấu căn, xét
thấy các biểu thức dưới căn là các bình phương đúng:

11


   



   


2
4 2 2
2
4 2 2
1 1 1
x x x
16 2 4
9 3 3
x x x
16 2 4

Như vậy, tính chất vô tỉ trong bài toán chỉ là cái áo ngụy trang, bởi vì
2
AA
, phương trình đã cho có dạng:
   
22
1 3 1
xx
4 4 2
. Việc lột bỏ
hình thức bề ngoài của bài toán, phát hiện ra mối quan hệ bản chất ẩn chứa

trong bài toán, giúp HS xác định đúng bản chất của bài toán để có phương
pháp thích hợp.
Để phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán, HS không
chỉ nhìn thấy, phân tích những yếu tố riêng biệt của bài toán mà cần thâu tóm
toàn bộ những yếu tố có mặt trong bài toán.
Ví dụ 2. Giải phương trình

       
2 2 2
x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4

Cần phải quan sát, phân tích tất cả các số hạng có mặt trong phương trình,
từ đó mới phát hiện được mối quan hệ bản chất có mặt trong bài toán đó là:

  
  
  
    
    
    
2
2
2
x 3x 2 x 1 x 2
x 4x 3 x 1 x 3
x 5x 4 x 1 x 4

Từ đó suy được biểu thức x – 1 có trong phương trình và để tìm lời giải
thì vấn đề đã trở nên đơn giản hơn nhiều.
b) Khả năng khái quát, mở rộng ảnh hưởng không nhỏ đến việc hình thành kỹ năng.

Ví dụ 3. Khi HS giải phương trình
2
x 2x 8 2x 8   

Có thể giải phương trình bằng 2 phương pháp: Biến đổi tương đương hoặc
biến đổi hệ quả. Tuy nhiên đối với bài toán
Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm
2
x mx 8 2x 8   

HS giải bằng phương pháp biến đổi hệ quả sẽ gặp nhiều khó khăn và nếu HS
có khả năng khái quát tốt sẽ nhận thấy cần phải giải bằng phương pháp biến
đổi tương đương để tránh phải tìm điều kiện xác định phức tạp.

12
c) Tâm lý và thói quen tâm lý cũng là một yếu tố ảnh hưởng đến sự hình
thành kỹ năng. Khi HS hăng say, hứng thú trong học tập sẽ giúp họ dễ dàng
hình thành kỹ năng, còn ngược lại sẽ cản trở việc học tập. Thói quen tâm lý
cũng là một trở ngại thường gặp trong học tập. Nguyên nhân chủ yếu hình
thành thói quen tâm lý đó là tư duy của con người có tính phương hướng. Một
loại kiến thức hoặc phương pháp cũ nào đó dùng nhiều lần, ấn tượng sâu làm
cho HS không bứt ra khỏi sự ràng buộc của thói quen tư duy cũ để mở ra một
hướng suy nghĩ mới.
Ngoài ra một nguyên nhân nữa cũng ảnh hưởng đến hình thành thói
quen tâm lý đó là nhận thức chỉ dừng lại ở bề mặt, không quan sát phân tích
đặc điểm của từng bài toán cụ thể.
Ví dụ 4. Giải phương trình:
 
2
1

2 2x 1 x 0
2
   

Thông thường HS sẽ chỉ nghĩ đến việc khai triển rồi đơn giản đưa ra
phương trình bậc hai:
 
2
1
4 2x 4 2 1 x 2 0
2
    

và tìm nghiệm theo công thức quen thuộc rất cồng kềnh, phức tạp:

   
2
1
4 2 1 4 2 1 16 2 2
2
x
82

    




Tuy nhiên, nếu chú ý quan sát, phân tích đặc điểm bài toán thấy giữa
các hệ số hình thành tỉ lệ, thực hiện biến đổi đơn giản các hệ số đưa phương

trình về dạng tích

       
 
2
11
2 2x 1 2x 1 0 2x 1 2 2x 1 0
22
1
x
2x 1 0
2
1
1 2 2
2 2x 1 0
x
2
42

        













  






Như vậy, thói quen tâm lý là một thứ tiêu cực, làm cho tư duy trở nên
cứng nhắc, bảo thủ và cản trở quá trình học tập của HS.

13
1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng cho HS trong quá trình học toán
Trong các mục đích của dạy học môn Toán ở trường phổ thông thì việc
truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở cho các mục đích khác.
Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói
riêng là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điều
này đã được nhiều tác giả đề cập như:“ Suy nghĩ tức là hành động” ( J.
Piaget), “Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm” ( Kant), “ Học để hành, học và
hành phải đi đôi” (Hồ Chí Minh)
Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu HS chỉ biết học thuộc lòng khái
niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành
thạo vào việc giải bài tập.
Theo GS. Nguyễn Cảnh Toàn dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng tư duy và
tính cách cho HS. Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS là
một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán, giúp HS
hiểu sâu sắc kiến thức toán trong trường phổ thông, đồng thời rèn luyện cho
HS các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ. Từ đó, bồi dưỡng các phẩm chất
trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho HS.

Sự hình thành kỹ năng đó là một quá trình xác định dẫn tới việc nắm
vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những
thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với
những hành động cụ thể.
Có thể dạy cho HS kỹ năng bằng những con đường khác nhau như:
Con đường thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho HS vốn tri thức
cần thiết thì yêu cầu HS vận dụng tri thức đó để giải các bài toán liên quan
theo mức độ tăng dần.
Con đường thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ đó có thể định
hướng một số dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải dạng toán đó.
Con đường thứ ba: Dạy HS các hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc
vận dụng tri thức.

14
Việc hình thành và rèn luyện cho HS cần được tiến hành trên các bình diện
khác nhau.
Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán, thể hiện rõ dưới
dạng giải bài tập toán.
Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác như Vật lý,
Hoá học, Sinh hoc….
Kỹ năng vận dụng vào thực tiễn đời sống.
Có thể nói, bài tập toán chính là môi trường để rèn luyện kỹ năng giải
toán. Do đó, để rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS, GV cần tăng cường hoạt
động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán). Cụ thể
hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng toán cho HS cần quan
tâm chú trọng những vấn đề sau:
a) Cần hướng cho HS biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu tố
phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho HS biết cách
phân tích đặc điểm bài toán.
Ví dụ 5. Giải phương trình

2 4 6 2 5 2 4 2 2 5 4x x x x       

Nhận thấy
   
22
2x 4 6 2x 5 2x 5 3 , 2x 4 2 2x 5 2x 5 1           

Nên phương trình trở thành
2x 5 3 2x 5 1 4     

2x 5 3 3 2x 5
2x 5 3 0
5
x7
2
     
   
  

b) Hướng cho HS hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các
đối tượng cùng loại.
Ví dụ 6. Giải phương trình
  
22
x 2x x 2x 3 4   


15
Để ý rằng trong phương trình có nhóm ẩn
 

2
x 2x
nên ta đặt
2
t x 2x
,
phương trình trở thành
2
t1
t 3t 4 0
t4


   




Với
t1
, ta có phương trình
2
x 2x 1 0 x 1    

Với
t4
, ta có phương trình
2
x 2x 4 0 x 1 5     

Đến đây GV tổ chức cho HS các hoạt động sau
GV: Để ý rằng
    
22
x 2x x x 2 , x 2x 3 x 1 x 3       
. Vậy giải
phương trình
    
x 3 x 2 x x 1 5   
như thế nào?
HS: Biến đổi
    
22
x x 2 x 2x, x 3 x 1 x 2x 3       
, đặt
2
t x 2x

và giải như phương trình trên.
GV: Nêu cách giải phương trình
    
x 1 x 2 x 3 x 4 20    
?
HS(suy nghĩ): Biến đổi
     
22
x 1 x 4 x 5x 4, x 2 x 3 x 5x 6         
,
từ đó đặt
2

t x 5x
(hoặc
2
t x 5x 6  
hoặc
2
t x 5x 4  
) và đưa về
phương trình bậc 2 tương tự như trên.
GV: Nêu cách giải phương trình
    
x a x b x c x d m    

Trong đó
a b c d  
?
Cứ như vậy ta đã khái quát cho HS cách giải dạng bài tập trên
c) Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức
tương ứng.
Ngoài ra, còn tạo nhu cầu hướng thú cho HS, khắc phục ảnh hưởng tiêu cực
của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện các mặt sau
Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cách
giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức.
Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán

16
Ví dụ 7. Giải và biện luận phương trình
4 2 2
x 2ax x a a 0    

Ta không có công cụ để giải và biện luận phương trình bậc 4 tổng quát nhưng
nếu viết phương trình về dạng
 
2 2 4
a a 2x 1 x x 0    

Và coi đây là phương trình bậc 2 ẩn là a và x là tham số thì ta tìm được các
nghiệm
22
a x x , a x x 1    
, tức là ta đã phân tích phương trình thành
phương trình tích
  
22
2
2
x x a x x 1 a 0
x x a 0
x x 1 a 0
     

  


   



Giải 2 phương trình bậc 2, tổng hợp các kết quả là
Nếu

3
a
4

thì phương trình có 4 nghiệm
1 1 4a 1 4a 3
,
22
    

Nếu
4
a
3

thì phương trình có 3 nghiệm
1 1 1 4a
,
22



Nếu
13
a
44
  
thì phương trình có 2 nghiệm
1 1 4a
2



Nếu
1
a
4

thì phương trình có 1 nghiệm
1
2

Nếu
1
a
4

thì phương trình vô nghiệm
Như vậy, các cách giải hay, độc đáo đều gắn liền với đặc điểm của từng bài.
Do đó cần phải quan sát kỹ và chú ý đầy đủ mới có thể nhìn ra đặc điểm ẩn
sâu trong bài toán.
Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán. HS
không chỉ gặp những bài toán đơn giản, tuân theo phương pháp và các bước
làm rõ ràng mà còn gặp khá nhiều bài phức tạp, không có phương pháp sẵn.
Đòi hỏi phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ độc đáo.

17
Ví dụ 8. Giải phương trình
     
2 2 2 2
x x 1 x 3x 1 2x x 2 x 3x 1        

Thông thường ta sẽ phân tích các tích và đưa về phương trình đa thức để giải
và cách làm này thường là rất khó khăn. Để ý rằng ở mỗi nhân tử trong
phương trình trên đều có số hạng đầu và cuối giống nhau, điều đó gợi ý cho ta
cách giải phương trình như sau.
Do x = 0 không là nghiệm của phương trình, chia 2 vế của phương trình cho
2
x
ta được
1 1 2 1
x 1 x 3 2x 1 x 3
x x x x
     
        
     
     

Đặt
1
t x , t 2
x
  
ta có phương trình
2
t0
t 11t 0
t 11


  





So với điều kiện ta được t = 11, dẫn đến
2
1 11 3 13
x 11 x 11x 1 0 x
x2

       

1.2.2.1. Kỹ năng nhận thức
Kỹ năng nhận thức trong môn toán bao gồm nhiều khía cạnh. Trước hết
là kỹ năng nắm một khái niệm. Cần phải luyện tập cho HS hiểu được các dấu
hiệu đặc trưng của một khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng
cho trước có thuộc phạm vi của khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết
thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái
niệm cho trước. Từ đó HS có thể hiểu được quan hệ giữa các khái niệm.
Tiếp theo là HS cần nắm vững định lí: phân biệt được phần giả thiết và
phần kết luận, có thể nêu cách phát biểu khác của định lí, hiểu được mối quan
hệ logic giữa các định lí.
Một khía cạnh khác của kỹ năng nhận thức trong môn toán là kỹ năng
áp dụng thành thạo mỗi quy tắc, trong đó có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh

18
máy móc. Cần chú ý lựa chọn các ví dụ, khai thác các ví dụ, những bài toán
có cách giải quyết linh hoạt, đơn giản hơn là áp dụng quy tắc tổng quát
Ví dụ 9. Khi giải phương trình
    

2
x 1 2 x x 1   
, có HS khai triển các
biểu thức để đưa về phương trình bậc hai dạng tổng quát để áp dụng công
thức tính nghiệm mà không để ý thấy đặc điểm riêng của phương trình này có
thể đưa về phương trình tích
  
x 1 2x 3 0   
để suy ra được nghiệm.
Những bài tập như thế có tác dụng rất tốt trong việc khắc phục tính ỳ của tư
duy và rèn luyện tính linh hoạt của trí tuệ
1.2.2.2. Kỹ năng thực hành
Kỹ năng thực hành bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức vào hoạt động
giải toán, kỹ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn, kỹ năng thực hành
cần thiết trong đời sống thực tế
Hoạt động giải toán có thể xem là hình thức chủ yếu của hoạt động toán
học đối với mỗi HS, nó là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích của việc
dạy học môn toán. Kỹ năng vận dụng các tri thức một cách có hiệu quả vào
hoạt động giải toán của HS được huấn luyện trong quá trình họ tìm tòi lời giải
của bài toán. Quá trình này thường được tiến hành theo bốn bước: tìm hiểu
nội dung bài toán, xây dựng chương trình giải, thực hiện chương trình giải,
kiểm tra và nghiên cứu lời giải tìm được
Trong hoạt động giải toán cũng cần rèn luyện cho HS kỹ năng chuyển
từ tư duy thuận sang tư duy nghịch. Cũng như rèn cho HS kỹ năng biến đổi
xuôi chiều, ngược chiều và biến đổi song song.
Kỹ năng toán học hoá các tình huống thực tế của đời sống được cho
trong bài toán hoặc nảy sinh trong thực tế nhằm tạo điều kiện cho HS biết vận
dụng những kiến thức trong nhà trường vào cuộc sống, góp phần gây hứng
thú học tập, giúp HS nắm được thực chất nội dung vấn đề và tránh hiểu các sự
kiện toán học một cách hình thức. Để làm điều này, cần chọn các bài toán có

nội dung thực tế của khoa học, kỹ thuật, của các môn học khác (nhất là Vật lí)
và thực tế hàng ngày quen thuộc với HS. Đồng thời nên phát biểu một số bài

19
toán không phải dưới dạng thuần tuý toán học mà dưới dạng vấn đề thực tế
cần giải quyết
Để tạo điều kiện vận dụng tri thức vào thực tế còn phải có kỹ năng thực
hành cần thiết cho đời sống như là đo đạc, vẽ hình, tính toán. Trong thực tế, ở
bất kì lĩnh vực nào cũng cần đòi hỏi kỹ năng tính toán: tính đúng, tính nhanh,
tính hợp lí, cùng với các đức tính cẩn thận, chu đáo, kiên nhẫn. Do vậy, cũng
cần thiết có nhiều bài toán đòi hỏi tính toán, bài giải cũng không thể dừng lại
ở mức độ “phương hướng” mà ngại làm các các phép tính cụ thể để đi đến kết
quả cuối cùng. Khi giải quyết vấn đề, có đi sâu vào những chi tiết, những tính
toán cụ thể mới sáng tỏ nhiều khía cạnh, có khi giúp ta điều chỉnh cả phương
hướng nữa. Cũng cần khuyến khích HS tìm tòi các phương hướng, các cách
tính toán khác nhau và biết chọn phương án hợp lí nhất, rèn luyện khả năng
ước chừng và sử dụng máy tính cầm tay để bước đầu kiểm tra kết quả.
1.2.2.3. Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức
Việc rèn luyện kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi HS phải có
kế hoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện năng lực bản thân,
nhằm phấn đấu đạt được mục đích đặt ra trong từng giai đoạn. Đối với HS
yếu, phải tạo điều kiện để các em học tập với tốc độ chậm, học kỹ, nắm được
những kiến thức cơ bản, làm được những bài tập tối thiểu, thường xuyên ôn
tập, củng cố kiến thức đã học và chuẩn bị cho việc tiếp thu kiến thức mới…từ
đó nâng dần yêu cầu để các em vươn lên. Đối với những HS có khả năng học tập
toán thì trước hết cần phát triển ở các em hứng thú học môn này, dần dần hướng
dẫn làm thêm những bài toán hay, toán khó, đọc sách tham khảo để mở rộng
thêm kiến thức phương pháp…Mặt khác, lại phải đòi hỏi ở những HS này học
kỹ lí thuyết để nắm vững kiến thức cơ bản, làm thật đầy đủ kiến thức cơ bản mà
GV đã đề ra, để tránh những sai lầm thường gặp ở những HS khá, giỏi toán là

coi nhẹ việc học tập lí thuyết, tính toán lúng túng, hay nhầm lẫn…Đồng thời, nên
khuyến khích các em này vận dụng toán học vào thực tiễn phù hợp với trình độ
bản thân thông qua các hoạt động thực hành toán học.