Phát triển kỹ năng nghiên cứu khoa học cho học sinh năng khiếu toán ở bậc trung học phổ thông về bất đẳng thức và các bài toán cực trị

1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC






TẠ XUÂN HÒA







PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
CHO HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN
CỰC TRỊ




LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2009









2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC






TẠ XUÂN HÒA

PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
CHO HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN
CỰC TRỊ




LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC











HÀ NỘI – 2009

3
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC





TẠ XUÂN HÒA






PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
CHO HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN
CỰC TRỊ





LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC
Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC

Mã số: 60 14 10



Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Vũ Lƣơng






HÀ NỘI – 2009







1
MỤC LỤC
Lời cảm ơn

Mở đầu
1
1. Lý do chọn đề tài
1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2
3. Nội dung nghiên cứu

2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
2
5. Cấu trúc luận văn
3
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
5
1.1. Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học – sự lựa chọn cho nền
giáo dục hiện đại
5
1.1.1. Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học
5
1.1.2. Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học có những ƣu thế gì
6
1.1.3. Những yêu cầu của dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học
9
1.1.4. Kết luận
10
1.2. Phát hiện và bồi dƣỡng học sinh khá giỏi ở phổ thông
10
1.2.1. Mục tiêu của việc bồi dƣỡng học sinh giỏi toán
10
1.2.2. Năng khiếu toán học
11
1.2.3. Phát triển tƣ duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trƣờng phổ thông
12
1.3. Xác định đề tài nghiên cứu và định hƣớng nghiên cứu
13
1.4. Các bƣớc trong quá trình nghiên cứu
13

Chƣơng 2. HƢỚNG DẪN HỌC SINH TỰ NGHIÊN CỨU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ CỰC TRỊ
15
2.1. Các bất đẳng thức đại số cơ bản
15
2.1.1. Bất đẳng thức AM-GM
15
2.1.2. Bất đẳng thức BCS
18
2.1.3. Bất đẳng thức Jensen
23
2.1.4. Bất đẳng thức Chebyshev
26
2.2. Các đẳng thức, bất đẳng thức trong tam giác
28
2.2.1. Đẳng thức
28
2.2.2. Bất đẳng thức
30
2.3. Một số định lý khác
31

2
2.3.1. Định lý Lagrange
31
2.3.2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai
34
2.3.3. Định lý về hàm tuyến tính
36
2.4. Ứng dụng quan hệ của đƣờng thẳng với đƣờng conic vào bài toán tìm

cực trị của một biểu thức đại số
38
2.5. Phƣơng pháp xây dựng bất đẳng thức
43
2.5.1. Phƣơng pháp xây dựng bất đẳng thức dạng phân thức
43
2.5.2. Đƣa thêm tham số
44
2.5.3. Đổi bộ biến số
47
2.5.4. Ƣớc lƣợng một biểu thức đối xứng
49
2.6. Dạng hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki và áp dụng
51
2.7. Đẳng thức, Bất đẳng thức xây dựng từ những bài toán trong tam giác
58
2.7.1. Một số kết quả cơ bản
59
2.7.2. Xây dựng bài toán mới và phƣơng pháp giải
61
2.8. Một số phƣơng pháp đặt ẩn phụ trong chứng minh bất đẳng thức
68
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
82
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm
82
3.1.1. Mục đích thực nghiệm
82
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm
82

3.1.3. Tổ chức thực nghiệm
82
3.2. Một số kết quả nghiên cứu của học sinh
86
3.2.1. Tam giác đều
86
3.2.2. Tam giác cân
87
3.2.3. Tam giác vuông
88
3.2.4. Sử dụng các bƣớc đầu cơ sở
88
3.2.5. Đƣa về vectơ và tích vô hƣớng
93
3.2.6. Kết hợp các bất đẳng thức cổ điển
95
3.2.7. Tận dụng tính đơn điệu của hàm số
101
3.3. Một số nhận xét sau thực nghiệm
103
Kết luận
106
Tài liệu tham khảo




3

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong quá trình hình thành và phát triển tƣ duy của học sinh thì Toán
học có vai trò đặc biệt quan trọng. Ngƣời giáo viên cần rèn luyện cho học sinh
thấy đƣợc nhiều hình thức có thể diễn tả cùng một nội dung Toán học đồng
thời phải rèn luyện cho học sinh biết lựa chọn hình thức phù hợp nhất thể hiện
nội dung đó.
Bất đẳng thức và cực trị có vị trí đặc biệt trong toán học, không chỉ nhƣ
những đối tƣợng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò nhƣ là một công cụ đắc
lực của các mô hình toán học liên tục cũng nhƣ các mô hình toán học rời rạc
trong lý thuyết phƣơng trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn,
Trong chƣơng trình toán phổ thông, Bất đẳng thức và cực trị là một
trong những nội dung hay và thƣờng xuất hiện trong các kì thi đại học, học
sinh giỏi các cấp, Olympic Toán, Đây cũng là một nội dung quan trọng
nhằm rèn luyện trí tuệ cho học sinh. Nhìn bất đẳng thức dƣới nhiều phƣơng
diện khác nhau sẽ giúp học sinh linh hoạt trong lựa chọn hình thức thể hiện
nội dung này. Điều đó kích thích tƣ duy sáng tạo cho các em.
Tuy nhiên, bất đẳng thức và cực trị là một nội dung khó, nếu không đổi
mới phƣơng pháp dạy học thì có thể dẫn đến tình trạng truyền thụ một chiều.
Định hƣớng đổi mới phƣơng pháp dạy học hiện nay là tích cực hóa việc học
của ngƣời học. Để giải quyết mâu thuẫn trên đây ngƣời thầy cần tăng cƣờng
giao lƣu giữa thầy và trò trong quá trình dạy học. Có nhƣ vậy mới có thể vừa
tích cực hóa đƣợc việc học của ngƣời học vừa rèn luyện đƣợc tính linh hoạt
nhìn nhận một vấn đề theo nhiều phƣơng diện khác nhau cho học sinh.
Để đáp ứng nhu cầu phát triển năng lực tƣ duy, năng lực nghiên cứu,
sáng tạo cho học sinh ngay từ khi bƣớc chân vào cấp ba, chúng tôi đã chọn đề

4
tài “Phát triển kỹ năng nghiên cứu khoa học cho học sinh năng khiếu toán ở

bậc trung học phổ thông về bất đẳng thức và các bài toán cực trị”.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu: Nâng cao kỹ năng nghiên cứu khoa học cho học sinh
thông qua dạy học phần bất đẳng thức và các bài toán cực trị.
Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu phƣơng pháp nhằm phát triển kỹ năng nghiên cứu khoa học cho
học sinh.
- Xây dựng hệ thống các modun kiến thức trong dạy học nội dung bất đẳng
thức và cực trị cho học sinh khá giỏi.
- Thực nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài.

3. Nội dung nghiên cứu.
- Nghiên cứu các phƣơng pháp dạy học nhằm phát triển kỹ năng nghiên cứu
khoa học cho học sinh.
- Nghiên cứu về bất đẳng thức và cực trị.
- Nhìn nhận đẳng thức, bất đẳng thức theo nhiều phƣơng diện khác nhau dựa
vào mối liên hệ tƣơng ứng giữa các số với các đại lƣợng hình học và lƣợng
giác.
- Sáng tạo bất đẳng thức bằng cách nhìn bất đẳng thức đã có theo những
phƣơng diện mới.
- Đề xuất giải pháp sƣ phạm.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu.
4.1. Nghiên cứu lý luận.
Tìm hiểu, nghiên cứu những vấn đề liên quan đến đề tài định hƣớng cho việc
nghiên cứu; phân tích và tổng hợp những quan điểm dựa trên các tài liệu về

5
tâm lý học, giáo dục học, phƣơng pháp dạy học môn toán và các tài liệu về

bất đẳng thức và cực trị.

4.2 . Thực nghiệm sƣ phạm.
Đối tƣợng thực nghiệm: học sinh lớp 12A1, 12A5 trƣờng THPT Ngô Quyền.
Xử lý kết quả bằng một số phƣơng pháp thống kê toán học.
5. Cấu trúc luận văn.
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học – sự lựa chọn cho nền
giáo dục hiện đại
1.1.1. Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học
1.1.2. Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học có những ƣu thế gì
1.1.3. Những yêu cầu của dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học
1.1.4. Kết luận
1.2. Phát hiện và bồi dƣỡng học sinh khá giỏi ở phổ thông
1.2.1. Mục tiêu của việc bồi dƣỡng học sinh giỏi toán
1.2.2. Năng khiếu toán học
1.2.3. Phát triển tƣ duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trƣờng phổ thông
1.3. Xác định đề tài nghiên cứu và định hƣớng nghiên cứu
1.4. Các bƣớc trong quá trình nghiên cứu
Chƣơng 2. HƢỚNG DẪN HỌC SINH TỰ NGHIÊN CỨU VỀ BẤT ĐẲNG
THỨC VÀ CỰC TRỊ
2.1. Các bất đẳng thức đại số cơ bản
2.1.1. Bất đẳng thức AM-GM
2.1.2. Bất đẳng thức BCS
2.1.3. Bất đẳng thức Jensen
2.1.4. Bất đẳng thức Chebyshev
2.2. Các đẳng thức, bất đẳng thức trong tam giác
2.2.1. Đẳng thức
2.2.2. Bất đẳng thức
2.3. Một số định lý khác

6
2.3.1. Định lý Lagrange
2.3.2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai
2.3.3. Định lý về hàm tuyến tính
2.5. Ứng dụng quan hệ của đƣờng thẳng với đƣờng conic vào bài toán tìm
cực trị của một biểu thức đại số
2.5. Phƣơng pháp xây dựng bất đẳng thức
2.5.1. Phƣơng pháp xây dựng bất đẳng thức dạng phân thức
2.5.2. Đƣa thêm tham số
2.5.3. Đổi bộ biến số
2.5.4. Ƣớc lƣợng một biểu thức đối xứng
2.6. Dạng hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki và áp dụng
2.7. Đẳng thức, Bất đẳng thức xây dựng từ những bài toán trong tam giác
2.7.1. Một số kết quả cơ bản
2.7.2. Xây dựng bài toán mới và phƣơng pháp giải
2.8. Một số phƣơng pháp đặt ẩn phụ trong chứng minh bất đẳng thức
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm
3.1.1. Mục đích thực nghiệm
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm
3.1.3. Tổ chức thực nghiệm
3.2. Một số kết quả nghiên cứu của học sinh
3.2.1. Tam giác đều
3.2.2. Tam giác cân
3.2.3. Tam giác vuông
3.2.4. Sử dụng các bƣớc đầu cơ sở
3.2.5. Đƣa về vectơ và tích vô hƣớng
3.2.6. Kết hợp các bất đẳng thức cổ điển
3.2.7. Tận dụng tính đơn điệu của hàm số

3.3. Một số nhận xét sau thực nghiệm
Kết luận
Tài liệu tham khảo


7
Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN


1.1. Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học - sự lựa chọn
cho nền giáo dục đại học hiện đại
1.1.1. Dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học
Bản chất của dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học là tổ chức
quá trình ngƣời học lĩnh hội nội dung dạy học theo logic nghiên cứu khoa
học.
Trình tự logic của nghiên cứu khoa học có thể đƣợc mô hình hóa qua các
giai đoạn cơ bản nhƣ sau:









Áp dụng mô hình này vào việc dạy học với tƣ cách một phƣơng pháp dạy
học chúng ta có thể nói đến một trật tự tƣơng tự trong thiết kế từng môn học
và từng vấn đề trong nội dung môn học. Việc nghiên cứu một môn học hay

một bài học sẽ bắt đầu từ việc ngƣời dạy cùng với ngƣời học phát hiện/đặt ra
vấn đề cần giải quyết (vấn đề lý luận hay thực tiễn) trong khuôn khổ môn học
và liên môn. Giai đoạn tiếp theo sẽ là giải quyết vấn đề đặt ra thông qua các
Phát hiện vấn đề
(đặt câu hỏi nghiên cứu)
Đặt giả thuyết
(tìm câu trả lời sơ bộ)
Lập phƣơng án thu thập
thông tin (luận chứng)
Luận cứ lý thuyết
(xây dựng cơ sở lý luận)
Luận cứ thực tiễn
(quan sát, thực nghiệm)
Phân tích và bàn luận
kết quả xử lý thông tin
Tổng hợp kết quả/ kết
luận/ khuyến nghị


8
nghiên cứu lý thuyết và thực tiễn do ngƣời học tiến hành. Ở đây công việc của
ngƣời dạy là hƣớng dẫn và trợ giúp, công việc của ngƣời học là thực hiện việc
giải quyết vấn đề. Giai đoạn cuối sẽ là đánh giá việc đặt và giải quyết vấn đề,
và trên cơ sở đó đặt ra những vấn đề mới để giải quyết. Cứ nhƣ vậy toàn bộ
quá trình dạy học sẽ là một chu trình liên tục đặt và giải quyết các vấn đề. Có
thể hình dung quá trình dạy học nhƣ một chuỗi hoạt động liên tục nhƣ sau:

Ở mỗi giai đoạn trong chuỗi trên là hoạt động cùng nhau của cả ngƣời
dạy và ngƣời học theo nguyên tắc ngƣời dạy hƣớng dẫn, cố vấn, trợ giúp -
ngƣời học chủ động tiến hành việc tìm kiếm, giải quyết vấn đề. Ở đây các kỹ
thuật dạy học khác nhau, từ tự nghiên cứu, quan sát, làm thực nghiệm đến
thảo luận, thuyết trình, làm báo cáo… đều có thể đƣợc sử dụng. Có thể thấy ở
đây sự dung hợp trong hƣớng dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học
các phƣơng pháp và kỹ thuật dạy học hiện đại, tích cực.
1.1.2. Dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học có những ưu
thế gì?
Bảo đảm vị thế tích cực, chủ động của người học. Ngƣời học đƣợc đặt
Phát hiện vấn đề/ Đặt vấn đề/
Nêu vấn đề nghiên cứu
cứu
Đƣa ra giả thuyết/
hƣớng giải quyết vấn đề
Lập phƣơng án thu thập thông tin
để giải quyết vấn đề (luận chứng)
Tìm kiếm/ xây dựng cơ sở lý luận
(nghiên cứu lý luận)
Luận cứ thực tiễn
(nghiên cứu thực tiễn, thực nghiệm)
Phân tích và bàn luận kết quả
(xử lý thông tin thu đƣợc)

Tổng hợp kết quả/ Kết luận/
Đặt ra vấn đề nghiên cứu mới

9
vào vị trí chủ động nhất: tìm tòi, phát hiện và độc lập giải quyết (thông qua
các nghiên cứu lý luận và thực tiễn do chính mình thực hiện) các vấn đề lý
luận và thực tiễn của từng bộ môn, từng lĩnh vực tri thức.
Hình thành phương pháp làm việc khoa học. Ở đây ngƣời học đƣợc tập
luyện tối đa phƣơng pháp làm việc theo đúng quy trình nghiên cứu khoa học.
Điều này tạo cơ sở vững chắc cho việc hình thành ở ngƣời học các phẩm chất
và năng lực, kỹ năng và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học – yêu cầu bắt buộc
đối với ngƣời trí thức thời đại kinh tế tri thức và xã hội học tập.
Phát triển hứng thú nhận thức, thỏa mãn nhu cầu tìm tòi, khám phá của
ngƣời học. Trong hƣớng dạy học này ngƣời học không chỉ tự mình tìm cách
giải quyết các vấn đề đặt ra mà còn tự phát hiện ra các vấn đề mới cần giải
quyết. Điều này thỏa mãn nhu cầu đặc trƣng của con ngƣời – nhu cầu tìm tòi
khám phá. Những cảm xúc có đƣợc thông qua sự tìm tòi khám phá, cảm xúc
thành công và cảm xúc về sự hoàn thành trọn vẹn một công việc là những
củng cố tích cực cho việc hình thành và phát triển nhu cầu và hứng thú nhận
thức của ngƣời học.
Bảo đảm tốt nhất yêu cầu cá biệt hóa dạy học, phù hợp với tốc độ, nhịp
độ học tập của từng ngƣời học. Mỗi ngƣời học đặt ra và giải quyết các vấn đề
trong khả năng của mình, với tốc độ và nhịp độ phù hợp nhất với mình. Điều
này cho phép hiện thực hóa tối đa yêu cầu cá biệt hóa dạy học, đồng thời cũng
bảo đảm một sự đánh giá khách quan nhất những tiến bộ của ngƣời học.
Phù hợp đặc điểm tâm lý-nhận thức, nhân cách của người học trưởng
thành. G.A.Kelly, nhà tâm lý học xuất sắc thế kỷ XX, nhìn nhận mỗi con
ngƣời là một nhà khoa học, nó cố gắng hiểu, lý giải, dự đoán, kiểm soát thế
giới các sự kiện để có thể tác động qua lại có hiệu quả với chúng. Cách thức
nhận thức thế giới của con ngƣời giống hệt nhƣ cách thức nhận thức của nhà

khoa học. Ngƣời trƣởng thành lại có xu hƣớng học thông qua giải quyết các

10
vấn đề (Knowles), họ chủ động xây dựng kiến thức cho bản thân bằng cách
tạo các biểu tƣợng của chính họ về những điều cần học, lựa chọn thông tin mà
họ nhận thấy là thích hợp, và diễn giải thông tin trên cơ sở kiến thức và nhu
cầu hiện có của họ (Prawat & Floden, 1994). Chính những lý do này cho phép
khẳng định, về mặt tâm lý học dạy học, dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu
khoa học là phù hợp hơn cả đối với ngƣời học trƣởng thành.
Gắn đào tạo với việc giải quyết các nhiệm vụ thực tiễn. Bằng việc phát
hiện và giải quyết các vấn đề nảy sinh trong từng môn khoa học, từng lĩnh
vực tri thức, quá trình học tập, đào tạo đƣợc gắn một cách hữu cơ vào cuộc
sống xã hội, vào đời sống khoa học. Nói một cách khác, bằng cách này
nguyên lý “học đi đối với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý
luận gắn liền với thực tiễn” đƣợc thực hiện triệt để hơn cả. Đồng thời, ngƣời
học thấy đƣợc giá trị thực tiễn của các tri thức, kỹ năng, kỹ xảo học đƣợc,
điều này tạo ra động cơ tích cực cho việc học.
Bảo đảm xu hướng dân chủ hóa nhà trường. Đây là xu thế chung của
giáo dục thế giới hiện đại. Với việc đƣa phƣơng pháp nghiên cứu khoa học
vào dạy học, ngƣời học sẽ có cơ hội nhìn vấn đề từ nhiều góc độ, nhiều quan
điểm nghiên cứu, tránh bị áp đặt một hƣớng nhìn duy nhất, và có cơ hội đƣa
ra giải pháp mang tính sáng tạo và dấu ấn cá nhân. Đây là tiền đề quan trọng
cho việc dân chủ hóa nhà trƣờng và giáo dục.
Phù hợp với đặc điểm người giáo viên. Ngƣời giáo viên là giảng viên-
nhà nghiên cứu. Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học sẽ là “tự
nhiên” đối với giáo viên, hoạt động dạy học và nghiên cứu khoa học đƣợc hòa
quyện với nhau theo cùng một logic. Những kinh nghiệm nghiên cứu khoa
học đƣợc áp dụng tối đa cho đào tạo và điều này bảo đảm một sự thành công
gần nhƣ chắc chắn đối với hầu hết mọi nhà giáo.

11
Phù hợp với điều kiện không gian và thời gian của việc đào tạo trong xã
hội hiện đại. Mạng thông tin toàn cầu đƣợc khai thác tối đa bởi học sinh để
phục vụ việc tìm kiếm và giải quyết các vấn đề bởi lẽ ngƣời học phải tự đặt ra
và giải quyết các vấn đề mà không thể trông chờ ở sự cung cấp của giáo viên.
Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học cũng cho phép sử dụng tối
ƣu quỹ thời gian của ngƣời học. Điều này phù hợp với xu thế chung của các
chƣơng trình giáo dục trên thế giới.
Nói tóm lại, dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học bảo đảm
tốt nhất mục tiêu giáo dục trong khung cảnh thời đại mới nhƣ yêu cầu của
Luật giáo dục: “phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tƣ duy sáng tạo của
ngƣời học; bồi dƣỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vƣơn
lên”, và yêu cầu của Chiến lƣợc phát triển giáo dục Việt Nam 2001-2010:
“dạy ngƣời học phƣơng pháp tự học, tự thu nhận thông tin một cách có hệ
thống và có tƣ duy phân tích, tổng hợp, tăng cƣờng tính chủ động, tính tự chủ
của học sinh trong học tập”. Sự định hƣớng vào phƣơng pháp dạy học này
hoàn toàn phù hợp với định hƣớng của Nghị quyết 02-NQ/HNTW BCH TW
Đảng khóa VIII: “Đổi mới mạnh mẽ phƣơng pháp giáo dục đào tạo, khắc
phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tƣ duy sáng tạo của ngƣời học.
Từng bƣớc áp dụng các phƣơng pháp tiên tiến và các phƣơng tiện hiện đại
vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu
cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”.
1.1.3. Những yêu cầu của dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa
học
Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học đòi hỏi, trƣớc hết, ngƣời
giáo viên phải là một nhà nghiên cứu khoa học, biết cách tìm tòi và giải quyết
các vấn đề lý luận và thực tiễn nảy sinh. Chỉ trong trƣờng hợp này ngƣời dạy
mới có thể hƣớng dẫn ngƣời học học - nghiên cứu đƣợc.

12

Thứ hai, nội dung dạy học phải đƣợc thiết kế hƣớng vào các vấn đề/câu
hỏi lý luận và thực tiễn cụ thể của từng môn học hay lĩnh vực ứng dụng.
Thứ ba, các phƣơng tiện phục vụ học tập, nhất là tài liệu dạy học, phải đa
dạng, đầy đủ theo hƣớng phục vụ nghiên cứu.
Thứ tƣ, phƣơng pháp kiểm tra, đánh giá phải hƣớng trƣớc hết vào đánh
giá năng lực tự học, tự nghiên cứu, khả năng sáng tạo của ngƣời học.
Thứ năm, việc quản lý quá trình dạy học phải dịch chuyển theo hƣớng
gắn với những đặc thù của việc nghiên cứu khoa học hơn là của việc dạy học
thuần túy.

1.1.4. Kết luận
Việc tìm kiếm những đƣờng hƣớng và phƣơng pháp dạy học cho phép
thực hiện hiệu quả nhất mục tiêu giáo dục luôn là vấn đề cấp thiết cả về mặt
lý luận và thực tiễn. Phƣơng pháp giáo dục đang đƣợc sử dụng phổ biến trong
dạy học ở nƣớc ta đã bộc lộ những khiếm khuyết - tạo ra tính ỳ, sự thụ động,
kinh viện, thiếu sáng tạo ở ngƣời học. Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu
khoa học tỏ ra thích hợp hơn cả trong việc thực hiện mục tiêu tạo ra những
con ngƣời “tự sản sinh ra năng lực và phẩm chất của chính mình” (mƣợn cách
nói của C. Marx), đáp ứng những đòi hỏi khắt khe nhất của thực tiễn xã hội
hiện đại. Và sẽ là thích hợp hơn nếu coi đây là một hƣớng dạy học, dung hợp
trong nó nhiều phƣơng pháp và kỹ thuật dạy học khác nhau, hơn là một
phƣơng pháp dạy học cụ thể. Điều này sẽ cho phép một sự áp dụng mềm dẻo
hơn trong việc tổ chức dạy học với những tiềm năng về phƣơng pháp dạy học
khác nhau ở ngƣời giáo viên.
1.2. Phát hiện và bồi dƣỡng học sinh khá giỏi ở trƣờng phổ thông
1.2.1. Mục tiêu của việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán

13
Hiện nay ở nƣớc ta, những học sinh giỏi toán ở trƣờng THPT thƣờng
đƣợc tập hợp thành những lớp đặc biệt ở những lớp chuyên hay khối chuyên,

trƣờng chuyên. Mục tiêu của những lớp này là phát hiện những học sinh có
năng lực toán học, bồi dƣỡng các em phát triển tốt về mặt này trên cơ sở giáo
dục toàn diện, góp phần đào tạo đội ngũ cán bộ khoa học kỹ thuật giỏi, trong
số đó một số có thể trở thành nhân tài của đất nƣớc.

1.2.2. Năng khiếu toán học
Năng khiếu, theo định nghĩa của từ điển tiếng Việt là năng lực trội,
năng lực đặc biệt của con ngƣời xuất hiện từ khi còn nhỏ. Nhƣ vậy năng khiếu
toán học có thể coi nhƣ một tổ hợp những năng lực toán học, mà ở lứa tuổi
học sinh thể hiện rõ nhất ở năng lực học toán.
Nhà tâm lý học V.A.Kơrutecxki cho rằng: " Năng lực học tập toán học
là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trƣớc hết là các đặc điểm hoạt động trí
tuệ), đáp ứng yêu cầu hoạt động học toán và giúp cho việc nắm giáo trình
toán một cách tƣơng đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ
xảo toán học" [51,tr13]
Viện sĩ toán học A.N.Kônmôgôrôp viết trong cuốn sách "Về nghề
nghiệp của nhà toán học": Để nắm vững toán học một cách có kết quả ở mức
độ cao thì đòi hỏi cần có những năng lực toán học đƣợc phát triển, năng lực
này mang ý nghĩa sáng tạo khoa học. Theo ông, thành phần cơ bản của năng
lực toán học gồm có:
- Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm ra con
đƣờng giải phƣơng trình không theo quy tắc chuẩn, năng lực tính toán.
- Trí tƣởng tƣợng hình học hay là trực giác hình học.
- Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bƣớc đã đƣợc phân chia một cách đúng
đắn kế tiếp nhau, nguyên tắc quy nạp toán học là tiêu chuẩn tốt cho sự trƣởng
thành lôgic hoàn toàn cần thiết đối với nhà toán học.

14
Theo quan điểm tâm lý học, trong mỗi con ngƣời đều tiềm tàng một
năng khiếu, một tài năng, tất nhiên ở mức độ khác nhau. Đó là một kết luận

quan trọng. Trong quá trình dạy học toán, ngƣời thầy cần có những biện pháp
phát hiện những năng khiếu toán học ở học trò, từ đó có thể tạo ra môi trƣờng
và tổ chức các hoạt động thích hợp giúp các em phát triển năng lực đó.
1.2.3. Phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trường phổ thông

Toán học có thể xem xét theo hai phƣơng diện. Nếu chỉ trình bày lại
những kết quả toán học đã đạt đƣợc thì nó là một khoa học suy diễn và tính
lôgic nổi bật lên. Nhƣng nếu nhìn toán học trong quá trình hình thành và phát
triển, trong quá trình tìm tòi và phát minh, thì trong phƣơng pháp của nó vẫn
có tìm tòi, dự đoán, vẫn có thực nghiệm và quy nạp. Nhƣ vậy sự thống nhất
giữa suy đoán và suy diễn là một đặc điểm của tƣ duy toán học.
Ngày nay, khi khoa học và công nghệ có những bƣớc phát triển mạnh
mẽ, trở thành lực lƣợng sản xuất trực tiếp trong nền kinh tế tri thức, thì mục
tiêu giáo dục nói chung và nhiệm vụ phát triển tƣ duy sáng tạo cho thế hệ trẻ
nói riêng có vai trò đặc biệt quan trọng. Sứ mệnh của nhà trƣờng hiện đại là
phát triển tối ƣu nhân cách của học sinh, trong đó năng lực sáng tạo cần đƣợc
bồi dƣỡng để thúc đẩy mọi tài năng.
Môn toán với vị trí của nó trong nhà trƣờng phổ thông, có khả năng to
lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện tƣ
duy chính xác, hợp lôgic, phƣơng pháp khoa học trong suy nghĩ, lập luận,
trong học tập và giải quyết các vấn đề: Biết quan sát, thí nghiệm, mò mẫm, dự
đoán, dùng tƣơng tự, quy nạp, chứng minh và qua đó có tác dụng lớn rèn
luyện cho học sinh trí thông minh sáng tạo. Phát triển tƣ duy sáng tạo toán
học nằm trong việc phát triển năng lực trí tuệ chung, một nội dung quan trọng
của mục đích dạy học môn toán. Mục đích đó cần đƣợc thực hiện có ý thức,
có hệ thống, có kế hoạch chứ không phải tự phát. Về phía ngƣời giáo viên,

15
trọng hoạt động dạy học toán cần vạch ra những biện pháp cụ thể và thực hiện
đầy đủ một số mặt sau đây:

- Rèn luyện tƣ duy lôgic và ngôn ngữ chính xác.
- Phát triển khả năng suy đoán và tƣởng tƣợng.
- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản, các thao tác tƣ duy nhƣ: Phân
tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, trừu tƣợng hoá.
- Hình thành, rèn luyện những phẩm chất trí tuệ nhƣ: Tính linh hoạt,
tính độc lập, tính sáng tạo trong tƣ duy.

1.3. Xác định Đề tài nghiên cứu và định hƣớng nghiên cứu

Tính mới: Không trùng lặp hoàn toàn với các công trình khoa học trƣớc đó.
Tính thời sự: Xã hội hiện nay đang quan tâm, thể hiện trên TV, mạng, báo
chí,…
Tính thực tiễn: Nhằm giải quyết các hiện tƣợng xã hội đang diễn ra, hoặc sắp
diến ra trong tƣơng lai gần đối với đất nƣớc hoặc 1 địa phƣơng.
Tính khả thi: Có thể đƣợc ứng dụng ngay để giải quyết các vấn đề đang đặt ra,
phù hợp với hoàn cảnh thực tiễn, không bị lệ thuộc vào quá nhiều điều kiện
khách quan, …
Tính hợp lý: Phải chứng minh đƣợc bằng những lý thuyết, những lập luận
logic, những thông tin và số liệu thống kê, điều tra, …
Tính ứng dụng: Có thể ứng dụng đƣợc các kiến thức đƣợc cung cấp trong quá
trình học để giải quyết vấn đề.
Tính kế thừa: Cố gắng không bắt đầu từ đầu, phải tận dụng đƣợc những kết
quả có sẵn của các công trình nghiên cứu trƣớc đó, từ đó thể hiện rằng công
trình của mình là một bƣớc tiến mới so với các công trình trƣớc đó.
Tính hấp dẫn và hữu ích đối với bản thân: Đề tài đó làm mình thấy lôi cuốn,
phù hợp với sở thích riêng, phù hợp với công việc của mình trong tƣơng lai.


16
1.4. Các bƣớc trong quá trình nghiên cứu

Bƣớc 1: Xác định đề tài nghiên cứu và thể loại công trình nghiên cứu của
mình.
Bƣớc 2: Cố gắng đọc lƣớt tất cả các tài liệu có liên quan đến đề tài nghiên
cứu.
Bƣớc 3: Qua quá trình nghiên cứu (tại bƣớc 2) cố gắng phân nhóm các quan
điểm về từng vấn đề của đề tài nghiên cứu. Có thể tham khảo thêm quan điểm
của nhiều thầy cô và các bạn (gặp trực tiếp hoặc thông qua giờ thảo luận)
Bƣớc 4: Suy nghĩ để định ra quan điểm của riêng mình.
Bƣớc 5: Phác thảo Đề cƣơng. Đề cƣơng phải đƣợc thiết kế sao cho có tính
logic, phù hợp với đề tài của mình và thể hiện đƣợc ý đồ sáng tạo tổng thể của
mình.
Bƣớc 6: Viết từng phần của công trình nghiên cứu theo Đề cƣơng định sẵn.
Bƣớc 7: Quên đi tất cả những gì đã viết (1-2 tuần).
Bƣớc 8: Đọc lại, tự phản biện và nhờ thầy cô sửa giúp.
Bƣớc 9: Chỉnh sửa, hoàn thiện và nộp.
Bƣớc 10: Tiếp tục nghiên cứu, đọc lại và chuẩn bị cho công việc bảo vệ.

17
Chƣơng 2
HƢỚNG DẪN HỌC SINH TỰ NGHIÊN CỨU
VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ



Để bắt đầu một cuộc hành trình, ta không thể không chuẩn bị hành trang để
lên đƣờng. Toán học cũng vậy. Muốn khám phá đƣợc cái hay và cái đẹp của
bất đẳng thức, ta cần có những “vật dụng” chắc chắn và hữu dụng.

2.1. Các bất đẳng thức đại số cơ bản :

2.1.1. Bất đẳng thức AM - GM :

Với mọi số thực không âm
n
aaa , ,,
21
ta luôn có
n
n
n
aaa
n
aaa

21
21




Bất đẳng thức AM - GM (Arithmetic Means - Geometric Means) là một bất
đẳng thức quen thuộc và có ứng dụng rất rộng rãi. Đây là bất đẳng thức ta
cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là công cụ hoàn hảo cho việc chứng minh các
bất đẳng thức.
Chứng minh :

Cách 1 : Quy nạp kiểu Cauchy

Với
1n
bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Khi
2n
bất đẳng thức trở thành

 
0
2
2
2121
21


aaaa

aa
(đúng!)
Giả sử bất đẳng thức đúng đến
kn 
tức là :

k
k
k
aaa
k
aaa


21
21



Ta sẽ chứng minh nó đúng với
kn 2
. Thật vậy ta có :
   
  
  
k
kkk
k
kkk
k

k
kkkk
kkkk
aaaaa
k
aaakaaak
k
aaaaaa
k
aaaaaa
2
2121
22121
22121
22121



2











Tiếp theo ta sẽ chứng minh với
1 kn
. Khi đó :

18
 
1
121121
1
121
1
121121
1
121121
1













k
kk

k
k
k
k
kk
k
kk
aaakaaa
aaak
aaaaaakaaaaaa

Nhƣ vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh hoàn toàn.
Đẳng thức xảy ra
n
aaa 
21


Cách 2 : ( lời giải của Polya )
Gọi
n
aaa
A
n



21

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tƣơng đƣơng với

n
n
Aaaa 
21
(*)
Rõ ràng nếu
Aaaa
n

21
thì (*) có dấu đẳng thức. Giả sử chúng không
bằng nhau. Nhƣ vậy phải có ít nhất một số, giả sử là
Aa 
1
và một số khác,
giả sử là
Aa 
2
tức là
21
aAa 
.
Trong tích
n
aaaP
21

ta hãy thay
1

a
bởi
Aa 
1
'
và thay
2
a
bởi
Aaaa 
212
'
.
Nhƣ vậy
2121
'' aaaa 

mà
    
0''
2121212221
 AaAaaaAaaAaaaa

2121
'' aaaa 

nn
aaaaaaaa ''
321321


Trong tích
n
aaaaP '''
321

có thêm thừa số bằng
A
. Nếu trong
'P
còn thừa
số khác
A
thì ta tiếp tục biến đổi để có thêm một thừa số nữa bằng
A
. Tiếp
tục nhƣ vậy tối đa
1n
lần biến đổi ta đã thay mọi thừa số
P
bằng
A
và đƣợc
tích
n
A
. Vì trong quá trình biến đổi tích các thừa số tăng dần
n
AP 


đpcm.

Ví dụ 2.1.1.1. Cho A,B,C là ba góc của một tam giác nhọn. CMR :

33tantantan  CBA

Lời giải :

Vì
 
C
BA
BA
CBA tan
tantan1
tantan
tantan 





CBACBA tantantantantantan 

Tam giác ABC nhọn nên tanA,tanB,tanC dƣơng.
Theo AM - GM ta có :

19

   
33tantantan
tantantan27tantantan
tantantan3tantantan3tantantan
2
33



CBA
CBACBA
CBACBACBA

Đẳng thức xảy ra
 CBA


ABC đều.

Ví dụ 2.1.1.2. Cho

ABC nhọn. CMR :
3cotcotcot  CBA

Lời giải :

Ta luôn có :
 
CBA cotcot 

1cotcotcotcotcotcot
cot
cotcot
1cotcot





ACCBBA
C
BA
BA

Khi đó :
     
   
3cotcotcot
3cotcotcotcotcotcot3cotcotcot
0cotcotcotcotcotcot
2
222



CBA
ACCBBACBA
ACCBBA

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

ABC đều.

Ví dụ 2.1.1.3. CMR với mọi

ABC nhọn và
*Nn
ta luôn có :

2
1
3
tantantan
tantantan




n
nnn
CBA
CBA

Lời giải :
Theo AM - GM ta có :

   
 
 

2
1
3
3
3
3
33
3333tantantan3
tantantan
tantantan
tantantan3tantantan3tantantan








n
n
n
nnn
nn
nnn
CBA
CBA
CBA
CBACBACBA


đpcm.

Ví dụ 2.1.1.4. Cho a,b là hai số thực thỏa :
0coscoscoscos  baba

CMR :
0coscos  ba

Lời giải :
Ta có :

  
1cos1cos1
0coscoscoscos


ba
baba

Theo AM - GM thì :

   
  
0coscos
1cos1cos1
2
cos1cos1




ba
ba
ba



20
Ví dụ 2.1.1.5. Chứng minh rằng với mọi
ABC
nhọn ta có :
2
3
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
3
2
2
cos
2

cos
coscos
2
cos
2
cos
coscos
2
cos
2
cos
coscos








ACCBBA
AC
AC
CB
CB
BA
BA

Lời giải :
Ta có















BA
BA
BA
BA
AA
A
A
cotcot
4
3
2
sin
2
sin
2

cos
2
cos4
coscos
4
3
2
cot
2
sin
2
cos2
cos

Theo AM - GM thì :























BA
BA
BA
BA
BA
BA
BA
BA
cotcot
4
3
2
sin
2
sin
3
2
2
cos
2
cos
coscos
2

cotcot
4
3
2
sin
2
sin
2
cos
2
cos4
coscos
4
3
2

Tƣơng tự ta có :
















AC
AC
AC
AC
CB
CB
CB
CB
cotcot
4
3
2
sin
2
sin
3
2
2
cos
2
cos
coscos
cotcot
4
3
2
sin
2

sin
3
2
2
cos
2
cos
coscos

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta đƣợc :
 
ACCBBA
ACCBBA
AC
AC
CB
CB
BA
BA
cotcotcotcotcotcot
2
3
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin

2
sin
2
sin
3
2
2
cos
2
cos
coscos
2
cos
2
cos
coscos
2
cos
2
cos
coscos










2
3
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
3
2








ACCBBA

đpcm.

2.1.2. Bất đẳng thức BCS :


21
Với hai bộ số
 
n
aaa , ,,
21
và
 
n
bbb , ,,
21
ta luôn có :

 
  
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211

nnnn

bbbaaabababa 


Chứng minh :
Cách 1 :

Xét tam thức :

     
22
22
2
11
)(
nn
bxabxabxaxf 

Sau khi khai triển ta có :

 
 
 
22
2
2
12211
2
22
2
2

1
2 )(
nnnn
bbbxbababaxaaaxf 

Mặt khác vì
Rxxf  0)(
nên :
 
  

22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211
0
nnnnf
bbbaaabababa
đpcm.
Đẳng thức xảy ra
n
n
b
a

b
a
b
a

2
2
1
1
(quy ƣớc nếu
0
i
b
thì
0
i
a
)

Cách 2 :

Sử dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :

  
22
2
2
1
22
2

2
1
22
2
2
1
2
22
2
2
1
2

2

nn
ii
n
i
n
i
bbbaaa
ba
bbb
b
aaa
a







Cho i chạy từ 1 đến n rồi cộng vế cả n bất đẳng thức lại ta có đpcm.

Ví dụ 2.1.2.1.
CMR với mọi

,,ba
ta có :
  
2
2
1cossincossin








ba
ba


Lời giải :

Ta có :
    

 
      
12cos12sin1
2
1
2
2cos1
2sin
22
2cos1
coscossinsincossincossin
22













abbaab
ab
ba
abbaba

Theo BCS ta có :

 
2cossin
22
BAxBxA 

áp dụng
 
2
ta có :

       
  
 
31112cos12sin
22
22
 baabbaabba


Thay
 
3
vào
 
1
ta đƣợc :

22

  
  


 
4111
2
1
cossincossin
22
 baabba


Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau đây với mọi a, b :

  


 
5
2
1111
2
1
2
22









ba
baab

Thật vậy :

 
  
  
2
2
11
24
111
2
1
22
1
5
22
22
22
22






ba
ba
abba
ba
ab

  
   
 
6
2
11
11
22
22


ba
ba

Theo AM - GM thì
 
6
hiển nhiên đúng
 
5
đúng.
Từ

 
1
và
 
5
suy ra với mọi

,,ba
ta có :

  
2
2
1cossincossin








ba
ba


Đẳng thức xảy ra khi xảy ra đồng thời dấu bằng ở
 
1
và

 
6


 
































Zkk
ab
ba
arctg
ba
ab
ba
tg
ba
abba
ba
212
1
1
2cos
1
2sin
22




Ví dụ 2.1.2.2.

Cho
0,, cba
và
cybxa  cossin
. CMR :

33
222
11sincos
ba
c
bab
y
a
x



Lời giải :

Bất đẳng thức cần chứng minh tƣơng đƣơng với :

 
*
cossin
11cos1sin1
33
222

33
222
ba
c
b
y
a
x
ba
c
bab
y
a
x








Theo BCS thì :

 
  
2
2
2
1

2
2
2
1
2
2211
bbaababa 