Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán dựng hình cho học sinh ở trường trung học cơ sở

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC








NGUYỄN THỊ THANH BÌNH







RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN
DỰNG HÌNH CHO HỌC SINH Ở TRƢỜNG
TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƢ PHẠM TOÁN HỌC








Hà Nội – 2010

2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC







NGUYỄN THỊ THANH BÌNH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN
DỰNG HÌNH CHO HỌC SINH Ở TRƢỜNG
TRUNG HỌC CƠ SỞ




LUẬN VĂN THẠC SỸ SƢ PHẠM TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học
(Bộ môn Toán)
Mã số : 601410
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. VŨ QUỐC CHUNG





Hà Nội – 2010

3


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới Ban Giám Hiệu, các thầy cô giáo
Trường Đại học Giáo Dục – Đại học Quốc Gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện
về vật chất cũng như về tinh thần giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới thầy giáo hướng dẫn: PGS.
TS. Vũ Quốc Chung – người đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo cho tôi trong

suốt thời gian thực hiện luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo cùng các em học sinh trường
trung học cơ sở Tiền Phong, Mê Linh; trường trung học cơ sở Bình Yên,
Thạch Thất và trường trung học cơ sở Trần Đăng Ninh, Sơn Tây, Hà Nội đã
nhiệt tình giúp đỡ thực hiện tốt công việc trả lời các phiếu điều tra và tham
gia thực hiện lớp học đối chứng.
Cảm ơn gia đình cùng bạn bè, đồng nghiệp đã ủng hộ tinh thần, thời
gian, vật chất để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn không tránh khỏi những sai
sót, rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp.

Hà Nội, ngày 17 tháng 10 năm 2010
Tác giả luận văn


Nguyễn Thị Thanh Bình








4
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Lịch sử nghiên cứu 3

3. Mục tiêu nghiên cứu 4
4. Phạm vi nghiên cứu 4
5. Mẫu khảo sát 4
6. Vấn đề nghiên cứu 4
7.Giả thuyết nghiên cứu 5
8. Phương pháp chứng minh luận điểm 5
9. Bố cục của luận văn 5
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6
1.1. Một số vấn đề về rèn luyện kỹ năng. 6
1.1.1. Khái niệm kỹ năng 6
1.1.2.Kỹ năng giải toán 8
1.1.3.Sự hình thành kỹ năng giải toán 11
1.2.Một số vấn đề về bài toán dựng hình. 12
1.2.1. Vai trò của bài tập toán 12
1.2.2. Những bài toán dựng hình. 15
1.2.3. Các dụng cụ dựng hình 18
1.2.4. Các phép dựng hình cơ bản 18
1.3. Quy trình chung giải toán dựng hình 20
1.3.1. Phân tích 20
1.3.2. Cách dựng 22
1.3.3. Chứng minh 23
1.3.4. Biện luận 25
1.4. Thực trạng của việc dạy học giải bài toán dựng hình ở các lớp trung 26
học cơ sở hiện nay

5
1.4.1. Mục đích điều tra 26
1.4.2. Phương pháp điều tra 26
1.4.3.Kết quả điều tra 27
Kết luận chương 1 35

Chƣơng 2: RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG CƠ BẢN 36
GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
2.1. Một số vấn đề về chương trình hình học có liên quan đến dựng hình 36
ở trường trung học cơ sở.
2.1.1. Tóm tắt nội dung kiến thức của chương trình hình học có liên quan 36
đến dựng hình ở trường trung học cơ sở.
2.1.3. Những yêu cầu về dạy học hình học ở trường trung học cơ sở. 37
2.2. Một số phương pháp giải toán dựng hình ở trường trung học cơ sở. 41
2.2.1. Phương pháp sử dụng quỹ tích tương giao 41
2.2.2. Phương pháp sử dụng phép tịnh tiến 45
2.2.3. Phương pháp sử dụng hìng đồng dạng 50
2.2.4. Phương pháp sử dụng đại số 54
2.3. Một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài toán dựng hình ở 60
trường trung học cơ sở.
2.3.1. Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ năng vẽ thêm đường phụ (hình phụ), khi 60
giải bài toán dựng hình.
2.3.2. Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng phân tích bài toán dựng hình. 65
2.3.3. Biện pháp 3: Hướng dẫn học sinh cách biện luận bài toán dựng hình 66
2.3.4. Biện pháp 4: Hướng dẫn học sinh tìm dấu hiệu đặc trưng của từng 70
phương pháp, từ đó vận dụng vào việcgiải bài toán cụ thể một cách dễ dàng.
2.3.5. Biện pháp 5: Rèn luyện kỹ năng thực hiện đầy đủ các bước của quy 73
trình giải bài toán dựng hình.
2.3.6. Biện pháp 6: Vận dụng linh hoạt các phương pháp dựng hình khác 76
nhau
Kết luận chương 2 79

6
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 80
3.1. Mục đích thực nghiệm 80
3.2. Tổ chức thực nghiệm 80

3.3.1. Đối tượng thực nghiệm 80
3.3.2. Phương pháp thực nghiệm 81
3.2.3. Thời gian thực nghiệm: 81
3.2.4. Nội dung thực nghiệm 81
3.3. Kết quả thực nghiệm 88
3.4. Kết luận thực nghiệm 88
3.4.1. Phương pháp giảng dạy 88
3.4.2. Khả năng lĩnh hội của học sinh 88
Kết luận chương 3 89
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 90
TÀI LIỆU THAM KHẢO

7
MỞ ĐẦU
Tên đề tài: "Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán dựng hình cho học sinh ở
trường trung học cơ sở".
1. Lý do chọn đề tài
Trong giai đoạn hiện nay, đất nước đang thời kỳ hội nhập, đòi hỏi toàn
Đảng, toàn dân phải biết nâng cao kiến thức, góp phần thúc đẩy sự nghiệp công
nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước. Trong đó, nhà giáo là nòng cốt chiếm vai trò
quan trọng trong ngành giáo dục.
Chính vì vậy, những năm gần đây, ngành giáo dục đã có những bước đổi
mới toàn diện về phương pháp dạy học trong nhà trường để góp phần nâng cao
chất lượng học tập của học sinh. Việc đổi mới phương pháp dạy học được thực
hiện theo định hướng hoạt động hoá người học, tức là tổ chức cho người học học
tập trong hoạt động và bằng hoạt động. Người học là chủ thể kiến tạo tri thức,
rèn luyện kỹ năng, hình thành thái độ. Tính tự giác, tích cực và chủ động của
người học có thể đạt được bằng cách thông qua những hoạt động được hướng
đích và gợi động cơ nhằm chuyển hoá nhu cầu của xã hội thành nhu cầu nội tại
của chính bản thân mình.
Người học chỉ có thể phát huy sáng tạo khi họ được học tập trong hoạt
động và bằng hoạt động. Đòi hỏi này xuất phát từ những yêu cầu của xã hội đối
với sự phát triển nhân cách của thế hệ trẻ, từ những đặc điểm của nội dung và từ
bản chất của quá trình học tập. Để đáp ứng đòi hỏi đó, chúng ta không chỉ dừng
ở việc nêu định hướng đổi mới phương pháp dạy học mà cần phải đi sâu vào
những phương pháp dạy học cụ thể như những giải pháp để thực hiện định
hướng nói trên.

Trong quá trình dạy học, mỗi nội dung bao gồm những hoạt động nhất
định, bên cạnh việc người học lĩnh hội tri thức, người học còn có thể kiến tạo,
ứng dụng, củng cố tri thức, rèn luyện kỹ năng và hình thành thái độ có liên quan
đến nội dung tri thức đó. Phát hiện được những hoạt động như vậy trong một nội
dung là vạch được một con đường để người học chiếm lĩnh nội dung đó và đạt

8
được những mục tiêu dạy học khác, cũng đồng thời là cụ thể hoá được mục tiêu
dạy học nội dung đó và chỉ ra được cách kiểm tra xem mục tiêu dạy học đó có
đạt được hay không và đạt được đến mức độ nào. Điều này thể hiện rõ nét mối
liên hệ giữa mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học. Nó hoàn toàn phù hợp
với luận điểm cơ bản của giáo dục học cho rằng ''con người phát triển trong hoạt
động và học tập diễn ra trong hoạt động''.
Trong các môn học ở trường phổ thông, môn Toán có vị trí đặc biệt quan
trọng vì toán học là công cụ của nhiều môn học khác. Môn Toán có khả năng to
lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học
sinh óc tư duy, tính chính xác, hợp lô-gíc. Qua đó có tác dụng rèn luyện, phát
triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
Trong các phân môn của Toán học thì hình học là một trong những phân
môn có lịch sử rất lâu đời. Sau quá trình phát triển lâu dài, hình học đã xây dựng
được một hệ thống đồ sộ lý thuyết và bài tập, đồng thời thu lượm được khối
lượng hết sức phong phú về thuật giải, có lẽ không ở đâu lại đòi hỏi nhiều kỹ
năng trong quá trình giải bài tập như hình học, nhất là trong giải các bài toán
dựng hình.
Ở trường phổ thông, việc giải các bài toán dựng hình phát triển tư duy lô-
gíc và tính tích cực của học sinh nhiều hơn việc giải các bài toán về tính toán
hay các bài toán chứng minh. “Không có bài toán nào làm phát triển trong học
sinh tính nghiêm túc và đúng đắn trong tư duy, đồng thời lại có sức hấp dẫn lớn
đối với họ như các bài toán dựng hình”. (theo I.U.Pêtecsen.“Phương pháp và lý
thuyết giải toán dựng hình hình học”. Phần mở đầu)

Thật vậy, đa số các bài toán về tính toán không đòi hỏi các phép vẽ phụ và
những lý luận lô-gíc phức tạp, chỉ dùng để củng cố các kiến thức thiết thực: các
định lý, tính chất của các hình .v.v. Muốn phát triển tư duy lô-gíc của học sinh,
mà chính điều đó làm cho kiến thức của họ có hệ thống chắc chắn và sâu sắc, thì
phải cho họ giải các bài toán chứng minh.

9
Các bài toán dựng hình còn có tác dụng lớn hơn trong việc phát triển tư
duy lô-gíc của học sinh. Sự có mặt của phần phân tích, chứng minh và biện luận
trong quá trình giải đa số các bài toán dựng hình chứng tỏ rằng, các bài toán đó
là nguồn phong phú để hình thành trong học sinh những thói quen tư duy lô-gíc.
Nhưng nếu khi giải toán chứng minh, học sinh có sẵn hình vẽ cụ thể, xác định,
thì khi giải toán dựng hình họ phải tự tạo ra hình vẽ cần thiết, trong đó phải xét
sự liên quan giữa các yếu tố cho trước không tĩnh tại, mà chịu những biến đổi
khác nhau trong quá trình giải. Khi giải toán dựng hình, ta phát hiện mối liên hệ
tương hỗ giữa các yếu tố cho trước và thấy được sự thay đổi của một số yếu tố
này có ảnh hưởng đến các yếu tố khác và toàn bộ hình như thế nào. Do đó, ta đã
dạy học sinh phép tư duy biện chứng.
Các bài toán dựng hình góp phần củng cố kiến thức đã học vì khi giải
mỗi bài ấy hầu như phải ứng dụng kiến thức của nhiều chương khác nhau trong
giáo trình hình học. Điều đó rất phù hợp với quan điểm dạy học “tích cực hoá
hoạt động của người học” hiện nay.
Với những lí do nêu trên, tôi quyết định lựa chọn đề tài cho khoá luận của
mình là: “Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán dựng hình cho học sinh ở
trường trung học cơ sở”.
2. Lịch sử nghiên cứu
Trên thế giới:
Đã có rất nhiều nhà Toán học, nhà giáo dạy Toán quan tâm, tìm hiểu về
vấn đề này như giáo sư N.F.Chetvêrukhin đã trình bày trong “Các phương pháp
dựng hình”, hay tác giả I.U.Pêtecsen đã trình bày trong “Phương pháp và lý

thuyết giải toán dựng hình hình học”, hay tác giả Hứa Thuần Phỏng đã trình bày
trong “Dựng hình” Tuy nhiên việc mà các tác giả quan tâm phần lớn nằm ở
vấn đề lý thuyết, nghiên cứu những vấn đề to lớn còn phần bài tập áp dụng cho
việc dạy học cụ thể thì còn lẻ tẻ chưa được nghiên cứu hệ thống và toàn diện.
Ở Việt Nam:

10
Các tác giả như Vũ Dương Thụy, Nguyễn Ngọc Đạm, Trương Công
Thành, Vũ Hữu Bình, cũng đã nhiều lần nói về dựng hình trong Toán học.
Thế nhưng những đề cập đó chỉ mang tính định hướng trong nghiên cứu về
phương pháp dạy Toán và học Toán. Trong thực tế giảng dạy Toán ở các trường
phổ thông, rất nhiều thầy cô có ý thức vận dụng nội dung của phương pháp dựng
hình bằng thước và compa vào việc dạy hình học phẳng cho học sinh. Mặc dù
vậy vẫn chưa có nghiên cứu nào chuyên sâu, toàn diện và có hệ thống về
phương pháp dạy học những nội dung cụ thể của bài toán dựng hình.
Trên cơ sở lý thuyết mà các nhà toán học đã đưa ra, căn cứ vào thực trạng
dạy học hình học ở một số trường trung học cơ sở trong giai đoạn hiện nay, giai
đoạn mà việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động
của người học là vô cùng cấp thiết thì với luận văn này xin được trình bày một ý
tưởng rất hẹp và cụ thể là: nghiên cứu một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải
các bài toán dựng hình cho học sinh nhằn nâng cao chất lượng dạy - học hình
học ở trường trung học cơ sở.
3. Mục tiêu nghiên cứu:
Tìm ra biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải các bài toán dựng hình cho
học sinh trong việc dạy hình học ở trường trung học cơ sở.
4. Phạm vi nghiên cứu:
Quá trình dạy và học hình học ở các lớp trung học cơ sở (phần bài tập).
5. Mẫu khảo sát:
Ở một số lớp khối 8 trường trung học cơ sở Tiền Phong, Mê Linh, Hà Nội
6. Câu hỏi nghiên cứu:

Phải rèn luyện kỹ năng giải bài toán dựng hình cho học sinh như thế nào
trong việc dạy học giải toán hình học ở trường trung học cơ sở?
7. Giả thuyết nghiên cứu.
Bằng cách hướng dẫn học sinh vận dụng những phương pháp dựng hình
khác nhau giải các bài toán dựng hình, sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy và
học Toán hình học ở trường trung học cơ sở.

11
8. Phƣơng pháp chứng minh.
- Thu thập, phân tích, tổng hợp, khái quát hoá các tài liệu nghiên cứu về
kỹ năng giải bài toán dựng hình.
- Nghiên cứu hệ thống các bài toán giải bằng phương pháp dựng hình từ
đó nêu ra giải pháp thực hiện việc rèn luyện kỹ năng giải toán dựng hình.
- Khảo sát việc dạy và học hình học bằng phương pháp dựng hình thông
qua việc dự giờ và kết quả kiểm tra đánh giá của học sinh.
- Thực nghiệm về việc giải bài toán dựng hình trên các lớp giảng dạy ở
một số giờ, so sánh đối chiếu với kết quả giờ dạy khi không vận dụng phương
pháp dựng hình giải các bài toán.
- Phương pháp phỏng vấn: đưa ra các câu hỏi để phỏng vấn một số giáo
viên và học sinh về quan điểm và cách thức sử dụng phương pháp dựng hình
trong việc dạy học hình học.
9. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, danh mục tài liệu tham khảo, kết luận, phụ lục, nội
dung luận văn được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện cho học sinh các kỹ năng cơ bản
giải bài toán dựng hình.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

Chƣơng 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề về rèn luyện kỹ năng.
1.1.1. Khái niệm kỹ năng
Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra cho con người những nhiệm vụ thuộc các
lĩnh vực lý luận, thực hành hay nhận thức. Để giải quyết được công việc con
người cần vận dụng vốn hiểu biết và kinh nghiệm để xử lý vấn đề đặt ra. Yêu
cầu cốt lõi nằm ở chỗ phải vận dụng được những kiến thức chung nhất cho từng

12
trường hợp cụ thể. Trong quá trình đó, con người dần hình thành cho mình các
kỹ năng để giải quyết những vấn đề đặt ra.
Theo tâm lý học, “Kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành
động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định”. Nếu ta tạm
thời tách tri thức và kỹ năng để xem xét riêng biệt thì tri thức thuộc phạm vi
nhận thức, thuộc về khả năng “biết” còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động,
thuộc về khả năng “biết làm”. Cũng theo Tâm lý học, bất cứ kỹ năng nào cũng
phải dựa trên cơ sở lý thuyết – đó là kiến thức. Bởi vì, xuất phát từ cấu trúc của
kỹ năng (phải hiểu mục đích, biết cách thức đi đến kết quả và hiểu được những
điều kiện cần thiết để triển khai các cách thức đó).
Theo từ điển Tiếng Việt: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức
thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế ”.
Còn các nhà giáo dục học thì cho rằng: “Mọi kiến thức bao gồm một phần
là thông tin “kiến thức thuần tuý” và một phần là kỹ năng. Kỹ năng là một nghệ
thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích
của mình; kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ các thói quen nhất định;
cuối cùng, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng
như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”.
Như vậy, dù phát biểu dưới góc độ nào, các tác giả đều thống nhất rằng:
kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, )
để giải quyết nhiệm vụ đặt ra.

Tuy nhiên thực tiễn giáo dục lại chỉ ra rằng, học sinh thường gặp rất
nhiều khó khăn trong việc vận dụng những khái niệm và những nguyên tắc đã
lĩnh hội được cho việc giải quyết những nhiệm vụ cụ thể. Cái khó nằm ở chỗ,
học sinh không biết tách ra khỏi đối tượng nhận thức những tri thức thứ yếu và
không bản chất, đồng thời cũng không phát hiện được mối liên hệ bản chất giữa
tri thức đã có với đối tượng đó. Trong trường hợp này tri thức không biến thành
công cụ của hoạt động nhận thức; và như vậy, khối tri thức mà họ có là một khối

13
tri thức khô cứng, không gắn với thực tiễn và không biến thành cơ sở của các kỹ
năng.
Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh các thuộc
tính khác nhau của các sự vật, những thuộc tính bản chất về các mặt phù hợp của
các đối tượng khác nhau cho những hoạt động với các mục đích nhất định. Như
vậy, để tri thức trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn các hành động, thì cần phải
biết lựa chọn đúng các tri thức hợp lý nhất. Nói khác đi, cần lựa chọn tri thức
phản ánh được thuộc tính của sự vật, lựa chọn tri thức phản ánh được thuộc tính
bản chất phù hợp với mục tiêu đặt ra trước hành động, để sao cho hành động hay
một dãy các hành động đạt tới mục tiêu.
Để minh hoạ ta xem xét bài toán sau: “Dựng hình thang biết hiệu hai đáy,
hai cạnh bên và một đường chéo”.
Tri thức phản ánh trong sự vật ở đây có rất nhiều: dấu hiệu đặc trưng,
tham số, công thức, v.v. Để tiến hành giải toán ta phải lựa chọn tri thức phù hợp
với mục tiêu nhằm giúp học sinh:
– Nhận biết được đây là dạng bài gì?
Dựng hình thang ABCD (hình 1.1).
– Quan hệ giữa các yếu tố đã cho và yếu tố phải tìm của bài toán:
+/ Biết hiệu hai đáy AD và BC; hai
cạnh bên AB, CD và một đường chéo BD.
+/ Trên hình vẽ, hiệu đó không có,

nhưng cần phải dùng nó khi dựng, do
đó trên hình phải xác định rõ kích thước
hiệu đó. Sau khi dựng hiệu đó ta được
tam giác phụ KCD có ba cạnh đã biết,
từ đó có thể quy về việc dựng được hình thang.
– Có thể dựng như thế nào và dùng phương pháp nào để dựng?
Đến đây học sinh có thể sử dụng quy trình chung hoặc có thể sử dụng
phương pháp tịnh tiến để giải bài toán dựng hình này.
K
C
B
A
D
Hình 1.1

14
Qua bài toán người giáo viên cần rèn cho học sinh:
* Năng lực nhận ra dạng bài toán.
* Phát hiện ra quan hệ cần thiết.
* Thâu tóm toàn bộ tình huống.
* Thủ thuật làm dễ dàng cho sự suy xét: – nguyên tắc giải – tách ra hay
nhấn mạnh những cứ liệu và quan hệ bản chất bài toán – phân tích bài toán –
dấu hiệu đặc trưng nhận biết trong trường hợp cụ thể.
1.1.2. Kỹ năng giải toán
Một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong dạy học toán là học sinh phải
nắm vững kiến thức, có kỹ năng, kỹ xảo vận dụng trong thực hành giải toán.
Trong toán học: “Kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các
chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận
được” [Polya]. Kỹ năng giải toán được hiểu là kỹ năng vận dụng các tri thức
toán học để giải các bài tập toán học (bằng suy luận, chứng minh, ).

Như vậy, kỹ năng giải toán có cơ sở là các tri thức toán học (bao gồm
kiến thức, kỹ năng, phương pháp). Sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá trình
luyện tập, củng cố kiến thức toán học thì kỹ năng được hình thành, phát triển
đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hoá kiến thức toán học.
Kỹ năng giải toán được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện
các hoạt động học tập trong môn toán. Kỹ năng cũng có thể được rút ngắn, bổ
sung, thay đổi trong quá trình hoạt động. Tuỳ theo từng nội dung kiến thức
truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng tương ứng.
Trong nhà trường phổ thông, có thể rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng để
giải toán như:
a. Kỹ năng tính toán: Bên cạnh việc rèn luyện tư duy, khả năng suy luận
độc lập, sáng tạo, không xem nhẹ việc rèn luyện kỹ năng tính toán vì nó có vai
trò quan trọng đối với học sinh trong việc học tập hiện tại và cuộc sống sau này.
Trong hoạt động thực tế ở bất kỳ lĩnh vực nào cũng đòi hỏi kỹ năng tính toán:
tính đúng, tính nhanh, tính hợp lý.

15
b. Kỹ năng vận dụng thành thạo các quy tắc: Về mặt kỹ năng này thì cần
yêu cầu học sinh vận dụng một cách linh hoạt, tránh máy móc.
c. Kỹ năng vận dụng tri thức vào giải toán: Học sinh được rèn luyện kỹ
năng này trong quá trình họ tìm tòi lời giải bài toán. Nên hướng dẫn học sinh
thực hiện giải toán theo quy trình giải toán của Polya:
+/ Tìm hiểu nội dung bài toán.
+/ Xây dựng chương trình giải.
+/ Thực hiện chương trình giải.
+/ Kiểm tra, nghiên cứu lời giải.
d. Kỹ năng chứng minh toán học: Theo Hoàng Chúng, để có kỹ năng
chứng minh toán học, học sinh cần phải đạt được:
+/ Hình thành động cơ chứng minh.
+/ Rèn luyện những hoạt động thành phần trong chứng minh.

+/ Truyền thụ những tri thức, phương pháp về chứng minh, các phép
suy luận.
e. Kỹ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kỹ năng biến
đổi xuôi chiều và ngược chiều: Là một điều kiện quan trọng để học sinh nắm
vững và vận dụng kiến thức, đồng thời nó cũng là một thành phần tư duy quan
trọng của toán học. Bên cạnh đó cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi
xuôi chiều và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên
tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận.
g. Kỹ năng đọc và vẽ hình, đo đạc: Đây là kỹ năng cần thiết và phải rèn
luyện cho học sinh một cách cẩn thận. Đặc biệt với kỹ năng vẽ hình, học sinh
phải hình thành và rèn luyện thói quen vẽ hình chính xác theo quy ước và phù
hợp với lý thuyết biểu diễn hình, vẽ cẩn thận, đẹp.
h. Kỹ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn: Kỹ năng toán học
hoá các tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ thực tế
đời sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết và vận dụng những kiến thức toán

16
học trong nhà trường gây hứng thú trong học tập giúp học sinh nắm được thực
chất nội dung vấn đề và tránh hiểu các sự kiện toán học một cách hình thức.
i. Kỹ năng hoạt động tư duy hàm: Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên
quan đến sự tương ứng, những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần tử của một
hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng. Tư duy hàm đóng vai trò quan
trọng và xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông. Những hoạt động tư duy
hàm là: hoạt động phát hiện và thiết lập sự tương ứng, hoạt động nghiên cứu sự
tương ứng.
k. Kỹ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải và tránh sai lầm
khi giải toán: “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của
mình”(Polya). Trong học tập giải toán việc phát hiện sai lầm và sửa sai lầm của
lời giải là một thành công của người học toán. Trên thực tế, có nhiều học sinh,
kể cả học sinh khá giỏi vẫn mắc sai lầm khi giải toán. Do vậy mà giáo viên cần

giúp học sinh có khả năng và thói quen phát hiện những sai lầm (nếu có) sau
mỗi bài tập, mỗi bài kiểm tra, phân tích được những nguyên nhân dẫn đến sai
lầm đó. Qua đó học sinh cũng cần được rèn luyện kỹ năng trình bày lời giải,
chẳng hạn như: câu chữ, các ký hiệu, vẽ hình chính xác, hình thức Việc hình
thành và rèn luyện kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá và biết tự điều chỉnh góp phần
nâng cao thành tích, chất lượng dạy và học.
1.1.3. Sự hình thành các kỹ năng giải toán.
Theo tâm lý học, thực chất của sự hình thành kỹ năng là hình thành cho
học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và
sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu
chúng với những hành động cụ thể.
Kỹ năng giải toán chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải
quyết các nhiệm vụ đặt ra. Quá trình tư duy được diễn ra nhờ các thao tác phân
tích, tổng hợp, trừu tượng hoá và khái quát hoá.
Như vậy, khi hình thành kỹ năng chủ yếu là kỹ năng giải toán cho học
sinh chúng ta cần phải:

17
+ Giúp học sinh biết cách tìm tòi và nhận ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm
và mối quan hệ giữa chúng.
+ Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các bài
tập, các đối tượng cùng loại.
+ Xác lập mối liên quan giữa bài tập mô hình và các kiến thức tương ứng.
Ví dụ: "Dựng hình bình hành biết một cạnh và hai đường chéo".
Giả sử hình bình hành ABCD là hình phải tìm (hình 1.2).
Các yếu tố đã biết là: cạnh AD và các đường chéo AC, BD.
Các yếu tố phải tìm là: Dựng hình bình hành ABCD.
Mối quan hệ giữa các yếu tố đã biết và yếu tố phải tìm là: Vì các đường
chéo của hình bình hành cắt nhau tại điểm giữa
mỗi đường nên phép dựng hình bình

theo ba cạnh: AD là cạnh của hình bình
hành còn AO, OD là các nửa của các
đường chéo của hình bình hành.
Từ tam giác AOD ta có thể suy ra
hình bình hành cần dựng.
1.2. Một số vấn đề về bài toán dựng hình.
1.2.1. Vai trò của bài tập toán học.
Trong trường phổ thông việc dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với
học sinh có thể coi việc giải bài tập toán là hoạt động chủ yếu của hoạt động
toán học. Hệ thống các bài toán ở trường phổ thông có vai trò rất hữu hiệu và
không thể thay thế trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy,
hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Do đó việc giải
bài tập toán học là điều kiện tốt để thực hiện các mục đích dạy học toán ở trường
phổ thông và việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất
lượng dạy học toán.
a. Bài tập giúp học sinh ôn lại kiến thức cũ đồng thời hình thành kiến
thức mới. Chẳng hạn, trước khi học về giải bài toán dựng hình bằng phương
D

O

C

B

A

Hình 1.2

18
pháp quỹ tích giáo viên có thể cho học sinh giải các bài toán về dựng tam giác
bằng tam giác cho trước, dựng tam giác biết ba cạnh, dựng các đường thẳng
góc… Từ đó học sinh vừa được ôn tập và củng cố lại cách dựng các dạng bài
toán dựng hình trước đó đồng thời qua việc nhận xét chung về đường thẳng góc
hình thành nên khái niệm quỹ tích và dẫn dắt học sinh dựng hình bằng phương
pháp quỹ tích tương giao.
b. Bài tập có tác dụng rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào
những trường hợp cụ thể trong toán học cũng như trong thực tiễn, rèn luyện
thói quen vận dụng kiến thức khái quát.
Ví dụ: + Vận dụng kiến thức giải toán dựng hình bằng phương pháp tịnh
tiến học sinh có thể giải thích tại sao người ta có thể bắc một cái cầu qua một
con sông có hai bờ song song ở chỗ nào để cho đường đi giữa hai làng A và B ở
hai bên bờ là ngắn nhất.
+ Vận dụng kiến thức hình học để chứng minh nhiều đẳng thức đại số,
chẳng hạn như để chứng minh hằng đẳng thức: (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
(hình
1.3)
Hình vuông mà cạnh bằng tổng các
đoạn a và b có diện tích bằng tổng
các diện tích của hai hình vuông có
cạnh a và b và diện tích hai hình chữ
nhật có cạnh là a và b.
c. Bài tập giúp học sinh củng
cố, khắc sâu kiến thức:

Loại bài tập này thường ra dưới
dạng trắc nghiệm điền khuyết, điền đúng sai, lựa chọn phương án đúng .v.v để
giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức trong thời gian ngắn. Chẳng hạn, sau
khi học xong về đường trung bình của hình thang, giáo viên có thể củng cố kiến
thức cho học sinh bằng hình thức kiểm tra trắc nghiệm khách quan như sau:
a+b
b
a
a
b
Hình 1.3


19
Hãy cho biết trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? mệnh đề nào
sai?
(A). Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song
với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
(B). Đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên của hình thang thì song
song với hai đáy.
(C). Không thể có hình thang mà đường trung bình bằng độ dài một đáy.
(D). Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng đi qua trung điểm hai
cạnh bên của hình thang.
d. Bài tập phát triển khả năng độc lập của học sinh:
Trong quá trình giải bài tập học sinh phải tự phân tích đề bài, kiểm tra lại
kết quả nên tư duy của học sinh phát triển và khả năng độc lập giải quyết vấn đề
cao, rèn luyện tính kiên trì, khả năng nhanh nhạy với các dữ kiện của bài toán.
e. Bài tập góp phần làm phát triển tư duy sáng tạo của học sinh:
Có nhiều bài tập không chỉ dừng lại trong phạm vi vận dụng kiến thức đã
học mà còn giúp bồi dưỡng cho học sinh tư duy sáng tạo, rèn luyện những thao

tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất tư duy khoa học. Đặc biệt là những bài
tập có câu hỏi mang tính dự đoán kết quả khi dữ kiện bài toán thay đổi, những
bài tập có nhiều cách giải, hoặc bài tập phải kẻ thêm đường phụ hay dùng bài
toán phụ.
Ví dụ: Từ một điểm cho trước ngoài một đường tròn cho trước.
1) Hãy dựng một cát tuyến với đường tròn đó sao cho phần ngoài
đường tròn bằng phần trong đường tròn.
2) Có thể áp dụng những phương pháp nào để giải bài toán?
3) Có bao nhiêu cách phân tích để giải bài toán?
Ở ví dụ này, câu 3) là câu phát triển tư duy sáng tạo của học sinh.
g. Bài tập để kiểm tra, phân loại học sinh:
Bài tập cũng là phương tiện có hiệu quả để kiểm tra mức độ nắm vững
kiến thức của học sinh, tuỳ theo cách đặt câu hỏi kiểm tra ta có thể phân loại

20
được các mức độ nắm vững kiến thức của học sinh khiến cho việc đánh giá chất
lượng kiến thức của học sinh được chính xác.
Ví dụ: Cho tứ diện S.ABC. Qua trung điểm M của cạnh SA ta dựng mặt
phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC).
1) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P)
2) Chứng minh thiết diện đồng dạng với tam giác ABC. Tìm tỉ
số đồng dạng.
3) Kết quả bài toán còn đúng không nếu:
– Thay tứ diện ABCD bởi hình chóp S.A
1
A
2
A
3…
A

n
?
– M là một điểm bất kỳ trên cạnh SA (M khác S và A).
Ở ví dụ này, câu 1) là câu học sinh trung bình có thể làm được, học sinh
khá sẽ làm được câu 2), còn học sinh giỏi mới làm được câu 3).
Như vậy, ngay trong một bài tập, mỗi câu hỏi theo trình tự yêu cầu được
nâng cao dần lên, không những giúp ta kiểm tra được kiến thức của học sinh mà
còn có thể phân loại được học sinh.
1.2.2.Những bài toán dựng hình
a. Thế nào là một bài toán dựng hình.
Bài toán dựng hình trong hình học là một bài toán mà trong quá trình
dựng ta dựa vào những điều kiện đã biết dùng phương pháp hình học hợp lý,
chính xác, dựng một hình cần thiết. Chẳng hạn, xét bài toán “dựng một hình tam
giác biết cạnh đáy b, góc A kề với đáy và tổng s của hai cạnh kia”.
+ Khi muốn dựng một hình tam giác (với các yếu tố đã cho của bài toán),
đầu tiên cần làm là xác định độ lớn của nó.
Nếu xem tam giác A
1
B
1
C
1
(hình 1.4)
là tam giác phải tìm thì ta đã biết các yếu tố:
đáy A
1
C
1
, góc B
1

A
1
C
1
và tổng hai cạnh kia
(hai cạnh A
1
B
1
và B
1
C
1
). Trên hình vẽ
tổng đó không có, nhưng cần phải dùng nó
khi giải. Do đó trên hình phải chỉ rõ (kéo dài
D
1
B
1
A
1
C
1
Hình 1.4


21
cạnh bên A
1

B
1
về phía B
1
của tam giác và đặt
trên đường kéo dài ấy cạnh thứ hai B
1
D
1
=

B
1
C
1
).
+ Đã có độ lớn của hình đó rồi, ta có thể bắt đầu dựng tam giác phải tìm
như thế nào? Ta có thể dựng được đoạn A
1
C
1
, sau đó dựng góc B
1
A
1
C
1
, trên
cạnh A
1

B
1
của góc đó đặt một đoạn có độ dài bằng tổng s đã cho, ta được điểm
D
1
sau đó dựng điểm B
1
nằm trên A
1
D
1
cách đều các điểm C
1
và D
1
, nghĩa là
dựng được tam giác phải tìm.
+ Sau khi đã dựng xong tam giác ABC ta dùng định lý hình học thử lại
xem tam giác vừa dựng có thoả mãn các điều kiện đầu bài không?
Ta thấy đáy AC và BAC đã được lấy trực tiếp từ giả thiết, chỉ còn phải
chứng minh AB + BC = AB + BD = s (điểm B nằm trên trung trực BE của CD,
cách đều các điểm C và D)
+ Vấn đề vừa nêu trên dựa vào những yếu tố đã cho của bài toán (chẳng
hạn đáy AC và BAC), dùng phương pháp dựng hình hợp lý, chính xác (chẳng
hạn điểm B nằm trên trung trực BE của CD, cách đều các điểm C và D) dựng
một hình cần thiết.
Tất cả những điều đó chính là bài toán dựng hình trong hình học.
b. Bài toán dựng hình giải được: Bài toán dựng hình giải được là những
bài toán được giải bằng các dụng cụ dựng hình là thước thẳng, com-pa và các
định đề

Ví dụ: 1) Qua một điểm cho trước nằm trên một đường thẳng (hoặc ngoài
đường thẳng) cho trước, hãy dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã
cho.
2) Cho một đường thẳng XY và hai điểm A, B cố định cùng nằm về một
bên đường thẳng, hãy tìm hai điểm P, Q trên XY sao cho PQ bằng đoạn k cho
trước và AP = BQ.
c. Bài toán dựng hình không giải được: Bài toán dựng hình không giải
được là các bài toán mà khi giải bằng các dụng cụ dựng hình như thước thẳng,

22
com-pa và các định đề không tìm được lời giải (muốn giải phải bổ sung thêm
dụng cụ).
Ví dụ: Bài toán “chia một góc bất kỳ ra ba phần bằng nhau” là một bài
toán không giải được (trong phạm vi dùng các dụng cụ com-pa và thước thẳng).
Để giải bài toán này ngoài việc sử dụng các dụng cụ dựng hình như thước
thẳng, com-pa và các định đề còn phải dùng thêm một số công cụ khác như thêm
định đề, thước chia độ hoặc ê-ke mới có thể dựng được.
d. Bài toán dựng hình vô định: Trong những bài toán có thể dựng được,
có khi vì đặc điểm của các điều kiện đã cho, số lời giải có thể nhiều vô hạn; có
khi do các điều kiện đã cho trong bài toán không đủ, nên số hình vẽ đáp ứng với
các điều kiện đã cho cũng có thể nhiều vô hạn. Những bài toán dựng hình như
vậy gọi là những bài toán vô định.
Ví dụ: “Cho một đường thẳng XY và hai điểm A, B cố định cùng nằm về
một bên đường thẳng, hãy tìm hai điểm P, Q trên XY sao cho PQ bằng đoạn k
cho trước và AP = BQ”.
Nếu như điểm B đã cho nằm
trên MN (hình 1.5) và khoảng cách đến
A đúng bằng k thì khi ấy cứ hai đường
thẳng song song bất kỳ qua hai điểm A,
B đã dựng cắt XY ở hai điểm nào thì hai

điểm ấy đều là điểm cần tìm, số lời giải
sẽ nhiều vô hạn.
e. Bài toán dựng hình không hợp lý: Do điều kiện của bài toán dựng
hình không đủ, nên số lời giải có thể nhiều vô cùng, bài toán trở nên bất định.
Ngược lại, nếu các điều kiện của bài toán dựng hình quá nhiều, mà lại phải được
thoả mãn hoàn toàn, thì thực tế không thể làm được, bài toán sẽ trở thành không
hợp lý.
Q
3
Q
2
P
3
Q
1
P
2
P
1
N
B
A
M
Hình 1.5


23
Chẳng hạn, bài toán “Qua một điểm P cho trước ngoài một đoạn thẳng
cho trước AB, dựng đường trung trực của AB”. Đường thẳng cần dựng phải
đồng thời thoả mãn cả ba điều kiện đã cho:

1. Đường thẳng này phải qua điểm P.
2. Đường thẳng này phải vuông góc với AB.
3. Đường thẳng này phải chia đôi AB.
Các điều kiện của bài toán này quá nhiều, không thể dựng được. Nếu bớt
đi một điều kiện tuỳ ý trong ba điều kiện thì có thể dựng được.
1.2.3. Các dụng cụ dựng hình
Các dụng cụ được sử dụng để dựng hình gồm: compa, thước thẳng và các
định đề.
a) Định đề dựng đường thẳng: Qua hai điểm khác nhau có thể vẽ được
một đường thẳng (nghĩa là hai điểm có thể nối được bằng một đường thẳng).
b) Định đề kéo dài một đoạn thẳng: Một đoạn thẳng có thể kéo dài tuỳ ý.
c) Định đề dựng đường tròn: Lấy một điểm cố định làm tâm, một đoạn
thẳng nhất định làm bán kính thì có thể vẽ được một đường tròn (hoặc một
cung)
Trong đó a), b) có thể dùng thước thẳng và c) có thể dùng compa để dựng.
1.2.4. Các phép dựng hình cơ bản
Học tập dựng hình cũng có nhiều phương pháp cơ bản mà trước hết cần
phải nắm vững. Ngoài ba phương pháp cơ bản nhất mà người ta đã nêu trong
mục 1.2.2. Còn có những phương pháp khác như: “qua một điểm cho trước
dựng một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước”, “lấy trung
điểm một đoạn thẳng” .v.v. Tất cả chúng đều là những phương pháp cần sử dụng
khi giải một bài toán dựng hình và được gọi là phép dựng hình cơ bản.
Để thực hiện thành thạo các phép dựng hình cơ bản chúng ta cần phải
luyện tập rất nhiều, chúng ta có thể sắp xếp lại và phân ra làm bốn loại sau đây:
a. Về loại đường thẳng.
* Dựng một đoạn thẳng có độ dài cho trước trên một đường thẳng nhất định.

24
* Dựng đường phân giác của một góc cho trước.
* Trên một cạnh đã biết dựng một góc bằng một góc cho trước.

* Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước.
* Qua một điểm cho trước dựng một đường thẳng vuông góc với một đường
thẳng cho trước.
* Qua một điểm cho trước dựng một đường thẳng song song với một đường
thẳng cho trước.
* Chia một đoạn thẳng cho trước ra nhiều phần bằng nhau.
* Dựng hình tam giác khi biết: ba cạnh (c.c.c), hai góc và cạch kề hai góc
đó(g.c.g), hai cạnh và góc kẹp giữa hai cạnh đó(c.g.c), hai góc và cạnh đối của
một trong hai góc(g.g.c) hoặc hai cạnh và góc đối của một trong hai cạnh(c.c.g).
* Dựng một hình tam giác đều hoặc một hình vuông khi biết một cạnh của nó.
* Dựng một hình chữ nhật khi biết hai cạnh kề nhau.
* Lấy một đường thẳng đã biết làm một cạnh, dựng một góc 60
0
hoặc 30
0
.
b. Về loại đường tròn
* Dựng đường tròn ngoại tiếp của một tam giác đã cho.
* Dựng đường tròn nội tiếp của một tam giác đã cho.
* Lấy một đoạn thẳng đã cho làm bán kính dựng một đường tròn.
* Chia đôi một cung cho trước.
* Từ một điểm cho trước ở ngoài hoặc ở trên đường tròn, vẽ tiếp tuyến của
đường tròn đó.
* Lấy một đoạn thẳng cho trước làm dây cung, dựng hình viên phân chứa góc
cho trước.
c. Về loại tỷ lệ
* Cho ba đoạn thẳng, dựng đoạn thẳng tỷ lệ thứ tư.
* Chia một đoạn thẳng cho trước ra làm hai phần sao cho tỷ số của chúng bằng
tỷ số đã biết m : n.
* Dựng đoạn thẳng trung bình nhân của hai đoạn thẳng cho trước.

d. Về loại diện tích

25
* Dựng một hình vuông sao cho diện tích của nó bằng tổng (hiệu) diện tích của
hai hình vuông cho trước.
Các phép dựng hình cơ bản trên đây đều đã được học trong sách giáo
khoa đòi hỏi người học phải rèn luyện cho thành thạo khi vận dụng vào giải các
bài tập dựng hình, ta không cần trình bày lại các phép dựng hình cơ bản này nữa.
1.3. Quy trình chung giải một bài toán dựng hình.
Ngay từ thế kỷ IV trước công nguyên, các nhà hình học cổ Hy-lạp đã tìm
ra quy trình chung giải một bài toán dựng hình mà hiện nay chúng ta đang dùng.
Phép giải các bài toán dựng hình thông thường phải tuân theo bốn bước chính là:
phân tích, dựng hình, chứng minh và biện luận.
Học sinh cần nắm vững nội dung công việc của mỗi bước và mối liên hệ,
sự phụ thuộc giữa các bước. Từ bước phân tích ta suy ra cách dựng, tức là bước
dựng hình phụ thuộc vào phân tích. Dựa trên cơ sở cách dựng để chứng minh.
Dựa trên cơ sở phân tích, cách dựng và điều kiện của bài ra để biện luận.
Công việc cụ thể của từng bước như sau:
1.3.1. Phân tích: (bước thứ nhất của quá trình giải toán dựng hình)
Phân tích một bài toán dựng hình chính là chuẩn bị bước vào việc, qua
bước đó thì ta có thể biết được nên dùng phương pháp nào, nên theo một thứ tự
nào để giải bài toán. Cách thức để học sinh thực hiện bước phân tích bài toán
dựng hình như sau:
- Giả sử đã có một hình thoả mãn các điều kiện của bài toán.
- Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác )
- Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng cơ bản.

Ví dụ: Thực hiện bước phân tích bài toán dựng hình sau: “Dựng tam giác
biết đáy, góc nhỏ ở đáy và hiệu hai cạnh kia”.
Muốn giải, đầu tiên cần nghiên cứu điều kiện của bài toán, xét xem

những yếu tố nào của tam giác phải tìm đã cho rồi. Muốn vậy, ta vẽ tam giác
A
1
B
1
C
1
(hình 1.6) bất kỳ và ghi các yếu tố tương ứng với các yếu tố đã cho trong