Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương Phép nhân và phép chia các đa thức lớp 8 trung học cơ sở

1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC





NGUYỄN THỊ THUỶ







PHÁT TRIỂN TƢ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA
DẠY HỌC CHƢƠNG “PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA
CÁC ĐA THỨC” LỚP 8 TRUNG HỌC CƠ SỞ


LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành : LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số : 60 14 10


Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS NGUYỄN VŨ LƢƠNG

HÀ NỘI – 2012



2
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

CHỮ VIẾT TẮT
VIẾT ĐẦY ĐỦ
GS
Giáo sƣ
GV
Giáo viên
HĐ
Hoạt động
HPT
Hệ phƣơng trình
HS
Học sinh
SGK
Sách giáo khoa
THCS
Trung học cơ sở

3
MỤC LỤC

Trang
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
1

2. Lịch sử nghiên cứu
2
3. Mục tiêu nghiên cứu
3
4. Phạm vi nghiên cứu
3
5. Mẫu khảo sát
3
6.Vấn đề nghiên cứu
4
7. Giả thuyết khoa học
4
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
4
9. Dự kiến luận cứ
5
10. Cấu trúc luận văn
5
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
6
1.1.Đại cƣơng về tƣ duy
6
1.1.1.Tƣ duy là gì?
6
1.1.2 Đặc điểm của tƣ duy
6
1.2. Tƣ duy toán học
7
1.2.1. Các thao tác tƣ duy toán học
8

1.2.2. Một số loại hình tƣ duy toán học
11
1.3. Mục tiêu dạy học môn Toán trong nhà trƣờng phổ thông
19
1.3.1. Rèn luyện tƣ duy logic và ngôn ngữ chính xác
20
1.3.2. Phát triển khả năng suy đoán và tƣởng tƣợng
20
1.3.3. Rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản
21
1.3.4. Hình thành những phẩm chất trí tuệ
21





4
Chƣơng 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN VÀ ĐỀ XUẤT
NHỮNG BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HÀNH GIẢNG DẠY
CHƢƠNG “PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC” LỚP
8 TRUNG HỌC CƠ SỞ CÓ TÁC DỤNG PHÁT TRIỂN TƢ DUY
CHO HỌC SINH




23
2.1. Những căn cứ để phát triển tƣ duy cho học sinh thông qua dạy
học chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 trung học cơ

sở


23
2.1.1. Dạy tƣ duy
23
2.1.2. Nội dung chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8
THCS với vấn đề phát triển tƣ duy cho học sinh

24
2.2. Rèn luyện các thao tác tƣ duy : phân tích- tổng hợp, so sánh-
tƣơng tự hóa, khái quát hóa- đặc biệt hóa

25
2.2.1. Phân tích. Tổng hợp
25
2.2.2. So sánh - Tƣơng tự hóa
29
2.3. Phát triển các dạng tƣ duy: Tƣ duy thuật toán,Tƣ duy sáng tạo
30
2.3.1. Tƣ duy thuật toán
39
2.3.2. Tƣ duy sáng tạo

32
2.4. Kết luận
40
2.5. Thiết kế một số giáo án và các chuyên đề có liên quan đến
chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 THCS có tác
dụng phát triển tƣ duy cho học sinh.

42
Chƣơng 3: THỰC NGHỆM SƢ PHẠM
89
3.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm
89
3.1.1. Mục đích
89
3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm
89
3.2. Nội dung thực nghiệm
99
3.3.Tổ chức thực nghiệm
99



5
3.3.1. Kế hoạch và đối tƣợng thực nghiệm
99
3.3.2. Phƣơng pháp và tiến trình thực nghiệm
100
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm
108
3.4.1. Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm
108
3.4.2. Phân tích kết quả thực nghiệm
108
3.4.3. Thực nghiệm chính thức

108
3.4.4. Xử lý số liệu
108
3.5. Kết quả thực nghiệm thu đƣợc
110
3.6. Kết luận chung về thực nghiệm
117
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
119
1. Kết luận
119
2. Khuyến nghị
120
TÀI LIỆU THAM KHẢO
122
PHỤ LỤC









1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Năng lực tƣ duy là điều kiện cần và đủ để khám phá và lĩnh hội tri thức.
Ngày nay, khi nền kinh tế tri thức tác động mạnh mẽ đối với sự phát triển của

lực lƣợng sản xuất thì việc rèn luyện tƣ duy của mỗi ngƣời lại càng hết sức
cần thiết. Trong nền kinh tế ấy, tri thức trở thành quyền lực, trở thành chìa
khoá mở cửa tƣơng lai. Không có những năng lực, phẩm chất của tƣ duy, con
ngƣời không có khả năng nắm bắt tri thức, lĩnh hội tri thức và cũng không có
khả năng vận dụng tri thức. Làm thế nào để phát triển tƣ duy cho ngƣời học
một cách hiệu quả? Đó là câu hỏi đặt ra không chỉ cho ngành Giáo dục mà
cho toàn xã hội.Trong thực tế, phát triển tƣ duy cho ngƣời học là mục tiêu
quan trọng của các chƣơng trình dạy học. Để đạt đƣợc mục tiêu đó, chƣơng
trình dạy học và phƣơng pháp dạy học cần có những thay đổi phù hợp. SGK
của chúng ta đã đƣợc thay đổi nhƣng là tài liệu chung cho tất cả các đối tƣợng
học sinh, tất cả các vùng miền trong cả nƣớc. Mỗi đối tƣợng học sinh khác
nhau, mỗi vùng miền khác nhau phải có sự xây dựng bài dạy phù hợp để có
thể phát triển đƣợc tƣ duy cho học sinh.
Đại hội XI của Đảng (1-2011) xác định “Phát triển giáo dục là quốc sách
hàng đầu. Đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục Việt Nam theo hƣớng
chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế…”Thực
tế này đòi hỏi ngành Giáo dục phải đổi mới một cách toàn diện về mục tiêu,
nội dung, phƣơng pháp và hình thức tổ chức thực hiện. Đặc biệt cần chú ý
đổi mới mạnh mẽ phƣơng pháp dạy học theo hƣớng phát huy tính tích cực,
chủ động, tƣ duy sáng tạo của ngƣời học nhằm đáp ứng nhu cầu về đào tạo
nguồn nhân lực hiện nay.Định hƣớng đổi mới phƣơng pháp dạy học đã đƣợc
xác định trong Nghị quyết Trung ƣơng 4 khoá VII (1-1993), Nghị quyết
Trung ƣơng 2 khoá VIII(12-1996) đƣợc thể chế hoá trong luật giáo dục
(2005).Luật giáo dục, điều 24.2 có ghi: "Phƣơng pháp giáo dục phổ thông phải
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với
đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện


2
kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm

vui, hứng thú học tập cho học sinh".
Trong quá trình hình thành và phát triển tƣ duy của học sinh thì Toán
học có vai trò đặc biệt quan trọng. Toán học là cơ sở của nhiều ngành khoa
học quan trọng, sự phát triển của Toa
́
n ho
̣
c gắn bó chặt chẽ và có tác động qua
lại, trực tiếp với sự tiến bộ của ca
́
c ngha
̀
nh kho a ho
̣
c kha
́
c . Vì vậy, tƣ duy
Toán học có giá trị lớn trong đời sống , trong nghiên cƣ
́
u khoa ho
̣
c , trong sản
xuất, đặc biệt trong công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nƣớc.
Nhƣ vậy trong quá trình dạy học với lƣợng kiến thức và thời gian đƣợc
phân phối cho môn Toán bậc THCS, giáo viên phải xây dựng đƣợc các bài tập,
bài giảng và phƣơng pháp giảng dạy phù hợp để có thể phát triển đƣợc tƣ duy
cho học sinh. Trong chƣơng trình Toán bậc THCS thì kiến thức chƣơng “Phép
nhân và phép chia các đa thức” là rất quan trọng có ứng dụng ở hầu hết các
dạng toán nhƣng những tài liệu có tính hệ thống cho nội dung này còn rất đơn
giản, thiếu thách thức để có thể phát triển đƣợc tƣ duy cho học sinh. Từ những

lí do trên, đề tài đƣợc chọn là: Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy
học chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 trung học cơ sở
2. Lịch sử nghiên cứu
Gần đây cũng có nhiều công trình nghiên cứu về việc phát triển tƣ duy
cho học sinh trong dạy học bộ môn Toán nhƣ:
- Nguyễn Bá Kim, Vƣơng Dƣơng Minh, Tôn Thân [8] với Khuyến khích một
số hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn Toán ở trường THCS. ( 2006).
- Phan Thị Hƣơng Thảo với Rèn luyện tư duy sáng tạo trong dạy hình học
không gian .Luận văn thạc sĩ , trƣờng ĐHSP Thái Nguyên (2007).
- Phan Thị Luyến với Rèn luyện tư duy phê phán của học sinh trung học phổ
thông qua dạy học chủ đề Phương trình và Bất phương trình. Luận án Tiến sĩ
Giáo dục học( 2008).
- Nguyễn Thu Hƣơng với Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học
chương “Tứ giác” lớp 8 trung học cơ sở , luận văn thạc sĩ, trƣờng ĐH Giáo
dục, ĐHQG Hà Nội ( 2010).


3
Có thể thấy rằng vấn đề phát triển tƣ duy trong dạy học bộ môn Toán đã
thu hút đƣợc sự quan tâm chú ý của nhiều tác giả. Tuy nhiên, qua tìm hiểu
chúng tôi chƣa thấy có công trình khoa học nào xây dựng các phƣơng pháp
thực hành giảng dạy chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8
trung học cơ sở nhằm phát triển tƣ duy cho học sinh.
3. Mục tiêu nghiên cứu
- Xây dựng hệ thống bài toán có tiềm năng bồi dƣỡng và phát triển tƣ
duy cho học sinh, chỉ ra đƣợc một số phƣơng thức khai thác các bài toán
nhằm phát triển tƣ duy cho học sinh.
- Đề xuất một số biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy chƣơng “Phép
nhân và phép chia các đa thức” theo hƣớng phát triển tƣ duy cho học sinh.
- Thiết kế một số bài giảng và chuyên đề liên quan đến nội dung

chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa thức” vận dụng các biện pháp trên.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Chƣơng 1 đại số lớp 8 THCS, luận văn tập trung vào dạng toán “
Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng của nó”
- Thời gian nghiên cứu : 2 năm (năm học 2010-2011, năm học 2011-2012)
5. Mẫu khảo sát
- Học sinh lớp 8 của trƣờng THCS Lƣơng Chí- Tĩnh Gia- Thanh Hóa
(năm học 2010-2011,năm học 2011-2012)
- Học sinh lớp 8 của trƣ ờng THCS Hải Nhân - Tĩnh Gia- Thanh Hóa
(năm học 2010-2011, năm học 2011-2012)
-Học sinh lớp 8 của trƣờng THCS Hải Thanh - Tĩnh Gia- Thanh Hóa
(năm học 2010-2011,năm học 2011-2012)
-Học sinh lớp 8 của trƣờng THCS Hải Thƣợng - Tĩnh Gia- Thanh Hóa
(năm học 2010-2011,năm học 2011-2012)
-Học sinh lớp 8 của trƣờng THCS Hải Hòa - Tĩnh Gia- Thanh Hóa (năm
học 2010-2011,năm học 2011-2012)
( Mỗi trƣờng chọn hai lớp học tốt trong khối 8)



4
6.Vấn đề nghiên cứu
-Cơ sở lí luận về tƣ duy là gi? Quá trình rèn luyện và phát triển tƣ duy
ở học sinh bậc trung học cơ sở nhƣ thế nào?
- Để phát triển tƣ duy cho học sinh, giáo viên cần rèn luyện cho học
sinh các thao tác tƣ duy nào và phẩm chất tƣ duy nào?
- Xây dựng các bài toán, tổ chức các hoạt động thực hành giảng dạy
chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 THCS nhƣ thế nào để
phát triển tƣ duy cho học sinh?
7. Giả thuyết khoa học

Nếu giáo viên xây dựng đƣợc một hệ thống bài toán và đề xuất đƣợc
những biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy những nội dung liên quan đến
chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 THCS sẽ có tác dụng phát
triển tƣ duy cho học sinh.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trong luận văn chúng tôi sử dụng các phƣơng pháp nghiên cứu sau:
8.1. Phương pháp nghiên cứu dựa trên tài liệu
- Nghiên cứu lý thuyết đã có về phát triển tƣ duy qua các tài liệu trong
và ngoài nƣớc liên quan đến đề tài .
- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến nội dung chƣơng “Phép nhân và
phép chia các đa thức” lớp 8 THCS, chƣơng trình sách giáo khoa, sách tham
khảo, mục tiêu dạy học, phƣơng pháp dạy học phục vụ chuyên môn giảng dạy
nội dung trên
8.2. Phương pháp điều tra, quan sát
- Dự giờ trao đổi với các đồng nghiệp cùng chuyên môn ở 4 trƣờng
thực nghiệm.
- Quan sát những hoạt động của GV và HS trong một số giờ dạy để rút ra
những nhận xét về phát triển tƣ duy thông qua dạy học chƣơng “Phép nhân và
phép chia các đa thức” lớp 8 THCS.
- Điều tra hoạt động dạy của GV, hoạt động học của HS bằng trao đổi,
hỏi, phỏng vấn nhằm đánh giá hiệu quả việc vận dụng các biện pháp đã


5
nghiên cứu trong đề tài, tìm hƣớng khắc phục, kịp thời hỗ trợ cho việc đánh
giá kết quả thực nghiệm.
8.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Dạy thực nghiệm tại một số lớp khối 8 tại trƣờng THCS Lƣơng Chí -
Tĩnh Gia- Thanh Hóa ,trƣơ
̀

ng THCS Hải Nhân - Tĩnh Gia- Thanh Hóa. trƣơ
̀
ng
THCS Hải Ninh- Tĩnh Gia- Thanh Hóa, trƣơ
̀
ng THCS Hải Thƣợng - Tĩnh Gia-
Thanh Hóa, trƣơ
̀
ng THCS Hải Hòa- Tĩnh Gia- Thanh Hóa
8.4. Phương pháp thống kê toán học
Xử lí các số liệu sau khi điều tra.
9. Dự kiến luận cứ
9.1. Luận cứ lý thuyết
1) Khái niệm tƣ duy
2) Các thao tác tƣ duy cần thiết cho sự phát triển trí tuệ của học sinh
- Phân tích – Tổng hợp
- So sánh - Tƣơng tự hóa
- Khái quát hóa - Đặc biệt hóa
3) Sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo liên quan đến chƣơng “Phép
nhân và phép chia đa thức” lớp 8 trung học cơ sở.
9.2. Luận cứ thực tế
Đánh giá sự phát triển tƣ duy cho học sinh thông qua thực nghiệm sƣ
phạm tại một số trƣờng trung học cơ sở.
10. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ
lục, luận văn đƣợc trình bày trong 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lí luận
Chƣơng 2: Xây dựng hệ thống bài toán và đề xuất những biện pháp tổ
chức thực hành giảng dạy chƣơng “ Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8
THCS có tác dụng phát triển tƣ duy cho học sinh.

Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm.


6
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Đại cƣơng về tƣ duy
1.1.1. Tư duy là gì?
Tƣ duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối quan hệ có tính chất qui luật của sự vật hiện tƣợng trong hiện thực
khách quan. [21 tr.1]
Theo từ điển Tiếng Việt [18], tƣ duy: “Giai đoạn cao của quá trình
nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính qui luật của sự vật bằng
những hình thức nhƣ biểu tƣợng, phán đoán, suy lý”.
Ở mức độ nhận thức cảm tính, con ngƣời chỉ phản ánh các thuộc tính
cụ thể, trực quan, bề ngoài. Nảy sinh trên cơ sở cảm tính và vƣợt xa giới hạn
nhận thức cảm tính, tƣ duy là quá trình tâm lý nhờ đó con ngƣời phản ánh
đƣợc các đối tƣợng, các hiện tƣợng của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản
của chúng, vạch ra đƣợc những mối liên hệ khác nhau trong mỗi đối tƣợng,
hiện tƣợng và giữa các đối tƣợng, hiện tƣợng với nhau.[6]
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
Nhiều nhà tâm lý học đã chỉ ra tƣ duy có một số đặc điểm chính sau:
+ Tƣ duy có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ : “Tƣ duy chỉ tồn tại dƣới
cái vỏ ngôn ngữ” [6, tr.94]. Hay nói cách khác ngôn ngữ đƣợc xem nhƣ là
phƣơng tiện của tƣ duy. Tƣ duy mang tính gián tiếp, nó đƣợc phản ánh bằng
ngôn ngữ.
+ Tƣ duy mang tính khái quát: Phản ánh những thuộc tính chung,
những mối quan hệ có tính qui luật của hàng loạt sự vật, hiện tƣợng. Tƣ duy
mang tính trừu tƣợng.
+ Tƣ duy có quan hệ chặt chẽ với nhận thức cảm tính. Tƣ duy thƣờng
đƣợc bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy

sinh tình huống có vấn đề. Trong quá trình diễn biến của tƣ duy, nhất thiết
phải sử dụng nguồn tài liệu phong phú do nhận thức cảm tính đem lại. Dù cho
tƣ duy có khái quát và trừu tƣợng thế nào thì trong nội dung của tƣ duy cũng


7
chứa đựng những thành phần cảm tính. Và ngƣợc lại, tƣ duy và những kết quả
của nó chi phối khả năng phản ánh của cảm giác, tri giác, làm cho khả năng
cảm giác của con ngƣời tinh vi, nhạy bén hơn, làm cho tri giác của con ngƣời
mang tính lựa chọn, tính ý nghĩa.
+ Tƣ duy luôn luôn hƣớng vào việc giải quyết một nhiệm vụ nào đó.
Tƣ duy chỉ nảy sinh khi có vấn đề, có nhiệm vụ nhận thức, đặc điểm này đƣợc
gọi là tính “có vấn đề” của tƣ duy. Tính có vấn đề của tƣ duy đƣợc tính đến
trong quá trình dạy học, thầy giáo đặt HS trƣớc một nhiệm vụ nhận thức (câu
hỏi, bài toán…). HS phải đi tìm cách giải quyết nhiệm vụ ấy, đi tìm cái giống
nhau, cái khác nhau, khái quát các sự kiện và tự mình rút ra các kết luận. Vai
trò của bài toán mà người thầy đưa ra đặc biệt được coi trọng, nó được xem
như một lực thúc đẩy tư duy HS tích cực học tập, do đó để dạy tư duy cho HS,
người thầy cần chọn lựa được hệ thống bài tập phù hợp.
Theo [6, tr.103], trong quá trình giải toán, kiến thức và tƣ duy có mối
quan hệ tƣơng hỗ với nhau. Những kiến thức tham gia vào quá trình tƣ duy có
thể đƣợc chia làm hai loại: Thứ nhất là những kiến thức mà ngƣời giải toán
thu nhận trực tiếp từ điều kiện của bài toán khi đọc kĩ đề bài; Thứ hai là
những kiến thức về định nghĩa, định lí, định luật toán học mà ngƣời giải toán
đã thu thập đƣợc từ trƣớc để thiết lập mối quan hệ lôgic giữa điều kiện và kết
luận của bài toán. Quá trình tƣ duy trong giải toán có tiến triển đƣợc hay
không là tuỳ thuộc ở chỗ hai loại kiến thức trên có thiết lập đƣợc mối liên hệ
qua lại hay không. Những mối liên hệ qua lại này đƣợc thực hiện thông qua
những hành động trí tuệ với những kiến thức loại thứ nhất. Sự phát triển của
các năng lực tƣ duy đòi hỏi phát triển cả mặt nội dung của tƣ duy (các kiến

thức) lẫn mặt hành động của tƣ duy (các hành động trí tuệ).
1.2. Tƣ duy toán học
Tƣ duy toán học đƣợc nảy sinh trong quá trình học tập, nghiên cứu với
những đối tƣợng và quan hệ toán học.


8
1.2.1. Các thao tác tư duy toán học
1.2.1.1. Phân tích- tổng hợp
Đứng trƣớc một bài toán học sinh phải đặt ra cho mình câu hỏi : Giả
thiết bài toán cho điều gì? kết luận của bài toán yêu cầu gì? muốn giải quyết
yêu cầu của bài toán ta phải làm gì? vận dụng kiến thức nhƣ thế nào, muốn
thế ta phải thực hiện thế nào? Đứng trƣớc một lời giải của bài toán học sinh
phải biết tự đặt câu hỏi: Bài toán tại sao lại đƣợc giải nhƣ vậy? dựa trên cơ sở
nào? giải bài toán tổng quát nhƣ thế nào? liệu có cách giải nào khác không?
nếu thay đổi một số giả thiết thì bài toán thay đổi thế nào? các trƣờng hợp đặc
biệt của bài toán ra sao?
Rèn luyện năng lực phân tích và tổng hợp cho học sinh là yếu tố rất
quan trọng trong dạy học, học sinh có năng lực này sẽ nhìn nhận các bài toán
một cách hệ thống, biết phán đoán, biết cách suy luận để tìm lời giải không
những cho bài toán cụ thể mà còn cả hệ thống bài toán, biết nêu bài toán tổng
quát dẫn đến khả năng giải quyết vấn đề đƣợc phát huy cao độ nhất.
Phân tích là thao tác tƣ duy để phân chia đối tƣợng nhận thức thành các
bộ phận, các mặt, các thành phần khác nhau. Trong giải toán, phân tích là
phƣơng pháp suy luận đi từ cái chƣa biết đến cái đã biết.
Xuất phát từ góc độ phân tích các hoạt động tƣ duy đi sâu vào bản chất
thuộc tính của bộ phận từ đó đi tới những giả thiết và những kết luận khoa
học. Trong học tập hoạt động này rất phổ biến. Chẳng hạn, muốn giải một bài
toán , phải phân tích tìm các mối lien hệ, các yếu tố, dữ kiện của bài toán từ
đó mới có thể giải đƣợc bài toán.

Tổng hợp là hoạt động nhận thức phản ánh của tƣ duy biểu hiện trong
việc xác lập tính thống nhất của các phẩm chất, thuộc tính của các yếu tố
trong một sự vật nguyên vẹn có thể có đƣợc trong việc xác định phƣơng
hƣớng thống nhất và xác định các mối liên hệ, các mối quan hệ giữa các yếu
tố của sự vật nguyên vẹn đó, trong việc liên kết và liên hệ giữa chúng và
chính vì vậy đã thu đƣợc một sự vật và hiện tƣợng nguyên vẹn mới. Tổng


9
hợp là các thao tác tƣ duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt, các thành phần
đã tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể. Trong giải toán, phép tổng
hợp là phƣơng pháp suy luận đi từ cái đã biết đến cái chƣa biết.
Phép tổng hợp thƣờng dùng khi trình bày lời giải sau quá trình phân
tích. Học sinh nắm vững phƣơng pháp tổng hợp dẫn đến việc khái quát hóa
một dạng toán đi từ các bài toán cụ thể, từ đó phát hiện đƣợc những lời giải
cho bài toán tổng quát; khi gặp những bài toán thuộc dạng đó, học sinh dễ
dàng nhận ra đƣờng lối chung để giải nó.
Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là
hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất. Phân tích tiến hành theo hƣớng
tổng hợp, tổng hợp đƣợc thực hiện theo kết quả phân tích. Phân tích để tổng
hợp có cơ sở và tổng hợp để phân tích đạt đƣợc chiều sâu bản chất hiện tƣợng
sự vật. Trong học tập môn toán, phân tích-tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động
trí tuệ, là thao tác tƣ duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề. Sự phát triển
của phân tích và tổng hợp là đảm bảo hình thành của toàn bộ tƣ duy và các
hình thức tƣ duy của học sinh.
1.2.1.2. So sánh, tương tự hóa
So sánh là thao tác tƣ duy nhằm xác định sự giống nhau hay khác nhau,
sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa
các đối tƣợng nhận thức. Trong hoạt động tƣ duy của học sinh thì so sánh giữ
vai trò tích cực. Việc tìm ra những dấu hiệu giống nhau cũng nhƣ khác nhau

giữa hai sự vật hiện tƣợng là nội dung chủ yếu của tƣ duy so sánh. Việc nhận
thức bản chất của sự vật hiện tuợng không thể có nếu không có sự tìm ra sự
khác biệt sâu sắc, sự giống nhau của các sự vật, hiện tƣợng.
Cũng nhƣ tƣ duy phân tích, tƣ duy tổng hợp thì tƣ duy so sánh có thể ở
mức độ đơn giản (tìm tòi, thống kê, nhận xét) cũng có thể thực hiện trong quá
trình biến đổi và phát triển. Nhờ so sánh ngƣời ta có thể tìm thấy các dấu hiệu
bản chất giống nhau và khác nhau của các sự vật. Ngoài ra còn tìm thấy
những dấu hiệu bản chất, không bản chất thứ yếu của chúng.


10
So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích-tổng hợp và đối với các hình
thức tƣ duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn nhƣng vẫn có thể nhận thức đƣợc
những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tƣợng.
Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tƣợng giống nhau ở một số
dấu hiệu, rút ra kết luận hai đối tƣợng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác.
Nhƣ vậy, tƣơng tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tƣợng ở một mức
độ nào đó, trong một quan hệ nào đó.
Đứng trƣớc nhiều bài toán, dạng toán khác nhau nhƣng có một số điểm
chung ở phần giả thiết, các yêu cầu của kết luận học sinh phải biết liên hệ lôgic
với nhau qua phép so sánh và tƣơng tự. Từ đó tăng khả năng phân biệt, nhận biết
các dạng toán và nhận biết nhanh đƣờng lối giải các dạng bài toán đó.
So sánh bao gồm hai thành phần chính đó là phát hiện đặc điểm chung và
phát hiện đặc điểm khác nhau giữa các bài toán. Nhờ đó có thể phát hiện hàng
loạt bài toán có cách giải hoặc ý tƣởng giải giống nhau. Qua đó luyện tập cho
học sinh phép tƣơng tự. Không những thế còn phát triển cho học sinh hàng loạt
bài toán giống nhau để đi đến dạng tổng quát của nó hoặc từ một bài toán tổng
quát có thể đi vào giải từng bài toán cụ thể. Rèn luyện kỹ năng này giúp học sinh
phân biệt các ý tƣởng của các dạng bài toán mà cùng vận dụng một kiến thức
những suy nghĩ theo nhƣng hƣớng khác nhau hoặc so sánh lời giải các bài toán

trong cùng một dạng giúp cho học sinh hiểu sâu hơn về dạng toán đó.
1.2.1.3. Khái quát hóa, đặc biệt hóa
Khái quát hoá là hoạt động tƣ duy tách những thuộc tính chung và các
mối liên hệ chung, bản chất của sự vật, hiện tƣợng tạo nên nhận thức mới
dƣới hình thức khái niệm, định luật, qui tắc.
- Khái quát hoá cảm tính: diễn ra trong hoàn cảnh trực quan, thể hiện ở
trình độ sơ đẳng.
- Khái quát hoá hình tƣợng, khái niệm: là sự khái quát cả những tri thức
có tính chất khái niệm bản chất sự vật và hiện tƣợng hoặc các mối quan hệ
không bản chất dƣới dạng các hình tƣợng hoặc trực quan, các biểu tƣợng.


11
Tƣ duy khái quát hoá là hoạt động tƣ duy có chất lƣợng cao, sau này
khi học ở cấp học cao, tƣ duy này sẽ đƣợc huy động một cách mạnh mẽ vì tƣ
duy khái quát hoá là tƣ duy lí luận khoa học.
Khái quát hoá nhằm hợp nhất nhiều đối trƣợng khác nhau thành một
nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ hay quan hệ chung
giống nhau và những thuộc tính chung bản chất.
Theo G.S Nguyễn Bá Kim: "Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối
tƣợng sang một tập hợp đối tƣợng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu
bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát" [8, tr.51].
Nhƣ vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc
biệt đến cái chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát
hơn. Trong toán học, ngƣời ta thƣờng khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố
của khái niệm, định lý, bài toán thành những kết quả tổng quát.
Đặc biệt hóa là quá trình ngƣợc lại của quá trình khái quát hóa. Đặc biệt
hoá là yêu cầu đi từ cái chung đến cái riêng và làm rõ mối quan hệ chung
riêng giữa cái tổng quát và cái cụ thể từ đó tìm đƣợc nhiều trƣờng hợp riêng lẻ
từ một bài toán xuất phát.

Các kỹ năng này giúp học sinh có cách nhìn tổng quát về các bài toán sau
khi giải. Trên cơ sở đó, học sinh có thể phát triển thành các bài toán mở rộng
hơn, hoặc trong mỗi trƣờng hợp có thể xét bài toán ở các trƣờng hợp đặc biệt.Từ
đó việc suy luận đến lời giải sẽ nhanh chóng hơn đối với các dạng toán đó.
1.2.2.4. Trừu tượng hóa
Trừu tƣợng hoá là thao tác tƣ duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc
tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố
cần thiết cho tƣ duy. Sự phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây chỉ
mang nghĩa tƣơng đối, nó phụ thuộc mục đích hành động.
1.2.2. Một số loại hình tư duy toán học
Về cách phân loại những thành phần chủ yếu của tƣ duy, theo [28] có
bàn đến những thành phần chủ yếu của tƣ duy, bao gồm:


12
1.2.2.1. Tư duy cụ thể
Là tƣ duy trong tác động chặt chẽ với một hình mẫu cụ thể của đối
tƣợng. Ngƣời ta phân biệt hai hình thái tƣ duy cụ thể, đó là: tƣ duy linh hoạt
và tƣ duy không linh hoạt.
1.2.2.2. Tư duy trừu tượng
Là tƣ duy đặc trƣng bởi kỉ năng và ý thức, tách khỏi nội dung cụ thể
của đối tƣợng đang nghiên cứu để thuận tiện hơn khi xét những tính chất
chung nhất cần nghiên cứu. Tƣ duy trừu tƣợng có những dạng biểu hiện sau
trong quá trình giảng dạy toán, đó là: trong dạng rõ rệt và trong dạng không rõ
rệt. Tƣ duy trừu tƣợng đƣợc Kôliagin và đồng tác giả phân chia thành ba hình
thái cụ thể và chi tiết hơn: Một là, tư duy phân tích. Hai là, tư duy logic. Ba là,
tư duy lược đồ không gian.
1.2.2.3. Tư duy trực giác
Trong lĩnh vực Toán học, có những ngƣời có khả năng dự đoán những
kết luận, với ý nghĩa đó ngƣời ta nói đến tƣ duy trực giác. Các nhà triết học

duy tâm hiểu trực giác là: "Năng lực đặc biệt của sự quan sát bên trong, là
trạng thái của một tƣ tƣởng đến đột ngột, nhờ đó mà con ngƣời dƣờng nhƣ có
thể nhận thức đƣợc tâm lí mà không cần có sự tham gia của hoạt động suy
luận logic". Còn theo quan điểm của Koliagin và đồng tác giả, thì trực giác là
phƣơng pháp đặc biệt của nhận thức đƣợc đặc trƣng bởi cách hiểu trực tiếp về
sự thật. Ngƣời ta thƣờng xếp vào lĩnh vực trực giác, các hiện tƣợng kiểu nhƣ:
đột nhiên tìm ra lời giải của một bài toán đã suy ngẫm nhiều nhƣng chƣa giải
đƣợc, đột nhiên tìm ra một biện pháp để thoát khỏi sự nguy hiểm…
1.2.2.4. Tư duy hàm
Kôliagin cho rằng: Tƣ duy hàm đặc trƣng bởi sự hiểu biết những mối
quan hệ chung và riêng, bởi các quan hệ giữa những đối tƣợng toán học hoặc
giữa các tính chất của chúng và bởi kỉ năng sử dụng các quan hệ ấy. Còn theo
Nguyễn Bá Kim: Tƣ duy hàm đặc trƣng bởi các hoạt động phát hiện các sự


13
tƣơng ứng, thiết lập các sự tƣơng ứng, nghiên cứu các sự tƣơng ứng, lợi dụng
các sự tƣơng ứng [8 ].
Các hoạt động đặc trƣng cho tƣ duy hàm đó là:
HĐ 1: Phát hiện hoặc thiết lập những sự tƣơng ứng.
HĐ 2: Nghiên cứu những sự tƣơng ứng.
HĐ 3: Lợi dụng những sự tƣơng ứng.
Tƣ duy hàm thể hiện ở sự nhận thức đƣợc tiến trình những tƣơng ứng
riêng và chung giữa các đội tƣợng toán học hay những tính chất của chúng
rèn luyện tƣ duy hàm cho học sinh tạo điều kiện phát triển những hoạt động
trí tuệ sau:
Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng
những tƣơng ứng trong khi và nhằm vào truyền thụ kiến thức và rèn luyện kỹ
năng toán học.
Thực hiện gợi động cơ sao cho những hoạt động tƣ duy hàm trở thành

những khả năng gợi động cơ nội tại toán học trong các giờ dạy học giải bài
tập toán.
Hình thành ở học sinh những biểu tƣợng, tiến tới những tri thức về
tƣơng ứng đơn trị và tập luyện cho họ những hoạt động ăn khớp với những tri
thức phƣơng pháp.
1.2.2.5. Tư duy phê phán
Theo [12] thì tƣ duy phê phán nhằm trả lời hai câu hỏi sau:
+ Ta sẽ tin vào điều gì?
+ Ta sẽ lựa chọn cách nào?
Loại hình tƣ duy này đặc trƣng bởi việc tạo lập tiêu chuẩn cho sự tin
tƣởng vào hành động; kiên định thái độ "tin tƣởng", "hoài nghi" và chỉ đƣa ra
phán đoán, kết luận cuối cùng khi đã xem xét hết các tƣ liệu đã có.
Chúng ta cần phải hiểu rằng cách phân loại trên đây chỉ là tƣơng đối. Rõ
ràng khó mà kể hết các loại hình tƣ duy, bởi vì, mỗi tác giả lại có quan điểm


14
riêng và ngay bản thân từng tác giả thì các loại tƣ duy theo cách phân loại của họ
cũng có sự giao thoa và cũng không thể kì vọng vào một sự đầy đủ tuyệt đối.
1.2.2.6.Tư duy thuật toán
Theo [ 21] thuật toán là một trong những khái niệm rất quan trọng của
Toán học và Tin học. Trong lịch sử toán học, khái niệm thuật toán ra đời rất
sớm và ban đầu đƣợc hiểu theo nghĩa trực giác. Khái niệm thuật toán theo
nghĩa trực tiếp là đủ dùng trong suốt đời một thời gian rất dài. Mãi tới đầu thế
kỷ 20, xuất hiện những bài toán yêu cầu phải chứng minh là không tồn tại
thuật giải để giải chúng. Khái niệm trực giác về thuật giải là không đủ để giải
quyết vấn đề này. Từ đó, những định nghĩa toán học chính xác về thuật toán
đã ra đời (trong số đó có khái niệm máy Turing và hàm đệ quy). Ở đây, chúng
ta không trình bày những định nghĩa hình thức này mà chỉ nêu ra khái niệm
thuật toán theo nghĩa trực giác.

Theo nghĩa trực giác, thuật toán là một quy tắc chính xác và đơn trị quy
định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự nhất định trên
những đối tƣợng sao cho sau một số hữu hạn bƣớc thực hiện các thao tác đó
ta thu đƣợc kết quả mong muốn.
Đây không phải là một định nghĩa toán học của khái niệm thuật toán
mà chỉ là một cách phát biểu giúp ta hình dung khái niệm này. Cách phát biểu
trên chứa đựng một số thuật ngữ chƣa đƣợc chính xác hóa, chẳng hạn: quy
tắc, thao tác sơ cấp. Những thuật ngữ này đƣợc hiểu theo trực giác. Thuật toán
có các tính chất cơ bản sau đây:
- Tính đơn trị: Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác
trong thuật toán phải đơn trị. Nghĩa là hai phần tử cùng một cơ cấu thực hiện
cùng một thao tác trên cùng một đối tƣợng thì phải cho cùng một kết quả.
Tính chất này nói lên tính hình thức hoá của thuật toán nhờ đó ta có thể lập
trình giao cho các thiết bị tự động thực hiện thuật toán thay thế con ngƣời.
- Tính dừng: Tính dừng của thuật toán yêu cầu sau một số hữu hạn lần
thực hiện các thao tác đã chỉ ra phải đi đến kết thúc, thu đƣợc kết quả nhƣ


15
mong muốn. Tính dừng của thuật toán không quy định cụ thể mỗi thuật giải
phải có bao nhiêu bƣớc, điều đó phụ thuộc vào tính chất và độ phức tạp của
bài toán nhƣng phải đảm bảo không đƣợc lặp lại mãi.
- Tính đúng đắn: Thuật toán phải đảm bảo tính đúng đắn tức là phải giải
quyết đúng vấn đề đặt ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn. Thuật toán
không cho phép kết quả sai hoặc không đầy đủ, bỏ sót trƣờng hợp.
- Tính phổ dụng: Thuật toán phải áp dụng đƣợc cho một lớp các bài
toán có cùng cấu trúc với những dữ liệu cụ thể khác nhau. Nhờ tính chất này,
ngƣời ta sáng tạo ra những thuật toán, rồi từ đó xây dựng những chƣơng trình
mẫu để giải từng lớp bài toán.
- Tính hiệu quả: Yêu cầu hiệu quả của thuật toán là tính tối ƣu. Tiêu

chuẩn tối ƣu đƣợc hiểu là:
+ Thuật toán thực hiện nhanh, tốn ít thời gian.
+ Thuật toán dùng ít giấy hoặc thiết bị lƣu trữ các kết quả trung gian.
+ Đáp ứng đƣợc nhu cầu của thực tiễn.
Quan điểm khai thác hoạt động trong nội dung dạy học cho rằng mỗi
nội dung dạy học đều chứa đựng nhiều hoạt động tƣơng thích với nó, đó là
những hoạt động đƣợc thực hiện trong quá trình hình thành và vận dụng nội
dung này. Tƣơng thích với khái niệm thuật toán có những hoạt động đáng chú
ý sau đây:
- Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một
thuật toán;
- Phân tích một quá trình thành những thao tác đƣợc thực hiện theo
một trình tự xác định;
- Khái quát hoá một quá trình diễn ra trên một số đối tƣợng riêng lẻ
thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tƣợng;
- Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động;
- Phát hiện thuật toán tối ƣu để giải quyết một công việc.


16
Phƣơng thức tƣ duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động trên
đƣợc gọi là tƣ duy thuật toán. Mỗi khả năng ấy là một thành tố của tƣ duy
thuật toán. Thành phần đầu tiên thể hiện năng lực thực hiện thuật toán, bốn
thành phần sau thể hiện năng lực xây dựng thuật toán. Các hoạt động trên
đƣợc gọi là hoạt động tƣ duy thuật toán.
1.2.2.7. Tư duy sáng tạo
i) Tƣ duy sáng tạo là gì?
"Tƣ duy sáng tạo là một dạng tƣ duy độc lập, tạo ra ý tƣởng mới độc
đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tƣởng mới thể hiện ở chỗ phát
hiện vấn đề mới, tìm ra hƣớng đi mới, tạo ra kết quả mới. Tính độc đáo của

ý tƣởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy
nhất" [10, tr.72].
Theo nhà tâm lý học G.Mehlhorn: "Tƣ duy sáng tạo là hạt nhân của sự
sáng tạo cá nhân đồng thời là hạt nhân cơ bản của giáo dục".
Khi xem xét tƣ duy sáng tạo trên bình diện nhƣ một năng lực của một
con ngƣời thì J.Danton quan niệm: "Tƣ duy sáng tạo, đó là năng lực tìm thấy
những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối liên hệ mới, là một chức năng của
kiến thức, trí tƣởng tƣợng và sự đánh giá ".
Tuỳ vào mức độ tƣ duy, ngƣời ta chia nó thành: tƣ duy tích cực, tƣ duy
độc lập, tƣ duy sáng tạo. Mỗi mức độ tƣ duy đi trƣớc là tiền đề tạo nên mức
độ tƣ duy đi sau. Đối với chủ thể nhận thức, tƣ duy tích cực đƣợc đặc trƣng
bởi sự khát vọng, sự cố gắng trí tuệ và nghị lực. Còn tƣ duy độc lập thể hiện ở
khả năng tự phát hiện và giải quyết vấn đề, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả
đạt đƣợc. Không thể có tƣ duy sáng tạo nếu không có tƣ duy tích cực và tƣ
duy độc lập.
Mặt khác, có ý kiến cho rằng: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê
phán là những điều kiện cần thiết của tƣ duy sáng tạo, là những đặc điểm về
những mặt khác nhau của tƣ duy sáng tạo". [10, tr.33].
Mối quan hệ các loại hình tƣ duy có thể biểu thị mối liên hệ bởi sơ đồ sau:


17



Tƣ duy tích cực
Tƣ duy độc lập
Tƣ duy sáng tạo

Hình 1.1: Mối quan hệ các loại hình tƣ duy

Ví dụ về tƣ duy sáng tạo: Học sinh tự khám phá định lý, tự chứng minh
định lý đó.
Tƣ duy sáng tạo có tính chất tƣơng đối vì cùng một chủ thể giải quyết
vấn đề trong điều kiện này có thể mang tính sáng tạo trong điều kiện khác,
hoặc cùng một vấn đề đƣợc giải quyết có thể mang tính sáng tạo đối với
ngƣời này nhƣng không mang tính sáng tạo đối với ngƣời khác.
ii) Quá trình sáng tạo
Nhƣ J.Adama đã "Nghiên cứu về tâm lí học sáng tạo trong lĩnh vực
toán học" đã chỉ ra quá trình lao động sáng tạo ấy trải qua bốn giai đoạn:
+ Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn đặt nhiệm vụ nghiên cứu, thu thập tài liệu
liên quan.
+ Giai đoạn ấp ủ: Quá trình tƣ duy ít bị sự kiểm soát hơn của ý thức, tiềm
thức lại chiếm ƣu thế, các hoạt động bổ sung cho vấn đề đƣợc quan tâm.
+ Giai đoạn bừng sáng: Đột nhiên tìm đƣợc lời giải đáp, đó là các bƣớc nhảy
vọt về chất trong tri thức, xuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo.
+ Giai đoạn kiểm chứng: Xem xét, khái quát kết quả. Ý thức lại đƣợc tham
gia tích cực. Kiểm tra trực giác, triển khai các luận chứng lôgic để có thể
chứng tỏ tính chất đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề, khi đó sáng tạo
mới đƣợc khẳng định.
Đặc điểm của quá trình sáng tạo:





18
+ Là tiền đề chuyển tri thức và kỹ năng vào hoàn cảnh mới.
+ Nhận ra vấn đề mới trong những điều kiện quen thuộc.
+ Nhìn ra các chức năng mới ở những đối tƣợng quen thuộc.
+ Nhận ra cấu trúc của đối tƣợng đang nghiên cứu.

+ Lựa chọn cách giải quyết tốt nhất trong từng hoàn cảnh nhờ khả năng tìm
đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau.
+ Năng lực tìm kiếm và quyết định phƣơng pháp giải quyết độc đáo trong khi
đã biết đƣợc nhiều phƣơng pháp giải quyết truyền thống.
Trong quá trình sáng tạo toán học, thƣờng xuất hiện những trạng thái
hay tình huống một tƣ tƣởng nào đó đột nhiên bừng sáng trong đầu óc con
ngƣời hoặc đặt con ngƣời trong trạng thái "hứng khởi" cao độ, khi đó các tƣ
tƣởng hình nhƣ cứ theo nhau kéo đến một cách dồn dập, giúp họ đi đến những
kết quả mới.
iii) Thành phần của tƣ duy sáng tạo
Mang đặc thù của một quá trình sáng tạo, có thể nói tƣ duy sáng tạo là
sự kết hợp ở đỉnh cao của tƣ duy độc lập và tƣ duy tích cực, tƣ duy sáng tạo
gồm các thành phần sau:
+ Tính mềm dẻo: Là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ
thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác,
định nghĩa lại sự vật, hiện tƣợng, gạt bỏ sơ đồ tƣ duy có sẵn và xây dựng
phƣơng pháp tƣ duy mới, tạo ra sự vật mới trong mối quan hệ mới hoặc
chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điều phán đoán. Tính
mềm dẻo gạt bỏ sự sơ cứng trong tƣ duy, mở rộng sự nhìn nhận vấn đề từ
nhiều khía cạnh khác nhau của chủ thể nhận thức.
+ Tính nhuần nhuyễn: Là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp
giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đƣa ra giả thuyết mới và ý
tƣởng mới. Tính nhuần nhuyễn của tƣ duy sáng tạo đƣợc đặc trƣng bởi khả
năng tạo ra số các ý tƣởng mới khi nhận thức vấn đề.


19
+ Tính độc đáo: Là năng lực độc lập tƣ duy trong quá trình xác định mục đích
cũng nhƣ giải pháp, biểu hiện trong những giải pháp lạ, hiếm, tính hợp lý, tính
tối ƣu của giải pháp.

+ Tính hoàn thiện: Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành
động, phát triển ý tƣởng, kiểm tra và chứng minh ý tƣởng.
+ Tính nhạy cảm vấn đề: Là năng lực nhanh chóng phát hiện vấn đề, sự mâu
thuẫn, sai lầm, thiếu lôgic, chƣa tối ƣu và từ đó đề xuất hƣớng giải quyết,
tạo ra cái mới.
1.3. Mục tiêu dạy học môn Toán trong nhà trƣờng phổ thông
Nhƣ chúng ta đã biết: "Mục tiêu giáo dục phổ thông là giúp học sinh
phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ năng cơ
bản nhằm hình thành nhân cách con ngƣời Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây
dựng tƣ cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học
lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc"
[11, Chƣơng 2, mục 2, điều 23].
Môn Toán, cũng nhƣ mọi môn học, xuất phát từ đặc điểm, vai trò, vị
trí, ý nghĩa của nó, phối hợp cùng môn học khác và các hoạt động khác nhau
trong nhà trƣờng, góp phần thực hiện mục tiêu trên. Nhƣ vậy, phát triển tƣ
duy (phát triển trí tuệ) cho học sinh cũng chính là một mục tiêu quan trọng
của giáo dục phổ thông. Toán học có tính chất trừu tƣợng cao độ. Do đó, môn
Toán có khả năng to lớn góp phần phát triển tƣ duy cho học sinh. Chính vì
mục tiêu này, cần thiết phải đƣợc thực hiện một cách có ý thức, có hệ thống,
có kế hoạch chứ không phải là tự phát. Muốn vậy, ngƣời thầy giáo cần phải
có ý thức về việc hiểu và nghiên cứu tƣ duy, cách phát triển tƣ duy, đặc biệt
đối với ngƣời thầy giáo dạy môn Toán ở trƣờng phổ thông cần phải có ý thức
đầy đủ về Tư duy toán học và phát triển tư duy toán học cho học sinh trong
dạy học toán ở trường phổ thông.
Tƣ duy toán học và phát triển tƣ duy toán học cho học sinh trong dạy
học toán ở trƣờng phổ thông là một trong những vấn đề lớn, vấn đề trọng tâm.


20
Trong luận văn này tôi xin đƣợc trình bày một số vấn đề cơ bản thuộc về Tƣ

duy toán học, cách rèn luyện và phát triển Tƣ duy toán học cho học sinh trong
dạy học toán ở trƣờng phổ thông thông qua một số cơ sở lí luận cơ bản về tƣ
duy và một số ví dụ cụ thể. Nhƣ vậy, phát triển năng lực trí tuệ là một trong
các mục tiêu chính của quá trình dạy học môn Toán. Môn Toán góp phần
quan trọng vào việc hình thành và phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả
năng suy luận Toán học đặc trƣng cho cuộc sống. Mục tiêu này cần đƣợc thực
hiện một cách có hệ thống, có kế hoạch chứ không phải tự phát. Muốn vậy
ngƣời giáo viên cần có ý thức đầy đủ về các mặt sau đây:
1.3.1. Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác
Thật vậy, không những do đặc điểm của môn Toán mà còn do đặc điểm
của tƣ duy có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ. Tƣ duy không thể tách rời ngôn
ngữ, nó phải diễn ra với hình thức ngôn ngữ, đƣợc hoàn thiện trong sự trao
đổi bằng ngôn ngữ giữa con ngƣời với con ngƣời và ngƣợc lại, ngôn ngữ
đƣợc hình thành nhờ có tƣ duy. Vì vậy việc phát triển tƣ duy lôgic gắn liền
với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác.
1.3.2. Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng
Tác dụng phát triển tƣ duy toán học không phải chỉ hạn chế ở sự rèn
luyện tƣ duy logic mà còn ở sự phát triển khả năng suy đoán và tƣởng tƣợng
(tức là, khả năng dự đoán và suy luận có lí). Muốn vậy, ngƣời thầy giáo phải
làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng các quy tắc suy đoán, nhƣ: xét
tƣơng tự, khái quát hoá, quy lạ về quen, đặc biệt hóa, quy nạp (xuất phát từ
cái riêng để suy đoán cái chung), tổng quát hoá… Chú ý rằng, những suy
đoán (dự đoán) có thể rất táo bạo, rất đặc biệt, nhƣng cũng cần phải có những
căn cứ, dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là
đoán mò, càng không phải là nghĩ liều. Có những trƣờng hợp dự đoán là định
hƣớng chính cho việc phát hiện và giải quyết vấn đề, có những trƣờng hợp dự
đoán hỗ trợ cho việc giải quyết vấn đề, nhƣng có những trƣờng hợp nếu chỉ
nghĩ rằng chỉ có dự đoán đƣợc một điều gì đó liên quan đến vấn đề thì mới