Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm tt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC



VŨ THỊ NHUNG




RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
ĐƯỢC GIẢI BẰNG ĐẠO HÀM




LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN












HÀ NỘI - 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC



VŨ THỊ NHUNG



RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
ĐƯỢC GIẢI BẰNG ĐẠO HÀM


LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10


Người hướng dẫn khoa học: TS. PHẠM VĂN QUỐC

HÀ NỘI - 2012

iv
MỤC LỤC

Trang
Lời cảm ơn
i
Danh mục viết tắt
ii
Danh mục các bảng
iii
Mục lục
iv
MỞ ĐẦU
1
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
5
1.1. Tư duy
5
1.1.1. Tư duy là gì ?
5
1.1.2. Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy
5
1.1.3. Những đặc điểm của tư duy
6
1.1.4. Những phẩm chất của tư duy
6
1.1.5. Các thao tác tư duy
7

1.1.6. Vấn đề phát triển năng lực tư duy
9
1.1.7. Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển
10
1.2. Tư duy sáng tạo
10
1.2.1. Khái niệm về sáng tạo
10
1.2.2. Quá trình sáng tạo
12
1.2.3. Tư duy sáng tạo
12
1.2.4. Cấu trúc của tư duy sáng tạo
15
1.3. Phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua
dạy học môn Toán

17
1.3.1. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp với các
hoạt động trí tuệ khác

17
1.3.2. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào
việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý
tưởng mới


18
1.3.3. Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo
18

1.3.4. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến
hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học

19
1.4. Thực trạng dạy và học bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm ở
trường THPT

19
Kết luận chương 1
20

v
Chƣơng 2 : RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC
SINH THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
ĐƢỢC GIẢI BẰNG ĐẠO HÀM


21
2.1. Một số kiến thức cơ bản về đạo hàm
21
2.1.1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
21
2.1.2. Định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một khoảng
21
2.1.3. Các quy tắc tính đạo hàm
22
2.1.4. Bảng các đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
22
2.1.5. Đạo hàm cấp cao
23

2.2. Giải bài tập bất đẳng thức bằng phương pháp khảo sát hàm số
23
2.3. Giải bài tập bất đẳng thức bằng các bất đẳng thức tiếp tuyến
45
2.4. Giải bài tập bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Jensen
65
Kết luận chương 2
75
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
76
3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm
76
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm
76
3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm
76
3.2. Phương pháp thực nghiệm
76
3.3. Nội dung và tổ chức thực nghiệm
77
3.3.1. Chọn nội dung thực nghiệm
77
3.3.2. Tổ chức thực nghiệm
77
3.3.3. Nội dung bài tập và đề kiểm tra
78
3.4. Kết quả của thực nghiệm sư phạm
85
3.4.1. Nhận xét của giáo viên qua tiết dạy thử nghiệm
85

3.4.2. Những đánh giá từ kết quả bài kiểm tra
86
Kết luận chương 3
87
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
88
1. Kết luận
88
2. Khuyến nghị
88
TÀI LIỆU THAM KHẢO
90
PHỤ LỤC
92


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhân loại đang bước vào thế kỷ XXI, thế kỷ tri thức, kỹ năng của con người được
xem là yếu tố quyết định sự phát triển của xã hội. Trong xã hội tương lai, nền giáo
dục phải đào tạo ra những con người có trí tuệ, thông minh và sáng tạo. Muốn có
được điều này, ngay từ bây giờ nhà trường phổ thông phải trang bị đầy đủ cho học
sinh hệ thống kiến thức cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn Việt Nam và rèn
luyện cho họ năng lực tư duy sáng tạo.
Trong chương trình toán THPT phần nội dung kiến thức “bất đẳng thức” là một
nội dung khó đối với cả giáo viên và học sinh . Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất
đẳng thức là một trong những phương pháp hay, đơn giản trong khi việc sử dụng
các phương pháp khác có thể gặp khó khăn.

Với các lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho
học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức đƣợc giải bằng đạo hàm”.
2. Lịch sử nghiên cứu
Đã có rất nhiều tài liệu nghiên cứu về việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học
sinh trong dạy học các bộ môn, công trình nghiên cứu và lý thuyết đạo hàm hoàn
thiện, ứng dụng của đạo hàm ở Việt Nam Tuy nhiên, chưa có nhiều cuốn sách đề
cập đến bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm một cách hệ thống.
3. Mục tiêu nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo.
- Phân loại, xây dựng hệ thống các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm
và đưa ra phương pháp chung cho mỗi loại đó. Trên cơ sở đó, rèn luyện sáng tạo
cho học sinh
4. Vấn đề nghiên cứu
- Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh là thế nào?
- Xây dựng hệ thống bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm như thế nào
để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh?
5. Giả thuyết khoa học
Thông qua hệ thống các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm để rèn
luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.
2

6. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu hoạt động tư duy của học sinh trong quá trình giải bài tập, từ đó
hướng dẫn học sinh xây dựng tiến trình luận giải, làm cơ sở cho việc tìm kiếm lời
giải một cách có hiệu quả.
- Phân loại và xây dựng hệ thống bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm
và đưa ra phương pháp chung cho mỗi loại đó.
- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá hiệu quả của việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho
học sinh.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận, kết hợp với điều tra, quan sát, thực nghiệm sư phạm và thống
kê toán học
8. Những đóng góp của luận văn
- Xây dựng và phân loại hệ thống bài tập về bất đẳng thức được giải bằng đạo hàm
nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.
- Kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy đề tài có tính khả thi và hiệu quả.
- Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo bổ ích thiết thực.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn
được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về bất
đẳng thức được giải bằng đạo hàm.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 Tƣ duy
1.1.1 Tư duy là gì ?
Trên thế giới và ở Việt Nam có nhiều quan điểm về tư duy. Theo
M.N.Sacđacôp: Tư duy là sự nhận thức khái quát gián tiếp các sự vật và hiện
tượng của hiện thực trong những dấu hiệu, những thuộc tính chung và bản
chất của chúng. Tư duy cũng là sự nhận thức sáng tạo những sự vật, hiện
3

tượng mới, riêng rẽ của hiện thực trên cơ sở những kiến thức khái quát hóa đã
thu nhận được.
1.1.2. Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy
Lý luận dạy học hiện đại đặc biệt chú trọng đến việc phát triển tư duy cho học
sinh thông qua việc điều khiển tối ưu quá trình dạy học, còn các thao tác tư
duy cơ bản là công cụ của nhận thức.
1.1.3. Những đặc điểm của tư duy

- Quá trình tư duy nhất thiết phải sử dụng ngôn ngữ là phương tiện. Tư duy
phản ánh gián tiếp, không tách rời quá trình nhận thức cảm tính.
1.1.4. Những phẩm chất của tư duy
Tư duy có khả năng định hướng, bề rộng, độ sâu, tính linh hoạt, tính mềm
dẻo, tính độc lập, tính khái quát.
1.1.5. Các thao tác tư duy
Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ.
Các thao tác trí tuệ cơ bản là: phân tích - tổng hợp, so sánh – tương tự, khái
quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá
1.1.6. Vấn đề phát triển năng lực tư duy
Trước hết là giúp học sinh thông hiểu kiến thức một cách sâu sắc, không máy
móc, biết cách vận dụng kiến thức vào bài tập. Từ đó mà kiến thức học sinh
thu nhận được trở nên vững chắc và sinh động.
1.1.7. Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển
Có khả năng tự lực chuyển tải tri thức và kỹ năng sang một tình huống mới,
tái hiện kiến thức và thiết lập những mối quan hệ bản chất, phát hiện cái
chung và cái đặc biệt giữa các bài toán và có năng lực áp dụng kiến thức để
giải quyết tốt bài toán thực tế
1.2.Tƣ duy sáng tạo
1.2.1.Khái niệm về sáng tạo
Có thể nói: “Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới không bị gò bó
phụ thuộc vào những cái đã có”.
1.2.2. Quá trình sáng tạo
4

Quá trình sáng tạo gồm 4 giai đoạn: chuẩn bị, ấp ủ, bừng sáng, kiểm chứng.
1.2.3. Tư duy sáng tạo
tư duy sáng tạo được thể hiện trong việc xác định bài toán, xác định mục tiêu
của bài toán, tạo sinh các ý tưởng bằng các thao tác trí tuệ như tưởng tượng,
phỏng đoán, so sánh với các ẩn dụ, đưa ra các giả thuyết, phê phán và đánh

giá các giả thuyết, rồi lựa chọn các lời giải, thực thi từng phần hoặc toàn bộ
một lời giải, đánh giá các lời giải khả thi, sửa đổi để hoàn thiện lời giải
1.2.4. Cấu trúc của tư duy sáng tạo
Năm thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính
nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề.
1.3. Phƣơng hƣớng bồi dƣỡng tƣ duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học
môn Toán
1.3.1. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần kết hợp với các hoạt động trí
tuệ khác
1.3.2. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn
luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới
1.3.3. Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo
1.3.4. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất
cả các khâu của quá trình dạy học
1.4. Thực trạng dạy và học bất đẳng thức đƣợc giải bằng đạo hàm ở trƣờng
THPT
Có thể nói, bài tập bất đẳng thức rất đa dạng, phong phú về thể loại và
phương pháp giải, nên khi làm bài tập bất đẳng thức học sinh thường khó phân biệt
được dạng và phương pháp giải, thậm chí không giải quyết được. Phần lớn học sinh
thấy sợ học bất đẳng thức và không hứng thú với chủ đề này nhiều khi còn gây tâm
lí chán nản đối với các em. Không những thế, trong các đề thi đại học thường có bài
tập về bất đẳng thức, các bài tập này tương đối phức tạp nên để học tốt phần này
giáo viên và học sinh đều phải bỏ rất nhiều thời gian và công sức.
Kết luận chƣơng 1
Trong chương này, luận văn đã trình bày các quan điểm của một số tác giả về khái
5

niệm tư duy, tư duy sáng tạo, phương hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học
sinh thông qua dạy học môn Toán và thực trạng dạy và học bất đẳng thức được giải
bằng đạo hàm ở trường THPT.

CHƢƠNG 2
RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC
BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐƢỢC GIẢI BẰNG ĐẠO HÀM
2.1. Một số kiến thức cơ bản về đạo hàm
2.1.1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
2.1.2. Định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một khoảng
2.1.3. Các quy tắc tính đạo hàm
2.1.3.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số
2.1.3.2. Đạo hàm của hàm số hợp
2.1.4. Bảng các đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
2.1.5. Đạo hàm cấp cao
2.2. Giải bài tập bất đẳng thức bằng phƣơng pháp khảo sát hàm số
Để chứng minh bất đẳng thức, ngoài các bất đẳng thức kinh điển như bất đẳng thức
Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki , thì sử dụng đạo hàm cũng là một công cụ
hữu ích. Trong nhiều trường hợp, sử dụng phương pháp khảo sát hàm số để chứng
minh bất đẳng thức thì lời giải bài toán sẽ ngắn gọn và đơn giản hơn rất nhiều.
Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức : A

B trên tập D ( với D là một đoạn,
khoảng, nửa đoạn hay nửa khoảng)
Sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức ta thường dùng hai cách sau:
Cách 1: Xét
f
là một hàm số của một đối số nào đó,
f
xác định trên tập D và thỏa
mãn
()fA



,
()fB


, với
, D


và
f
đơn điệu trên D.
Nếu


chứng minh
()fx
nghịch biến trên D
Nếu


, chứng minh
()fx
đồng biến trên D.
Cách 2:
Xét hiệu
f A B
trên D và coi đây là hàm số của một đối số nào đó.
Nếu
f
nghịch biến trên D, cần chỉ ra tồn tại

, D


,
: ( )f A B
  
  
và
( ) 0f A B

  

6

Nếu
f
đồng biến trên D, cần chỉ ra tồn tại
, D


,
: ( )f A B
  
  
và
( ) 0f A B

  

Cách 2 thực chất là một trường hợp riêng của cách 1.

Xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1. Cho
0
2
x


. Chứng minh rằng:
a)
sinx x

b)
tanx x

Bài giải
a) Xét hàm số
( ) sinxf x x
với
0
2
x



Ta có
'
( ) cos 1 0f x x  
với
0
2

x





hàm số
()fx
nghịch biến trên khoảng (0 ;
)
2


Do đó
()fx
<
(0)f
với
0
2
x




sinx 0x  


sinx x
(đpcm)

b) Tương tự
Nhận xét: Rõ ràng sử dụng phương pháp khảo sát hàm số trong các ví dụ trên làm
cho lời giải rất ngắn gọn, dễ hiểu. Trong trường hợp này, việc xét dấu
'
()fx
rất đơn
giản. Đôi khi chúng ta không thể khẳng định ngay được dấu
'
()fx
, trong các
trường hợp như vậy, một thủ thuật thông thường được áp dụng là chúng ta liên tiếp
tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thức ẩn x.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với
0x 
thì ta có:
3
sinx
6
x
x 

Bài giải
Xét hàm số
3
( ) sinx
6
x
f x x  
với
0x 

7

Ta có
2
'
( ) 1 cos
2
x
f x x  


"
( ) sinxf x x  


'''( ) 1 cos 0f x x   
với
0x 




"
()fx
nghịch biến trên khoảng (0 ;
)


""

( ) (0)f x f
với
0x 


"
( ) 0fx
với
0x 




'
()fx
nghịch biến trên khoảng (0 ;
)


''
( ) (0)f x f
với
0x 


'
( ) 0fx
với
0x 



()fx
nghịch biến trên khoảng (0 ;
)

Do đó
( ) (0)f x f
với
0x 


3
sinx<0
6
x
x  
với
0x 


3
sinx
6
x
x  
với
0x 
(đpcm)

Nhận xét: Ở các ví dụ trên ta đều nhìn ra ngay được hàm số cần xét sự biến thiên.
Ví dụ tiếp theo minh họa việc lựa chọn hàm số thích hợp để xét sự biến thiên, khi
bất đẳng thức cần chứng minh là bất đẳng thức nhiều biến.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu
1xy
thì:
44
1
8
xy

Bài giải
Từ
1xy
suy ra :
1yx
nên
4 4 4 4
(1 )x y x x   

Xét hàm số
44
( ) (1 )f x x x  

Ta có
' 3 3
( ) 4 4(1 )f x x x  


'

1
( ) 0
2
f x x  

Bảng biến thiên :
8


Dựa vào bảng biến thiên ta có
1
()
8
fx
với mọi
x

Đẳng thức xảy ra khi
1
2
xy

Ví dụ 4. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC nhọn ta đều có:

21
(sin sin sin ) (tanA tan tan )
33
A B C B C

     

Bài giải
Do
A B C

  
nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng
thức:
2 1 2 1 2 1
( sin tanA ) ( sin tanB ) ( sin tanC ) 0
3 3 3 3 3 3
A A B B C C        

Xét hàm số
21
( ) sinx+ tanx
33
f x x
với
0
2
x



Ta có
'
2
2 1 1
( ) cos . 1

3 3 os
f x x
cx
  

'
2
1 1 1
( ) (cos cos ) 1 .3 1
3 os 3
f x x x
cx
      

'
( ) 0fx
với
0
2
x





hàm số
()fx
đồng biến trên khoảng (0 ;
)
2



x -


2
1
+




f
'
(x) - 0 +



f(x)


1
8

9

Do đó
()fx
>
(0)f

với
0
2
x




21
sinx+ tanx 0
33
x  
với
0
2
x




21
sinA+ tanA 0
33
A  


21
sinB+ tanB 0
33
B  

21
sinC+ tanC 0
33
C  


2 1 2 1 2 1
( sinA+ tanA ) ( sinB+ tanB ) ( sinC+ tanC ) 0
3 3 3 3 3 3
A B C      


21
(sin sin sin ) (tanA tan tan )
33
A B C B C

      
(đpcm)
Nhận xét: Trong các ví dụ trên ta dựa vào các điều kiện từ giả thiết để biến đổi rồi
từ đó lựa chọn hàm số thích hợp để xét tính đơn điệu.Tuy nhiên, trong nhiều trường
hợp ta phải sử dụng thêm các bất đẳng thức quen thuộc như bất đẳng thức Côsi,
Bunhiacopxki…
Ví dụ 5. Chứng minh rằng với
0
2
x



, ta có:
3
1
2sin t anx
2
2 2 2
x
x



Bài giải
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
2sin tanx 2sin t anx 2sin t anx
2 2 2 2 2 2 2
x x x
  

Ta sẽ đi chứng minh :
3
1
2sin tanx
2
2 2 2
x
x




2sin tanx 3xx  


2sin tanx-3 0xx  

Xét hàm số
( ) 2sinx+t anx 3f x x
với
0
2
x



Ta có
'
2
1
( ) 2cos 3
os
f x x
cx
  

'
3
22
11

( ) (cos cos ) 3 3 cos .cos . 3
os os
f x x x x x
c x c x
      

10

'
( ) 0fx
với
0
2
x




hàm số
()fx
đồng biến trên khoảng (0 ;
)
2


Do đó
()fx
>
(0)f
với

0
2
x




2sinx+tanx 3 0x  
với
0
2
x



Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ 6. Cho các số dương a ; b ; c ; d thỏa mãn:

a b c d  
và
bc ad

Chứng minh rằng :
b c d a d a b c
a b c d a b c d
(1)
Bài giải
(1)

ln(a

adcb
dcb
)

ln(
cbad
dcba
)


b.lna + c.lnb +d.lnc + a.lnd

d.lna + a.lnb + b.lnc + c.lnd


(d – b)( lnc –lna )

(c – a)( lnd – lnb ) (2)
Nếu a = c hoặc b = d thì (1) hiển nhiên đúng.
Nếu a

c hoặc b

d :
(2)

bd
bd
ac
ac





 lnlnlnln



b
b
d
b
d
a
a
c
a
c
)1(
ln
)1(
ln



(3)
Xét hàm số :
ln
()
1

x
fx
x


với
);1( x

Ta có:
'
2
1 ln
()
(1 )
x x x
fx
xx




Xét hàm số: g(x) = x – 1 – xlnx với x > 1
g
'
(x) = 1 – ( lnx + 1 ) = - lnx < 0 với

x > 1


hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng ( 1 ; +

)



g(x) < g(1)

g(x) < 0 với mọi x > 1
11



f
'
(x) < 0 với

x > 1

hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng ( 1 ; +
)

Do 1 <
b
d
a
c

nên ta suy ra :
f(
)
a

c

f(
)
b
d



)1(
ln
)1(
ln



b
d
b
d
a
c
a
c

Mà 0 < a

b nên ta suy ra :
b
b

d
b
d
a
a
c
a
c
)1(
ln
)1(
ln




Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b ; c =d.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Nhận xét: Ở ví dụ trên không chỉ dựa vào các điều kiện từ giả thiết để biến đổi rồi
từ đó lựa chọn hàm số thích hợp mà còn gặp khó khăn trong việc xét dấu của đạo
hàm, ta đã phải làm thao tác biến đổi, chọn và xét tính đơn điệu của một hàm trung
gian thích hợp.
Bài tập đề nghị
2.3. Giải bài tập bất đẳng thức bằng các bất đẳng thức tiếp tuyến
Tính lồi, lõm của đồ thị
Định nghĩa. Giả sử hàm số
f
có đạo hàm trên khoảng
I
. Ta nói rằng

Đồ thị (C) của hàm số
()y f x
lồi trên khoảng
I
nếu tiếp tuyến của (C) tại mỗi
điểm của nó đều nằm phía trên đồ thị.
Đồ thị (C) của hàm số
()y f x
lõm trên khoảng
I
nếu tiếp tuyến của (C) tại mỗi
điểm của nó đều nằm phía dưới đồ thị.
Dấu hiệu đồ thị lồi, lõm.
Định lí 1: Cho hàm số
()y f x
có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng
 
;ab
. Nếu
"
( ) 0fx
với mọi
 
;x a b
thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó.
12

Nếu
"
( ) 0fx

với mọi
 
;x a b
thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó.
Viết phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm:
Cho hàm số
()y f x
có đồ thị (C) và điểm A
00
( ; ) ( )x y C

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A
00
( ; )xy

là:
'
0 0 0
( )( )y f x x x y  

Ứng dụng:
* Định lí 2: Cho hàm số
()y f x
có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng
 
;ab

i) Nếu
"
( ) 0fx

với mọi
 
;x a b
thì
'
0 0 0
( ) ( )( ) ( )f x f x x x f x  

0
( ; )x a b

ii) Nếu
"
( ) 0fx
với mọi
 
;x a b
thì
'
0 0 0
( ) ( )( ) ( )f x f x x x f x  

0
( ; )x a b

Đẳng thức trong hai bất đẳng thức trên xảy ra khi
0
xx

* Ta biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số

()y f x
tại mọi điểm bất kì trên khoảng lồi
luôn nằm phía trên đồ thị và tiếp tuyến tại mọi điểm trên khoảng lõm luôn nằm phía
dưới đồ thị, còn tại điểm uốn của đồ thị thì tiếp tuyến xuyên qua đồ thị nên ta có
nhận xét sau:
Nếu
axyb
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
()y f x
tại điểm A
00
( ; )xy
thì ta
có thể phân tích được
2
0
( ) (ax ) ( ) ( )f x b x x g x   
. Trong nhiều trường hợp ta
có thể xác định được dấu
()gx
,
( ) 0gx
(hoặc
( ) 0gx
). Khi đó ta có
( ) axf x b
(hoặc
( ) axf x b
).
Xét các ví dụ sau:

Ví dụ 7. Cho các số thực dương a, b, c thỏa
1abc  

Chứng minh rằng:
2 2 2
3
10
1 1 1
a b c
abc
  
  

Bài giải
Xét hàm số
2
()
1
x
fx
x


với
(0;1)x 

13

Ta có:
'"

2 3 2 5
13
( ) ( ) 0
(1 ) (1 )
x
f x f x
xx

   

với mọi
(0;1)x 

Suy ra:
'
1 1 1
( ) ( )( ) ( )
3 3 3
f x f x f  
với mọi
(0;1)x 


27 1 1
( ) ( )
3
10 10 10
f x x   
với mọi
(0;1)x 


27 1 1
( ) ( )
3
10 10 10
f a a  


27 1 1
( ) ( )
3
10 10 10
f b b  


27 1 1
( ) ( )
3
10 10 10
f c c  


27 27 3
( ) ( ) ( ) ( )
10 10 10 10 10
f a f b f c a b c      

Do

1abc  
nên
3
( ) ( ) ( )
10
f a f b f c  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
3
abc  


đpcm
Nhận xét: Trong một số trường hợp đồ thị hàm số
()y f x
có khoảng lồi, lõm
trên đoạn
 
;ab
.Trong trường hợp đó ta đi xét dấu của biểu
thức:
'
0 0 0
( ) [ ( )( ) ( )]f x f x x x f x  
.
Ví dụ 8. Cho
,,a b c R
và a b c 6.
Chứng minh rằng:

4 4 4
abc
3 3 3
2( )abc  

Bài giải
Đẳng thức xảy ra khi a b c 2 và Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:
4 3 4 3 4 3
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )a a b b c c    
0


f (a) f (b) f (c) 0 ( trong đó
43
( ) 2f x x x
)
Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số
43
( ) 2f x x x
tại điểm có hoành độ
2x 
là:
y 8x -16
14

Xét f (x) (8x -16) 
43
2 8 16x x x  
 
22

( 2) ( 2 4)x x x  
0 với x
Vậy
( ) 8 6f x x
với x
Suy ra
( ) 8 16f a a


( ) 8 16f b b


( ) 8 16f c c


( ) ( ) ( ) 8( ) 48 0f a f b f c a b c       
(đpcm)
Nhận xét: Dấu hiệu giúp chúng ta nhận ra phương pháp trên là bất đẳng thức cần
chứng minh có dạng
12
( ) ( ) ( )
n
f a f a f a m   
hoặc
12
( ) ( ) ( )
n
f a f a f a m   
và
i

a
( i = 1,…,n ) thỏa mãn điều kiện nào đó.
Trong một số trường hợp bất đẳng thức chưa có dạng trên, ta phải thực hiện một số
phép biến đổi mới đưa về dạng trên. Chúng ta cần chú ý một số dấu hiệu sau:
* Nếu bất đẳng thức có dạng
1 2 3
( ). ( ). ( ) ( )
n
f a f a f a f a m
thì ta có thể lấy
lôganêpe hai vế
* Nếu bất đẳng thức cần chứng minh đồng bậc thì ta có thể chuẩn hóa. Tùy thuộc
vào từng bài toán mà ta lựa chọn cách chuẩn hóa phù hợp.
Ví dụ 9. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn
3abc  
.
Chứng minh rằng:
a b c ab bc ca    

Bài giải
Ta thấy đẳng thức xảy ra khi a b c 1
BĐT (1)
2 2 2 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) 9a a b b c c a b c         

Đặt
2
( ) 2f x x x
với
(0;3)x 

Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
( ) 2f x x x
tại điểm có hoành độ
1x 
là:
3yx

Xét f (x) 
3x

2
2xx

3x

2
( 1) ( 2 ) 0x x x  
với
(0;3)x

Vậy
( ) 3f x x
với
(0;3)x

Suy ra
( ) 3f a a

( ) 3f b b

15


( ) 3f c c


( ) ( ) ( ) 3( )f a f b f c a b c     


( ) ( ) ( ) 9f a f b f c   
(đpcm)
Ví dụ 10. Cho
, , 0abc
thỏa mãn
3abc  
.
Chứng minh rằng:
2 2 2 3
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (1 2)
b c a
a a b b c c       

Bài giải
Ta thấy đẳng thức xảy ra khi a b c 1
Lấy lôganêpe hai vế bất đẳng thức cần chứng minh tương đương bất đẳng thức:
2 2 2
ln( 1 ) ln( 1 ) ln( 1 ) 3ln(1 2)b a a c b b a c c         

Xét hàm số
2
( ) ln( 1 )f x x x  
với
(0;3)x 

Ta có:
'
2 2 3
1
( ) "( )
1 (1 )
x
f x f x
xx

  

< 0 với mọi
(0;3)x 

Suy ra
'
( ) (1)( 1) (1)f x f x f  
với mọi
(0;3)x 


1

( ) ( 1) ln(1 2)
2
f x x    
với mọi
(0;3)x 



1
( ) ( 1) ln(1 2)
2
f a a   


1
( ) ( 1) ln(1 2)
2
f b b   


1
( ) ( 1) ln(1 2)
2
f c c   

11
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ln(1 2)
22
bf a cf b af c ab bc ca a b c a b c            
Do

3ab bc ca a b c     
nên
( ) ( ) ( ) 3ln(1 2)bf a cf b af c   

đpcm
Ví dụ 11. Cho
, , 0abc
. Chứng minh rằng:
2 2 2
9
( ) ( ) ( ) 4( )
a b c
b c c a a b a b c
  
    
(1)
Bài giải
16

Bất đẳng thức đã cho là thuần nhất nên ta chuẩn hóa
1abc  
. Khi đó BĐT (1)
trở thành:
2 2 2
9
(1 ) (1 ) (1 ) 4
a b c
abc
  
  



f (a) f (b) f (c)
9
4

( trong đó
2
()
(1 )
x
fx
x


với
(0;1)x 
)
Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
()
(1 )
x
fx
x


tại điểm có hoành độ
1

3
x 

là:
18 3
4
x
y



Xét f (x) 
18 3
4
x 

2
(1 )
x
x

18 3
4
x 
=
2
2
(3 1) (3 2 )
0
4(1 )

xx
x



với
(0;1)x
 
Vậy
()fx
18 3
4
x 

(0;1)x

Suy ra
18 3
()
4
a
fa




18 3
()
4
b

fb




18 3
()
4
c
fc



18 9
( ) ( ) ( ) ( )
44
f a f b f c a b c      

Suy ra
9
( ) ( ) ( )
4
f a f b f c  

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài tập đề nghị
2.4. Giải bài tập bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Jensen
Định lí 1(Bất đẳng thức Jensen). Cho hàm số
()fx
xác định trên khoảng

( ; )ab
.
1. Hàm số
()fx
là hàm lồi trên khoảng đó (
"
( ) 0 ( ; ))f x x a b  

và
12
, , , ( ; )
n
x x x a b
. Khi đó ta có:
1 2 1 2
( ) ( ) ( )
nn
f x f x f x x x x
f
nn
     





17

Đẳng thức xảy ra khi
12

n
x x x  

2. Hàm số
()fx
là hàm lõm trên khoảng đó (
"
( ) 0 ( ; ))f x x a b  

và
12
, , , ( ; )
n
x x x a b
. Khi đó ta có:
1 2 1 2
( ) ( ) ( )
nn
f x f x f x x x x
f
nn
     





Đẳng thức xảy ra khi
12

n
x x x  

Định lí 2 ( Bất đẳng thức Jensen tổng quát )
Cho hàm số
()fx
là hàm liên tục và lồi trên khoảng
( ; )ab
. Nếu
12
, , , ( ; )
n
x x x a b
và
12
, , , (0;1)
n
t t t 
sao cho
12
1
n
t t t   
.
Khi đó
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
t f x t f x t f x f t x t x t x      

Đẳng thức xảy ra khi
12

n
x x x  

Khi hàm
()fx
là hàm lõm trên khoảng
( ; )ab
thì ta có bất đẳng thức đổi chiều.
Đẳng thức xảy ra khi
12

n
x x x  

Sử dụng tính lồi, lõm của hàm số chứng minh bất đẳng thức:
Để sử dụng tính lồi, lõm của hàm số chứng minh bất đẳng thức,giả sử:
0M 

ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Biến đổi bất đẳng thức về dạng:

1 2 1 2
( ) ( ) ( )
()
nn
x x x f x f x f x

f
nn
     


hoặc
1 2 1 2
( ) ( ) ( )
()
nn
x x x f x f x f x
f
nn
     


hoặc
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
f t x t x t x t f x t f x t f x      

hoặc
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
f t x t x t x t f x t f x t f x      

Bước 2: Xét hàm số
()y f x

, dùng đạo hàm khẳng định hàm số là lồi hoặc lõm.
Bước 3: Kết luận.
Xét các ví dụ sau:
Ví dụ 12. Chứng minh rằng:
2
22
22
x y x y





Bài giải
18

Xét hàm số:
2
()f x x

Ta có:
'"
( ) 2 ( ) 2 0f x x f x   
với
x


hàm số lõm trên tập


Do đó, với mọi
,xy
ta có:
( ) ( )
22
f x f y x y
f







2
22
22
x y x y





Đẳng thức xảy ra khi
xy

Nhận xét: Ở các ví dụ trên ta chỉ cần dùng một hàm lõm để chứng minh một bất
đẳng thức nhưng có bất đẳng thức muốn chứng minh được ta phải dùng nhiều hàm
lõm ( hoặc lồi).
Ví dụ 13. Chứng minh rằng trong mọi

ABC
ta đều có:
222
tan tan tan 1
2 2 2
A B C
  

Bài giải
Xét hàm số:
2
()f x x

Ta có:
'"
( ) 2 ( ) 2 0f x x f x   
với
x


hàm số lõm trên tập


Do đó, với
tan ,tan ,tan
2 2 2
A B C
ta có:

(tan ) (tan ) (tan ) tan tan tan

2 2 2 2 2 2
33
A B C A B C
fff
f

   







2
222
tan tan tan tan tan tan
2 2 2 2 2 2
33
A B C A B C

   






Ta đã chứng minh được:
tan tan tan 3

2 2 2
A B C
  

19

nên
222
2
tan tan tan
3
2 2 2
33
A B C





222
tan tan tan 1
2 2 2
A B C
   
(đpcm)
Nhận xét: Ở các ví dụ trên để chứng minh bất đẳng thức ta chỉ sử dụng bất đẳng
thức hàm lồi, tuy nhiên có những bất đẳng thức muốn chứng minh được ta còn phải
phối hợp với các bất đẳng thức khác.
Ví dụ 14. Chứng minh rằng trong mọi
ABC

ta đều có:

3
cos cos cos
2
A B C  

Bài giải
Xét hàm số:
( ) osf x c x
với
0;
2
x






Ta có:
'"
( ) sinx ( ) cos 0f x f x x     
với
(0; )
2
x




hàm số lồi trên khoảng
(0; )
2


Không mất tính tổng quát, ta giả sử C là góc nhỏ nhất trong
ABC
,
suy ra
0
3
C


. Khi đó ta có:

cos cos cos 2cos os cos
22
A B A B
A B C c C

   

cos cos cos cos cos cos
22
A B A B
A B C C

     

Sử dụng bất đẳng thức hàm lồi có:

22
cos cos cos 3cos 3cos
2 2 3 3
A B A B
C
A B A B
C




   

Suy ra:
3
cos cos cos
2
A B C  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
os 1
2
2
AB
c
AB
C













20


3
AB
C










3
A B C


   


ABC
đều
Ví dụ 15. Cho
, , 0abc
. Chứng minh rằng:
     
2
()
3
abc
a b c
b c c a a b a b c


     


(2)
Bài giải
 
ln( ) ln( ) ln( ) 2
(2) ln
3
a b c b c a c a b
abc
abc

    

   




 
2
ln( ) ln( ) ln( ) ln
3
a b c
b c c a a b a b c
a b c a b c a b c

        

     


Xét hàm số
( ) ln( )f x a b c x   

Ta có:
'"
2
11
( ) ( ) 0
()
f x f x

a b c x a b c x

   
     
với
x


hàm số lồi trên tập


Áp dụng Bất đẳng thức Jensen tổng quát ta có:

2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
a b c a b c
f a f b f c f
a b c a b c a b c a b c

  
       

 
2 2 2
ln( ) ln( ) ln( ) ln
a b c a b c
b c c a a b a b c
a b c a b c a b c a b c



         

       


Mặt khác ta lại có:
2 2 2 2
1
()
3
a b c a b c    


   
2 2 2
2
3
abc
a b c a b c
abc

      



   
2 2 2
2
ln ln
3

abc
a b c a b c
abc



      






21

Vậy:
 
2
ln( ) ln( ) ln( ) ln
3
a b c
b c c a a b a b c
a b c a b c a b c

       

     


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

abc

Nhận xét: Ví dụ trên ngoài việc sử dụng thêm bất đẳng thức kinh điển ta còn gặp
khó khăn trong việc chọn hàm số để xét tính lồi, lõm.
Bài tập đề nghị
CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sƣ phạm
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm định tính khả thi và tính
hiệu quả của đề tài.
3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm
- Biên soạn tài liệu, sau đó chọn lớp dạy thực nghiệm và lớp đối chứng, tiến hành
dạy thực nghiệm.
- Thu thập thông tin phản hồi, qua đó đánh giá chất lượng, hiệu quả và tính khả thi
của các biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo mà luận văn đã đưa ra.
3.2. Phƣơng pháp thực nghiệm
Dùng phương pháp thử nghiệm đối chứng, dạy thử nghiệm theo hướng rèn luyện tư
duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về bất đẳng thức được giải bằng
đạo hàm ở một số lớp 12 trường THPT Thụy Hương, trường THPT Kiến Thụy,
thành phố Hải Phòng.
Thực nghiệm được thực hiện song song giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng.
Ngoài ra, chúng tôi còn kết hợp chặt chẽ với các phương pháp khác như: quan sát,
tổng kết kinh nghiệm, phát phiếu điều tra…
3.3. Nội dung và tổ chức thực nghiệm
3.3.1. Chọn nội dung thực nghiệm
- Giải bài tập bất đẳng thức bằng phương pháp khảo sát hàm số.
- Giải bài tập bất đẳng thức bằng các bất đẳng thức tiếp tuyến.