Dao động tắt dần trong cơ học và điện học (Khóa luận tốt nghiệp Đại học)

1




Dao ®éng t¾t dÇn trong c¬
häc vµ ®iÖn häc
(Khóa luận tốt nghiệp ðại học)

2

Phần 1: Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài.
Trong vật lý mảng kiến thức về dao động đợc nghiên cứu khá nhiều thời
gian nh trong chơng trình vật lý phổ thông hay trong đại học.Việc nghiên cứu
về dao dộng cho ta nhiều kiến thức khá gần gũi với thực tế qua đó đa ra đợc
nhiều ứng dụng thành công lớn lao trong khoa học kĩ thuật và cuộc sống.
Trong dao động cơ, dao động tắt dần là một trờng hợp đơn giản nhất và
đợc nghiên cứu nhiều để ứng dụng. Nhng chúng ta đều biết rằng một hệ dao
động sẽ bị tắt dần theo thời gian. Để tạo dao động điều hoà ngời ta phải nghiên
cứu về dao động tự do tắt dần và các đặc trng của nó, từ đó mới có thể đa ra
các phơng án tạo dao động điều hoà.
Trong dao động điện. Những ứng dụng của dao động điện - từ ngày nay trở
nên đặc biệt quan trọng trong đời sống, khoa học và công nghệ. Nhng vẫn theo
một quy luật thờng nhất là nếu cứ để một mạch tự dao động điện thông thờng
thì sẽ bị dập tắt nhanh theo thời gian. Các dao động điều hoà ổn định thì mới có
ứng dụng nhiều. Ngời ta đã nghiên cứu nhiều về dao động điện tắt dần tự do để
nắm đợc các đặc trng cơ bản nhất, rồi mới đa ra các phơng án can thiệp để
tạo ra các dao động nh ý muốn.

Nghiên cứu dao động cơ và dao động điện tự do ta thấy có nhiều điều
tơng đồng giống nhau. Xuất phát từ tầm quan trọng của việc nghiên cứu dao
động tự do. Đồng thời với khả năng và sở thích của bản thân, cùng với sự chỉ bảo
tận tình của thầy giáo - GV Hà Thanh Hùng nên em chọn đề tài Dao động tắt
dần trong cơ học và điện học để làm khoá luận tốt nghiệp cho bản thân. Với
đề tài nghiên cứu này em mong muốn làm sáng tỏ hơn về dao động tự do tắt dần
điện, cơ và dao động cỡng bức. Đóng góp một phần nhỏ vào việc nghiên cứu đề
tài.
2. Mục đích nghiên cứu.
Nắm đợc dao động cơ tắt dần và dao động điện tắt dần về nguyên nhân và
các đặc trng cơ bản.
Thấy đợc sự tơng đồng giữa dao động cơ và dao động điện.
Củng cố và bồi dỡng việc sử dụng phơng tiện toán học mà đặc biệt là
phơng trình vi phân khi giải quyết các bài toán về dao động.
3.Đối tợng nghiên cứu.
Dao động cơ tắt dần, dao động điện tắt dần.
Các bài toán cơ bản trong đề tài.
4. Phơng pháp nghiên cứu.
Điều tra, tra cứu tài liệu.

3

So sánh, tổng hợp kiến thức.
Tổng hợp bài tập.
Giải bài tập.
5. ý nghĩa thực tiễn của đề tài.

4

Phần 2: Nội dung

Chơng 1: Cơ sở toán học
1.1Số phức
1.1.1 Định nghĩa và biểu diễn số phức.
Định nghĩa.
Đơn vị số ảo i:
1=i tức là
1
2
=i
(1.1)
Số phức z:
ibaz
+
=
(1.2)
Phần thực của z: Rez = a
Phần ảo của z: Im = b

Có mối liên hệ giữa phần thực a và phần ảo b với mô đun

acguymen z nh sau:

=
=


sin
cos
b
a
hoặc





=
+=
a
b
tg
ba


22

- Biểu diễn số phức theo mô đun và acguymen:

)sin(cos

iz
+
=
(1.3)
- Biểu diễn số phức dới dạng luỹ thừa của e:
Số phức z = a + ib đợc biểu diễn bởi



i
ez =
trong đó





=
+=
a
b
tg
ba


22
(1.4)

y

b M







0 a x
Hình 1.1

- Biểu diễn số phức trong mặt
phẳng phức:
Trục hoành ox là trục thực.
Trục tung oy là trục ảo.
Quy ớc: Số phức z = a + ib đợc
biểu diễn bởi véc tơ
OM
có toạ độ
(a,b)

:là độ dài
OM
gọi là mô đun của
z. Kí hiệu là

z


: góc (ox,
OM
) gọi là acguymen
của z. Kí hiệu là: acgz


5

1.1.2Các phép toán về số phức:
Cho hai số phức:

1
1111111
)sin(cos


i
eiibaz =+=+=

Và
2
2222222
)sin(cos


i
eiibaz =+=+=

- Cộng số phức:
Tổng hai số phức z
1
, z
2
là một số phức z:

)sinsin()coscos()()(
22112211212121

+++=+++=+= ibbiaazzz
(1.5)
- Tích hai số phức:
Tích hai số phức z
1
,z
2
là một số phức z:
)()())((
21212121221121
abbaibbaaibaibazzz +=++==


[
]
)sin()cos(
212121

+++= i

)(
21
21


+
=
i
e
(1.6)
- Luỹ thừa và căn số:
Cho số phức:
)2(
)sin(cos


ki
eiibaz
+
=+=+=


)sin(cos)(
)2()2(


nineez
nknninnkin

+===
++
(1.7)

n
k
i
nn
n
ki
n
e
n
k
i
n
k
ez





2
)2(
2
sin
2
cos
+

+
=






+
+
+
==
(1.8)
1.2 Phơng trình vi phân tuyến tính cấp hai.
1.2.1 Phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai .
Định nghĩa. Phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai là phơng trình
có dạng:

0)()(
=
+

+


yxbyxay (1.9)
Trong đó
)(
xa và
)(

xb là những hàm cho trớc và liên tục trong khoảng (a,b).
Định lí1. Nếu y
1
và y
2
là hai nghiệm riêng của phơng trình (1.9)

0
)()(
=+

+


ybyay
xx

Thì C
1
y
1
+ C
2
y
2
trong đó C
1
và C
2
là những hằng số nào đó cũng là nghiệm của (1.9)

Định nghĩa2. Hai hàm số
)(),(
21
xx

cùng xác định trong khoảng (a,b) đợc gọi
là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại hai số
21
,

không đồng thời bằng 0 sao cho.
0)()(
2211
+ xx

(1.10)
trong khoảng (a,b).
Ngợc lại nếu đồng nhất thức (1.10) chỉ sảy ra khi
0
21
==

thì ta bảo )(),(
21
xx


là độc lập tuyến tính trong (a,b).
Định nghĩa 3. Nếu )(),(
21

xyxy
là các hàm số khả vi trong khoảng (a,b) thì định
thức:

6


[ ]
2
2
1
1
21
,
y
y
y
y
yyW

=
=
2121
yyyy



(1.11)
đợc gọi là định thức Vronxki của các hàm số ấy.
Định lí 2. Nếu các hàm số )(),(

21
xyxy
phụ thuộc tuyến tính trên (a,b), thì định
thức Vronxki của chúng đồng nhất bằng 0 trong khoảng ấy.
Định lí 3. Nếu các nghiệm )(),(
21
xyxy
của phơng trình (1.9) là độc lập tuyến
tính trong khoảng (a,b) thì định thức Vronxki
[
]
21
,
yyW
của chúng không triệt tiêu tại
bất kì điểm nào của khoảng ấy.
Định lí 4(định lí cơ bản).Nếu )(),(
21
xyxy
là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính
của (1.9) thì:

)()(
2211
xyCxyCy +=
(1.12)
Trong đó
21
,
CC

là những hằng số tuỳ ý, là nghiệm tổng quát của (1.9)
Định lí 5. Nếu y
1
y
2
là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (1.9) thì.

[ ] [ ]

==

x
o
x
dxxa
CeyyWxW
)(
21
,
(1.13)
Định lí 6. Nếu đã biết một nghiệm riêng của phơng trình tuyến tính thuần nhất
cấp hai thì nghiệm tổng quát của phơng trình này ddợc tìm bằng phép cầu
phơng.
Giả sử y
1
là một nghiệm riêng của phơng trình (1.9) khi đó bằng phép cầu
phơng ta tìm đợc nghiệm riêng thứ hai độc lập tuyến tính với y
1
:

dx
y
e
yy
dxxa


=

2
1
)(
12
(1.14)
Định lí 7. Nếu
)()( xivxuy
+
=
(trong đó
)(),( xvxu
là những hàm số thực) là
nghiệm của phơng trình (1.9). Thì các hàm số
)(),( xvxu
cũng là nghiệm của phơng
trình ấy.
1.2.2 Phơng trinh vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai.
Xét phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

)()()( xfyxbyxay
=

+

+


(1.15)
Trong đó
)(),(),( xfxbxa
là những hàm số liên tục trong khoảng (a,b). Phơng trình
thuần nhất tơng ứng của (1.15) là:

0
)()(
=+

+


ybyay
xx
(1.16)
Định lí 8. Tổng của nghiệm tổng quát của phơng trình (1.16) với một nghiệm
riêng nào đó của phơng trình không thuần nhất (1.15) là nghiệm tổng quát của
phơng trình (1.15)
1.2.3 Phơng trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số là hằng số.

7

Phơng trính vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số là hằng số có dạng

)(xfqyypy
=
+
+



(1.17)
Trong đó
)(xf
là hàm số liên tục trong khoảng (a,b) p,q là những hằng số thực
Phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng là

0
=
+
+
qyypy



(1.18)
Phơng trình đặc trng của (1.17) và (1.18) là:

0
2
=++ qprr
(1.19)
Đó là một phơng trình đại số bậc hai. Biệt thức
qp 4

2
=

TH1
qp 4
2
=
>

0 phơng trình đặc trng có hai nghiệm phân biệt.
TH2
qp 4
2
=
<

0 phơng trình đặc trng có hai nghiệm ảo.
TH3
qp 4
2
=
=

0 phơng trình đặc trng có nghiệm kép.
1.2.3.1 Nghiệm của phơng trình thuần nhất khi
0
>


.

Nghiệm có dạng y = C
1
y
1
+C
2
y
2
với y
1
,y
2
là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính
của (1.18); C
1
, C
2
là hai hằng số tuỳ ý.
Tìm nghiệm riêng: nếu
0
>


thì phơng trình đặc trng (1.19) có hai nghiệm thực
phân biệt r
1
,r
2
thì khi đó:

xr
ey
1
1
=
và
xr
ey
2
2
=

là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phơng trình thuần nhất (1.18).
Thật vậy
xr
ery
1
11
=

;
xr
ery
1
2
11
=

Thay vào (1.18) ta đợc:

0
111
1
2
1
=++
xrxrxr
qeeprer

hay
(
)
0
1
2
1
1
=++ qprre
xr

Vì r
1
là nghiệm của phơng trình đặc trng (1.19) nên r
1
+ pr
1
+ q = 0. Vậy (1.19)
đợc nghiệm đúng.

nghiệm tổng quát của (1.19) sẽ là :

xrxr
eCeCy
21
21
+=
(1.20)
1.2.3.2 Nghiệm của phơng trình thuần nhất khi
0
<


.
Khi 0
<


(1.19) có hai nghiệm phức.

2
2,1

=
p
r
=

i


ta có thể thử lại rằng:
(
)
(
)
xixeey
xxi


sincos
2,1
==

là hai nghiệm riêng của
phơng trình (1.18).
Nghiệm tổng quát của (1.18) có dạng: y = C
1
y
1
+C
2
y
2


(
)

(
)
[
]
xixCxixCey
ex

sincossincos
21
+++=



(
)
xDxDe
ex
sincos
21
+=



8

với
( )

+=
+=
212
111
CCiD
CCD


D
1
,D
2
là hai số bất kì,


, là hai số thực.
Nếu đặt

sin
01
AD =
và

cos
02
AD =
trong đó A,

là hằng số.

(
)

+= xAey
ex
sin
0
(1.21)
Trờng hợp đặc biệt nếu (1.18) có dạng :

0
2
=+ yy



(khi p = 0) (1.22)
Khi đó

=
0

nghiệm của (1.22) có dạng:

(
)

+= xAy sin
0
(1.23)

1.2.3.3 Nghiệm của phơng trình thuần nhất khi
0
=

.
Khi
0
=



phơng trình đặc trng có một nghiệm kép: r
1
= r
2
=
2
p


Ta tìm đợc một nghiệm riêng là:
xr
ey
1
1
=

Trong trờng hợp này, ta có thể thử lại rằng nghiệm riêng thứ hai độc lập tuyến tính
với nghiệm riêng thứ nhất có dạng:
xr

xey
1
2
=

Thật vậy, ta có :
xrxr
xerey
11
12
+=



xrxr
xerxery
11
1
2
12
2+=


Thay vào (1.18) ta đợc .

)
(
)
(
)

02()2(
11
2
111
2
1
1111111
=++++=++++ preqprrxeqxeereperxer
xrxrxrxrxrxrxr

vì



=+
=++
02
0
1
1
2
1
rp
qrpr

Vậy
xr
xey
1
2

=
là nghiệm riêng của(1.18) khi 0
=

.

Nghiệm tổng quát của (1.18) khi 0
=

là:

xr
exCCyCyCy
1
)(
212211
+=+=
(1.24)
1.2.3.4 Nghiệm của phơng trình thuần nhất khi có vế phải.
Theo định lí 8 (Tổng của nghiệm tổng quát của phơng trình (1.18) với một
nghiệm riêng nào đó của phơng trình không thuần nhất (1.17) là nghiệm tổng quát
của phơng trình (1.17)







9

Chơng 2
:
Dao động tắt dần

2.1Sơ lợc về dao động tắt dần.
Một con lắc đung đa một cách khó khăn trong nớc vì nớc tác dụng một
lực cản lên con lắc làm cho chuyển động của nó nhanh chóng bị khử. Con lắc
đung đa trong không khí tốt hơn nhng chuyển động vẫn bị tắt dần vì không khí
vẫn tác dụng một lực cản vào con lắc.
Trên thực tế các hệ dao động thực bao giờ cũng có s tiêu tán năng lợng
(hoặc chuyển từ dạng khác sang nhiệt) và dao động của nó bị tắt dần.
Sự yếu dần của dao động theo thời gian gây ra sự mất mát năng lợng của hệ
dao động đợc gọi là sự tắt dần của dao động.
Sự yếu dần của dao động cơ tự do gây ra do ma sát, lực cản của môi trờng
hoặc do tạo thành sóng trong môi trờng.
Sự tắt dần của dao động điện gây ra do mạch điện có điện trở (chuyển năng
lợng thành nhiệt). Do bức xạ sóng điện từ bởi điện tích dao động, do từ trễ
2.2 Phơng trình vi phân của dao động tắt dần.
2.2.1Đối với dao động tự do.
Xét một con lắc lò xo khối lợng m chuyển động trong môi trờng nhớt dọc
theo trục ox. Các lực tác dụng nên nó là:
Lực đàn hồi của lò xo :
kxF
dh
=
.
Lực cản<lực ma sát nhớt > :
vF
n

=
. (Trong đó

:hệ số ma sát nhớt).
Phơng trình định luật hai:

02
0
2
0
=++
=++


=
xxx
x
m
k
x
m
x
kx
x
x
m

(2.1)
Trong đó:
mkm
o
/;2/ ==

.
Đây là phơng trình vi phân (động lực học) của chuyển động của con lắc lò
xo trong môi trờng nhớt.
2.2.2 Đối với dao động điện.
Xét một mạch dao động có tụ điện c và cuộn dây L và gọi R là điện trở thuần
của đoan mạch .
Ta quy ớc điện tích của tụ điện là
dơng nếu tụ điện đợc tích điện nh
hìnhvẽ. Dòng điện i có chiều dơng
nếu thuận với chiều dòng tích điên của
tụ điện .

+ c


R
L

i

Hình 2.1

10

Trong mạch có hai độ giảm điện thế :
RI trên điện trở, và U trên hai bản của tụ điện.
Suất điện động trong mạch chính là suất điện động tự cảm :
dtdiL
/.

.
Với kích thớc của mạch nhỏ ta có thể áp dụng định luật kiếc sốp .

dt
di
LURI =+

Thay
c
q
U =
và
dt
dq
i =
vào phơng trình trên ta đợc.

0=++
c
q
qRqL


hay
0
1
=++
LC
q
L
R
q


đặt
L
R
2
=

và
LC
1
2
0
=

02
2
0
=++

qq



(2.2)
(2.2) chính là phơng trình vi phân tuyến tính cấp hai diễn tả sự biến thiên của q
theo t.
Từ (2.1) và (2.2) ta thấy ràng quá trình chuyển động của con lắc lò xo trong
môi trờng có ma sát nhớt và quá trình biến đổi của điện tích q trong mạch RLC
tuân theo cùng một phơng trình vi phân có dạng (1.1).
2.3 Dao động tắt dần phụ thuộc lực cản, các đại lơng đặc trng.
Xét phơng trình (2.1) của dao động cơ tắt dần .

02
2
0
=++ xxx

Ta sẽ giải phơng trình này theo cơ sở toán học(1.2.3 Phơng trình vi phân
tuyến tính cấp hai có hệ số là hằng số).
Phơng trình đặc trng của(2.1) là:
02
2
0
2
=++

rr
(2.3)
Biệt thức denta :
2
0
2

=


TH1:


< 0


mk
m
k

m
hay 2
2
0
0
2
0
2
<<<<




Ta có dao động tắt dần với ma sát nhỏ.(2.3) có hai nghiệm phức:
2,1
r
=-
2
2
0

i

TH2:


>0

11

mk
m
k
m
hay 2
2
0
0
2
0
2
>>>>




Ta có dao động tắt dần với ma sát lớn.(2.3) có hai nghiệm thực:

2,1
r
=-
22
0



TH3:

=0

mk
m
k
m
hay 2
2
0
0
2
0
2
====




Ta có dao động tắt dần tới hạn.(2.3) có nghiệm kép:

==
21
rr

2.3.1 Dao động tắt dần với ma sát nhỏ các đại lơng đặc trng.
Nh đã nói ở trên khi
0

<

tức
mk
2<

thì biệt thức


của (2.3) có giá
trị âm

(2.3) có hai nghiệm phức.

1
r
=-
22
0

+ i


2
r
=-
22
0

i

Theo(1.2.3.2 Nghiệm của phơng trình thuần nhất khi

0
<


) cơ sở toán học thì
nghiệm tổng quát của (2.1) có dạng (1.20) .
)sin(
0


+=

tAex
t
(2
.4)
Trong đó
0
A là một hằng sồ bất kì.
Một cách thô sơ ta có thể hiểu (2.4) nh sau: coi x biến đổi theo thời gian
theo qui luật dạng sin với biên độ
0
AA = e
t


giảm theo thời gian theo quy luật
hàm mũ âm. Đờng biểu diễn x )(
t

x






o
t
0
t
0
+T t
0
+2T

t

Hình 2.2

12

Dao động tắt dần biểu diễn bởi (2.4) không phải là tuần hoàn vì các giá trị
cực đại của x cứ giảm dần. Giá trị sau nhỏ hơn giá trị trớc. Ngời ta gọi đó là
quá trình giả tuần hoàn hay quá trình tắt yếu.
Tuy vậy nếu xét ở thời điểm t
0
lúc x(t
o
) =0 và đang giảm. Thì thấy rằng vào
thời điểm t=t
o
+T với T =2

/

thì x(t
0
+T)=0 và cũng đang giảm.
Đoạn đờng biểu diễn x )(
t
trong khoảng thời gian từ t
0

t
0
+T cứ đợc lặp
lại mãi về dạng trong các khoảng thời gian tiếp theo. Nh hình 2.2
.

Đại lợng
22
0

=
đợc gọi là tần số góc (quy ớc) .Giá trị

này đặc
trng cho hệ dao động mà ta đang xét và đợc gọi là tần số góc của dao động tự
do, hay tần số góc riêng của dao động khi có ma sát .
Đại lợng A
t
eAt


=
0
)( đợc gọi là biên độ của dao động tắt dần. Biên độ
này cũng mang ý nghĩa quy ớc nh chu kì và tần số. Vì thực ra A(t) không phải
là giá trị cực đại của x. Nó chỉ trùng với x khi sin(


+
t

) đạt giá trị cực đại và
bằng đơn vị.
Biên độ A(t) giảm càng nhanh theo thời gian nếu hệ số

ở hàm mũ càng
lớn.Vì thế:
m
2/


=
đợc gọi là hệ số tắt dần.
Khoảng thời gian

mà sau đó biên độ của dao động tắt dần giảm đi e lần
đợc gọi là thời gian luỹ giảm.


=

1

Để đặc trng cho mức độ giảm nhanh hay chậm của biên độ của dao động
tắt dần, ngời ta còn dùng khái niệm giảm loga của sự tắt dần.
Giảm lợng loga của dao động tắt dần là đại lợng không thứ nguyên

bằng
logarit tự nhiên của tỉ số biên độ tắt dần tại các thời điểm t và t+ T.

=
)(
)(
ln
TtA
tA
+
=
N
T
T
1
==


(2.5)
Với N là số dao động đợc thc hiện trong thời gian biên độ dao động giảm đi e
lần.
Hệ số phẩm chất của hệ dao động là đại lợng không th nguyên Q bằng
tích của 2

với tỉ số của năng lợng E(t) của hệ dao động ở thời điểm t bất kì và
độ giảm năng lợng này sau một chu kì quy ớc .
Q=2
)()(
)(
TtEtE
tE
+

=
)()(
)(
2
22
2
TtAtA
tA
+

=


2
1
2


e
(2.6)
Khi ma sát nhỏ, dao động của hệ tắt dần chậm thì
1
<<

. Khi đó.




2

1
e
1-(1-2

) = 2


Q





13

Khi ma sát nhỏ thì
22
0

=
0


và chu kì quy ớc T

T
0
với T
0
là chu kì

của dao động tự do không tắt dần.
Q






2
0
0

T
(2.7)

Hệ số phẩm chất của một số dao động cụ thể là.
. Với mạch RLC có
LC
1
0
=

và
L
R
2
=

. Ta có Q=
C

L
R
1

. Với con lắc lò xo có
m
k
=
0

và
m
2


=
. Ta có Q=
mk

1

2.3.2 Dao động tắt dần với ma sát lớn.
Khi
0

>
tức
mk
>

thì biệt thức 0
>


của (2.3) có giá trị âm .

(2.3) có hai nghiệm thực.

1
r =-
22
0

+
=-

q
+


2
r =-
22
0


q


=

(với
2
0
2

=
q >0)
theo cơ sở toán học (1.2.3.1 Nghiệm của phơng trình thuần nhất khi
0
>


),
nghiệm tổng quát của (2.1) có dạng :

tqtq
eCeCx
)(
2
)(
1
+
+=


Hay
)(
21
qtqtt

eCeCex

+=

(2.8)
Trong đó
21
,
CC là những hằng số bất kì , q thực.
Khảo sát chi tiết sự biến thiên của x theo thời gian, ta thấy rằng:

Nếu ở thời điểm ban đầu, ta đa vật ra
khỏi vị trí cân bằng một đoạn a rồi thả
không vận tốc ban đầu (
0)0(;)0(
=
=
vax )
thì vật sẽ trở lại vị trí cân bằng mà không
dao động. Có thể biểu diễn sự biến thiên
của li độ theo thời gian nh hình 2.3.


Nếu ở thời điểm ban đầu ta truyền cho
vật một vận tốc v
o
ở vị trí cân bằng
(
0
)0(;0)0( vvx ==

) thì vật rời vị trí cân
bằng về một phía, rồi quay trở lại vị trí
cân bằng mà không dao động. Nh
hình 2.4.
x






0 t
Hình 2.3
x




0

t

Hình 2.4


14



2.3.3 Dao động tắt dần tới hạn .

Nh trên đã xét cùng một con lắc lò xo, thì quá trình tắt dần của dao động
phụ thuộc vào hệ số ma sát

.
Nếu
mk2<

tức
0

<
thì quá trình tắt dần là yếu (giả tuần hoàn).
Nếu
mk2>

tức
0

>
thì quá trình tắt dần là mạnh (phi tuần hoàn).
Giá trị
mk2=

tức
0

=
ứng với quá trình tới hạn, là quá trình chuyển tiếp
giữa hai quá trình nói trên.
Quá trình tới hạn ứng với:

0
2
0
2
==




nghiệm của (2.3) là: r
1
=r
2
=-


Theo (1.2.3.3. Nghiệm của phơng trình thuần nhất khi
0
=


) thì nghiệm
tổng quát của (2.1) có dạng.

tr
etccxcxcx
1
)(
212211
+=+=

Hay
t
etccx


+= )(
21
(2.9)
Khảo sát chi tiết x cho bởi (2.9) ta sẽ thấy rằng, biến thiên theo thời gian của
x về dạng cũng giống nh x cho bởi (2.8). Chỉ khác là sự quay trở lại vị trí cân
bằng chậm hơn.
2.3 Dao động điện tắt dần.
Nh đã nói ở trên dao động tắt dần của con lắc lò xo và dao động điện của
mạch RLC có cùng một phơng trình vi phân dạng(2.1). Vì vậy, các kết quả của
việc giải phơng trình vi phân (2.1) đối với dao động của con lắc lò xo hoàn toàn
có thể áp dụng cho hệ dao động điện.
Có nghĩa là: quy luật biến đổi theo thời gian của điện tích q của một bản tụ
điện đồng nhất với quy luật biến đổi của li độ x của con lắc lò xo .
. Với điện trở nhỏ
c
L
R
2
<
ta có quá trình giả tuần hoàn.

)sin()sin(
0
2

0


+=+=


tQetQeq
t
L
r
t
(2.10)
Trong đó
22
0

=
=
2
2
4
1
L
R
LC


Đó là dao động điện (tắt yếu) với tần số góc riêng

.

. Với điện trở
c
L
R
2
=
ta có quá trình tới hạn .

t
L
R
etCCq
2
21
)(

+= (2.11)

15

. Với điện trở
c
L
R
2
>
ta có biến đổi phi tuần hoàn, là quá trình tắt dần mạnh .

t
L

R
tt
eCeCq
2
1
)ê(


+=

(2.12)
với
LC
L
R 1
4
2
2
2
0
2
==


Sự biến đổi của dòng điện trong mạch RLC có thể đợc rút ra băng cách lấy
đạo hàm theo thời gian của (2.10), (2.11), (2.12) .

16


Chơng3: Bài tập

3.1Bài tập dao động tắt dần.
Bài tập 1:
Một chất điểm nào đó thực hiện một dao động tắt dần với tần số là
25
=

rad/s. Hãy tìm hệ số tắt dần

nếu tại thời điểm ban đâu vận tốc của nó
bằng 0 và li độ nhỏ hơn biên độ tại thời điểm đó n = 1,020 lần.

Giải:
- Theo đầu bài đây là một dao động có tần số. Vậy nó thuộc trờng hợp
dao động tắt dần với ma sát nhỏ.
Phơng trìn li độ của nó là:
)sin()(
0


+=

teAtx
t

Phơng trình vận tốc:
)cos()sin()(
00

+++=

teAteAtx
tt


- Vận tốc tại thời điểm t = 0:

cossin)0(
00
AAx +=


Theođầu bài
0)0(
=
x



0cossin
00
=+

AA

22222
sinsin
cossin
=

=


22
2
2
sin




+
=

(*)
- Li độ tại thời điểm ban đầu :

sin)0(
0
Ax =
- Theo đầu bài:
n
A
x
0

)0( =

sin
0
0
A
n
A
=
Chú ý tới (*)
22
2
2
2
sin
1




+
==

n

1
2
2
2
+=

n
1
2
=
n



17

Thay số ta đợc:
12
025,51020,125

== s




Bài tập 2:
Con lắc toán học dao động trong môi trờng có giảm lợng loga tắt dần
50,1
=

. Giảm lợng loga tắt dần sẽ là bao nhiêu nếu lực cản của môi trờng tăng
lên n = 2 lần?
Muốn cho dao động của hệ là không thể thực hiện đợc thì lực cản của môi
trờng phair tăng lên bao nhiêu lần?

Giải:
- Giảm lợng loga tắt dần:
T
TtA
tA

=
+
=
)(
)(
ln

- Lúc đầu:
1
22
2
2
0

===






T

2
2
2
0
2
2
2
1






=






+
=

m

(*)
Sau khi lực cảm của môi trờng tăng lên n = 2 lần:


2
=


22
2
2
0
2
22
2
1






=

=







+
=


m
n
m





(**)
Từ (*) và (**) ta có:
2
22
2
2
2
2
2
)1(11

2
2
2
1
2
1






+
=
+






=

+






+
=











n
n
n
n
n

Thay số ta đợc:

18

29,3
2
50,1
)21(1
50,1.2
2
2
=






+
=




Để hệ không thể dao động đợc thì:
0




Tức

+

2
22
2
1




2
2
1

+

=




n
Thay số ta đợc:
31,4

n lần

Bài tập3:
Một vật nặng đợc treo dới một lò so không có trọng lợng, nó làm lò so giãn
một đoạn
cmx 8,9
=

. Đẩy nhẹ vật nặng theo phơng thẳng đứng nó sẽ dao động
với chu kì bao nhiêu? Biết giảm lợng loga tắt dần là
1,3
=

.

Giải:
Công thức tính chu kì dao động:
22

0
22





==
T

2222
0
2
4

=

TT
Mà giảm lợng loga tắt dần:
T


=

( )
2222
0
222
0
2

44
1
4



+=+=
=

k
m
T
T

Khi vật ở trạng thái cân bằng thì trọng lực cân bằng với lực đàn hồi của lo xo:

F
đh
+ P =0

g
x
k
m
mg
x
k

=
=
+



0

Thay lại công thức trên ta đợc
( )
22
4

+

=
g
x
T

Thay số
( )

22
2
1,34
10
10.8,9
+=


T
= 0,69 (s)



F
đh



P

Hình 3.1

19


Bài tập 4:
Tìm hệ số phẩm chất của dao động tử biết rằng biên độ giảm đi 2 lần sau
mỗi
n = 110 dao động

Giải:
Có biên độ dao động quy ớc đợc tính theo công thức:
t
eAA


=
0

Theo đầu bài sau n = 110 dao động thì biên độ là:

2
0
0
A
eAA
nT
==




n
T
2ln
=


hay
n

2ln
=

(*)
Hệ số phẩm chất:




2222
2
1
2
1
2
)()(
)(
2
)()(
)(
2


=

=
+
=
+
=

eeTtAtA
tA
TtEtE
tE
Q
T

Vì
n
2ln
=

mà n = 110

2ln
2ln
211
2
1
2
1
2



n
n
e
Q =

=

<<



Thay số
498
2
ln
110
==


Q