Một số bài toán của môi trường đàn hồi và môi trường đàn dẻo

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
TÊN ĐÉ TÀI:
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỦA MÔI TRƯỜNG ĐÀN H ổi
VÀ MÔI TRƯỜNG ĐÀN DẺO
MÃ SỐ: QT-05-04
CHỦ TRÌ ĐỂ TÀI: PGS TS PHẠM CHÍ VĨNH
HÀ NỘI - 2006
— — — — — — — — —
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
______
***
__
. . .
TÊN ĐÉ TÀI
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỦA MÔI TRƯỜNG ĐÀN H ổi
VÀ MÔI TRƯỜNG ĐÀN DẺO
MÃ SỐ: QT-05-04
CHỦ TRÌ ĐỂ TÀI: PGS TS PHẠM CHÍ VĨNH
Các cán bộ tham gia:
GS TSKH ĐÀO HUY BÍCH
PGSTS ĐÀO VÃN DŨNG
HÀ NỘI - 2006
BÁO CÁO TÓM TẮT
1. Tên đề tài: M ột số bài toán của môi trường đàn hồi và môi trường đàn dẻo
Mã số: QT-05-04
2. Chủ trì đề tài: PGS TS Phạm Chí Vĩnh
3. Các cán bộ tham gia:
GS TSKH Đẳo Huy Bích
PGS TS Đào Văn Dũng

4. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đè tài
a. Mục tiêu nghiên cứu
- Các công thức của vận tốc sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi trực hướng.
- Nghiên cứư sự tương tác của một vết nứt thẳng với một lỗ hình vuông-vết nứt
của bản đàn hồi, dưới tác dụng của dòng nhiệt đều.
b. Nội dung nghiên cứu:
- Xây dựng các công thức của vận tôc sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi
trực hướng đối với các tập khác nhau của các tham số.
- Chỉ ra rằng một trong chúng là sự mở rộng công thức của vận tốc sóng
Rayleigh trong môi trường đàn hồi đẳng hướng.
- Áp dụng phương pháp hàm biến phức tìm nghiệm của các bài toán:
+ Lỗ hình vuông-vết nứt dưới tác dụng của dòng nhiệt đều.
+ Lỗ hình vuông-vết nứt dưới tác dụng của sự lệch nhiệt độ phân bố liên tục trên
đoạn thẳng vết nứt.
+ Lỗ hình vuông-vết nứt dưới tác dụng của sự lệch ứng suất phân bố liên tục trên
đoạn thẳng vết nứt.
+ Sử dụng nguyên lý chồng chất nghiệm, xây dựng nghiệm của bài toán về sự
tương tác của một vết nứt thẳng với một lỗ hình vuông-vết nứt của bản đàn hồi
dưới tác dụng của dòng nhiệt đều.
-Tính toán số một số ví dụ cụ thể.
c. Các kết quả đạt được:
(i) Về NCCB:
- Xây dựng được các công thức của vận tốc sóng Rayleigh trong môi trường
đàn hồi trực hướng đối với các miền khac nhau của các tham số. Một trong
chúng là sự mở rộng công thức của V ận tốc sóng Rayleigh trong môi trường đàn
hồi đẳng hướng.
- Tìm được nghiêm dưới dạng đóng của các bài toán:
+ Lỗ hình vuông-vết nứt dưới tác dụng của dòng nhiệt đều.
+ Lỗ hình vuông-vết nứt dưới tác dụng của sự lệch nhiệt độ phân bố liên tục trên
một đoạn thẳng.

+ Lỗ hình vuông-vết nứt dưới tác dụng của sự lệch ứng suất phân bố liên tục
trên một đoạn thẳng.
-Thiết lập được các phương trình tích phân để giải bài toán về sự tương tác.
- Giải số một số ví dụ cụ thể. Các kết quả tính toán đua đến một kết luận đáng
chú ý: Dưới tác dụng của dòng nhiệt, sự tương tác của các vết nứt có thê dẫn đến
sự triệt tiêu các hệ số tập trung ứng suất.
Các kết quả chính của đề tài đã được đăng trên 02 bài báo sau:
1. Pham Chi Vinh and R. Ogden, On the Rayleigh wave speed in orthotropic
elastic solids, Maccanica, 40 (2005), 147-161.
2. Pham Chi Vinh, Norio Hasebe, Xiang-Feng Wang and Takahiro Saito,
Interaction between a cracked hole and a line crack under uniform heat flux, Int.
J. Fracture, 131 (2005), 367-384.
(ii) Về triển khai ứng dụng:
Áp dụng công thức vận tốc sóng Rayleigh để phát hiện các vết nứt, các hư hỏng
trong vật liệu. Sử dụng các kết quả của bài toán tương tác giữa lỗ với vết nứt dưói
tác dụng của dòng nhiệt để khử các tác dụng xấu của các vết nứt có sẵn.
(iii) Về đào tạo: Góp phần đào tạo 01 cử nhân và 01 thạc sỹ.
5. Tinh hình sử dụng kinh phí:
a. Đươc cấp: 20.000.000 đ
b.Chi tiêu:
- Thuê khoán chuyên môn: 12.000.000 đ
- Hội nghị, hội thảo khoa học: 3.000.000 đ
- Chi khác: 5.000.000 đ
Tổng cộng:
20.000.000 đ
KHOA QUẢN LÝ
(Ký
CHỦ TRÌ ĐỂ TÀI
TRƯỜNG đ ạ i h ọ c k h o a h ọ c t ự n h iê n
'Ầ iiỳ V a M i

SUMMARY
1. Title of the Project: Some problems of elastic and elstoplastic media
Code of the project: QT-05-04
2. Head of the research group: Ass. Prof. Dr. Pham Chi Vinh
3. Participants: Prof. Dr. Sc. Dao Huy Bich
Ass. Prof. Dr. Dao Van Dzung
4. Aims and Contents of the Project:
a. Aims of the project:
- Formulas for Rayleigh wave speed in orthotropic elastic media
- Studying the interaction between a line crack and a cracked square hole of a
elastic plate under uniform heat flux.
b. Contents of the project:
- To find formulas for Rayleigh wave speed in orthotropic elastic media
corresponding different sets of parameters.
- To show that one of them is an extention of the formula for Rayleigh wave
speed in isotropic elastic media.
- To find the solutions of the following problems applying the theory of complex
functions:
+ A cracked square hole under an uniform heat flux
+ A cracked square hole under distributed temperature dislocation along the line
crack surface.
+ A cracked square hole subjected to distributed edge dislocation along the line
crack surface.
- To construct the solution of the problem of interaction between a line crack
and a cracked square hole of a elastic plate under uniform heat flux using the
principle of superposition.
- To investigate numerically some examples.
c. Main obtained results :
- The formulas for Rayleigh wave speed in orthotropic elastic
media corresponding different sets of parameters have been found. One of them

is an extention of extention of the formula for Rayleigh wave ^pecd in isotropic
elastic media.
- The solution in the closed form of the follwing problems have been obtained:
+ A cracked square hole under an uniform heat flux
+ A cracked square hole under distributed temperature dislocation along the line
crack surface.
+ A cracked square hole subjected to distributed edge dislocation along the line
crack surface.
- The integral equations for the interaction between the cracked square hole and
the line crack have been established.
- Some examples are investigated numerically and mumerical results shown
that under uniform heat, the interaction of cracks may lead to vanishing SIFs
(stress intensity factors).
- The main results of the project are presented in the following papers:
(i). Pham Chi Vinh and R. Ogden, On the Rayleigh wave speed in orthotropic
elastic solids, Maccanica, 40 (2005), 147-161.
(ii). Pham Chi Vinh, Norio Hasebe, Xiang-Feng Wang and Takahiro Saito,
Interaction between a cracked hole and a line crack under uniform heat flux, Int.
J. Fracture, 131 (2005), 367-384.
5. Finance
a. Receiving:
b. Spending:
- For research works:
- For Conferences and Seminars:
- For other works:
20.000.000 VNĐ
12.000.000 VNĐ
3.000.000 VNĐ
5.000.000 VNĐ
20.000.000 VNĐ

Total:
MỤC LỤC
Trang
Mở đầu 0
Chương I: Công thức vận tốc sóng Rayleigh trong môi trường đàn
hồi trực hướng 1
1. Đặt bài toán 1
2. Phương trình tán sắc 2
3. Công thức mở rộng của vận tốc sóng Rayleigh 5
4. Các công thức khác 14
Tài liệu tham khảo 18
Chương II: Sự tương tác giữa lỗ hình vuông- vết nứt và một vết nứt
thẳng dưới tác dụng của dòng nhiệt đều 19
1. Đặt bài toán 19
2. Ánh xạ hữu tỷ 21
3. Các công thức cơ bản 22
4. Nghiệm của bài toán B 23
5. Nghiệm của bài toán c 26
6. Nghiệm của bài toán D 29
7. Nghiệm của bài toán A: Các phương trình tích phân. 31
8. Các kết quả bằng số 34
9. Kết luận 35
Tài liệu tham khảo 36
Kết luận 41
MỞ ĐẦU
Sóng mặt Rayleigh được Lord Rayleigh phát hiện và nghiên cứu từ hơn một thế
kỷ qua, năm 1885. Nó vẫn tiếp tục được nghiên cứu và khám phá do những ứng
dụng to lớn của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và kỹ thuật
như: Âm học, Khoa học vật liệu, Khoa hoc đánh giá không hư hại
(Nondestructive evaluation), Khoa học kiểm tra không hư hỏng (Nondestructive

Testing), Địa vật lý, Công nghệ viễn thông,
Đối với sóng Rayleigh, vận tốc là một đại lượng cơ bản và quan trọng. Nó thu
hút sự quan tâm đặc biệt của các nhà nghiên cứu trong các lĩnh vưc khoa học ứng
dụng nói trên. Hơn nữa, nó còn được sử dụng đẻ xây dựng các hàm Green đối
với các bài toán động của bán không gian. Cho nên viêc tìm các công thức của
vận tốc sóng Rayleigh, dưới dạng hiện, là hết sức cần thiết và có ý nghĩa trên cả
hai phương diện: lý thuyết lẫn ứng dụng.
Do tính chất quan trọng của vận tốc sóng Rayleigh, trước khi tìm ra công thức
chính xác đầu tiên (năm 2000), các nhà nghiên cứu đã tìm được một số công
thức xấp xỉ của nó dưới dạng đơn giản, dễ sử dụng.
Đến nêm 2000, công thức chính xác hoàn chỉnh đầu tiên của vận tốc sóng
Rayleigh trong môi trường đàn hồi dẳng hướng được tìm ra bởi Malischewsky
(Wave Motion 31 (2000), 93-97) bằng cách sử dụng trực tiếp
MATHEMATICA. Sự chứng minh chặt chẽ về mặt toán học của công thức này
đuọc hoàn thành vào 2004 bởi Pham và Ogden (Wave Motion 39 (2004), 191
197). Dựa vào phương pháp chứng minh, hai tác giả Pham và Ogden còn tìm
được một công thức khác của vận tốc sóng Rayleigh với đói môi trường đàn hồi
dẳng hướng.
Ngoài các vật liệu đẳng hướng, các vật liệu dị hướng đang được sử dụng hết sức
rộng rãi do những ứng dụng to lớn của chúng. Do vậy, việc tìm các công thức
của vận tốc sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi dị hướng là hết sức cần
thiết.
Mục tiêu thứ nhất của đề tài là: Tìm các công thức của vận tốc sóng Rayleigh
trong môi trường đàn hồi trực hướng nén được.
Sử dụng lý thuyết phương trình bậc ba, các tác giả đã tìm được các công thức
khác nhau của vận tốc sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi trực hướng,
tương ứng với các miền khac nhau của các tham số. Một trong chúng là sự mở
rộng của công thức Malischewsky.
Bản đàn hồi có lỗ là một kết cấu được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác
nhau của kỹ thuật. Sau một thời gian sử dụng, dưới tác dụng của các tải trọng cơ

học và yếu tố nhiệt, tromg bản xuất hiện các vết nút.
0
Bài toán bản đàn hồi có lỗ và vết nứt dưới tác dụng của tải trọng cơ học đã được
nhiều tác giả nghiên cứu. Tuy nhiên, còn rất ít kết quả cho bài toán bản đàn hổi
có lỗ và vết nứt dưới tác dụng của tải trọng nhiệt.
Mục tiêu thứ hai của đề tài là: Sự tương tác của một vết nứt thẳng với một lỗ
hình vuông - vết nứt của một bản đàn hòi dưới tác dụng của dòng nhiệt đều.
Áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm, bài toán được đùa về tìm nghiệm ba bài
toán sau:
- Bản có lỗ hình vuông-vết nứt dưc tác dụng của dòng nhiệt đểu
- Bản có lỗ hình vụông-vết nứt dưới tác dụng của sự lệch nhiệt độ phân bố
dọc theo đoạn thăng vết nứt
- Bản có lỗ hình vuông-vết nứt dưới tác dụng của sự lệch ứng suất phân bố
dọc theo đoạn thăng vết nứt
Bài toán ttương tác dẫn đến việc giải các phương trình tích phân. Các kết quả
bằng số dẫn đến kết luận quan trọng: Khác với trường hợp tải trọng cơ học, dưới
tác dụng của dòng nhiệt, sự tương tác của các vết nứt có thể dẫn đến sự triệt tiêu
hệ số tập trung ứng suất.
Các kết quả của đề tài được trình bầy trong hai bài báo sau:
1. Pham Chi Vinh and R. Ogden, On the Rayleigh wave speed in orthotropic
elastic solids, Maccanica, 40 (2005), 147-161.
2. Pham Chi Vinh, Norio Hasebe, Xiang-Feng Wang and Takahiro Saito,
Interaction between a cracked hole and a line crack under uniform heat flux, Int.
J. Fracture, 131 (2005), 367-384.
0*
Chương I. Công thức vận tốc sóng Rayleigh
trong môi trường đàn hồi trực hướng
1 Đ ặt bài toán
Sóng mặt Rayleigh được Lord Rayleigh [7] phát hiện và nghiên cứu cách dây hơn một thế
kỷ, vào năm 1885. Nó vẫn đang dược nghiên cứu và khám phá một cách mạnh mẽ do những

ứng dụng to lớn trong nhiều lĩnh vự khác nhau của khoa học và kỷ thuật nhu: Am học, Dịa
vật lý, Khoa học vật liệu, Khoa học đánh giá không hư hỏng, công nghệ viồn thõng,
Dối vứi soil”, Rayleigh, vận tốc là một dại lượng cơ ban và quan trong, thu hút sự quail
tâm dặc biệt cùa các nhà nghiên cứu trong các lĩnh YƯC ứng đụng. Hơn nữa. 11Ó còn đưực sứ
dụng dể xây dựng hàm Green cho các bài toán động của các bán không gian, nên các công
thức hiện của vận tốc sóiig Rayleigh vừa có ý nghĩa lý thuyết lẫn ứng dụng.
Dối với môi trường đàn hồi dẳng hướng nén dược. Rahmann and Barber [6] tìm ra Gông
thức vận tốc súng Rayleigh trong một miền hạn chế của tham số 7/ = + 2fj)vho năm
1995, bằng cách sử dụng lý thuyết phương trình bậc ba, A và ỊJ là các hằng số Lame. Năm
1997, Nkemzi [5] tìm được công thức vận tốc sóng Rayleigh trong một miền đầy đủ của tham
số ĩ] bằng phương pháp hàm phức, song nó rất cồng kềnh và sai do in ấn. Với một số trường
hợp đem í;ian cua vật liệu monclinic nén được, vận tốc sóng Ravleigh tìm dược bới Ting [9]
và Dcstmclc 3 như là nghiệm của các phương trình bậc hai.
Gần day báng cách sử dụng phần mền MATHEMATICA, Ma]ischmvsk\ 4' dã t ìm được
công thức vận tốc sóng Rayleigh chơ mọi giá trị của tham số T], nó có dạng sau:
Pc2/ll = g í 1 - ựìệàiv) + sign[Mvj] (1)
1
trong đó p là mật độ khối lượng của vật liệu, c vận tốc sóng Rayleigh:
/1,(77) = 3a/33 - 1867? + 321772 - 1927?3, /12(77) = 45r; - 17 + M??)
/>.3(77) = 17 - 4577 + /11(77), /14(77) = -77 + 1/6 (2)
Chú ý rằng, để có (1) Malischewsky dã sử dụng phương trìng tan sắc sau (xem [7]):
X3 — 8x2 + 8(3 — 2 rj)x — 16(1 — 77) = 0 (3)
trong dó X = pc?/ /i. Việc chứng minh công thức (1) được thưc hiện bởi Pham và Ogden [10].
Mục đích chính của chương này là mở rộng công thức (1) cho vật liệu trực hướng nén
được. Bằng cách sử dụng lý thuyết phương trình bậc ba, một công thức vận tốc sóng Rayleigh
cho vật liệu trực hướng nén được đã được tìm ra. Nó là sự mở lộng của (1). Nó là hàm của
ba tham số: a, d, 7 trong dó a > 1 ,0 < d < 1, 0 < 7 < a, hoặc, 0<a<l,0<d<l,0<
7 < a, 7 (a — 1 ) + 2nd > 0.
2 Phương trình tán sắc
Xét bán không gian đàn hồi trưc hướng nén được và một hệ toạ đô 0X;X2Z:Ì với 0x 3 vuông

góc với mặt biên và vật thể chiếm miền X 'i < 0.
Xét bài toán biếu dạng phẳng:
'U, = ut{xi.x-ẰJ), i = 1,3, u2 = 0 (4)
trong dó l là thời gian.
Giả thiết biến dạng nhỏ, khi dó phương trình trạng thái, liên hệ các thành phần ứng suất
ơtJ và các thành phần gradiên của dịch chuyển Itjý (— du,/dxj), có dạng(xera Chadwick [1]:
^11 = Cn«i.i + Ci3«3,3, Ơ33 = C13U1 1 + C33U3.3. ơ 13 = C55(I/.L.3 + tí3il) (5)
trong dó f|i, C;ì;ì, c,rt5. f]3 thoả mãn các bất đẳng sau (điêu kiện cần và đủ đẻ thế năng biến
dạng xác định dương):
r„ >0, i.= 1,3,5, C11C33 - c23 > 0 (6)
Cár plurơíigỉ rrìnli c.hiiyen dộn^ có clạng:
Gil«-I.n + CICTi.33 + (i i:i + C'»5) = fầ'i 1
C55^3.11 + C33Ĩ/;j,33 + (('13 + C55) ỉ/1,1 ;ỉ = fJll'i (7)
2
trong đó p là mật độ khối lượng,
à
Điều kiện tự do dối với ứng suất có dạng:
0'SI = 0, i = 1,3 tại Z3 = 0 (8)
Chúng ta cũng đòi hỏi (điều kiện tắt dần ở vô cực):
Ui —> 0 (i = 1,3), ơij —> 0 (i,j = 1, 3) khi 13 —> -00 (9)
Xét sóng điều hoà truyền theo hướng Xi'.
Ui = ội(y)exp\ik{x1 - cí)], i = 1,3 (10)
ở dây k là số sóng, c vận tóc sóng, y = kx-i và các hàm 4>i, I — 1,3 cần được xác định. Thế
(10) váo (7) (lỉm (lốn:
(í'n — pc2)ộ 1 — C5r,ộ" I — i(ci:j + C55)0/3 = 0
(C55 - p c 2 ) ệ 'i - C:i:iậ ” :í - ỉ(ci:ì + c 5r )ợ/j = 0 ( 11)
trong các phiĩTTng trình (11) và các phương trình sau, dắu phẩy đối với é, là dạo hàm đối
với y .
Tính đến (5), (10), các điều kiện biên (8) trở thành:
icvsệi + C

33
Ộ'^ = 0, (Ị)>1 + ÍỘ
3
= 0 tại y = 0 (12)
Từ (9) và chú ý đốn (10) ta có:
ộj, ộ'ị —> 0 khi y —> -DC, i = 1,3 (13)
Dề dàng t.hấy nghiệm của (11) và (13) là:
ỚI = /li exp(s!y) + A2exp(s2ỉ/), ộ.i = .4i«i exp (qỵy) + A2a2 exp (q2y) (14)
trong đó S], s
-2
là các nghiệm của phương trình.
C33r55s' + [t s u + C55)2 + Cyỉ{pc2 — (•] I ) + H c (p c2 — C55) j ố" + ( d i — /3C‘2 ) f cỏõ ~ pf-1) = 0 (lõ)
với pliần thực dương,
o j = (ru - pc2 - CttSj)/i{cl3 + c-^Sj. J = 1.2 í 1G)
3
Ai, i = 1,2 là các hằng số được xác định từ các điều kiện biên (12).
Từ (15) ta có:
s ị + s ị = - [ ( c i3 + C55)2 + c33(pc2 - Cn) + c55(p c2 - C55)]/C33C55
61S2 = (Cu - p c2)(c.55 - PC2 )/C 33C55 (17)
Nếu các nghiệm .Sj và sị của phương trình bậc hai (15) (lối với s2 là thực thì cliÍMig phải
dương, Iiếu là phức chúng sẽ là liên hợp của nhau. Trong cả hai trường hợp, tích *2 phải
dương. Từ (6), (17) ta có:
Do vậy, 0 < ịìc1 < inin(cn, C55), hoặc pc2 > max(cn, C55). Tuy nhiên, nếu bất đẳng tliức sau
đúng, thì dễ dàng khẳng định được (15) có hai nghiệm thục ịsỊ, sị và sị < 0 , sị < 0. Diều
này mâu thuẫn với «!, S2 có phần thực dương.
Vì vậy, vận tốc sóng Rayleigh phải thoa mãn các bất đẳng thức sau:
Thay (14) vào (12) dẫn đến một hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất (lối với
Ai, i — 1 , 2. Để hệ có nghiệm không tầm thường, định thức của nó phái bằng khung. Dó
chính là phương trình tán săc. Sử dụng(16), (17), phương trình tán săc của sóng Rayleigh
trong môi trương dàn hồi trực hướng nén dược có dạng (xem Chadwick [1]):

( c « - p c2)[c\3 - c33(c n - pc2)} + v/c33C55 p c2 \ / { c n - pc2){c55 - pc.2 ) = 0 (2 0 )
Chú ý 1
Chadwick [1] đã chứng minh được rằng với Cn, C;(3. C-,5, Ci3 thoả mãn (6). phư(Jng trình
(20) có n^liiụi) thực duy nhất thoả mãn (19) và đảm bảu (15) có hai nghiệm phân lìiệt với
cáci pliằ.11 thực dưíing. Trường hợp S] = S) không dẫn đến sóng mặt.
Chú ý 2
Tính đrii (19) pliương trìnli (20) tương đương với:
Phương trình này nhận được bởi Royer and Dieulesaint [8], trong dó ( = pr2. c* — ru -
CỈ3/C33 < Cl 1.
(Cu - /3C2)(c55 - pc2) > 0
(18)
0 < pc1 < min(cii,C55)
(19)
( 21 )
4
Trong [8], với giả thiết C55 < C11 , các tác giả đã sử dụng (21) dể khẳng định pc2 = c
không thuộc khoảng (cii,+ o o ) bằng lặp luận rằng \Ị}{Q) > 0 V ( 6 (cn ,+ oo). Tuy nhiên, khi
c € (cu, +oc) phương trình tương đương với (20) không phải là (2 1) mà là phương trình
sau:
__________
i>{0 - c + \ — ^ ậịể-O = 0 (
22
)
V
C55 C11 -
c
(C55 - pc2) = - \ / ( c f , 5 - pc2)2 nếu (C55 - pc2 ) < 0 (23)
Dặt
X = p(? ! C55 (24 )
từ (19) ta có:

• 0 < £ < 1 < - n ế u 0 < C55 < cn
7
• 0 < X < - < 1 n é u 0 < C11 < C55 ( 25)
7
Từ (25), suy ra:
X € (0,(7), trong |1Ỏ ở = m in(l, ơ), ơ — 1/7 (26)
Sử dụng(24) và chú ý đến (26), dễ thấy (20) tương đương với:
ựã\/ì — rịtrd — x) = X\/l — 72’ (27)
trong đó X G (0,ỡ), và từ (6) các tham số của phương trình (27) thoả mãn các bất đẳng
thức sau:
0
> 0, 7 > 0. 0 < (I < 1 (28)
3 Công thức mở rộng của vận tốc sóng R ayleigh
Bình phương hai vế (27) ta có:
F(x) (7 - a).rs + (o + 2aơd - 1 ).T‘ - (Iơdiơd + 2).r + nơ2d2 = 0 (29)
M ệnh đề: Trong khoảng (0.Ơ,). ơt = ìnỉn (l.ơd ). pliưung trình (36) có mót nghinn thi.rr
duv nhất Xo, tương ứng với sóng Ravleigh.
5
Chứng m inh: Theo [1], trong khoáng (0, ỡ), phương trình (27) có một nghiệm thực duy
nhất Xo và Xo tương ứng với sóng Rayleigh. Từ (27) suy ra Xo G (0, ơt). Theo (28), 0 < <7 < 1.
vì vậy (0, ơt) c (0 ,a ). Diều này suy ra rằng trong khoảng (0, ơ»), phương trình (27) có một
nghiệm thực duy nhất XQ. Vì trong khoảng (0,ơ„) phương trình (27) và phương trình (29)
là tương đương nên mệnh đề được chứng minh.
Dối V(')i những giá trị a, 7 sao cho a ^ 7 , phương trình (29) tương dương với:
trong đó:
Từ (30), (31) ta có:
Fi(x) = X + a2x + ã\X + d() = 0
aơ2cp aơdịơd + 2) a — 1 + 2aơd
(lữ =

, ai -

, C
12
=
7 — a
7 — a
/m _ aơ2f/2 r / n
_
7 1 77 / ^ - 1)
Fi(°) = Fi(!) = :

’ FÁơd) =
(30)
(31)
(32)
7 — a 7 — a 7 — a
Giả s» E là không gian Euclid ba chiều với liệ toạ dộ oad'y, và ký hiệu một diểm của nó
). Ta xác định các
tập C011 sau của E:
Í2
=
{M
e
E
a > 0 ,0 < (/ < 1 , 7 > 0 }
{M
G
n
a > 7 }, ÍỈ2 = {M ẽ :

0
, < 7 }
ũỵ
=
{M
6
n
ữ — T'}, s ^ 1 •
7 > 1 }
ÍỈ5
=
{M
€
4
: 0 < 7 < 1 }
—
{M
6
E
a > 0 , 0 < < 1 , 0 < 7 < min(l,ơ)}
fill
=
{M
e
: ỗ < 0}, Q12 = {M € ÍĨ!
: ỗ > 0 ;a > 1 }
=
{M
G
01

: ổ > 0 ; a < 1 ; (a — 1 )*) +
2nd > 0}
=
{M
e
: ổ > 0 ; a < 1 ; (a — 1 )" +
2nd < 0}
E
=
{M
€
: ổ = 0}, El = {AI £ E :
(0 - 1)7 + 2ad > 0}
s 2
=
{M
6
V
(a - 1)7 + 2ad< 0}.
trong dó:
ổ = (í 2 — 3«1
(33)
34)
ai,(ỉ2 xác dịnh bởi (31). Chú V rằng (lỵ = 0 khi (u 1)7 +
2
(
1(1
= 0 và (lị > 0 trong.Qi vì
vậy nếu M Ễ Hị sao cho (fl - 1)7 + 2ad - 0 thì ỗ(.\í) < 0, tức là M e f>! 1. .1/ không thuộc
Chú ý 3: Khi 7 7^ a, và ỗ = 0, F i(x) là một hàm đơn điệu, vì vậv phương trình (30) có

một nghiệm thực duy nhất.
Bây giờ ta phát biểu định lý liên quan đến công thức mở rộng của vận tốc sóng Rayleigh.
Định lý 1:
Trong miền = fỉn u £ i u fỉi2 u ÍỈ13, xữ và do vậy vận tốc sóng Rayleigh cỉược xác đinh
bởi cóng thức »au:
Xo = /9C“/ C',55 = - 1 — 2 a crrf + sign (-ỗ)d sign(— ố)[/? + \ÍD \ - \ Ị - R + \ÍD (35)
3(a - 7 ) v
trong đó các căn (phức) lấy các giá trị chính, argument chính của một số phưc U! (Argỉti)
đước lấy trong khoảng (—7T,7r], R, D được xác định teởi các công thức sau:
ỉỉ — (9qiơ2 — 27ơo — 2*^)/54
D = (4(10(12 — a\áị — I8O0O1Ơ2 + 27a0 + 4 ai)/108 (36)
trong đỏ (ì,, / = 0,1,2 xác định bởi (31).
Đui v>)i Ậ1 liệu cỉ.íng hướng ta có: í'u = C33 = A -T- 2 ụ . t m = /í, f'l.'i = A , clo vây
a = 1, d = 47/(1 - 7/), 7 = 7/ = f.i/(X + 2ụ.) (0 <
1
] < 3/4). Từ các đẳng thức này và (31),
(34), (3G) ta có:
ỏ = 48(// - 1 / 6), R = 8(4577 - 17)/27, D = 64(11 - 62r; + 107t]2 - 64?73)/2 7 (37)
Sử dụng (37) dễ dàng khẳng định được rằng (1 ) là một trường hợp đặc biệt của (35).
Cũng cần chú ý rằng phương trình (3) là một trường hợp đặc biệt của (30) với «0 =
-16(1 - Ij), a 1 = 8(3 - 21]), a
-2
= -8 , và công thức (1) có thể viết dưới dạng (35) trong
miền = {M : a — 1, (ỉ — 4/7(1 - 77), 0 < ĩ] < 3/4 < 1} c Q,, trong đó C55 = /J, 7 = -q, TỈ —
4r;(l - 7/), ổ, lù D xác định bỏi (37). Vì vậy, dạng của công thức (1) không thay đỏi khi
chuyên t ừ Ị*í, saĩlg Q„.
Do chinig miiiỉi clịnh lý 1 ta cần các i i dề Sciu:
B ố đ ề 1: a) E n r?3 = 0 ; b) E n ỈỈ2 = 0 ; c) E n 0 4 = 0 ;
Chứng minh: a) Diều này đủng vì ổ không xác' (lịnh t ú 7 = a (xem (31) va (34)).
b) Từ (32) đá dàng suy ra rằng (30) có ba nghiệm thực phân biệt VA/ e íl-

2
- iíết luận b)
suy ra từ (liều này và chú y 3.
c) Cũng từ (32), (30) có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt khi M 6 o.ị. Kết luân fj suv.
ra từ chú ý 3.
7
Từ bổ đề 1 . suy ra mặt £ nằm trong Q5. Chú ý rằng tập hợp E2 nằm trong Q5 với các
giá trị của a sao cho 0 < a < 1 .
Xác dinh các tập hợp mới như sau: Q12^ = {M : a > 1,0 < d < 1.0 < 7 < l,ổ >
0}, = {M : a > 1,0 < d < l,a > 7 > 1,0 > 0}, a . = nịy u n u .
Chú ý 4; Rõ ràng rằng ÍỈ12 = u và từ (32) ta có:
Fi(0) < 0, Fj( 1) > 0, ^ ( ơ .) > 0 in Q„ (38)
B ổ đề 2: Tập hợp là một tập liên thông.
Chứng minh:
Giả sử
G'{a0)
là giao của và Iĩiặt phiing P(a0) :
0
— ữn = const > 0, khi đó
Í2*, = |J [J|;>0 G (a0). Ta sẻ chỉ ra rằng Ơ(ơo) có hình dạng như được ch ra trên hình vẽ H .l.
(a) (b) (c)
H .l. DỒ thị của đường cong d=0, tức là r(<2o), trong không gian (ổ, 7 ) với 7 (trục tung)
phụ thuộc vào ỏ (trục hoành) đối với (a) ao > 1, (b) ao — 1, (c) 0 < ao < 1. Trong (a),
(c) miền d < ũ dược bao bởi r(a0), trong (b) bởi r(flo) và trục 7 . Trong (c) đường thảng
(«0 - 1)7 + 2aứỗ — 0 cắt r(flo) tại điểm cực clại của nó ố = ỗo = (1 - ữ0) / 2,7 = Go- Trong
(a), (b) G(a0) lcà miền phía ngoài r(fl0) và bên trong (0, l)x ( 0 ,1 ). Trong (c) G'(flo) nằm trong
hình chữ nhật (0, l)x(0, íío), bên ngoài r(a 0). và dưới đường thẳng (ao - 1)7 + 2(ỉoỏ = 0. Chú
ý rằng d không xác- định tại (ỏu,fio)
Theo hmh vẽ H .l. C{a0) là một tập liên thông: và G'(«o) chứa tập T{a0) = {M G
G (a0) : 2 / i < d < 1. 0 < 7 < «o}- Rõ ràng rằng (lải \Jaữ>0T{aữ) là một tập liên thõng.

Vì vậy, có thể nối hai điểm bất kỳ A /i(«i, di. -;i), Moịa2. dì. "2) của O ., băng một (lirờng
đơn giản MiMĩMịM-ĩ, trong dó M2 e T{a 1), Mị 6 T{('2), đường A/iA/3 e C{o 1). dương
8
MìMị G C(a>). VÌI M-iMị € dải. Do vậy tập ũ ,t là liên thông.
Bây giờ ta khẳng định rằng G(ao) có hình dạng như hìnli vẽ H.l. Ký hiệu fỉi(flo) giao
của fìi va mật phẳng P(ao). Từ (31) và (34) suy ra rằng, trong rỉi(oo) phương trình ỏ' = 0
tương dương với:
trong đó d £ (0,1) là tham số, và ố > 0 khi và chỉ khi g(-y) > 0 . Ta ký hiệu đường cong
(39) bởi r(a0).
Dễ dàng thấy rằng:
i) Với mỗi số đương a
0
cho trước, phương trình (39) không có nghiệm thực kill d G (2/3. 1)
Nó có hai nghiệm thực dương phân biệt 7[. 72- (7 i < 72) đối với (ì e (0 .2 /3), và có môt
nghiệm tliựí đương (krp) 7o = 7i = 7 2 klii d = 2/3
2i) Dường (()11|Ị| r(fì0) nằm trong íìa(ao) = fỈ5n P (ao ) (theo bó (lề 1), và 11Ó là một tilling
cong liên tục.
3i) Dối vcìi <tn > 1, 0 < 7i, 72 < 1, V d € (0,2/3] (chú ý lằng <7(1 ) =■ («0 — 1 — (I()(ì)2 +
3ao(^ > 0 V (lị) > 0, (I > 0).
Đối với (ỉ ) sao clio 0 < «0 < 1, 0 < 7 i, 72 < «0. V d ẽ (0,2/3], d, Ỷ (1 — tftJ/2. Khi ẩ =
( l- flo ) /2, 7
2
= «u- Chú ý rằng M(alh (1 -« o )/2 , no) thuộc dường thăng (1 - « 0)7 + 2a(,(/ = 0
(nhưng khón.ụ; thuộc r(ao).
4 i) Với mỗi (10 Ỷ 1 . 111 72 tiến đến 0 khi (ỉ —* 0 . Khi ao = 1 . 7i tiến đến 0 , trong khi (ló
7 2 tiến đến 1 khi (ỉ —► 0 .
Si) ỡ(t) < l) ^7 £ ('>1. 72)- Diều này có nghĩa rằng đối với H .l(a) và H .l(c). bên trong
G(a0) : ổ < 0. đối với H.l(b): <) < 0 trong miền giới hạn bởi G(ao) và true 7 .
Từ i)-õij suv la C7(«o) iiình (lạng như hình vẽ H .l và bổ dề '2 được chứng minh.
B ổ đồ 3: a) Giả sử r = -2R. khi do r = trong dỏ N là ctiôm uốn của (lường

cong bậc l)ii ỊJ = F\(x).
b) Khi ỗ > 0 Fi(x) có một clioni cực dại và một cỉiểm cưc tiểu . ký hiệu là: Zma\- .rmn .
c) Tròng miền Q,, ta có:
Chứng minh. Kết luận b) là hit'll nhiên. Sử (lung (30). (3G) 1 dỗ đàng thay ã) <lún^. Từ
(30) ta có:
g(7 ) = [(a0 - l )2 + 6a0d]Ý - aad(4 - 3 d + 2a0)7 + aĩ)d2 = 0
(39)
(40)
F{i.r) — :i.rJ + 2(1-2 r + a
Ml)
! I
Khi ỏ > 0, F[(x) có hai nghiệm thực phân biệt £ mjn, £max- Từ (31) và định nghĩa của
f2,«, dàng thấy các bất đẳng thức sau đúng trong
ũị
x mirrXmax ~ X >
Vì vậy suy ra (•).
B ổ đ ề 4: Trong Q„, nếu D > 0, thì R < 0.
Chứng minh. Chú ý rằng V M e Ỗ(M) > 0. Giả sử tồn tại một điểm M 1 e fỉ** sao
cho D(M\) > 0, but R(M\) > 0.
+ Nếu Rí Mị) — 0 thì r(M\) — 0. Vì ỗ{Mi) > ũ, theo bổ đề 3(a,b), (30) có ba nghiệm
thực phân tại M\. Vì vậy, theo chú ý 5(iii) ( sẽ được nêu ra dưới đay), D < 0. Diều II y
mâu thuẫn với D(M\) > 0
+ # u Iì{ Mí ị) > 0, vì vậy r( A/]) < 0. Nếu D{M\) = 0 thì từ à{M\) > 0. (38), (40), bổ
đề 3(a) va r(Mị) < 0 suy ra rang (30) có hai nghiệm thực phân biệt trong khoảng (0,(7,),
nhưng diều này máu thuẫn với mệnh đề. Vì vậy D(Mi) > ũ.
Dỗ dàng thấy rằng điểm 71/2(1 , 3/ 4, 3/ 4) G và D(M
2
) < 0. Vì Ả/1 , M2 G theo
bổ đề 2 ta có thể nối hai điểm M\ and M
2

bởi một đường cong đdn giản liên tục L
\2
€ ữ tt.
Vì D là một hàm licn tục trên L
12
và D(AÍ 1) > 0. D(M2) < 0, nên phải tồn tại một điểm
Mo G L]
2
- A/(, ỷ hÍ
2
sao cho D(Mq) — 0 và D{M) > 0 V M G L10 (trừ A/o), ở đãy L10 là
phần của Ln nối M\ và Mo- Tương tự, R không thể triệt tiêu tại bất kỳ điểm Aỉ € L 10. Vì
R là một hàm liên tục trên L\ữ và R{M 1) > 0, nên R(M) > 0 V M G Lio, vì vậy R(Mq) > 0,
i.e. r(Mo) < 0. Diều này cùng với Ỗ{AÍ0) > 0, D(Aío) = 0, (38), (40). bổ đề 3(a,b) dẫn đến
phương trình (30)có hai nghiệm thực phân biệt trong khoiing (0,ơ ,), nhưng but điều này
mâu llniần Vi'ji mrnh dề, và bổ đề được chứng minh.
Ta đã co (lu diồu kiện dễ chứng minh địnli lý 1.
Với 1 )iến mới t
(42)
= X + u 2/3
(4.'í
phương trình (30) GÓ dạng
- 3 tfz + r = 0
(44)
trong đó
q1 = («2 _ 3 «i)/9- r — -2fì
(45)
10
ãị, i = 0,1, 2 xác định bởi (31), R bởi (31), (36), và q2 có thể âm.
Theo lý thuyết phương trình bâc ba, ba nghiệm cuả (44) được xác định bởi các công thức

sau (xem Cowles and Thompson [2]):
Z\ — s + T
22 = - - ( S + T) + - tVS(S — T)
= - ị ( S + r ) - ị i ự 3 ( S - T ) (46)
trong đó i2 — —\ và:
s = ựR+ y/D, T = \J r -\ÍD
D = R2 + Q \ R = - ịr , Q = - q 2 = -ỏ/9 (47)
D xác định bởi (31) và (36). Chú ý rằng /?, D trong (47) đồng nhất với R' D xác định bởi
(36)
Chú ý 5 :
i) Căn bậc ba của một số thực âm là một số thực âm.
ii) Khi /í + \ÍD là số phức, tức là D < 0, thì T = s*, trong đó S' là liên hợp của s.
iii) Nếu D > 0, phương trình (44) có một nghiệm thưe và hai Iighiệm phức liên hợp. If
D — 0, phương trình (44) có ba nghiệm thực trong đó ít nhất hai nghiệm trùng nhau. If
D < 0, phương trình (44) có ba nghiệm thực phân biệt.
Ký hiệu Co là nghiêm tlníc của (44) tương ứng vài Xo và để chứng minh định lý 1 ta xét
các trường hợp khác nhau tuỳ theo các tập con của
• Trên Ỉ7i 1:
Trên Í2n, ta có ó < 0. Từ (47)3, (47)5 và D > 0 ta cỏ:
R + S d > 0, - R + ự D > 0 (48)
Vì D > 0 liên (44) có một nghiệm thực duy nhất ro? xác định bởi (46)!, (47) trong (ló cat
call thứ. (lược hiểu là các căn thực. Vì giá tr của một căn thực của một số dương trùng với
giá trị chmh của căn phức tương ứng của n i nên (35) suy r.i từ (31), (43), (48).
• Trẽn :
B ổ đ ề 5: Trên £1 R < 0 (Sò chứng minh sau).
Nếu R < 0, theo (47)3, (47)5, D > 0, do vậy (44) có một nghiêm thực duy nhắt va (3õ)
đúng.
11
Nếu R = 0 thì D — 0, từ (46), (47 suv ra (44) có nghiêm thưc z0 = 0 (bội ba. từ dó suv
ra (35).

Chứng minh bổ đề 5.
Giả sử Mo(ao, do, 7o) là một điểm bất kỳ thuộc E l, i.e. ậ{Mo) = 0).
Nếu R(M0) > ũ, thì D(M0) > 0 theo (47)3. Vì D liên tục trên tập mở fỉ5 D £1 và A/0 e
Q5, vì vậy tồn tại một lân cận đủ nhỏ ưo(Mo) — {M : (a — ao)2 + {d — do)2 + (7 - 7o)2 < K2}
(k là một số dương đủ nhỏ) của Mo sao cho Uq(Mq) c ÍÌ5 và D(M) > ũ V M e Uo{M0).
Dặt u = ữ tt n ơo(Mo) khi đó Ỗ(M) > 0, D{M) > 0 V A/ e ư, vì vậy R(M) < 0 VA/ G ư
theo bổ đề 4. Vì R cũng liên tục trên ÍÌ5 D u, và Mo là một điểm biên của u, suy ra rằng
fí(Aío) < 0- Nhưng diều này mâu thuẫn với R(M0) > 0.
C11Ú ý lằng: ÍÌ12 u Qi:j = U ÍìỊ ị. Ta kiổni tra (35) trên Í7,,, và trên il j |\
• Oil fì„:
Theo định nghĩa íỉ , ổ > ơ.
Nếu D > 0, (44) có một nghiệm thực duy nhất là Z(Ị, xác định bởi (46) 1 và (47). Vì
R < ũ, theo bổ dề 4, và ỏ > 0, suy ra từ (47)3, (47)5 rằng
~{R+ y/D) > 0, - R + V d > 0 (49)
rinh đến (31), (43), (49) và chú ý lằng giá trị của một căn thực của một. số dưưng trùng với
ỊÍá trị chính của căn phức tương ứng của 11Ổ, ta sẽ suy ra (35.
Nếu D = 0, theo bổ đề 4, R < 0. Tính đến (47)3 — (47)5. ta có R = —(f (q > 0 ), r — 2qi
/à (44) trở thành:
(z-<i)2(.z + 2<i)=Q (50)
Mglũệin của 11Ó là: q (nghiệm kép), —2q.
Với cliu ý (30) có một nghiệm thực duy Iihất trên (0. ơ*) theo mệnh đề. từ (38) 1 . (40)
ÌUV ra .To là nghiệm thực nhỏ nhất (30) trong trường hợp này, vì vậy 20 là nghiệm thực nhỏ
ìhất cua (44), i.e. Co = —2(7, từ dó suy ra (35).
Xét trường hợp D < 0:
Thing trường hựp này (44) và (30) cỏ ba nghiệm thực phân biệt. Theo mệnh dề. (38) 1.
40), rõ ràng ríing x0 là nghiệm thực nhỏ nhắt của (30), do vỆy Z(i là nghiệm thực nhỏ nhất
'ủa (44). Khi D < 0 ba nghiệm thực phân biệt của (44 ) xác định bởi (4G). (47) trong (ló
'ác căn phức bậc ba (bậc hai) lấy một trong ba giá tiị có thể của chúng Síio ( ho I = S'. Ta
12
sẽ lấy giá trị chính của chúng và chỉ ra rằng Z2 xác định bởi (46)2 là nghiệm thực nhỏ nhắt

của (44).
Từ (47) ta có:
5 = ỷ/R + iy/-R* - Q \ T = s* (51)
Ký hiệu 39 là argument chính của R + Vì Ự—D > 0. 36 € (0 ,7r). nên góc pha
tương ứng với giá trị chính của 5 là ớ € (0 ,7r/3). Tử (51) suy ra |5 | = q, vì vậy s và T dược
biểu diễn như sau:
s = qe‘e, T = qe~ie (52)
trong dó 0 G (0,7r/3)ộthả mãn:
COS 3Ớ = — — (53)
2 qs
nhận được bằng cách thay:
z — s + T — 2(7 COS 0 (54)
vào (44).
Chú ý rằng D < 0 dẫn đến |—r/2(j:i\ < 1 , (liều này đảm bảo (53) có một nghiệm duy
nhất trẽn (0, 7t/3).
Từ (46), (52) dễ dàng thấy:
2 1 = 2 q COS 6
22 = 2(7 cos(i9 + 27T/3)
z3 = 2qcos{8 + 47ĩ/3) (55)
Từ (55) và chu ý 9 6 (0,7r/3) suy ru Zi > > Z'>, tức là Z
-2
là nghiệm thực nhỏ nhất của
(44), vì vậy:
2q = 2q C08{0 + 271-/3) (56)
Dể chứng minh (35) c ỏ' > 0, hotrnghp D < 0, ta cần bất đẳng thức sau:
- \ / —R + \fD - \J -( R +'/[)) = 2(/cos (6 + 2tt/3) (57)
Tliực vậy. ta có : Arg(R + \f~D) — 30, Arg(R — \fD) — —39, 39 ẽ (0," ) và là nghiệm
c ủ a ( 5 3 ), v ì v ậ y A r g { - ( R + \ / D ) } = 30 - 7T, A r g [ - ( / { - \ Í D ) ] ^ - 3 ( 9 + 7r. C h ú ý r à n g t a k ý
hiệu Argw là argument chính của số phức w. Vì I - (R + \J~D I = q nên suy ra:
\J-{R + \ÍD) = qel(°-nri\ ý - ( R - v D ) = 7el(- ớ+r/:ìl (58)

13
Từ (58) ta có:
- \ J - R + \ / D - yj — (R + ỰÕ) = —2ộcos (ớ — t / 3)0 = 2ợcos (8 + 2tt/3) (59)
do vậy (57) dược chứng minh.
• Trên ũ^
2
-
Trên
& 1 2
, 7 > 1; vì vậy: 0 < (7, < 1 và từ (32) ta có:
Từ (60) suy ra trên (30) có ít nhất hai nghiệm thực khác nhau, vì vậy D < 0. và
theo mệnh d(' .To là nghiệm thực nhỏ nhắt. Chú ý rằng khi (30) hai nghiệm thực phân biệt,
tức là khi /) = 0, thì R 0. Ly luạn li09.il tOctii tự nhừ trừờn^, liđp 0** tron^ (io
ổ > 0, l) < 0, suy ra (35) đúng trên íỉp 1, và định lý đươc chứng minh.
4 Các công thức khác
4.1 Công thức vận tốc s ó n g Rayleigh trên u s 2
Đ ịn h lý 2:
Trong m iằi Í2]4 u Eo. Xo và do vậy vận tốc sóng Rayleigh cỉươc tínli theo công thức sau:
trong dỏ các căn (phức) lấy các giá trị chính, argument chính của một số phức được lấy
trong khoảng ( —7T,7r], R , D xác định bởi (31). (36).
Dr chứng minh định lý 2 ta cần các bổ dề sau:
B ổ đ ề 6: Trẽn ÍỈ14, nếu D > 0, thì R > 0.
Chứnf>; minh. Mãc (.lù bổ đề này tương tự như bổ đề 4, song việc chứng minh uó đơn giản
hơn nhipu. i lu re vạy. vì ổ > 0. <
1
\ > 0. «2 > 0 trên í>n, nén các điểm cực dại. cực tiễu <ĩủa
Fị{x) ậủn cũé làng buộc sau:
Từ các bát dang thức này và bổ (lề .'3(a) và F\(0) < 0 MJY ra bể dề G.
B ổ đề 7: Trên ỉỉ > 0. Bổ đề này tư()ng tư như bổ <lầ 5. Chứng, minh cua 11Ó ”ión»
như clnì'112; miiih cua bổ đè 4 trong dó bổ dề 0 (lược sử đụn^.

14
Fi(0) < 0, FAơ,) > 0, F i(l) < 0 in (60)
(61)
•J'niax < rniin < í*
(G21
Dể chứng minh (61) trên ÍÌ14, ta làm tương tự như khi chứng minh định lý 1 trẽn íì,*
trong đó, thay cho bổ đề 4 ta sử dụng bổ đề 6 và chú ý rằng khi D < 0, Xo là nghiệm lớn
nhất của (30). Chứng minh của định lý 2 trên E2 tương tự như chứng minh định lý 1 trẽn
£ i trong dó bổ đề 5 được thay thế bởi bổ đề 7.
4.2 Công thức vận tốc sóng Rayleigh trên
0,2
and Q3
Sử dụng (32) và mệnh đề, suy ra rằng trên ÍỈ2, (30) có ít nhất hai nghiệm thực khác nhau
(vì vậy D < 0) và Xo là nghiệm trung giíin.
Khi a — (29) biến thành:
(7 + 2d — \)x2 — dịơd + 2)x + ơd2 = 0 (63)
Sử dụng mệnh dề, suy ra (63) với 7 + 2d — 1 7^ 0 có hai nghiệm thực khác nhau và .To là
nghiện nhỏ khi 7 + 2d — 1 > 0, là nghiện lớn khi 7 + 2d — 1 < 0. Khi 7 + 2d — 1 = 0, tức là
d. = (1 — 7 )/2 (d > 0 => ơ > 1), vận tốc sóng Rayleigh là:
pc2/c 55 = { ơ - l)/(cr + 3) (64)
Từ các điều nêu ra ở trên, dễ dàng suy ra định lý sau:
Theorem 3
a) Trên Q-
2
, vận tốc: sóng Rayleigh được xác định bởi công thức sau:
2 . ũ — 1 + 2aơd 17Ị2 3/~ /7- —1»> 3/~T
pc /c 55 = — —-— —-— + e 3 ự R + s/D + e 3 ỷ R - ựD (65)
3(a - 7 )
trong (ló nong đó các căn (phức) lấy các giá trị chính, R, D (< 0) xác định bởi (31), (3G).
argument chính của một số phức được lấy trong khoảng (-7r,7r).

b) Trên íĩ-s vận tốc sóng Rayleigh là:
2 d(ơd + 2) - d\/ơ(ơd,2 + 4 — 4íi)
P<?/C55 =

+ ịd _ 1}

'Vlien 7 + 2d - 1 ? n (66)
pc,2/cõ5 = (ơ - \)/{ơ + 3). for 7 + 2í/ - 1 = 0 (G7)
Căn bậc hai trong (66) là căn thực.
15
1.3 Công thức vận tốc sóng Rayleigh với giá trị th ứ hai của căn
bậc ba
Giả sử V) là một số phức khác không và argument chính của nó đượr lấy trong khoang [0. 27!-).
tức là 0 < ArgIV < 2ĩĩ, n, m là các số nguyên dương cho tiước sao cho n > 2, 1 <
111
< n.
Ta định nghĩa giá trị thứ m của căn phức bậc n của w, ký hiệu "‘ựw, như sau:
I .'ẢTgu) ( m - 1)2tt
"‘■ựw |ui|expỉ{— 2— I } (68)
n n
Với m = 1 ta có giá trị chính (thứ nhất) của căn bậc n của IV. Trong phần này, bằng cách sử
dụng giá trị thứ hai của căn phức bậc ba, ta sẽ thu được cõng thức vận tốc sóng Rayleigh
trên miền íìt.
Định lý 4
Trong miồn íl*, .To và do vậy vặn tốc sóng Rayleigh được xác định bởi công thức sau:
.r0 = pc2/ c tt = - ~ 1 — ~"ơl1 + sign(ỏ') ự s ig ĩĩ( ổ ) ĩ / ^ + \ fi 5 } + \ J R - v/7 3 (G9 )
3(a - 7 ) v
trong dó các cãn (pliức) bâc ba lấy các giá trị thứ hai, các căn (phức) bác hai lấy các giá trị
chính, ỉỉ, I) (< 0) xác định bởi (31), (36), argument chính của một Hố phức dược: lấy trong
khoảng [0, 27r).

Chú ý 6 Từ dịnh nghĩa giá trị thứ 7ìĩ của căn phức bậc n của một số phức suy ra rằn
giá trị thứ hai của căn phức bậc ba của một số thực âm trùng với căn thực bậc ba của 11Ó.
Chứng minh. Tương tự như trẽn, ta xét định ]ý 4 trên các tập C011 của ũ*.
• Trên ũ n
Như dả biết từ phần 3, trên rin , ỏ < 0, D > 0 và
-(R + \ÍD) < 0 , R - \ÍD < 0 (70)
Vì D > 0 phương trình (44) có một nghiệm ihưc duy nhất là z0, xác định bởi (46) 1 và
(47)trõiig đó các căn thức là căn thực Tính đến chú ý c, rỏ làng rằng (69) suv ra tư (70).
(31), (43).
• Trên Ej:.
Theo bổ (lề 5, trên El R < 0.
Nếu R <
0
. theo (47)3, (47)5. D > 0 . vi vẠy (-1-1) có mót 6 |]iiỊmi thưc (luv nliất va SUY
ra (69).
u