Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng kỹ năng tính tích phân các hàm số hữu tỉ để giải một số bài toán trong đề thi Đại học và đề thi Học sinh giỏi

“HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12
SỬ DỤNG KỸ NĂNG TÍNH TÍCH PHÂN
CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH TÍCH
PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC VÀ THI HỌC SINH GIỎI”
A . ĐẶT VẤN ĐỀ.
Trong các kỳ thi,việc đối mặt với các bài toán xác định nguyên hàm và
tính các tích phân của hàm số là việc thường xuyên và đòi hỏi học sinh phải có
những kỹ năng nhất định thì mới xử lý được các bài toán này, nhất là trong kỳ
thi ĐH và thi HSG. Dạng toán xác định nguyên hàm và tính tích phân của
hàm số là một vấn đề rộng và khá phức tạp.Để giúp học sinh tiếp cận một cách
dễ dàng hơn với vấn đề này thường thì giáo viên chia vấn đề này thành các phân
dạng nhỏ hơn và với những phương pháp giải đặc trưng tương ứng.
Trong bài viết này, tôi không chủ ý phân chia các dạng bài toán tính tích
phân của các hàm số mà chỉ đi sâu vào việc phân tích và sử dụng một số kỹ
năng tính tích phân như những công cụ hữu hiệu để xử lý một số bài toán tính
tích phân trong các đề thi HSG và thi Đại học.
Khuôn khổ quy định của bài viết không quá 20 trang, vì vậy tôi sẽ dự
kiến viết về chủ đề này theo một hệ thống bài viết lôgic, cụ thể:
Năm học 2012-2013 tôi viết về “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng
kỹ năng tính tích phân các hàm số hữu tỉ để giải một số bài toán trong đề
thi Đại học và đề thi HSG”
Những năm học tới tôi sẽ viết về “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng
phương pháp đổi biến số để giải một số bài toán về tích phân của các hàm
số chứa căn thức trong đề thi Đại học và đề thi HSG”
Tiếp theo nữa là “Những kỹ năng quan trọng trong việc sử dụng
phương pháp tích phân từng phần để giải bài toán tích phân”
Cuối cùng là “Một vài ứng dụng của tích phân trong toán học phổ
thông”.
Hệ thống bài viết này sẽ giúp cho giáo viên và học sinh trong quá
Trình luyện thi Đại học và bồi dưỡng HSG.
1

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
I. Cơ sở lý thuyết
*Sử dụng các công thức cơ bản:
1.
ln
dx
x C
x
= +
∫
2.
ln
dx
x a C
x a
= + +
+
∫
3.
'( )
ln ( )
( )
u x dx
u x C
u x
= +
∫
4.
2 2
1

arctan
dx x
C
x a a a
= +
+
∫
II. Vận dụng
Ở đây tôi chỉ xin giới thiệu các tích phân bất định(tức là bài toán tìm
họ các nguyên hàm của hàm số). Đối với các tích phân xác định cùng dạng,
ta chỉ việc thay cận vào sẽ có kết quả tương ứng.
1. Một số bài toán mở đầu:
1.1.Sử dụng kỹ năng tách mẫu số chứa các nhân tử đồng bậc ta dễ dàng tính
được các tích phân bất định sau.

1
1 ( 5) ( 2) 1 1 1
. ( )
( 2)( 5) 7 ( 2)( 5) 7 2 5
dx x x
A dx dx
x x x x x x
+ − −
= = = −
− + − + − +
∫ ∫ ∫
=
1 2
ln
7 5

x
C
x
−
+
+
2
1 ( 9) ( 3)
.
( 3)( 6)( 9) 6 ( 3)( 6)( 9)
dx x x
A dx
x x x x x x
+ − +
= =
+ + + + + +
∫ ∫
( )
2
1 1 1
( )
6 ( 3)( 6) ( 6)( 9)
1 ( 6) ( 3) ( 9) ( 6)
.
18 ( 3)( 6) ( 6)( 9)
( 3)( 9)
1 1 1 1 1 1
( ) ln
18 3 6 6 9 18
6

dx
x x x x
x x x x
dx
x x x x
x x
dx C
x x x x
x
= −
+ + + +
 
+ − + + − +
= −
 
+ + + +
 
+ +
= − − + = +
+ + + +
+
∫
∫
∫
2
3
1 ( 7) ( 8)( 1)
.
( 1) ( 7)( 8) 15 ( 1) ( 7)( 8)
1 1 1

( )
15 ( 8)( 1) ( 7)
1 ( 8) ( 1) 1 ( 7)
. .
135 ( 8)( 1) 105 ( 7)
1 1 1 1 1 1
( ) ( )
135 1 8 105 7
1 1 1
ln ln
135 8 105
dx x x x x
A dx
x x x x x x x x
dx
x x x x
x x x x
dx dx
x x x x
dx dx
x x x x
x x
x
+ − + −
= =
− + + − + +
= −
+ − +
+ − − + −
= −

+ − +
= − − −
− + +
−
= −
+
∫ ∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
7
C
x
+
+
5 6
4
12 6 6 6
1 ( )
.
3 2 6 ( 1)( 2)
x dx d x
A
x x x x
= =
− + − −
∫ ∫

6 6
6 6

6 6 6 6
6
6
1 ( 1) ( 1) 1 1 1
( ) ( ) ( )
6 ( 1)( 2) 6 2 1
1 2
.ln .
6 1
x x
d x d x
x x x x
x
C
x
− − −
= = −
− − − −
−
= +
−
∫ ∫
1.2.Dùng kỹ năng tách mẫu số chứa các nhân tử khác bậc ta dễ dàng tính được
các tích phân bất định sau.
2 2
1
3 2 2
2
2 2
2

2
2
1 1 ( 3)
3 ( 3) 3 ( 3)
1 1 1 1 ( 3)
3 3 3 2 3
1 1 1 3
ln 3 ln ln .
3 2 6
dx x x
B dx dx
x x x x x x
x d x dx
dx dx
x x x x
x
x x C C
x
− −
= = =
− − −
 
−
 
= − = −
 ÷
 ÷
− −
 
 

−
 
= − − + = +
 ÷
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
4 4
2
5 4 4
1 1 1 ( 4)
5 20 5 ( 4) 20 ( 4)
dx x x
B dx dx
x x x x x x
+ −
= = =
+ + +
∫ ∫ ∫
4
4
4
1 1 1 ( 4) 1 1
ln ln 4
20 4 4 20 4
d x
dx x x C
x x
 
+

 
= − = − + +
 ÷
 ÷
+
 
 
∫ ∫
3

4
4
1
ln .
80 4
x
C
x
= +
+
3
2
2
1 (3 2)
(3 2)(9 12 7) 3
(3 2) (3 2) 11
dx d x
B
x x x
x x

−
= =
− − −
 
− − −
 
∫ ∫
Đặt t = 3x-2 ta có:

2 2
3
2 2 2
1 1 ( 11) 1
3 ( 11) 3 ( 11) 3 11
dt t t t dt
B dt dt
t t t t t t
− −
 
= = = −
 ÷
− − −
 
∫ ∫ ∫ ∫

2
2
2
1 1 ( 11) 1 1
ln 11 ln

3 2 11 3 2
d t dt
t t C
t t
 
−
 
= − = − − +
 ÷
 ÷
−
 
 
∫ ∫

2
2
1 11
ln
6
t
C
t
−
= +
.
Vậy
2
3
2

1 (3 2) 11
ln
6 (3 2)
x
B C
x
− −
= +
−
2.Bài tập vận dụng nâng cao
2.1.Sử dụng kỹ thuật nhẩy bậc đối với hàm bậc 3 ta có thể tính được các tích
phân bất định sau:
1
3
2
( 1)
1
( 1) ( 1) 3( 1) 3
dx d x
C
x
x x x
−
= =
−
 
− − + − +
 
∫ ∫
Đặt t = x-1 , ta có

4
2 2
1
2 2 2
2 2
1 ( 3 3) ( 3 ) 1 3
( )
( 3 3) 3 ( 3 3) 3 3 3
1 1 2 3 3
( )
3 2 3 3 2 3 3
dt t t t t dt t
C dt dt
t t t t t t t t t
dt t dt
dt
t t t t t
+ + − + +
= = = −
+ + + + + +
+
= − −
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫

( )
2 2
2

2
2
2
2
1 1 2 3 3
( )
3 2 3 3 2 3 3
3 3
1 1 3
( )
3 3
3 2 3 3 2
( )
2 4
1 1 2 3
( ln 3 arctan )
3 2 3 3
3
dt t dt
dt
t t t t t
d t t
dt dt
t t t
t
t t
C
t t
+
= − −

+ + + +
+ +
= − −
+ +
+ +
+
= − +
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Vậy

2
1
2
2
2
1 1 ( 1) 2( 1) 3
( ln 3 arctan )
3 2 ( 1) 3( 1) 3
3
1 2 1 1 2 1
ln arctan )
6 1
2 3 3
x x
C C
x x
x x x
C

x x
− − +
= − +
− + − +
− + +
= − +
+ +
2
3
2
( 1)
1
( 1) ( 1) 3( 1) 3
dx d x
C
x
x x x
+
= =
+
 
+ + − + +
 
∫ ∫
Đặt t = x+1 ,tương tự trên ta có

2
2
2
2

2
1 1 ( 1) 1 2( 1) 3
( ln arctan )
3 2 ( 1) 3( 1) 3
3 3
1 2 1 1 2 1
ln arctan )
6 1
2 3 3
x x
C C
x x
x x x
C
x x
+ + −
= − +
+ − + +
+ + −
= + +
− +
2 2
3
3 2 2
1 ( 1) ( 1)
1 ( 1)( 1) 3 ( 1)( 1)
xdx xdx x x x dx
C
x x x x x x x
+ + − −

= = =
− − + + − + +
∫ ∫ ∫

2 2
2
1 1 1 1 1 2 1 3
( )
1 3
3 1 1 3 1 2 1 2
( )
2 4
x dx x dx
dx dx
x x x x x x
x
 
 
− −
= − = − +
 
− + + − + +
 
+ +
 
∫ ∫ ∫ ∫

2
1 1 2 1
(ln 1 ln 1 3 arctan )

3 2
3
x
x x x C
+
= − − + + + +
5

2
2
1 2 1 1 2 1
ln arctan )
6 1
3 3
x x x
C
x x
− + +
= + +
+ +
Biến đổi tương tự ta có
2 2
4
3 2 2
1 ( 1) ( 1)
1 ( 1)( 1) 3 ( 1)( 1)
xdx xdx x x x dx
C
x x x x x x x
− − + − +

= = =
+ + − + + − +
∫ ∫ ∫

2
2
2
1 1 2 1
(ln 1 ln 1 3 arctan )
3 2
3
1 2 1 1 2 1
ln arctan )
6 1
3 3
x
x x x C
x x x
C
x x
− −
= + − − + − +
− + + −
= − +
− +
2 3
3
5
3 3
1 ( 1) 1

ln 1
1 3 1 3
x dx d x
C x C
x x
−
= = = − +
− −
∫ ∫
2 3
3
6
3 3
1 ( 1) 1
ln 1
1 3 1 3
x dx d x
C x C
x x
+
= = = + +
+ +
∫ ∫
2.2.Sử dụng kỹ thuật nhẩy bậc đối với hàm bậc 4 ta có thể tính được các tích
phân bất định sau:
2 2
1
4 2 2 2 2
1 ( 1) ( 1)
1 ( 1)( 1) 2 ( 1)( 1)

dx dx x x
D dx
x x x x x
+ − −
= = =
− − + − +
∫ ∫ ∫

2 2
1 1 1 1 1 1
( ) ln arctan
2 1 1 4 1 2
x
dx x C
x x x
−
= − = − +
− + +
∫
2
2
4 2 2
2
2
2 2 2
1 ( )
1 2 ( 1)( 1)
1 1 1 1 1
( ) ( ) ln
2 1 1 4 1

xdx d x
D
x x x
x
d x C
x x x
= =
− − +
−
= − = +
− + +
∫ ∫
∫
6
2
2
3
4
2 2 2
2
1 1
1 ( )
1
1 1
1
( ) ( 2)
d x
x
x x
D dx dx

x
x x
x x
− +
−
= = =
+
+ + −
∫ ∫ ∫

2
2
1
( ) 2
1 1 2 1
ln ln
1
2 2 2 2 2 1
( ) 2
x
x x
x
C C
x x
x
x
+ −
− +
= + = +
+ +

+ +
2 2
5 4 3
4 4
1 ( 1) ( 1) 1
( )
1 2 1 2
dx x x dx
D D D
x x
+ − −
= = = −
+ +
∫ ∫
2 2
2
1 1 1 1 2 1
arctan ln
2
2 2 2 2 2 1
x x x
C
x x x
 
− − +
= − +
 ÷
 ÷
+ +
 

2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
1
1 1
2
( ) 1 ( ) 1
x x
dx dx
x x
x x
 
+ −
 
= −
 
 
+ + + +
 
∫ ∫
7
2
2
4
4
2 2 2

2
2
1 1
1 ( )
1
1 1
1
( ) ( 2)
1 1
arctan
2 2
d x
x
x x
D dx dx
x
x x
x x
x
C
x
+ −
+
= = =
+
+ − +
−
= +
∫ ∫ ∫
2 2

6
4 2 4 2
2 2
4 2 4 2
1 ( 1) ( 1)
1 2 1
1 1 1
2 1 1
dx x x
D dx
x x x x
x x
dx dx
x x x x
+ − −
= =
+ + + +
 
+ −
= −
 
+ + + +
 
∫ ∫
∫ ∫

2 2 2
1 1
( ) ( )
1

1 1
4
( ) ( 3) ( ) 1
d x d x
x x
x x
x x
 
− +
 
= −
 
 
− + − −
 
∫ ∫

1 1
1
1 1 1
arctan ln
1
2 4
3 3
1
x x
x x
C
x
x

 
− + −
 ÷
= − +
 ÷
 ÷
+ +
 ÷
 

2 2
2
1 1 1 1
arctan ln
4 1
2 3 3
x x x
C
x x
x
− − +
= − +
+ +
2.3.Sử dụng kỹ thuật nhẩy bậc đối với hàm bậc 6 ta có thể tính được các tích
phân bất định sau:
3 3
1
6 3 3 3 3
1 2
3 3

2 2
2 2
1 ( 1) ( 1)
1 ( 1)( 1) 2 ( 1)( 1)
1 1
( )
2 1 1 2
1 1 ( 2 1)( 1) 1 2 1 2 1
ln (arctan arctan )
2 12 ( 1)( 2 1)
4 3 3 3
dx dx x x
E dx
x x x x x
dx dx
C C
x x
x x x x x x
C
x x x x
+ − −
= = =
− − + − +
 
= − = −
 
− −
 
 
− + − + + −

= − + +
 
+ + + +
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫
3 2 2
2
6 6
1 ( )
1 2 1
x dx x d x
E
x x
= =
− −
∫ ∫

Đặt t = x
2
ta có

2 2
2
3 2 2
1 ( 1) ( 1)
1 ( 1)( 1) 3 ( 1)( 1)
tdt tdt t t t dt
E
t t t t t t t

+ + − −
= = =
− − + + − + +
∫ ∫ ∫

2 2
2
2
4 2 2
4 2
1 1 1 1 1 2 1 3
( )
1 3
6 1 1 6 1 2 1 2
( )
2 4
1 1 2 1
(ln 1 ln 1 3 arctan )
6 2
3
1 2 1 1 2 1
ln arctan )
12 1
2 3 3
t dt t dt
dt dt
t t t t t t
t
t
t t t C

x x x
C
x x
 
 
− −
= − = − +
 
− + + − + +
 
+ +
 
+
= − − + + + +
− + +
= + +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
8
4 4 2 2
3
6 2 4 2
( 1) ( 1) 2
1 ( 1)( 1)
x dx x x x
E dx
x x x x
+ + − − −
= =
− − + +

∫ ∫

2 4 2 6
2 2
2 2
2
2
1 1 1
1 ( 2 1)( 1)
ln
12 ( 1)( 2 1)
1 2 1 2 1 1
(arctan arctan arctan )
2 3 3 3 3
dx dx dx
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
C
x
= − −
− + + −
− + − +
=
+ + + +
+ − −
+ + − +
∫ ∫ ∫
4 2 2 2

4
6 2 4 2 4 2
1 ( 1)( 1) ( 1)
1 ( 1)( 1) 1
x x x dx x dx
E dx
x x x x x x
− + − −
= = =
+ + − + − +
∫ ∫ ∫

2
2 2 2
2
1 1
1 ( )
1 1
( ) 1 ( ) ( 3)
d x
x x
dx
x x
x x
− +
= =
+ − + −
∫ ∫

2

2
1
3
1 1 3 1
ln ln
1
2 3 2 3 3 1
3
x
x x
x
C C
x x
x
x
+ −
− +
= + = +
+ +
+ +
4 4 2 2 2
5
6 2 4 2 2 6
1 ( 1)
1 ( 1)( 1) 1 1
x x x x dx x
E dx dx dx
x x x x x x
+ − + +
= = = +

+ + − + + +
∫ ∫ ∫ ∫

3
3
2 6
1 ( ) 1
arctan arctan( )
1 3 1 3
dx d x
x x C
x x
= + = + +
+ +
∫ ∫
4 4
6 5 4
6 6
2
3
2
1 ( 1) ( 1) 1
( )
1 2 1 2
1 1 1 3 1
arctan arctan( ) ln
2 3
2 3 3 1
dx x x
E dx E E

x x
x x
x x C
x x
+ − −
= = = −
+ +
 
− +
= + − +
 
+ +
 
 
∫ ∫
Tương tự ta tìm được
9
4 4 4
7 5 4
6 6
2
3
2
1 ( 1) ( 1) 1
( )
1 2 1 2
1 1 1 3 1
arctan arctan( ) ln
2 3
2 3 3 1

x dx x x
E dx E E
x x
x x
x x C
x x
+ + −
= = = +
+ +
 
− +
= + + +
 
+ +
 
 
∫ ∫
2.4. Sử dụng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp gán các giá trị đặc
biệt .
Dạng 1: Mẫu thức là tích của các nhị thức bậc nhất.
Ví dụ 1:
Tìm :
2
1
3 2
2 5 3
2
x x
F dx
x x x

− −
=
+ −
∫
Nhận xét: x
3
+ x
2
- 2x =x(x-1)(x+2)
Cách 1:Dùng phương pháp hệ số bất định
Giả sử
2
3 2
2
2 2
2 5 3
,
2 1 2
2 5 3 ( 1)( 2) ( 2) ( 1) , (*)
2 5 3 ( ) ( 2 ) 2 ,
3
2 3
2
2 5 2
2 5
2
x x A B C
x
x x x x x x
x x A x x Bx x Cx x x

x x A B C x A B C x A x
A
A
A B C B
A B C
C
− −
= + + ∀
+ − − +
⇔ − − = − + + + + − ∀
⇔ − − = + + + + − − ∀

=

=



⇔ + − = − ⇔ = −
 
 
+ + =


=

Cách 2:Dùng phương pháp gán các giá trị đặc biệt
Thay x=0 vào (*) ta có
3
2

A =
Thay x=1 vào (*) ta có
2B = −
10
Thay x=-2 vào (*) ta có
5
2
C =
Khi đó
2
1
3 2
2 5 3 3 5
2
2 2 1 2 2
x x dx dx dx
F dx
x x x x x x
− −
= = − +
+ − − +
∫ ∫ ∫ ∫

3 5
ln 2ln 1 ln 2
2 2
x x x C
= − − + − +
Ví dụ 2:
Tìm :

3
1
4 2
2
5 4
x
F dx
x x
+
=
− +
∫
Nhận xét: x
4
- 5x
2
+4 =(x-1)(x+)(x+2)(x-2)
Giả sử
3
4 2
4 2 2 2
2 2
2
,
5 4 1 2 1 2
5 4 ( 4)( 1) ( 1)( 2)
( 4)( 1) ( 1)( 2) , (*)
x A B C D
x
x x x x x x

x x A x x B x x
C x x D x x x
+
= + + + ∀
− + − − + +
⇔ − + = − + + − +
+ − − + − − ∀

Thay x=1 vào (*) ta có
1
2
A
−
=
Thay x=2 vào (*) ta có
5
6
B =
Thay x=-1 vào (*) ta có
1
6
C =
Thay x=-2 vào (*) ta có
1
2
D =
Vậy
3
2
4 2

2
5 4
1 5 1 1
2 1 6 2 6 1 2 2
x
F dx
x x
dx dx dx dx
x x x x
+
=
− +
= − + + +
− − + +
∫
∫ ∫ ∫ ∫
11

1 5 1 1
ln 1 ln 2 ln 1 ln 2
2 6 6 2
x x x x C
= − − + − + + + + +
Dạng 2: Mẫu thức là đa thức có nghiệm bội.
Ví dụ 1:
Tìm :
2
3
3
3 3 3

3 2
x x
F dx
x x
+ +
=
− +
∫
Nhận xét: x
3
- 3x + 2 =(x-1)
2
(x+2)
Giả sử
2
3 2
3 2
3 3 3
,
3 2 ( 1) 1 2
3 2 ( 2) ( 1)( 2) ( 1) , (*)
x x A B C
x
x x x x x
x x A x B x x C x x
+ +
= + + ∀
− + − − +
⇔ − + = + + − + + − ∀
Thay x=1 vào (*) ta có

3A
=
Thay x=-2 vào (*) ta có
1C =
Thay x=0 vào (*) ta có
2B =
Vậy
2
3
3
2
3 3 3
3 2
3
3 2 2ln 1 ln 2
( 1) 1 2 1
x x
F dx
x x
dx dx dx
x x C
x x x x
+ +
=
− +
−
= + + = + − + + +
− − + −
∫
∫ ∫ ∫

Ví dụ 2:
Tìm
4
2 2
4 4
( 4 3)
x
F dx
x x
+
=
− +
∫
Nhận xét: (x
2
– 4x + 3)
2
= (x-1)
2
(x-2)
2
Giả sử
2 2 2 2
4 4
,
( 4 3) 1 ( 1) 3 ( 3)
x A B C D
x
x x x x x x
+

= + + + ∀
− + − − − −
12
3 2
4 4 ( ) ( 7 5 )
(15 6 7 2 ) ( 9 9 3 ),
x A C x A B C D x
A B C D x A B C D x
⇔ + = + + − + − +
+ − + − + − + − + ∀
0 3
7 5 0 2
15 6 7 2 4 3
9 9 3 4 4
A C A
A B C D B
A B C D C
A B C D D
+ = =
 
 
− + − + = =
 
⇔ ⇔
 
− + − = = −
 
 
− + − + = =
 

Vậy
4
2 2 2 2
4 4 3 2 3 4
( ) x
( 4 3) 1 ( 1) 3 ( 3)
2 4
3ln 1 3ln 3
1 3
x
F dx d
x x x x x x
x x
x x
+
= = + − +
− + − − − −
 
= − − − − −
 ÷
− −
 
∫ ∫
Dạng 3: Mẫu thức là tích của hai đa thức bậc 2
Ví dụ 1:
Tìm
2
5
4 2
1

1
x
F dx
x x
+
=
+ +
∫
Nhận xét: x
4
+ x
2
+ 1 =(x
2
+1)
2
-x
2
= (x
2
+ x + 1)(x
2
– x +1)
( )
2
4 2 2 2
2 2 2
2 3 2
1
,

1 1 1
1 ( )( 1) ( )( 1),
1 ( ) ( )
,
x Ax B Cx D
x
x x x x x x
x Ax B x x Cx D x x x
x A C x A B C D x
A B C D x B D x
+ + +
= + ∀
+ + + + − +
⇔ + = + − + + + + + ∀
⇔ + = + + − + + +
− + + + + ∀
0
0
1
1
2
0 0
1 1
2
A
A C
B
A B C D
A B C D C
B D

D
=


+ =


=

− + + + =
 
⇔ ⇔
 
− + + = =
 
 
+ =

=


13
Vậy
2
5
4 2 2 2
1 1 1 1
1 2 1 1
x
F dx dx

x x x x x x
+
 
= = +
 ÷
+ + + + − +
 
∫ ∫
2 2 2 2
1 1
( ) ( )
1
2
1 3 1 3
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 1 2 1
(arctan arctan )
3 3 3
d x d x
x x
x x
x x
C
 
+ −
 ÷
 ÷
= +
 ÷

+ + − +
 ÷
 
+ −
= + +
∫ ∫
Ví dụ 2:
Tìm
2
6
4
1
1
x
F dx
x
−
=
+
∫
Nhận xét: x
4
+ 1 =(x
2
+1)
2
-2x
2
= (x
2

+
2
x + 1)(x
2
–
2
x +1)
2
4
2 2
1
,
1
2 1 2 1
x Ax B Cx D
x
x
x x x x
− + +
= + ∀
+
+ + − +
2 2 2
1 ( )( 2 1) ( )( 2 1),x Ax B x x Cx D x x x
⇔ − = + − + + + + + ∀
( )
2 3 2
1 ( ) ( 2 2 )
2 2 ,
x A C x A B C D x

A B C D x B D x
⇔ − = + + − + + +
− + + + + ∀
2
2
0
1
2 2 1
2
2 2 0 2
2
1
1
2
A
A C
B
A B C D
A B C D
C
B D
D

=−


+ =




=−

− + + + =
 
⇔ ⇔
 
− + + =
 
=
 
+ =−



=−


Vậy
2
6
4
2 2
1 2 2 2 2 2
1 4
2 1 2 1
x x x
F dx dx
x
x x x x
 

− − +
= = −
 ÷
 ÷
+
− + + +
 
∫ ∫
14

2 2
2
(ln 2 1 ln 2 1)
4
x x x x
= − + − + +

2
2
2 2 1
ln
4
2 1
x x
C
x x
− +
= +
+ +
2.5.Kỹ thuật chồng nhị thức

Ví dụ 1:
Tìm
10
1
12
(3 5)
(2 1)
x dx
H
x
−
=
+
∫
Ta có

10 10
1
2
11
3 5 x 1 3 5 3 5
2 ( 2) 11 2 2
1 3 5
121 2
x d x x
H d
x x x x
x
C
x

− − −
     
= =
 ÷  ÷  ÷
+ + + +
     
−
 
= +
 ÷
+
 
∫ ∫
Ví dụ 2:
Tìm
2
3 4
(2 1) (3 1)
dx
H
x x
=
− −
∫
Ta có

3 4 3 4
2
3
3 4

7
3 4
3
3 2 . 3 2 .
(6 3) (6 2)
6 3
(6 2)
6 2
1 1 (6 3) (6 2) 6 3
3 2 .
6 6 2 6 2
6 3
6 2
dx dx
H
x x
x
x
x
x x x
d
x x
x
x
= =
− −
−
 
−
 ÷

−
 
− − − − −
   
=
 ÷
 
− −
   
−
 
 ÷
−
 
∫ ∫
∫

Đặt u=
6 3
6 2
x
x
−
−
15

5 5 4 3 2
3 4 3 4
2
3 3

3 4 2
2 3
3 2
3 4
2
( 1) 5 10 10 5 1
3 2 . 3 2 .
10 5 1
3 2 . 5 10
5 5 1
3 2 10 10ln
3 2 2
u u u u u u
H du du
u u
u u du
u u u
u u
u u C
u u
− − + − + −
= − = −
 
= − − + − + −
 ÷
 
 
= − − + − − + +
 ÷
 

∫ ∫
∫
Vậy

3 2
4 5
2
1 6 3 5 6 3 6 3 6 3
3 2 10 10ln
3 6 2 2 6 2 6 2 6 2
x x x x
H
x x x x

+ + + +
     
= − − + −

 ÷  ÷  ÷
− − − −
     



2
6 2 1 6 2
5
6 3 2 6 3
x x
C

x x

− −
   
+ − +

 ÷  ÷
− −
   


IV. Bài tập
Chúng tôi xin giới thiệu thêm một số bài tập để quý đồng nghiệp tham khảo
kèm theo đáp án .
Tính các tích phân bất định sau:
1
( 5)( 2)( 4)
dx
I
x x x
=
− + +
∫

Đáp số:
1 5 1 4
ln ln
63 2 18 2
x x
C

x x
− +
+ +
+ +
2
4 2
12 100
dx
I
x x
=
− −
∫
Đáp số:
1 1 5 1
. ln arctan .
29 10 5 2 2
x x
C
x
 − 
− +
 
+
 
3
3
3
1
x dx

I
x
=
+
∫
Đáp số:
16

2
2
1 2 1 1 2 1
ln arctan )
6 1
2 3 3
x x x
x C
x x
+ + −
− + +
− +
4
2 3
( 1)( 2) ( 3)
dx
I
x x x
=
+ + +
∫
Đáp số:

2 16
2 17
9 50 68 1 ( 1)( 2)
ln
4( 2)( 3) 8 ( 3)
x x x x
C
x x x
+ + + +
+ +
+ + +
5
3
( 1)
dx
I
x x
=
+
∫
Đáp số:

2
1 1
ln ln 1 ln 1
3 3
x x x x
− + − − +
6

100
3 5
dx
I
x x
=
+
∫
Đáp số

99
99
1
ln
495 3 5
x
C
x
+
+
99
7
101
(7 1)
(2 1)
x dx
I
x
−
=

+
∫
Đáp số:

100
1 7 1
900 2 1
x
C
x
−
 
+
 ÷
+
 
8
5 3
( 3) ( 5)
dx
I
x x
=
+ +
∫
Đáp số:

2 2 3 4
7
1 1 3 3 3 3 15 3 3 1 3

6 15ln 20 2
2 2 5 5 5 5 2 5 5 4 5
x x x x x x x
C
x x x x x x x
 
+ + + + + + +
           
− + + − + − +
 
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
+ + + + + + +
           
 
 
9
6
sinx.cos
dx
I
x
=
∫

Đáp số:(Hướng dẫn, đặt t =cosx đưa về
9
6 2
( 1)
dx
I

t t
=
−
∫
)
17

3 5
1 cos 1 1 1
ln
1 cos cos 3cos 5cos
x
C
x x x x
−
+ + + +
+
10
3 2
sin 2
cos sin x-1
xdx
I
x
=
−
∫
Đáp số:(Hướng dẫn, đặt t =cosx đưa về
10
3 2

2
2)
tdx
I
t t
−
=
+ −
∫
)

2
2 1 6
ln 1 cos ln cos 2cos 2 arctan(1 cos )
5 5 5
x x x x C
− − + + + − + +
.
C. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM.
Khai thác những bài toán quen thuộc, ứng dụng những bài toán đơn giản
vào việc giải các bài toán phức tạp hơn là cách dạy học tích cực nhằm phát huy
tư duy toán học của học sinh, giúp học sinh có khả năng vận dụng linh hoạt kiến
thức cơ bản để giải các dạng toán nâng cao phù hợp với nhận thức của học sinh,
từ đó làm cho học sinh yêu thích và hăng say học tập môn toán hơn.
Bằng cách này trong thời gian qua được nhà trường phân công giảng dạy
và bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10, 11, 12 bước đầu đã thu được kết quả đáng
khích lệ. Quá trình vận dụng chuyên đề này cùng với những chuyên đề khác với
cách tư duy tương tự đã giúp tôi bồi dưỡng được một lượng học sinh khá, giỏi
làm nòng cốt cho các kỳ thi học sinh giỏi đồng thời các em cũng đạt được điểm
số môn toán rất cao trong kỳ thi tuyển sinh Đại học. Cụ thể số lượng học sinh

đạt 27 điểm trở lên trong kỳ thi Đại học của trường TPHT Lê Lợi – Thọ Xuân
ngày càng tăng, năm học 2012-2013 được xếp trong top 4 trường có số lượng
học sinh thi Đại học đạt điểm cao trong các trường THPT toàn tỉnh Thanh Hóa.
Chúng tôi đã tiến hành một thống kê sau:
Năm học 2012- 2013, đối với hai lớp 12A1 sĩ số 46 và 12A5 sĩ số 45 trong chương trình tổng
ôn tập, sau khi học chuyên đề này các bài toán trong phần bài tập tương tự bài viết này được
đưa ra cho các em như một bài kiểm tra chất lượng kết quả như sau:
Đạt điểm 9-10 Đạt điểm 7-8 Đạt điểm 5-6 Đạt điểm dưới
5
Khi chưa
học
Chuyên đề
0 học sinh
Đạt tỉ lệ 0%
5 học sinh
Đạt tỉ lệ
5,5%
12 học sinh
Đạt tỉ lệ
13,2%
64 học sinh
Đạt tỉ lệ 81,3%
18
Khi đã học
Chuyên đề
13 học sinh
Đạt tỉ lệ 14,3%
21 học sinh
Đạt tỉ lệ
23,1%

27 học sinh
Đạt tỉ lệ
29,7%
30 học sinh
Đạt tỉ lệ 32,9%
Đặc biệt, chuyên đề này đã được triển khai cho học sinh lớp 12 trong năm
học 2012-2013 ở các buổi bồi dưỡng HSG và các em tiếp thu rất tốt với tinh
thần hứng thú và sáng tạo cao.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân chúng tôi đã rút ra trong
quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi. Bản thân tôi thấy chuyên đề này
cùng với cách dạy này rất thiết thực trong công việc dạy học, đặc biệt là công
tác bồi dưỡng học sinh giỏi hiện nay.
Mặc dù tôi đã rất cố gắng hoàn thiện bài viết một cách cẩn thận nhất,
song vẫn không tránh khỏi những sai sót, rất mong các cấp chuyên môn đóng
góp ý kiến bổ sung để chuyên đề ngày càng hoàn thiện và hữu ích hơn nữa.
Cũng rất mong được sự góp ý của quý đồng nghiệp để chúng tôi có dịp được
trau dồi và tích lũy kiến thức nhằm hoàn thành tốt nhiệm vụ giáo dục được giao.

Xác nhận của Hiệu trưởng
Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 12 Nâng cao- NXB Giáo dục 2007.
2. Đề thi tuyển sinh Đại học và đáp án từ năm 2000 đến 2012.
3. Phương pháp giải toán tích phân - Lê Hồng Đức – NXB ĐH Quốc Gia HN.
4. Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân- Trần Phương -NXB ĐH
Quốc Gia HN.

19
Thanh Hóa,ngày 24 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của tôi tự viết, không sao chép từ

bất kỳ nguồn nào.
Lê Văn Hà
Mục lục
Nội dung Trang
A -Đặt vấn đề. 1
B - Giải quyết vấn đề. 2
I. Cơ sở lý thuyết 2
II.Vận dụng
1. Một số bài toán mở đầu:
1.1.Sử dụng kỹ năng tách mẫu số chứa các nhân tử đồng bậc
1.2.Dùng kỹ năng tách mẫu số chứa các nhân tử khác bậc
2.Bài tập vận dụng nâng cao
2
3
20
2.1.Sử dụng kỹ thuật nhẩy bậc đối với hàm bậc 3
2.2.Sử dụng kỹ thuật nhẩy bậc đối với hàm bậc 4
2.3.Sử dụng kỹ thuật nhẩy bậc đối với hàm bậc 6
2.4. Sử dụng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp
gán các giá trị đặc biệt .
2.5.Kỹ thuật chồng nhị thức
4
6
8
9
14
III.Bài tập 15
C - Kết quả đạt được và bài học kinh nghiệm 17
Tài liệu tham khảo 19
21

d: x+2y=0