Hệ động lực ngẫu nhiên suy biến và áp dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ MỘI
* * %
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN
■ ■ ■ ■
1 * t Q tr 2n d Q tr 3 rd Q tr 4th Q tr
Tên để tài
HỆ ĐỘNG Lực NGẪU NHIÊN SUY BIẾN
■ ■ ■
VÀ ÁP DỤNG
■
(Random Degenerate Dynamical Systems and Their Applications)
Mã số: QT 01-01
Chủ trì để tài: NGUYỄN HỮU Dư
Các cán bộ tham gia đê tài:
GSTSKH Nguyễn Duy Tiến
GSTSKH Phạm Kỳ Anh
ThS Lê Công Lợi
CN Vũ Hải
S § 0 1 HQC Q I J O C G I A H Á N Ó (
TR U N G TÂ M TH Ô N G TIN THƯ VIÉ N
D I / z t f
HÀ NỘI 2002
NỘI DUNG
I. Chủ trì
II. Các cán bộ tham gia
III. Báo cáo tình hình thực hiện đề tài bằng tiếng Việt
IV. Báo cáo tình hình thực hiện đề tài bằng tiếng Anh
V. Tài chính
VI. Kết luận
VII. Tóm tắt kết quả nghiên cứu khoa học
IX. Phụ lục: Các bài báo liên quan đến đề tài

X. Phiếu đăng ký đề tài.
MÃ SÔ: QT 01-01
Hà Nội, ngày 10 tháng 04 năm 2003
BÁO CÁO KÊT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NCKH
CẤP ĐẠI HỌC QUổC Glà 2000-2003
■ ■
1. Tên đề tài (hoặc dự án):
HỆ ĐỘNG Lực NGẪU NHIÊN SUY BIẾN VÀ ÁP DỤNG
(Random Degenerate Dynam ical S ystem s and Their A pplications)
2. Mã số: QT 01-01
3. Cơ quan chủ trì để tài (hoặc dự án):
Đai hoc Khoa hoc Tư nhiên, ĐHQG Hà Nôi
■ ■ ■ ■ * >
4. Sõ cán bộ tham gia
Tên các cán bộ phối hợp nghiên cứu:
• GS TSKH N g u y ễ n D uy T iế n uv
• GS TSKH P hạm Kỳ A n h uv
• ThS Lê C ô n g Lợi uv
• CN Vũ Hải S âm uv
5. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:
• Để tài nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ sai phân ẩn
tuyến tính. Đồng thời chúng tôi cũng để cập đến tính chất động lực của của
hệ.
• Chứng m inh điểu kiện để tồn tại nghiệm bị chặn trên toàn trục số.
• C hỉ ra quá trình sai phản một hệ phương trình vi phản đại số chỉ số I sẽ dẫn
đến phương trình sai phân có chỉ số I, đổng thời nghiệm phương trình sai
phân sẽ hội tụ về nghiệm của PT vi phân khi bước sai phân dần đến 0.
6. Các kết quả đạt được:
• Đã hoàn thànnh 03 bài báo
1) Nguyen Huu Du and Dao Thi Lien, s tab ility Radii o f D ifferential Algebraic

Equations, Tạp chí Khoa học, Đ H Q G Hà Nội.
2) Nguyen Huu Du. O ptimal Control Problem for Lyapunov E xponent of
Random Matrix Products, Journal of Optimization Theory and
Applications, vol. 2, no 105(2000), pp. 347-369
3) L.c Loi, P.K Anh and N.H. Du. On Linear Im plicit Non-autonom ous
System s of D ifference Equations, Journal of Difference Equations and
Applications, Vol. 8, N012 (2002).
• Viết được 01 cuốn sách tiêu đề: Dự báo chuỗi thời gian, bản thảo đang trẽn
quá trình in ỏ NXB ĐHQG Hà Nội.
• Đang đào tạo 06 nghiên cứu sinh và 05 cao học
• Đã đào tạo 10 cử nhản toán - tin ứng dụng
7. Tình hình kinh tế của đề tài:
a) Số tiền được cấp: 16.000.000d
b) Tình hình chi tiêu
• Bồi dưõng báo cáo viên và viết sách
• Thuê chuyên gia nước ngoài (mời giảng Seminar):
3.000.000Ổ
4.000.000Ổ
+ Tiền phòng:
+ Tiền ăn và đưa khách đi Halong:
+ Bổi dưỡng thuyết trình
440.000Ổ
1.560.000Ổ
2.000.000Ổ
• Thuê chuyên gia trong nươc: 3 bài báo X 2.000.000Ổ = 6.000.000Ổ
• Sao chụp tài liệu
• Mua văn phòng phẩm
• Chi quản lý phí (4%)
1.000.000Ổ
1.360.000Ổ

640.000Ổ
Xác nhận của Khoa Toán-Cơ-Tin học
Chủ nhiệm Đề tài
PGSTS Nguyễn Hữu Dư
Xác nhận của Trường ĐH Khoa học Tự nhiên
REPORT ON PROJECT QT - 01 - 01
I. Title of Project: Random Degenerate Dynamical Systems and Their Applications
II. Code of Project: QT 01-01
III. Head of Research Group: Ass. Prof. Dr. Nguyen Huu Du
IV. Particippants:
V. Target and Contents:
The project focuses on two mains following problems
1) The solvability of Cauchy problem for implicit difference systems and the dynamic
property of the solutions. We have characterized the space of initial conditions such that
the solution starting from which exists. We give a sufficient condition ensuring the
existence of a bounded solution on whole R.
2) We also investigate some numerical methods to find approximate solutions and
realization this algorithm on the computer. We show that the discretization process of a
differential algebraic equation with index 1 tractable will leads to an implicit difference
equation wit index-1. Further, the solution of this difference equation converges to the
solution of initial equation when the step tents to 0.
(Please, refer to the attached report)
VI. Resume of main results
a) Three articles for this direction have been written and have been published on the
cited mathematical journals
1. Nguyen Huu Du Dao Thi Lien, stability Radii of Differential Algebraic
Equations, Tạp chí Khoa học, ĐHQG Hà Nội.
2. Nguyen Huu Du. Optimal Control Problem for Lyapunov Exponent of Random
Matrix Products Journal of Optimization Theory and Applications vol. 2, no
105(2000), pp. 347-369

3. L.c Loi, P.K Anh and N.H. Du. On Linear Implicit Non-autonomous Systems
of Difference Equations, Journal of Difference Equations and Applications,
Vol. 8, N012 (2002).
b) One book titled “ Time Series and Prediction" is in print at Publishing House
“Hanoi National University"
c) Training and education:
Suporting for
+ 06 Ph.D students
+ 05 master students
1. Prof. Nguyễn Duy Tiến
2. Prof. Phạm Kỳ Anh
3. Lecturer Lê Công Lợi
4. Lecturer Vũ Hải Sâm
Member
Member
Member
Member
+ 10 B.A students of applied mathematics
VII. Finance:
The project has been supported with a total grant 16.000.000VND. This sum is
delivered as follows:
1. Support for scientific research
2. Support for seminars and scientific activities:
3. Inviting a foreigner professor to give a lecture
+ Rental room fee: 440.000Ổ
6.000.000VND.
3.000.000D
4.000.000D
+ Accomodation
+ Lecture fee

4. Photocopy documents
5. Stationery and other
6. Administration fee (4%)
7. Total:
1.560.000Ổ
2.000.000d
1.000.000D
1.360.000D
640.000D
16.000.000VND
Hanoi 25 June 2003
Head of Project
Ass.Prof. Dr. Nguyen Huu Du
TÓM TẮT KẾT OUẦ NGHIỀN cửu KHOA HỌC
THỰC HIỆN CHO DỀ TÀI QT 01-01
NGUYỄN Hũll Dư
Faculty of Mathematics, Informatics and Mechanics,
etnam National University, 334 Nguven Trai, Thanh Xuan, Hanoi, Vietnam
Đề tài nghiên cứu dáng điệu tiệm cận ciia hộ phương trình vi-sai phân đại số cũng
ự ổn định của lược đồ sai phân hiện khi giải phương trình vi phân đại số. Để tài
nghiên cứu hài toán điéu khiến số mũ Liapunov cùa hệ sai phân chịu nhiễu Markov
1 ra một hệ "ổn clịnh nhất có thé”.
Được biết việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận. đặc biệt là dáng điệu khi thời gian
ra vỏ hạn đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết hệ động lực nói chung và hệ
lực ấn nói riêng. Biết một hệ động lực có ổn đinh hav không sẽ giúp chúng ta điéu
được đầu vào: kiém soái được đầu ra cũng nhu' tìm hiếu được xu huớng phát trién
ác quấn thế sinh học
Mòl troim nhữntỉ câu hói được đặt ra là hệ đang ổn định có tính chất bề vữna hay
s. Nói cách khác, với nhiều đu bé. liệu hệ còn có ổn định nữa hay không'.' Nếu với
I bé hệ còn ổn đinh lliì liệu ta tăng cường độ lớn đến mức độ nào thì nó sẽ khòne còn

nil nữa. Bài toán nà\ đã được một sô nhóm nghiên cứu như Hinrichesen. Piiicharđ.
an dưới tên gọi 1Ì1 tìm bán kính ổn định ciia hệ. Mục tiêu chúng tỏi là muốn phát trien
;ết quà này cho hệ phươns trình VI phân đại số.
Hơn nữa. nêu hê chịu nhiêu có một tác nhân điều khiến tham gia vào thì 1 lệ LI ta
ế lìm đưoc tiêu chuán đẽ chọn ra một hệ ổn định nliãl theo nghĩa nào đó hay khỏnc.
này dan cluniìí ta đen hài loán diều khiên sỏ mũ Liapunov cua hệ.
Bài toán tiếp theo là dối với hệ không giái được sò hạng có chi sò cao nhát theo
ố hạng còn lụi thì việc nghien cứu chúng giái quyết như thê nào. Chúng tòi dề cạp
'ái gọi là phươna trình sai phùn ấn và nghiên cứu bài toán Cauchv cua nó. Chi tiết
ông trình được tlnivèt minh nhu sau:
N KÍNH ÔN ĐINH CUA PliUƠNG TRÌNH SAI PHÂN ĐAI số
Tronc nhữmi lliãp niên qua. một loạt cacs cỏna trình dã đé cập đôn việc do dó bén
cùa mõt hộ. trong sỏ dó thì bán kính ổn dịnh là một Irons nlũmc vấn đê thời su nhất.
nh ổn định được đề xướng bới Hinrichesen and Pritchart. nó định nghĩa như là giá
nhất Ị) cúa chuẩn các nhiều sao cho hệ không còn ổn định.
Mặt khác, do sự phát triến của khoa học và kỹ thuật, những hệ SUN biến được đưa
hiên cứu kỹ lưỡng bán kính ổn định cúa hệ phương trình vi phân đại sô
AX'(t) - BX(t) = {). (1.1)
: ma trận hằng sô .4 va B (see [5. 8]). Bài toán này đã được nghiên cứu khi .4 là ma
lá ngược vì ta có thế chuyến nó vể phương trình vi phân thường X '(t) = hIX(t).
;ác cõng trình trong [9. 10. ]. bán kính ổn định có thế được đặc trưna bới hàm
1 (ti - M )~ l. Công trình này đề cập đến trường hợp ma trân /1 kỳ dị. Theo các
rình [5] và [12], chúng ta cấn phái nghiên cứu chi sỏ' của cặp {A .B }. Tuv nhiên
ín sẽ trớ nên phức tdp hơn nhiều khi mà các giá trị liêng cùa hệ có thế không phu
liên tục vão nhiều.
Việc tìm hiểu xem với những điểu kiện nào thì bán kính ốn định thực và bán kính
ill phức bằng nhau cũng là bài toán quan trọnc. Chúng lòi cũng chi ra được điéu
ú đẽ xẩv ra trường hợp nàv. Các kết quá chính nhân được như sau:
hiẻu có câu trúc
lý 1. a) BỚII kuili oil ílịnlì pluìí cua lié (III du'o'1 cho ho'i

f r iMip IK'(*)II]-1’
;(.s) = F(sA - Ề r lE.
h) Tồn tại ma trán tồi A sao clì(> I^IỊ = tie licit và clìi lie'll G'(.s)| ilụl dược ÍỊÌÚ
ì Iihííỉ trẽn /K.
() Nếu E — F = /. thì (ỉ( > 0 nếu và clìi licit iiìíHA. D ) — 1.
u hăng nhau cúa hán kính oil định thực và phức
lý 2. Giá sứ hệ ị 1.1) thoa mãn cái íỊÌá rlìict vé lìệ ilươiiíỊ và tron* R" ta ỉ lion chitlin
licit. Khi dó hán kinh Ổn dinh phiíc (ì(’ và hun kính Ổn định ihực đ-ỉỉ íríniíi nhan va
Ihhiii (IH í ỉ B ■ 1 ) |l 1.
I\ ĩ. He i l. ỉ) ihíonạ licit \'iì ill! licit / ’ > 0 Ví/ JJ la ma ĨIÚII M cllcz, lức lu uíl
'( phán IIÍ (lia s iluứiig nạoại nữ các phún nì h,j VỚI J)n > 0. Imno dó p — (ị)n ).
I\ 4. (ỉiá sít' fl.ll (hf(fìiạ và P(Ẳ — /3Ợ)_1 > 0: (^1-4 — > 0. Kill dó
1 > 0 với mọi I 0.
Đinh ly sau da\ cln rõ sự khác biẽt aiữa phưttniỉ trình y\ phán thươn« \a phuone
vi phân dại sò
3
V 5. Neil Iiirixsẹ ,- ||G'(.s)|| không dạt dược maximum lại một ÍỊÌÓ tri hữu hạn Cỉia c
= dn
’H U Ơ N G T R ÌN H SA I P H Â N Ẩ n
Chúng ta xét phương trình sai phân án
.4,= B„.rn + (Ị„ I I — 0.1,2 , (2.1)
đó ,4„, B„ e q„ € K"' là các ma trận đã cho với .4,, luôn luôn suy biến,
g trình này có thế xem là kết quá sai phân theo lược đổ Euler từ phương trình vi
lại sò
A(t).r' f C'(t).r = (2)
ỉ ta muôn tìm cách lách hệ phương trình này thành phương trình đại sô và sai phân
biệt.
rường họp hạng hãng
Ta luôn gia thiết rank.4„ = /• ( n G N ). tron2 đó ()</■< ììì. Giá thiết SVL) (khai
kỳ dị) cùa ma trân A„ là

4 I' y
‘ *tt 1 II 'n 4 li - I
,, là ma trận dườiiíi chéo \'ứi các giá trị kỳ dị cúa .A„ và ( v„ ! là các ma trận trực
é 6. Gia sứ mu irụu G„: — -4„ + VoỢ\'J_Ị kha ìiỊỂụch. Khi dó ta có cúc licn hự
'ax:
i/
II/
////
P n-i - G,11 -^11
C r l B „Q „ = V „^Q V ÌỈ
‘/W -, 0: Q„.ìC -lDllQ„ Vn-tQVn
IV A‘i'll (ì . I CÙI IU kliõn^ SIỈ\ hit'll vù I : ỉ - () \ \ f » 8 llù
/ ’, (),,\ ,,\ 1 (•' li ( ÙII^ la plicp c lucii lí’11 I\ < 1 A,, ]. Hon nữa
/ỉ.,-1 P „ ( ;;,i. ì Bn 1
nghĩa 7. Phương trình (2.1) gọi là có chi số 1 nếu
i/ ra n k A n = r (0 < V < m ).
ii/ Các ma trận G„ : = Ạ , -Ị- B t1V„QÌ^ỊịỊ không kỳ dị \’ới mọi n e N.
Bố đề sau chứng tỏ định nghĩa đúng đắn
8. Gia sử A„ = ư„E,A',Li = r„4-i7 là hai khai triển kỳclị cùa -4„. Scí
= I - Ọ „l'„r „ + 11 G„ l B„, trong đỏ G „: - A, + B„\7„ Q V a n d M k!' : =
1_(:
• = r r -0 - 1 B n - \ - i (0 < s < /; — 1 ).
í5
/ ’„ -
lý 9. Gia sứ pliiíoniỊ tiìnlì sui phán ấn có (III sổ 1, klìi dó
IỊ> II inli
- ' n . 1 = B„.rn + (Ịn (li £ N)
P(){.r () — T(|) 0
í/ó 7(1 £ K '" /í> rcv /('/, (V; í//í_v Illicit im hiệm
' . r ^ P ^ - Q V Ị G - 1^

■>'ị = 1 + G „ 1 fyt>) — \ ịQ VỈG y l(Ị[
' ■>,, = /».{.u;l,: 17 „ 4 -E r : ; J C a aA “ V +
s - \ ’„ Q ĩ','L iG „ l<in (" > 2)
///?í/. bicn diễn Iiủy doc lập với khai triến kỳílị m a -4„.
Đỏi \ ói hài toán hiên nhiéu điếm
í . 1 ./,+ í/, / - 0. n 1
1 V " , í \,ì, '
■!\ì “ 10 — / (T'u lf/0
r , í (.ì/;,1 To í G’-^/o ) - r , Ợ \ / G r l (/l
, ' 1
-r. Ạ (.u ",T() t V . ì / _.í;h ‘(/í + r;; Va- i) - V Q V ‘_ G -<Ị li = 2. // - 1,
A 1»
r„ - I ’n i M , , " pf'M r ^ M n '__k, _ X ’ k V +- G „ 117„ I ) -
A -0
„Ệ £ Rm là các véc tơ bất kỳ.
Đặt Xo : = P(ú X , : = (I = r ^ T ) ; x„ : = /Vì/;;:’, vàD = v;.'=() c, AV
ihiên. {X,},''=() là ma trận cơ bản của phương trình đầu A , x ,+1 — B tX , (/ = 0. n — ì).
I A, — là khai triển kỳ dị cùa .4,. với £, = diag(ơ)11, • • • . ơ\' .()■■■■ .0).
I, TI — ĩ). Ta nhớ lại rằng
M M . )
h chiếu lên KerE,. Hơn nữa. đặt Q„ : = YnQV,l. V'o: — I,p„ : = I - Q„ và
I-Q.
nghĩa 10. Bài toán biên nhiéu điếm gọi là chính quy nếu
A r/Ị I)\C '„ợ„ ) ỉ \( lỉ ỉ
ĩ 11. Tính chinh quy kháng phụ thuộc \ un chọn khai triển kỳ dị của A, (/ = [). tì — 1).
Iv 12. D im kiện (till vù du dê bai toán biẽn nlìicn diêm có níịtìiệm là lính chinh quy.
rường hợp hạng không hàng
t trường hợp khi hạng thoá mãn
Ker.4„_j c Ker.'4„
ừ Q„ là phép chiêu lên Keivl,, UI r „ : — ỉ - Q„.

Ể 13. Đicn kiện trẽn tiíơỉHỊ ihfơ)ìị>
PnPn-i = Pn
l\ 14. \ 'ới iììol vùi íliéu kiện lìào dó, tlii hài toán LỈicu kicn ban chill ạiai tíIlực với
'í' pliíii và líI t ó COIÌI’. tluíc sau tiax
■>'(.) ~ Ư — l Bịi).i'í) — Q()G'(7lLỊ{)
!'n (ỉ — QiXr7>1 ) { Ị~Ị p » -i-i('»-1- Bn-1 '(I—
í=0
I Ị Ị / ’,) 1 a : , \ ,!>’< \ ÁPkGí l<it, -1- (-h-£.k) + 1~-
A I) -II
(n > 1).
, £ E"' (/ ().//—!) là các vcc lo' bát kỳ
■;u K H IỂ N s ố M ũ L IA P U N O V c ú A Hfc S A I P H Â N
Bây giờ ta chuvến sang nghiên cứu tính ốn định của hệ sai phân. Giá sứ ma trận hệ
a hệ phụ thuộc theo một quá trình markov bị điểu khiên £(//)• tức là xác suất chuvến
'(n) phụ thuộc vào tham sô điều khiến tì. Ta muốn chọn điểu khiển sao cho hệ cang
nh càng tốt. Bài toán cụ thể như sau:
Giả sử (£,,) có hàm xác suất chuyến
huộc vào tham sổ (I.
Với mỗi điều khiến chấp nhãn được (//„) chúng ta xét phương trình sai phân
)'„) là dãy i.i.d và M ịt.Ị/) là các ma trận khá ngược cấp (ì X í7-matrices. s ỏ mũ
unov và sỏ mũ cốt you cùa .Y"(-J') được định nghĩa tươns ứns hời
P(n) = (/|,(«) : i ,j e I)
A || + | —
A'() = ./• e
H-TC II
AỊ.r = p — cssup A" [./■].
liêu chúng ta tìm điều khiến í/(rỉ) sao cho
A[.r] — p — essup A"[./•]. — > max .
1 lý 1 5 . Ln o ii I iio ii 1(111 l ạ i c h e n k l ì i c n lõ i IÍII m a r k o \
h ly 1 6 . Nếu lon lại ííiéu khiển markov L ^(- I i.s) sao cho

(1 = 1
lìini I. I ~ / //// It'll lụt I lìiưn hfo'i lot lút
ỂT LUÂN
Cac hướna million cứu tròn \ lia mới dược nhóm dúm 2 toi hat đâu. Hy vong trong
12 lai chiírui loi SC nliiin được kct uuá nliicu hon.
7
Chù trì để tài chân thành cám ơn Ban khoa học Công nghệ. Ban giám hiệu ĐHKHTN.
g Khoa học Công nghệ và khoa Toán - Cơ - Tin học đã giúp đỡ đế hoàn thành để tài
References
K. Anh. Multipoint boundary-value problems for transferable differential-algebraic equations. I - Linear
Vietnam ./. M a ll 25 (4) (1997) 347-358.
K. Anh. Multipoint boundarv-value problems for transferable differential-algebraic equations. II -
.ilinear case. \ 'ictnam J Math. 26 (4) (1998) 337-349.
. F. Cistjakov. Differential-Algebraic operators o f finite kernels. Nauka (1996). (Russia)
Mfirz. On lineal' differential-algebraic equations and linearizaiions. App/ Ninner Math 18 (1995)
292.
L. Campbell. Sin g ula r Systems o f Differential Equations. Pitman Advanced Publishing Program. San
cisco-London-Melbourne 1982.
. Dragan. The Asvinpioiic Behavior of the Stability Radius for a Singularly Perturbed Linear System.
national Journa l of Robiisl (111(1 Non line a r C o n trol. 8( 1998). 817-829.
I. Hanke, H I. Muhina anil R Marz. On Asymptotics in Case of Linear Index 2 Differential Algebraic
Itions. S IA M Ninner A na l . JI 1998).
I. Hanke. Asymptotic Expansions for Regularization Methods of Linear Fully Implicit Differential
■braic Equations, z Anal mid litre Aim . 13(1994). 513. 535.
I. Hinrichesen and A I Pritchard. Stability Radii of Linear Svsiems. Sys C tniir I A t . 7( 1986).4-10.
D. Hinrichescn and A I Pritchard. Stahilit> Radii for Structured Perturbations and the Algebraic Riccaii
IIions Lineal Sysicms. .S'v.v ('<11111 Let . S( 19861.105-11 3.
D. Hinrichscn aiul N.K. Soil. SiahihiN Rcklii of Positive Discreie-Time Sysiems under Affine Paiameici
.li bations. In n I national lo iin u il ('! R c biisi anil Noiih nciii Coniro l. S( 1998). 1169-1188.
R. Maiz. Extra-ordinal} Differential liquation . Attempts 10 an Analysis of' Differential Algebraic Sysiem.

’less II! Miiilienuiiii
.V .
16X( 1998). pp. 313-334.
TL. Quill. B. Bemhardsson. A. Rantzer. E.J. Davison. P.M. Young and J.c. Doyle. A Formula for
lpuiation of the Real Structured Stability Radius. Antoinaiica. 31 (1995). 879-890.
PHỤ LỤC
■ ■
CÁC BÀI BÁO KHOA HỌC
■
LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI
Jou rn a l o f D ifference Equations and A pplica tions,
2002 V ol. 8 (1 2 ), pp. 1085-1105
ir & Francis
frtncn Croup
On Linear Implicit Non-autonomous
Systems of Difference Equations
L.c. LOI, N.H. DU and P.K. ANH*
Faculty of Mathematics, Mechanics and Informatics, Vietnam National
University, 334 Nguyen Trai, Thanh Xuan, Hanoi, Vietnam
(Received 11 July 2000; Revised 10 April 2001; In final form 27 April 2001)
This paper deals w ith the solvability o f initial-value problem s (IVPs) and multipoint boundary-
value problems (M PB VPs) for linear im plicit non-autonomous systems o f difference
equations.
Keywords'. Linear im plicit difference equations (LIDEs); Index of LIDEs; Singular-value
decom postions (SVD s); IVPs; M PBVPs
19 9] M athem atics S ubject Classifications'. 39A11; 39A 10
*Coưesponding author. Tel.: +740-593-9 479. E-mail:
ISSN 1023-6198 pnnl/ISSN 1563-5120 online © 2002 Taylor & Francis Lid
DOI: 10.1080/1023619021000053962
LINEAR IMPLICIT DIFFERENCE EQUATION

1089
Now we shall prove Eq. (9). Instead o f Q in Gn, substituting Eq. (12), we
obtain:
VnQVTn+xG-n 'Gn = VnQVTn+iGn \ A n + BnVnQVTn+x)
= VnQVTn+ìGn 'A n + VnQVTn+ĩG -'B n(ỸnVTn)
x(V„Q VTn)VnQVTn+l
= VnQ Vrn+iG ;'A n + VnQVTn+{{Gn xBnQn)VnQVTn+i
Using Eq. (5), we get VnQVỊ+lG ~lAn = VnV^+iQn+iPn+l = 0. Further,
by virtue o f Eq. (6), we have VnQVTn+ỉ(G ;xBnQn)VnQVTn+, =
(VnQVTn)VnỌVTn+l = QnQnV y n+J = Õ n Ỹ X + l = VnQVTn+
Thus VnQVTn+xGn ]Gn — VnQVl+{, which means Eq. (9).
Finally, to prove Eq. (11), we first note that G ~lịỡ n-1 = G_Ji(A„-i +
Bn-\V n-\Q V Tn). From Eqs. (5), (6) and (12), it follows that G ~J|Ỡ „-1 =
pn + VnQVl_ J Vn-1 QVTn. Using the last relation, we obtain Pn . Gn-1 =
PnPn + PnVnQVl-ỉVn-iQV^- Lemma 1 ensures that Qn is a projection
onto KerAn-i, therefore QnQn — Qn and P„Q„ = 0. Further, PnPn =
Pn(I -Q n ) = Pn and besides, PnVnQVTn_ xVn- XQVTn = PnQnVnVTn_,
V„-iQV* = 0. Thus, P„G~ixGn-\ = p n, hence P „ G j, = P„G;1V The
proof of Lemma 2 is complete. □
Lemma 2 guarantees that the following definition does not depend on the
chosen SVDs of A„.
D e f in itio n 1 The LIDE (Eq. (I)) is said to be inde.x-1 if:
(i) rankAn — r(0 < r < m).
(ii) The matrices G„ — An + B nVnQ V^ J are non-singular for a ll n E. N.
Lemm a 3 Let An = ư„ỵ„VTn+x = ŨnX nV^+ỉ be two SVDs of A n. Set Pn ■■=
I - where Gn A n + BnVnQ v l+i and in '" '—
M*;1 = n iU S T -i - A - i- i i O s * s „ - I).
Then
P n= P n (13)
(14)

1086
L.c. LOI et ai
1 IN TR O D U C T IO N
Linear implic t difference equations (LIDEs)
AnXn-ị-\ Bnxn t <Ịn
(l)
where An,B n E IRmXm, qn E IRm are given and the matrices A„ are singular
for all nẼN, arise in many applications and can be considered as
discretizations of linear differential-algebraic equations (DAEs)
Marz [2] proposed an unified approach to linear DAEs (Eq. (2)) under an
assumption on the smoothness of KerA(/) w.r.t. t.
In this paper, we develop some concepts and techniques of [2] for
discrete systems. The paper is organized as follows: In section 2, using
SVDs of An, we define the notion of index of LIDEs for the case where
rankAn = const. Then we study the solvability of IVPs and MPBVPs for
index-1 LIDEs. In particular, some discrete analogues of results on
MPBVPs for linear DAEs [1] are obtained. Section 3 concerns with the
solvability of LIDEs in non-constant-rank cases, where KerA„ are nested or
rank/4n are non-decreasing. Finally, some illustrative examples are given in
section 4.
Throughout this section, we assume that rank/4n = r (n E N), where 0 <
r < m. Consider a SVD of A„:
where ỵ„ is a diagonal matrix with singular values: ơ [nl) > ơ^2) > >
( /r) > 0 on the main diagonal, i.e. = diagíơ^0, „ o^r),0, .,0) and
ơ„, Vn+] are orthonormal matrices, i.e:
A(t)x! + C{t)x = q(t)
(2)
2 TH E C O N S T A N T -R A N K C ASE
(3)
u\v. = u,vl = v„r+,r „ +, = vMlvl+, = I

LINEAR IMPLICIT D IFFERENCE EQUATION
1087
Here I and Ik (k 9^ m) denote the m X m and k x k- identity matrices,
respectively. Set
/0 0 \
<2 = ( Q l j; v0:=/; Qn -= V nQVTn - pn - 1 - Qn
Obviously XnQ = 0 and Qn+1 is a linear projection onto KerAn.
Lemma 1 Suppose that the matrix Gn •■= An + B„VnQ V r+ị is non
singular. Then there hold the follow ing relations:
(i) Anpn+1 = An (4)
(ii) p „+1 = G ~]A n (5)
(ill) G~xBnQn = Vn+lQVTn (6)
Pn+lGn xBnQn = 0; Qn+iG~lBnQn = Vn+iQVTn (7)
(iv) if Gn - 1 is also non-singular and Pn ■■= I — QnVnVl+ịG~]Bn then
Qn ■— I — Pn = QnVnVTn+]Gn ]Bn is a projection onto KerAn
J.
Moreover
PnG~ixBn-\P n-i = PnG ~lxBn-\ (8)
Proof From the relations AnQn+ỉ = UnI nVTn+l Vn+iQVỊ+ì =
Unỵ nQVỊ+] = 0, it follows Eq. (4). Noting that GnPn+1 = (A n +
BnVnVTn+lQn+\)Pn+\ = Anp n+1 and taking into account Eq. (4), we get
G„Pn+1 = A n, which implies Eq. (5). Since (G„ — An)Vn+] = BnVnQ, it
follows that BnVnQ VTn = (G n - A n)Vn+lV Tn, therefore ơ ; 1 BnQn = (/ -
G ~lA n)Vn+lVỊ. By virtue o f Eq. (5), we have Gn lBnQn = Qn+ \Vn+\VỊ =
Vn+\Q VTn . Thus Eq. (6) is proved. Clearly, relations (7) follow immediately
from Eq. (6). Finally, observe that PnG^^Bn-xQn-x Vn-1 VTnG~}.xBn-x =
PnVnQ V t-iVn -iVl Gn-\Bn-i = PnQnG~lịBn- Ả. On the other hand,
Pn Qn = Q n - Qn Vn V T„+, ơ ; 1 Bn Qn = Qn - Qn Vn Vj+ịV n+lQVTn = Qn -
Ql = 0. Thus, p n Gn _! ] Bn - ] p n - I = - P»G~ni xBn- , Qn-xVn-X
X VTnG-nl xBn- x = PnG~}_xBn- X - P n Q n G ^ B n- X = P „ G ; V " - u this

means Eq. (8). Noting that An-\Qn = A„-iQn VnVl+lG ~lBn = 0 and
using Eq. (6), we get (jl = QnV „ ỵl+ỊG ~l BnQnVnVTn+lG~l Bn =
QnVnQVTn+xG ; xBn = VnQ V Tn+l<g^Bn = Qn. Lemma 1 is proved. □
LINEAR IMPLICIT DIFFERENCE EQUATION
1089
Now we shall prove Eq. (9). Instead o f Q in Gn, substituting Eq. (12), we
obtain:
Using Eq. (5), we get VnQVl+iGn lAn = VnVl+iQn+iPn+] = 0. Further,
by virtue o f Eq. (6), we have V nQVTn+x{G~' BnQn)VnQVTn+J =
(VnQ VTn)VnQVTn+i = QnQn9nVTn+J = QnVnVTn+l = VnQVTn+l.
Thus VnQVl+iG~'Crn = VnQVTn+J, which means Eq. (9).
Finally, to prove Eq. (11), we first note that G~1 ] Ỡ„ -1 = G~1 ] (An-1 +
Bn-\V „-\Q V Tn). From Eqs. (5), (6) and (12), it'follows that G~1 ịCin-\ =
Pn + VnQV7n_ , 1 QVTn . Using the last relation, we obtain PnG ~l! G„-1 =
PnP„ + pnvnQV],- \ ỹn -\Q ỹT„- Lemma 1 ensures that Qn is a projection
onto KerAn- h therefore QnQn = Qn and PnQn — 0 Further, PnPn =
P n U -Q n) = Pn and besides, PnVnQVTn_, vn. xQVTn = PnQnVnVTn_ x
Vn-\QVl = 0. Thus, PnG .l :G„-1 = p n, hence P„G~1 J ='PnWnl v The
Lem m a 2 guarantees that the following definition does not depend on the
chosen SVDs of A„.
D e f in itio n 1 The LIDE (Eq. (1)) is said to be index-1 if:
(i) rankAn — r(0 < r < m).
(ii) The matrices Gn ■- An + BnVnQ VTn+J are non-singular for all n E N.
Lemma 3 Let An = UnXnVTn+i = UnXnvl+l be two SVDs of A„. Set p n
I - QnVnVTn+iG ; lBn, where Gn := A n + BnV„QVTn+l and : =
VnQVTn+iG ^ G n = VnQVTn+]G ; l(An + BnVnQVTn+i)
= VnQVTn+ỉG~n xAn + VnQVTn+iG~n lBn(VnVTn)
x ( V nQVTn)VnQVTn+l
= V nQVTn+ A n + VnQVTn+](Gn 'BnQn)VnQVTn+ỉ
proof of Lemma 2 is complete.

□
(13)
(14)
1088
L.c. LOI et aỉ.
L e m m a 2 Let An = ư „ỵnVTn+Ị = Ũ nl n v ‘n+Ị be two SVDs of A„. Then
(i) The matrices Gn ■■= A„ + B„VnQVỊ+] and Gn := A„ + BnVnQVTn+ỉ are
simultaneously non-singular.
(ii) If Gn is non-singular, then
VnQvT„„a-' = ( 9 )
and
Ka~l, = p„c;.', (10)
where Pn is defined in Lemma 1.
Proof (i) Denote by ỷ n the subspace {£: Bnvnv l+l£ e ImAn} and
suppose that Gn is non-singular. For any X E ,ỹ n n KerAn there exists
z EE IRm such that BnVnVTn+xx = Anz, and therefore, Qn+\G~XBnVnVTn+ix =
Qn+\G~]Anz. Using Eq. (5), we get Qn+]G~:Anz = Qn+\Pn+\Z = 0. This
means
Qn+\G~lBny = 0 (11)
where y — VnV^+lx. On the other hand, since X E KerAn, there exists
ÍER " such that X = Qn+i£, hence y = $nVTn+xQn+\C - VnQVl+i£
Further, An-1 y = ữn-1 Xn-1 VnQ ỸTn+, £ = 0, therefore y e KerAn- 1
and y = Q„TỊ fo r some TỊ E IRm. By virture o f Eqs. (7) and (11), we get
Qn+iG~xBnQnĩ) = Vn+xQVỊtV = 0. From í/ỉể /<35/ relation, we find that
QV"T) = 0, a/u/ hence, VnQV^ri = 0, or QnT) = 0. It implies that X =
V„+ i V ^ = V„+1V^
QnV = 0 for any X E ỹ 7,, n KerA„. 77n's means that
ỹ n n KerA„ = {0}. Now the further proof o f part (i) follows the same line
as the proofs given in Ref. [2], Indeed, suppose Gnx = 0 then
BnVnVTn+iQn+\x = — Anx (E ImAn, therefore Qn+\X E ỹ n. On the other

hand, Qn+\X £ KerAn, hence Qn+ \X G ỹ n n KerAn = {0}. It follows
that Anx = 0, and therefore, X = Qn+\X = 0. Thus Gn is non-singular
either.
(ii) First we note that both Qn and Qn are projections onto KerAn-j,
therefore QnQ„ = Qn, i.e. V nQ VTnVnQVTn = ỹnQ ỹ Tn■ From the last relation,
it follows that
Q = V Tn VnQVTn VnQ (12)
LINEAR IMPLICIT DIFFERENCE EQUATION
1089
Now we shall prove Eq. (9). Instead o f Q in G„, substituting Eq. (12), we
obtain:
v „Qv I+,g ; ' g , = v nQ v Tn+:a;'(A „ + b X q v t„+i)
= v „q v I+ig ; ' a „ + v„Q vTn+,c ; 'B n( W T„)
x (V ,Q V l)V nQVrntt
= K Q v ;+,G;'A„ + V„QVl+,(E „‘B„Q„)V„QVl,
Using Eq. (51 we gel KẾ!VỊ+1G„ 'a . = v„v^+l&,+!/>„+! = 0. Further,
by virtue o f Eq. (6), we have v„QV’n7+ ,(C„ ' 1 =
(V„QVl)V„QVl+i = Q „ Q ,v y n±] = Ù .Ỹ X + , - K Q V ^ r
Thus VnQ V ^ iGn lGn — V„QVI+1, which means Eq. (9).
Finally, to prove Eq. (11), we first note that G~]ịGn-ị = Gn] i(An-i +
Bn-\Vn-\Q VTn). From Eqs. (5), (6) and (12), it follows that G~lịGn-1 =
Pn + VnQ^n- 1 ỹn- 1 ■ Using the last relation, we obtain PnG~l J Gn -1 =
P„p„ + PnVnQVTn_x ^n-\Q V rn - Lemma 1 ensures that Qn is a projection
onto KerAn-j, therefore QnQn = Qn and PnQn — 0. Further, P„pn =
P n(I-Q n ) = Pn and besides, Pn V nQVTn-x v n- xQVTn = PnQnVnVTn_ x
Vn-iQV* = 0. Thus, PnG ;l{Gn- ] = p n, hence PnGn \ = PnGn The
proof o f Lemma 2 is complete. □
Lemma 2 guarantees that the following definition does not depend on the
chosen SVDs of An.
D e fin itio n 1 The LỈDE (E q. (1)) is said to be index-1 if:

(i) rankAn — r(0 < r < m).
(ii) The matrices Gn •= A„ + BnVnQV„+l are non-singular for all n E N.
Lemma 3 Let A„ = u nỵ „ v l +ì = UnXnVTn+x be two SVDs o fA n. Set p n •—
I - QnVnVT„+[G~'B„, where G„ = A„ + BnVnQ V ^, and M1,"1 =
n ‘= o G ;J,- A - I - ,- ; M ì ’ = n í- o õ .“- , -,■«„-■-/«> £ * £ « - ! ) .
Then
P n= P n (13)
(14)
1090
L .c. LOI el ai
Proof Relation (13) follows directly from Eq. (9) and the definitions of Pn
and p„. Further, using Eq. (8), we get
PnM\n) = P ' t l P n -i G ^ . , B „ ~ (15)
1= 0
P n tf? = P n flP n G ;^ ,Bn (16)
1=0
Applying Eq. (13) and taking into account Eq. (JO), we have =
P„-iOnl I _j = Pn-iC~l. Finally, combining the last relation with
Eqs. (13), (15) and (16), we come to Eq. (14), as was to be proved. □
Now we are ready to consider IVPs and BVPs for LIDEs.
T heore m 1 Let LIDE (Eq. (])) be index-1. Then
The 1VP:
A„xn+Ì = Bnxn + qn{n E N) (17)
PQ(xữ - *o) = 0 (18)
where Xo £ IR",Xm is a given vector, has a unique solution
' X q = P qX q - Q V Ị G q ]q o
X, = P\(Gq XBqXq + G -'q 0) - V ,Q VT2G ~xqi
' = P M " ! , t o + £ w M i a - . c , '«* + (19)
- v „ e í 'ỉ +|G ,ry <ii 2 2)
Moreover, the solution formula ị 19) is independent of the chosen SVDs

o f A„.
Proof Multiplying both sides of Eq. ị 17) from the left by Pn+\G ~l and
Qn+iGn ], respectively, and applying Eqs. (5)-(7), we come to the
following system:
' pn+\xn+x — Pn+iG~]BnPnxn + Pn+\Gn ]qn (20)
Qn+\Gn ]BnPnxn + Vn+] Q VTnxn + Qn+\Gn xqn — 0
(21)
LINEAR IMPLICIT DIFFERENCE EQUATION
1091
Further, multiplying both sides of Eq. (21) from left b\ VnV7n+r we obtain
VnQVTn+ịG ~lBnPnxn + Qnxn + VnQVTn+{G -'q n = 0
Denoting p„x„ by un, from the last relation, we find xn = p nx n + Qnxn —
(I - VnQVTn+ỉG-n lBn)un - VnQVTn+ỊGn 'q„. Thus,
xn = Pnun - V nQVTn+xG ^ q n (22)
Observing that un is a solution of the explicit system of difference
equations
( un+1 = Pn+iG~]Bnun + Pn+\G~xqn
: «0 = ŨQ := PQX0
we get
u„ — J J ^ V ,Cỉn \- fi n - 1-,-So
;=0
+ pnGn\ xqn-I •
Using the last relation and Eq. (22) and arguing as in the proof of the
Lemma 3, we come to formula (19). Now suppose, we are given two SVDs
o f An: An = Unỵ nVTn+l = ŨnỵnỹTn+v Applying Eqs. (9), (10), (13) and
(14), we get
xn — P„Mịn_ ỉXQ + Pn'y ^ ^n -k-i^k+ xG ^ (jk + PnGn_\qn-\
k= 0
- V„QVl+lG;'q„
= PnM'n- i + Pn ^ 1 - ĩ I 1 *-1'* *7* jỢ/i-I

k=0
- p . e C . c ; 1*
n-2 n — k- 2
“E II
Ắr=0 i=0
r/7/í means that the solution formula (19) does not depend on the chosen
SVDs. Theorem I is proved.
1092
L .c LOI el al.
The next problems we shall be concerned with are frequently referred to
as MPBVPs:
AịXẫ+] = B,x, + qt i = 0, n — 1 (23)
= y (24)
£ c '* ' =
I 1=0
Suppose that Eq. (23) is an index-1 LIDE. Proceeding as in the proof of
Theorem 1, we get the following solution formula for Eq. (23):
x o ^ p o x o - QV]G~ A4 0, Xì = P ,( M {ữ])xQ + Gũ Xqữ) - V ìQVT2G-ì ]q u
X, = p, + 'Y ^M {!-k-2Gk V +
- ViQVĨ+ìG Ị'q iự = 2ìĩr = l),
Xn = Pn( K - 1*0 + 2 Mn-k-2^* ‘ft + < V -‘ , qn . ) + QnC
V *=0 /
where JCo- £ ÉE [Rm are arbitrary vectors.
Put x 0 -= p 0; X, := P.m ỊỊLiU = X n ■■= PnM (nnl , and D =
E iU C ,* ,. Obviously, {X, }"^0 are fundamental solutions of Eq. (23), i.e.
AiXi+1 = £,X((z = 0,rt"=l). Let A, = Ui2iVj+i be a SVD of A„ where
2, = diagicr/^, • • •, <7^ , 0, • • •, 0)(i = 0, n — 1). We recall that
Q =
0 0
0 lm-r

is a projection onto KerS,. Further, set Qn ■-= VnQVTn, v 0 ~ I ,p n ~
Ỉ - Qn and p - / - Q.
In what follows, we shall deal with the (m X 2m) matrix (D\CnQn) with
colum ns of D and CnQn, and the (2m X 2 m ) matrix
R : =
p 0
0 Qn
LINEAR IMPLICIT DIFFERENCE EQUATION
1093
D efinition 2 A MPBVP for index-1 LIDE is said to be regular if the
following regularity condition is valid:
The coưectness of Definition 2 is guaranteed by the following lemma.
Lemma 4 The regularity condition does not depend on the chosen SVDs of
Aị (i = 0, n — 1).
Proof Let A, = ữ ,ỵ,vf+ì be another SVD o f A, (i = 0 ,n — 1). For the last
SVDs, we define D = £"= 0C<*<> *0 := Pq'X, ■■= P M 'l , (i = 1 ,ĩT=rĩ);
Xn ], where Pn •— I — Qn and p,, ] are defined as in Lemma 3.
This Lemma also ensures that Xq = pQ — Pq — Xo; Xj — =
PjNt; , = % (i_= 1,n - I). Besides, x n = PnM^_J = Pn 'K K -1 =
PnPnM^ - 1 = 1- from /7ỉ£ /ứíí relation we have, D = ^ n=0C,X, =
X7=o - x„) = D + Cn(Pn - Pn)M ^l,. Now suppose that
Eq. (25) is valid. Let (jcq, ỆT)T G Ker(D|C„<2„) then
Observing that Qn — QnQn, from Eq. (26), we have Dxo + C„(Pn -
p n)A^iT-i**) + CnQnQnỆ = 0. Since An-\P n = An-\ = An-iP n, it follows
An-\(Pn - P n ^ n -l*0 = This means (Pn - Pn)^n- 1*0 = QnCfor some
Ị, ỄE [Rm. Thus Eq. (26) is equivalent to the relation Dxq + CnQn(£ +
QnO = 0, hence (Xq , (£ + QnQT)T Ker(D|C„í2rt) = KerR. The last
inclusion ensures that Po*o ~ 0 and Q„(£ + QnO — 0- Using relations
(7), we find X'Po = X'Po = P ịM ị^P o = = Xi = X, f/rg
Jfl/ne relations XnP0 = PnM("l, p 0 = PnPnM%l, />0 = PnPnM{" , =

/ > X -1 = ^ - 1 = ^ 0 = =
X ]”=o CịXịPoXo = 0. From Eq. (26), it follow s that CnQnệ = 0 . Since
QnQn = õ* and Qn(£+QnẸ) = 0, we ger £?„£ - therefore
CnQnC — 0- í/ỉe of/ier /ỉứní/, ŨÍ XjjCQ = XiPfro = 0(i = 0,«), we find
that Dx0 + CnQn£ = 0. This means (xq, £t )t G Ker(D|Cn(2n) = Ker/?,
/ỉence j2n^ = X _ Ôní = 0, therefore ự Ị , ỆT)T G Ker/?, where
Ker{D\C„Qn) = KerR
(25)
Dxq + CnQnị — 0
(26)