Tải bản đầy đủ (.pdf) (4 trang)

Chuyên đề 2: Hệ phương trình đại số (Lý thuyết và áp dụng)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (88.97 KB, 4 trang )

Chuyên đề 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

a. Dạng :

(1)
111
22
2
ax by c
ax by c
+=

+=


Cách giải đã biết: Phép thế, phép cộng ...
b. Giải và biện luận phương trình : Quy trình giải và biện luận
Bước 1: Tính các đònh thức :

1221
22
11
baba
ba
ba
D −==
(gọi là đònh thức của hệ)


1221
22
11
bcbc
bc
bc
D
x
−==
(gọi là đònh thức của x)

1221
22
11
caca
ca
ca
D
y
−==
(gọi là đònh thức của y)
Bước 2: Biện luận
• Nếu thì hệ có nghiệm duy nhất
0≠D









=
=
D
D
y
D
D
x
y
x

Nếu D = 0 và 0

x
D hoặc
0≠
y
D
thì hệ vô nghiệm

Nếu D = D
x
= D
y
= 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm

Ý nghóa hình học: Giả sử (d
1

) là đường thẳng a
1
x + b
1
y = c
1

(d
2
) là đường thẳng a
2
x + b
2
y = c
2

Khi đó:
1. Hệ (I) có nghiệm duy nhất
(d
1
) và (d
2
) cắt nhau

2. Hệ (I) vô nghiệm

(d
1
) và (d
2

) song song với nhau
3. Hệ (I) có vô số nghiệm

(d
1
) và (d
2
) trùng nhau

Áp dụng:
Ví dụ1: Giải hệ phương trình:



=+
−=−
234
925
yx
yx
Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình :



=+
+=+
2
1
myx
mymx

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình :



=+
=+
1
32
myx
ymx

9
Xác đònh tất cả các giá trò của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa x >1 và y > 0

(2m0)− <<

Ví dụ 4: Với giá trò nguyên nào của tham số m hệ phương trình
42mx y m
xmym
+ =+


+=

có nghiệm duy nhất
(x;y) với x, y là các số nguyên.
(
m1m3= −∨ =−
)
II. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn:

1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn:
Ví dụ : Giải hệ:



=−+
=+
522
52
22
xyyx
yx
Cách giải: Giải bằng phép thế
2.
Hệ phương trình đối xứng :
1.
Hệ phương trình đối xứng loại I:
a.Đònh nghóa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau
thì hệ phương trình không thay đổi.
b.Cách giải:

Bước 1

10
: Đặt x+y=S và xy=P với ta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P.
2
4S≥ P
Bước 2: Giải hệ mới tìm S,P . Chọn S,P thoả mãn .
2
4SP≥

Bước 3: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình :
( đònh lý Viét đảo ).
2
0XSXP−+=

Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên nếu (x
0
;y
0
) là nghiệm của hệ thì (y
0
;x
0
) cũng là nghiệm của hệ
Áp dụng:
Ví du 1ï: Giải các hệ phương trình sau :
1) 2)



=++
=++
2
4
22
yxxy
yxyx
22
7
331

6
x yxy
xy xy
++ =−


+ −−=

3) 4)





=+
=++
30
11
22
xyyx
yxxy


=+++
=+
092)(3
13
22
xyyx
yx

5) 6)





=+
=+
35
30
33
22
yx
xyyx





=+
=+
20
6
22
xyyx
xyyx
7)






=−+
=+
4
4
xyyx
yx
8)



=+
=+
2
34
44
yx
yx
1) (0;2); (2;0) 2)
(2; 3),( 3;2),(1 10;1 10),(1 10;1 10)−− + − − +
3)
(

1;5),(5;1),(2;3),(3;2)
4)
10 10 10 10
(3; 2), ( 2;3),( 2 ; 2 ),( 2 ; 2 )
22 2
− − −+ −− −− −+

2
5)
(
6)
(1

2;3);(3;2) ; 4), (4;1)
7) (4;4) 8)
(1 2 ;1 2 ), (1 2 ;1 2 )−+ +−

Ví dụ2 : Với giá trò nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm:





−=+
=+
myyxx
yx
31
1






2. Hệ phương trình đối xứng loại II:
a.Đònh nghóa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau

thì phương trình nầy trở thành phương trình kia của hệ.
b. Cách giải:


Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số.

Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ .

11

Áp dụng:
Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:
1) 2) 3)
22
22
23
23
xy y
yx x

+= −


+= −


2
2
x






=+
=+
yxyy
xxyx
32
32
2
2
23 2
23 2
32
32
yx x
x yy

y
= −+


= −+



4)
2
2

1
3
1
3
xy
x
yx
y

+=




+=


5)







+
=
+
=
2

2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
y
y

III.

Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai:


a. Dạng
:


22
111 1
22
222 2
ax bxy cy d
ax bxy cy d


++=
+ +=




b.

Cách giải
:

hoặc
y
t
x
=
. Giả sử ta chọn cách đặt
x
t
y
= .
x
t
y
=
Đặt ẩn phụ
Khi đó ta có thể tiến hành cách giải như sau:

Bước 1:
Kiểm tra xem (x,0) có phải là nghiệm của hệ hay không ?

Bước 2:
Với y 0 ta đặt x = ty. Thay vào hệ ta được hệ mới chứa 2 ẩn t,y .Từ 2 phương trình ta

khử y để được 1 phương trình chứa t .
Bước 3:
Giải phương trình tìm t rồi suy ra x,y.

Áp dụng:
Ví dụ:
Giải các hệ phương trình sau:
1) 2) 3)
22
22
32 1
252
xxyy
xxyy

++=


++=


1
5
5






=−−
=−−
495
5626
22
22
yxyx
yxyx
32
32
23
67
xxy
yxy

+=


+=


IV.

Các hệ phương trình khác
:
Ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
a.


Đặt ẩn phụ
:
Ví dụ
: Giải các hệ phương trình :
1) 2)

3)



=++−+
−=+−
6
3
22
xyyxyx
yxxy


=−−
=−−+
36)1()1(
12
22
yyxx
yxyx
22
32 23
5
6

xyxy
xxyxyy

−+−=


−−+=


b. Sử dụng phép cộng và phép thế
:
22
22
x y 10x 0
x

12
Ví dụ:
Giải hệ phương trình :
y 4x 2y 20 0

+− =


++−−=



c.


Biến đổi về tích số
:
Ví dụ :
Giải các hệ phương trình sau:
1) 2) 3)





+=+
+=+
)(3
22
22
yxyx
yyxx





++=+
+=+
2
77
22
33
yxyx
yyxx






+=
−=−
12
11
3
xy
y
y
x
x




--------------------------Hết------------------------

×