Chuong 3Lý thuyết điều khiển nâng cao

MônMôn hchc
LÝ THUYT IU KHI

N NÂNG CAOLÝ THUYT IU KHI

N NÂNG CAO
Gi iê
PGS TS
H  h Thái H à
Gi
ng v
iê
n:
PGS
.
TS
.
H
u

n
h

Thái

H
o
à
ng
B môn iu Khin T ng
Khoa in – in T

ihc Bách Khoa TP HCM
i

hc

Bách

Khoa

TP
.
HCM
Email:
Homepage: />15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 1
ChngChng
33
    
ChngChng
33

I

U KHI

N T

I U

I


U KHI

N T

I U
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 2

Giithiu
NiNi dung dung chngchng 33

Gii

thiu
 Ti u hóa tnh

Ti u hóa đng và phng pháp bin phân

Ti

u

hóa

đng

và

phng

pháp

bin

phân
 iu khin ti u liên tc dùng phng pháp bin
phân
phân
 Phng pháp qui hoch đng Bellman

iukhinti u toàn phng tuyn tính LQR

iu

khin

ti

u

toàn

phng

tuyn

tính

LQR
 c lng trng thái ti u (lc Kalman)


iukhinti uLQG

iu

khin

ti

u

LQG
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 3
GII THIUGII THIU
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 4

iukhinti u:xácđnh lut Kchoh thng đng
Gii thiuGii thiu

iu

khin

ti

u

:

xác

đnh

lut

K

cho

h

thng

đng

cho trc sao cho ti thiu hóa mt ch tiêu cht lng.

Kti u đc phát trintrênc s toán hc: phng

K

ti

u

đc

phát

trin

trên

c

s

toán

hc:

phng

pháp bin phân (Bernoulli, Euler, Lagrange, Weiertrass,…)
 T nhng nm 1950, K ti u phát trin mnh m và tr
thành mt lnh vc đc lp.
 Phng pháp quy hoch đng do Richard Bellman đa
tth iê 1950
ra
t
rong
th
p n
iê
n
1950
.
 Nguyên lý cc tiu Pontryagin do Lev Pontryagin và
các đng s đa ra trong thp niên 1950
các

đng

s

đa

ra

trong

thp

niên

1950
.
 Bài toán điu chnh toàn phng tuyn tính và lc
Kalman do Rudolf Kalman đa ra tron
g
nhn
g

15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 5
g g
nm1960.
Có hi bài t á đi khi ti tù th
Phân loi bài toán điu khin ti uPhân loi bài toán điu khin ti u

Có
n

hi
u
bài

t
o
á
n
đi
u
khi
n
ti
u,
tù
y
th
eo:
 Loi đi tng điu khin

Minthi gian liên tc hay rirc
Min

thi

gian

liên

tc

hay

ri

rc
 Ch tiêu cht lng
 Bài toán ti u có ràng buc hay không
 K ti u tnh: ch tiêu cht lng không ph thuc thi
gian
 K ti u đng: ch tiêu cht lng ph thuc thi gian
 Bài toán chnh toàn phng tuyn tính (Linear
Quadractic Regulator
LQR)
Quadractic

Regulator

–
LQR)
 Bài toán điu khin ti u H
2
 …
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 6

Trc khi máy tính s ra đich có th gii đc
ng dngng dng

Trc

khi

máy

tính

s

ra

đi
,
ch

có

th

gii

đc

mt s ít bài toán điu khin ti u đn gin
 Má
y
tính s ra đi cho
p
hé
p
n

g
d

n
g
l
ý
thu
y
t điu
y pp g  gý y
khin ti u vào nhiu bài toán phc tp.
 Ngày nay, điu khin ti u đc ng dng trong

nhi

u lnh vc:
 Không gian (aerospace)

iukhin quá trình (proccess control)

iu

khin

quá

trình

(proccess

control)
 Robot

K thutsinhhc (bioengineering)
K

thut

sinh

hc

(bioengineering)
 Kinh t
 Tài chính
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 7
 …
 Ó  Ó 
T

I U H
Ó
A T

NHT

I U H
Ó
A T


NH
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 8

Bài toán ti utnh không ràng buc:
tìm
m
thông
Ti u hóa tnh không ràng bucTi u hóa tnh không ràng buc

Bài

toán

ti

u

tnh

không

ràng

buc:

tìm

m
thông

s thc (hay phc)
u
1
, u
2
,…, u
m
sao cho hàm
L
(
)
đ t ti
L
(
u
1
, u
2
,…, u
m
)
đ

t
cc
ti
u:
L(u)=L(u
1

, u
2
,…, u
m
)  min
đó
[
]
T
trong
đó

u
=
[
u
1
, u
2
,…, u
m
]
T

im
u
*
đcgilàđimcctiuccb nu

im

u
đc

gi

là

đim

cc

tiu

cc

b

nu

L(u)L(u
*
)
vi mi u nm trong lân cn

ca u
*
.
 im u
*

đc gi là đim cc tiu toàn cc nu
L(u)L(u
*
)
vi mi u
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 9

Gi s
L
(
u
)
kh đo hàm theo
u
thì điukincn
và
iu kin cc tr không ràng buciu kin cc tr không ràng buc

Gi

s

L
(
u
)

kh

đo

hàm

theo

u
,
thì

điu

kin

cn
và

đ đ
u
*
là đim cc tiu cc b là:


0
)
(
*
u
L






0)(
0
)
(
*
u
u
uu
u
L
L




trong đó:















uL
u
L
L
L
2
1
trong

đó:










m
u
uL
L

u



















m
uu
uuLuuLuuL
L
L
1
2
21
2
11
2
2
2



u
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 10











mmmm
uuLuuLuuL
2
2
2
1
2

u
Tìm cc tr không ràng buc Tìm cc tr không ràng buc –– Thí d 1Thí d 1

Tìm cctr hàm:
22
3
8

2
2
5
)
(
u
u
u
u
u
u
L





u

Tìm

cc

tr

hàm:
212121
3
8
2

2
5
)
(
u
u
u
u
u
u
L





u
 Gii:
 iu ki

n cn có c

c tr

:
0
1

















L
u
L
L
L
u
  




 08210
21
uu






 7222.0
*
*
1
u

2









u
L
u
u

Xét vi phân bc hai:







0342
21
uu





3889.0
*
2
u

Xét

vi

phân

bc

hai:












2
1
2
2
1
2
u
u
L
u
L
L




210
L

0

L


















2
2
2
21
2
2
1
1
u
L
uu
L
u
u
u
L
uu






42
uu
L

0

uu
L

15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 11
 là đim cc tiu.
)3889.0;7222.0(),(
*
2
*
1
uu
Tìm cc tr không ràng buc Tìm cc tr không ràng buc –– Thí d 1Thí d 1
)
3889
0
;
7222
0
(
*

u
250
)
3889
.
0
;
7222
.
0
(

u
150
200
100
L
0
50
-
4
-2
0
2
4
-6
-4
-2
0
2

4
6
-50
u
1
u
u
*
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 12
4
-6
1
u
2

Bài toán ti utnh có ràng buc:
tìm
vector
thông s
Ti u hóa tnh có ràng bucTi u hóa tnh có ràng buc

Bài

toán

ti

u

tnh

có

ràng

buc:

tìm

vector
thông

s

u sao cho hàm L(x,u) đt cc tiu, đng thi tha
điukin
f
(
x
u
)
=
0
điu

kin

f
(
x

,
u
)0
L(x,u)  min
f
(
x
u
)=0
f
(
x
,
u
)=0
trong đó x=[x
1
, x
2
,…, x
n
]
T
u
=[
u
u
u
]
T

u
=[
u
1
,
u
2
,…,
u
m
]
T

mn
L :
p
m
n
f



đi ki àb
: hàm đánh giá
p
m
n
f






:
:
đi
u
ki
n r
à
ng
b
u

c
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 13
Hàm HamiltonHàm Hamilton

nh ngha
hàm Hamilton
:

nh

ngha

hàm

Hamilton
:

),(),(),( uxfuxux
T
LH


trong đólàvectorhng s gilà
thas Larrange
p



Do ràng buc f(x,u) = 0 nên cc tiu ca L(x,u) cng
hí h là ti 
H
(
)
trong

đó

là

vector

hng

s
,
gi

là

tha

s

Larrange
p



 Bin đi bài toán tìm cc tiu hàm L(x,u) vi ràng buc

c
hí
n
h

là
cc
ti
u c

a
H
(
x,
u
)
.

f(x,
u
) = 0 thành bài toán tìm cc ti

u không ràng buc
hàm Hamilton
H(x,u)
 Vi phân hàm Hamilton:
u
ux
x
ux
u
x
d
H
d
H
dH




),(),(
)
(
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 14
u
u
x

x
u
x
d
d
dH




)
,
(
Tha s LagrangeTha s Lagrange

Do ta cn tìm cctr theo
u
nên có th t do chn

Do

ta

cn

tìm

cc

tr

theo

u
nên

có

th

t

do

chn

tha s Lagrange sao cho:
)
(
)
(
)
(



u
x
f
u

x
u
x
L
H
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
),( 









x
u
x
f
x

u
x
x
u
x
ux
T
x
L
H
H


1
),(),(



















x
uxf
x
uxL
T







x
x


1


x
x
T
L
f

Vit
g

n l

i:


x
x
L
f

g 
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 15
 dc ca hàm mc tiêu vi điu kin ràng buc dc ca hàm mc tiêu vi điu kin ràng buc

Vi hâ hà tiê
u
x
u
x
d
L
d
L
dL


)
,
(
)

,
(
)
(
 Do
f
(
x
,
u
)
= 0 nên:
0
),(),(
)
,
(





u
uxf
x
uxf
u
x
f
d

d
d

Vi
p
hâ
n
hà
m mc
tiê
u:
u
u
u
x
x
x
u
x
u
x
d
L
d
L
dL







)
,
(
)
,
(
)
,
(
(
,
)
0
)
,
(



u
u
x
x
u
x
f
d
d

d

u
u
uxf
x
uxf
x dd












),(),(
1
u
x




u
ux

u
uxfuxfux
u
x
d
L
d
L
dL











),(),(),(),(
)
(
1
 Thay (2) vào (1), ta đc:
u
u
u
uxx
u

x
d
d
dL










)
,
(
u
uxuxf
u
x
d
L
dL
T













),(),(
)
,
(


u
ux
u
x
d
H
dL



),(
)
,
(

 Vi K f(x,u)=0, đ dc ca L(x,u) theo u chính bng H
u

(x,u)
uu






)
,
(
u

)
(

iukin đ
L
(
x
u
)
đtcctr vi ràng buc
f
(
x
u
)=0
là:
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 16


iu

kin

đ

L
(
x
,
u
)

đt

cc

tr

vi

ràng

buc

f
(
x
,

u
)=0

là:
0),(

ux
u
H
iu kin cn cc tr có ràng buciu kin cn cc tr có ràng buc

Kthpvi điukinxácđnh hng s Lagrange

Kt

hp

vi

điu

kin

xác

đnh

hng

s

Lagrange
,
điu kin cn đ
L(x,u) đt cc tr có ràng buc
là:
0
)
,
(

u
x
f


 0),(),(),( uxfuxux LH
x
T
xx

là:

0
)
,
(
u
x
f







0),(),(
0),(),(),(
uxfux
uxfuxux

H
LH
u
T
uu

trong đó:
)
(
)
(
)
(
f
L
H
T



trong

đó:
)
,
(
)
,
(
)
,
(
uxuxux
f
L
H
T



15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 17
Tìm cc tr có ràng buc Tìm cc tr có ràng buc –– Thí d 1Thí d 1
Tì t  hà
2
2

Tì
m cc
t
r



hà
m:
Vi điu kin ràng buc:
2121
2
2
2
1
38225)( uuuuuu
L





u
026)(
21




uu
f
u
 Gii:
Hà H il


Hà
m
H
am
il
ton:
)()()( uuu fLH
T


)26(38225)(
212121
2
2
2
1
 uuuuuuuuH

u

15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 18
Tìm cc tr có ràng buc Tìm cc tr có ràng buc –– Thí d 1Thí d 1

iukincn đ có cctr:

iu

kin

cn

đ

có

cc

tr:
0
8
21
0
)(
2
1






u
u
H u








0)(
0)(
u
u
H
H
u
x
0
6
3
4
2
)(
0
8
0
2
1
1







u
u

H
u
u
u
u





 0)(uf
026
)
(
0
6
3
4
2
2
1
21
2











uu
f
u
u
u
u

)
(
2
1
f


T
*
 Gii h phng trình, ta đc:


T
4735.08412.0
*
u
5353.0




)26(38225)(
212121
2
2
2
1
 uuuuuuuuH

u
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 19
Tìm cc tr có ràng buc Tìm cc tr có ràng buc –– Thí d 1Thí d 1


T
4735
0
8412
0
*

u
250


4735
.
0
8412
.
0



u
150
200
100
L
0
50
*
-
4
-2
0
2
4
-6
-4
-2
0
2
4
6
-50
u
1
u
u
*
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 20

4
-6
1
u
2
Tìm cc tr có ràng buc Tìm cc tr có ràng buc –– Thí d 2Thí d 2
Tì t  hà
2
2
)
2
(
)
2
(
)
(

Tì
m cc
t
r


hà
m:
2
2
)
2

(
)
2
(
)
,
(




uxux
L
Vi điu kin ràng buc:
63
2
 xxu
 Gii:

Vitli điukin ràng buc:
Hà H ilt

Vit

li

điu

kin

ràng

buc:
63
2
 xxu
063
2
 uxx


Hà
m
H
am
ilt
on:
),(),(),( uxfuxLuxH
T


)63()2()2(),(
222
uxxuxuxH 


15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 21
Tìm cc tr có ràng buc Tìm cc tr có ràng buc –– Thí d 2Thí d 2

iukincn đ có cctr:


iu

kin

cn

đ

có

cc

tr:


0
)
(
u
x
H
032)2(2
),(



xx
x
uxH








0),(
0
)
,
(
uxH
u
x
H
u
x
0)2(2
),(




u
u
uxH
x





 0),( ux
f
063),(
2


uxxuxf
u
Giih h ìh đ bhi
)22.8;68.1(),04.2;71.1(),92.0;53.4(),(


ux

Gii

h
p
h
ng tr
ì
n
h
, ta
đ
c
b
a ng

hi
m:
2
2
)
2
(
)
2
(
)
(
L
 Thay 3 nghim trên vào , ta đc
các giá tr tng ng là: 43.78; 0.087; 117.94.
2
2
)
2
(
)
2
(
)
,
(





uxu
L
x
*
*
 
)63()2()2(),(
222
uxxuxuxH 

15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 22
)04.2;71.1(),(
*
*
ux
 K

t lun: cc tr c

n tìm là
Tìm cc tr có ràng buc Tìm cc tr có ràng buc –– Thí d 3Thí d 3
Tì t  hà
2
2
2
3
)
(

Tì

m cc
t
r


hà
m:
2
2
2
2
1
3
)
,
(
uxxuL 


x
Vi các điu kin ràng buc:
0
2
42
)
(
),(
),(
1
21

2
1


















u
x
xx
u
f
uf
u
x
x
xf

2
)
,
(
1
2






u
x
u
f
x
 Gii:
 Hàm Hamilton:
),(),(),( uuLuH
T
xfxx


)2()42(3),(
12211
22
2
2
1

 uxxxuxxuH

x

15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 23
Tìm cc tr có ràng buc Tìm cc tr có ràng buc –– Thí d 3Thí d 3

Kcn đ có cctr:

K

cn

đ

có

cc

tr:

022/),(
2111






xxuH x









0),(
0),(
uH
u
H
u
x
x
x
02/),(
06/),(
2
122






uuuH
xxuH
x

x





 0),( uxf
0
2
)
,
(
042),(
1
2
211





u
x
u
f
xxuf
x
x
0
2

)
,
(
1
2


u
x
u
f
x


T
8514
0
5714
1
*
5714
3
*


T
1429
7
1429
5


 Gii h phng trình, ta đc:


T
8514
.
0
5714
.
1
x
5714
.
3


u


T
1429
.
7
1429
.
5




 Do là hàm toàn
p
hn
g
nên
22
2
2
1
3
)
,
(
uxxuL


x
)2()42(3),(
12211
22
2
2
1
 uxxxuxxuH

x
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 24
p g
cc tr tìm đc  trên cng chính là cc tiu
2

1
)
(
TI UHÓANGTI UHÓANG
TI

U

HÓA

NG

TI

U

HÓA

NG

VÀ PHNG PHÁP BIN PHÂNVÀ PHNG PHÁP BIN PHÂN
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 25