Lý thuyết điều khiển tự động Chương 8

26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 1
LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Giảng viên: TS. Huỳnh Thái Hoàng
Bộ môn Điều Khiển Tự Động
Khoa Điện – Điện Tử
Đại học Bách Khoa TP.HCM
Email:
Homepage: />Môn học
Môn học
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 2
HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN
HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN
Chương 8
Chương 8
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 3
ỉ Khái niệm
Ø Đònh nghóa
Ø Đặc điểm của hệ phi tuyến
Ø Các khâu phi tuyến đơn giản
Ø Mô tả toán học hệ phi tuyến
Ø Các phương pháp khảo sát hệ phi tuyến
ỉ Phương pháp tuyến tính hóa
ỉ Phương pháp hàm mô tả
ỉ Phương pháp Lyapunov
Nội dung chương 9
Nội dung chương 9
26 September 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 4
Khaùi nieäm
Khaùi nieäm
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 5

ỉ Hệ phi tuyến là hệ thống trong đó quan hệ vào – ra không thể mô
tả bằng phương trình vi phân/sai phân tuyến tính
.
ỉ Phần lớn các đối tượng trong tự nhiên mang tính phi tuyến.
Ø Hệ thống thủy khí (TD: bồn chứa chất lỏng,…),
Ø Hệ thống nhiệt động học (TD: lò nhiệt,…),
Ø Hệ thống cơ khí (TD: cánh tay máy,….),
Ø Hệ thống điện – từ (TD: động cơ, mạch khuếch đại,…)
Ø Hệ thống vật lý có cấu trúc hỗn hợp,…
ỉ Tùy theo dạng tín hiệu trong hệ thống mà hệ phi tuyến có thể
chia làm hai loại:
Ø Hệ phi tuyến liên tục
Ø Hệ phi tuyến rời rạc.
Nội dung môn học chỉ đề cập đến hệ phi tuyến liên tục.
Khái niệm về hệ phi tuyến
Khái niệm về hệ phi tuyến
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 6
ỉ Hệ phi tuyến không thỏa mãn nguyên lý xếp chồng.
ỉ Tính ổn đònh của hệ phi tuyến không chỉ phụ thuộc vào cấu trúc,
thông số của hệ thống mà còn
phụ thuộc vào tín hiệu vào.
ỉ Nếu tín hiệu vào hệ phi tuyến là tín hiệu hình sin thì tín hiệu ra
ngoài thành phần tần số cơ bản (bằng tần số tín hiệu vào) còn có
các thành phần hài bậc cao (là bội số của tần số tín hiệu vào).
ỉ Hệ phi tuyến có thể xảy ra hiện tượng
dao động tự kích.
Tính chất của hệ phi tuyến
Tính chất của hệ phi tuyến
26 September 2006 â H. T. Hong - éHBK TPHCM 7
Caực khaõu phi tuyeỏn cụ baỷn

Caực khaõu phi tuyeỏn cụ baỷn
Khaõu relay 3 vũ trớ
Khaõu relay 3 vũ trớ



<

=
) neỏu
)neỏu
Du
DuuY
y
m
||(0
||()sgn(
u
Y
m

Y
m
y

DD
y
u
Y
m

Y
m
)sgn(uYy
m
=
Khaõu relay 2 vũ trớ
Khaõu relay 2 vũ trớ
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 8
Các khâu phi tuyến cơ bản
Các khâu phi tuyến cơ bản



<
≥−
=
) nếu0
)nếu
Du
DuuDuK
y
||(
||())sgn((
Khâu khuếch đại có miền chết
Khâu khuếch đại có miền chết
u
y
−
D

D
K
)/( DYK
m
=



≤
>
=
) nếu
)nếu
DuKu
DuuY
y
m
||(
||()sgn(
y
u
Y
m
−
Y
m
Y
m
D
−

D
Khâu khuếch đại bão hòa
Khâu khuếch đại bão hòa
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 9
Các khâu phi tuyến cơ bản
Các khâu phi tuyến cơ bản
Khâu relay 3 vò trí có trể
Khâu relay 3 vò trí có trể
u
Y
m
−
Y
m
y
−
D
D
y
u
Y
m
−
Y
m
D-D



<−

≥
=
) nếu
)nếu
DuuY
DuuY
y
m
m
||()sgn(
||()sgn(
&
Khâu relay 2 vò trí có trể
Khâu relay 2 vò trí có trể
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 10
Các khâu phi tuyến cơ bản
Các khâu phi tuyến cơ bản
y
u
Y
m
−
Y
m
Y
m
D
−
D
Khâu khuếch đại bão hòa có trể

Khâu khuếch đại bão hòa có trể
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 11
Mô tả toán học hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân
Mô tả toán học hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân
ỉ Quan hệ vào – ra của hệ phi tuyến liên tục có thể biểu diễn dưới
dạng phương trình vi phân phi tuyến bậc
n:
trong đó: u(t) là tín hiệu vào,
y(t) là tín hiệu ra,
g(.) là hàm phi tuyến








=
−
−
)(,
)(
,,
)(
),(,
)(
,,
)()(
1

1
tu
dt
tdu
dt
tud
ty
dt
tdy
dt
tyd
g
dt
tyd
m
m
n
n
n
n
LL
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 12
Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân
Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân
–
–
Thí dụ 1
Thí dụ 1
a: tiết diện van xả
A: tiết diện ngang của bồn

g: gia tốc trọng trường
k: hệ số tỉ lệ với công suất bơm
C
D
: hệ số xả
y(t)
u(t)
q
in
q
out
ỉ Phương trình cân bằng:
)()()( tqtqtyA
outin
−=
&
)()( tkutq
in
=
)(2)( tgyaCtq
Dout
=
trong đó:
⇒ (hệ phi tuyến bậc 1)
( )
)(2)(
1
)( tgyaCtku
A
ty

D
−=
&
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 13
Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân
Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân
–
–
Thí dụ 2
Thí dụ 2
J: moment quán tính của cánh tay máy
M: khối lượng của cánh tay máy
m: khối lượng vật nặng
l: chiều dài cánh tay máy
l
C
: khoảng cách từ trọng tâm tay máy đến trục quay
B: hệ số ma sát nhớt
g: gia tốc trọng trường
u(t): moment tác động lên trục quay của cánh tay máy
θ
(t): góc quay (vò trí) của cánh tay máy
m
u
θ
l
ỉ Theo đònh luật Newton
)(cos)()()()(
2
tugMlmltBtmlJ

C
=++++
θθθ
&&&
⇒
)(
)(
1
cos
)(
)(
)(
)(
)(
222
tu
mlJ
g
mlJ
Mlml
t
mlJ
B
t
C
+
+
+
+
−

+
−=
θθθ
&&&
(hệ phi tuyến bậc 2)
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 14
Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân
Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân
–
–
Thí dụ 3
Thí dụ 3
δ
: góc bánh lái
ψ
: hướng chuyển động
của tàu
k: hệ số
τ
i:
hệ số
ỉ Phương trình vi phân mô tả đặc tính động học hệ thống lái tàu
(hệ phi tuyến bậc 3)
()
()
)()()()(
1
)(
11
)(

3
21
3
2121
tt
k
tttt
δδτ
ττ
ψψ
ττ
ψ
ττ
ψ
+








++









−








+−=
&
&&&&&&&
ψ
(t)
δ
(t)
Hướng chuyển động
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 15
Mô tả toán học hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thá
Mô tả toán học hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thá
i
i
ỉ Hệ phi tuyến liên tục có thể mô tả bằng phương trình trạng thái:
trong đó: u(t) là tín hiệu vào,
y(t) là tín hiệu ra,
x(t) là vector trạng thái,
x(t) = [x
1

(t), x
2
(t),…,x
n
(t)]
T
f(.), h(.)
là các hàm phi tuyến



=
=
))(),(()(
))(),(()(
tuthty
tutt
x
xfx
&
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 16
Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái
Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái
–
–
Thí dụ 1
Thí dụ 1
ỉ Đặt biến trạng thái:
)()(
1

tytx =
ỉ PTTT:



=
=
))(),(()(
))(),(()(
tuthty
tutt
x
xfx
&
)(
)(2
),(
1
tu
A
k
A
tgxaC
u
D
+−=xf
)())(),((
1
txtuth =x
trong đó:

ỉ PTVP:
y(t)
u(t)
q
in
q
out
( )
)(2)(
1
)( tgyaCtku
A
ty
D
−=
&
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 17
Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái
Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái
–
–
Thí dụ 2
Thí dụ 2
ỉ Đặt biến trạng thái:



=
=
)()(

)()(
2
1
ttx
ttx
θ
θ
&
ỉ PTTT:



=
=
))(),(()(
))(),(()(
tuthty
tutt
x
xfx
&
ỉ PTVP:
m
u
θ
l
)(
)(
1
cos

)(
)(
)(
)(
)(
222
tu
mlJ
g
mlJ
Mlml
t
mlJ
B
t
C
+
+
+
+
−
+
−=
θθθ
&&&









+
+
+
−
+
+
−
=
)(
)(
1
)(
)(
)(cos
)(
)(
)(
),(
2
2
2
1
2
2
tu
mlJ
tx

mlJ
B
tx
mlJ
gMlml
tx
u
C
xf
)())(),((
1
txtuth =x
trong đó:
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 18
ỉ Không có phương pháp nào có thể áp dụng hiệu quả cho mọi hệ
phi tuyến.
ỉ Môn học đề cập đến một số phương pháp thường dùng sau đây:
Ø Phương pháp tuyến tính hóa
Ø Phương pháp hàm mô tả
Ø Phương pháp Lyapunov
Các phương pháp khảo sát hệ phi tuyến
Các phương pháp khảo sát hệ phi tuyến
26 September 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 19
Phöông phaùp tuyeán tính hoùa
Phöông phaùp tuyeán tính hoùa
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 20
Điểm dừng của hệ phi tuyến
Điểm dừng của hệ phi tuyến




=
=
))(),(()(
))(),(()(
tuthty
tutt
x
xfx
&
ỉ Xét hệ phi tuyến mô tả bởi PTTT phi tuyến:
ỉ Nếu là điểm dừng của hệ phi tuyến thì:
),( ux
0))(),((
,
=
== uu
tut
xx
xf
ỉ Điểm trạng thái được gọi là điểm dừng của hệ phi tuyến nếu
như hệ đang ở trạng thái và với tác động điều khiển cố đònh,
không đổi cho trước thì hệ sẽ nằm nguyên tại trạng thái đó.
x
x u
ỉ Điểm dừng còn được gọi là điểm làm việc tónh của hệ phi tuyến
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 21
Điểm dừng của hệ phi tuyến
Điểm dừng của hệ phi tuyến
–

–
Thí d
Thí d






+
+
=






)(2)(
)().(
)(
)(
21
21
2
1
txtx
utxtx
tx
tx

&
&
ỉ Cho hệ phi tuyến mô tả bởi PTTT:
Xác đònh điểm dừng của hệ thống khi
1)( == utu
0))(),((
,
=
== uu
tut
xx
xf
ỉ Giải:
Điểm dừng là nghiệm của phương trình:



=+
=+
02
01.
21
21
xx
xx
⇔






−=
=
2
2
2
2
1
x
x





+=
−=
2
2
2
2
1
x
x
⇔ hoặc
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 22
Tuyến tính hóa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tónh
Tuyến tính hóa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tónh
trong đó:
ytyty

ututu
tt
−=
−=
−=
)()(
~
)()(
~
)()(
~
xxx
)),(( uhy x=



=
=
))(),(()(
))(),(()(
tuthty
tutt
x
xfx
&
ỉ Xét hệ phi tuyến mô tả bởi PTTT phi tuyến:
ỉ Khai triển Taylor f(x,u) và h(x,u) xung quanh điểm làm việc tónh
ta có thể mô tả hệ thống bằng PTTT tuyến tính:




+=
+=
)(
~
)(
~
)(
~
)(
~
)(
~
)(
~
tutty
tutt
DxC
BxAx
&
(*)
),( ux
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 23
Tuyến tính hóa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tónh
Tuyến tính hóa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tónh
)(
21
2
2
2

1
2
1
2
1
1
1
u
n
nnn
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f

,x
A


















∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂

∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
K
MOMM
L
L
)(
2
1
u
n
u
f
u
f
u
f
,x
B



















∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
M
)(
21
u
n
x
h
x
h

x
h
,x
C






∂
∂
∂
∂
∂
∂
= K
)( u
u
h
,x
D






∂
∂

=
ỉ Các ma trận trạng thái của hệ tuyến tính quanh điểm làm việc
tónh được tính như sau:
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 24
Tuyến tính hóa hệ phi tuyến
Tuyến tính hóa hệ phi tuyến
–
–
Thí dụ 1
Thí dụ 1
ỉ PTTT:



=
=
))(),(()(
))(),(()(
tuthty
tutt
x
xfx
&
)(9465.0)(3544.0)(
)(2
),(
1
1
tutxtu
A

k
A
tgxaC
u
D
+−=+−=xf
)())(),((
1
txtuth =x
trong đó:
y(t)
u(t)
q
in
q
out
Thông số hệ bồn chứa :
2
3
22
sec/981
8.0 ,.sec/150
100 ,1
cmg
CVcmk
cmAcma
D
=
==
==

26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 25
Tuyến tính hóa hệ phi tuyến
Tuyến tính hóa hệ phi tuyến
–
–
Thí dụ 1
Thí dụ 1
(tt)
(tt)
Tuyến tính hóa hệ bồn chứa quanh điểm y = 20cm:
ỉ Xác đònh điểm làm việc tónh:
20
1
=x
05.13544.0),(
1
=+−= uxuxf
9465.0=u
⇒