ứng dụng tích phân vào bài toán diện tích

1






NG.(
y f ( x )
,
y g( x)





 
a;b
)
1. 





 





1
0
y f ( x )
D : y
x a;x b











()
b
a
S f x dx

2. 











2
y f ( x )
D : y g( x )
x a ;x b











( ) ( )
b
a
S f x g x dx

3. 











3
x f ( y )
D : x g( y )
y a; y b











( ) ( )
b
a
S f y g y dy

:
+ 
f ( x )






 
a;b



( ) ( )
bb
aa
S f x dx f x dx
.
+ 


 
 
4
y f ( x )
D : y g x
y h x












f ( x ) g( x)

1
x
,
h( x) g( x )

3
x


f ( x ) h(x)

2
x
,( 
1 2 3
x x x
)









4

D
:
       
3
2
12
x
x
xx
S f x g x dx h x g x dx   


IV.




|



|




|




|


= |





|


 
 0,   [; ] thì

|



|


=










  [; ] thì

|



|


= 










1
; x
2
; .;x
k
trên (a;b) 
(a;x
1

), (x
1
; x
2
), (x
k





2

 tích phân S =

|



|



S =

|



|



= |

|



|

1

| + ||

|



|

1

| + + |

|



|




|

Y 


( ) ( )
b
a
S f x g x dx

1.



:

0
y f ( x )
y
x a;x b












0
y f ( x )
y
xa











0
y f ( x )
y





y f ( x )
y g( x )
x a;x b












y f ( x )
y g( x )
xa











y f ( x )
y g( x )







Bài 1: 
1. y = x
3
 4x, x = -3, x= 1, y = 0
2. y = sin
2
x. cos x, x= 0, x= , y = 0

1. 
D
=

|
3
 4|
1
3

Mà x
3
 4x = 0  x = 0; x = ±2. Nên ta có :
S
D
=

|
3
 4|

1
3
=

(
3
+ 4)) +



3
 4

 +



3
+ 4


1
0
0
2
2
3

= 12
2. 

S
D
=

|
2
|

0
=


2


2
0
-


2



2

= 2/3
Bài 2. 
1. 
2. y = x(e

x
-1), x = -

1. 
D
=




 =

 


1
1


1

1

= e  1/e
2. 
D
=

|




 1

|
2
1
=





 1


2
1
= e
2
+ 1/e- 3/2
Bài 3.1. 

3

y
2
=2x, y=x, y=0, y=3

x= y

2
, x=y, y=0, y=3
=> S= | y
2
-y|dy
 | y
2
-y|trên [0;3]
Có | y
2
-y|=0 <=>


=> S= -( y
2
-y)dy+ ( y
2
-y)dy
= ( - y
2
+y)dy+ ( y
2
-y)dy
=(- + ) + ( . - )
= (- + -0) +( . - ) -( . - )=
2.
y= ,x+y-2=0, y=0
 , y=-

4


S= ( -0)dx+ ((-x+2)-0)dx
= dx+ (-x+2)dx
= + ( +2x)
= ( - )+( +2.2)-( +2.1)
= +2+ -2=
3. 
y= , y=0, x= , x=e
S= | -0|dx= | |dx
 | trên [ ;e]

5

Có =0 <=> x=1


=> S= - lnx.(lnx)'dx+ lnx.(lnx)'dx
= - +
= -( - )+( - ) = + =1
Bài 3. 
a)
     
2
2 3, 0, 0, 4y x x y x x
b)
3
4 0 2 4y x x y x x, , ,     

c)
 
2
2 0 0 3
x
y x e y x x, , ,    
d)
23
00
2
y sin x cos x y x x. , , ,

   

e)
ln
, 0, , 1
2
x
y y x e x
x
   
f)
  
1 3 0y x x x y,   

4. 
a)
 
   

2
2 1 , 2 1y x y x

c)
  
32
12 , y x x y x
d)
   
22
1 1 ,y x y x

e)
2
,2y x y x  
f)
  
22
4,
4
42
xx
yy

g)
    
22
4 , 3 0y x x y
h)
   

24
4 4 , 1y y y x

2: 


 
 
 
y f x
D y g x
y h x
:









1. T

6

a)

   


2
2
2 1 8
( 1) , ,
81
xx
y x y y
x
b)
, 2 , 0y x y x y   

c)
   
2
33
,
22
y x x y x

d)
       
22
8 3 2 , 2 9 2 , 10y x x y x x y x

e)
       
2
4 , 2 7 1, 1; 2y x x y x x x
f)
     

2
4 3 , 3y x x y x

g)
2
2
27
,,
27
x
y x y y
x
  
h)
22
2 , 4 4, 8y x y x x y    

i)
2
2 , 2 2 1 0, 0y x x y y    

k)
22
6 5, 4 3, 3 15y x x y x x y x         

l)
2
,2y x y x  
m)
2

4 3 , 3y x x y x    

2: 
a)
   
32
( ) : 3 3 1C y x x x
, 

(C) (0; 1).
b)



21
( ) : , 0
1
x
C y y
x
, 

(C) (-2; 1).
c)
  
2
( ): 4 5P y x x
và 

(P) (1;2) (4;5).

d)



2
2
( ):
1
xx
Cy
x
, (C ) .