Ứng dụng phương pháp đại số tổ hợp để tính độ đo xác suất rời rạc

ĐẠI HỌC QUÓC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
• • •
Ứ N G D Ụ N G P H Ư Ơ N G P H Á P Đ Ạ I S Ó T Ỏ H Ợ P
• • •
Đ Ẻ T Í N H Đ ộ Đ O X Á C S U Ấ T R Ờ I R Ạ C
CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI: PGS.TS. NGUYỄN NHỤY
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC, ĐẠI HỌC QUỔC GIA HÀ NỘI
Hà Nội - 2009
DANH SÁCH NHỮNG NGƯỜI THAM GIA THựC HIỆN ĐÈ TÀI
1. PGS.TS. N guyễn Nhụy, Trường Đại học Giáo dục, ĐHQG Hà N ội - Chủ
nhiệm đề tài
2. ThS. N guyễn Đức Can, Trường Đ H Giáo dục, ĐHQG HN - Thư ký đề tài
3. TS. V ũ Thị H ồn g T hanh, K hoa T oán, Đ ạ i h ọc V inh - Thành viên
4. TS. L ê X uân S ơn , K hố i ch u yên T oán, Đ ại học V inh - Thành viên
5. ThS. N gu y ễ n N g ọ c Q uỳnh , H V iện Y h ọc cổ truyền H N -Thành viên.
3
Trang
Muc luc 3
• •
Mtf đầu 4
Chưong 1. Độ đo xác suất rời rạc. Dãy số Fibonacci và Tỷ số vàng 7
1.1. Sự ra đời của dãy Fibonacci và mối liên hệ với tự nhiên 7
1.2. Khái niệm dãy Fibonacci 10
1.3. Tỷ số vàng 14
1.4. Hệ thức truy hồi tìm số Fibonacci 22
1.5. Mở rộng dãy số Fibonacci 25
1.6. Độ đo xác suất rời rạc 28
Chương 2. ứ n g dụng dãy số Fibonacci và T ỷ số vàng để tìm độ đo 29
xác suất trong Bài toán (0,1,4)
2.1. Một số khái niệm cơ bản 3 0

2.2. Các kết q u ả bổ trợ 34
2.3. Dãy nguyên tổ và dãy bội 38
2.4. Miền giá trị của hàm chiều địa phương của Bài toán (0,1,4) 45
Chương 3. Sử dụng dãy số Fibonacci tính giá trị lớn nhất của độ
đo xác suất là tích chập 5 lần của độ đo Cantor chuẩn 50
3.1. Một số kết quả bỗ trợ 51
3.2. Chứng minh kết quả chính 61
Tóm tắt các kết quả chính của Đe tài 66
Daah mục công trình của các tác giả liên quan đến Đề tài 67
Tài liêu tham khảo 68
M Ụ C L Ụ C
4
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Môn Toán ở trường phổ thông rất được coi trọng. N gay ở bậc học này, học
sinh đã được truyền thụ một khối lượng kiến thức Toán học khá phong phú
với nhiều chủ đề thú vị và được tiếp thu những công cụ khá sắc bén.
Tuy nhiên, khi người sinh viên bước vào học đại học ngành Toán, các môn
Toán được học nhiều hơn, sâu sắc hơn và phương pháp tư duy cũng khác. Các
công trình nghiên cứu khoa học Toán học phần lớn dựa vào kiến thức ở bậc
đại học mà chủ yếu là sau đại học. Chính vì thế, khi bắt tay vào nghiên cứu,
người ta thường nghĩ ngay đến việc phải sử dụng các công cụ Toán học bậc
cao.
Các công trình Toán học mang tính thời sự được nhiều người quan tâm
ít ai nghĩ đến là có thể sử dụng các công cụ chủ yếu là Toán học ở bậc phổ
thông. Và như thế, đã tạo ra tâm lý là các công cụ Toán học ở phổ thông
không thể dùng để nghiên cứu khoa học và viết các công trình khoa học
nghiêm túc.
Đề tài này phần nào nhằm khắc phục cách suy nghĩ trên. Ở đây, chúng
tôi đã sử dụng Đại số tổ hợp để tính chiều địa phương của độ đo xác suất rời

rạc, một vấn đề Toán học mang tính thời sự hấp dẫn, được nhiều nhà Toán
học trên thế giới quan tâm.
2. Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu
Các tập Fractal bắt đầu được để ý từ cuối thế kỷ X IX và những thập
niên đầu của thế kỷ XX , nhưng nó được đặc biệt quan tâm vào cuối những
năm 70 của thế kỷ trước, khi xuất hiện một loạt công trình nghiên cửu hết sức
có ý nghĩa của B enoit Mandelbrot và đặc biệt là tác phẩm nổi tiếng của ông:
“T h e F r a c ta l G e o m e tr y o f N a t u r e Chủ đề này đã trở thành một khoa học
thực thụ vào cuối những năm 80 của thể kỷ XX.
Sự ra đời của Hình học Fractal đó giúp chúng ta giải thích được những
đặc thù và cấu trúc phức tạp, tinh tế trong tự nhiên cũng như trong xã hội. Có
5
thể nói, Hình học Fractal đó cung cấp cho các nhà khoa học một cụng cụ khảo
cứu hết sức mạnh mẽ và lý thú đối với hầu hết các lĩnh vực, từ Toán học, Vật
lý học, Thiên văn học, H óa học, Sinh học, N gôn ngữ học cho đến Nghệ thuật,
Âm nhạc, Kinh tế , v à đặc biệt là Công nghệ thông tin và truyền thông.
Chính vì thế, môn Hình học Fractal đó được giới thiệu trong sách Hình học
lớp 11 phổ thông trung học.
Công cụ để khảo sát các đối tượng Fractal phổ biến nhất đó chính là
chiều. Ban đầu người ta có một công cụ khá hữu hiệu để mô tả các tập Fractal
là chiều Hausdorff. Tuy nhiên, chiều H ausdorff đo các đối tượng ở mức độ
tương đối “thô” và chỉ để mô tả các tập Fractal ở khía cạnh tổng thể, còn khi
muốn tìm kiếm cấu trúc tinh tế của Fractal, ta phải tìm hiểu tính chất “địa
phương” của các đối tượng Fractal đó.
Người ta thấy rằng, tại một h-lân cận đủ nhỏ của một điểm s, nếu ký
hiệu f! l à độ đo fractal và g ọ i a(s) là chiều địa phương c ủ a độ đo Fractal ấy
tại điểm s thì ta có thể xấp xỉ
|i ( [ s - h ,s + h ] ) ~ h a ^s\
Như vậy, nếu xác định được chiều địa phương của một độ đo Fractal, ta có
thể biết gần đúng khối lượng của tạp Fractal tại lân cận của điểm đó.

Thực chất trong m ột số bài toán việc tìm chiều địa phương của độ đo là
thiết lập công thức tính số cách biểu diễn của mỗi phần tử trong tập này thông
qua các phần tử của tập kia nhờ vào dãy số Fibonacci và Tỷ số vàng. Trong
Chương 2 và Chương 3 chúng tôi thiết lập được công thức tính độ đo xác suất
rời rạc thông qua dãy Fibonacci. Giải hệ thức truy hồi của dãy này ta xác
định được các giá trị cần thiết lập của bài toán đặt ra.
Với những ký do trên, chúng tôi chọn đề tài dùng phương pháp Đại số tổ
hợp, chủ đề được đưa vào Sách giáo khoa Đại số lớp 11 trung học phổ thông,
mà cụ thể là sử dụng các tính chất của dãy số Fibonacci và Tỷ số vàng để tìm
6
độ đo xác su ất rờ i rạc tro n g v iệc tín h ch iề u đ ịa phư ơn g tro ng H ình học
Fractal.
3. B ố c u c củ a đ ề tà i
N g o ài ph ần M ở đ ầu , M ụ c lục v à T ài liệu tha m k h ả o , nội d ung Đ e tài được
trình bày trong 3 ch ư ơ n g, dày 68 tran g. C h ư ơng 1 giới th iệu về biến ngẫu
nhiên, độ đo xác x u ấ t rờ i rạc, d ã y số F ib o n a cci và T ỷ số vàng. C hư ơn g 2 nêu
lên cách thức ứ ng d ụ n g d ãy số F ib o n a cc i v à T ỷ số và n g vào v iệc giải B ài toán
(0,1,4) là bài toá n tư ơ n g đ ư ơ ng với B ài toá n (0 ,1,3 ) nổ i tiế n g tro n g H ình học
Fractal. C h ư ơ n g 3 trìn h bà y v ề ứ n g dụng dãy số F ib o nacci và T ỷ số vàng để
tính giá trị bé n h ấ t củ a đ ộ đo đư ợ c xác đ ịn h bởi tích ch ập 5 lần củ a độ đo
C antor chuẩn.
7
C H Ư Ơ N G 1. Đ ộ Đ O X Á C S U Ấ T R Ờ I R Ạ C . D Ã Y S Ố F IB O N A C C I
V À T Ỷ S Ố V À N G
1.1. S ự ra đ ò i c ủ a d ã y F ib o n a c c i v à m ối liên h ệ v ó i tự n h iê n
F ib o nacc i là tê n v iết tắt củ a m ộ t n h à toá n h ọ c lớn ở ch âu  u thời trung
đại, ôn g sinh 1170 m ấ t 1240, tên đầy đủ c ủ a ôn g là L eon a rd o o f Pisa. V ì ông
được sinh ra ở P isa (Italy) v à thuộc dòn g họ B o nacci.
B an đầu , ô n g F ib o n acc i x é t bài to án sau:
Giả sử có một cặp thỏ mắn đẻ cứ cuối mỗi tháng lại sinh ra một cặp

mới. Neu mỗi cặp mới đó cũng lại đẻ sau một tháng và nếu không có con nào
bị chết cả thì sau một năm có bao nhiêu cặp thỏ?
V à đó là tiề n thâ n của d ã y số F ibo n ac ci đ ư ợc xác đ ịnh b ằn g cách liệt kê các
ph ần tử nh ư sau:
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987
T ron g đó: các p h ầ n tử n ằm tro n g dãy số nà y luôn luô n b ằn g tổ n g của 2 số liền
trướ c nó. N ế u lấy tổ n g h a y h iệu c ủa các số liên tiếp ta sẽ đ ượ c m ột d ãy số
tươ n g tự. D ãy số F ib o n a c c i đ ư ợc cô n g bố n ă m 1202 v à đượ c “ tiến h ó a” hầu
n h ư vô tận. C h ín h đ iều đó, đã thu hú t đ ư ợ c rất n h iều sự q uan tâm cũ ng nh ư
làm c hú n g ta say m ê n g h iê n cứu, k h ám p h á các tính ch ất của nó.
D ãy F ib o n ac c i x u ấ t h iện ở khắ p nơ i tro ng tự nh iên . N h ữ n g ch iếc lá trên
m ộ t n h àn h cây m ọ c các h nh au n h ữ n g k h o ả n g tư ơ ng ứ n g v ới dãy số F ibonacci.
C ác số F ib o n a cci x u ấ t h iện tro n g n h ữ n g b ô n g hoa. H ầu h ết các bông h oa có
số cán h h o a là m ộ t tro n g các số: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,3 4, 55 ho ặc 89 , H o a
L oa k èn có 1 cánh, h o a T ai bư ớ m có 2 cán h , h o a Đ ịa lan có 3 cánh, ho a M ao
lươ ng v àn g có 5 c ánh , h o a Phi y ế n thư ờ n g có 8 cánh , hoa V ạn cúc th ọ có 13
cán h, h o a C úc tây có 21 cán h, h oa C úc th ư ờ n g có 34, h o ặc 55 hoặc 89 cánh,
C ác số F ibo n a cci c ũ n g x u ấ t h iện tro n g các b ôn g h o a H ư ớ ng d uơng. N hữ n g nụ
n h ỏ sẽ k ết th à n h h ạ t ở đ ầ u bôn g hoa H ư ớ n g dư ơng đ ư ợ c xế p th àn h hai tập các
8
đườ ng xo ắn ốc: m ộ t tập cuộn th e o ch iều k im đ ồn g hồ, còn tập kia cuộ n ngược
theo chiều kim đ ồ ng h ồ . s ố các đ ư ờ ng x o ắ n ốc h ư ớ ng thu ận ch iều kim đ ồn g
hồ thư ờ ng là 34 cò n n gư ợ c chiều kim đồn g h ồ là 55. Đ ô i k hi, các số n ày là 55
và 89, và th ậm ch í là 89 v à 144.
M ột số h ìn h ản h sau ch o ch ú n g ta thấy đ iều nói trên:
Hoa Ly 1 cánh
Hoa Tai bướm 2 cánh
Hoa 3 cánh Hoa 5 cánh
H o a 34 cán h
Sô nhánh tại môi giai đoạn phát triên

r #
của cây là sô Fibonacci
______
_
/ ~ V
1.2. K h á i niệm d ã y F ib o n a c ci
1.2.1. Định nghĩa
Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số tự n h iên b ắ t đ ầu bằn g hai ph ần tử
0 và 1 , các phần tử sau đó đư ợ c th iết lập theo qu y tắc m ỗi ph ần tử luôn bằng
tổn g hai p h ần tử trư ớ c nó.
C ông thứ c truy h ồ i củ a dãy F ib ona cci là:
[n — 1) H~ F (n — 2 ) k h i n > 1.
1.2.2. Môt số tính chất đăc biêt của dãy số Fibonacci
a) Tỉnh chất đặc biệt đầu tiên
G ọi An là số hạn g th ứ n tro ng dãy số, ta có:
A n X A n+1 — A n-1 X A n+2 i 1
A n X A n+1 A n.2 X A n+3 i 2
An X A n+1 A n_3 X A n+4 i 6
An X A n+1 —■ A n_4 X A n+5 i 15
C hún g ta h ãy th ử lại đ ẳn g thứ c đầu tiên b ằ n g c ách ch ọ n m ộ t số A n bất k ỳ (A n
là số ở vị trí thứ n c ủ a chu ỗi), ch ẳng h ạn 34. ở đây, An = 34 (n = 9), A n+| = 55,
A„-1= 21, A n+2=89. T a có: 34 X 55 = 21 X 89 + 1. C ác đ ẳn g thứ c này được áp
dụng tro n g toàn d ã y số.
L ấy m ột cặp số b ấ t kỳ kh ác, ch ẳng hạn 3x5 = ( 2 x 8 ) - l .
N ế u lấy th êm các ví d ụ khác nữa, ta sẽ nh ận ra rằn g n ếu n là số chẵn ta cộng
1. N ếu n là số lẻ ta trừ đi 1. B ây giờ, ta xem x é t đ ẳn g thứ c th ứ hai:
k h i n = 0 ;
k h i n = 1 ;
11
An X A n+] A n-2 X A.n+3 i 2

C họn A n = 8, do đ ó 8 X 13 = 3 X 34 + 2. T iếp theo chọ n An = 34, ta có 34 X 55
= 13 X 1 4 4 - 2 . C ũ n g tươ n g tự n h ư trê n ta tro n g trư ờ n g họ p A n= 8 thì n =6
(chẵn) nên cộ n g 2, cò n A n = 34 thì n = 9 (lẻ), do đó trừ đi 2.
N h ữ n g đẳn g thứ c cò n lại có thể k iểm c h ứ n g dễ d àn g th eo cách tươ ng tự. C h ú
ý rằn g, trong n h ữ n g số trên, n h ữ ng con số m à c h úng ta thêm h ay b ớ t theo th ứ
tự là:
±1 ±2 ±6 ±15 ±40 ±104
H iệu số g iữ a nh ữ n g số này sẽ là: 1 4 9 25 64 H ay : l 2 2 2 32 52 82
Đ ây lại là m ột đ iều th ú vị nữa, bởi từ k ết q u ả trên ta th ấy hiệu của n h ữ n g con
số đư ợ c thêm và o (h a y b ớ t đ i) ở các đ ẳn g th ứ c trên k hô n g gì k hác h ơn là b ình
p h ư ơ ng củ a các số h ạn g củ a dãy F ibo nacci.
b) Tỉnh chất bất ngờ thứ hai
C h ú n g ta tiếp tục x ét v à thử lại các đ ẳn g thứ c sau:
An-1 X An+1 = (A n)2± l 2 (A i2)
A „.2 X A n+2 = (A n)2± l 2 (A 22)
A n.3 X A n+3 = (A n)2± 2 2 (A 32)
An.4 X A n+4 = (A n)2± 3 2 (A 42)
A n_5 X A n+5 = (A n)2± 52 (A 52)
c) Sự ngạc nhiên đến từ cách nhìn khác
N ế u đem n h ân đ ôi m ộ t số h ạ n g b ất k ỳ rồi trừ đi số h ạng kế tiếp n ó thì
k ế t q u ả sẽ b ằn g số h ạn g đ ứ ng trư ớ c nó 2 v ị trí:
2 .A n A n+1 — A n.2.
C h ẳn g hạn, A 5 = 5, ta có 2 X 5 - 8 = 2 = A 3.
d) Tính chất thú vị có tên bình phương
T ừ dãy F ib o n acci ta tạo m ột dãy m ớ i bằn g cách đem bình ph ư ơ n g các
số h ạn g có trong d ã y đó . V ớ i dãy F ibo n acci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,
T a có dãy số m ớ i là:
12
1, 1 ,4 , 9 ,2 5 ,6 4 , 1 6 9 ,4 4 1 , 1 1 5 6 ,3 0 2 5 ,7 9 2 1 ,2 0 7 3 6 , 54289, (*)

Bây giờ, cộ ng m ỗi cặp số liên tiếp tro n g dãy số m ới. T a có:
2 ,5 , 1 3 ,34 , 89, 2 3 3 ,6 1 0 , 1597,
Dãy số sau cù ng này c hính là các số có m ặt tro n g dãy Fibon acci ở các vị trí lẻ.
Tiếp theo, cũ n g từ dã y số b ình p h ư ơ n g (*), ta lấy h iệu của hai số cách nh au 1
số ở giữa, ta tiếp tụ c có:
3 ,8 , 2 1 , 5 5 , 1 4 4 ,3 7 7 ,9 8 7 ,
Đây cũn g ch ính là n hữ n g số có m ặt tro n g dãy F ib o nacci ở vị trí chẵn.
e) Tính chất ma thuật đến từ trò chơi tính nhẩm
N ế u ta biết đ ư ợ c điều thú vị sau đây củ a dãy F ibo n ac ci thì ta sẽ luôn
luôn thắn g tro ng m ọ i cu ộ c đố vui tính n hẩm liên q u an đến dãy số này. Và, vì
thế, trò chơi n ày th ư ờ n g đ ư ợ c gọi tên là tính n h ẩm F ibo nacci.
V iết dãy F ibo nac ci (F) theo d ạng cột, và g ạch dư ới 1 số bất k ỳ trong
cột này. Tổ n g c ủ a các sổ nằ m ở p hía trên đ ư ờ ng kẻ luôn luôn b ằn g số hạng
thứ 2 sau đ ư ờ n g kẻ trừ đi 1 .
G iả sử ta gạ ch d ư ớ i số 21. thì tổn g các số p h ía trê n đường kẻ là :
1 + 1+2 + 3 + 5 + 8+ 13 + 21 =54.
C òn số h ạn g đ ứ n g d ư ớ i đ ư ờng kẻ 2 vị trí là 55, ta có 54 = 55 - 1
H ay, kh i g ạch d ư ớ i số 233 thì chắc chắn tổ n g các ch ữ số từ số ở vị trí đầu tiên
đến số 233 sẽ p hả i b ằ n g 61 0 - 1 = 609.
D o vậy, trò ch ơi này chắc ch ắn sẽ làm n g ơ ng ẩn n h ữ n g ai kh ông qu en
thu ộc vớ i dãy số F ib o n ac ci. C ác con sổ ở đây dư ờn g n h ư đượ c ch ọ n n gẫu
nhiên, n h ư ng bí m ậ t c ủ a trò ảo thu ật nằm ở chỗ đ áp số luôn luôn bằng số thứ
hai sau nó trừ đi 1 .
f) Định lý Pithagore trong dãy Fibonacci (F)
N ế u ta ký h iệu 4 số liên tiếp tro n g dãy F là a, b, c, d và gọi n là vị trí
của a tro n g dãy số thì ta luô n có côn g th ứ c tu y ệ t đẹp liên q uan đến đ ịnh lý
P ith a g o re n ổ i tiếng . Đ ó là: (2 bc)2 + (a d )2 = (A 2n+3)2.
H ay ta luôn có: (2 .A n+1.A n + 2)2 + (A n.A n+3)2 = (A 2n+3)2.
13
Đây là một phương trình rất đặc biệt, được khám phá bởi Tiến sĩ

Jekuthiel Ginsburg.
C húng ta th ử kiểm ch ứ n g lại k ết q u ả này . V í dụ, ta ch ọ n dãy 4 số liên tiếp là
5, 8, 13, 21. Ở đ ây n = 5. T a có: (2 .8 .2 3 )2 + (5 .2 1 )2=5 428 9 = 2 3 3 2. R õ ràng,
số 233 chính là số ở vị trí 2.5 + 3 = 13 tro n g d ãy (F).
Ta có thể kiểm ch ứ n g kế t quả này bằ n g 1 d ãy 4 số liên tiếp bất kỳ tro n g dãy
(F).
Vậy là luôn luôn có những tam giác vuông với độ dài các cạnh được tạo nên
từ các sô có mặt trong dãy (F).
g) Một tính chất thú vị khác được khảm phá bởi TS Jekuthiel Ginsburg
TS Jek u thiel G in sb u rg k hi n g h iê n c ứ u v ề dãy (F) ông đã tìm ra m ộ t
điều h ết sứ c đặc biệt. Số 89 ở vị trí th ứ 11 củ a d ãy (F ) là 1 con số vô cù ng
quan trọ ng. B ởi lẽ, số n g h ịch đảo của nó bằn g tổn g tấ t cả các số tro n g dãy
(F). Đ iều này k hô n g thể giải thích nổi v à nó đ ư ợ c v iết ra nh ư sau:
0,0112358
13
1
89 _<
21
34
55
89
144
233
0,011235955040678
h) Lại một điều kỳ thú của dãy (F) được khám phá bởi TS Jekuthiel Ginsburg
Ô ng cho biết:
Trong 3 số liên tiếp của dãy (F) Am An+I, A n +2 thì tổng lập phương của
2 số lớn trừ đi lập phương của sổ nhỏ nhất luôn luôn là 1 sổ trong dãy (F).
T a th ử kiểm c h ứ ng vớ i 3 số liên tiếp b ấ t kỳ. G iả sử: 5, 8, 13
133 + 83 - 53 = 21.97 + 512 - 125 = 2584

14
Số 2584 ch ính là số ở vị trí thứ 18 tro n g dãy F ibo n acci.
i) Dãy Fibonancci còn chứa đựng tỷ sổ vàng (Xem ở mục 1.3)
1.3. Tỷ số vàng
1.3.1. Khái niệm Tỷ số vàng VÀ mối quan hệ với cuộc sống
T rong T o án họ c và ngh ệ th u ật có rất n hiề u h iện tư ợ ng liên quan đến số
Fibonacci. Đ ặc biệt, số Fibonacci liên q u an m ật thiết với “Tỷ so vàng”, số
này có rất nh iều ứ n g d ụ ng . K hi n c àn g lớ n th ì 2 số h ạ n g kế tiếp n hau c ủa dãy
số F ibo n acci có tỷ số tiế n tới T ỷ số v àng, h ơ n n ữa, T ỷ số v àn g x u ấ t h iện trong
các hệ thứ c truy h ồ i để x á c định số Fibon acci.
K h ái n iệm T ỷ số vàng : H ai số đượ c g ọi là tạ o nên T ỷ số vàn g nếu tỷ số
giữ a tổng của c h ú n g v à số lớn bằng tỷ số giữ a số lớn v à số bé. Tỷ số ấy đư ợc
gọi là Tỷ số vàng.
N h ư vậy, giả sử a> b. K hi đó chú n g tạo n ên T ỷ số v àn g n ếu
ba
v - J
ữ + i? Q + 0
__
ữ
C í+ ồ isto aa sa isto b ~ ~ b ~ ^ '
T ỷ số vàn g là m ộ t số vô tỷ, xấ p xỷ b ằ n g 1.6180339887. s ổ này có n h iều
ứ n g d ụn g tro n g c ả T o án h ọ c và tro ng đời sống, m ộ t số hìn h ản h sau cho thấy
điều này:
T a m giác v à n g
r r
Đ ư ờng x o ă n ôc v àng
15
Tỷ lệ n ày đ ư ợ c sử d ụ n g để m ô tả tính c ân đối c ủa vạn v ật từ nh ữ n g
khối cấu trúc nhỏ n h ấ t của thiên nhiên n h ư ng u y ê n tử ch o đến n h ững thự c thể
có kích th ước cự c kỳ k h ổ n g lồ n h ư thiên thạch. K h ô n g chỉ thiên n h iên phụ

thu ộc vào n ó để d u y trỡ sự cõ n bằn g m à thị trư ờ n g tài chính có vẻ n h ư cũng
vận động th eo m ộ t quy luật tươ n g tự. C hú n g ta sẽ xem q u a m ộ t vài c ông cụ
ph ân tích kỹ th u ậ t đư ợ c p h á t triển dự a trên các n g h iên cứ u trên cái m à n gư ờ i
ta gọi là “T ỷ số v à n g ” này.
Các n h à to án h ọc, k ho a học, v à tự n h iên h ọ c đã biết đ ến “T ỷ số v àn g ”
này trong n h iều nă m . N ó đư ợ c rú t ra từ dãy F ib o n acci. Đ iều đặc b iệt nh ất
tron g dãy n à y là b ấ t kỳ m ột số n ào cũ n g đạt g iá trị xấ p xỉ 1.618 lần số đứ n g
trướ c và 0.618 lầ n số đ ứ ng sau nó (0.618 là n g h ịc h đảo củ a 1.618). T ỷ lệ này
đư ợ c biết đ ến với rấ t nhiều tên gọi: T ỷ lệ v àn g , T ỷ lệ th ần thánh, PH I V ậy
thì, tại sao tỷ lệ n à y lại q u a n trọ n g đến v ậy ? V ạn v ật d ư ờ n g như có th u ộc tính
16
gắn kết vớ i tỷ lệ 1.618, có lẽ vì thế m à nó đư ợ c coi là m ộ t tro n g n h ữ ng nhân
tố cơ bản c ấu th à n h n ên các th ự c thể tro n g tự nh iên . N e u ch ia tổn g số on g cái
chơ tổ n g số o ng đ ự c tro ng m ộ t tổ ong b ấ t kỳ sẽ có g iá trị là 1.618. N ếu lấy
kh o ản g c ách từ vai đ ế n m ó n g tay ch ia cho k h o ả n g cách g iữ a cùi chỏ v à m óng
tay thì cũng có đ ư ợ c g iá trị 1.618.
T ỷ số vàng n ày có đượ c từ m ột h ình c h ữ nh ật có tính chất đặc biệt với
độ thẩm m ỹ rấ t th ú vị:
“H ìn h chữ n h ậ t vớ i ch iều rộ n g là 1, ch iều dài là X. K hi lấy đi m ột hình
vu ô ng có cạn h b ằ n g 1 thì hình ch ữ nh ậ t còn lại sẽ có các cạnh tỷ lệ nh ư tỷ lệ
các cạnh củ a hìn h c h ữ nhật ban đ ầu ” .
V ì hìn h c h ữ n h ậ t m ới có ch iều rộ n g là X - 1 và chiều dài là 1 nên ta có:
— = —ỉ—. T a có p h ư ơ n g trìn h bâc hai x 2-x - 1 =0.
1 X - 1
B ây giờ, lại có thể ch ia h ìn h c h ữ n h ật bé th àn h m ộ t hình vu ô n g v à m ột
hình ch ữ n hậ t, m à tỷ lệ giữa hai cạn h củ a h ìn h chữ nhật cũn g là tỷ b an đầu,
và cứ tiếp tục n h ư v ậy . N ối các đỉnh k ế tiếp n h au củ a dãy h ìn h ch ữ n h ật với
nh au ta n h ậ n đư ợ c m ộ t đư ờ n g xo ắn g iố n g c o n ốc, hệt nh ư sự xếp đặt các nụ
nhỏ tro n g b ô n g h o a H ư ớ ng dư ơ ng n h ư đã m ô tả ở trên v à sự p h â n bố nh ữn g
ch iếc lá trê n m ộ t n h à n h cây. H ìn h ch ữ n hậ t n ê u trên có các tỷ lệ th ậ t đ án g chú

ý. T ừ đó, ta có đ ư ợ c “T ỷ số và n g ” : — «1.618033989. H iện nay, tỷ lệ này
đư ợc sử d ụ n g rộ ng rãi tro n g lĩnh vự c xây d ự ng và m ỹ thu ật.
Trở lại với dãy sổ Fibonacci. Thật kỳ lạ khi thấy rằng tỷ sổ này có mặt
suốt trong dãy. Thật vậy, khi nhân lần lượt các sỗ trong dãy với tỷ số vàng,
bạn sẽ tiến càng lúc càng chính xác đến giá trị của số kế tiếp.
C hăng hạn:
1 X 1.618033989 . = 1.618033989
89 X 1.618033989 = 144.005025
= 2-0.381966011
= 144 + 0.005025
2 X 1.618033989
ị
= 3.236067977
144 X 1.618033989 = 232.9968944
17
= 3 + 0.236067977
= 233 -0.0031 0 5622
3 X 1.618033989.
= 4.854101966 =
233 X 1.618033989 = 377.0019194
5 -0.1 4589 8033
= 377 + 0.0019194
5 X 1.618033989.
= 8.090169944 =
377 X 1.618033989 =609.9988138
8 + 0.090169944
= 610-0.001186246
8 X 1.618033989. = 12.94427191 =
610 X 1.618033989 = 987.0007331
13 -0.05572809

= 987 + 0.0007331
13 X 1.618033989. = 21.03444185 =
987 X 1.618033989 = 1596.999547
21 +0.03444185
= 1 5 9 7 - 0 . 0 0 0 4 5 3 1 2
21 X 1.618033989. = 33.97871376 =
987 X 1.618033989 = 1596.999547
3 4 -0.0 2 1 2 8 6 2 3 6
= 15 9 7 -0.00045312
34 X 1.618033989.
= 55.01315562 =
1597 X 1 .6 1 8 0 3 3 9 8 9 = 2 5 8 4 .00 0 2 8
55 + 0.01315562
= 2584 + 0.00028
55 X 1.618033989.
1
ị
= 88.99186938 =
89-0.008130619
T ính xác thực của các v í dụ trên có th ể cho ch ú ng ta từ từ k iểm ch ứ ng như n g
ch ú n g ta hãy c ù n g x em “T ỷ số v àn g ” có ứ ng d ụ n g gì tro n g tài chính.
1.3.2. Tỷ số vàng trong phân tích tài chính
K hi sử dụng p h â n tíc h kỹ th uậ t, “tỷ lệ v àn g” th ư ờ n g đượ c diễn giải theo 3
g iá trị ph ần trăm : 3 8 .2% , 50% , v à 61.8% . N h iều tỷ lệ k hác có thể đư ợc sử
dụ n g khi cần th iế t, n h ư 2 3.6% , 161.8% , 423%
C ó 4 p h ư ơ n g p h áp c hính trong việc áp d ụ ng d ãy F ibona cci tro n g tài chính:
Retracements, Arcs, Fans, và Time Zones.
F ib o n a c c i A r c s (F A ) đư ợ c th iết lập đầu tiê n b ằn g cá ch vẽ đ ư ờ n g thẳ n g k ết
nối 2 điểm có m ứ c g iá cao nh ất v à th ấp nh ấ t củ a giai đoạn phân tích. B a
đư ờ n g cong sau đ ó đư ợ c vẽ với tâm n ằ m trên đ iểm có m ức giá cao n h ất v à có

kh o ản g cách b ằ n g 3 8.2% , 50 .0% , 61 .8% độ dài đ o ạn thẳ n g th iế t lập.
18
F A d ùn g để dự đ o á n m ức h ỗ trợ v à khán g cự k h i đồ thị g iá tiếp cận với đ ư ờ ng
cong. M ột k ỹ th u ậ t p hổ b iến là theo d õi cả hai đ ư ờ n g F A , F F (Fibon acci Fan)
và dự đo án m ức h ỗ trợ /k h áng cự tại đ iểm g iao giữa đồ thị g iá và đ ư ờ ng
FA /FF.
Lưu ý rằng đồ th ị giá cắt đ ư ờ n g F A tại điểm n ào cò n tùy thuộc vào k ích cỡ
của đồ thị, nói cá c h khá c đ ư ờ n g FA được v ẽ lên đồ th ị n ên n ó có m ối tươ ng
qu an vớ i k ích cỡ c â n đối củ a đồ thị trê n m àn h ìn h vi tín h h o ặc trên giấy.
Đ ồ thị giá củ a Đ ồ n g B ản g A n h m ô tả cách m à đ ư ờ n g FA tìm ra các đ iểm hỗ
trợ và k h á n g cự (đ iể m A , B, C).
F ib o n a c c i F a n (F F ) đ ư ợc vẽ b ằn g cách kết nối hai đ iểm g iá cao nhất
và thấp n h ất củ a g iai đoạn p hâ n tích. Sau đó m ộ t đ ư ờ n g thẳn g đứ n g “vô h ìn h ”
sẽ đư ợ c vẽ q ua đ iểm giá cao nhất. T iếp theo đó 3 đư ờ n g chéo sẽ đượ c vẽ từ
điểm giá thấp n h ấ t cắt đư ờ ng thẳ n g đ ứ n g “v ô h ìn h ” tại b a m ức 38.2% ,
50.0% , 61.8% .
Đ ồ thị sau củ a T a x a co cho thấy các n g ư ỡng h ỗ trợ /k hán g cự trên đư ờ n g FF
19
T a có th ể thấy k h i đ ồ th ị giá gặp đ ư ờ ng F F cao n h ấ t (đ iểm A ), đồ th ị giá
kh ông thể vư ợ t q u a đ ư ờ n g FF tro ng nhiều ngày . K hi g iá vừa vư ợ t q u a đư ờ ng
FF , nó liền rớ t n han h c h ó n g đến đ iểm đáy trê n đư ờ n g FF thứ 3 (điểm B v à C )
trướ c khi tìm đư ợ c ng ư ỡ n g hỗ trợ. C ũn g lư u ý rằn g khi g iá di chu yển qua
điểm đáy (điểm C ), nó di chuyển m ột m ạch tới điểm cao nh ất (điểm D ) trên
đư ờ n g FF th ứ nh ất v à c ũ n g là điểm k há n g cự , sau đó rơi x u ố n g đ iểm g iữ a trên
đư ờ n g FF th ứ hai (đ iể m E ) trước khi đổi ch iều đi lên.
F ib o n a c c i R e tr a c e m e n t s (F R ) đ ư ợ c xác đ ịnh trư ớc tiê n bằn g các h vẽ
đư ờn g th ẳn g nối k ế t g iữ a hai đ iểm g iá cao nh ất v à th ấp n h ấ t củ a đồ thị giá
trong giai đ o ạn p h â n tích . M ột lo ạt 9 đ ư ờ n g n ằm n g ang sau đó đượ c vẽ lên tại
các m ứ c Fib o n ac c i 0.0 % , 23.6% , 38.2% , 50% , 61 .8% , 100% , 161.8% ,
261.8% , v à 42 3 .6 % tư ơ n g ứn g vớ i c hiều cao tính từ điểm g iá cao n h ất đến

thấp n h ất (m ộ t số đ ư ờ n g có thể k h ô n g đư ợ c vẽ ra khi nằm n goài quy m ô ph ân
tích củ a đồ thị).
Sau m ỗ i g ia i đ o ạn b iến độn g giá ch ính (có thể lên h oặc x uốn g ), giá
thư ờn g có x u h ư ớ n g đ ảo ng ư ợ c x u h ư ớng (to àn bộ h oặc m ộ t phần). K hi giá
đường F R (x em đ ồ th ị - ngư ỡn g hỗ trợ và kh á n g cự xu ất h iện tại đ ường
F ibo n acci 2 3 .6% v à 38.2% ).
20
F ib o n a c c i T im e Z o n es b ao gồm m ộ t loạt các đư ờ ng thẳn g đứ ng, s ắ p
xếp theo trậ t tự c ủ a dãy F ib o n acci 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, C ũng n h ư các
đư ờn g k h ác, diễn b iến thay đổi củ a giá thư ờ ng có m ức hỗ trợ /k h án g cự nằm
gần h oặc trê n các đ ư ờng th ẳ n g đ ứ n g này.
'
w
72 1731/4
OOWI nOUSTRIALS
V
175 176 |?7
ựit
miỊ \i
r 1600
1550
ịm
r ÌỊỘO
1350
h 1300
1200
1150
r 1100
r ịọsg
10G0

i- 950
900
850
800
r 750
r 700
h 050
r ẻoo
550
h 500
178 179 180 181 |8:2 |93 |86
Các kết quả nghiên cứu về Fibonacci này không có ỷ định làm kim chỉ nam
cho việc xác định thời gian xâm nhập hoặc thoát ra khỏi thị trường. Tuy
nhiên, nó có thể hữu ích trong việc xác định vũng hỗ ượ và kháng cự. Đ a
ph ần các n h à đ ầu tư sử d ụ n g k ế t h ọp cả 4 p h ư ơ n g p h á p F ibo n ac ci này để có
thể đư a ra các m ứ c dự đoán ch ín h xá c hơ n. M ộ t n h à ph â n tích có thể chỉ sử
dụ n g Fib o nacci A rcs và các điểm g iao tại v ù n g hỗ trợ hoặc kh án g cự. N hiều
ng ườ i k h ác k ết h ợ p các n g hiên cứ u về F ib o n acci với các d ạn g thức p hân tích
kỹ thu ậ t kh á c n h ư “lý th u yết són g E llio t” để d ự đ oán m ức độ đảo ng ư ợ c xu
21
h ư ớ n g sau m ỗi bư ớc só ng kh ác nhau, ở đây, chỉ xin d ừ n g lại ở m ức độ ứng
d ụ n g c ơ bản của d ãy F ibo na cc i tro n g tài ch ính.
1.3.3. Một sổ ứng dụng khác
Tỷ số v à n g k h ôn g chỉ x uấ t h iện tro n g tự nh iê n m à còn x u ất hiện tron g
n g hệ th u ậ t n h ư là lý tư ở n g cổ điển về cái Đ ẹp . C ó m ộ t đ iều gì đó thần kỳ bao
q u a n h dãy số F ib ona cci. T h ự c tế, h iện n ay H ộ i F ib o n acci đan g h o ạt động
d ư ớ i sự lãnh đạo củ a m ột linh m ục v à có tru n g tâ m ở T rư ờ n g Đ ại học St.
M ary tại C alifornia. M ụ c đích củ a H ội là tìm k iế m các ví dụ của T ỷ số v àng
cũ n g nh ư củ a các số F ib o n acc i tro n g tự nh iên, tro n g n gh ệ th u ật và tro ng kiến
trú c v ới n iềm tin rằn g T ỷ số vàng là m ó n q uà T h ư ợ ng đế b an tặn g cho thế giới

n à y . N h ư là ch u ẩn m ự c củ a cái Đ ẹp, T ỷ số v àn g h iệ n diện ở nh iều nơi, chẳn g
h ạn như m ộ t vài ví dụ sau:
- Đ iện P arth en o n củ a thà n h A thens có tỷ số g iữ a chiều cao và chiều dài của
Đ iệ n P arthen o n chính là T ỷ số vàng!
- K im tự th á p v ĩ đại ở G iza đ ược x ây d ự ng từ n h iề u trăm năm trư ớ c Đ iện
P arth en o n củ a H y L ạ p cũ n g có tỷ số g iữ a ch iều cao củ a m ột m ặt với m ột nử a
c ạ n h đ áy là Tỷ số vàng .
- M ộ t b ản v iết trê n giấy cỏ R h ind củ a ngư ời A i C ập có nh ắc tới "T ỷ số thần
th á n h ". C ác p ho tư ợ n g cổ cũ n g nh ư các bứ c tra n h th ời k ỳ P hục H ư ng đ ều biểu
h iệ n các tỷ lệ b ằ n g T ỷ số v àng , m ộ t tỷ số th ầ n thánh .
- T ỷ số v à n g đã đ ư ợ c tìm kiế m n hư là “b iể u tư ợ n g của vẻ đẹp” v ư ợ t x a các
Hoài h o a ha y các c ô n g trình kiến trúc. T ro n g m ộ t b ứ c th ư gửi H ội F ibo nacci
v à i năm trư ớ c đâ y , m ộ t thàn h viên đã m iêu tả m ột n g ư ờ i tro ng k hi tìm k iếm
'Tỷ số vàn g đ ã h ỏi vài cặp v ợ chồng để làm m ộ t cu ộc thí ngh iệm . Ô ng ta yêu
'Cầu n gười ch ồ ng đo ch iều cao đ ến rố n củ a v ợ rồi ch ia ch o ch iều cao củ a vợ.
K ế t q u ả là, đối v ớ i tẩt cả các cặp v ợ ch ồng , tỷ số đó đều xấp xỉ bằn g 0 ,618 -
T ỷ số vàng. Nhà T oán học người Italia L eo n a rd o D a V in ci là ng ư ời đ ầu tiên
đưa ra k h ẳ ng đ ịn h m ối q u a n hệ củ a cấu trú c c ơ th ể con n gư ờ i liên qu an tới tỉ
số vàn g. Đ ể k há m ph á ra b í m ật này L e o n a rd o D a V in ci k h ô n g chỉ n ghiên cứu
22
trên cơ thể m ình , b ạ n bè, n gườ i thân m à ông cò n b í m ật k hai q uật hàng trăm
ngôi m ộ để n g h iên cứ u tỉ lệ cấu trúc x ư ơ ng củ a cơ th ể con người.
- T heo các nhà S inh học thì n h iệt độ "tối thích " cho cơ thể chún g ta ph át triển
là 22.87 độ . Đ em số 37 (n hiệt độ c ủa c ơ thể con ng ư ờ i) chia cho 22.87 thì
được co n số đ ún g b ằn g T ỷ số vàng!
- Đ o chiều cao củ a b ạn từ rốn lên đến đ ỉnh đ ầu gọ i là X , sau đó đo ch iều cao
của b ạn từ rốn x u ốn g đến ch ân gọi là y. D ang 2 tay ra là đo ch iều dài đó gọi là
a. N ếu y /x = T ỷ số vàn g v à (x + y )/a cũ n g b ằn g T ỷ số v àng, đó là bạ n đ ã có
m ột thân hìn h củ a cá c siêu m ẫu. Đ iều nà y h o àn to à n là sự th ật vì các hãng
thời trang đều tu ân thủ n ghiêm n g ặt quy địn h n ày k hi tuy ển ngư ờ i m ẫu.

H ãy q u an sát th ử m ộ t bô n g ho a H ư ớ n g D ư ơ n g, phần tru n g tâm của H o a ở N hị
và N hụy sẽ th ấy c á c đ ư ờ n g xo ắn ốc L og a rit đi th eo đ ú n g vớ i Tỷ số V àng. Y à
các n h à S inh h ọc n h ậ n th ấy rằng , bấ t c ứ loài h oa n ào đư ợ c n h ân loại gọi là
Đ ẹp thì đ ều có m ột cái gì đó bố cục liên q u an đến T ỷ số vàng.
1.4. H ệ th ứ c tr u y h ồ i tìm số F ib o n ac ci
1.4.1. Khái niệm mở đầu và mô hình hóa bằng hệ thức truy hồi
Đ ôi khi ta rất kh ó định n g hĩa m ộ t đối tư ợ n g m ộ t c ách tườ n g m inh.
N h ư n g có thể dễ d à n g đ ịnh nghĩa đối tư ợ n g n ày q u a ch ính nó. K ỹ th u ật này
đư ợ c gọi là đệ quy. Định nghĩa đệ quy của m ột d ãy số đ ịn h rõ giá trị củ a m ột
hay n h iều hơ n c ác số h ạn g đầu tiên v à q uy tắ c x ác đ ịn h các sổ hạn g tiếp theo
từ các số hạng đi trư ớ c. Q uy tắc tìm các số h ạ n g từ các số h ạng đi trướ c đư ợc
gọi là các hệ thức tru y hồi.
Định nghĩa 1. Hệ thức truy hồi (hay công thức truy hồi) đối với dãy số {an}
là cô ng thức b iểu d iễn an qu a m ột hay n h iều số h ạ n g đi trư ớc c ủa dãy. D ãy số
đư ợ c gọi là lời giải h ay nghiệm củ a hệ th ức tru y hồ i n ếu các sổ h ạ n g củ a nó
th ỏ a m ãn h ệ thứ c tru y hồi này.
Thỉ dụ (Lãi kép). G iả sử m ộ t n gư ờ i gửi a d ollar với lãi su ất kép b% m ỗi năm .
Sau n năm an h ta có số tiền tro n g tài k h o ản củ a m ình là:
23
P n = P n.,+ b % P n.1 = (l+ b % )P „ .1.
T ừ đó suy ra p n - ( l+ b % )na.
1.4.2. Giải các hệ thức truy hồi
Định nghĩa . M ộ t hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc k với hệ sổ hằng
số là hệ thứ c truy h ồ i có dạng:
cln C|Sn.] + C2&n-2 ^k^n-k 5
trong đó Ci, c2, c k là các số thực.
T h eo n g u y ê n lý q u y nạp toá n họ c thì dãy số th ỏ a m ãn hệ thức truy hồi
nêu tron g định n g h ĩa đ ư ợ c xác đ ịnh duy n hất b ằn g hệ thứ c truy hồi này v à k
điều k iện đầu:
a0 = Co, ai = Cj,a^.1 = Ck.Ị.

P h ư ơ n g p h áp cơ b ản để giải h ệ thứ c tru y h ồi tu y ế n tính thu ần n hất là tìm
ng h iệm dướ i d ạ n g an = rn, tro n g đó r là hằ n g số. C h ú ý rằn g an = rn là ngh iệm
của hệ thứ c truy h ồ i an = Cian.i + c2an.2 + + ckan_k nếu v à chỉ nếu
T ừ đó ta có: r k -Ci rk'' - c2 rk'2 - - Ck-1 r - c k = 0.
P h ư ơ n g trìn h này đ ư ợc gọi là phương trình đặc trung v à ng hiệm của nó gọi là
nghiệm đặc trưng c ủ a hệ thứ c tru y hồi.
Mệnh đề. Cho Cj, c2, ck là các số thực. Giả sử rằng phương trình đặc
trưng
r k - C ] r '1 - c 2 r k'2 - - C k r i r - c k = 0
có k nghiệm phân biệt rỊt r2, rk . Khi đó, dãy ịan} là nghiệm của hệ thức
truy hồi
ũn — C]ũn-I + C2ữn-2 ••• ^k^n-k
nếu và chỉ nếu
an = a,rp + a2r2n + + akrkn,
với n = 1, 2, trong đó aI, a2, ak là các hằng sổ.
C ô n g th ứ c F ib o n a c c i c h o b ở i hệ th ứ c tr u y hồi
D ãy các số F ib o n ac c i th ỏ a m ã n hệ thứ c fn = fn-i + fn-2 và các điều kiện đầu
24
f0 = 0 v à f] = 1 .
T a có p h ư ơng trìn h đặc trư n g là: X 2 - X - 1 = 0.
C ác ng h iệm đặc trư n g là ri = - +- ^ v à r2 = — .
D o đó các sổ F ib o n ac ci đư ợ c cho bởi cô ng th ứ c fn = ai (ri)n + a2(r2)n.
C ác đ iều k iện b an đ ầu ta có
f0 = 0 = ai + a2;
fi = 1 = ai ri + a2r2.
T ừ hai ph ư ơ ng trìn h này cho ta ai = — , a2 = - — .
D o đó các số F ibo n a c ci đư ợ c cho b ởi c ông th ứ c tổ n g q u át sau:
A
Ị ỉ + yíì)
" V5

Ị1 - V 5 Ì
5
{ 2 J
5 ■
1 2 J
C ô n g th ứ c B in et c h o số F ib o n a c c i
F ( n ) = £ r . 0 - J g>-
\ / 5
trong đỏ ty là tỷ sổ vàng ở trên.
Chứng minh (b ằ n g q uy nạp). T ừ hệ thứ c truy hồ i F ibo n acci
F{n + 2 ) - F(n + 1) - F ( n ) = 0.
dẫn tới p h ư ơ n g trìn h xác đ ịnh T ỷ số v àn g: X2 - X - 1 =0.
M ột nghiệm bất lỳ c ủ a p hư ơ n g trình trên th o ả m ãn tín h chất X2 = X + 1, nhân
hai vế vớ i jCn_1 ta có:
xn + ỉ= x n + x n- 1
C h ú ý rằng , th eo địn h n g h ĩa về số p th ì ^ là m ột n g h iệm củ a ph ư ơn g trình và
nghiệm kia là 1 — if. D o đó
<p"+i =ự>n + ¥>n_1v à
( 1 - ( 1 - v»)" + ( 1 - V* ) " -1
B ây g iờ định n g hĩa hàm Fa b(n) bởi
25
Fa,b{n) — aíp + 6 (1 ^p) xác địn h v ớ i m ọi số thự c aì b'
Tất cả các hà m n ày th ỏ a m ãn hệ thứ c truy h ồi F ib o nacci, th ật vậy
Fa>b(n + l)=aự>n+1 + b { l - v ) n+1
=
a(<pn
+
tpn- 1)
+ 6((1 -
<p)n

+ (1 -
tp)"-1)
= aípn
+ 6(1 —
Ip)n
+ ay?n_1 + 6(1 —
= + F a>ố( n - 1 )
B ây giờ c h ọ n ữ — l / 1^ v à k ~ VTiếp tuc:
= ụ g - Ụ ẽ = 0
và
„ , , , V ụ - v ) - 1 +2ự > _ - 1 + (1 + V S ) _ ,
”M ; v / s v /5 v /5 v ”5
nh ữ n g c h ứ n g m in h ờ trên ch ứ ng tỏ rằn g vớ i m ọ i n
¥ ■ " - ( ! - g ) "
V 5
C hú ý rằng , với h a i g iá trị khởi đ ầu b ấ t kỳ c ủ a a,b, h àm Fa b(n) là công thức
tườ ng m inh cho m ộ t lo ạt các hệ thứ c tru y hồ i.
1.5. Mở rộng dãy số Fibonancci
1.5.1. Mở rộng cho các số ăm
D ùng Fn.2 = Fn - Fn.\, có thể m ở rộ n g các số F ib ona cci cho các chỉ số ngu y ên
âm . K hi đó ta có: -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, v à F .„ = -(-1)"F„.
1.5.2. Không gian vectơ
T hu ậ t n g ữ dãy Fibonacci cũ ng đư ợ c dù n g cho các hàm g từ tập các số
ng uyên tới m ộ t trư ờ n g F th o ả m ã n g{n+2) = g(n) + g(n+\). C ác hàm n ày có
thể b iểu diễn dư ớ i dạn g
g(n) = F(n) g( 1 ) + F(n-1) g{ 0),
do vậy các dãy F ib o n ac c i h ình th à n h m ộ t không gian vectơ vớ i hàm F(n) và
F(n-1) là m ộ t cơ sở.