Ứng dụng của đại số máy tính trong hình học đại số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN
TÊN ĐỂ TÀI:
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI số MÁY TÍNH TRONG
HÌNH HỌC ĐẠI số
MÃ SỐ: QT - 06 - 03
CHỦ TRÌ ĐỂ TÀI: TS. PHÓ ĐỨC TÀI
CÁC CÁN BỘ THAM GIA:
1. NCS. ĐÀO PHƯƠNG BẮC
2. THS. LÊ QUÝ THƯỜNG
HÀ NỘI-2007
A. BÁO CÁO TÓM TẮT:
BÁO CÁO TÓM TẮT
a. Tên đề tài, mã số:
Tên đề tài: ứng dụng của đại số máy tính trong hình học đại số
Mã số đề tài: QT - 06 - 03
b. Chủ trì đề tài: TS. Phó Đức Tài (Khoa Toán-Cơ-Tin học)
c. Các cán bộ tham gia: NCS. Đào Phương Bắc, ThS. Lê Quý Thường
d. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:
- Mục tiêu của đề tài: Xây dựng một nhóm nghiên cứu về Hình học đại số ở
Khoa Toán-Cơ-Tin. Tiến hành nghiên cứu một số vấn đề chọn lọc trong Hình
học đại số và các ứng dụng của đại số máy tính trong những vấn đề này.
- Nội dung của đề tài: Chúng tôi bắt đầu thực hiện đề tài vào 03/2006. Sau đây
là các nội dung chính của đề tài trong nãm qua:
+ Nghiên cứu về đường cong và mặt cong đại số có kỳ dị trên trường đặc
số hữu hạn: Hai năm trở lại đây, TS. Phó Đức Tài cộng tác với GS. Ichiro
Shimada (Đại học Hokkaido, Nhật bản) nghiên cứu lĩnh vực này. Chúng tôi đã
chứng minh được dự đoán của Shioda về tính đơn hữu tỉ của mặt K3 trong một
số trường hợp, kết quả đầu tiên đã được công bố. Chúng tôi tiếp tục để chứng
minh dự đoán này trong những trường hợp còn lại.
+ Nghiên cứu về kỳ dị suy biến: Đây là nội dung chính của luận văn cao

học mà ThS. Lê Quý Thường đã bảo vệ thành công vào 12/2006. Chúng tôi
muốn phát triển lý thuyết của A ’Campo-Oka để nghiên cứu các bất biến tôpô
của kì dị suy biến, cụ thể là hàm zêta, số Milnor, v.v.
+ Nghiên cứu về nhóm đại số và lý thuyết biểu diễn: NCS. Đào Phương
Bắc tiến hành nghiên cứu bài toán số 14 của Hilbert, nghiên cứu mở rộng các
kết quả của Grosshans, Sukhanov và Bogomolov về những nhóm đại số xác
định trên trường đóng đại số cho trường số học.
+ Nghiên cứu các thuật toán về đường cong elliptic và viết một gói lệnh
cho phần mềm toán học Maple cho các thuật toán nàv: Đây là một chủ đề thời
sự, có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu lý thuyết lẫn ứng dụng. ThS. Lê
Thị Minh Hải đã bảo vệ thành công vào 12/2006 về chủ đề này.
+ Ngoài ra chúng tôi còn hướng dẫn 01 khóa luận tốt nghiệp đại học và
01 luận văn cao học khác về các chủ đề liên quan đến đề tài.
+ Xêmina khoa học: Đề tài tài trợ cho xêmina khoa học thườnc kv của
nhóm về Hình học đại số; tài trợ một phần cho xêmina về Đường cong elliptic
I
(xêmina liên kết với Ban Cơ yếu Chính phủ); tài trợ một phần cho xêmina
Đường cong đại số (chuỗi 4 bài giảng của GS. Ngô Bảo Châu); tài trợ một phần
cho trường hè ứng dụng Đại số trong Hình học và Tôpô (Quảng Bình 08/2006).
+ Biên dịch sách phục vụ giang dạy: Dịch cuốn sách Đường cong đại sô'
phức (Cambridge University Press, 1992) của F. Kirwan phục vụ cho việc giảng
dạy chuyên đề đại học và sau đại học.
+ Nộp báo cáo chuẩn bị nghiệm thu: Cuối tháng 02/2007.
+ Tiến hành nghiệm thu đề tài: dự kiến trong tháng 03/2007.
e. Các kết quả đạt được:
- Các kết quả của đề tài đã được báo cáo trong năm 2006: 01 báo cáo tại
xêmina Hình học đại số ở Đại học khoa học tự nhiên Tôkyô (Nhật bản), 03 báo
cáo tại Hội thảo 50 năm Khoa Toán-Cơ-Tin học, và các báo cáo tại các xêmina
khác.
- Một bài báo đã được đăng trên tạp chí quốc tế có uy tín:

Phó Đức Tài và Ichiro Shimada, Unirationality of certain supersingular
K3 surfaces in characteristic 5, Mamiscriptci Mathematics, Vol. 121, 425-435
(2006).
- Hai bài báo khác đã gửi các tạp chí quốc tế:
1. Phó Đức Tài, Dual of smooth quartics (với phẩn phụ lục được viết bởi
H. Tokunasa).
2. Lê Quý Thườns, Zeta function of degenerate plane curve
singularities.
- Viết gói lệnh Ellcurves cho phần mềm toán học Maple 10. Địa chỉ trang web
của gói lệnh:
/>- Các khóa luận đại học và luận văn cao học liên quan đến đề tài dã bảo vệ
thành công trong năm 2006:
Khóa luân tốt nghiêp:
1. ứng dụng của đại sô' máy tính trong hình học của sinh viên Đỗ Thị
Bích Phượng (lớp K47A1S).
Luân văn cao hoc:
1. Một số thuật toán về đường cong elliptic của học viên Lê Thị Minh
Hải (Khóa 2004-2006).
II
2. Đường cong hĩcii tỷ có kỳ dị của học viên Nguyễn Thị Quyên (Khóa
2004-2006).
3. Hàm zêta của kỳ dị suy biến học viên Lê Quý Thường (Khóa 2004
2006).
f. Tình hình kinh phí của đề tài:
- Kinh phí được cấp để thực hiện đề tài: 20.000.000 đ, trong thời gian thực hiện
đề tài la 12 tháng (từ 03/2006 đến 03/2007).
- Kinh phí được chi vào các mục sau đây:
+ Các bài báo, báo cáo khoa học và thù lao chuyên môn: 6.500.000 đ
(bao gồm việc chi phí cho đăng 01 bài báo tạp chí quốc tế, 03 báo cáo hội
thảo khoa học và các thuê mướn khác)

+ Hội thảo và xêmina khoa học: 7.500.000 đ
(bao gồm: xêmina của nhóm; xêmina liên kết hợp tác với Ban cơ yếu CP;
xêmina mời chuyên gia giảng bài; công tác phí đi dự hội thảo)
+ Các chi phí hỗ trợ khoa học khác: 6.000.000 đ
(bao gồm các mục: văn phòng phẩm; thông tin, liên lạc; chi phí nghiệp vụ
chuyên môn)
CHỦ NHIỆM KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC CHỦ TRÌ ĐỀ t à i
(Ký và ghi rõ họ tên) (Ký và ghi rõ họ tẽn)
GS. TS. Nguyễn Hữu Dư
TS. Phó Đức Tài
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
111
PROJECT SUMMARY
a. Title, code:
Title: Applications of Computer Algebra in Algebraic Geometry
Code: QT-06-03
b. Head of the research group: Dr. Phó Đức Tài (Department of Math.)
c. Other members of the research group: B.Sc. Đào Phương Bắc, M.Sc. Lê
Quý Thường.
d. Research aims and contents:
- Research aims: Build a research team on Algebraic Geometry at Department
of Mathematics. Research on some topics in Algebraic Geometry and apply
Computer Algebra in these topics.
- Contents of the project: We start our project in 03/2006. Main contents of the
project:
+ Research on singular algebraic curves and singular algebraic surfaces
on positive characteristic fields: Recent years, Dr. Phó Đức Tài cooperate with
Professor. Ichiro Shimada (Hokkaido university, Japan) in this research. We
proved a conjecture of Shioda on unirationality of K3 surfaces for certain cases,
we published one paper on this result. We continue to prove the conjecture.

+ Research on degenerate singularities: This is the main study in the
master thesis in which Mr. Lê Quý Thườns defended successfully in 12/2006.
We want to develop the theory by A’Campo-Oka to study topological
invariants of degenerate singularities, such as zeta function, Milnor number,
etc.
+ Research on algebraic groups and representation theory: Mr. Đào
Phương Bắc are doing research on the Hilbert’s 14th problem, he try to extend
the results of Grosshans, Sukhanov and Bogomolov on algebraic groups defined
on algebraic closed fields to number fields.
+ Research of algorithms on elliptic curves and write a package for
mathematical software Maple: This is a hot topics, it has many applications,
especially in cryptography. Ms. Lê Thị Minh Hải defended successfully in
12/2006 on this topic in her master thesis.
+ We also supervise another 01 undergraduate thesis and 01 master
thesis those relate to topic of the project.
IV
+ Scientific seminars: The project support for weekly seminar of our
group on algebraic geometry; support partly for seminar on elliptic curve
(cooperate seminar between our group and The Academy of Technical
Cryptography); support partly for seminar on algebraic curves (this is a series
of 4 lectures of Prof. Ngô Bảo Châu); support partly for summer school
Applications of Algebra in Geometry and Topology (Quang Binh 08/2006).
+ Translation suppose for education: We translate the book Complex
Algebraic Curves (Cambridge University Press, 1992) of F. Kirwan. This book
is used in teaching undergraduate and graduate courses.
+ Submitted the final report: 02/2007
+ Defend the project: 03/2007.
e. Outcomes:
- Talks at seminar and workshop in 2006: 01 talk at algebraic geometry seminar
at Tokyo University of science (Japan); 03 talks at Workshop of 50 years -

Department of Mathematics; and several talks at other seminars.
- Published paper:
Phó Đức Tài và Ichiro Shimada, Unirationality of certain supersingular
K3 surfaces in characteristic 5, Mamiscripta Mathematics, Vol. 121, 425-435
(2006).
- Two papers submitted to international journals:
1. Phó Đức Tài, Dual of smooth quartics (with an appendix written by
H. Tokunasa).
2. Lê Quý Thường, Zeta function of degenerate plane curve
singularities.
- Write a package Ellcurves for mathematical system Maple 10. The address of
webpage:
/>- Undergraduate and master theses relate to the project in 2006:
Undergraduate thesis:
1. Applications of Computer Algebra in Geometry by student Đỗ Thị
Bích Phượng (Class: K47A1S).
Master theses:
1. SomỀ algorithms on elliptic curves by student Lê Thị Minh Hải
(Course 2004-2006).
2. Rational curves with singularities by student Nguyễn Thị Quyên
(Course 2004-2006).
3. Zeta functions of degenerate singularities by student Lê Quý Thường
(Course 2004-2006).
VI
B. PHẦN CHÍNH BÁO CÁO:
VII
Mục lục
Lời mở đầu 1
Nội dung chính 2
I. Các chù đề nghiên cứu khoa học của đề tài

2
1. Phân loại đường cong và mật cong đại số có kì dị 2
2. Nghiên cứu giải kỳ dị và các bất biến tôpô của kỳ d ị
5
3. Đường cong elliptic và các ứng dụng 7
4. Nghiên cứu về nhóm đại số và lý thuyêt biểu diễn 7
5. Đường cong hữu tỉ có kỳ dị 8
6. Úng dụng của đại số máy tính trong hình học
9
II. Các hoạt động khác của đề tài 9
III. Kết quả của đề tài 9
Kết luận 11
Tài liệu tham khảo 12
c. Phụ lục: 15
1. Photocopy các bài báo, bìa các luận vãn Đại học, Thạc sỹ

2. Tóm tắt các công trinh NCKH của cá nhân
3. Scientific Project
4. Phiếu đăng ký kết quà nghiên cứu

viii
Lời mở đầu
Đại số máy tính ngày nay là một công cụ không thể thiếu được trong
việc nghiên cứu toán học nói chung và hình học đại số nói riêng. Đề tài này bao
gồm các vấn đề chọn lọc trong hình học đại số dưới đây: (Trong đó các vấn đề
1,3,5,6 cần đến công cụ đại số máy tính; còn vấn đề 2 chúng tôi sẽ viết thuật
toán và lập trình trong Maple để tính toán thực hành giải kì dị đường cong.)
Ba chủ đề chính của đề tài:
1. Phân loại kỳ dị của đường cong và mặt cong đại số.
2. Nghiên cứu giải kỳ dị và các bất biến tôpô của kỳ dị.

3. Đường cong elliptic và các ứng dụng.
Ngoài ra còn các chủ đề khác:
4. Nghiên cứu về nhóm đại số và lý thuyết biểu diễn.
5. Đường cons hữu tỉ có kỳ dị.
6. ứng dụng của đại số máy tính trong hình học.
Sáu chủ đề trên mặc dù là nằm trong chuyên ngành hình học đại số, nhưng
nội dung khá độc lập với nhau. VI vậy trong phần mở đầu này chúng tôi không
giới thiệu từng nội dung một. Người đọc có thể xem ở phần Báo cáo tóm tắt ở
đầu tập sách này, hoặc chi tiết hơn ở các phần sau.
Trong quá trình thực hiện đề tài, chúng tôi đã có được nhiều sự hợp tác của
các cơ quan bạn, các đồng nghiệp. Chúng tôi chân thành cảm ơn tất cả sự hợp
tác và giúp đỡ đó.
Hà nội, tháng 02 năm 2007,
Chủ trì đề tài,
Phó Đức Tài
1
Nội dung chính
I. Các chủ đề nghiên cứu khoa học của đề tài
Dưới đây là sáu chủ đề chính mà nhóm nghiên cứu của chúng tôi cùng các
sinh viên đã thực hiện trong khuôn khổ của đề tài.
1. Phân loại đường cong và mặt cong đại số có kì dị
Vấn đề phân loại kỳ dị của đường và mặt đại số là một trong những bài
toán cổ điển của hình học đại số. Chúng tôi đã nghiên cứu chủ đề này trong
nhiều năm nay. Trong năm 2006, chúng tôi có xuất bản bài báo dưới đây:
Phó Đức Tài và Ichiro Shimada, Unirationality of certain supersingular K3
surfaces in characteristic 5, Mamiscripta Mathematics, Vol. 121, 425-435
(2006).
Dưới đây là tóm tắt nội dung của bài báo:
Một mặt đại số X được gọi là mặt K3 nếu nó có ước chính tắc (canonical
divisor) Kx tầm thường và số Betti thứ nhất b](X)=0. Ta có định lý Torelli:

Hai mặt K3 là đẳng cấu nếu tồn tại phép đẳng cự Hoclge giữa đối đồng điều
chiểu 2 của chúng với hệ số nguyên (là các dàn). Vì vậy việc phân loại mặt
K3 dẫn đến việc phân loại các dàn hay các dạng toàn phương nhờ vào lý
thuyết cửa Nikulin. Xem các tài liệu tham khảo [CS99], [E02], [N79] và
[S04]. Việc phân loại này cần nhiều sự trợ giúp của Đại số máy tính.
Chúng tôi nghiên cứu trên trường đóng đại số k.
Một mặt K3, X, được gọi là siêu lạ (theo định nghĩa của Shioda [S74])
nếu số Picard của Xbằng 22. Mặt siêu lạ K3 chỉ tồn tại trong trường đặc số
lớn hơn khôns. Năm 1975, trong bài báo [A75], Artin chứng minh rằng, nếu
Xlà một mặt K3 siêu lạ thì biệt thức của dàn Néron-Severi NS(X) của Xviết
được dưới dạng -p2ơ<XÌ, ở đó ơ(X) là một số nguyên dương bé hơn hoặc bằng
10. Số nguyên ơ(X) được gọi là bất biến Artin của X.
Một mặt s được gọi là đơn hữu tỉ (unirational) nếu trường hàm k(S) của s
chứa một trường mở rộnơ siêu việt thuần túy của I, hoặc một cách tương
đương tồn tại một ánh xạ hữu tỉ dominant từ mặt phẳng xạ ảnh đến s. Trong
2
[S74] Shioda chứng minh rằng, nếu một mặt xạ ảnh trơn s là đơn hữu tỉ, thì
số Picard của s bằng số Betti thứ hai của nó. Artin và Shioda đưa ra dự đoán
chiều ngược lại cũng đúng cho các mặt K3 (xem chẳng hạn trong [S77]):
Dự đoán: Mọi mặt K3 siêu lạ đều là đơn hữu tỉ.
Trong bài báo này chúng tôi xét dự đoán trên trong trường đặc số 5. Giả
sử k là một trường có đặc số bằng 5. Xét không gian các đa thức biến X bậc
6, kí hiệu bởi k{xỉ6. Giả sử u là không gian con của k[xl6, bao gồm các đa
thức f(x) thuộc k[x]6 sao cho phương trình bậc năm f ’(x)=0 không có
nghiệm bội. Rõ ràng u là một tập con mở trù mật của k[xl6. Với mỗi/thuộc
u, kí hiệu Cf là đường cong xạ ảnh bậc 6 mà phần affine của nó được định
nghĩa bởi
y5 -f(x) = 0.
Giả sử Yf—> p 2 là phủ 2 lá của p2 với phần rẽ nhánh là Cf, và giả sử x^->
Yf là giải kì dị cực tiểu của Yf. Kết quả chính của bài báo là:

Định lý: N ếu f là một đa thức trong u, thì Xflà một mặt K3 siêu lạ với
ơ(Xf) < 3. Ngược lại, nếu X là một mặt K3 siêu lạ với ơ(Xf) < 3, thì tồn tại
đa thức f trong u sao cho X đẳng cấu với Xị .
Do phần affine của Yf định nghĩa bởi YV2 - y5 - f(x), vì vậy trường hàm
k(Xf) bằng k(\v,x,y), và nó chứa trong mở rồng trường siêu việt thuần túy
k(wl/5,xl/5) của k. Từ đó ta có hệ quả sau:
Hệ quả: Mọi mặt K3 siêu lạ trong đặc số 5 với bất biến Artin < 3 đều là đơn
hữu tỉ.
Tính đơn hữu tỉ của một mặt K3 siêu lạ trong đặc số p > 0 với bất biến
Artin ơ được chứng minh trong các trường hợp sau:
(i )p = 2,
(ii) p = 3 và ơ< 6,
(iii) p lẻ và ơ< 2.
3
Các trường hợp (i) và (ii) được chứng minh bởi Rudakov và Shafarevich
trong [RS78,RS81]. Trường hợp (iii) của suy ra từ việc kết hợp 2 kết quả của
Ogus và của Shioda [S77], Ogus chứng minh mỗi mặt K3 siêu lạ trong đặc
số p > 0 với bất biến Artin ơ< 2 là mặt Kummer, còn kết quả của Shioda là
mỗi mặt Kummer đều là đơn hữu tỉ.
Để chứng minh định lý trên, chúng tôi chứng tỏ rằng mỗi mặt K3 siêu lạ
trong đặc số p > 0 với bất biến Artin ơ< 3 song hữu tỉ với mặt K3 chuẩn tắc
với kì dị 5A4, mặt K3 này là một phủ 2 lá của p 2, và sau đó chứng tỏ rằng
mạt K3 này đẳng cấu với Yị với m ột/nào đó thuộc u. Chứng minh bước thứ
nhất cần dùng đến định lý cấu trúc của dàn Néron-Severi của các mặt K3
siêu lạ (xem [RS78]). Để chứng minh bước thứ hai, chúng tôi khảo sát các
đường cong bậc 6 với kì dị 5A4.
Hiện tại cùng với giáo sư Ichiro Shimada, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu
dự đoán này. Trong tháng 3/2007, giáo sư Ichiro Shimada sẽ sang trường ta
giảng bài cho học viên, NCS; báo cáo xêmina; và thảo luận khoa học với
nhóm chúng tôi.

4
2. Nghiên cứu giải kỳ dị và các bất biến tôpô của kỳ dị
Dưới đây là một vài nét chính trong hướng nghiên cứu này. Đây là nội dung
luận văn thạc sỹ của anh Lê Quý Thường [V3] dưới sự hướng dẫn của TS. Phó
Đức Tài. (Anh Thường đã viết lại luận văn thành một bài báo tiếng Anh gần 20
trang và đã gửi đăng tạp chí.)
Điểm kì dị của tập đại số là đối tượng cơ bản trong hình học đại số và là tâm
điểm nghiên cứu của rất nhiều nhà toán học lớn trong suốt thế kỷ qua. Các
nghiên cứu sâu sắc đã được thực hiện như giải kì dị, phân thớ Milnor,
Với mỗi siêu mặt V xác định bởi đa thức nhiều biến/(z) của C[z], z=(z0,
z„) có kì dị tại gốc toạ độ, J. Milnor đã xây dựng một phân thớ đặc trưng cho kì
dị đó, sau này gọi là phân thớ Milnor ([M68]). Phân thớ này cho phép nghiên
cứu kì dị một cách hiệu quả từ phương diện tôpô, mang lại những hiểu biết về
tôpô của siêu mặt V trong lân cận của các điểm kì dị. Khi nghiên cứu về phân
thớ đặc trưng của kì dị phức, Milnor rất chú ý đến các liên (link) K (liên hệ với
lý thuyết nút), các thớ F và đồng phôi đơn đạo h. Những kết quả của ông trong
lĩnh vực này đem đến cho chúng ta một cái nhìn đầy đủ và sâu sắc về tôpô của
kì dị phức, đặc biệt là kì dị cô lập.
Các nghiên cứu về đơn đạo của kì dị phức cho những kết quả hết sức
thú vị. Chẳng hạn, khi n khác 2, đa tạp K là một mặt cầu tôpô nếu và chỉ nếu
giá trị của đa thức đặc trưng A (?) của h* tại r=l khả nghịch trong z (xem
[M68], tr. 68); hoặc, khi n lẻ thì đa thức đặc trưng A(0 hoàn toàn xác định cấu
trúc khả vi của K (xem [M68], tr. 69), Bên cạnh đó, hàm zeta của đơn đạo h,
với mối quan hệ mật thiết với đa thức đặc trưng của /
2
* và nhiều bất biến quan
trọng khác như số Milnor, đa thức Alexander, chuỗi Poincaré, các cặp Puiseux,
nửa nhóm của kì dị, đã trở thành một trong những bất biến quan trong nhất
trong lý thuyết kì dị. Hơn nữa, với nguồn gốc từ lý thuyết số, hàm zeta của đơn
đạo còn phản ánh được các tính chất của trường hàm, vành địa phương của kì dị

và liên hệ được nhiều đối tượng khác nhau trong hình học và số học.
Được thúc đẩy bởi các nghiên cứu về phân thớ Milnor, hàm zeta của
đơn đạo được nghiên cứu rất mạnh mẽ từ những năm 70 của thế kỷ XX bởi
nhiều nhà toán học tên tuổi. Không lâu sau khi N. A'Campo ([AC75]) đưa ra
5
một phương pháp xuất sắc tính hàm zeta bằng giải kì dị, A. N. Varchenko đã
có được lời giải đầy đủ cho bài toán tìm hàm zeta của kì dị không suy biến của
các tập đại số (giải tích) phức. Cần nói thêm rằng, ở thời điểm đó, sự phát triển
của hình học xuyến và các phép giải xuyến (khởi đầu bởi G. Kempf, F.
Knudsen, D. Mumford, B. Saint-Donat, ) đã hỗ trợ rất lớn cho công trình này
của Varchenko.
Hàm zeta sau đó còn được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học
khác như w. Ebeling, A. Campillo, s. M. Gusein-Zade, F. Delgado, K. Saito,
M. Oka, B. Teissier, Trong giai đoạn này hàm zeta được nghiên cứu trong
mối quan hệ với các đối tượng khác, như chuỗi Poincaré của vành địa phương,
đối ngẫu Saito, nửa nhóm của kì dị, Mặt khác, với việc xây dựng được các
tháp giải Tschimhausen bằng các phép biến đổi xuyến, A'Campo và Oka
([A096]) đã chỉ ra một phương pháp khác tính hàm zeta của kì dị đường cong
phẳng phức bất khả quy suy biến và mở ra khả năng tính được kì dị suy biến
tổng quát của đường cong phẳng phức và các đa tạp đại số (giải tích) phức (nếu
mở rộng khái niệm về các đa thức xấp xỉ Tschimhausen).
Nội dung của hướng nghiên cứu này của chúng tôi là phát triển phương
pháp của A ’Campo và Oka để tìm hàm zeta của kì dị suy biến của đường cong
phức trong trường hợp tổng quát. Kết quả chính của nó là Định lý sau đây
Định lý chính: Hàm zeta của kì dị suy biến (C,0) bằng
ao= nc<0 LlCcto,
eeù(rf) G^vự,)
trong đó <£,(/), <^c(0 được xác định như sau:
-(O
f,( 0 = 0

1=1
r> 0,
- q~ì
I-r
m
^.( 0 = ơ ’> •
/ = | J<i J>‘ p=\
n
/ . 1 N A , _ . 1_ J _ 11
= ml ự ) , với e là một cạnh nào đó "trên" G ĩ.
6
3. Đường cong elliptic và các ứng dụng
Dưới đây là một vài nét chính trong hướng nghiên cứu này. Đây là nội dung
luận văn thạc sỹ của chị Lê Thị Minh Hải [VI] dưới sự hướng dẫn của TS. Phó
Đức Tài.
Đường cong elliptic là một đối tượng quan trọng trong toán học. Lịch sử
phát triển của đường cong elliptic đã trải qua một thời gian dài và nhừng ứng
dụng của đường cong elliptic đang tiếp tục được khám phá. Gần đây, những
ứng dụng quan trọng của đường cong elliptic đã được phát hiện trong lý thuyết
mật mã (xem [W03]), trong sự phân tích các số nguyên lớn, trong việc giải các
phương trinh Diophante, chẳng hạn bài toán Fermat (xem [W03]) Đối với hai
ứng dụng đâu, việc tính toán thực hành trên các đường cong elliptic với hệ số
lớn là vấn đề mấu chốt. Vì vậy cần thiết phải có các thuật toán hiệu quả cho
việc tính toán. Một trong các vấn đề chính là đưa ra thuật toán để tính toán
nhóm Mordell-Weil
, tức là nhóm của các điểm hữu tỉ trên các đường cong
elliptic.
Nhóm Mordell-Weil là một nhóm aben hữu hạn sinh. Phần hữu hạn của
nó, còn được gọi là nhóm xoắn, có thể tính được dễ dàng nhờ định lý Nagell-
Lutz, trong khi đó việc tính toán phần tự do thì lại vô cùng khó khán. Có hai

thuật toán chính để tính phần tự do. Thuật toán thứ nhất dựa theo ý tưởng của
Manin trong, từ đó Gebel và Zimmer đã lập trình trong phân mêm đại sô máy
tính SIMATH. Thuật toán thứ hai dựa theo ý tưởng của Birch và Swinnerton-
Dyer trong [BS63], được Cremona viết thành chương trình mwrank trong C++
(xem [C77, Chương 3].
Nội dung chính của luận văn là trình bày một số thuật toán hay dùng cho
việc tính toán trên các đường cong elliptic, trọng tâm là thuật toán tính hạng
(thuật toán thứ hai nói trên), và giới thiệu gói lệnh Ellcurves cho Maple 10.
Ngoài ra, trong gói lệnh Eỉlcurves còn nhiều lệnh khác mà các thuật toán chúng
tôi xây dựng dựa theo lý thuyết từ các tài liệu [C77], [ST92] và [W03].
4. Nghiên cứu về nhóm đại số và lý thuyết biểu diễn
Đây là chủ đề mà NCS. Đào Phương Bắc, một thành viên của nhóm, đang
trong quá trình là nghiên cứu sinh.
7
Các nhóm con quan sát được và nhóm con Grosshans được xuất hiên tự
nhiên trong việc nghiên cứu bài toán số 14 của Hilbert về tính hữu hạn sinh của
vành hàm bất biến và những dạng mở rộng của bài toán này. Khi làm việc với
những nhóm đại số xác định trên trường đóng đại số thì đã có những tiêu chuẩn
đẹp của F. Grosshans [G97], A. Sukhanov [S90] và F. Bogomolov [B79]. Trong
hướng nghiên cứu này, chúng tôi có một số tiêu chuẩn mới nhận được cho
những nhóm này xác định trên trường số học (là những trường không đóng đại
số).
Một số tài liệu tham khảo chính cho hướng nghiên cứu này ngoài 3 tài liệu
trên, bao gồm: [B91], [K78] và [M94],
Anh Đào Phương Bắc và giáo sư hướng dẫn đã công bố một bài báo [NB05].
Trong năm 2006, anh Bắc đã có một số kết quả mới về chủ đề này và đã báo
cáo tại hội thảo khoa học. Hiện tại đang chuẩn bị công bố bài báo thứ hai.
5. Đường cong hữu tỉ có kỳ dị
Dưới đây là một vài nét chính trong hướng nghiên cứu này. Đây là nội dung
luận văn thạc sỹ của chị Nguyễn Thị Quyên [V3] dưới sự hướng dẫn của TS.

Phó Đức Tài.
Nội dung luận văn là trình bày ứng dụng của D-kết thức cho việc nghiên
cứu kì dị của đườns cong hữu tỉ. Mở đầu là các kết quả của A.van den Essen-
J.T.Yu ([vdE97], 1997) và J.Gutierrez-R.Rubio-J.T.Yu ([GRY02], 2002), đều
đăng trên Proc. o f AMS. Một kết quả của họ cho biêt tọa độ của các điêm kì dị
có thể tính được thông qua tham sổ hóa của đường cong hữu tỉ. Chúng tôi đặt
vấn đề nghiên cứu xem liệu có bất biến nào của các điểm kì dị có thể tính được
thông qua tham số hóa này?
Dựa vào ví dụ phong phú của bảng phân loại đường cong hữu tỉ bậc bổn,
chúng tôi đã phát hiện ra bất biến ô của các kì dị của đường cong hữu tỉ bậc
bốn có thể đọc được thông qua khai triển của D-kết thức. Chúng tôi đưa ra dự
đoán cho trường hợp tổng quát:
Dự đoản: Cho đường cong c được cho dưới dạng tham sổ x=f(t), y=g(t). Giả
sử D-kết thức của f(t), g(t) có phân tích
8
^ = c [ ] ( í- i ,)
/=l
trong đó ej là các số nguyên và tất cả các
Sj
thuộc bao đóng của K và đôi một
khác nhau. Giả sửp là một điểm kì dị của c và p=(f(si),g(si))= =(f(sk)>g(sk)),
k<r. Khi đó bất biến địa phương tại điểm kì dị p là ỏp=(e/ ek)/2.
Trong [V3] chị Quyên đã đưa ra nhiều ví dụ phức tạp mà dự đoán đúng và
chứng minh một trường hợp khá đơn giản đầu tiên cho một lớp các đường cong
có phương trình y? - y q = 0.
Khẳng định dự đoán đúng hay sai vẫn còn bỏ ngõ, vì vậy vấn đề này hứa
hẹn nhiều điều thú vị để tiếp tục nghiên cứu.
6. Úng dụng của đại số máy tính trong hình học
Trong khóa luận tốt nghiệp [V2] dưới sự hướng dẫn của TS. Phó Đức Tài,
sinh viên Đỗ Thị Bích Phượng đã có những nghiên cứu ứng dụng của cơ sở

Grobner, bài toán khử biến trong vành đa thức vào các bài toán hình học phổ
thông. Đặc biệt là bài toán quỹ tích, nhờ vào các phần mềm đại số máy tính để
tính cơ sở Grốbner, từ đó có thể sáng tạo được nhiều bài toán quỹ tích khác
nhau.
II. Các hoạt động khác của đề tài
+ Xêmina khoa học: Đề tài tài trợ cho xêmina khoa học thường kỳ của
nhóm về Hình học đại số; tài trợ một phần cho xêmina về Đường cong elliptic
(xêmina liên kết với Ban Cơ yếu Chính phủ); tài trợ một phần cho xêmina
Đường cong đại số (chuỗi 4 bài giảng của GS. Ngô Bảo Châu); tài trợ một phần
cho trường hè ứng dụng Đại số trong Hình học và Tôpô (Quảng Bình 08/2006).
+ Biên dịch sách phục vụ giảng dạy: Dịch cuốn sách Đường cong đại số
phức (Cambridge University Press, 1992) của F. Kirwan phục vụ cho việc giảng
dạy chuyên đề đại học và sau đại học.
III. Kết quả của đề tài
- Các kết quả của đề tài đã được báo cáo trong năm 2006, bao gồm:
+ 01 báo cáo tại xêmina Hình học đại số ở Đại học khoa học tự nhiên
Tôkyô (Nhật bản):
9
Phó Đức Tài, On intersection number o f plane curves.
+ 03 báo cáo tại Hội thảo 50 nãm Khoa Toán-Cơ-Tin học:
Đào Phương Bắc, Các tiêu chuẩn cho nhóm con quan sát được và nhóm
con Grosshans trên trường bất kỳ.
Phó Đức Tài, Vấn đề phân loại đường và mặt cố kì dị.
Lê Quý Thường, Hàm zêta của kì dị suy biến.
+ Và các báo cáo tại các xêmina khác; bài giảng cho sinh viên ở trường
hè Toán học ở Quảng Bình.
- Một bài báo đã được đăng trên tạp chí quốc tế có uy tín:
Phó Đức Tài và Ichiro Shimada, Unirationality of certain supersingular
K3 surfaces in characteristic 5, Manuscripta Mathematics, Vol. 121, 425-435
(2006).

- Hai bài báo khác đã gửi các tạp chí quốc tế:
1. Phó Đức Tài, Dual of smooth quartics (với phần phụ lục được viết bởi
H. Tokunaga).
2. Lê Quý Thường, Zeta function of degenerate plane curve
singularities.
- Viết gói lệnh Ellcurves cho phần mềm toán học Maple 10. Địa chỉ trang web
của gói lệnh:
/>- Các khóa luận đại học và luận văn cao học liên quan đến đề tài đã bảo vệ
thành công trong năm 2006:
Khóa luân tốt nghiẽp:
1. ứng dụng của đại số máy tính trong hình học của sinh viên Đỗ Thị
Bích Phượng (lớp K47A1S).
Luân văn cao hoc:
1. Một số thuật toán về đường cong elliptic của học viên Lê Thị Minh
Hải (Khóa 2004-2006).
2. Đường cong hữu tỷ có kỳ dị của học viên Nguyễn Thị Quyên (Khóa
2004-2006).
3. Hàm ĩêta của kỳ dị suy biến học viên Lê Quý Thường (Khóa 2004
2006).
10
Kết luận
Sau một năm thực hiện đề tài, chúng tôi tự nhận thấy là đã hoàn thành
được các mục tiêu đặt ra ban đầu, đó là:
- Xây dựng một nhóm nghiên cứu Hình học đại số tại Khoa Toán.
- Tiến hành nghiên cứu một số vấn đề chọn lọc trong Hình học đại số,
bước đầu đã thu được kết quả. Công bố một số kết quả thông qua việc
đăng bài báo và báo cáo tại các xêmina và hội thảo chuyên ngành.
- Phát triển đào tạo: Hướng dẫn sinh viên, học viên cao học làm khóa
luận và luận văn tốt nghiệp; Biên dịch sách tham khảo chuyên ngành.
- Hợp tác nghiên cứu khoa học với các nhóm trong và ngoài nước.

Một số định hướng phát triển nghiên cứu sau khi kết thúc đề tài:
Các hướng nghiên cứu 1,2 và 3 sẽ là ưu tiên hàng đầu: Hướng 1 và
2 đây vẫn là vấn đề lâu dài về mặt lý thuyết, hướng 3 có thể phát triển
thêm bằng cách hướng dẫn sinh viên và học viên làm luận văn.
Chúng tôi tiếp tục xây dựng đội ngũ cho nhóm nghiên cứu về Hình
học đại số, duy trì và phát triển các hợp tác nghiên cứu trong và ngoài
nước.
11
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[VI] Lê Thị Minh Hải, Một số thuật toán về đường cong elliptic, Luận văn cao học,
Trường ĐH KHTN HN, 2006.
[V2] Đỗ Thị Bích Phượng, ứng dụng của đại số máy tính trong hình học, Khóa luận
tốt nghiệp đại học, Trường ĐH KHTN HN, 2006.
[V3] Nguyên Thị Quyên, Đường cong hữii tỉ có kỳ dị, Luận văn cao học, Trường ĐH
KHTN HN, 2006.
[V4] Lê Quý Thường, Hàm zeta của kỳ dị suy biêh, Luận văn cao học, Trường ĐH
KHTN HN, 2006.
Tiếng nước ngoài
[AC75] A'Campo, N.: La fonction zêta d' une monodromie, Comment. Math. Helv. 50
(1975X233-248.
[A096] A'Campo, N. and Oka, M.: Geometry of plane curves via Tschirnhausen
resolution tower, Osaka J. Math. 33 (1996), 1003-1033.
[AGR95] Alonso, c., Gutierrez, J. and Recio, T.: A rational funtion decomposition
algorithm by nearseparated polynomials, J. Symbolic Computation 19 (1995), 527
544.
[A75] Artin, M.: Supersingular K3 surfaces. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 7(4), 543
567 (1975)
[BS63] Birch B.J. and Swinnerton Dyer, H.P.F.: Notes on elliptic curves I, J. Reine
Angew. Math. 212, 7-25, 1963.

[B79] Bogomolov, F.A.: Holomorphic tensors and vector bundles on projective
varieties, Math. U.S.S.R. Irzvestiya 13, 499-555 (1979).
[B91] Borel, A.: Linear Algebraic Groups. Second enlarged edition. GTM 126.
Berlin-Heidelberg-NewYork: springer 1991.
[CS99] Conway, J.H. and Sloane, N.J.A.: Sph e re p a ck in g s, la ttice s a n d q roups, 3rd
edn. In: Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. vol. 290. Springer, Berlin
Heidelberg New York (1999)
[C77] Cremona, J.E.: Algorithms for modular elliptic curves, Cambridge University
Press, Cambridge, 1977.
[E02] Ebeling, w.: Lattices and codes, revised ed. In: Advanced Lectures in
Mathematics. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig (2002)
[G97] Grosshans, F.: Algebraic Homogeneous Spaces and Invariant Theory. Lecture
12
Notes in Mathematics 1673. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1997.
[GRY02] Gutierrez, J., Rubio, R. and Yu, J T.: D-Resultant For Rational Functions,
Proc. of AMS 130 (2002), 2237-2246.
[K78] Kempf, G.: Instability in invariant theory. Ann. Math. 108, 299-316 (1978).
[L095] Lê, D. T. and Oka, M.: On resolution complexity of plane curves, Kodai
Math.J. 18(1995), 1-36.
[M68] Milnor, J.: Singular Points of Complex Hypersurface, Ann. of Math. Stud. 61,
Princeton Univ. Press, Princeton, 1968.
[M94] Mumford, D., Fogarty, J. and Kirwan, F. : Geometric Invariant Theory.
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 34. Berlin-Heidelberg-New York:
Springer 1994.
[NB05] Nguyen Quoc Thang, Dao Phuong Bac: Some Rationality Properties of
Observable Groups and Related Questions. Illinois J. Math. 49, n. 2, 431-444 (2005).
[N79] Nikulin, V.V.: Integer symmetric bilinear forms and some of their geometric
applications. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Men. 43 111-177, 238 (1979). English
translation: Moth. USSR-Izv. 14, (1979) 103-167 (1980)
[096] Oka, M.: Geometry of plane curves via toroidal resolution, Algebraic

Geometry and Singularities, Edited by A. Campillo and L. Narvaez, Birkhauser,
Progress in Math. 134 (1996), 95-118.
[097] Oka, M.: Non-degnenerate complete intersection singularity, Actualites
mathematiques, Hermann, Paris, 1997.
[RS78] Rudakov, A.N Shafarevich, I.R.: Supersingular K3 surfaces over fields of
characteristic 2. Izv. Akacl. N a u k SSSR Ser. M at. 42, 848-869 (1978).
[RS81] Rudakov, A.N. and Shafarevich, I.R.: Surfaces of type K3 over fields of finite
characteristic. Cuưent Problems in Mathematics, vol. 18, Akad. Nauk SSSR,
Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Informatsii, Moscow, 1981. Reprinted in:
Shafarevich, Ị.R.: Collected Mathematical Papers, pp. 657-714. Springer, Berlin
Heidelberg New York (1989)
[S04] Shimada, I.: Rational double points on supersingular K3 surfaces. Math. Comp.
73, 1989-2017 (2004).
[S74] Shioda. T.: An example of unirational surfaces in characteristic p. Math. Ann.
211,233-236 (1974)
[S77] Shioda. T.: On unirationality of supersingular surfaces. M a th . A nn . 225, 155
159 (1977)
[ST92] Silverman, J.H. and Tate, J.: Rational points on elliptic curves, Undergraduete
Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1992.
13
[S90] Sukhanov, A. A.: Description of the observable subgroups of linear algebraic
groups. Math. U.S.S.R. Sbornik 65, No.l, 97-108 (1990).
[vdE97] van den Essen, A. and Yu, J T.: The D-Resultant, singularities and the
degree of unfaithfulness, Proc. of AMS 125 (1997), 689-695.
[W03] Washington, L.C.: Elliptic curves: Number Theory and Ci-yptography,
Chapman - Hall/CRC, 2003.
14
c. Phụ lục:
1. Photocopy các bài báo, bìa các luận văn Đại học, Thạc sỹ
2. Tóm tắt các công trình NCKH của cá nhân

3. Scientific Project
4. Phiếu đăng ký kết quả nghiên cứu