Bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình Elliptíc không tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐAI HOC KHOA HOC Tư NHIÊN
BÀI TOÁN BIÊN t lô ì VÓI PHƯƠNG TltÌNII VÀ 1IỆ
Plll/OIMG I IỈIMI ELL1PTÍC K IIÔ \G TUYÊN TÍNH
Mã số: QT- 02- 03
CHÚ TRÌ ĐỂ TÀI : HOÀNG QUỐC TOÀN
r
11 1 ' L ĩí.lỉiỉ ti
•SÒ Dĩ/£55~
Hà Nội 2003
BAO CAO TOM TẢT
a. Tén đê tài: Bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình
elliptíc không tuyến tính.
b. Mã sô: QT- 02-03.
c. Chú trì đề tài: Hoàng Quốc Toàn.
d. Muc tiêu và nội dung nghiên cứu: Lý thuyết tồn tại nghiệm đối với
phương trình và hệ phương trình đạo hàm riêng elliptíc tuyến tính
đã được nghiên cứu toàn diện và đầy đu mà một trong những kết
quá đẹp đẽ nhất của nó là lý thuyết bài toán biên elliptíc trên đa
tạp compắc. Ván đề tương tự đối với phương trình và hệ phương
trình elliptíc không tuyến tính cũng đã được nghiên cứu nghiêm
túc từ nhiều năm nay. Tuy nhiên những kết quả về nó cho đến
bây giờ còn rát khiêm tốn.
Trong đề tài này chúng tôi nghiên cứu vấn đề đang được quan
tâm đó là sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán biên đối với hệ
phương trình dạo hàm riêng elliptíc á tuyến tính với phẩn chính
lù toán tư Laplace:
Huu — -A// + q[x)-u —au + Jv + /i(u, v)
Hqv - -Ai' + (i(x)v =ổu + -}(' + fi(u, u)
II 1,/ií - 0, u\ị)U =0, u(.ư). v(s) —> 0 k h i |x| —r +OC.
2

3
trong đó íỉ là mớ không bị chặn trong Ra với biên trơn díl q{x) là
hàm xác định trong n,Q,/ỡ,
7
, ổ là các tham số thực, /i(u, v), f2(u, v)
là các hàm tuỷến tính đối với u,v.
Phưưng pháp nghiên cứu các bài toán phi tuyến được áp dụng
ớ đay là sự kết hợp giữa phương pháp điểm bất động Banach,
Schauder phương pháp xấp xi và phương pháp nghiệm ưên nghiệm
dưới.
Với những giá thiết thích hợp chúng tôi đã chứng minh được định
lý vé sự tổn tại nghiệm và nghiệm dương của bài toán Dirichlet
trong không gian V^(Q).
e. Kết quá: - Hướng dần một luận văn Thạc sĩ bảo vệ thành công ngày
26-3-2003.
-
2
bai báo
f. Tình hình kinh phí: Đã sử dụng theo đúng các khoán của hựp đồng
(
8
.
000.000
đ).
Xác nhặn của Ban chu nhiệm Khoa Chủ trì đề tài
Toán- Co- Tin học
Xác nhận cua Trường
ABSTRACT
Bounđary- value problem for the system of non-linear elliptic equa-
tions.

by Hoang Quoc Toan
The existence theory of linear elliptic partial differential equations
is in a íairly complete form, one should seriously consider non-linear
equations.
In thc present work, we are interested in the study of the following
variational problem:
( - Au +- (ị(x))u -a u + pv + /i(u, v)
( — A /' + </(./:))?.' —ổu 4- yi) + u) in n
uịítiì 0 uịíìiì =0, u(x), u(x) —> 0 khi |x| —> +OC.
where arc given real numbers, J,ỗ > 0,Q is an unbounded
connected open sei oí’ IR" with smooth boundary ớíl
ưnder some assumptions on the non linearity of /i,/2 and the po-
tential q, we prove here that there existe a pair (u, u) of solution (or
posiúve solutions) of the problem.
There are several methođs of proving the existence of solutions for
non-linear equations: methods of sub- and super- solutions, continuity
method, Banach or Shauder fixed-point theorem
4
BÀI TOÁN DIRICHLET Đối VÓI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTÍC CÂP HAI Á TUYẾN TÍNH TRONG MlỂN k h ô n g
BỊ CHẶN
Trong đề tài nghiên cứu này chúng tói xét một vấn đề đang được
quan tâm nhiều trong lý thuyết phương trình đạo hàm riéng hiện đại,
đó là sự tồn tại, duy nhất nghiệm của bài toán biên đối với phương
trình và hệ phương trình elliptíc không tuyên tính.
Ta xét bài toán biên Dirichlet đối với hệ phương trình á tuyến tính
H
,,11
= - Au + q{x)u =Au + /(li) trong Q (
1

)
u |an
=0
(
2
)
trong dó íì là miên mớ trong Rn với biên trơn díì,q(x) là hàm số phụ
thuộc hiến ./• 6 íl, / : K2 —> 1R2 là hàm trơn theo các biến cúa nó, A
là ma trận vuông thực, cáp
2
.
Đã có nhiểu kết qua nghiên cứu về bài toán Dưichlet đối với phương
trình elliptíc á tuyen lính cáp 2 với phần chính là toán tứ Laplace -A.
Ta có thế kể đến các công trình cúa Ambrosetti và Maneini[.], cua
c. Vargas và Mi/uluaga [.], cứa G. Barles- G. Diaz và J.I. Diaz [],
Nhưng gần với vân đề chúng ta sẽ nghiên cứu có thế kể đến công
trình nghiên cứu D.G. de Figneiredo, E. Mitidieri, cua A. Abak.li.ti-
Mchachti và J. Flockinger- Pellé trong đó xét sự tổn tại nghiệm dương
của hài toán Dirichlet đối với hệ phương trình á tuyến tính của toán
tử Schrodinger: - A + q trong miền khống giới nội íĩ c Rn.
Các phương pháp quen biết trong việc nghiên cứu phương trình
phi tu ven thường dược áp dụng đó là phương pháp biến phân, phương
pháp dơn điệu, phương pháp điếm bát dộng, phương pháp nghiệm trẽn,
nghiệm dưới.
Nội dung cống trinh nghiên cứu gổm hai chương.
Chương 1: Xét sự tồn tại của bài toán Dirichlet đối với hệ (1) trong
miền không bị chặn íì c R".
Chương 2: Xét sự tồn tại nghiệm dương của bài toán (1)- (2) vế
phải /( li) không thoá mãn điều kiện Lipschitz.
6

CHƯƠNG 1
BÀI TOÁN DIRICHLET Đối VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Á
TUYẾN TÍNH TRONG MlỂN KHÔNG BỊ CHẶN
§1 Mở đầu.
1. Đật bai toán: Giá sứ íì là miền khóng bị chặn trong R" với biên
trơn diì Ta xét bài toán Dirichlet sau đáy
■Au -4 q(x)u = au + Pv + j\(u, u)
-Ar -t c/(x)v = ỏu + yv + f'
2
(u, u) trong íỉ
a If)Q — 0, V \dũ= 0
Lt(.r) —> (J, v(x) —> 0 khi |x| —> +oo
(1-1)
(1-2)
trong đỏ la các hăng số thực. 3 > 0,đ' > 0,q(x) là hàm số xác
định trong Q thoả mãn giả thiết sau đây
</(./•) c C°(R),
Tồn tại % > u sao cho q(x) > qo Vx G Q
</(./•) —» +OC khi |.r| +OC- (1-3)
7
fi(u, v), Mu,v) thuộc C^R’2), /i(
0
,
0
) =
0
,/
2
(
0

,
0
) =
0
thoả mã điều kiện
Lipschitz:
|/i(u,ư) - /i(ũ,ũ)| < ki(\u - ũ\ + \v- ữ|)
\Ỉ
2
{u,v) - f2{ũtv) I < /c2(Ịu - ũ| + |l> - ữ|)
Với mọi u,v,ũ,v e R.
Như vậy vì /i(0,0) =
0
,/
2
(
0
,
0
) =
0
, từ (1-4) ta lại có
ư)| < /ci(ịu| + |y|)
1/ 2(11, y)| < k2(\u\ + M ), u,v e M.
Dưới đây ta sẽ sử dụng các ký hiệu quen biết
i) Giá sử u : íì —> R là hàm đủ trơn, la ký hiệu.
Du (-ịp-, ■ ■ • , là véc tơ gradient
Au = 73 là toán tứ Laplace.
ii) C’X(S2) = {u ■. íì —> K khả vi vô hạn trong íì}
C^ịíì) = {u : u e r x(fì) và có giá compắc trong Í

2
}
Hl{Q) là các không gian Sobolev thông thường.
2. Không gian l'f/°(Q)xe
7
íỉ[l] : Trong Cq°(íì) ta xác định chuẩn
I N I , = ( £
và tích vô hướng
aq[u,c)= / (DuDr + (juu)dj\ Mu,v € Cjc(íì) (1-6)
Với giá thiết (1-3) về dáng điệu cua hàm q(x) vế phải của (1-5) xác
định một chuán trong c^(íì).
Định Iiịỉhĩa. Ta ịiọi là klìôtìịị gian nhạn được bủng cácli bó sung
C£°(í>) ỉ/u’° chỉiấìì (1-5).
8
\Du\2 + qu2dx
1/2
Vu 6
C
oc
0
(íì)
(1-5)
Tính chất cứa không gian V^Q) được xác định trong định lý sau
đây.
Định lý 1.1. Vq{tt) là khủng gian Hilbert trừ mật trong L2(Q). Đống
thời phép nhúng V°(Q) vào L2{íĩ) là liên tục và compact.
Chứng minh. Không gian v°{ũ) là không gian Hilbert do cách xây dựng.
Hơn nữa nếu u € Vq°(íl) thì u € L
2
(fì) và có ước lượng:

INI £,2(0) < C-|M|v°(fì)-
Do đó phép nhúng Vq{£ì) vào L2(íì) là liên tục.
Ta cần chứng minh phép nhúng này là compact.
Ta ký hiệu: Với R > 0.
ÍÌ'R — {x G í i : ||x|| > R, }
và B/i là hình cấu có tám tại gốc toạ độ với bán kính R,íìr = Br DÍT
Khi đó với u e 1^(1)) la có:
Ị u2dx < sup { -Ị— ì I q(j:)irdx < e{R)\\u\\ị0(ư )
JưH rrưH\q{x)J JưH q R
trong đó f(R) = N111V,Í>,( í J tồn tại nhờ gia thiết (1-3) về dáng điệu
của hàm hơn nữa khi R —> +oo thì ((R) —► 0.
Như vậy với mọi u € V'°(íì), ta có ước lượng:
IMI/-(n) = [ < IMIií(n) + Ể(-ft)IMIv°(n'. n*7)
JũH JưR
Giá sứ {Uk}?=i là dãy bị chặn trong v^íì) và
i!"fc|lr°(nì - k - 1-2. •
Khi dó với R > 0. dãy {uk |iĩ„}n=i là day bị chặn lronE H^ÍIr). Vì
ttH là miền bị chặn trong R" nên ánh xạ nhúng Hl{nR) vào L2{QR) là
9
liên tục và compact. Do đó, tồn tại dãy con hội tụ mạnh trong
L2{íìr). Ta sẽ chứng minh {it*,}*! là dãy hội tụ trong L
2
(Q). Thật vậy,
với R > 0 ta có
\Wk, — < 11'Ufct - ukj\\‘ị,2(ỊìR) + Ễ(-ft)llu A:, - ukj\\vOịỉì'R)-
Chú ý răng
\\uk-, - ukj ||v'0(fi'R) — \\uk, — ukj Ilv'0(f2) — 2A/.
Mặt khác vì e{R) ->
0
khi R —> +

00
, cho nên với ĩ] >
0
tuỳ ý tồn tại
/?.() >
0
sao cho:
f(*o)IK " ukjlli'0(n'H) < 2rì-
Với /?<) >
0
như dã chọn, dãy hội tụ mạnh trong L2(íìHll), do
đó tồn tại số
/0
>
0
sao cho với mọi L,j > lo ta có:
„2 1
IK, - uk,\\h<iiHo) < ị'h
Vậy: V// > 0, 3/(1 > 0 sao cho Vi,7 > /f), la có:
1

1
ll“ fc. - uM Í* (n i < 2n + 2 ?/ = Tì'
Điều đó có nghĩa là {íU',h=i hội tụ mạnh trong L2(fì).
Định lý chứng minh xong. □
Chú ý. Đế đưn gian ký hiệu sau đây ta sẽ sử dụng ||.|| thay cho chuán
||.||;;.'(Ui. Il-lli),, là chuán trong VỊ(iì), (,)- la tích vô hướng trong L2(ĩì.
3. Toán tứ Schrodinger:
Theo bổ đề Lax- Milgram, tồn lại duy nhất một toán tử Hq trong
L'2(íì) xác định bới công thức

(H„u. r) - 0„(u, y) Vu 6 D{Hq), V G vj(í2) (1-8)
10
trong đó:
D(H„) = {u € vq°(fí) : Hqu = (-A + q)u e L2(Q)}.
Ký hiệu R(Hq) là miền giá trị của toán tứ Hq trong L
2
(Q).
V ì q(x) > q0 > 0 với m ọi X e íì cho nên Hq là toán tử xác định
dương:
{HqU, u) > 0 Vu € DịHq)
và hơn nữa Hy là toán tử liên hợp:
{Hqu, v) = (u, Hqv) Vu, V € D(Hq).
Toán tử nghịch đáo H~l xác định trong R(Hq) n L2(fỉ). với miền giá
trị D(HX) c Vì ánh xạ nhúng Vq°(ỉỉ) vào L2(tt) là compact, do đó
H~l là toán tứ compact L2(íl) vào L2(Q).
Phổ của toán tứ Hq gồm dãy đếm được các giá trị riêng {Ằk}f=l có
số bội hữu hạn. Hưn nữa giá trị riêng chính A, dương và có số bội là
0 Aị A
2
^ A'J ^ ■ ■ ■ £ ^ ^ "t~oo khi h —> +OC.
Hàm riêng <Pi(x) ứng với giá riêng Ai không đổi dấu trong íì do đó có
thể giá thiết ý>i(./') > 0, ./• £ íì.
Ta chú ý rằng vì íì là miền không bị chặn nén đối với toán tứ
-A với điều kiện biên Dirichlet không tổn tại dãy vô hạn các giá
trị riêng dương. Trong khi đó nhờ giả thiết về dáng điệu của hàm
<i(x) : <]{■!') -> +OC khi \.r\ -> +OC thì điều này lại có được đối với toán
tử H(Ị - — A -f q{j‘).
4. Nguyên lý cực đại (xem [1]).
Giá thiết hàm </(./•) thoá mãn giá thiết (1-3) và A < Aj. Khi đó với
11

mọi hàm y
6
L'2(íì) tồn tại duy nhất nghiệm u của bài toán.
Hqu - Xa =g{x) trong Í2
u lan—0, u(x) —> 0 khi |x| —> +oo.
Hơn nữa nếu g{x) > u không đồng nhát bãng 0 trong Q thì u(x) >
0
với
mọi X e íì.
5. Nghiệin suy rộng:
Hàm 11, u e V^°(Í2) được gọi là nghiệm suy rộng hay nghiệm yếu của
bài toán ( 1-1 )- (1-2) nếu thoá mãn các điều kiện:
(I',{u,ip) =o(u,ý> ) + f3{v,ự>) + v),ự>) (1-9)
utl{v,ọ) — n( í/, ý1) + 7(u,s5) + (/a('“. e Co°(n).
Nếu nghiệm suy rộng u, i' G CJ(Q). thì đó là nghiệm cổ điến cứa bài
toán.
§2 Sự tổn tại nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền khỏng
bị chận.
1. Gia thiết -> < Ai), trong dó A) là giá trị riêng chính cúa toán
tứ Hq.
Với u cố định thuộc ta xét bài toán Dinchlet đối với u :
(//„ - 1 )v =ỗu + f2(u, u) trong n
(J~\0
f 2= t), v(x) —* u kỉll |j,'| —> +OC.
Trước hòi ta chú y răng vì ' <. 1/0 nên theo giá thiét (1-3) Í/U) > 0
với mọi ./■ e ỉl do đu H, - la toán tư dương va tự liên họp trong L2{Q)
12
có phổ đếm được gồm các giá trị riêng
0 < Ai < A'2 < A3 < • • • < x k < ■ ■ ■ x k —+ +00 khi k —> +00
trong đó Âfc = xk -

7
(k — 1,2, ■ • •), Afc— là giá trị riêng thứ k của toán
tử Hqt hơn nữa
(Hụ - = (Afc - 7)<0fc, fc = l,2, (1-11)
Đồng thời toán tử nghịch đảo (//y- 7)-1 xác định trong L2(Q) với miền
giá trị £>(//y) c L2{íì) là toán tử compact từ L2(fỉ) vào L2(fỉ).
Giả sử V 6 K°(ỉỉ). Từ giả thiết (1-4) về f2{u,v), và ước lượng
\f2(u,v)\ < k2(\u\ + M )
với u, V e v"{íì) ta suy ra /
2
(u,u)
6
ÙÍ2).
Khi đó bài toán Dirichlet:
(//,, - '})M/ =ỗu + f2(u, v) trong Q
11 |ỡfi=0, W(x) —► 0 khi |xị —^ +00. (1-12)
Với u cô định thuộc Vgu(íì), có nghiệm duy nhất w = (Hq -
7
)
1
[<5x/ +
/
2(^)1
e £(//,).
Như vậy tồn tại một toán tử
A : Vt/U(Q) — > V°(Q)
sao cho với V <E lýu(ỉỉ). -4i’ = li' là nghiệm cua bài toán Dirichlet (1-12)
xác định bới công thức:
U' = Av — (Hq - 7)_1[ổu + f2{u,v)}. (1-13)
Ta có mệnh đé sau dây:

13
\\Av - .40II < -—-—|Ịư - ữ||. (1-14)
Àị — 7
Thật bậy, với u, ỹ e Vq°(Q) ta có:
IIAu - Av\\ = I\{Hq - ", )_1í/2(u, v) - f 2(u,v)]\\.
Ta chú ý rằng: lị(//9 - 7 )_ 1IU*(nj < 7 = 1 ^ -
Hơn nữa theo giá thiẽt (1-4):
\Ỉ2{u,v) - f2{u,v) I < - ỹ|.
Do đó:
íl/2('U,'tJ) - 'ỹ)|l < Ả:2Ị|r - ỹ|ị.
Từ đó la nhận được ước lượng
I|j4ỉ; - Av\\ <

—— 117• - D||.
A) —
0
'
ĐÓ là điểu phai chứng minh.
Định ly 1.2. Gia ỉhieĩ
k;
- < inin(í/o,Ai), ——— < 1 (1-15)
A; -
K hi đó, với mọi u - yf(íì) cỏ d inh , tổn rai nghiệm suy rộng r cua bái
toán D iriclìlet (!-JD).
Chứng minh. Từ (1-13), (1-14) và (1-15) toan tư Av = (Hq — I 1 \ỗu 4
f2(u. ư)| ìà toán tư co trong L2{{1).
Lay í ,) cô đinh líiuoc i Đãt: ^ Avư.ưk^ = Auk, ••
Khi đó day \ ck; V. D[.rỉq) họi lu mạnn irong L^(í2). Vi £*(íỉ) là không
g ia n đ u n è n 1011 lại - L-ỈÍỈI sa o c ho :
lim \\Vk- - t'lỊ - l)

k —»-*-oc
Mệnh đé 1.1. VỚI moi u. V e Vạ(íl), ta có ưưc lượng:
14
Với k, l e N ta lại có
\uq(Vk - vt, v)\ = \(D (vk - Vt), Dip) + (q(vk - Vị), tp)\
= |(vfc - Vi, &ự>) + q(vk - vhip)I Vy? e C£°(fi).
Từ đó áp dụng bất đẳng thức Schwatz ta nhận được
\aq{vk - Vi,<p)I < ||A(/>|1.|K - UiII + M\\ip\\.\\vk - Vi\\.
trong đó sup \q{x)\ < M.
xGsup \p
Từ đẳng thức cuối cùng, cho k, l -> +OG, vế phải dần về 0 nên ta có
lim Ia(/(vk - Vi,ự)I = 0 với mọi V? € C£°(Q).
k,ỉ—+ + OG
Do đó tồn tại V e Vyiíì) sao cho
lim |u,(i>fc,v3)| = aq(v,ụ>), e
k—> 4-oc
Vì phép nhúng v°{íì) vào L2(Q) là liên tục và compắc nên ta suy
ra V - V e
Ngoài ra nhờ giá thiết (1-4), ta có:
IIM u,vk) - fĩ(u,v)II < k2\\vk - u||.
Do đó: lim f-
2
{u,i'k) = /2(u,ư) trong L2{íì).
k'—i+oo
Ta sẽ chứng minh V = lun vk là nghiệm yếu của bài toán Dinchlet
(1-12). Thật vậy, với ọ 6 Co°(fi) ta có:
aq(vk,ựỉ) =(H<iVk- r) — - l')vk,f) + ~>{vk,ip)
= {i’k, {Uq - 7)<p) + 7(Vk,ự>)
= ((//„ - 7)_1[ổu + /2(w,Ufc-l)],(^9 -
7

)^) + y(vk^)
= (ỏu + /
2
(u, vk-i),<p) + 7(v*, V?)
=ổ(u,ỳ) + l(vk,ự) + (/2(ti,
cho k —>
+00
ta nhận được
aq(v,(fi) = ổ(u,<p) + 7(u,<p) 4- (Mu,v),<p) Vv? G Co°(fi).
Điều này có nghĩa là V là nghiệm suy rộng cúa bài toán (1-10). □
2. Theo định lý 1.2, với giả thiết (1-15), ứng với mỗi u e V^°(Q), tồn
tại một nghiệm yếu V cứa bài toán D inchlet (1-10).
Như vậy ta có một ánh xạ B : v°(íì) —t v ^ íĩ) sao cho với mỗi
u € Vg°(fì) thì
v = Bu = {Hq- 7 )_1[ổtí + h(u, Ba)} e D(Hq) (1-17)
Mệnh đề 1.2. Với u, ũ e v°{ỉì) ta có ước lượng
\\Bu - BũII < - Ò— y\\v - ũ||. (1-17)
Ai - 7 -
Thật vậy với u, d € V^(íì), ta có
IIBu - Bũ\\ =\\(Hq - 7)-1[<5(ii - ũ) + /2(11, Bu) - /2(ũ, Bũ)\II
<

(ý\\u ~ ũ|| + Ả;-211ti — ũII + k2\\Bu — Bĩíịộ
Ổ + k‘2 ị| , k'2
u - ưII + ———IIBu - Bu\\.
Từ đó:
Aị — 7 Ai — '
(1 - - h — )\\B-u-BũII < ị ^ || u - ũ | |.
Ai — 7 Ai — 7
Vi _i£2_ < 1 nên Ai - 0 ^ > 0. do la nhận được ước lượng:

Ai -*>
IIBu - £?ũ|| < ——— ||u - ũ||.
Ai — 7 — h-2
ĐÓ là điều cẩn chứng minh. □
3 Giá thiết u < min(</o> Ai), trong đó A1 là giá trị riêng chính cua toán
tử Hq.
16
Thay V = Bu, u e Vqi^l), ta xét bài toán Dirichlet sau đây:
(Hq - a)u =(5Bu + fi(u, Bu)
u |an=
0
, u(x) —>
0
khi |z| ->
+00
(1-18)
Trước hết ta nhận xét rằng biểu thức Bu xác định bới (1-16) là phi
tuyến tính và với mỗi u e V(/Ừ(Q) thì Bu € D(Hq).
Do đó từ giả thiết (1-4) ta cũng suy ra ràng: với u € V
9
°(fì) thì 3Bu +
fi(u, Bu) £ L2(ũ).
Tương tự như toán tử Hq -
7
, vì a <
(/0
nén Hq-a là toán tử dương
và tự liên hợp trong L2(Q) có phổ đếm được gồm các dãy giá trị riêng
{Afc - a}^=l,\k - o -> +00 khi k —> +00 trong đó giá trị riêng chính
Ai - Q > 0 và có số bội là 1, và hơn nữa

Đổng thời toán tư nghịch đáo {Hq- q
)-1
xác định trong L
2
(íỉ) với miền
giá trị D{Hq - tỵ) - D(Hq) như là toán tử compact từ L
2
(Q) vào L\ũ).
Giả sử u e v^u(ỉỉ). Khi dó bài toán Dirichlet
có nghiệm duy nhất ư = (//,, - a)-l[;3Bu + /i(u,Bu)] e D{Hq).
Vổi'u.6
Như vậy, tồn tại một toán tử tYv®(íI) thì Tu - u là nghiệm của
bài toán Dirichlet (1-19), xác định bới công thức
(Hq - a)ự>k = (Ak - a)ự>k, k =
1
,
2
, -
( - a)U —Ị3Bu + fi(u, Bu) trong Q
u 1^2=0, L (2') —0 khi |x| —> +OC
(1-19)
r = Tu = - a) l[pBu + /i(u. Bu)]
Mệnh đè 1.3. \ ỚI li, ũ € \’;u(íỉ)' ĩa C(> l(()C iKỢHg-'
( 1-20)
IITu — Tu|| < h.\\u - a||
( 1-21)
trong dó /( = —
(p + Ả'i)(ỏ 4- A'
2
) + A'! (Â! — - k'2 )

(Ai - o)(Aị -
7
-
17
IITu - Tũ\\ =11 {Hq - q)_1[/3(Bu - Bũ) + /i(u, Bu) - fị(ũ - fìũ)]||
- t 4 ~ + Y ^ tJ u - ũll + T ^ —\\Bu - Bủ\\
Ai — Q À\ — Q A\ — Ot
< ^ + 1 IIBu - BũII + ~ ị— ||u - ũ||.
Ai — Q Ai — Ck
Áp dụng ước lượng (1-17), ta nhận được
IITu - TủII <
Thật vậy, VỚI u,ũ e v;ừ(íì), ta có:
(P + kị) (ổ + ky) kị
(Ai — a)(Ài — 7 — k2) XI — a
.\\u — u\
Đó là điều cần chứng minh. □
Chú ý rằng T như là một toán tử trong L2(Q) là toán tử co nếu
I _ ỊP_ + ^i)(ã + ^
2
) + kì(\ì — ọ — k‘2)
(Ai — a)(A i — 7 — k-2 )
Bất đảng thức này tương dương với điều kiện
\ L - n v ì (0 + k\){ô + kĩ) ,
Ai — Qi — A:ị >0 va — — ' — , V < 1.
(Ả! — Q — Ả 1) (Ai — 7 — /C2)
Định lý 1.3. Giá thiết (1-15) ỉlioà mãn và
a < miu((/o, A1 ), Aj - o — ki > 0
(ị3 + k\ )(ổ 4- Ả'))
—

—
< 1 ( 1- 22)
(A1- a - Ả : 1)(A1 , - k2)
Khi đó bùi toán Diriclilet ị 1-18) tồn tụi nghiệm yếu u e Vq{(.ĩ).
Chiotg minh. Từ (1-20), (1-21), với giả thiết (1-22) toán tử
Tu = (Hq - n )~l[l3Bu + /i( u , Bu)]
là toán tứ co trong
Gia sứ ỉio e K;°(í?), đặt Ui = Tuu,
Uk-t-1 = Titk (k — 1 , 2, • ■ •)
18
Ta có dãy {uk}^=1 c D(Hq) hội tụ mạnh trong L
2
(Q). Do đó tồn tại
u e L2(ữ) sao cho:
lim \\uk — ttịị = 0.
k—*+oo
Phần tiếp theo chứng minh tương tự như định lý 1.2 ta có:
l im a q (u k, V?) = a .q{u,ip) Vy? e c ^ { ĩ ì ) v à u e K ° ( í i ) . (1 - 2 3 )
/c—>+oo y
Ngoài ra nhờ giả thiết (1-4) và bất đảng thức (1-17), ta có
||/i(iífc, Buk) - /i(ti, Bu)\\ < fci(||t/fc - u\\ + IIBuk - Bu\\)
và
II iBak - Bu\\ < - —————\\uk - uỊỊ
Ai - 7 - k2
Cho k —<■ +oo vì \\ak - u|| -> 0 nên từ đó ta suy ra:
lim Buk - Du trong L2(Q). (1-24)
và lim 5'Ufc) = /i(u, Bu) trong L2(íí). (1-25)
k — t + D í.
Bây giờ ra chứng minh 'U là nghiệm suy rộng của (1-18).

Thật vậy, với r c ta có:
aq{uk,ọ) = (//,,«*, y^) = ( ( # < / - +n(uk,j)
= (uk,{H,, - a)ọ) +a{uk,ự>)
= ({Hq - a ) _1[/tf£-Ufc_i + / 1( iit - l l B u l - i ] ) ( i ỉ, - a)v?) + a (u fc,¥?)
= (/3Buị<-i + f\(uk-\, B'Uk-\),<p) +
0
t(uịc,<p)
=0(13uli-
1
, ỷ) + ựi{u-k-i, Butc-i), -p) + +q(u*:,^)
Cho _> +OCj từ (1-23, (1-24), (1-25) ta nhận được
u(/(u, V?) — a(u> r) + J{Bu, yĩ) + Bu). ýj) Ví^!
6
C^°(íì).
Điều này có nghĩa la u là nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet
(1-18). Định lý chứng minh xong. □
4.
Định lý 1.4. Giả thiết các điều kiện (1-15) và (1-22) thoả mãn. Khi
đó tồn tại nghiệm suy rộng u, v e v^°(
0
) của bài toán (l-l)-(l-2).
Chứng minh. Theo định lý 1.2, với giả thiết (1-15) tồn tại toán tử B :
Vf(Q) —> D{Hq) sao cho với mọi
u e VỌỪ(Q) : Bu = (Hq - 7)_1[ổu + f2{u, Bu)}.
Mặt khác, theo định lý 1.3, với giả thiết (1-22) tồn tại nghiệm suy
rộng u € V°(Q) của bài toán (1-18).
Đặt V = Bu, khi đó u,v là nghiệm suy rộng của bài toán (1-1)-(1-2).
Chú thích: Trong các chứng minh trên đây ta giả thiết ỗ > 0,(3 > 0.
Tuy nhiên nêu Ịj < 0 hoác ỗ 0 thì trong các kết quá nhận được thay
bởi \fj\,Ó bới |ổ| thì các khắng định vẫn đúng. □

20
CHƯƠNG 2
Sự TỔN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA BÀI TOÁN DIRICHLET
ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYÊN TÍNH
TRONG MIỂN KHÔNG BI CHẬN
§1 Bài toán Dirichlet trong miền không bị chận
1. Đặt bài toán và các giá thiết cơ ban.
Giả sứ íì là miền không bị chặn trong R" với biên dtt trơn.
Ta xét bài toán Dirichlet sau đáy:
— Au + (ị(x)u —au + ,iv + /i('U, r) (2-1)
— Au + q(x) V —ôu + -]U + f' 2 (u)
ỉ/1,yí2 =U,t||ỡỉỉ — 0 (2-2)
u > 0, V > 0 trong n
^ 0, (.>(.£') —* 0 khi |x | —> +O C.
trong đó a,P,S,') là những số' thực, i3 > o.rỉ >
0
:q(x) là hàm sô' xác định
trong íì thoả mãn uiai ihièt (1-3) (Chương 1).
21
/i(s,í) € C°(R), /i(s,í) > 0 với mọi s > 0,í >
0
(
2
-
3
)
/i(si,íi) < /i(s
2
,íi) với mọi 0 < Si < s2,0 < Í! < í2;
Um

4
^ =
0
S,í-> + OC ố' + Ể
Giả thiết 2:
/2
e C’U(IR), thoá mãn điều kiện Lipschitz:
\h(s) - h{s)\ < k.\s - s\, s,s e R, (2-4)
/
2
(
0
) =
0
, /
2
(s) tăng với s >
0
, /
2
(
0
) >
0
Trong chương 2, chúng ta sẽ sử dụng những ký hiệu và các kết quả
đã có trong chương trước.
2. Toán tử Schrodinger Ht, = -A + ự(x-), trong đó </(x) là hàm số
xác định trong Í
2
, thoá mãn điêu kiện (1-3), dược xây dựng trong §

1.3
chương
1
, xác định trong D(H,,) c vgu(íì) là toán tứ xác định dương,
tự liên hợp. Toán tứ nghịch đáo H~l xác định trong R(Hq) n L2{Sl) là
toán tử compấc trong L'2(íì). Phổ của toán tứ Hq gồm dãy đếm được
các giá trị riêng { :
0 <c Aj <r A ) <c • <c < • • ■ , —■> -Í-OG khi k —y + 00.
Hàm riêng Y?i(x) ứng với giá trị riêng chính Aj không đối dấu trong ũ,
do đó có thế xem ) >
0
,x € ữ.
Hơn nữa các hàm riêng ỹk{u ) ứng với giá trị riêng xk (k =
1
.
2
, •)
là những hàm liên tục và bị chặn trong íì, đồng thời tồn tại các hằng
sô dương o và sao cho:
|y\.(j')| < ae~M với |j:| đu lớn
(xem [
1
J)
Giả thiết 1:
11
Với mọi A < Ai, toán tử Hq - A khá ngịch, toán tử nghịch đảo
{Hq - A
)-1
là toán tứ compac trong L
2

(fỉ) và ta có
( Hq — A) <Pk =
7
T ''pk, k =
1
,
2
, • • ■
Ak — A
Nhờ nguyên lý cực đại (§1.4 chương 1) ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.4. Giá thiết f{s) G C(K), thoả mãn điều kiện Lipschiti,
/(
0
) =
0
, không giám với s >
0
.
Với A < Ai, ta xúc định toán tử B trong L2(Q) :
Bu = (H„ - A)-7(u) € D{Hq) c v,°(n).
Khi đó B lù toán tử liên tực, compắc trong L'(íì).
Hơn nữa nếu 0 < Lii(x) < u2(x),.r £ Sì thì
0 < Bu\{x) < IÌU
2
{x)%£ G íĩ.
Chừng minh. Theo giả thiết ta có, với u G L2{íì) thì f(u) £ L2(íì).
Do đó 13 = (//<;- A)_1./(.) : L’
2
(Í2) là toán tứ liên tục và compấc
trong L'\íì).

Giả sứ ui(x),M j-) € L2(Q),U < -Ui(x) < u2{x).x e n. Khi đó
ŨU\ = [Hq - A)_ 1 / ( u i )
£u, = (//„- xylf(u2)
Duu Du2 e D{H(,) và
(//,, - A)(Bu2 - £u,) = /(-u2) - /(ui) trong n
( /ií/v — B u \ ) I tJi ỉ = 0
Lỉu
2
- Du 1 -> u khi |j-| +OC.
Vì / là hàm không giam. Uj > Ui nên /(</,) > f(m), do đó theo nguyên
lý cực đại ta suy ra Bu, > Bu
1
trong íĩ.
23
§2 Sự tồn tại nghiệm dương của bài toán Dirichlet.
1. Giá sử
7
< Aj. (2-5)
Khi đó toán tử Hq -
7
(với điều kiện Dirichlet thuần nhất) có nghịch
đảo (Hq - y)~l xác định trong L
2
(Í
2
).
Giá sứuG L2{Q). Theo giả thiết (2-4) f2{u) e L
2
(Q). Do đó tổn tại
nghiệm duy nhất của bài toán Dirichlet:

{Hq - -y)v =ỗu + /2(lí) trong Q (2-6)
v\dtt =0,v(x) —> 0 khi |x| —> + 00.
xác định bởi công thức
v{s) = (Hq-~,)-l(ỗu + Mu)) e D(Hq) (2-7)
Như vật ta có ánh xạ: B : LJ(ÍỈ) -> L^(íì) xác định với mọi u e
L2(íì),Bu = (/-/ự - 7)_1(ổw + /a(-íi)) là nghiệm của bài toán (2-6) trong
c v;°(íỉ).
Theo mệnh để 2-1, B là toán tử không tuyến tính, liên tục và compắc
trong L'2{íì). Hơn nữa nếu u e L2{Q),U >
0
trong fỉ,/
2
(u) là hàm không
giảm nên f
2
(u) > /(0) = 0 và ỗu + hiu.) > 0, do đó Bu > 0 trong Q.
Đồng thời nếu ơ < Ui(x) < u2{x) trong Í
2
thì Bui < Ba2 trong n.
2. Giả thiết a < Ai, trong đó Aj là giá trị riêng chính cúa toán tử Hq
và ịpx{x) > 0 X eíì) là hàm riêng của toán tứ Hq ứng với giá trị riêng
Thay V = Bu vào phương trình (2-1) ta xét bài toán biến phán sau
đây:
(//,, - R)u =3Bu + Mu, Bu) trong Q
Ijịtíi; =0,u(x) —> 0 khi \j —oc (2-8)
Ta có định lý
24
Định lý 2.5. Già thiết:
l)a < Alt7 < Ai và
(2 - 10)

(2-9)
Khi đó tồn tại nghiệm dưới u vả nghiệm trên ũ của bài toán Dirichỉet
Chứng minh. Theo giả thiết (2-10) và điều kiện (2-4). ta có:
Do đó tổn tại So > 0 sao cho với mọi s : 0 < s < So thì
Khi đó f2{s) > ị [(Ả! - a)(Aj -
7
) - 0ỗ]s, 0 < s < 3q.
Chọn c > 0 đủ bé sao cho 0 < cy?i(z) < So G Q, ta có:
A>U vi) > J [(A1 - UH A1 - 7) - iổ ]c v i.
Áp dụng mệnh đề
2.1
ta có:
(/-/,, -
7
)-i/.'(ý,i) > j[(Ai _ a )(Al " _ - 7)~
1
CY
1
•
Từ đó : (Hq - 7)“l/2(9i) > j[(A> - qHAi -
Mặt khác vì Mcọi.Bc^) >
0
nên ta lại có
+ /1 (cv?i, ii íV i) ■)) 1 [ốcvi + /ỉ(<Vi)]
/2(5) (Aj - a)(Ai - 7)
—

0
>(Ai - a)(Vi = (Họ - ữ )c-
25