Nghiên cứu ứng dụng xác suất để phân tích tính ngẫu nhiên của chỉ tiêu thời gian trên sơ đồ mạng lưới Pert trong quản trị dự án

Mục lục
Lời mở đầu 3
Chú giải những kí hiệu viết tắt 5
1. Sơ l-ợc về sơ đồ mạng CPM/PERT 6
1.1. Các phần tử của sơ đồ mạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Các chỉ tiêu thời gian của sự kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Các chỉ tiêu thời gian của công việc . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Một số kết quả quan trọng của lý thuyết xác suất 12
2.1. Căn bậc hai của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Vec-tơ ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4. Định lý giới hạn trung tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Khảo sát tính ngẫu nhiên trên sơ đồ PERT 19
3.1. Tính ngẫu nhiên của chỉ tiêu thời gian trên sơ đồ PERT . . . . . . 19
3.2. Phân tích xác suất hoàn thành dự án . . . . . . . . . . . . . . . . 22
i
3.2.1. Phân tích trên dự án có một đ-ờng găng . . . . . . . . . . 23
3.2.2. Phân tích trên dự án có kđ-ờng găng . . . . . . . . . . . 27
3.2.3. Xác suất hoàn thành trên dự án có hai đ-ờng găng . . . . . 32
Kết Luận 37
Tài liệu tham khảo 38
ii
Lời mở đầu
Sơ đồ PERT (Program and Evaluation Review Technique) là một dạng
của sơ đồ mạng l-ới, một ph-ơng pháp của toán kinh tế sử dụng trong công
tác lập kế hoạch và điều khiển sản xuất. Vấn đề khác biệt chủ yếu giữa
PERT và các ph-ơng pháp sơ đồ mạng l-ới khác đó là tính ngẫu nhiên của
chỉ tiêu thời gian hoàn thành công việc trên sơ đồ, đấy cũng là lí do mà
PERT trở lên phổ biến, áp dụng rộng rãi ở nhiều lĩnh vực khác nhau và đã
đem lại những kết quả có ý nghĩa rất lớn trong thực tiễn.
Khi thời gian hoàn thành công việc có tính ngẫu nhiên, thì thời gian hoàn

thành dự án là một đại l-ợng không chắc chắn và việc này gây ra rất nhiều
khó khăn cho việc quản lý tiến độ dự án. Nói chung, trong công tác điều
khiển sản xuất và quản lí tiến độ dự án, ngoài các yếu tố nh- tài nguyên,
vật t-, thiết bị, nguồn vốn , thì thời gian là đại l-ợng có độ linh hoạt thấp
nhất, nó trôi qua bất kể điều gì xảy ra, vì vậy việc dự án kết thúc đúng hạn
là thách thức lớn nhất. Nếu dự án kết thúc không đúng hạn thì nó không
chỉ gây ra việc chậm tiến độ mà còn kéo theo sự tốn kém về chi phí, tài
nguyên, ( Theo nh- báo cáo của Standish Group hàng năm có trên 31%
dự án bị hủy do v-ợt thời gian hoặc chi phí, gây ra rất nhiều tốn kém về
mặt chi phí ).
Việc nghiên cứu, phân tích rõ tính ngẫu nhiên của chỉ tiêu thời gian trên sơ
đồ mạng l-ới PERT, giúp ng-ời sử dụng hiểu rõ bản chất của hiện t-ợng
xác suất trong việc đánh giá đại l-ợng thời gian hoàn thành dự án cũng nh-
chủ động trong việc quản lý, khắc phục các công việc hay các dự án có
nhiều rủi ro.
Trong các tài liệu nghiên cứu về vấn đề này, chủ yếu đề cập đến tr-ờng hợp
cơ bản, tức quản lí thời gian hoàn thành dự án trên dự án có một đ-ờng
3
găng và kết quả đ-a ra mang tính thừa nhận từ lý thuyết xác suất thống kê.
Trong tr-ờng hợp tổng quát dự án có nhiều đ-ờng găng (ví dụ có hai đ-ờng
găng) thì ch-a có một nghiên cứu cũng nh- đánh giá cụ thể nào.
Với mong muốn đ-a ra một cơ sở lý thuyết chi tiết cho tr-ờng hợp cơ bản,
cũng nh- từ đó phát triển lên để giải quyết cho tr-ờng hợp tổng quát chúng
tôi quyết định chọn đề tài: ` Nghiên cứu ứng dụng xác suất để phân tích
tính ngẫu nhiên của chỉ tiêu thời gian trên sơ đồ mạng l-ới PERT trong
quản trị dự án' để tập trung vào việc phân tích xác suất mối quan hệ giữa
thời gian hoàn thành dự án và thời gian dự định, đặc biệt trong dự án có
nhiều đ-ờng găng.
Cụ thể, nội dung của đề tài gồm có 3 ch-ơng nh- sau:
Ch-ơng 1: Trình bày sơ l-ợc về sơ đồ mạng l-ới.

Ch-ơng 2: Trình bày các kiến thức của lý thuyết xác suất dùng để khảo
sát, phân tích sơ đồ mạng l-ới, trong đó đáng chú ý là hệ quả (2.4.1), một
hệ quả đã đ-ợc xây dựng và có áp dụng trực tiếp trong đề tài.
Ch-ơng 3: Nghiên cứu mối quan hệ giữa xác suất hoàn thành dự án và
thời gian dự định, trong đó có xét các tr-ờng hợp dự án có một đ-ờng găng
và dự án có nhiều đ-ờng găng. Đây là ch-ơng đ-a ra kết quả chính của đề
tài.
4
.
Chú giải những kí hiệu viết tắt
CPM: Critical path methol- ph-ơng pháp đ-ờng găng.
PERT: Program and Evaluation Review Technique- Kỹ thuật đánh giá và
tự kiểm tra.
5
Ch-ơng 1.
Sơ l-ợc về sơ đồ mạng CPM/PERT
Sơ đồ mạng là một mô hình thể hiện toàn bộ dự án thành một thể
thống nhất. Sơ đồ mạng mô tả mối quan hệ liên tục giữa các công việc,
nối kết các công việc và sự kiện theo một thứ tự tr-ớc sau giữa chúng. Có
nhiều ph-ơng pháp sơ đồ mạng, nh-ng đ-ợc dùng phổ biến hơn cả là sơ
đồ CPM (Critical path methol- ph-ơng pháp đ-ờng găng) và sơ đồ PERT
(Program and Evaluation Review Technique- Kỹ thuật đánh giá và tự kiểm
tra). Về cơ bản, hai ph-ơng pháp này là giống nhau về hình thức, trình
tự lập mạng, chỉ khác nhau về tính toán thời gian. Thời gian trong CPM
là một đại l-ợng xác định, đ-ợc tính từ định mức lao động, còn thời gian
trong PERT không căn cứ vào định mức lao động để tính mà phụ thuộc vào
nhiều yếu tố ngẫu nhiên.
1.1. Các phần tử của sơ đồ mạng
Trên sơ đồ mạng có hai đối t-ợng chính là mũi tên và các nút (hình
tròn), mũi tên biểu thị cho trình tự thực hiện của công việc, các nút biểu

6
thị cho các mốc thời gian trên sơ đồ (th-ờng gọi là các sự kiện).
a. Công việc: là một nhiệm vụ hoặc một nhóm nhiệm vụ cụ thể cần thực
hiện của dự án. Nó đòi hỏi thời gian, nguồn lực, và chi phí khi thực hiện.
Công việc đ-ợc biểu diễn bằng mũi tên có h-ớng theo chiều thuận của công
việc, trên đ-ờng này có ghi thông tin về tên công việc, thời gian làm, nguồn
lực, chi phí,
Hình a. Biểu diễn cho công việc.
b. Nút (Sự kiện): là mốc đánh dấu sự kết thúc hay bắt đầu của một hay
một số công việc. Nó không tiêu hao thời gian và nguồn lực mà chỉ thể
hiện vị trí cụ thể của các công việc trên sơ đồ. Sự kiện th-ờng đ-ợc biểu
thị bằng một hình tròn trên sơ đồ
Hình b. Biểu diễn cho sự kiện.
c. Thời gian công việc: là khoảng thời gian để hoàn thành công việc theo
-ớc l-ợng, đ-ợc ấn định tr-ớc hoặc tính toán tr-ớc.
d. Đ-ờng và đ-ờng găng: đ-ờng là sự xắp xếp liên tục của các công việc
đi từ sự kiện bắt đầu đến sự kiện kết thúc. Chiều dài của đ-ờng là tổng thời
7
gian thực hiện của các công việc nằm trên đ-ờng đó. Đ-ờng có độ dài lớn
nhất là đ-ờng găng. Các công việc nằm trên đ-ờng găng là các công việc
găng. Mỗi sơ đồ mạng l-ới đều có ít nhất một đ-ờng găng.
Để lập đ-ợc kế hoạch tiến độ, cũng nh- kiểm soát tiến độ của dự án, chúng
ta cần tính toán đ-ợc các tham số thời gian trên sơ đồ mạng. Đặc biệt quan
trọng chúng ta phải xác định đ-ợc đ-ờng găng, là đ-ờng quyết định thời
gian hoàn thành dự án.
1.2. Các chỉ tiêu thời gian của sự kiện
Ng-ời ta chia nút sự kiện thành 4-phần. Các chỉ tiêu thời gian trên
đó th-ờng đ-ợc kí hiệu nh- sau:
Hình c. Biểu diễn các chỉ tiêu thời gian của sự kiện.
a. Thời điểm sớm của sự kiện: Tại sự kiện j, thời điểm sớm( kí hiệu là

t
s
j
) là thời điểm sớm nhất để kết thúc các công việc đi vào sự kiện j, hoặc
sớm nhất để bắt đầu các công việc đi ra khỏi sự kiện j. Công thức tính:
- Nếu đứng tr-ớc j, chỉ có sự kiện i thì t
s
j
= t
s
i
+ t
ij
;
- Nếu đứng tr-ớc j, có nhiều sự kiện thì t
s
j
= max(t
s
i
+ t
ij
);
- Sự kiện khởi công có t
s
j
=0.
8
b.Thời điểm muộn của sự kiện: Tại sự kiện j, thời điểm muộn( kí hiệu
là t

m
j
) là thời điểm muộn nhất để kết thúc các công việc đi vào sự kiện j,
hoặc muộn nhất để bắt đầu các công việc đi ra khỏi sự kiện j. Công thức
tính:
- Nếu đứng sau j, chỉ có sự kiện k thì t
m
j
= t
m
k
t
jk
;
- Nếu đứng sau j, có nhiều sự kiện thì t
m
j
= min(t
m
k
t
jk
);
- Sự kiện kết thúc có t
m
j
= t
s
j
.

c. Thời gian dự trữ của sự kiện: Tại sự kiện j, thời gian dự trữ ( kí hiệu
là d
j
) là khoảng thời gian chênh lệch giữa thời điểm muộn và thời điểm
sớm. Công thức tính: d
j
= t
m
j
t
s
j
, ta có d
j
0, nếu d
j
=0thì sự kiện j
đ-ợc gọi là sự kiện găng.
1.3. Các chỉ tiêu thời gian của công việc
Công việc A bắt đầu từ sự kiện đỉnh i kết thúc ở sự kiện đỉnh j kí
hiệu là công việc ij, trên nó có sáu chỉ tiêu thời gian nh- sau:
a. Thời điểm khởi công sớm của công việc: là thời điểm sớm nhất để bắt
đầu công việc ij, nó chính là thời điểm sớm nhất để sự kiện i xảy ra, kí
hiệu là: t
ks
ij
= t
s
i
.

b. Thời điểm hoàn thành sớm của công việc: là thời điểm sớm nhất để
kết thúc công việc ij, nó chính bằng thời điểm khởi công sớm của công
việc ij cộng với thời gian làm t
ij
, kí hiệu là: t
hs
ij
= t
ks
ij
+ t
ij
.
c. Thời điểm hoàn thành muộn của công việc là thời điểm muộn nhất
để công việc ij kết thúc mà không ảnh h-ởng đến công việc tiếp theo, nó
9
chính là thời điểm muộn nhất để sự kiện j xảy ra, kí hiệu là: t
hm
ij
= t
m
j
.
d. Thời điểm khởi công muộn của công việc: là thời điểm muộn nhất để
bắt đầu công việc ij mà không ảnh h-ởng đến thời điểm bắt đầu của công
việc sau đó, nó bằng thời gian hoàn thành muộn của công việc ij trừ đi t
ij
,
kí hiệu là: t
km

ij
= t
hm
ij
t
ij
.
e. Thời gian dự trữ chung của công việc: là dự trữ chung của tất cả các
công việc không găng liên quan kề nhau trên đ-ờng đi dài nhất từ sự kiện
khởi công đến sự kiện kết thúc, kí hiệu là: d
c
ij
= t
m
j
t
ij
t
s
i
. Nếu d
c
ij
=0,
thì công việc ij là công việc găng.
d. Thời gian dự trữ riêng của công việc: là thời gian tối đa có thể trì
hoãn của công việc ij mà không ảnh h-ởng đến thời điểm kết thúc muộn
của các công việc liền tr-ớc, cũng nh- thời điểm bắt đầu sớm của các công
việc liền sau, kí hiệu là: d
r

ij
= max(0,t
s
j
t
ij
t
m
i
).
Ví dụ 1. Một dự án có trình tự thực hiện đ-ợc cho d-ới bảng nh- sau:
Stt Tên công việc Thứ tự tiến hành
thời
gian(tuần)
1 A Bắt đầu ngay 4
2
B Bắt đầu ngay 2
3 C Bắt đầu ngay 4
4
D Làm sau A 3
5
E Làm sau B 6
6 F Làm sau C 12
7
G Làm sau F, E, D 4
8 I Làm sau G 4
9 K Làm sau C 3
.
10
11

Ch-ơng 2.
Một số kết quả quan trọng của lý thuyết
xác suất
2.1. Căn bậc hai của ma trận
Cho A là một ma trận đối xứng cấp n ì n. Khi đó A có n cặp giá
trị riêng và vec-tơ riêng

1
,e
1
;
2
,e
2
; ;
n
,e
n
.
Các vec-tơ riêng có thể chọn sao cho nó tạo thành một cơ sở trực chuẩn
của R
n
, tức là
e
T
1
e
1
= = e
T

n
e
n
=1; e
T
i
e
T
j
=0 i = j =1 n;
Định nghĩa 2.1.1. Ma trận đối xứng A cấp n ì n đ-ợc gọi là xác định
không âm nếu dạng toàn ph-ơng (x):=x
T
Ax sẽ không âm. Nếu bổ xung
thêm giả thiết x
T
Ax =0khi và chỉ khi x =(0, 0, , 0)
T
thì A gọi là ma
trận xác định d-ơng.
Ta viết A 0 để chỉ A là ma trận xác định không âm; A>0 để chỉ
A là ma trận xác định d-ơng.
12
Ng-ợc lại, nếu A 0 (hoặc A>0) thì A đ-ợc gọi là ma trận xác định
không d-ơng (hoặc ma trận xác định âm).
Mệnh đề 2.1.1. Nếu A 0 thì
1
, ,
n
là các giá trị riêng của nó sẽ là

các số thực không âm.
Mệnh đề 2.1.2. Nếu
1
,e
1
;
2
,e
2
; ;
n
,e
n
là n cặp giá trị riêng và vec-tơ
riêng của ma trận đối xứng A thì A có thể biểu diễn d-ới dạng:
A =
1
e
1
e
T
1
+ +
n
e
n
e
T
n
.

Định nghĩa 2.1.2 (Căn bậc hai của ma trận). Cho A là ma trận đối xứng
xác định d-ơng. Đặt
P =[e
1
,e
2
, , e
n
], =diag(
1
,
2
, ,
n
),
1/2
= diag(


1
,


2
, ,


n
).
Khi đó ma trận

A
1/2
= P
1/2
P
T
sẽ thỏa mãn điều kiện A
1/2
A
1/2
= A. Do đó A
1/2
đ-ợc gọi là ma trận căn
bậc hai của A>0.
Ta có các hệ thức sau:
a) (A
1/2
)
T
= A
1/2
;
b) (A
1/2
)
1
=
n

1

1


i
e
i
e
T
i
= P
1/2
P
T
và kí hiệu (A
1/2
)
1
= A
1/2
;
c) A
1/2
A
1/2
= A
1/2
A
1/2
= I
n

; A
1/2
A
1/2
= A
1
.
2.2. Vec-tơ ngẫu nhiên
Vec-tơ ngẫu nhiên X =[X
1
, , X
n
] là một vec-tơ mà mỗi thành phần
X
1
, , X
n
của nó là một biến ngẫu nhiên. T-ơng tự nếu X =[X
ij
] là ma
13
trận cấp n ì p mà các thành phần X
ij
là các biến ngẫu nhiên sẽ đ-ợc gọi
là ma trận ngẫu nhiên.
Định nghĩa 2.2.3 (Vec-tơ trung bình và ma trận ph-ơng sai).
Cho X =[X
1
, , X
n

]
T
là một ma trận ngẫu nhiên n ì1 (tức là một vec-tơ
ngẫu nhiên), khi đó:
a) Vec-tơ E(X)=[E(X
1
), , E(X
n
)]
T
=[à
1
, , à
n
]
T
gọi là vec-tơ giá
trị trung bình;
b) Đại l-ợng
ii
= E(X
i
à
i
)
2
,i=1 n đ-ợc gọi là ph-ơng sai của X
i
;
c)

ij
= E(X
i
à
i
)(X
j
à
j
) đ-ợc gọi là hiệp ph-ơng sai của biến X
i
và X
j
;
d)
ij
=
ij
/


ii

jj
đ-ợc gọi là hệ số t-ơng quan của biến X
i
và X
j
.
Nếu (X

i
,X
j
) có hàm mật độ đồng thời là f
ij
(x
i
,x
j
), thì

ij
=
+


+


(x
i
à
i
)(x
j
à
j
)f
ij
(x

i
,x
j
)dx
i
dx
j
=
+


+


x
i
x
j
f
ij
(x
i
,x
j
)dx
i
dx
j
à
i

à
j
Kí hiệu
cov(X)=E(X à)(X à)
T
=[E(X
i
à
i
)(X
j
à
j
)],
là ma trận hiệp ph-ơng sai của vec-tơ X. Đặt =cov(X)=[
ij
], khi đó
là ma trận đối xứng xác định không âm cấp n.
Đặt P =(
ij
)
nn
, thì P là ma trận t-ơng quan của vec-tơ X, khi đó
14
với V = diag(
11
, ,
nn
); V
1/2

= diag(


11
, ,


nn
) và V
1/2
=
diag(1/


11
, , 1/


nn
) ta có:
P = V
1/2
V
1/2
=V
1/2
PV
1/2
2.3. Phân phối chuẩn
Phần này chúng ta sẽ trình bày một số kết quả quan trọng của phân

phối chuẩn một chiều và phân phối chuẩn nhiều chiều.
Định nghĩa 2.3.4 (phân phối chuẩn một-chiều). Đại l-ợng ngẫu nhiên
liên tục X đ-ợc gọi là tuân theo phân phối chuẩn (1-chiều) với hai tham số
à,
2
nếu hàm mật độ của nó có dạng:
f(x)=
1

2
exp{
1
2
(x à)
2

2
}, ( <x<+) (2.3.1)
Nếu X có hàm mật độ chuẩn nh- trên thì ta có kì vọng EX = à và
ph-ơng sai DX =
2
, khi đó ta viết tắt X N(à,
2
)). Ngoài ra ta còn có
các kết quả sau:
a) P {à X à + } =0.683 (quy tắc 1 sigma),
b) P {à 2 X à +2} =0.954 (quy tắc 2 sigma),
c) P {à 3 X à +3} =0.997 (quy tắc 3 sigma).
Thành phần
(xà)

2

2
có thể viết d-ới dạng (x à)
T
(
2
)
1
(x à). Cách viết
này có thể dùng để định nghĩa phân phối chuẩn nhiều chiều.
Định nghĩa 2.3.5 (phân phối chuẩn nhiều chiều). Vec-tơ X đ-ợc gọi là
có phân phối chuẩn không suy biến pchiều nếu X =(X
1
, , X
p
)
T
có
15
hàm mật độ
f(x)=
1
(2)
p/2
||
1/2
exp{
1
2

(x à)
T

1
(x à)}, (2.3.2)
trong đó à =(à
1
, , à
p
)
T
R
p
; là ma trận xác định d-ơng và chúng là
các tham số của phân bố chuẩn pchiều, x R
p
.
Chú ý rằng nếu X =(X
1
, , X
p
)
T
có hàm mật độ nh- trên thì
E(X)=(EX
1
, , EX
p
)
T

=(à
1
, , à
p
)
T
và cov(X)=, khi đó ta kí
hiệu X N(à, ).
Một số tính chất:
a) Nếu X N(à, ) thì mọi tập con các thành phần của X cũng có phân
phối chuẩn, đặc biệt X
i
N(à
i
,
ii
)-chuẩn một chiều.
b) Nếu X N(à, ) và
ij
=0(i = j) thì các thành phần X
1
, , X
n
trong vec-tơ X là độc lập.
c) Một vec-tơ X =(X
1
, , X
p
)
T

bất kỳ có phân phối chuẩn nhiều chiều
khi và chỉ khi mọi tổ hợp tuyến tính

c
i
X
i
có phân bố chuẩn (1-
chiều).
Ví dụ 2 (khai triển chi tiết phân phối chuẩn 2-chiều).
Xét mật độ chuẩn hai chiều với à
1
= E(X
1
),à
2
= E(X
2
);
11
= D(X
1
);
22
=
D(X
2
);
12
=cov(X

1
,X
2
). Khi đó
12
=

12


11

22
là hệ số t-ơng quan của
X
1
và X
2
và
=


11

12

12

22

> 0 khi |
12
| < 1,
11
> 0,
22
> 0
16
Mặt khác ta có

1
=
1

11

22

2
12


22

12

12

11

=
1
1
2
12


1
11

12
(
11

22
)
1/2

12
(
11

22
)
1/2

1
22

Do đó

(x à)
T

1
(x à)=
=(x
1
à
1
,x
2
à
2
)
1
1
2
12



1
11

12


11

22

12


11

22

1
22



x
1
à
1
x
2
à
2

=
1
1
2
12

x
1

à
1


11

2
2
12
(x
1
à
1
)(x
2
à
2
)


11


22
+

x
2
à
2

22

2

Vì vậy, mật độ chuẩn hai chiều của (X
1
,X
2
) là
f(x
1
,x
2
)=
1
2{
11

22
(1
2
)}
1/2

exp

1
2(1

2
12
)

(
x
1
à
1


11
)
2
2
12
(x
1
à
1
)(x
2
à
2
)


11

22
+(
x
2
à
2


22
)
2

2.4. Định lý giới hạn trung tâm
Xét một dãy các biến ngẫu nhiên X
1
,X
2
, (kí hiệu là dãy {X
k
}), ta
nói dãy {X
k
} tuân theo định lý giới hạn trung tâm nếu dãy phân phối của
biến ngẫu nhiên
S
n
ES
n

DS

n
(S
n
= X
1
+ X
2
+ + X
n
,n=1, 2, )
hội tụ yếu (hội tụ theo hàm phân phối) đến phân phối chuẩn tắc N(0, 1).
17
Định lý 2.4.1 (Định lý giới hạn trung tâm Lindeberg). Nếu dãy biến
ngẫu nhiên độc lập {X
k
} có ph-ơng sai hữu hạn và thỏa mãn điều kiện
Lindeberg:
>0 L
n
():=
1
B
2
n
n

k=1
E[|X
k
à

k
|
2
.I
(|X
k
à
k
|B
n
)
] 0 khi n
trong đó à
n
= EX
n
,B
2
n
= D(S
n
),n 1, thì dãy {X
k
} tuân theo định lý
giới hạn trung tâm
Định lý giới hạn trung tâm Lindeberg đ-a ra một kết quả áp dụng
tổng quát trong lý thuyết xác suất, để cho phù hợp với nội dung nghiên cứu
của đề tài chúng ta xây dựng một tr-ờng hợp riêng của nó nh- sau:
Hệ quả 2.4.1. Giả sử {X
k

} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, bị chặn đều,
nghĩa là tồn tại một số c>0 sao cho k 1,P(|X
k
|c)=1. Nếu với
mọi k mà DX
k
=0và D(S
n
) + thì dãy {X
k
} tuân theo định lý giới
hạn trung tâm, nghĩa là
S
n
ES
n

DS
n
N(0, 1).
Chứng minh. Theo giả thiết D(S
n
) + nên với mọi >0, tồn tại n

sao cho với n n

, biến cố (|X
k
| >

DS
n
)=, k.
Suy ra L
n
()=0với mọi >0 và n đủ lớn, vậy dãy {X
k
} tuân theo định
lý giới hạn trung tâm.
18
Ch-ơng 3.
Khảo sát tính ngẫu nhiên trên sơ đồ
PERT
Trong ch-ơng này, chúng tôi sẽ áp dụng các kết quả xác suất ở ch-ơng
2 để phân tích tính ngẫu nhiên trên sơ đồ PERT và khảo sát xác suất hoàn
thành dự án.
3.1. Tính ngẫu nhiên của chỉ tiêu thời gian trên sơ đồ
PERT
Một khi đã xác định đ-ợc toàn bộ các công việc của dự án, chúng
ta cần xác định thời gian cần thiết hoàn thành mỗi công việc. Thông tin
này đ-ợc sử dụng trong việc tính toán tổng thời gian cần có để hoàn thành
dự án và trong điều hành từng công việc cụ thể. Đối với dự án lặp đi lặp
lại nh- các dự án xây dựng, duy tu, các nhà quản trị có thể sử dụng dữ
liệu quá khứ và kinh nghiệm cần thiết để -ớc tính thời gian hoàn thành của
mỗi công việc một cách chính xác. Tuy nhiên, đối với các dự án mới hay
chỉ làm một lần, thì việc -ớc tính thời gian của mỗi công việc có phần khó
19
khăn hơn. Quả thực, trong nhiều tr-ờng hợp, thời gian hoàn thành của mỗi
công việc là không chắn chắn và tốt nhất chúng nên đ-ợc biểu diễn bằng
tính ngẫu nhiên, khi đó thời gian hoàn thành của mỗi công việc đ-ợc xem

xét nh- là các biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất thích hợp. Kết quả
là bằng ph-ơng pháp xác suất chúng ta sẽ trả lời câu hỏi về khả năng đáp
ứng một mốc hoàn thành dự án cụ thể.
Ước tính thời gian hoàn thành của mỗi công việc một cách chính xác là rất
quan trọng trong việc hình thành lịch trình hoạt động, nó giúp các nhà quản
lý kết thúc dự án đúng hạn (theo báo cáo của CHAOS năm 1995 thời gian
quá hạn trung bình là 222% đ-ợc cải tiến lên 163% vào năm 2001). Vì thế
ng-ời ta coi thời gian hoàn thành của mỗi công việc có yếu tố ngẫu nhiên,
và khi -ớc l-ợng ng-ời ta dựa vào -ớc tính 3 loại thời gian: lạc quan, hợp
lý nhất và bi quan, cho phép nhà quản trị dự án xem xét các yếu tố có tính
không chắc chắn trong việc xác định đ-ờng găng và lịch trình hoạt động.
Ph-ơng pháp này đ-ợc các nhà thiết kế ph-ơng pháp PERT đề xuất và phát
triển.
Nhằm bổ sung thời gian có tính ngẫu nhiên vào việc phân tích, chúng ta
cần có 3 -ớc tính thời gian của mỗi công việc:
-Thời gian lạc quan a (Optimistictime): chính là thời gian hoàn thành
công việc tối thiểu nếu mọi việc tiến triển rất lý t-ởng. Đấy chính là thời
gian cần để hoàn thành một công việc trong điều kiện thuận lợi nhất. Thời
gian này rất khó đạt đ-ợc. Trên đồ thị phân phối xác suất, thời gian nằm ở
cận d-ới.
-Thời gian hợp lý nhất m (Mostprobabletime): chính là thời gian hoàn
thành công việc có khả năng xảy ra nhất trong điều kiện thông th-ờng. Đây
chính là thời gian có xác suất lớn nhất, nằm ở đỉnh cao nhất trong đồ thị
phân phối xác suất.
20
-Thời gian bi quan b (P essimistictime): là thời gian hoạt thành công
việc tối đa trong điều kiện khó khăn nhất. Thời gian này nằm ở cận trên
trong đồ thị phân phối xác suất.
Hình 2. Phân phối xác suất với 3 loại thời gian -ớc l-ợng.
Ba yếu tố thời gian trên ch-a đủ để xác định phân phối xác suất của thời

gian hoàn thành công việc, do đó ch-a đủ để xác định thời gian kỳ vọng
t
e
(ij) và ph-ơng sai
2
(ij) đặc tr-ng cho độ biến động của thời gian hoàn
thành công việc so với thời gian kỳ vọng. Bằng tính toán thực nghiệm,
ng-ời ta đ-a ra giả thiết (b a) khoảng chênh lệch giữa giá trị cận trên và
cận d-ới của phân phối xác suất xấp xỉ bằng 6 lần độ lệch chuẩn. Do vậy,
ph-ơng sai của thời gian hoàn thành công việc đ-ợc xác định bằng công
thức:

2
(ij)=(
b a
6
)
2
Tiếp tục, giả thiết phân phối xác suất của thời gian hoàn thành công việc
đều là phân phối xác suất Beta (đây là phân phối không có hình dạng nhất
định nên nó phù hợp với việc mô tả thời gian của các công việc). Để tính
thời gian kỳ vọng t
e
của thời gian hoàn thành công việc, chúng ta sử dụng
21
công thức sau:
t
e
(ij)=
a +4m + b

6
Khi thời gian hoàn thành công việc có tính ngẫu nhiên, việc tính toán đ-ờng
găng chỉ xác định đ-ợc thời gian kỳ vọng hay thời gian trung bình để hoàn
thành toàn bộ dự án. Thời gian thực tế để hoàn thành dự án có thể khác.
Tuy nhiên, vì mục đích đặt kế hoạch, thời gian kỳ vọng để hoàn thành dự
án sẽ là thông tin có giá trị cho quản trị dự án.
3.2. Phân tích xác suất hoàn thành dự án
Nh- chúng ta biết, sự thay đổi trong các hoạt động găng có thể gây
ra sự thay đổi thời gian hoàn thành dự án. Sự thay đổi trong các công việc
không găng thông th-ờng không có tác động đến thời gian hoàn thành dự
án bởi vì các công việc này có thời gian dự trữ. Vì vậy, khi đã có mạng dự
án và thời gian hoàn thành công việc kỳ vọng, chúng ta tiến hành các tính
toán đ-ờng găng nhằm xác định thời gian kỳ vọng cần thiết để hoàn thành
dự án và xây dựng lịch trình hoạt động. Trong việc tính toán này, chúng
ta xem xét thời gian hoạt động kỳ vọng nh- một khoảng thời hạn cố định
đã biết của mỗi hoạt động. Nhờ vào đó, chúng ta có thể sử dụng qui trình
đ-ờng găng theo ph-ơng pháp PERT/CPM đ-ợc giới thiệu ở Ch-ơng 1 để
tìm đ-ờng găng cho dự án. Sau khi đã định rõ các hoạt động găng và thời
gian kỳ vọng hoàn thành dự án, chúng ta sẽ dùng ph-ơng pháp xác suất để
phân tích thời gian hoàn thành dự án.
22
3.2.1. Phân tích trên dự án có một đ-ờng găng
Khi chúng ta sử dụng quy trình đ-ờng để tìm đ-ờng găng cho dự án
sẽ xảy ra các tình huống nh- sau: trên sơ đồ có một đ-ờng găng, tức là
tồn tại duy nhất một đ-ờng đi từ đỉnh đầu đến đỉnh cuối có tổng thời gian
kì vọng dài nhất, hoặc có nhiều hơn một đ-ờng găng, tức là tồn tại nhiều
đ-ờng đi khác nhau từ đỉnh đầu đến đỉnh cuối có tổng thời gian kì vọng
bằng nhau và cùng lớn nhất. Tr-ờng hợp dự án chỉ tồn tại một đ-ờng găng
(G), thì thời gian hoàn thành dự án phụ thuộc chủ yếu vào thời gian hoàn
thành của các công việc trên đ-ờng găng đó. Không mất tính tổng quát giả

sử có n công việc A
i
trên đ-ờng găng theo thứ tự là:
G : A
1
A
2
A
n
Gọi X
k
là thời gian hoàn thành công việc A
k
thuộc đ-ờng găng (G), giả
sử dãy các biến ngẫu nhiên X
k
độc lập, khi đó ta có kết quả sau:
Định lý 3.2.2. Dãy các biến ngẫu nhiên độc lập {X
k
} tuân theo định lý
giới hạn trung tâm, tức là dãy biến ngẫu nhiên
S
n
ES
n

DS
n
(S
n

= X
1
+ X
2
+ + X
n
,n=1, 2, )
hội tụ yếu (hội tụ theo hàm phân phối) đến phân phối chuẩn tắc N(0, 1).
Chứng minh. Đặt c = max{b
k
} (b
k
là thời gian bi quan của công việc A
k
),
khi đó ta có P (|X
k
| <c)=1(k 1), suy ra dãy {X
k
} bị chặn đều.
Mặt khác, ta có D(X
k
)=
2
A
k
=(
ba
6
)

2
=0 (k 1), và dãy D(S
n
)
không bị chặn.
Theo hệ quả (2.4.1), ta có dãy các biến ngẫu nhiên (X
k
) tuân theo định lý
giới hạn trung tâm.
23
Khi đó, nếu ta đặt
G =
S
n
E(S
n
)

D(S
n
)
thì đại l-ợng ngẫu nhiên G xấp xỉ phân phối chuẩn tắc N(0, 1).
Nếu gọi D là thời gian dự kiến dự án hoàn thành, thì xác suất để dự án
hoàn thành là:
P

S
n
D

= P

S
n
E(S
n
)

D(S
n
)

D E(S
n
)

D(S
n
)

= P

G u


= (u

)=1
(3.2.1)
trong đó: u

=
D E(S
n
)

D(S
n
)
, và (u

) là hàm phân phối của N(0, 1).
Nhận xét: Từ đẳng thức (3.2.1) ta có thể đ-a ra mối quan hệ giữa xác
suất hoàn thành dự án (P ) và thời gian dự định (D):
- Cho thời gian dự kiến hoàn thành dự án, hãy tính xác suất hoàn thành
dự án t-ơng ứng(-quan hệ thuận).
- Hãy tìm khoảng thời gian nhỏ nhất để đạt đ-ợc yêu cầu dự án hoàn
với một xác suất cho tr-ớc(-quan hệ ng-ợc).
Ví dụ 3. Cho một dự án có trình tự tiến hành và các thông số thời gian
nh- trong bảng d-ới đây, hãy:
a) Tính xác suất để dự án hoàn thành nếu mong muốn dự án hoàn thành
trong vòng 16 tuần.
b) Nếu yêu cầu dự án hoàn thành với xác suất 0, 99 thì phải cần khoảng
thời gian tối tiểu là bao nhiêu để thực hiện.
24
Stt
Tên công
việc
Thứ tự tiến
hành

thời gian
lạc quan
(a:tuần)
thời gian
hay xảy ra
(m:tuần)
thời gian
bi quan
(b:tuần)
1
A Bắt đầu ngay 1 2 3
2 B Bắt đầu ngay 2 3 4
3 C Làm sau A 1 2 3
4
D Làm sau B 2 4 6
5 E Làm sau C 1 4 7
6
F Làm sau C 1 2 9
7
G Làm sau D;E 3 4 11
8 H Làm sau G;H 1 2 3
Tr-ớc hết, ta sẽ đi tìm các -ớc l-ợng thời gian cho các bảng công
việc, bằng cách sử dụng các công thức -ớc l-ợng ở phần 3.1
Stt
Tên công việc
thời gian
t
e
ph-ơng
sai

2
1
A 2 4/36
2 B 3 4/36
3
C 2 4/36
4
D 4 16/36
5 E 4 36/36
6
F 3 64/36
7 G 5 64/36
8 H 2 4/36
Sơ đồ mạng của dự án thể hiện nh- sau:
25