chuyên đề luyện thi đại học môn toán hàm số mũ logarit
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (518.56 KB, 28 trang )
CHUYEÂN ÑEÀ
LUYỆN THI ðẠI HỌC
HµM Sè
HµM Sè HµM Sè
HµM Sè Mò
Mò Mò
Mò – LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
Quy nhơn, năm 2011
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 1
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
Phương trình mũ cơ bản có dạng :
x
a m
=
, trong đó
0, 1
a a
> ≠
và m là số
đ
ã cho.
●
N
ế
u
0
m
≤
, thì ph
ươ
ng trình
x
a m
=
vơ nghi
ệ
m.
●
N
ế
u
0
m
>
, thì ph
ươ
ng trình
x
a m
=
có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
log .
a
x m
=
Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
x 1 x x 1
5 6.5 3.5 52
+ −
+ − =
2)
x 1 x 2 x 3 x x 1 x 2
3 3 3 9.5 5 5
+ + + + +
+ + = + +
3)
x x 1
3 .2 72
+
=
4)
x 1 x 2
3 2.3 25
+ −
− =
5)
x 1 x 2 x x 2
3.2 2.5 5 2
+ − −
+ = +
6)
x 3x 1
4 7 16
0
7 4 49
−
− =
.
B – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
Phương trình logarit cơ bản có dạng : log
a
x m
=
, m là số đã cho.
● ðiều kiện :
0
0 1
x
a
<
< ≠
● Phương trình có nghiệm :
m
x a
=
.
Bài 2. Giải các phương trình sau :
1)
(
)
3
log x x 2 1
+ =
2)
(
)
(
)
2
2 2
log x 3 log 6x 10 1 0
− − − + =
3)
(
)
(
)
log x 15 log 2x 5 2
+ + − =
4)
(
)
x 1
2
log 2 5 x
+
− =
5)
( )( )
2 2
x 1
log log x 1 x 4 2
x 4
−
+ − + =
+
6)
2
x
x
log 16 log 7 2
− =
.
DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
Sử dụng cơng thức :
a a
β
α
α β
= ⇔ =
.
Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
2 3x
3
x x x 3
1
9 27 . 81
3
−
+
=
2)
x 1 2x 1
4.9 3 2
− +
=
.
CHUYÊN ĐỀ 1.
PHƯƠNG
TRÌNH
MŨ – LOGARIT
Biờn son : GV HUNH C KHNH
trang 2
B PHNG TRèNH LOGARIT.
S dng cụng thc :
(
)
0 0
log log
b c
b c
a a
b c
> >
=
=
.
Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau :
1)
(
)
(
)
2 2
2 2 2
log x 3x 2 log x 7x 12 3 log 3
+ + + + + = +
2)
( )
( )
( )
2 2
x 3
1
log 3x 1 2 log x 1
log 2
+
+ = + +
3)
( )
2
2
9 3
3
1 x 1
log x 5x 6 log log x 3
2 2
+ = +
4)
(
)
( )
2
2
4 4 4
log x 1 log x 1 log x 2
=
5)
( ) ( )
2 3
4 8
2
log x 1 2 log 4 x log 4 x
+ + = + +
6)
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log x 3 log x 1 log 4x
2 4
+ + =
.
DAẽNG 3. PHệễNG PHAP ẹAậT AN PHUẽ
A PH
NG TRèNH M
.
Ph
ng trỡnh d
ng :
2
. . 0
x x
a a
+ + =
.
t :
0
x
t a
>
=
.
Khi
ủ
ú ta
ủ
c ph
ng trỡnh b
c hai :
2
0
t t
+ + =
.
Bi 1.
Gi
i cỏc ph
ng trỡnh sau :
1)
2 2
x x 2 x 1 x 2
4 5.2 6 0
+ +
=
2)
3 2cosx 1 cosx
4 7.4 2 0
+ +
=
3)
3x x
3x x 1
8 1
2 6 2 0
2 2
=
.
Ph
ng trỡnh d
ng :
. . 0
x x
a a
+ + =
.
t :
0
x
t a
>
=
. Suy ra :
1
0
1
x
x
a
a t
= = >
.
Khi
ủ
ú ta
ủ
c ph
ng trỡnh b
c hai :
2
1
0 0
t
t t t
+ + = + + =
.
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 3
Bài 2. Giải các phương trình sau :
1)
(
)
(
)
(
)
x x x
26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1
+ + + − − =
2)
2 2
sin x cos x
9 9 10
+ =
.
Phương trình dạng :
. . 0
x x
a b
α β γ
+ + =
. Với
. 1
ab
=
.
● ðặt :
0
x
t a
>
=
. Suy ra :
1
x
b
t
=
.
●
Khi
ñ
ó ta
ñượ
c ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai :
2
1
0 0
t
t t t
α β γ α γ β
+ + = ⇔ + + =
.
Bài 3. Giải các phương trình sau :
1)
(
)
(
)
x x
2 3 2 3 4
− + + =
2)
(
)
(
)
x x
4 15 4 15 8
− + + =
.
Ph
ươ
ng trình d
ạ
ng :
( )
2 2
. . 0
x
x x
a ab b
α β γ
+ + =
.
●
Chia hai v
ế
ph
ươ
ng trình cho :
2
x
a
( ho
ặ
c
2
x
b
)
●
Khi
ñ
ó ta
ñượ
c ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai :
2
0
x x
b b
a a
α β γ
+ + =
.
ðặ
t :
0
x
b
t
a
= >
.
Bài 4.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :
1)
2 2 2
x x x
15.25 34.15 15.9 0
− + =
2)
1 1 1
x x x
6.9 13.6 6.4 0
− + =
3)
x x x
27 12 2.8
+ =
.
Phương trình dạng :
( ) ( ) ( )
. .
f x g x h x
a
a a
α β αβ
+ − =
. Với
(
)
(
)
(
)
h x f x g x
= +
.
● ðặt :
( )
( )
( ) ( ) ( )
.
0
0
f x
h x f x g x
g x
v
u a
a a u
v a
+
= >
⇒ = =
= >
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 4
● Khi ñó ta ñược phương trình bậc hai :
(
)
(
)
. .
u v uv v u v
α β αβ α β α
+ − = ⇔ − = −
( )( )
.
0
u
v u
v
β
α β
α
=
− − = ⇔
=
Bài 5. Giải các phương trình sau :
1)
2 2
x x x x 2x
2 4.2 2 4 0
+ −
− − + =
2)
2 2 2
x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 7
4 4 4 1
− + + + + +
+ = +
3)
( )
2
2 2
x 1
x x 1 x
4 2 2 1
+
+ −
+ = +
4)
x x x
8.3 3.2 24 6
+ = +
.
B – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
Phương trình có chứa :
log , log , log
k
a a x
x x a
.
● ðặt :
log
a
t x
=
. Suy ra :
, .
1
log log
k k
x
x
a t a
t
= =
Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
x 3 3
x
1
log 3 log x log 3 log x
2
+ = + +
2)
( )
3 9x
3
4
2 log x log 3 1
1 log x
− − =
−
3)
(
)
2 x 1
log x 1 log 16
+
+ = 4)
(
)
(
)
x 1 x
2 2
log 4 4 .log 4 1 3
+
+ + =
5)
2 2
2 x
log x.log (4x ) 12
=
6)
(
)
2
x 25
log 125x .log x 1
=
.
Ph
ươ
ng trình d
ạ
ng :
(
)
(
)
log log log log
a a
b b
x x
=
.
●
ðặ
t :
(
)
(
)
log log log log
a a
b b
x x A
= =
.
●
Khi
ñ
ó :
(
)
( )
( )
( )
1
2
log log log
log
log log
A
A
a
b
b
a
a
b
x A x a
x b
x A
⇔
= =
=
=
. Suy ra :
log
log
A
A
A
b
a
a
b
x
a
x b
= =
1
log log log log log
log
A A A
x x
b b b
a
a a a
b b b
x a x x a
x
⇔ = ⇔ = ⇔ =
( )
.
log log log
A
a
b b
b
a
a A a
b
⇔ =
⇔ =
●
T
ừ
(1) suy ra :
log log
.
b
a
b
a
A
a a
x b b
= =
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 5
Bài 2. Giải các phương trình sau :
1)
2 3
log log x
x = 2)
(
)
(
)
2 3 3 2
log log log log
x x
=
3)
7 3
log x log ( x 2)
= +
4)
(
)
(
)
4 2 2 4
log log x log log x 2
+ =
.
Phương trình dạng : Lựa chọn ẩn phụ thích hợp rồi đưa về hệ đơn giản.
● ðặt cấc ẩn phụ thích hợp.
● Biểu diễn ẩn phụ theo phương trình.
● Tìm mối liên hệ giữa các ẩn phụ độc lập đối với biến x.
Bài 3.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :
1)
(
)
(
)
2 2
2 2
log x x 1 3log x x 1 2
− − + + − =
2)
3
2 lgx 1 lgx 1
− = − −
3)
(
)
(
)
2 2
2 2
3 log x 4x 5 2. 5 log x 4x 5 6
+ − + + − − + =
.
DẠNG 4. PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HÓA
● Dạng 1 :
(
)
( )
0 1, 0
log .
f x
a
a b
a b
f x b
< ≠ >
= ⇔
=
●
D
ạ
ng 2 :
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
log log .lo
g
f x g x f x g x
a a a
a b a b f x g x b
= ⇔ = ⇔ = .
Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
(
)
4
4
3 log x 1
log x 2
x 2
−
−
=
2)
2 3
lg x lgx 3
2
x
1 1
1 1 1 1
x x
+ +
=
−
+ − + +
Bài 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :
1)
x
log 5
6 5
x .5 5
−
−
=
2)
lgx 2
x 1000x
=
3)
x x
3 2
2 3
=
3)
2
x 2x x
2 .3 1,5
−
=
5)
2
x x
5 .3 1
=
6)
x
x
x 2
3 .8 6
+
=
.
DẠNG 5. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
Ph
ươ
ng pháp : Nh
ẩ
m nghi
ệ
m và s
ử
d
ụ
ng tính
đơ
n
đ
i
ệ
u
để
ch
ứ
ng minh nghi
ệ
m duy nh
ấ
t.
Ta th
ườ
ng s
ử
d
ụ
ng các tính ch
ấ
t sau :
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang
6
● Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng
(
)
;
a b
thì phươ
ng trình :
(
)
f x C
=
có không quá m
ộ
t nghi
ệ
m trong kho
ả
ng
(
)
;
a b
. Do
ñ
ó n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
(
)
0
;
x a b
∈
sao cho
(
)
0
f x C
=
thì
ñ
ó là nghi
ệ
m duy nh
ấ
t c
ủ
a ph
ươ
ng trình :
(
)
f x C
=
.
●
Tính ch
ấ
t 2 : N
ế
u hàm f t
ă
ng trong kho
ả
ng
(
)
;
a b
và hàm
g là hàm m
ộ
t hàm gi
ả
m
trong kho
ả
ng
(
)
;
a b
thì ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
f x g x
=
có nhi
ề
u nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m trong
kho
ả
ng
(
)
;
a b
. Do
ñ
ó n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
(
)
0
;
x a b
∈
sao cho
(
)
(
)
0 0
f x g x
=
thì
ñ
ó là nghi
ệ
m
duy nh
ấ
t c
ủ
a ph
ươ
ng trình :
(
)
(
)
f x g x
=
.
Bài 1. Giải các phương trình sau :
1)
x x x
3 4 5
+ =
2)
x x
4 3 1
− =
3)
(
)
(
)
x x
x
2 3 2 3 4
− + + =
.
Bài 2. Giải các phương trình sau :
1)
2
log x 3 x
= −
2)
x
3
2 2 log x
= −
3)
x
2 3 x
= −
4)
2
log x
x 2.3 3
+ =
.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
1)
82
3log x
log x
2x 2x 5 0
−
+ − =
2)
3 3
2x x 2 x 2 x 2 x 4x 4
4 2 4 2
+ + + + + −
+ = +
3)
(
)
(
)
2 2
3 3 3
log x 5x 6 log x 9x 20 1 log 8
+ + + + + = +
4)
(
)
2 4
log x log x 3 2
− − =
5)
( )
( )
2
8 8
4
2log 2x log x 2x 1
3
+ − + =
6)
x 27 3
3
log 3 3log x 2log x
4
− =
7)
2 2
x
log 2 log 4x 3
+ =
8)
(
)
(
)
x x
2 2
1 log 9 6 log 4.3 6
+ − = −
9)
( ) ( ) ( )
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log x 2 3 log 4 x log x 6
2
+ − = − + +
10)
82
4 16
log 4x
log x
log 2x log 8x
=
11)
(
)
(
)
x 1
x
log cos x sin x log cosx cos2x 0
− + + =
12)
2
5x 5
5
log log x 1
x
+ =
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang
7
13)
( )
( )
( )
2
1 2
2
2
1
2
3
log x 1 log x 1 6
2
log x 1
2 log x 1
+ − + −
= +
+ +
14)
x x x
16 64
log 2.log 2 log 2
=
15)
( ) ( )
2 3
4 2 2
1
log x 1 log x 2 2log 4 x 1
3
+ = + + − +
16)
2
2
3x
27x
16log x 3log x 0
− =
17)
( )
{ }
4 3 2 2
1
log 2log 1 log 1 3log x
2
+ + =
18)
(
)
1 1 2
2 4
log x 2log x 1 log 6 0
+ − + =
19)
( ) ( )
3
1 8
2
2
log x 1 log 3 x log x 1 0
+ − − − − =
20)
x 2x
2x
log 2 2log 4 log 8.
+ =
21)
2 3 1
2
log x 2 log x 5 log 8 0
− + + + =
22)
x
3
1 6
3 log 9x
log x x
+ = −
23)
4 2
2x 1
1 1
log (x 1) log x 2
log 4 2
+
− + = + +
24)
(
)
2
x 4 2
log 8 log x log 2x 0
+ =
25)
(
)
( )
2
2
2x 1 x 1
log 2x x 1 log 2x 1 4
− +
+ − + − =
26)
2 1
2
2log 2x 2 log 9x 1 1
+ + − =
27)
( )
x x
2 2
x
1
log 4 15.2 27 2log 0
4.2 3
+ + + =
−
28)
(
)
(
)
3
log log x log log x 2 0
+ − =
29)
( )
2
2
1 2
2
1 1
log 2x 3x 1 log x 1
2 2
− + + − =
30)
( ) ( )
2
3
3
log x 1 log 2x 1 2
− + − =
31)
( ) ( )
2
2 4 1
2
log x 2 log x 5 log 8 0
+ + − + =
32)
(
)
2
2 2
lg x lgxlog 4x 2log x 0
− + =
33)
(
)
(
)
2
2
2 2 2
log x x 1 log xlog x x 2 0
− + − − =
34)
4 3 2
lg x lg x 2lg x 9lgx 9 0
+ − − − =
35)
2
2 2 3 2 3
log x log x log x log xlog x 0
− + − =
36)
(
)
(
)
3 1
3
2log 4x 3 log 2x 3 2
− + + =
.
HẾT
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 1
DẠNG 1. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
A – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
●
0 1
a
< <
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
a a f x g x
a a f x g x
> ⇔ <
≥ ⇔ ≤
(ngh
ị
ch bi
ế
n)
●
1
a
>
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
g x
f x
f x g x
a a f x g x
a a f x g x
> ⇔ >
≥ ⇔ ≥
(đồng biến)
Ví dụ 1. Giải bất phương trình :
2
x x 1
x 2x
1
3
3
− −
−
≥
.
- ðiều kiện :
2
x 0
x 2x 0
x 2
≤
− ≥ ⇔
≥
.
- Bất phương trình
2
x x 1
x 2x 2
3 3 x 2x x x 1
− −
−
⇔ ≥ ⇔ − ≥ − −
(1)
+ Nếu
x 0
≤
thì
x 1 1 x
− = −
, khi đó
( )
2
1 x 2x 2x 1
⇔ − ≥ −
(lng đúng vì
x 0
≤
)
+ Nếu
x 2
≥
thì
x 1 x 1
− = −
, khi đó
( )
2 2
1 x 2x 1 x 2x 1 0
⇔ − ≥ ⇔ − − ≥
( )
( )
x 1 2 loai
x 1 2 chon
≤ −
⇔
≥ +
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
(
]
)
S ;0 1 2;
= −∞ ∪ + +∞
.
Ví dụ 2.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình :
( )
2
3
3
log x
log x
3 x 6
+ ≤
.
- ðiều kiện :
x 0
>
.
- Ta có :
( )
(
)
2
3
3
3 3
log x
log x
log x log x
3 3 x= =
.
- Khi đó bất phương trình
(
)
3 3 3 3
log x log x log x log x
3 3
x x 6 x 3 log x log 3
⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
( )
2
3 3 3 3
1
log x.log x 1 log x 1 1 log x 1 x 3.
3
⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
1
S ;3
3
=
.
CHUYÊN ĐỀ 2.
BẤT
PHƯƠNG
TRÌNH
MŨ – LOGARIT
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 2
BÀI TẬP.
1)
3
x 2
log
x
5 1
−
<
2)
( )
2
log x 1
2
3 1
2 3
x
log log 2 3
2
1
1
3
−
+ +
≥
3)
1 1
2
2 2 2
log x log x
log x
5 x .2 6.x+ >
4)
2 2
1 3
log x log x
2 2
2.x 2≥
.
B – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
●
0 1
a
< <
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
log log 0
log log 0
a a
a a
f x g x f x g x
f x g x f x g x
> ⇔ < <
≥ ⇔ < ≤
(ngh
ị
ch bi
ế
n)
●
1
a
>
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
log log 0
log log 0
a a
a a
f x g x f x g x
f x g x f x g x
> ⇔ < >
≥ ⇔ < ≥
(
ñồ
ng bi
ế
n)
Ví dụ . Giải bất phương trình :
1 2
3
1 2x
log log 0
1 x
+
>
+
- Bpt
2
2
1 2x 1 2x
0 0
1 2x x
1 x 1 x
1 0
1 2x 1 2x
1 x 1 x
log 0 1
1 2x 1
1 x 1 x
2 0
1 2x 1 2x
1 x 1 x
log 1 2
1 x 1 x
+ +
> >
+
+ +
> >
+ +
+ +
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
> >
+ −
+ +
> <
+ +
+ +
< <
+ +
x 1 x 0
x 0
x 1
< − ∨ >
⇔ ⇔ >
> −
.
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
(
)
S 0;
= +∞
.
BÀI TẬP.
1)
2
0,7 6
x x
log log 0
x 4
+
<
+
2)
(
)
2
π 2
4
log log x 2x x 0
+ − <
3)
( )
2
3 1 1
3 3
1
log x 5x 6 log x 2 log x 3
2
− + + − > −
4)
3
2x 3
log 1
1 x
−
<
−
5)
(
)
(
)
x x 2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
−
+ − < + +
6)
(
)
x x
2
log 7.10 5.25 2x 1
− > +
7)
( ) ( )
25 5 1
5
1
2log x 1 log .log x 1
2x 1 1
− ≥ −
− −
8)
2
2x
x
log 64 log 16 3.
+ ≥
Biờn son : GV HUNH C KHNH
trang 3
Bt phng trỡnh dng :
( )
(
)
log
x
f
g x a
>
, ta xột hai tr
ng h
p c
a c
s
:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
0
0
0 1
log
1
a
a
x
f
g x
g x f x
g x
g x f x
f x
g x a
f x
<
<
<
>
>
< <
>
Vớ d . Gii bt phng trỡnh :
(
)
2
x
log 5x 8x 3 2
+ >
.
- Bpt
2 2 2
2
2 2
2
0 x 1
0 x 1 0 x 1
1 3
x
1 3
5x 8x 3 x 4x 8x 3 0
2 2
x
2 5
3
3
5x 8x 3 0
x x 1
x x 1
3
5
5
x
x 1
x 1
x 1
5x 8x 3 x
1 3
4x 8x 3 0
x x
2 2
< <
< < < <
< <
+ < + <
< <
+ >
< >
< >
>
>
>
>
+ >
+ >
< >
2
.
- V
y nghi
m c
a b
t ph
ng trỡnh l :
1 3 3
S ; ;
2 5 2
= +
.
BI TP.
1)
(
)
2
3x x
log 3 x 1
>
2)
(
)
x 1
log 2x 2
+
>
3)
x
1
log x 2
4
4)
(
)
x
x 3
log log 9 72 1
5)
(
)
2
x 3
log 5x 18x 16 2
+ >
6)
(
)
( )
2
2
2
log x 9x 8
2
log 3 x
+
<
7)
(
)
2
log x 3x 2
2
log x log2
+
>
+
8)
(
)
( )
3
a
a
log 35 x
3.
log 5 x
>
DAẽNG 2. PHệễNG PHAP ẹAậT AN PHUẽ
A BT PHNG TRèNH M.
Vớ d 1.
Gi
i b
t ph
ng trỡnh :
x x 2
x x
2.3 2
1
3 2
+
.
- iu kin :
x x
3 2 0 x 0.
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 4
- Chia cả tử và mẫu cho
x
2
, ta ñược :
x
x x 2
x
x x
3
2. 4
2.3 2
2
1 1
3 2
3
1
2
+
−
−
≤ ⇔ ≤
−
−
(*)
-
ðặ
t :
( )
x
3
t , 0 t 1
2
= < ≠
.
- Khi
ñ
ó (*) tr
ở
thành
2t 4 t 3
1 0 0 1 t 3
t 1 t 1
− −
− ≤ ⇔ ≤ ⇔ < ≤
− −
.
- Với
x
3
2
3
1 t 3 1 3 0 x log 3
2
< ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤
.
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
3
2
S 0;log 3
=
.
Ví dụ 2. Giải bất phương trình :
2x 10 3 x 2 x 5 1 3 x 2
5 4.5 5
− − − − + −
− <
.
- ðặt :
x 5 3 x 2
u 5 0, v 5 0
− −
= > = >
.
- Khi ñó bpt trở thành :
( )
2
2 2
u
4u 5v u 4uv 5v vi v 0
v
− < ⇔ − < >
(
)
(
)
2 2
u 4uv 5v 0 u v u 5v 0 u 5v 0 u 5v
⇔ − − < ⇔ + − < ⇔ − < ⇔ <
x 5 1 3 x 2
5 5 x 5 1 3 x 2 x 6 3 x 2
− + −
⇔ < ⇔ − < + − ⇔ − < −
(*)
- Bpt (*)
( ) ( )
2
2
x 2 0
2 x 6
x 6 0
x 6 0
x 6
x 6
6 x 18
3 x 18
x 21x 54 0
9 x 2 x 6
− ≥
⇔ ≤ <
− <
⇔
− ≥
≥
≥
⇔ ⇔ ⇔ ≤ <
< <
− + <
− > −
.
- V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là :
[
)
S 2;18
= .
Ví dụ 3.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình :
2 2
2x 4x 2 2x x 1
2 16.2 2 0
− − − −
− − ≤
.
- Ta có :
2 2 2 2
2x 4x 2 2x x 1 2x 4x 2 2x x 1 2
2 16.2 2 0 2 16.2 2 0
− − − − − − − + −
− − ≤ ⇔ − − ≤
(
)
(
)
2 2
2 x 2x 1 x 2x 1
2 4.2 2 0.
− − − − −
⇔ − − ≤
-
ðặ
t :
2
x 2x 1
t 2 , t 0.
− −
= >
- Bpt tr
ở
thành :
( )
( )
2 3 2
1
t 4 2 0 t 2t 4 0 t 2 t 2t 2 0
t
− − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − + + ≤
( ) ( ) ( )
2
t 2 t 1 1 0 t 2 0 t 2.
⇔ − + + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤
- V
ớ
i
2
2 2
x 2x 1
t 2 2 2 x 2x 1 1 x 2x 2 0 1 3 x 1 3
− −
≤ ⇔ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ + .
- V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là :
S 1 3;1 3
= − +
.
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 5
Ví dụ 4. Giải bất phương trình :
2x 1 2x 1 x
3 2 5.6 0
+ +
− − ≤
.
- Ta có :
x x
2x 1 2x 1 x 2x 2x x
2
3 2 5.6 0 3.3 2.2 5.6 0 3. 2. 5 0
3
2 3
+ +
− − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤
.
- ðặt :
x
3
t , t 0
2
= >
.
- Bpt trở thành :
2
1 1
3t 2. 5 0 3t 5t 2 0 t 2
t 3
− − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤
.
-
ðối chiếu ñiều kiện ta chọn :
0 t 2
< ≤
.
- Với
x
3
2
t 2
3
2 x log 2
2
≤ ⇔
≤ ⇔ ≤
.
- V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là :
3
2
S ;log 2
= −∞
.
BÀI TẬP.
1)
1 x x 1 x
8 2 4 2 5
+ +
+ − + >
2)
2 1
1
x x
1 1
3. 12
3 3
+
+ >
3)
x x x
2.14 3.49 4 0
+ − ≥
4)
2x x x 4 x 4
3 8.3 9.9 0
+ + +
− − ≥
.
B – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
Ví dụ 1.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình :
(
)
2
x 4 2
log 8 log x log 2x 0
+ ≥
.
- ðiều kiện :
0 x 1
< ≠
.
- Bpt
( ) ( )
1
2
2
4 2 2 2
8 2
1 3 1
log x log 2x 0 log x . 1 log x 0
log x log x 2
⇔ + ≥ ⇔ + + ≥
- ðặt :
2
t log x
= .
- Bpt trở thành :
( ) ( )
2
t 1
3 1 1 3 t 1 t
t . 1 t 0 1 t 0 0
t 0.
t 2 2 t t
≤ −
+ +
+ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ ⇔
>
- Với
2
2
1
log x 1
t 1
x
2
t 0 log x 0
x 1.
≤ −
≤ −
≤
⇔ ⇔
> >
>
- ðối chiếu ñiều kiện ta chọn :
1
0 x
2
x 1.
< ≤
>
- V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là :
( )
1
S 0; 1;
2
= ∪ +∞
.
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang
6
Ví dụ 2. Giải bất phương trình :
( ) ( )
3
4 2 2
2 1 2 1
2
2 2
x 32
log x log 9log 4log x
8 x
− + <
.
- ðiều kiện :
x 0
>
.
- Bpt
( ) ( )
1 1
3
4 2 2
2 2
2
2 2
x 32
log x log 9log 4log x
8 x
− −
⇔ − + <
( ) ( )
( )
[ ] [ ]
( )
2
4 3 2 2
2 2 2 2 2 2
2
4 2
2 2 2 2
log x log x log 8 9 log 32 log x 4log x
log x 3log x 3 9 5 2log x 4log x .
⇔ − − + − <
⇔ − − + − <
-
ðặ
t :
2
t log x
=
.
- Bpt tr
ở
thành :
2
4 2 2
2
3 log x 2
3 t 2
t 13t 36 0 4 t 9
2 t 3 2 log x 3
− < < −
− < < −
− + < ⇔ < < ⇔ ⇔
< < < <
1 1
x
8 4
4 x 8.
< <
⇔
< <
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
( )
1 1
S , 4,8
8 4
= ∪
.
BÀI TẬP.
1)
(
)
(
)
2 2
4 2
1 log 2x 3x 2 log 2x 3x 2
+ + + > + +
2)
(
)
x
x
2
3 2
log 3 2 2.log 2 3 0
+
+ + − >
.
DAÏNG 3. MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC.
Dạng :
log log
a
b
u v
<
, ta thường giải như sau : ðặt
log
a
t u
=
( hoặc
log
b
t v
=
) ñể ñưa
về bất phương trình mũ và sử dụng chiều biến thiên của hàm số.
Ví dụ : Giải bất phương trình :
(
)
5 4
log 3 x log x
+ >
.
- ðiều kiện :
x 0
>
.
- ðặt :
t
4
t log x x 4
= ⇔ =
.
- Bpt trở thành :
( )
t t
t t t
5
1 2
log 3 2 t 3 2 5 3. 1
5 5
+ > ⇔ + > ⇔ + >
. (*)
- Hàm số
( )
t t
1 2
x 3.
5 5
f
= +
nghịch biến trên
ℝ
và
(
)
1 1.
f
=
- Bpt (*)
(
)
(
)
t 1 t 1
f f
⇔ > ⇔ <
.
- Với
4
t 1 log x 1 0 x 4.
< ⇔ < ⇔ < <
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
(
)
S 0;4
= .
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 7
Dạng :
1 1
log log
a
b
u v
>
, ta thường giải như sau :
● Lập bảng xét dấu của
log
a
u
và
log
b
v
trong tập xác ñịnh của phương trình.
● Trong TXð, nếu
log
a
u
và
log
b
v
cùng dấu thì :
1 1
og og .
log log
a
b
a
b
l
u l v
u v
⇔
> <
Ví dụ : Giải bất phương trình :
( ) ( )
2 2
1 1
log x 1 log 3 2x
>
+ −
.
-
ð
i
ề
u ki
ệ
n :
1 x 0 3
0 x 1 1
1 x
2
3
0 3 2x 1
1 x
x 0;1
2
− < ≠
< + ≠
− < <
⇔ ⇔
< − ≠
≠ <
≠
●
(
)
2
log x 1 0 x 1 1 x 0.
+ > ⇔ + > ⇔ >
●
(
)
2
log 3 2x 0 3 2x 1 x 1.
− > ⇔ − > ⇔ <
- Ta có b
ả
ng xét d
ấ
u :
- T
ừ
ñ
ó ta có các tr
ườ
ng h
ợ
p sau :
1)
V
ớ
i
1 x 0
− < <
thì
VT 0, VP 0
< >
, suy ra bpt vô nghi
ệ
m.
2)
V
ớ
i
0 x 1
< <
thì
VT 0, VP 0.
> >
Khi
ñ
ó bpt
(
)
(
)
2 2
log x 1 log 3 2x
⇔ + < −
2
3 2x x 1 x .
3
⇔ − > + ⇔ <
3) Với
3
1 x
2
< <
thì
VT 0, VP 0,
> <
suy ra bpt vô nghiệm.
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
2
S 0 x
3
= < <
.
BÀI TẬP.
1)
( )
2
1
1
3
3
1 1
log x 1
log 2x 3x 1
>
+
− +
2)
( ) ( )
3x 5 6x 2
log 4 log 16 0
− − − −
− ≥
.
Dạng :
log log log
a a a
u
v u u u v v
v
< − ⇔ + < +
, ta th
ườ
ng gi
ả
i nh
ư
sau : Xét hàm s
ố
(
)
log
a
f t t t
= +
ñồ
ng bi
ế
n khi
0
t
>
, suy ra
(
)
(
)
.
f u f v u v
< ⇔ <
Ví dụ : Giải bất phương trình :
2
2
3
2
x x 1
log x 3x 2
2x 2x 3
+ +
> − +
− +
.
- ðặt :
(
)
2 2
u x x 1; v 2x 2x 3 u 0, v 0
= + + = − + > >
. Suy ra :
2
v u x 3x 2
− = − +
.
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 8
- Bpt trở thành :
3 3 3 3 3
u
log v u log u log v v u log u u log v v
v
= − ⇔ − = − ⇔ + > +
. (*)
- Xét hàm số :
(
)
3
t log t t
f
= +
, ta có :
( )
1
' t 1 0, t 0
tln3
f
= + > ∀ >
nên hàm số ñồng biến khi
t 0
>
. Do ñó (*)
(
)
(
)
u v u v
f f
⇔ > ⇔ >
.
- V
ớ
i
2 2 2
u v x x 1 2x 2x 3 x 3x 2 0 1 x 2.
> ⇔ + + > − + ⇔ − + < ⇔ < <
- V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là :
(
)
S 1;2
= .
Dùng phương pháp ñánh giá : Dùng bất ñẳng thức, trị tuyệt ñối, biểu thức chứa căn,…
Ví dụ :
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình :
( )
2 3
1
log x 2 4 log 8
x 1
− + ≤ +
−
.
-
ð
i
ề
u ki
ệ
n :
x 2.
≥
.
- Ta có :
●
(
)
2
x 2 4 4 log x 2 4 2 VT 2.
− + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≥
●
1
x 2 x 1 1 x 1 1 1
x 1
≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤
−
3
1 1
8 9 log 8 2 VP 2
1 1x x
⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤
− −
.
- Vậy bpt có nghiệm khi và chỉ khi
VT 2
x 2 0
x 2
VP 2
x 2
=
− =
⇔ ⇔ =
=
=
.
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
{
}
S 2
= .
BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
1)
2
2
2x x
x 2x
1
9 2 3
3
−
−
− ≤
2)
( ) ( )
x 1 x 3
x 3 x 1
10 3 10 3
+ −
+ −
− < +
3)
2
x x 2 3
2 x 1 x
1
3 6.3
3
+ − −
− −
+ >
4)
2 3 2 3
log x log x 1 log x.log x
+ < +
5)
( )
2
2
2
2
x 3
1 1 1
log x 6 2 log
2 12 64
+
− < +
6)
1 1
x x
6 6
1
log 3.4 2.9 log 5
x
− −
+ + =
7)
2 2
3
2 2
x x 1 x x 1
x 1 2x 1
log log
2x 1 x 1
− − + −
+ +
>
+ +
8)
(
)
2 2 2
2 1 4
2
log x log x 3 5 log x 3
+ − > −
9)
( ) ( )
2 3
3 4
2
log x 1 log x 1
0
x 5x 6
+ − +
>
− −
10)
( ) ( )
2 3
2 3
2
log x 1 log x 1
0
x 3x 4
+ − +
>
− −
.
HẾT
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
t
r
an
g
1
DẠNG 1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
● ðặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.
● Sử dụng các phép biến đổi để đưa vê hệ phương trình đại số theo ẩn x, hoặc y, hoặc x
và y.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình :
x y
x y
2 .3 12
3 .2 18.
=
=
- Lấy logarit cơ số 2 cả hai vế của hai phương trình ta được :
2 2
2 2
x y.log 3 2 log 3
x.log 3 y 1 2.log 3.
+ = +
+ = +
Nhận xét : ðây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
- Ta có :
2
2
2
2
1 log 3
D 1 log 3 0
log 3 1
= = − ≠
2 2
2
x 2
2
2 log 3 log 3
D 2 2log 3
1 2log 3 1
+
= = −
+
2
2
y 2
2 2
1 2 log 3
D 1 log 3
log 3 1 2log 3
+
= = −
+
- Suy ra hệ có nghiệm :
x
y
D
x 2
D
D
y 1
D
= =
= =
.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình :
( ) ( )
( )
1 4
4
2 2
1
log y x log 1 1
y
x y 25. 2
− − =
+ =
-
ð
i
ề
u ki
ệ
n :
y x 0
y x
1
0
y 0.
y
− >
>
⇔
>
>
- Ta có :
(
)
(
)
(
)
4 4 4 4
1 log y x log y 1 log y 1 log y x
⇔ − − + = ⇔ = + −
( ) ( )
4 4
4
log y log y x 4 y y x 4 y x.
3
⇔ = − ⇔ = − ⇔ =
- Khi đó hpt
( )
2
2
x 3
4x
4x
y
y
y 4
33
x 3
4x
x 3
x 25
loai .
x 3
3
y 4
=
=
=
=
⇔ ⇔ ⇔
=
= −
+ =
= −
= −
CHUYÊN ĐỀ 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
MŨ – LOGARIT
Biờn son : GV HUNH C KHNH
t
r
an
g
2
- Vy h phng trỡnh cú nghim :
x 3
y 4
=
=
.
Vớ d 3. Gii h phng trỡnh :
(
)
( ) ( )
3 2
2 2 2
2log y log x 1 1
log y log x 1 .log 3 2
= +
=
- iu kin :
x 0
y 0
>
>
.
- Khi ủú hpt
3 2
3 2 2
2
2
3 2 3
2
2log y log x 1
2log y log x 1 log x 3
x 9
log y
log x 1
log y log x 1 log 2
y 8
log 3
y
= +
= + =
=
=
= =
=
.
- Vy h phng trỡnh cú nghim :
x 9
y 8
=
=
.
BI TP.
1)
( )
2 3
9 3
x 1 2 y 1
3log 9x log y 3
+ =
=
2)
( )
( ) ( )
x 2y
x y
2 2
1
3
3
log x y log x y 4
=
+ =
3)
3x 2
x x 1
x
2 5y 4y
4 2
y
2 2
+
=
+
=
+
4)
(
)
2 2
2
4 2
log x y 5
2log x log y 4
+ =
+ =
5)
( )
x y
5
3 .2 1152
log x y 2
=
+ =
.
DAẽNG 2. PHệễNG PHAP ẹAậT AN PHUẽ
Vớ d 1. Gii h phng trỡnh :
( ) ( )
logx log y
log7 log5
5 7
7x 5y
=
=
-
i
u ki
n :
x 0
y 0
>
>
.
- L
y logarit theo c
s
10 c
hai v
ta
ủ
c :
( ) ( )
log x.log5 log y.log7
log7 log x log7 log5 log y log5
=
+ = +
-
t
u logx, v logy
= =
. Khi
ủ
ú h
cú d
ng :
2 2
u.log5 v.log7 0
u.log7 v.log5 log 5 log 7
=
=
Nhn xột : õy l h phng trỡnh bc nht hai n cú dng
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
- Ta cú :
2 2
log5 log7
D log 7 log 5 0
log7 log5
= =
( )
2 2
u
2 2
0 log7
D log 5 log 7 .log7
log 5 log 7 log5
= =
( )
2 2
v
2 2
log5 0
D log 5 log 7 .log5
log7 log 5 log 7
= =
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
t
r
an
g
3
- Suy ra hệ có nghiệm :
u
v
D
u log7
D
D
v log5
D
= = −
= = −
, suy ra
1
x
7
1
y
5
=
=
.
- Vậy hệ có nghiệm :
1
x
7
1
y
5
=
=
.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình :
( )
3
3
log 2
log xy
2 2
4 2 xy (1)
x y 3x 3y 12 (2)
= +
+ − − =
-
ð
i
ề
u ki
ệ
n :
x.y 0
>
.
- Nh
ậ
n xét :
b b
log c log a
a c=
. Do
ñ
ó
(1)
(
)
3
3
log xy
log xy
2
2 2 2⇔ = +
.
-
ðặ
t :
(
)
3
log xy
t 2 t 0
= >
. Ta có :
(
)
2 2
t 1 loai
t 2 t t t 2 0
t 2
= −
= + ⇔ − − = ⇔
=
- Với
t 2
=
thì
3
log xy 1
=
hay
xy 3
=
.
- Biến ñổi (2)
( ) ( )
(
)
( )
2
x y 6
x y 3 x y 18 0
x y 3
+ =
⇔ + − + − = ⇔
+ = −
- Khi ñó hệ phương trình ñã cho
x y 6
x 3 6 x 3 6
x.y 3
y 3 6 y 3 6
x y 3
vo nghiem
x.y 3
+ =
= − = +
=
∨
⇔ ⇔
= + = −
+ = −
=
- Vậy hệ có hai nghiệm :
(
)
3 6; 3 6
− +
và
(
)
3 6; 3 6
+ −
.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình :
( ) ( )
2 2
5 3
9x 4y 5
log 3x 2y log 3x 2y 1
− =
+ − − =
- ðiều kiện :
3x 2y 0
3x 2y 0.
+ >
− >
- Hệ phương trình
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
5 3
3x 2y 3x 2y 5 1
log 3x 2y log 3. 3x 2y 2
+ − =
⇔
+ = −
- Từ (2) ta ñặt :
(
)
(
)
5 3
t log 3x 2y log 3. 3x 2y
= + = −
. Suy ra :
( )
t
t 1
3x 2y 5
*
3x 2y 3
−
+ =
− =
. Thay vào
(1) ta ñược :
(
)
t
t t 1
5 .3 5 15 15 t 1
−
= ⇔ = ⇔ =
.
- Với
t 1
=
thì
( )
3x 2y 5 x 1
* .
3x 2y 1 y 1
+ = =
⇔ ⇔
− = =
- Vậy hệ phương trình có nghiệm :
x 1
y 1
=
=
.
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
t
r
an
g
4
Lưu ý : Với phương trình dạng :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1
log log 2
a b
f x g x k
f x g x f x g x
− =
+ = −
, thông thường
ta giải theo hướng ñặt :
(
)
(
)
(
)
(
)
log log
a b
t f x g x f x g x
= + = −
. Suy ra :
(
)
(
)
t
f x g x a
+ =
và
(
)
(
)
.
t
f x g x b
− =
Thay vào (1) ta tìm ñượ
c t.
BÀI TẬP.
1)
2 2 2
3 3 3
xlog 3 log y y log x
xlog 12 log x y log y
+ = +
+ = +
2)
x y
2 2 8
x y 4
+ =
+ =
3)
y 1 x
x y
3 2 5
4 6.3 2 0
+
− =
− + =
4)
8 8
log y log x
4 4
x y 4
log x log y 1
+ =
− =
5)
x y
2
y
log y log x 2
x 3x y 20 log x
+ =
− − = +
6*)
2 2
2
2x 2 2x y y
2y 2 2x y
4 2 4 1
2 3.2 16
− +
+ +
− + =
− =
7*)
y x
log xy log y
2x 2y 3
=
+ =
.
DAÏNG 3. MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC
Hệ phương trình dạng :
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
1
, 0 2
f x f y
g x y
=
=
. Ta gi
ả
i nh
ư
sau :
Xét hàm s
ố
:
(
)
y f t
=
●
N
ế
u hàm s
ố
:
(
)
y
f t
=
ñơ
n
ñ
i
ệ
u, thì
(1)
suy ra
x y
=
. Thay
x y
=
vào
(2)
ta
ñượ
c h
ệ
ñơ
n gi
ả
n.
●
N
ế
u hàm s
ố
:
(
)
y f t
=
có m
ộ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i
t a
=
thì nó thay
ñổ
i chi
ề
u bi
ế
n thiên m
ộ
t l
ầ
n
khi qua a. T
ừ
(1)
suy ra
x y
=
ho
ặ
c n
ằ
m v
ề
hai phía c
ủ
a
a
.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình :
x y
3
2
2
x y (1)
x
log log 4y 10 (2)
2
e e
− = −
+ =
- ðiều kiện :
x 0
y 0
>
>
.
- Phương trình (1)
x y
x y
e e
⇔ − = −
(3).
- Xét hàm số :
(
)
t
t e t
f
= −
liên tục với mọi
t 0
>
. Mặt khác :
(
)
t
' t 1 0 , t 0
f e
= − > ∀ >
. Do
ñó hàm số
(
)
t
f
ñồng biến khi
t 0
>
. Khi ñó (3) ñược viết dưới dạng :
(
)
(
)
x y x y.
f f
= ⇔ =
- Thay
x y
=
vào (2) ta ñược :
( )
3
2 2 2
2
x
log log 4x 10 log x 1 2 2 3log x 10
2
+ = ⇔ − + + =
2
log x 1 x 2.
⇔ = ⇔ =
- Vậy hệ có nghiệm duy nhất :
(
)
(
)
x; y 2; 2 .
=
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
t
r
an
g
5
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình :
(
)
(
)
2 2
ln 1 x ln 1 y x y (1)
2x 5xy y 0 (2)
+ − + = −
− + =
- ðiều kiện :
x 1
y 1
> −
> −
.
- Phương trình (1)
(
)
(
)
ln 1 x x ln 1 y y
⇔ + − = + −
(3).
- Xét hàm số :
(
)
(
)
t ln 1 t t
f
= + −
liên t
ụ
c v
ớ
i m
ọ
i
t ( 1; )
∈ − +∞
. M
ặ
t khác :
( )
1 t
' t 1 , t ( 1; )
1 t 1 t
f
−
= − = ∀ ∈ − +∞
+ +
. Ta thấy
(
)
' t 0 t 0.
f
= ⇔ =
Hàm số ñồng biến trong
(
)
1; 0
− và nghịch biến trong
(
)
0;
+∞
. Khi ñó (3) ñược viết dưới dạng :
(
)
(
)
x y x y
f f
= ⇔ =
hoặc
xy 0.
<
● Nếu
xy 0
<
thì vế trái của (2) luôn dương. Suy ra hệ vô nghiệm.
● Nếu
x y
=
, thay vào (2) ta ñược :
2 2
2x 5xx x 0 x 0.
− + = ⇔ =
- Vậy hệ có nghiệm duy nhất :
(
)
(
)
x; y 0; 0 .
=
BÀI TẬP.
1)
x
y
2 2x 3 y
2 2y 3 x
+ = +
+ = +
2)
x y
2 2
3 3 y x
x xy y 12
− = −
+ + =
.
Dùng phương pháp ñánh giá.
Ví dụ . Giải hệ phương trình :
(
)
(
)
(
)
( )
2 2
log log 1 1
3 2 0 2
x y y x xy
xy y
− = − +
− + =
- ðiều kiện :
x 0
y 0
>
>
.
- Xét phương trình (1)
● Nếu
x y
>
thì
2 2
log y log x
< . Suy ra
VP 0, VT 0.
< >
Do ñó hệ vô nghiệm.
● Nếu
x y
<
thì
2 2
log y log x
> . Suy ra
VP 0, VT 0.
> <
Do ñó hệ vô nghiệm.
● Vậy
x y
=
là nghiệm của (1). Khi ñó hệ phương trình
x y
xy 3y 2 0
=
⇔
− + =
2
x y
x y
x y 1
x 1
x y 2.
x 3x 2 0
x 2
=
=
= =
⇔ ⇔ ⇔
=
= =
− + =
=
- Vậy hệ có hai nghiệm :
(
)
(
)
1;1 , 2;2 .
BÀI TẬP.
1)
(
)
(
)
x y
2 2
2 2
log y log x xy 1
x y 1
e e
− = − +
+ =
2)
(
)
(
)
2 2
3 3
x y log y log x xy 2
x y 16
− = − +
+ =
.
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
t
r
an
g
6
BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
1)
4 2
x 4 y 3 0
log x log y 0
− + =
− =
2)
3x 2
x x 1
x
2 = 5y - 4y
4 2
y
2 2
+
+
=
+
3)
2 2
x y x 1
x y y x
2 2 x y
+ −
+ = +
− = −
4)
2 3
9 3
x 1 2 y 1
3log (9x ) log y 3
− + − =
− =
5)
(
)
(
)
2 2
ln 1 x ln 1 y x y
x 12xy 20y 0.
+ − + = −
− + =
6)
2 y 1
2 x 1
x x 2x 2 3 1
y y 2y 2 3 1
−
−
+ − + = +
+ − + = +
7)
( )
2 2
2 2
2 2
x xy y
log (x y ) 1 log (xy)
x,y
3 81
− +
+ = +
∈
=
ℝ
8)
(
)
( )
2
x x 2
log 3y 1 x
x,y
4 2 3y
− =
∈
+ =
ℝ
9)
( )
( )
2
2
2
x 4x y 2 0
x,y
2log x 2 log y 0
− + + =
∈
− − =
ℝ
10)
(
)
( )
3 2
x
3 2
y
log x 2x 3x 5y 3
log y 2y 3y 5x 3
+ − − =
+ − − =
11)
2
2
3 3
3 3 10
1
log log 0
2
x y
x y
+
+ =
− =
12)
3x 1 y 2 y 3x
2
2 2 3.2
3x 1 xy x 1
+ − +
+ =
+ + = +
13)
( ) ( )
2 2
2
y x
2
3 2
x 2010
2009
y 2010
3log x 2y 6 2log x y 2 1
−
+
=
+
+ + = + + +
14)
2 2 2
3 3 3
xlog 3 log y y log x
xlog 12 log x y log y
+ = +
+ = +
15)
( )
( )
( )
3
3
log 2
log xy
2 2
4 4 4
4 2 xy
log x y 1 log 2x log x 3y
= +
+ + = + +
16)
( )
3
2 x
x log y 3
2y y 12 .3 81y
+ =
− + =
17)
(
)
(
)
( ) ( )
2
1 x 2 y
1 x 2 y
2log xy 2x y 2 log x 2x 1 6
log y 5 log x 4 1
− +
− +
− − + + + − + =
+ − + =
HẾT
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 1
Bài 1. Cho phương trình:
2 2
3 3
log x log x 1 2m 1 0
+ + − − =
(m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m ñể phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc ñoạn
3
1 ; 3
(Chính thức…….khối A năm 2002)
Bài 2. Giải phương trình:
2
2
3x
27x
16log x 3log x 0
− =
.
(Dự bị 1…….khối A năm 2002)
Bài 3.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
(
)
x
x 3
log log (9 -72) 1
≤
.
(Chính thức…….khối B năm 2002)
Bài 4. Giải hệ phương trình:
4 2
x 4 y 3 0
log x log y 0
− + =
− =
(Dự bị 1…….khối B năm 2002)
Bài 5. Giải phương trình:
8
4 2
2
1 1
log (x 3) log (x 1) log (4x)
2 4
+ + − =
(Dự bị 2…….khối B năm 2002)
Bài 6. Giải hệ phương trình:
3x 2
x x 1
x
2 = 5y - 4y
4 2
y
2 2
+
+
=
+
(Chính thức…….khối B năm 2002)
Bài 7. Giải hệ phương trình:
(
)
( )
3 2
x
3 2
y
log x 2x 3x 5y 3
log y 2y 3y 5x 3
+ − − =
+ − − =
(Dự bị 1…….khối D năm 2002)
Bài 8.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
(
)
(
)
x 2x 1 x
1 1
2 2
log 4 4 log 2 3.2
+
+ ≥ −
(Dự bị 2…….khối D năm 2002)
Bài 9.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
x 1 x x 1
15.2 1 2 1 2
+ +
+ ≥ − +
(Dự bị 1…….khối A năm 2003)
Bài 10.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
y x
x y
log xy log y
2 2 3
=
+ =
CAÙC
ÑEÀ T
HI
ÑAÏI HOÏC
2002
–
2010
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 2
(Dự bị 2…….khối A năm 2003)
Bài 11. Tìm m ñể phương trình
(
)
2
2 1
2
4 log x log x m 0
− + =
có nghiệm thuộc khoảng (0;1)
(Dự bị 1…….khối B năm 2003)
Bài 12. Giải bất phương trình:
(
)
1 1 2
2 4
log x 2log x 1 log 6 0
+ − + ≤
(Dự bị 2…….khối B năm 2003)
Bài 13. Giải phương trình:
2 2
x x 2 x x
2 2 3
− + −
− =
.
(Chính thức…….khối D năm 2003)
Bài 14. Cho hàm số
(
)
x
f(x) xlog 2 x 0,x 1
= > ≠
.
Tính
'
f (x)
và giải bất phương trình
'
f (x) 0
≤
.
(Dự bị 1…….khối D năm 2003)
Bài 15. Giải phương trình:
(
)
x
5
log 5 4 1 x
− = −
.
(Dự bị 2…….khối D năm 2003)
Bài 16. Giải hệ phương trình:
1 4
4
2 2
1
log (y x) log 1
y
x y 25
− − =
+ =
(Chính thức…….khối A năm 2004)
Bài 17.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
2
π
2
4
log log x 2x x 0
+ − <
.
(Dự bị 1…….khối A năm 2004)
Bài 18.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
2 2
1 3
log x log x
2 2
2.x 2≥
.
(Dự bị 2…….khối A năm 2004)
Bài 19.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
x 1
2 6x 11
4
x 2
−
+ −
>
−
.
(Dự bị 1…….khối B năm 2004)
Bài 20.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
3 x
log x log 3
>
.
(Dự bị 2…….khối B năm 2004)
Bài 21.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2 2
x y x 1
x y y x
2 2 x y
+ −
+ = +
− = −
(Dự bị 1…….khối D năm 2004)
Bài 22.
Tìm m
ñể
h
ệ
b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m
2x x 1 2 x 1
2
7 7 2005x 2005
x (m 2)x 2m 3 0
+ + + +
− + ≤
+ + + + ≥
(Dự bị 1…….khối A năm 2005)
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 3
Bài 24. Giải hệ phương trình:
2 3
9 3
x 1 2 y 1
3log (9x ) log y 3
− + − =
− =
(Chính thức…….khối B năm 2005)
Bài 25. Giải phương trình:
2
2
2x x
x 2x
1
9 2 3
3
−
−
− ≤
.
(Dự bị 1…….khối B năm 2005)
Bài 26. Giải bất phương trình:
(
)
x 1
log 2x 2.
+
− >
(Dự bị 1…….khối A năm 2006)
Bài 28.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
x 2x
2x
log 2 2log 4 log 8.
+ =
(Dự bị 2…….khối A năm 2006)
Bài 29.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
(
)
x x 2
5 5 5
log (4 144) 4log 2 1 log 2 1
−
+ − < + +
.
(Chính thức…….khối B năm 2006)
Bài 30. Giải phương trình:
( ) ( )
3
1 8
2
2
log x 1 log 3 x log x 1 0.
+ − − − − =
(Dự bị 1…….khối B năm 2006)
Bài 31. Giải phương trình:
2 2
x x 1 x x 2
9 10.3 1 0.
+ − + −
− + =
(Dự bị 2…….khối B năm 2006)
Bài 32. Chứng minh rằng với mọi a > 0 , hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :
x y
ln(1 x) ln(1 y)
y x a
e e
− = + − +
− =
(Chính thức…….khối D năm 2006)
Bài 33. Giải phương trình:
2 2
x x x x 2x
2 4.2 2 4 0
+ −
− − + =
.
(Chính thức…….khối D năm 2006)
Bài 34. Giải phương trình:
(
)
(
)
x x 1 x x
4 2 2 2 1 sin 2 y 1 2 0.
+
− + − + − + =
(Dự bị 1…….khối D năm 2006)
Bài 35.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2 2
ln(1 x) ln(1 y) x y
x 12xy 20y 0.
+ − + = −
− + =
(Dự bị 2…….khối D năm 2006)
Bài 36.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
3 1
3
2log (4x 3) log (2x 3) 2
− + + <
(Chính thức…….khối A năm 2007)
Bài 37.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
2 y 1
2 x 1
x x 2x 2 3 1
y y 2y 2 3 1
−
−
+ − + = +
+ − + = +
