Chuyên đề nguyên hàm tích phân

Chuyên

toán THPT

www.dayvahoc.info GV:
Ph n I: M

I/

tv n

Bá Thành

u

.

Trong

thi t t nghi p THPT ,

i h c , Cao

ng, THCN c a hàng năm bài tốn

tích phân h u như khơng th thi u, bài tốn v tích phân là m t trong nh ng bài tốn khó vì
nó c n

n s áp d ng linh ho t c a

nh nghĩa, các tính ch t , các phương pháp tính c a

tích phân.
Chun

này hy v ng s góp ph n giúp các em h c sinh hi u sâu hơn và tránh

ư c nh ng sai l m thư ng m c ph i khi gi i bài tốn v tích phân.
II/ Phương pháp
ưa ra h th ng lí thuy t, h th ng các phương pháp gi i.

-

Bài t p ng v i t ng d ng toán, và ch ra nh ng l i thư ng m c ph i c a h c sinh.

Ph n II: N i dung
I/ cơ s khoa h c
1/Nguyên hàm:
n: Cho hàm s f(x) xác

nh trên K. Hàm s F(x) ư c g i là nguyên hàm c a hàm s

f(x) trên K n u F’(x) =f(x) v i m i x thu c K.
Kí hi u:

∫ f (x)dx = F(x) +C
Nh n xét: khi b t
b nh m v i

u h c v nguyên hàm các em h c sinh thư ng hay lúng túng và hay

o hàm.

tìm m t hàm s sao cho

tránh b nh m các em nên nh r ng : “

tính

∫ f ( x)dx

ta c n

o hàm c a nó b ng f(x)”

T/c: các tính ch t sau ây ư c suy ra tr c ti p t

nh nghĩa

a) ( ∫ f ( x)dx) ' = f ( x)
b) ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
c) ∫ [ f ( x) ± g ( x) ]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
2. Tích phân:
N: Ta có cơng th c Niu tơn – Laipnitz
b

b

∫
a

f ( x )d x = F ( x )

= F (b ) − F (a )
a

T/c:

www.dayvahoc.info

1


Chun

www.dayvahoc.info GV:

tốn THPT
b

Tính ch t 1:

Bá Thành

a

∫

f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx

a

b

b

b

∫

∫

a

a

Tính ch t 2: kf ( x )dx = k f ( x) dx v i k thu c R
b

b

b

a

a

a

∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

Tính ch t 3:
c

c

a

Tính ch t 4:

b

a

b

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx

A) các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân.
Vi c tính nguyên hàm c a m t hàm s là không h
ây tôi s
h p và

ơn gi n chút nào. Do v y mà

ưa ra 3 phương pháp có tính ư n l i. Nó ư c d n d t t

o hàm c a hàm

o hàm c a hai hàm.
ó là phương pháp s d ng các nguyên hàm cơ b n, phương pháp

i bi n s ,

phương pháp tính Tích phân t ng ph n.
I/ Tính tích phân b ng vi c s d ng các nguyên hàm cơ b n:
B ng vi c s d ng các nguyên hàm c a các hàm s sơ c p. chúng ta có th xác

nh ư c

ó tính ư c các giá tr các tích phân.

các nguyên hàm t

1. ∫ kdx = kx + C
xα +1
2. ∫ x dx =
+C
α +1
α

3.

∫

( (α ∈ R, α ≠ −1)

dx
= ln x + C
x

4. ∫ a x dx =

ax
+C
ln a

5. ∫ e x dx = e x + C
dx

6.

∫ 1+ x

7.

∫

2

= arctanx+C ( ho c có th

dx
1 − x2

= arcsinx+C ( ho c có th

t x= tant/2)
t x= sint)

8. ∫ s inx dx= - cosx + C

9. ∫ cosx dx= sinx + C

www.dayvahoc.info

2


Chun

www.dayvahoc.info GV:

tốn THPT

Bá Thành

Bài t p 1: Tính các tích phân sau
1

2

∫ (x

a) I=

3

+ 2 x + 1) dx

b)

1

I=

e3 x +1dx
∫
−1
3

Gi i:
 x4

a) I =  + x 2 + x 
 4

 e3 x +1 
b) I= 

 3 

1
−1
3

2
1

1
 3
= 1 + 2 + 2 −  + 1 + 1 = + 2

4
 4

(

)

1
= (e 4 − e 0 )
3

Bài t p 2: Tính tích phân sau
2

dx

∫ (x + 1)

I =

2

−2

Gi i
Hàm s y =

[− 2;2] do

1

không xác
( x + 1) 2

nh t i x= -1 ∈ [− 2;2] suy ra hàm s không liên t c trên

ó tích phân trên khơng t n t i.
2

dx
* chú y: nhi u h c sinh thư ng m c sai l m như sau: I = ∫
=
2
− 2 (x + 1)
1
x +1

2
−2

2

d ( x + 1)

∫ ( x + 1)

2

=-

−2

1
4
=- -1 = 3
3

* Nguyên nhân sai l m :
Hàm s y =

1
không xác
( x + 1) 2

[− 2;2] nên không s
* Chú ý

nh t i x= -1 ∈ [− 2;2] suy ra hàm s không liên t c trên

d ng ư c công th c newtơn – leibnitz như cách gi i trên.

i v i h c sinh:
b

Khi tính

∫

f ( x)dx c n chú ý xem hàm s y=f(x) có liên t c trên [a; b] khơng? n u có thì áp

a

d ng phương pháp ã h c

tính tích phân ã cho cịn n u khơng thì k t lu n ngay tích

phân này khơng t n t i.
* M t s bài t p tương t :
Tính các tích phân sau:

3


Chuyên

toán THPT
5

1/

www.dayvahoc.info GV:
dx

∫ (x − 4)

4

Bá Thành

.

0

1

3

2/ ∫ x( x 2 − 1) 2 dx .
−2

π
2

1
dx
cos 4 x

3/ ∫
0
1

− x 3 .e x + x 2
dx
x3
−1

4/ ∫

Chú ý: Trong d ng tốn này có nh ng bài tốn khó. Các b n thư ng ph i áp d ng phương
pháp h s b t inh

làm. Xét d ng như sau

p ( x)

p(x)

∫ ( x − a)( x − b) dx, ∫ (x-a)(x-b)(x-c) dx

trong

ó P(x) là a th c có b c bé hơn ho c b ng b c c a m u. Khi ó ta ph i thi t l p các h
phương trình

 A

p( x)

 A

p( x)

B 

∫ ( x − a)( x − b) dx = ∫  x − a + x − b dx



i tìm A,B,C như sau:

B

C 

∫ ( x − a)( x − b)( x − c) dx = ∫  x − a + x − b + x − c dx


II/ Tính tích phân b ng phương pháp
Gi s ta c n ph i tìm

i bi n s :

∫ f (u )du . Trong nhi

u trư ng h p m t cách thu n l i ta coi như u

như m t hàm kh vi theo m t bi n m i là x. Như v y vi c tìm

∫ f (u ( x))u '( x)dx m

∫ f (u )du

ưa v vi c tìm

t cách ơn gi n hơn.

Bài 1: Tính tích phân:
3

I=

∫x

5

1 + x 2 dx

0

Gi i:
t t = 1 + x 2 ⇔ t 2 = 1 + x 2 ⇒ 2tdt = 2 xdx
i c n:

x = o ⇒ t =1
x= 3⇒t =2
Khi ó

4


Chuyên

www.dayvahoc.info GV:

toán THPT
3

∫

Bá Thành

2

x 4 1 + x 2 .xdx = ∫ (t 2 − 1) 2 t 2 dt

0

1

t
2t t 
= −
+ 
5
3
7
7

5

3

2
1

=

π

848
105

dx

∫ 1 + sin x

Bài 2 :Tính tích phân: I =

0

* Gi i:
x π
d − 
dx
dx
π
x π
−π
2 4
I= ∫
= ∫
= tg  −  π = tg − tg 
=∫
0
1 + sin x
π
4
x π

2 4
 4

0
0
1 + cos x −  0 cos 2  − 
2
2 4

π

π

π

* Sai l m thư ng g p:
⇒

2dt

dx

∫ 1 + sin x = ∫ (1 + t )
π

⇒ I=

dx

∫ 1 + sin x
π
2

2

khơng xác

x
2dt
1
1+ t2
thì dx =
;
=
2
1 + t 2 1 + sin x (1 + t ) 2

= ∫ 2(t + 1) −2 d(t+1) =

−2
x
tan + 1
2

=

0

do tan

t t = tan

π

0

=


=2


−2

2
+c
t +1

2
π
tan + 1 tan 0 + 1
2

-

nh nên tích phân trên khơng t n t i

*Ngun nhân sai l m:
t t = tan

x
x
x ∈ [0; π ] t i x = π thì tan khơng có nghĩa.
2

2

.
* Chú ý

i v i h c sinh:

i v i phương pháp

i bi n s khi

t t = u(x) thì u(x) ph i là m t hàm s liên t c và có

o hàm liên t c trên [a; b] .
*M t s bài t p tương t :
Tính các tích phân sau:
π

1/

dx

∫ sin x
0

π

dx
1 + cos x
0

2/ ∫
Bài 3: Tính

∫

dx
x2 − a

www.dayvahoc.info

5


Chuyên

www.dayvahoc.info GV:

toán THPT

Bá Thành

Gi i:

x2 − a ⇒

t t = x+
dx

⇒∫

2

x −a

=∫

dt
=
t

dx
x2 − a

dt
= ln t + C
t
4

Bài 4: Tính I =

∫

x 2 − 6x + 9 dx

0

* Sai l m thư ng g p:
4

(x − 3)2 dx = ∫ (x − 3)d (x − 3) = (x − 3)

4

∫

4

x 2 − 6x + 9 dx = ∫

0

I=

0

2

0

2
4
0

=

1 9
− = −4
2 2

* Nguyên nhân sai l m:
Phép bi n

(x − 3)

i

2

= x − 3 v i x ∈ [0;4] là không tương ương.

* L i gi i úng:
4

I=

∫

x 2 − 6x + 9 dx

0
4

4

( x − 3) 2
=2

* Chú ý

0

3

3
0

( x − 3) 2
+
2

= f (x )

b

2n
∫ ( f (x ))
2n

a

4
3

=

9 1
+ =5
2 2

i v i h c sinh:

( f (x ))2n

I=

4

(x − 3)2 dx = ∫ x − 3 d (x − 3) = ∫ − (x − 3)d (x − 3) + ∫ (x − 3)d (x − 3)

0

2n

3

0

=∫

(n ≥ 1, n ∈ N )
b

=

∫ f (x )dx ta ph

i xét d u hàm s f(x) trên [a; b] r i dùng tính ch t tích phân

a

tách I thành t ng các phân không ch a d u giá tr tuy t

i.

M t s bài t p tương t :
π

1/ I =

∫

1 − sin 2 x dx ;

0
3

2/ I =

∫

x 3 − 2 x 2 + x dx

0
2

3/ I =

∫
1

2

1
 2

 x + 2 − 2  dx
x



www.dayvahoc.info

6


Chuyên

www.dayvahoc.info GV:

toán THPT

Bá Thành

π
3

∫
π

4/ I =

tg 2 x + cot g 2 x − 2 dx

6
0

∫x

Bài 4: Tính I =

2

−1

dx
+ 2x + 2

* Sai l m thư ng g p:
d ( x + 1)

0

I=

∫ ( x + 1)

2

−1

+1

= arctan ( x + 1)

0
−1

= arctan1 − arctan 0 =

π
4

* Nguyên nhân sai l m :
áp s c a bài tốn thì không sai. Nhưng khái ni m hàm ngư c bây gi khơng ưa vào
chương trình thpt.
* L i gi i úng:
t x+1 = tant ⇒ dx = (1 + tan 2 t ) dt
v i x=-1 thì t = 0
v i x = 0 thì t =
π
4

Khi ó I =

∫
0

* Chú ý

π

4

(1 + tan 2 t ) dt
tan t + 1

π
4

= ∫ dt = t

π
4
0

0

=

π
4

i v i h c sinh:

Các khái ni m arcsinx , arctanx khơng trình bày trong sách giáo khoa. H c sinh có th

c

th y m t s bài t p áp d ng khái ni m này trong m t sách tham kh o, vì các sách này vi t
theo sách giáo khoa cũ (trư c năm 2000). T năm 2000

n nay do các khái ni m này

khơng có trong sách giáo khoa nên h c sinh không ư c áp d ng phương pháp này n a. Vì
b

v y khi g p tích phân d ng

1

∫1+ x

2

dx ta dùng phương pháp

i bi n s

t t = tanx ho c t

a

= cotx
b

∫
a

1
1− x

2

dx thì

t x = sint ho c x = cost

*M t s bài t p tương t :
8

1/ I =

∫
4

x 2 − 16
dx
x

1

2/ I =

2x 3 + 2x + 3
∫ x 2 + 1 dx
0

www.dayvahoc.info

7

Chuyên

www.dayvahoc.info GV:

toán THPT

Bá Thành

1
3

3/ I =

x 3 dx

∫

1 − x8

0

Bài 5:
1
4

Tính :I =

x3

∫

1− x2

0

dx

*Suy lu n sai l m:

∫

x3

dx = ∫

1 − x2

t x= sint , dx = costdt

sin 3 t
dt
cos t

i c n: v i x = 0 thì t = 0
v i x=

1
thì t = ?
4

* Nguyên nhân sai l m:
Khi g p tích phân c a hàm s có ch a
phân này s g p khó khăn khi

1 − x 2 thì thư ng

i c n c th v i x =

t x = sint nhưng

i v i tích

1
khơng tìm ư c chính xác t = ?
4

* L i gi i úng:
t t = 1 − x 2 ⇒ dt =

x
1 − x2

dx ⇒ tdt = xdx

i c n: v i x = 0 thì t = 1; v i x =
1
4

I =∫

0

x3
1− x

2

15
4

=

1
thì t =
4

15
4

dx
15
4

(1 − t )tdt = (1 − t )dt =  t − t 


∫
∫

t

3


2

15
4

3

2

1

* Chú ý

1

1

 15 15 15  2 33 15 2

=
 4 − 192  − 3 = 192 − 3



i v i h c sinh: Khi g p tích phân c a hàm s có ch a 1 − x 2 thì thư ng

sint ho c g p tích phân c a hàm s có ch a 1+x2 thì

t x = tant nhưng c n chú ý

c a tích phân ó n u c n là giá tr lư ng giác c a góc
phương pháp này cịn n u khơng thì ph i nghĩ

tx=
nc n

c bi t thì m i làm ư c theo

nphương pháp khác.

*M t s bài t p tương t :
7

1/ tính I =

∫
0

x3
1+ x2

dx

8


Chun

2

2/tính I =

www.dayvahoc.info GV:

tốn THPT

Bá Thành

dx

∫x

x2 + 1

1

1

Bài 6: Tính I =

x2 −1
∫ 4 dx
−1 1 + x

1 

1

1 − 2 
1
2
x 

x =
* Sai l m thư ng m c: I = ∫
∫1  1  2 dx
1
−1
+ x2 −  x +  − 2
2
x
x

1

1−

1
1 

t t = x+ ⇒ dt = 1 − 2 dx
x
x 


i c n v i x = -1 thì t = -2 ; v i x=1 thì t=2;
2

2

dt
1
1
= ∫(
−
)dt =(ln t + 2 -ln t − 2 )
2
t − 2 −2 t + 2 t − 2
−2

I=∫

= ln

2+ 2
2− 2

− ln

−2+ 2

= 2 ln

−2− 2

2

* Nguyên nhân sai l m:

2
−2

= ln

t+ 2
t− 2

2
−2

2+ 2
2− 2

1−

1
x2

x −1
=
là sai vì trong [− 1;1] ch a x = 0 nên không th
1
1+ x4
2
+x
x2

chia c t c m u cho x = 0 ư c. Nhưng t sai l m này n u các b n th y r ng x=0 không

thu c thu c t p xác

nh thì cách làm như trên th t tuy t v i.

* L i gi i úng:
Xét hàm s F(x) =
F’(x) =

1
2 2
1
2 2

ln

x2 − x 2 +1
x2 + x 2 + 1

(ln

x2 − x 2 +1
x2 + x 2 +1

( áp d ng phương pháp h s b t
)′ =

nh )

x2 −1
x4 + 1

1

Do ó I =

x2 −1
1
x2 − x 2 +1
ln 2
dx =
∫ 4
2 2 x + x 2 +1
−1 1 + x

*Chú ý

i v i h c sinh: Khi tính tích phân c n chia c t c m u c a hàm s cho x c n

1
−1

=

1
2

ln

2− 2
2+ 2

ý r ng trong o n l y tích phân ph i khơng ch a i m x = 0 .

9


Chun

www.dayvahoc.info GV:

tốn THPT

BÀI T P

Bá Thành

NGHI

∫

1) a)Tính
1

∫

2)

x 2 + adx ( tính

o hàm c a hàm s f(x)= x x 2 + a )

3

x 3 ( x 4 + 1) dx (

t t = x2 + 1 )

0

π

x sin x

∫ 1 + cos x dx

3)

t x= π − t )

(

2

0

2

∫

4)

1

1 + x2
dx
x4

(

tt=

1
)
x

a

∫

5)

a 2 − x 2 dx

0

∫

6)

a 2 + x 2 dx

π
4

dx

∫ tan

7)

2

0

(

x

t t=tan x)

π
4

1 + sin 2 x
dx
cos 2 x
0

∫

8)

(

t t= 1+sin2x )

III, PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN T NG PH N;
T

ng th c (uv)’=uv’+u’v

Ta có:

∫ uv ' dx = uv − ∫ u ' vdx

ó là cơng th c tính tích phân t ng ph n

b

tính tích phân I = ∫ f ( x)dx ta th c hi n các bư c như sau:
a

Bư c 1: Bi n

i tích phân ban

b

b

a

u v d ng

a

I = ∫ f ( x)dx = ∫ f1 ( x) f 2 ( x)dx

Bư c 2:

{

t

u = f1 ( x )
v '= f 2 ( x )

⇒

{

u '
v

Bư c 3: Khi ó
b

I = uv − ∫ u ' vdx
b
a

a

www.dayvahoc.info

10


Chuyên

www.dayvahoc.info GV:

toán THPT

Chú y: Khi s d ng phương pháp tích phân t ng ph n

Bá Thành

tính tích phân, chúng ta c n tuân

th theo các nguyên t c sau :
t v’ sao cho v ư c xác

1. L a ch n phép

nh m t cách d dàng.

b

2. Tích phân

∫ vu ' dx

ư c xác

nh m t cách d dàng hơn so v i I

a

3. Chúng ta c n nh các d ng cơ b n sau :
D ng 1 :

I = ∫ xα lnx dx, khi ó c n t u= lnx
D ng 2:
I = ∫ p ( x)eα x dx v i P là m t a th c. Khi ó ta

t u= p(x)

D ng 3: I = ∫ p( x) sin α xdx (ho c I = ∫ p( x)cosα xdx ) V i P(x) là m t a th c và khi ó
ta

t u=P(x)

D ng 4: I = ∫ eax cosα xdx (ho c I = ∫ eax sin α xdx ) Khi ó

t u= cos ax (ho c u= sin

ax)
Bài 1: a) Tìm
b)Tìm

∫ x lnx dx
3

∫x

2

s inxdx

Gi i:
a)

t u= lnx, u’=1/x
v’= x3 , v =

x4
4

Khi ó ta có

x 4 ln x 1
I =
−
4
4
b)

∫

x 4 ln x
x dx =
− x4 + C
4
3

t

u = x2 , u ' = 2x
v ' = s inx, v=-cosx
Khi ó :

I = − x 2 c osx-2 ∫ xco sx dx = − x 2 c osx + 2 (x sin x - ∫ sinx d x)
= − x 2 c osx+ 2(xsinx + cosx) + C

www.dayvahoc.info

11


Chuyên

www.dayvahoc.info GV:

toán THPT

Bá Thành

Chú ý: Th c t cho th y n u nh ng bài tốn tích phân mà ch a các hàm như
ln, sin, cos, hàm mũ. Thì chúng ta c n nên nghĩ ngay

n phương pháp tích phân

t ng ph n n u như g p khó khăn. C ó nh ng bài tốn mà chúng ta c n ph i s d ng
tích phân t ng ph n nhi u l n. Chú y bài toán sau
π
2

Bài 2: Tính ∫ e2 x cos3xdx
0

Gi i:
t

u = e 2 x , u ' = 2 e 2x
v = cos 3x, v’=

sin 3x
3
π

π

2
eπ 2
 2 x sin 3x  2 2 2 x
−
− I1
I = e
e sin 3x dx= −

3 0 3 ∫
3 3


0

t

Tính I1

u = e 2x ⇒ u ' = 2e 2x

v = sin 3x, v'=

-cos3x
3

π
2

I1 =

∫
0

π

co s3 x  2
2


e 2 x s in 3 x d x =  − e 2 x
 + 3
3

0

=

π
2

∫e

2x

cos3x dx

0

1
+ I
3

Do ó:

eπ
21
eπ
2 4


I = −
−  + I= −
− − I
3
33
3
9 9

3e π + 2
⇒ I = −
13
Chú ý: Tích phân trên n u các b n khơng bi n
Cách làm như trên áp d ng

i theo hư ng trên thì g p nhi u khó khăn.

i v i m t tích phân mà nó g m hai hàm khi

o hàm có tính

ch t l p i l p l i.
2

Bài t p tương t : a)Tính ∫ sin(ln x)dx
1

π

b)Tính ∫ e 2x sin 2xdx
0

www.dayvahoc.info

12


Chun

www.dayvahoc.info GV:

tốn THPT

Bá Thành

π2
4

∫ sin

Bài 3: Tính

x dx

0

Gi i:
t

x → x = t 2 , 2 t d t= d x

t=

x= o ⇒ t= o

π

x=

2

⇒ t=

4

π
2

π2

π

4

2

∫ sin

Khi ó ta có:

x dx =

0

∫ 2 t sintdt
0

t: u = t, u’=1
v = sint, v’= -cos t
khi ó :
π

π

2

∫ t sin t d t= -tco st

π
2
o

2

+

0

∫ c o st d t = sin t

π

2
0

=1

0

Bài t p

ngh : S d ng phương pháp tích phân t ng ph n tính các tích phân sau

π
1

2

a) ∫ ( x + 1) s inx dx

b)

0

∫ (x+1)e dx
x

0

π
2

2

c)

∫ xcosx sin

2

d) ∫ x 5 ln xdx

xdx

0

1

1

xe x
dx
(1 + x)2
0

e) ∫

(

t n s ph t=1+x sau ó l i ti p t c chuy n v tích phân t ng ph n)

Ph n III : T NG K T

Qua chuyên

này tôi mu n g i

n các th y cô, cũng như các em h c sinh m t h th ng

lí thuy t v nguyên hàm và tích phân. Trong chun
khó, vì th c t v i

này tơi khơng ưa ra nh ng bài quá

i tư ng h c sinh c a chúng ta thì khơng c n ph i mang tích ch t ánh

. M c ích c a chun

là nêu ra các phương pháp có tính chât

ư ng l i, và ch ra

m t s sai l m thư ng g p. Ngồi ra các b n có th tìm hi u m t s phương pháp như là PP
h s b t

nh, Phương pháp l p l i hàm.

R t mong s góp ý !

www.dayvahoc.info

13