Một số bài toán về tính bền vững của hệ động lực tuyến tính chịu nhiễu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




ĐỖ ĐỨC THUẬN




MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH BỀN VỮNG
CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH CHỊU NHIỄU




Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số : 62 46 01 01





TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2012
Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội.




Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Khoa Sơn





Phản biện 1: GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh

Phản biện 2: GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát

Phản biện 3: PGS. TS. Nguyễn Sinh Bảy




Luận án sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận án Tiến sĩ cấp nhà
nước họp tại
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………

Vào hồi ……… giờ…… ngày……… tháng……… năm………











Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà nội
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết
quả, số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong bất cứ công trình nào.
Tác giả luận án
Đỗ Đức Thuận
i
LỜI CẢM ƠN
Dìu dắt trên con đường toán học, luôn tạo ra những thử thách giúp
tôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng tạo, đó là những gì tôi may mắn được tiếp
nhận từ người thầy đáng kính của mình, GS. TSKH. Nguyễn Khoa Sơn.
Thầy Sơn không những đã hướng dẫn tận tình mà còn truyền cho tôi
nhiều kinh nghiệm quý báu trong nghiên cứu khoa học cũng như trong
cuộc sống. Tôi xin gửi đến Thầy lòng biết ơn sâu sắc nhất.
Tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn đến GS. TS. Nguyễn Hữu Dư. Thầy

có những chỉ dẫn quý báu trong chuyên môn và trong nghiên cứu khoa
học. Được làm việc với Thầy giúp tôi mở rộng vốn kiến thức của mình
và thu được một số kết quả đóng góp vào trong luận án.
Tôi xin gửi tới GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh, PGS. TS. Vũ Hoàng
Linh và các Thầy Cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại
học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN lòng biết ơn sâu sắc, những người
đã dạy dỗ và chỉ bảo tận tình tôi, đã giúp đỡ rất nhiều để tôi đến được
con đường toán học như bây giờ.
Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong Hội đồng phản biện
và các Thầy Cô trên Viện Toán học, những người đã đọc và cho những
nhận xét, góp ý quý giá để luận án được tốt hơn.
ii
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới PGS. TS. Nguyễn Thị Bạch Kim,
các Thầy Cô giáo trong Khoa Toán - Tin ứng dụng trường Đại học Bách
Khoa Hà Nội, những người luôn ủng hộ nhiệt tình, tạo điều kiện thuận
lợi và sẵn sàng giúp đỡ tôi trong thời gian này.
Luận án này được hoàn thành dưới sự động viên, chia sẻ, giúp đỡ
lớn lao của Bố, Mẹ, người thân và bạn bè. Tôi xin gửi lời cảm ơn và
dành món quà này cho tất cả!
Hà Nội, ngày 24 tháng 9 năm 2011
Tác giả
iii
Mục lục
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt vi
Lời nói đầu 1
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 14
1.1 Toán tử đa trị tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Tính điều khiển được của hệ tuyến tính hữu hạn chiều . 21
1.3 Tính điều khiển được của hệ có ràng buộc điều khiển . . 23
1.4 Sự ổn định mũ của hệ động lực trên thang thời gian . . . 26

2 HỆ CÓ RÀNG BUỘC VỚI MIỀN THAM SỐ
ĐIỀU KHIỂN BỊ NHIỄU 29
2.1 Khoảng cách giữa các nón . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Bán kính điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH CHỊU NHIỄU
CẤU TRÚC 50
3.1 Bán kính điều khiển được dưới nhiễu cấu trúc . . . . . . 51
3.2 Bán kính điều khiển được dưới đa nhiễu cấu trúc . . . . 60
3.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
iv
3.4 Thuật toán tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 BÁN KÍNH TOÀN ÁNH VÀ CÁC ỨNG DỤNG
CỦA NÓ 75
4.1 Bán kính toàn ánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2 Bán kính ổn định hóa được . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 Bán kính ổn định của hệ động lực ẩn trên thang thời gian 88
4.4 Các bán kính điều khiển được của hệ descriptor . . . . . 95
Kết luận 115
Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến
luận án 118
TÀI LIỆU THAM KHẢO 120
v
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
K Trường C hoặc R
K
n×m
Tập tất cả các ma trận cấp n × m trong K
gr F Đồ thị của F
ker F Không gian con nhân của F

Im F Không gian ảnh của F
dom F Miền xác định của F
σ(A) Tập phổ của A
ˆσ(A) Tập các giá trị kì dị của A
σ
min
[A] Giá trị kì dị nhỏ nhất của A
A
∗
Liên hợp của A
A
†
Nghịch đảo Moore-Penrose của A
M
⊥
Phần bù trực giao của tập M
P, Q Các nón

P,

Q Các phép chiếu
T Thang thời gian
f
∆
Delta đạo hàm của f
S Miền ổn định mũ đều của thang thời gian
vi
MỞ ĐẦU
Trong thực tiễn, có nhiều vấn đề của kỹ thuật, cơ học, vật lý, sinh học,
kinh tế được mô tả bởi các hệ động lực. Hệ động lực khi có thêm các

biến điều khiển thì sẽ được gọi là hệ điều khiển. Lý thuyết điều khiển
được phát triển từ khoảng 150 năm trước đây khi các điều khiển cơ học
cần và có thể được mô tả một cách toán học. Các tính chất định tính
của hệ điều khiển được quan tâm nhiều nhất là tính điều khiển được,
tính ổn định và tính ổn định hóa được. Nói một cách đơn giản, hệ được
gọi là điều khiển được nếu tồn tại một điều khiển để chuyển hệ từ một
trạng thái ban đầu cho trước sang một trạng thái mong muốn cuối cùng.
Hệ được gọi là ổn định tiệm cận nếu mọi quỹ đạo của nó chuyển dần về
trạng thái dừng khi thời gian tiến ra vô cùng và hệ được gọi là ổn định
hóa được nếu tồn tại một điều khiển ngược (điều khiển phụ thuộc vào
biến trạng thái) để biến nó thành một hệ ổn định tiệm cận.
Hiện nay, vấn đề đang được quan tâm là tính chất của các hệ động
lực chịu ảnh hưởng của nhiễu. Phần lớn các tính chất "tốt" của các hệ
động lực cũng như các đối tượng trong toán học nói chung đều bảo toàn
khi các tham số cấu trúc của hệ hoặc đối tượng chịu nhiễu bé. Ví dụ:
tính điều khiển được của một hệ điều khiển tuyến tính trong lý thuyết
điều khiển; tính ổn định tiệm cận của nghiệm trong phương trình vi
phân; tính đặt chỉnh (well-posedness) của một hệ phương trình tuyến
tính, tính hội tụ của một thuật toán trong giải tích số; tính khả nghịch
1
của một ma trận vuông trong đại số tuyến tính; tính chính qui metric
của một ánh xạ trong giải tích Sự bảo toàn các tính chất định tính
này dưới ảnh hưởng của nhiễu được gọi là sự bền vững. Các nhà toán
học mong muốn tìm được một định lượng nhằm đánh giá khả năng bảo
toàn các tính chất định tính của hệ thống dưới ảnh hưởng của nhiễu,
được gọi là các bán kính bảo toàn.
Đối với tính ổn định tiệm cận của hệ tuyến tính, xuất phát từ hai bài
báo đăng trên tạp chí Systems & Control Letters [45, 46], các tác giả D.
Hinrichsen và A.J. Pritchard đã phát triển một hướng nghiên cứu mới
là hướng nghiên cứu ổn định vững của các hệ động lực dựa trên biểu

diễn của hệ trong không gian trạng thái và sử dụng khái niệm bán kính
ổn định. Hướng nghiên cứu này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều
nhà toán học vì tính hiệu quả của nó cũng như các ứng dụng trong kĩ
thuật (xem [7, 13, 25, 26, 47, 49, 50, 52, 53, 55, 68, 74, 76, 84, 97]). Dưới
dạng đơn giản nhất, bán kính ổn định có cấu trúc của một hệ phương
trình vi phân tuyến tính ổn định tiệm cận ˙x = Ax được định nghĩa là số
γ lớn nhất sao cho mọi hệ chịu nhiễu ˙x = (A + D∆E)x vẫn còn ổn định
tiệm cận một khi ∆ < γ, ở đây ∆ là ma trận nhiễu, D và E là các ma
trận cấu trúc nhiễu và  · là một chuẩn ma trận cho trước. Một cách
tương đương, bán kính ổn định có thể được định nghĩa bởi
r
K
(A; D, E) = inf{∆ : ∆ ∈ K
l×q
, A + D∆E không ổn định tiệm cận}.
Khi K = C ta có định nghĩa của bán kính ổn định phức r
C
(A; D, E) và
khi K = R ta có định nghĩa của bán kính ổn định thực r
R
(A; D, E). Từ
định nghĩa ta thấy rằng r
C
(A; D, E) ≤ r
R
(A; D, E). Công thức bán kính
ổn định phức được D. Hinrichsen và A.J. Pritchard [46] đưa ra năm 1986
2
trong dạng
r

C
(A; D, E) =
1
sup
ω∈R
E(A −iωI)
−1
D
.
Công thức bán kính ổn định thực khó nghiên cứu hơn. Phải mất đến
mười năm sau bài toán tìm bán kính ổn định thực r
R
(A; D, E) mới được
giải quyết bởi một nhóm tác giả dẫn đầu là L. Qiu và B. Bernhardsson
(xem [82]). Tuy nhiên công thức bán kính ổn định thực này rất phức tạp
và gặp nhiều khó khăn trong việc tính toán bằng máy tính. Từ đó, một
câu hỏi hết sức thú vị được đặt ra là: Có hay không các lớp hệ phương
trình vi phân tuyến tính mà đối với các lớp hệ này các bán kính ổn định
thực và phức bằng nhau và có thể tính được bằng một công thức đơn
giản? Câu trả lời được đưa ra bởi N.K. Son và D. Hinrichsen là trong
trường hợp hệ dương (hệ có trạng thái luôn không âm nếu trạng thái
ban đầu là không âm) thì các bán kính ổn định thực và phức trùng nhau
và có thể được tính toán dễ dàng (xem [53, 54]). Sau đó bán kính ổn
định của hệ dương được nghiên cứu rộng hơn và sâu hơn bởi các kết
quả của N.K. Son và P.H.A. Ngoc (xem [85, 86]). Cũng chính hai tác giả
này đã khởi xướng cho sự phát triển của việc nghiên cứu các bài toán về
bán kính ổn định dưới tác động của đa nhiễu và cho các lớp hệ động lực
khác nhau, đặc biệt là hệ có chậm và hệ được mô tả bởi phương trình
vi phân phiếm hàm (xem [1, 72, 73, 74, 75]). Đối với các hệ tuyến tính
thời gian biến thiên, công thức bán kính ổn định đã được đưa ra bởi B.

Jacob [58] và sau đó được N.H. Du và V.H. Linh nghiên cứu phát triển
cho các hệ động lực ẩn thời gian biến thiên [27]. Bán kính ổn định của hệ
động lực trong không gian vô hạn chiều cũng đã được nghiên cứu với rất
nhiều kết quả của các tác giả D. Hinrichsen, A.J. Pritchard, S. Townley,
A. Fischer, F. Wirth, Y. Latushkin, N.K. Son, P.H.A. Ngoc, B.T. Anh,
3
D.C. Khanh, D.D.X. Thanh (xem [6, 8, 18, 32, 33, 34, 48, 75, 81, 96]).
Một số hướng tiếp cận khác đối với tính ổn định bền vững của các hệ
động lực có thể được tìm thấy trong các kết quả của các tác giả P.K.
Anh [4] và V.N. Phat [79]. Có thể nói rằng đến nay việc nghiên cứu ổn
định vững của các hệ động lực tuyến tính đã được nghiên cứu khá đầy
đủ và hoàn thiện với nhiều kết quả rất phong phú và sâu sắc.
Đối với bài toán tương tự cho tính điều khiển được của các hệ điều
khiển thì các kết quả chưa có nhiều. Tính điều khiển được của hệ điều
khiển đã được khởi xướng từ những kết quả và ý tưởng quan trọng của
R.E. Kalman [59] năm 1960 và M.L.J. Hautus [39] năm 1969, trong đó
đã chứng minh các tiêu chuẩn điều khiển được cho hệ điều khiển tuyến
tính. Sự bền vững của tính điều khiển được bắt đầu được quan tâm
nghiên cứu từ những năm 1980. Đầu tiên, bán kính điều khiển được (tức
là khoảng cách từ một hệ điều khiển được đến tập các hệ không điều
khiển được) được đề cập bởi Paige trong [77] và ngay sau đó vào năm
1984, R. Eising [31] đã đưa ra và chứng minh công thức bán kính điều
khiển được không có cấu trúc cho hệ tuyến tính. Cũng giống như bán
kính ổn định có cấu trúc, bán kính điều khiển được có cấu trúc là số γ lớn
nhất sao cho mọi hệ chịu nhiễu ˙x =

Ax +

Bu với [


A,

B] = [A, B] +D∆E
vẫn còn điều khiển được một khi ∆ < γ, ở đây ∆ là ma trận nhiễu,
D và E là các ma trận cấu trúc nhiễu và  ·  là một chuẩn ma trận
cho trước. Một cách tương đương, bán kính điều khiển được có thể được
định nghĩa bởi
r
D,E
K
(A, B) = inf{∆:∆ ∈ K
l×q
, [A, B]+D∆E không điều khiển được}.
Với nhiễu không cấu trúc, khi D và E là các ma trận đơn vị và chuẩn
của các ma trận là chuẩn phổ (chuẩn được sinh bởi các chuẩn Euclid
4
của các véc tơ), thì kết quả đã nhắc đến ở trên của Eising là
r
C
(A, B) := r
I,I
C
(A, B) = inf
λ∈C
σ
min
[A −λI, B],
ở đây σ
min
[A −λI, B] là giá trị kì dị nhỏ nhất của ma trận [A − λI, B].

Một số công thức bán kính điều khiển được thực dưới nhiễu không cấu
trúc r
R
(A, B) cũng đã được đưa ra trong [22, 57] nhưng công thức khá
phức tạp và khó khăn cho việc tính toán. Năm 2009, M. Karow và D.
Kressner [60] đã đưa ra công thức bán kính điều khiển được dưới nhiễu
cấu trúc
r
D,E
C
(A, B) =
1
sup
λ∈C
(W
λ
(E
∗
E)
−1/2
)
†
D
,
ở đây W
λ
= [A−λI, B] và
†
được kí hiệu là giả nghịch đảo Moore-Penrose
của ma trận. Tuy nhiên công thức này đòi hỏi giả thiết ma trận E phải

có hạng đầy đủ theo cột và chuẩn của các ma trận là chuẩn phổ. Vì vậy,
bài toán được đặt ra là: Nghiên cứu tính điều khiển được vững của các
hệ điều khiển tuyến tính dưới nhiễu cấu trúc trong trường hợp tổng quát
với các ma trận được đo bởi chuẩn toán tử tùy ý và tìm công thức bán
kính điều khiển được này.
Mục đích đầu tiên của luận án là giải quyết bài toán này và sau đó
phát triển một cách tiếp cận chung cho vấn đề nghiên cứu một số bài
toán bền vững của các hệ động lực. Kĩ thuật mấu chốt để tiếp cận là
sử dụng lý thuyết toán tử đa trị tuyến tính trong việc biểu diễn các
phương trình và đánh giá chuẩn của các ma trận liên quan trong tính
toán. Chúng tôi đưa ra công thức bán kính điều khiển được của hệ tuyến
tính (A, B) dưới nhiễu cấu trúc trong trường hợp tổng quát và các ma
trận được đo bởi chuẩn toán tử tùy ý
r
D,E
C
(A, B) =
1
sup
λ∈C
EW
−1
λ
D
,
5
ở đây W
−1
λ
được hiểu là nghịch đảo (đa trị) của toán tử đơn trị W

λ
=
[A − λI, B]. Từ kết quả tổng quát này, ta có thể nhận lại được các kết
quả của Eising [31], M. Karow và D. Kressner [60], Mengi [71], D.D.X.
Thanh et al. [5], như là các hệ quả. Hơn nữa bằng việc sử dụng lý thuyết
toán tử đa trị tuyến tính, chúng tôi còn có thể nghiên cứu bán kính điều
khiển được dưới đa nhiễu cấu trúc
[A, B]  [

A,

B] = [A, B] +
N

i=1
D
i
∆
i
E
i
,
ở đây D
i
, E
i
là các ma trận cấu trúc nhiễu và ∆
i
, i ∈ N = 1, N là các
nhiễu. Kết quả nhận được cho bán kính điều khiển được là

1
max
i∈N
sup
λ∈C
HW
−1
λ
D
i

≤ r
mp
C
(A, B) ≤
1
max
i∈N
sup
λ∈C
E
i
W
−1
λ
D
i

,
trong đó H là một ma trận thỏa mãn E

i
x ≤ Hx với mọi x ∈
C
n+m
, i ∈ N. Kết quả này được chứng minh bằng việc sử dụng lý thuyết
toán tử đa trị tuyến tính và hệ quả của Định lý Hahn-Banach. Trong
trường hợp E
i
= α
i
E
1
với mọi i ∈ N thì ta thu được đẳng thức
r
mp
C
(A, B) =
1
max
i∈N
sup
λ∈C
E
i
W
−1
λ
D
i


.
Như trên đã nói sự bền vững của các tính chất "tốt" dưới nhiễu nhỏ
không những chỉ đúng với các hệ động lực mà cũng đúng với các đối
tượng toán học khác, trong đó đặc biệt là tính toàn ánh của một ánh xạ
tuyến tính. Việc nghiên cứu bán kính bảo toàn tính toàn ánh có rất nhiều
ứng dụng trong điều khiển và tối ưu (xem [30, 35, 60, 61, 65, 78, 83]).
Đầu tiên, năm 1936, Eckart-Young [30] đã nghiên cứu bán kính bảo toàn
tính toàn ánh cho ma trận vuông dưới nhiễu không cấu trúc. Sau đó,
năm 2005, J. Pena đã nghiên cứu bán kính bảo toàn tính toàn ánh cho
6
các ánh xạ tuyến tính dưới đối với lớp nhiễu cấu trúc có dạng block trên
đường chéo, tuy nhiên công thức nhận được rất phức tạp và khó tính
toán (xem [78]). Do vậy chúng tôi đặt ra mục đích nghiên cứu là đưa
ra các công thức bán kính toàn ánh dưới nhiễu cấu trúc, có thể tính
toán đơn giản, rồi sau đó ứng dụng vào để tìm các bán kính điều khiển
được, ổn định, ổn định hóa được của các hệ khác nhau. Điều thú vị là
các kĩ thuật dựa trên toán tử đa trị tuyến tính tiếp tục được sử dụng
có hiệu quả khi giải quyết bài toán này. Cho ma trận W ∈ K
n×m
là
toàn ánh, cụ thể W K
m
= K
n
, và được cho nhiễu cấu trúc trong dạng
W 

W = W + D∆E. Khi đó bán kính toàn ánh của W được định
nghĩa bởi
r(W ; D, E) = inf


∆ : ∆ ∈ K
l×q
t.m.

W =W +D∆E không toàn ánh

.
Công thức bán kính toàn ánh dưới nhiễu cấu trúc được đưa ra trong
luận án là
r(W ; D, E) =
1
EW
−1
D
,
trong đó W
−1
được hiểu là nghịch đảo (đa trị) của ma trận đơn trị W .
Đây được xem như là một sự mở rộng công thức được đưa ra bởi Eckart-
Young khi W là ma trận vuông và lớp nhiễu không cấu trúc (D và E là
các ma trận đơn vị). Áp dụng kết quả trên chúng tôi thu được các bán
kính ổn định hóa được của hệ tuyến tính, bán kính ổn định của hệ động
lực ẩn tuyến tính trên thang thời gian, bán kính điều khiển được của
các hệ descriptor, cụ thể:
• Bán kính ổn định hóa được của hệ điều khiển tuyến tính ˙x = Ax+Bu
với nhiễu cấu trúc trong dạng [

A,


B] = [A, B] + D∆E được cho bởi
7
công thức
Λ
D,E
C
(A, B) =
1
sup
λ∈C
+
EW
−1
λ
D
, (1)
ở đây W
λ
= [A −λI, B];
• Bán kính ổn định của hệ động lực ẩn trên thang thời gian F x
∆
= Ax
với nhiễu cấu trúc tác động trên cả hai vế [

F ,

A] = [F, A] + D∆E
được cho bởi công thức
r
C

(F, A; D, E) =
1
sup
λ∈∞∪∂S
E
λ
(λF − A)
−1
D
, (2)
ở đây E
λ
= E


λI
n
−I
n


và S là miền ổn định mũ đều của một thang
thời gian.
Công thức (1) có thể xem như là sự phát triển từ các kết quả bán kính
điều khiển được trong [31, 90] và sự mở rộng các kết quả của bán kính
ổn định hóa được trong [57, 62]. Công thức (2) gắn kết giữa rời rạc và
liên tục, tổng quát hóa rất nhiều các kết quả về bán kính ổn định trước
đây (xem [24, 28, 40, 46, 51, 52]). Bằng việc nghiên cứu toán tử toàn ánh
được cho đa nhiễu cấu trúc trong dạng W 


W = W +

N
i=1
D
i
∆
i
E
i
,
chúng tôi cũng thu được các kết quả cho bán kính toàn ánh
1
max
i,j∈N
E
i
W
†
D
j

≤ r(W ; D
i
, E
i
, i ∈ N) ≤
1
max
i∈N

E
i
W
−1
D
i

,
và
1
max
i∈N
HW
−1
D
i

≤ r(W ; D
i
, E
i
, i ∈ N) ≤
1
max
i∈N
E
i
W
−1
D

i

,
ở đây
†
được kí hiệu là giả nghịch đảo Moore-Penrose của ma trận và
H là một ma trận thỏa mãn E
i
x ≤ Hx với mọi x ∈ C
m
, i ∈ N. Sử
8
dụng các đánh giá này, các chặn trên và chặn dưới đủ tốt được đưa ra
cho các bán kính ổn định hóa được của hệ tuyến tính.
Một trong các lớp hệ điều khiển có nhiều ứng dụng trong thực tiễn
là lớp hệ được mô tả bởi hệ phương trình vi phân trong đó đạo hàm
cấp cao nhất không biểu diễn được thông qua các đạo hàm cấp thấp
hơn. Trong kĩ thuật các hệ này thường được gọi là hệ descriptor. Hệ
descriptor, tổng quát là hệ descriptor cấp cao hay còn được gọi là hệ
không gian trạng thái, được sinh ra từ các hệ điều khiển cơ học có ràng
buộc, hệ điều khiển điện từ, hệ điều khiển robot và rất nhiều hệ trong
vật lý khác (xem [15, 21, 69, 70, 99]). Đối với các hệ descriptor có nhiều
khái niệm điều khiển được, chẳng hạn như điều khiển được hoàn toàn
(C-controllable), điều khiển được trên tập đạt được (R-controllable),
điều khiển được impulse (I-controllable) Bài toán ổn định vững và
điều khiển được vững cũng được nghiên cứu cho lớp hệ này, tuy nhiên
có những đặc thù riêng. Trong [17], Byers đã chỉ ra một hệ descriptor
cấp một F ˙x = Ax + Bu là điều khiển được impulse thì nhiễu bé tùy ý
tác động lên ma trận F có thể phá vỡ tính điều khiển được này và khi
đó bán kính điều khiển được impulse sẽ bằng không. Do vậy Byers đã

nghiên cứu bán kính điều khiển được impulse dưới lớp nhiễu (không cấu
trúc) chấp nhận được. Sử dụng bán kính toàn ánh, luận án nghiên cứu
vấn đề này dưới các giả thiết tổng quát hơn và chứng minh các công
thức bán kính điều khiển được dưới nhiễu cấu trúc cho các khái niệm
điều khiển được khác nhau. Cụ thể, đối với hệ descriptor F ˙x = Ax+ Bu
với nhiễu cấu trúc trong dạng [

F ,

A,

B] = [F, A, B] + D∆E, ta thu được
9
các công thức tính bán kính điều khiển được sau
r
R
C
(F, A, B; D, E) =
1
sup
s∈C
E
1s
W
−1
1s
D
,
r
C

C
(F, A, B; D, E) =
1
sup
(α,β)∈C
2
\(0,0)
E
αβ
W
−1
αβ
D
,
(3)
trong đó r
R
C
là bán kính điều khiển được trên tập đạt được, r
C
C
là bán kính
điều khiển được hoàn toàn, E
αβ
= E






−βI
n
0
αI
n
0
0 I
m





, W
αβ
= [αA−βF, B].
Công thức (3) mở rộng các kết quả của bán kính điều khiển được trong
[17, 98] đối với lớp nhiễu cấu trúc và các ma trận được đo bởi chuẩn toán
tử tùy ý. Hơn nữa, bằng việc sử dụng bán kính toàn ánh chúng tôi cũng
đưa ra được các công thức bán kính điều khiển được của hệ descriptor
cấp cao F x
(k)
= A
k−1
x
(k−1)
+ . . . + A
0
x + Bu với nhiễu cấu trúc trong
dạng [


F ,

A
k−1
, . . . ,

A
0
,

B] = [F, A
k−1
, . . . , A
0
, B] + D∆E. Các công thức
là
r
R
C
(F, A, B; D, E) =
1
sup
s∈C
E
1
(s)W
1
(s)
−1

D
,
r
C
C
(F, A, B; D, E) = min

1
sup
s∈C
E
1
(s)W
1
(s)
−1
D
;
1
E
2
(0)W
2
(0)
−1
D

,
trong đó các ma trận W
1

(s) = [A
0
+ sA
1
+ . . . + s
k−1
A
k−1
− s
k
F ; B] và
E
1
(s) = E











−s
k
I
n
0

s
k−1
I
n
0
.
.
.
.
.
.
I
n
0
0 I
m











, W
2
(0) = [−F, B], E

2
(0) = E











−I
n
0
0 0
.
.
.
.
.
.
0 0
0 I
m












.
10
Một đóng góp nữa của luận án là nghiên cứu bán kính điều khiển
được của hệ tuyến tính có ràng buộc với miền tham số điều khiển chịu
nhiễu. Trong thực tế miền tham số điều khiển của hệ có ràng buộc rất
dễ bị thay đổi và do vậy việc tìm bán kính bảo toàn của miền tham số
điều khiển sẽ có ý nghĩa. Để đưa ra định nghĩa bán kính điều khiển được
của miền tham số điều khiển, đầu tiên chúng tôi phải đưa ra định nghĩa
khoảng cách có hướng giữa hai nón P và Q,
ρ(P, Q) = sup

d(x, Q) : x ∈ P, x = 1

,
trong đó d(x, Q) là khoảng cách từ điểm x đến nón Q. Sau đó chúng tôi
nghiên cứu một số tính chất của khoảng cách này, chẳng hạn như bất
đẳng thức tam giác và khoảng cách giữa hai nón liên hợp, để thiết lập
công thức của bán kính điều khiển được của miền tham số điều khiển.
Luận án cũng trả lời câu hỏi khi miền tham số điều khiển bị nhiễu mức
η thì các ma trận hệ có thể bị nhiễu ở mức bao nhiêu để cho hệ vẫn điều
khiển được.
Vấn đề tính toán bán kính ổn định phức liên quan đến bài toán tối
ưu một biến số thực. Năm 1989, D Hinrichsen, B. Kelb và A. Linemann

[49] đã đưa ra một thuật toán tính toán bán kính ổn định phức dưới
nhiễu cấu trúc. Năm 1990, S. Boyd và V. Balakrishnan [12] đã đưa ra
thuật toán với tốc độ hội tụ bình phương và sau đó C. He và G. Watson
[42] đã cải tiến kết quả này bằng cách tận dụng các tính chất đối xứng
đặc biệt của các ma trận xuất hiện trong quá trình tính toán. Các thuật
toán cho bán kính điều khiển được sẽ phức tạp hơn so với các thuật toán
cho bán kính ổn định vì nó liên quan đến bài toán tối ưu không lồi với
biến số phức. Cho đến nay đa số các thuật toán mới chỉ dừng lại ở việc
tính toán bán kính điều khiển được phức dưới nhiễu không cấu trúc và
11
dựa trên công thức của Eising (xem [16, 36, 37, 38, 41]). Các nghiên cứu
trong [36, 41] sử dụng kĩ thuật tạo lưới trong không gian hai chiều và
chi phí cho việc tính toán rất tốn kém. M. Gu [37] đã đề xuất thuật toán
chia đôi thông qua việc phân tích các tập mức của giá trị kì dị để tính
toán bán kính điều khiển được với độ phức tạp thuật toán đa thức. Sử
dụng cùng hướng tiếp cận, J.V. Burke, A.S. Lewis và M.L. Overton [16]
cải tiến thuật toán chia đôi thành thuật toán chia ba để tính toán bán
kính điều khiển được với độ phức tạp thuật toán là O(n
6
). Bằng việc sử
dụng một số kĩ thuật ma trận nghịch đảo xuất hiện trong quá trình tính
toán, M. Gu, E. Mengi cùng các đồng tác giả [38] đã cải tiến thuật toán
này với độ phức tạp còn O(n
4
). Dựa vào công thức bán kính điều khiển
được dưới nhiễu cấu trúc tổng quát được đưa ra trong luận án, chúng
tôi sẽ sử dụng hướng tiếp cận của M. Gu để đưa ra thuật toán tính toán
bán kính điều khiển được dưới nhiễu cấu trúc trong một số trường hợp
đặc biệt. Một câu hỏi tự nhiên cũng được đặt ra là liệu có thể sử dụng
công cụ tối ưu toàn cục (xem [95]) để xây dựng các thuật toán tính toán

bán kính điều khiển được dưới nhiễu cấu trúc tổng quát và các ma trận
được đo bởi chuẩn toán tử tùy ý. Vấn đề này sẽ là chủ đề nghiên cứu xa
hơn của chúng tôi.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình và tài liệu tham
khảo, luận án bao gồm có bốn chương như sau:
• Chương 1: trình bày một số kiến thức chuẩn bị.
• Chương 2: nghiên cứu bán kính điều khiển được của hệ điều khiển
tuyến tính có ràng buộc với miền tham số điều khiển chịu nhiễu.
Các kết quả trong chương này đã được đăng trong [88].
12
• Chương 3: nghiên cứu bán kính điều khiển của hệ điều khiển tuyến
tính dưới nhiễu cấu trúc và đa nhiễu cấu trúc. Các kết quả trong
chương này đã được công bố trong [89, 90].
• Chương 4: nghiên cứu bán kính toàn ánh dưới nhiễu cấu trúc và đa
nhiễu cấu trúc sau đó áp dụng để đưa ra các công thức bán kính ổn
định của hệ tuyến tính, bán kính ổn định của hệ động lực ẩn trên
thang thời gian, các bán kính điều khiển được của hệ descriptor,
hệ descriptor cấp cao. Các kết quả trong chương này đã được đăng
trong [29, 91, 92, 93].
13
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này dành để trình bày các kiến thức chuẩn bị sẽ được sử dụng
trong các chương sau. Mục 1.1 trình bày các khái niệm cơ bản và một
số tính chất quan trọng của toán tử đa trị tuyến tính. Đây là các kiến
thức mấu chốt được sử dụng để xây dựng các công thức bán kính điều
khiển được, ổn định và ổn định hóa được. Hai mục tiếp theo giới thiệu
về các khái niệm và các kết quả quan trọng đã biết đặc trưng cho tính
điều khiển được của hệ tuyến tính và hệ tuyến tính có ràng buộc. Mục
cuối cùng trình bày về sự ổn định của hệ động lực trên thang thời gian.

Đây được coi như là cách tiếp cận thống nhất về tính ổn định giữa các
hệ liên tục và rời rạc.
1.1 Toán tử đa trị tuyến tính
Nội dung của mục này được tham khảo trong [19] và [90]. Để người đọc
dễ theo dõi, một số chứng minh ngắn gọn các tính chất của toán tử đa
trị tuyến tính sẽ được trình bày đầy đủ.
Cho K = C hoặc R là tập hợp các số phức hoặc thực và n, m, k, l, q, N
là các số nguyên dương. Trong suốt luận án này, chúng ta kí hiệu N =
14
1, N = {1, . . . , N} và K
n×m
thay cho tập tất cả các ma trận cấp n×m. Ma
trận A
∗
∈ K
m×n
là ma trận liên hợp của ma trận A ∈ K
n×m
, K
n
(= K
n×1
)
là không gian véc tơ n - chiều (không gian của các véc tơ cột n thành phần
trong K) được trang bị với chuẩn véc tơ ·, không gian liên hợp của nó
có thể đồng nhất với (K
n
)
∗
= (K

n×1
)
∗
= {u
∗
: u ∈ K
n
}, (không gian của
các véc tơ hàng n thành phần trong K), được trang bị với chuẩn liên hợp.
Với u
∗
∈ (K
n
)
∗
chúng ta viết u
∗
(x) = u
∗
x với mọi x ∈ K
n
và với một tập
M ⊂ K
n
, chúng ta định nghĩa M
⊥
= {u
∗
∈ (K
n

)
∗
: u
∗
x = 0, ∀x ∈ M}.
Cho F : K
n
⇒ K
m
là một toán tử đa trị, nếu đồ thị của F được định
nghĩa bởi
gr F =

(x, y) ∈ K
n
× K
m
: x ∈ K
n
, y ∈ F(x)

, (1.1)
là một không gian con tuyến tính của K
n
×K
m
thì F được gọi là một toán
tử đa trị tuyến tính. Miền xác định và nhân của F được ký hiệu tương ứng
bởi dom F =


x ∈ K
n
: F(x) = ∅

và ker F =

x ∈ dom F : 0 ∈ F(x)

.
Bởi định nghĩa, F(0) là một không gian con tuyến tính và với x ∈ dom F,
chúng ta có đẳng thức sau
y ∈ F(x) ⇐⇒ F(x) = y + F(0). (1.2)
Cho F : K
n
⇒ K
m
là một toán tử đa trị tuyến tính, khi đó với chuẩn
véc tơ đã cho trên K
n
và K
m
, chuẩn của F được định nghĩa bởi
F = sup

inf
y∈F(x)
y : x ∈ dom F, x = 1

. (1.3)
Từ định nghĩa của toán tử đa trị suy ra rằng

inf
y∈F(x)
y ≤ Fx với mọi x ∈ dom F,
15
và do đó nếu F là đơn trị thì
F(x) ≤ Fx với mọi x ∈ dom F. (1.4)
Nếu các không gian được trang bị với chuẩn véc tơ Euclid (x =
√
x
∗
x)
thì từ (1.2) ta được mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1.1. Cho F : K
n
⇒ K
m
là một toán tử đa trị tuyến tính.
Khi đó,
y ∈ F(x), y
∗
∈ F(0)
⊥
=⇒ d(0, F(x)) := inf
z∈F(x)
z = y. (1.5)
Chứng minh. Vì y ∈ F(x) nên ta có z ∈ F(x) tương đương với z −y ∈
F(0). Do vậy
d(0, F(x)) := inf
z∈F(x)
z = inf

z∈F(x)
z − y + y
= inf
z∈F(x)

(z − y + y)
∗
(z − y + y)
= inf
z∈F(x)

(z − y)
∗
(z − y) + (z − y)
∗
y + y
∗
(z − y) + y
∗
y
= inf
z∈F(x)

z − y
2
+ y
2
= y.
Với toán tử đa trị tuyến tính F : K
n

⇒ K
m
thì toán tử liên hợp F
∗
:
(K
m
)
∗
⇒ (K
n
)
∗
và toán tử nghịch đảo F
−1
: ImF ⇒ K
n
được định nghĩa
tương ứng bởi
F
∗
(v
∗
) =

u
∗
∈ (K
n
)

∗
: u
∗
x = v
∗
y với mọi (x, y) ∈ gr F

, (1.6)
F
−1
(y) =

x ∈ K
n
: y ∈ F(x)

. (1.7)
Bởi định nghĩa, F
∗
và F
−1
cũng là các toán tử đa trị tuyến tính và ta
có các mệnh đề sau.
16
Mệnh đề 1.1.2. Cho F : K
n
⇒ K
m
là một toán tử đa trị tuyến tính.
Khi đó,

(F
∗
)
∗
= F, (F
∗
)
−1
= (F
−1
)
∗
, F = F
∗
. (1.8)
Chứng minh. Từ định nghĩa của toán tử liên hợp ta có
(F
∗
)
∗
(x) =

y ∈ K
m
: u
∗
x = v
∗
y với mọi (v
∗

, u
∗
) ∈ gr F
∗

⊃ F(x) =

y ∈ K
m
: (x, y) ∈ gr F

.
Để chứng minh bao hàm ngược lại ta giả sử rằng có tồn tại y ∈ (F
∗
)
∗
(x)
nhưng y ∈ F(x) hoặc tương đương với (x, y) ∈ gr F. Trong không gian
tích K
n
× K
m
trang bị tích vô hướng
(x
1
, y
1
), (x
2
, y

2
) = x
∗
1
x
2
+ y
∗
1
y
2
.
Theo hệ quả Định lý Hahn-Banach tồn tại (u, w) ∈ K
n
× K
m
thỏa
mãn u
∗
x
2
+ w
∗
y
2
= 0 với mọi (x
2
, y
2
) ∈ gr F và u

∗
x + w
∗
y = 0. Đặt
v = −w, suy ra u
∗
x
2
= v
∗
y
2
với mọi (x
2
, y
2
) ∈ gr F và u
∗
x = v
∗
y. Do đó
(v
∗
, u
∗
) ∈ F
∗
nhưng u
∗
x = v

∗
y. Điều này mâu thuẫn với y ∈ (F
∗
)
∗
(x).
Vậy ta đã chứng minh được (F
∗
)
∗
= F. Bây giờ, ta có
(F
∗
)
−1
(u
∗
) =

v
∗
∈ (K
m
)
∗
: u
∗
∈ F
∗
(v

∗
)

=

v
∗
∈ (K
m
)
∗
: u
∗
x = v
∗
y với mọi (x, y) ∈ gr F

=

v
∗
∈ (K
m
)
∗
: v
∗
y = u
∗
x với mọi (y, x) ∈ gr F

−1

= (F
−1
)
∗
(u
∗
).
Do vậy ta thu được đẳng thức thứ hai (F
∗
)
−1
= (F
−1
)
∗
. Để chứng
minh đẳng thức cuối cùng đúng, đầu tiên ta chứng minh ker F
∗
=
(Im F)
⊥
, F
∗
(0) = (dom F)
⊥
, ker F = (Im F
∗
)

⊥
, F(0) = (dom F
∗
)
⊥
. Thật
17