Một số dạng phương trình hàm trên tập số nguyên

Đại học Quốc gia Hà Nội
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Cao Thị Vân Oanh
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM
TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13
Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU
HÀ NỘI - NĂM 2013
2
Đại học Quốc gia Hà Nội
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Cao Thị Vân Oanh
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM
TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13
Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU
HÀ NỘI - NĂM 2013
Lời cảm ơn
Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu người đã
hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Đồng thời, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các giảng
viên trong khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoa học Tự Nhiên đã dạy bảo
tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ động
viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Mặc dù tôi đã cố gắng hết sức nhưng do kiến thức và thời gian còn nhiều hạn
chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng
góp của quý thầy cô và các bạn để bài luận văn của tôi được hoàn thiện hơn.
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2013.
Học viên
Cao Thị Vân Oanh
4
Mục lục
Mở đầu 6
1 Tính chất cơ bản của hàm số 7
1.1 Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . . 7
1.1.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . 9
1.1.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Hàm xác định trên tập số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn trên tập số nguyên . . . 15
1.2.2 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính trên tập số
nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Một số dãy số dạng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Một số dạng phương trình hàm trên tập số nguyên 27
2.1 Sử dụng nguyên lý quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Hàm số chuyển đổi các phép tính số học . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Hàm số chuyển đổi các đại lượng trung bình . . . . . . . . . 42
2.1.3 Một số dạng khác của phương trình hàm trên tập số nguyên 49
2.2 Áp dụng một số tính chất của dãy số và hàm số để giải phương trình
hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.1 Số hạng tổng quát của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.2.2 Áp dụng một số tính chất của hàm số . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.3 Cấp số cộng và phương trình hàm trên N, Z . . . . . . . . . . 66
2.2.4 Kết hợp các tính chất của hàm số với các tính chất của dãy số 68
2.2.5 Hàm số sinh bởi phép biến đổi tịnh tiến và đồng dạng . . . 70
2.2.6 Hàm số sinh bởi phép biến đổi phân tuyến tính . . . . . . . 76
5
2.3 Sử dụng nguyên lý thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4 Sử dụng tính chất của hàm tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . . . . 82
2.5 Sử dụng một số tính chất của số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.6 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3 Mở rộng phương trình hàm trên tập số hữu tỉ và một số phương
trình hàm trong các đề thi Quốc tế 96
3.1 Phương trình hàm trên tập số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2 Một số bài toán về phương trình hàm trên tập số nguyên trong các
đề thi Olympic Toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Kết luận 107
TÀI LIỆU THAM KHẢO 1
6
Mở đầu
Lý thuyết phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng
của giải tích toán học. Các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú bao
gồm các loại phương trình tuyến tính, phương trình phi tuyến, phương trình một
ẩn hàm và phương trình nhiều ẩn hàm.
Trong các kỳ thi Olympic Toán Quốc gia và Quốc tế thường xuất hiện các dạng
toán khác nhau có liên quan đến phương trình hàm. Để giúp các thầy cô giáo, học
sinh các trường phổ thông có thêm nhiều tư liệu mới về vấn đề này tôi xin trình
bày một số phương pháp chọn lọc trong việc giải phương trình hàm trên tập số
nguyên.
Luận văn gồm ba chương đề cập đến các vấn đề sau đây:
Chương 1 trình bày các tính chất cơ bản của hàm số (tuần hoàn, phản tuần

hoàn cộng tính và nhân tính) và một số dãy đặc biệt.
Chương 2 trình bày một số dạng phương trình hàm trên tập số nguyên
Chương 3 trình bày một số phương trình hàm mở rộng trên tập số hữu tỉ và
một số bài toán về phương trình hàm trong các đề thi Olympic Toán .
7
Chương 1
Tính chất cơ bản của hàm số
1.1 Một số kiến thức cơ bản
Xét hàm số f(x) với tập xác định D(f) ⊂ R và tập giá trị trong R.
1.1.1 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính
Định nghĩa 1.1. 1. Hàm số f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn (cộng tính) chu
kỳ a (a > 0) trên M (M ⊂ D(f)) và

∀x ∈ M ⇒ x ±a ∈ M
f(x + a) = f(x), ∀x ∈ M
2. Cho f(x) là một hàm tuần hoàn trên M. Khi đó T(T > 0) được gọi là chu kì
cơ sở của f(x) nếu f(x) tuần hoàn với chu kì T mà không là hàm tuần hoàn
với bất kỳ chu kỳ nào nhỏ thua T.
Ví dụ 1.1. 1. Hàm số f(x) = sin x là hàm tuần hoàn trên R với chu kỳ cơ sở
2π. Thật vậy, dễ thấy rằng hàm số f(x) = sin x tuần hoàn với chu kỳ 2π. Giả
sử tồn tại α(0 < α < 2π) sao cho f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ α. Ta có,
f(x) = f (2π +α) = f(2π) (vô lý). Vậy giả sử là sai. Ta có điều phải chứng minh.
2. Hàm số f(x) = cos x là hàm tuần hoàn trên R với chu kỳ cơ sở 2π.
Nhận xét 1.1. Tồn tại hàm số là hàm tuần hoàn trên R nhưng không có chu kỳ
cơ sở.
Ví dụ 1.2. Hàm số
f(x) =

0, x ∈ R
1, x ∈ R.

8
Khi đó f(x) là hàm tuần hoàn trên R với chu kỳ a ∈ R
+
tùy ý. Vì trong R
+
không
có số nhỏ nhất nên hàm f(x) không có chu kỳ cơ sở.
Định nghĩa 1.2. 1. Hàm số f(x) được gọi là hàm số phản tuần hoàn (cộng tính)
chu kỳ a (a > 0)trên M (M ⊂ D(f)) và

∀x ∈ M ⇒ x ±a ∈ M
f(x + a) = −f(x), ∀x ∈ M
2. Cho f(x) là một hàm phản tuần hoàn trên M. Khi đó T (T > 0) được gọi là
chu kỳ cơ sở của f(x) nếu f(x) phản tuần hoàn với chu kỳ T mà không là hàm
phản tuần hoàn với bất kỳ chu kỳ nào nhỏ thua T.
Ví dụ 1.3. Hàm sin x và cos x phản tuần hoàn với chu kỳ cơ sở π.
sin(x + π) = −sin x
cos(x + π) = −cos x
Bài toán 1.1. Cho f(x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên M. Chứng minh
f(x) cũng là hàm tuần hoàn chu kỳ 2a trên M.
Lời giải. Theo giả thiết, f(x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên M nên

x ± a ∈ M, ∀x ∈ M
f(x + a) = −f(x), ∀x ∈ M.
Suy ra

x ± 2a ∈ M, ∀x ∈ M
f(x + 2a) = f(x), ∀x ∈ M.
Vậy f(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2a trên M.
Nhận xét 1.2. Điều ngược lại không đúng. Tức là, một hàm tuần hoàn chưa chắc

đã là một hàm phản tuần hoàn.
Bài toán 1.2. Hàm số f(x) = tan x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π nhưng không
là hàm phản tuần hoàn.
Thật vậy, dễ thấy f(x) = tan x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π.
Giả sử f(x) = tan x cũng là hàm số phản tuần hoàn với chu kỳ α nào đó. Suy ra
tan α = tan(α + π) = −tan π = 0.
9
Từ đó suy ra α = kπ (vô lý).
Bài toán 1.3. Chứng minh rằng hàm số f(x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a
trên M khi và chỉ khi

x ± a ∈ M, ∀x ∈ M
f(x) = g(x) − g(x + a)
(1.1)
trong đó g(x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ 2a trên M.
Lời giải. Thật vậy, với f(x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên M.
Suy ra x ±a ∈ M với mọi x ∈ M. Nếu ta chọn g(x) =
f(x)
2
thì g(x) là hàm tuần hoàn
chu kỳ 2a trên M (Bài toán 1.1) và
g(x) −g(x + a) =
1
2
f(x) −
1
2
f(x + a) =
1
2

f(x) −(−
1
2
f(x))
= f(x), ∀x ∈ M .
Ngược lại, với f(x) thỏa mãn (1.1) ta có
f(x + a) = g(x + a) −g(x + 2a) = g(x + a) −g(x) − [g(x) − g(x + a)] = −f(x), ∀x ∈ M.
Hơn nữa, ∀x ∈ M thì x±a ∈ M. Do đó f(x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên M.
Bài toán 1.4. Cho f(x) và g(x) là hai hàm tuần hoàn có chu kỳ cơ sở tương ứng
là a, b trên R, F (x) = f(x) + g(x). Chứng minh rằng F (x) là hàm tuần hoàn trên R.
Lời giải. Theo giả thiết, tồn tại m, n ∈ N
∗
(m, n) = 1 sao cho
a
b
=
m
n
.
Đặt T = na = mb. Khi đó
F (x + T) = f(x + na) + g(x + mb) = f(x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ R.
Hơn nữa, dễ thấy ∀x ∈ R thì x = ±T ∈ R.
Vậy F (x) là hàm tuần hoàn chu kỳ T trên R.
1.1.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính
Định nghĩa 1.3. Hàm số f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn nhân tính chu kỳ a
(a /∈ {0; ±1}) trên M nếu M ⊂ D(f) và

∀x ∈ M ⇒ a
±1
x ∈ M

f(ax) = f (x), ∀x ∈ M
10
Ví dụ 1.4. Xét f(x) = sin(2π log
2
x). Khi đó f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu
kì 2 trên R
+
.
Thật vậy, ta có ∀x ∈ R
+
thì 2
±1
x ∈ R
+
và
f(2x) = sin(2π log
2
(2x)) = sin(2π(1 + log
2
x))
= sin(2π log
2
x) = f(x), ∀x ∈ R
+
.
Định nghĩa 1.4. Hàm số f(x) được gọi là hàm số phản tuần hoàn nhân tính chu
kỳ a (a ∈ R
+
, a = 0; ±1) trên M nếu M ⊂ D(f) và


∀x ∈ M ⇒ a
±1
x ∈ M
f(ax) = −f (x), ∀x ∈ M.
Ví dụ 1.5. Xác định các hàm số f phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 3 sao cho
f(3x) = −f (x), ∀x ∈ R
+
(1)
Lời giải. Ta có f(9x) = f(3.3x) = −f(3x) = f(x)
Vậy f(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ 9.
⇔

f(3x) = −f (x), ∀x ∈ R
+
f(x) = f (9x), ∀x ∈ R
+
.
⇔

f(x) =
1
2
[f(x) −f(3x)](2), ∀x ∈ R
+
f(9x) = f (x), ∀x ∈ R
+
⇔ f(x) =
1
2
[g(x) −g(3x)], ∀x ∈ R

+
(3)
trong đó g(x) = g(9x).
Ta chứng minh nếu f có dạng (3) thì f là phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 3 và
ngược lại. Thật vậy f(3x) =
1
2
(g(3x) −g(9x)) =
1
2
(g(3x) −g(x)) = −f(x).
Ngược lại nếu f(x) là nghiệm của (1) thì có dạng (3) vì nếu f(x) là nghiệm của
(1) ⇔ (2) ⇒ (3) với g(x) = f(x).
Bài toán 1.5. Chứng minh nếu f(x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ s
trên M thì f(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ s
2
trên M.
Lời giải. Theo giả thiết, f(x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ s trên M
nên

s
±1
x ∈ M, ∀x ∈ M
f(sx) = −f (x), ∀x ∈ M.
Suy ra

s
2
±1
x ∈ M, ∀x ∈ M

f(s
2
x) = f(x), ∀x ∈ M.
Vậy f(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ s
2
trên M.
11
Bài toán 1.6. Chứng minh rằng hàm số f(x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính
chu kỳ b (b = 0, ±1) trên M khi và chỉ khi

b
±1
x ∈ M, ∀x ∈ M
f(x) = g(x) − g(bx),
(1.2)
trong đó g(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b
2
trên M.
Lời giải. Thật vậy, với f(x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b trên M.
Suy ra b
±1
x ∈ M với mọi x ∈ M.
Chọn g(x) =
f(x)
2
thì g(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b
2
trên M và
g(x) −g(bx) =
1

2
f(x) −
1
2
f(bx) =
1
2
f(x) +
1
2
f(x) = f (x), ∀x ∈ M
Ngược lại, với f(x) thỏa mãn hệ thức trên ta có
f(bx) = g(bx) − g(b
2
x) = g(bx) −g(x) = −f(x), ∀x ∈ M.
Hơn nữa, ∀x ∈ M thì b
±1
x ∈ M. Do đó f(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b
trên M.
Bài toán 1.7. Cho f(x), g(x) là hai hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a, b tương ứng
trên R(
ln|a|
ln|b|
=
m
n
, m, n ∈ N). Chứng minh rằng F (x) = f(x) + g(x) và G(x) = f(x)g(x)
là những hàm tuần hoàn nhân tính trên R.
Lời giải. Do R(
ln|a|

ln|b|
=
m
n
, m, n ∈ N) (giả thiết) nên nln|a| = mln|b| hay |a|
n
= |b|
m
.
Ta chứng minh T = a
2n
= b
2m
là chu kỳ của F(x) và G(x).
Theo giả thiết, f(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a và g(x) là hàm tuần
hoàn chu kỳ b nên ta có

f(T x) = f(a
2n
x) = f(x), ∀x ∈ R
g(T x) = g(b
2m
x) = g(x), ∀x ∈ R.
Suy ra
F (Tx) = f(a
2n
x) + g(b
2m
x) = f(x) + g(x) = F(x), ∀x ∈ R
G(T x) = f(a

2n
x)g(b
2m
x) = f(x)g(x), ∀x ∈ R.
Hơn nữa, dễ thấy T
±1
x ∈ R, ∀x ∈ R.
Vậy F (x), G(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ T trên R.
12
1.1.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Định nghĩa 1.5. 1. Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn trên M, (M ∈ D(f))
nếu với mọi x ∈ M
⇒ −x ∈ M; f(−x) = f(x), ∀x ∈ M .
2. Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ trên M, (M ∈ D(f)) nếu với mọi x ∈ M
⇒ −x ∈ M; f(−x) = −f(x), ∀x ∈ M .
Ví dụ 1.6. f(x) = |x| là hàm chẵn trên R.
f(x) = x
3
là hàm lẻ trên R.
Bài toán 1.8. Cho f(x) vừa là hàm chẵn, vừa là hàm lẻ trên R. Chứng minh
f(x) = 0.
Lời giải. Do f(x) vừa là hàm chẵn, vừa là hàm lẻ trên R nên
f(x) = f (−x) = −f(x), ∀x ∈ R
Suy ra f(x) = 0.
Bài toán 1.9. Chứng minh rằng f(x) là hàm chẵn trên R khi và chỉ khi f(x) có
dạng
f(x) = g(x) + g(−x) (1.3)
với g(x) là hàm tùy ý trên R.
Lời giải. Nếu f(x) là hàm chẵn trên R thì ta có
f(x) = f (−x), ∀x ∈ R.

Suy ra
f(x) =
f(x)+f(x)
2
=
f(x)+f(−x)
2
.
Chọn g(x) =
f(x)
2
thì f(x) có dạng (1.3).
Ngược lại, nếu f(x) có dạng (1.3) thì hiển nhiên f(x) là hàm chẵn trên R.
Bài toán 1.10. Chứng minh rằng f(x) là hàm lẻ trên R khi và chỉ khi f(x) có dạng
f(x) = g(x) − g(−x) (1.4)
13
với g(x) là hàm tùy ý trên R.
Lời giải. Nếu f(x) là hàm lẻ trên R thì ta có
f(x) = −f (−x), ∀x ∈ R.
Suy ra
f(x) =
f(x)+f(x)
2
=
f(x)−f(−x)
2
.
Chọn g(x) =
f(x)
2

thì f(x) có dạng (1.4).
Ngược lại, nếu f(x) có dạng (1.4) thì hiển nhiên f(x) là hàm lẻ trên R.
Bài toán 1.11. Chứng minh rằng mọi hàm số xác định trên R đều có thể viết
dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ.
Lời giải. Giả sử f(x) là hàm số bất kỳ trên R.
Ta có
g(x) =
f(x) + f(−x)
2
là hàm số chẵn trênR.
h(x) =
f(x) −f(−x)
2
là hàm số lẻ trênR.
Suy ra f(x) = g(x) + h(x) là tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ.
Bài toán 1.12. Cho a ∈ R. Xác định hàm số f(x) trên R thỏa mãn điều kiện
f(2a −x) = f(x), ∀x ∈ R (1.5)
(hàm chẵn đối với điểm a).
Lời giải. Đặt x = a −y ⇒ 2a −x = a + y.
Khi đó phương trình (1.5) tương đương với
f(a + y) = f(a − y), ∀a ∈ R.
Đặt g(y) = f(a + y) ⇒ f(y) = g(y − a) thì ta có phương trình
14
g(−y) = g(y)
hay g(y) là hàm chẵn trên R.
Vậy hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng
f(x) = g(x − a) = h(x −a) + h(−x + a),
trong đó h(x) là hàm tùy ý trên R.
Bài toán 1.13. Cho a, b ∈ R. Xác định hàm số f(x) trên R thỏa mãn điều kiện
f(2a −x) + f(x) = b, ∀x ∈ R. (1.6)

Lời giải. Đặt x = a −y.
Khi đó 2a −x = a + y và điều kiện bài ra tương đương với
f(a + y) + f(a −y) = b, ∀y ∈ R.
Đặt g(y) = f(a + y) −
b
2
hay f(y) = g(y − a) +
b
2
thì ta có phương trình
g(−y) = −g(y), ∀y ∈ R,
hay g(y) là hàm lẻ trên Q.
Vậy hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng
f(x) = g(x − a) +
b
2
= h(x −a) − h(−x + a) +
b
2
,
trong đó h(x) là hàm tùy ý trên R.
Định nghĩa 1.6 (Phương trình đương đương - phương trình hệ quả). Cho phương
trình
f
1
(x) = g
1
(x) (1.7)
có tập nghiệm S
1

.
Phương trình
f
2
(x) = g
2
(x) (1.8)
có tập nghiệm S
2
.
Khi đó:
Nếu S
1
= S
2
thì ta nói phương trình (1.7) tương đương với phương trình (1.8) và
ngược lại.
Kí hiệu:
f
1
(x) = g
1
(x) ⇔ f
2
(x) = g
2
(x).
15
Nếu S
1

⊂ S
2
thì ta nói phương trình (1.8) là hệ quả của phương trình (1.7).
Kí hiệu : f
1
(x) = g
1
(x) ⇒ f
2
(x) = g
2
(x).
1.2 Hàm xác định trên tập số nguyên
1.2.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn trên tập số nguyên
Xét hàm số f(x) với tập xác định D(f) ⊂ Z và tập giá trị trong R. Khi đó ta
có được định nghĩa hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn trên tập số nguyên như
định nghĩa 1.1; 1.2; 1.3; 1.4
Do tập số nguyên Z là tập rời rạc nên ta có thể xác định được dạng tổng quát của
các hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn khi biết chu kỳ tuần hoàn của hàm số đó.
Nhận xét 1.3. Mọi hàm f(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 1 trên Z đều là hàm hằng.
Mệnh đề 1.1. Mọi hàm f(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 trên Z đều có dạng
f(n) =
1
2
[a + b + (a − b)(−1)
n
], ∀n ∈ Z (a, b ∈ R). (1.9)
Chứng minh Giả sử f(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 trên Z, ta cần chứng minh
f(n) =
1

2
[a + b + (a − b)(−1)
n
], ∀n ∈ Z (a, b ∈ R). (1.10)
Thật vậy, giả sử f(0) = a, f(1) = b (a, b ∈ R).
Theo giả thiết, f(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 nên ta có
f(n + 2) = f(n), ∀n ∈ Z.
1. Nếu n có dạng 2m + 1 thì ta có
f(n) = f (2m + 1) = b =
1
2
[a + b + (a − b)(−1)
n
].
2. Nếu n có dạng 2m thì f(n) = f(2m) = a =
1
2
[a + b + (a − b)(−1)
n
].
Suy ra
f(n) =
1
2
[a + b + (a − b)(−1)
n
], ∀n ∈ Z.
Ngược lại, nếu f(n) có dạng (1.9) thì với mọi n ∈ Z, ta có
16
f(n + 2) =

1
2
[a + b + (a − b)(−1)
n+2
]
=
1
2
[a + b + (a − b)(−1)
n
] = f(n).
Vậy f(n) = f(n + 2), ∀n ∈ Z hay f(n) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2.
Mệnh đề 1.2. Mọi hàm f(n) tuần hoàn chu kỳ 3 trên Z đều có dạng
f(n) =
1
3
[a+b+c+(−a−b+2c)cos
2nπ
3
+
√
3(a−b)sin
2nπ
3
], ∀n ∈ Z, (a, b, c ∈ R) (1.11)
Lời giải. Với mọi hàm số f (n) có dạng (1.11) thì dễ dàng ta có
f(n + 3) = f(n), ∀n ∈ Z.
Suy ra f(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 3.
Ngược lại, giả sử f(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 3 và f(0) = c, f(1) = a, f(2) =
b(a, b, c ∈ R).

Đặt g(n) =
1
3
[a + b + c + (−a − b + 2c)cos
2nπ
3
+
√
3(a − b)sin
2nπ
3
].
Theo trên ta có g(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 3 trên Z.
1. Với n = 0 ta có
g(0) =
1
3
[a + b + c + (−a − b + 2c)cos0 +
√
3(a − b)sin0]
=
1
3
[a + b + c + (−a − b + 2c)]
= c = f(0).
2. Với n = 1 ta có
g(1) =) =
1
3
[a + b + c + (−a − b + 2c)cos

2π
3
+
√
3(a − b)sin
2π
3
]
=
1
3
[a + b + c + (−a − b + 2c)(−
1
2
) +
√
3(a − b)
√
3
2
]
= a = f(1).
3. Với n = 2 ta có
g(2) =) =
1
3
[a + b + c + (−a − b + 2c)cos
4π
3
+

√
3(a − b)sin
4π
3
]
=
1
3
[a + b + c + (−a − b + 2c)(−
1
2
) +
√
3(a − b)−
√
3
2
]
= b = f(2).
Mà f(n) và g(n) đều là hàm tuần hoàn chu kỳ 3 nên
17
f(n) = g(n), ∀n ∈ Z.
Vậy ta có
f(n) =
1
3
[a + b + c + (−a − b + 2c)cos
2nπ
3
+

√
3(a − b)sin
2nπ
3
], ∀n ∈ Z.
Bài toán 1.14. Cho a ∈ Z
+
. Xác định hàm số f(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ a
trên Z.
Lời giải. Do f(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ a trên Z nên ta có
f(n + a) = f(n), ∀n ∈ Z.
Dễ thấy rằng đây là phương trình sai phân bậc n có phương trình đặc trưng
λ
a
− 1 = 0 (1.12)
1. Nếu a chẵn thì phương trình (1.12) có n nghiệm
λ
1
= 1, λ
2
= −1, λ
k
= cos
2kπ
a
+ isin
2kπ
a
, λ


k
= cos
2kπ
a
− isin
2kπ
a
,
với k = 1, 2, ,
a−2
2
.
Do đó f(n) có dạng
f(n) = a
1
+ a
2
(−1)
n
+
a−2
2

k=1
(c
k
cos
2nkπ
a
+ d

k
sin
2nkπ
a
), ∀n ∈ Z (1.13)
Giả sử f(0) = b
0
, f (1) = b
1
, f (a − 1) = b
a−1
.
Thay n = 0, 1, 2, , a −1 vào phương trình (1.13) ta được hệ a phương trình a
ẩn. Giải hệ này ta tìm được a
1
, a
2
, c
k
, d
k
(k = 1, 2, ,
a−2
2
).
Với a = 2 ta cũng thu được kết quả giống mệnh đề 1.1.
2. Nếu a lẻ thì phương trình (1.12) có n nghiệm
λ
1
= 1, λ

k
= cos
2kπ
a
+ isin
2kπ
a
, λ

k
= cos
2kπ
a
− isin
2kπ
a
,
với k = 1, 2, ,
a−1
2
.
Do đó f(n) có dạng
f(n) = a
1
+
a−1
2

k=1
(c

k
cos
2nkπ
a
+ d
k
sin
2nkπ
a
), ∀n ∈ Z (1.14)
18
Giả sử f(0) = b
0
, f (1) = b
1
, f (a − 1) = b
a−1
.
Thay n = 0, 1, 2, , a −1 vào phương trình (1.14) ta được hệ a phương trình a
ẩn. Giải hệ này ta tìm được a
1
, c
k
, d
k
(k = 1, 2, ,
a−1
2
).
Với a = 3 ta cũng thu được kết quả giống mệnh đề (1.2).

Nhận xét 1.4. Cho a ∈ Z
+
. Nếu hàm số f(n) xác định tập số nguyên thỏa mãn
điều kiện
f(n −a) = f(n), ∀n ∈ Z,
thì hàm số f(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ a trên Z.
Bài toán 1.15. Xác định hàm số f(n) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ 1 trên Z,
biết f(1) = 2.
Lời giải. Vì f(n) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ 1 trên Z nên hàm số f(n) có
dạng
f(n) = g(n) − g(n + 1),
trong đó g(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2.
Theo mệnh đề 1.1 thì g(n) =
1
2
[a + b + (a − b)(−1)
n
], ∀n ∈ Z, với a, b ∈ R.
Suy ra g(n + 1) =
1
2
[a + b + (a − b)(−1)
n+1
], ∀n ∈ Z.
Từ đó ta có
f(n) =
1
2
[(a − b)(−1)
n

− (a −b)(−1)
n+1
], ∀n ∈ Z,
đặt a − b = k, k ∈ R thì hàm số f(n) có dạng
f(n) =
1
2
(k(−1)
n
− k(−1)
n+1
) = k(−1)
n
, ∀n ∈ Z.
Mà f(1) = 2, nên ta có k = −2.
Vậy hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng f(n) = −2(−1)
n
, ∀n ∈ Z.
Bài toán 1.16. Cho a ∈ Z
+
. Xác định hàm số f(n) là hàm phản tuần hoàn chu
kỳ a trên Z.
Lời giải. Vì f(n) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên Z nên hàm số f(n) có
dạng
19
f(n) = g(n) − g(n + a),
trong đó g(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2a. Hay g(n) có dạng
g(n) = a
1
+ a

2
(−1)
n
+
a−1

k=1
(c
k
cos
2nkπ
2a
+ d
k
sin
2nkπ
2a
)
= a
1
+ a
2
(−1)
n
+
a−1

k=1
(c
k

cos
nkπ
a
+ d
k
sin
nkπ
a
),
Suy ra
g(n + a) = a
1
+ a
2
(−1)
n+a
+
a−1

k=1
(c
k
cos
(n + a)kπ
a
+ d
k
sin
(n + a)kπ
a

).
Thay vào phương trình f(n) = g(n) − g(n + a) ta tìm được f(n).
Nhận xét 1.5. Cho a ∈ Z
+
. Nếu hàm số f(n) xác định trên tập số nguyên thỏa
mãn điều kiện
f(n −a) = −f(n), ∀n ∈ Z,
thì hàm số f(n) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên Z.
Bài toán 1.17. Xác định hàm số f(n) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ 2 trên Z,
biết f(0) = 1 và f(1) = 3.
Lời giải. Vì f(n) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ 2 trên Z nên f(n) có dạng
f(n) = g(n) − g(n + 2), ∀n ∈ Z,
trong đó g(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 4 trên Z, hay
g(n) = a
1
+ a
2
(−1)
n
+ c
1
cos
nπ
2
+ c
2
sin
nπ
2
.

Suy ra
g(n + 2) = a
1
+ a
2
(−1)
n+2
+ c
1
cos
(n+2)π
2
+ c
2
sin
(n+2)π
2
= a
1
+ a
2
(−1)
n
− c
1
cos
nπ
2
− c
2

sin
nπ
2
.
Từ đó ta có
f(n) = g(n) − g(n + 2) = 2c
1
cos
nπ
2
+ 2c
2
sin
nπ
2
, ∀n ∈ Z.
Mặt khác, 1 = f(0) = 2c
1
và 3 = f(1) = 2c
2
.
Vậy hàm số f(n) thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng
f(n) = cos
nπ
2
+ 3sin
nπ
2
, ∀n ∈ Z.
20

1.2.2 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính trên tập số nguyên
Mệnh đề 1.3. Mọi hàm f(n) tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 trên Z đều có dạng
f(n) =

f
n
, (∀f
n
∈ R), n = 2s + 1
f
2k+1
, n = 2
l
(2k + 1), l ∈ N
∗
, k ∈ Z.
(1.15)
Chứng minh Nhận xét rằng, mọi n ∈ Z đều có thể viết dưới dạng n = 2
l
(2k +1)
với l ∈ N
∗
, k ∈ Z, nên ta có
f(n) = f (2
l
(2k + 1)) = f(2k + 1), ∀n ∈ Z.
Vì vậy
f(n) =

f

n
, (∀f
n
∈ R), n = 2s + 1
f
2k+1
, n = 2
l
(2k + 1), l ∈ N
∗
, k ∈ Z.
Ngược lại, dễ thấy hàm số có dạng (1.15) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2.
Bài toán 1.18. Mọi hàm f(n) phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 trên Z đều có
dạng
f(n) =



f
n
(∀f
n
∈ R), n = 2s + 1
−f
2k+1
, n = 2
2s+1
(2k + 1), s ∈ N, k ∈ Z
f
2k+1

, n = 2
2s
(2k + 1), s ∈ N
∗
, k ∈ Z.
Chứng minh Nhận xét rằng, mọi n ∈ Z đều có thể viết dưới dạng n = 2
l
(2k +1)
với l ∈ N, k ∈ Z, nên ta có
f(n) = f (2
l
(2k + 1)), ∀n ∈ Z.
Vì vậy
f(n) =

f
n
, (∀f
n
∈ R), n = 2s + 1
f
2k+1
, n = 2
l
(2k + 1), l ∈ N
∗
, k ∈ Z.
Vậy hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 có dạng
f(n) =




f
n
(∀f
n
∈ R), n = 2s + 1
−f
2k+1
, n = 2
2s+1
(2k + 1), s ∈ N, k ∈ Z
f
2k+1
, n = 2
2s
(2k + 1), s ∈ N
∗
, k ∈ Z.
Ngược lại, dễ thấy hàm số có dạng (1.15) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2.
Bài toán 1.19. Cho a ∈ Z
∗
, a = ±1. Xác định hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a
trên Z.
21
Lời giải. Nhận xét rằng, mọi n ∈ Z đều có thể viết dưới dạng n = ka
s
với k không
chia hết cho a, s ∈ N. Vì vậy
f(n) = f

k
,
trong đó f
k
nhận giá trị thực tùy ý, n = ka
s
với s ∈ N, k ∈ Z, k không chia hết cho
a.
Với a = 2 thì f(n) có dạng f(n) = f
k
tùy ý nếu n = 2
l
k, với l ∈ N, k lẻ .
Bài toán 1.20. Cho a ∈ Z
+
, a = ±1. Xác định hàm phản tuần hoàn nhân tính chu
kỳ a trên Z.
Lời giải. Nhận xét rằng, mọi n ∈ Z đều có thể viết dưới dạng n = ka
s
với k không
chia hết cho a, s ∈ N. Suy ra
f(n) = f (ka
s
), ∀n ∈ Z.
Vì vậy
f(n) =

f(k), s = 2m, m ∈ N
−f(k), s = 2m + 1, m ∈ N.
Vậy hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ a có dạng

f(n) =

−f
k
, n = ka
2m+1
,
f
k
, n = ka
2m
.
với f
k
nhận giá trị thực tùy ý, m N, k ∈ Z, k không chia hết cho a.
Với a = 2 thì f(n) có dạng
f(n) =

−f
k
, n = k2
2m+1
,
f
k
, n = k2
2m
.
với f
k

nhận giá trị thực tùy ý, m ∈ N, k ∈ Z, k lẻ.
1.3 Một số dãy số dạng đặc biệt
Tương tự như đối với hàm số thông thường, ta có thể coi dãy số u
n
như một hàm
f(n) = u
n
xác định trên tập Z và nhận giá trị trong R. Vì vậy, cũng giống như hàm
số xác định trên tập số nguyên thì dãy số cũng có các dạng như: Dãy số tuần hoàn,
phản tuần hoàn, dãy số tuần hoàn nhân tính, phản tuần hoàn nhân tính. Ngoài ra,
dãy số còn có một số dạng đặc biệt khác: cấp số cộng, cấp số nhân, cấp số điều hòa.
Định nghĩa 1.7. 1. Dãy số {u
n
} thỏa mãn điều kiện
22
u
1
− u
0
= u
2
− u
1
= = u
n+1
− u
n
=
Được gọi là một cấp số cộng.
2. Khi dãy số {u

n
} lập thành một cấp số cộng thì hiệu d = u
1
− u
0
được gọi là
công sai của cấp số đã cho.
Nhận xét 1.6. Khi đã cho một dãy số hữu hạn u
0
, u
1
, u
2
, , u
n
thỏa mãn điều kiện
u
1
− u
0
= u
2
− u
1
= = u
n
− u
n−1
=
thì ta cũng nói rằng dãy hữu hạn đã cho lập thành một cấp số cộng có công sai

d = u
1
− u
0
.
Tính chất 1.1. Giả sử {u
n
} là một cấp số cộng có số hạng đầu {u
1
} và công sai d.
1. Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng
hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là
u
k
=
u
k−1
+u
k+1
2
.
2. Số hạng tổng quát u
n
của nó được tính theo công thức sau u
n
= u
1
+ (n −1)d.
3. Với mỗi số nguyên dương n, gọi S
n

là tổng n số hạng đầu tiên của nó (S
n
=
u
1
+ u
2
+ + u
n
). Khi đó, ta có
S
n
=
(u
1
+u
n
)n
2
.
Bài toán 1.21. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy số {u
n
} lập thành
một cấp số cộng là dãy đã cho phải thỏa mãn hệ thức
2u
m+n
= u
2m
+ u
2n

, ∀m, n ∈ N. (1.16)
Lời giải.
Điều kiện cần. Giả sử dãy u
n
lập thành một cấp số cộng với công sai d.
Khi đó u
n
= u
0
+ nd, ∀n ∈ N.
Vậy nên
u
2m
+ u
2n
= 2u
0
+ (2n + 2m)d
và
23
2u
m+n
= 2[u
0
+ (m + n)d].
Từ đó ta có
2u
m+n
= u
2m

+ u
2n
, ∀m, n ∈ N.
Điều kiện đủ. Giả sử dãy u
n
thỏa mãn điều kiện (1.17).
Ta chứng minh dãy u
n
là một cấp số cộng có công sai d = u
1
− u
0
.
Thay m = 0 vào (1.17) ta được
2u
n
= u
0
+ u
2n
.
Suy ra
u
2n
= 2u
n
− u
0
(1.17)
Thay (1.18) vào (1.17) ta được

2u
m+n
= 2u
m
+ 2u
n
− 2u
0
(1.18)
hay
u
m+n
= u
m
+ u
n
− u
0
(1.19)
Thay m = 1 vào (1.20), ta có
u
n+1
= u
n
+ u
1
− u
0
= u
n

+ d.
Từ đó, ta thu được {u
n
} là một cấp số cộng.
Bài toán 1.22. Cho hàm số f(x) trên R thỏa mãn điều kiện
f(
x+y
2
) =
f(x)+f(y)
2
, ∀x, y ∈ R
và cấp số cộng {a
n
}. Chứng minh rằng dãy {f (a
n
)} là một cấp số cộng.
Lời giải. Từ giả thiết, {a
n
} là một cấp số cộng ta có
a
1
− a
0
= a
2
− a
1
= = a
n

− a
n−1
=
và vì vậy
a
n
=
a
n−1
+a
n+1
2
, ∀n ∈ N
∗
.
24
hay
f(a
n
) = f(
a
n−1
+a
n+1
2
) =
f(a
n−1
)+f(a
n+1

)
2
, ∀n ∈ N
∗
.
Từ đó suy ra dãy {f (a
n
)} là một cấp số cộng.
Định nghĩa 1.8. 1. Dãy số {u
n
}(u
n
= 0) với mọi n ∈ N thỏa mãn điều kiện
u
1
u
0
=
u
2
u
1
=
u
n+1
u
n
=
được gọi là một cấp số nhân.
2. Khi dãy số {u

n
} lập thành một cấp số nhân thì thương q =
u
1
u
0
được gọi là công
bội của cấp số đã cho.
Nhận xét 1.7. 1. Khi cho một dãy số hữu hạn {u
0
, u
1
, u
2
, , u
n
} thỏa mãn điều
kiện
u
1
u
0
=
u
2
u
1
=
u
n

u
n−1
thì ta cũng nói rằng dãy hữu hạn đã cho lập thành một cấp số nhân có công
bội q =
u
1
u
0
.
2. Nếu {u
n
} là một cấp số cộng thì {v
n
} với v
n
= a
u
n
(∀n ∈ N, a > 0) lập thành
một cấp số nhân.
3. Nếu {u
n
} là một cấp số cộng thì {v
n
} với v
n
= a
u
n
(∀n ∈ N, a > 0) lập thành

một cấp số nhân.
4. Nếu {u
n
} là một cấp số nhân với số hạng dương thì {v
n
} với v
n
= log
a
u
n
, ∀n ∈
N, 0 < a = 1 lập thành một cấp số cộng.
Tính chất 1.2. Giả sử {u
n
} là một cấp số nhân có số hạng đầu u
1
và công bội
q = 0.
1. Kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối
với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là
u
2
k
= u
k−1
.u
k+1
.
2. Số hạng tổng quát u

n
của nó được xác định bởi công thức
u
n
= u
1
.q
n−1
.
3. Tổng n số hạng đầu tiên của nó, S
n
được xác định bởi công thức
S
n
=
u
1
(1−q
n
)
1−q
.
25
Bài toán 1.23. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy số u
n
(u
n
> 0, ∀n ∈ N)
lập thành một cấp số nhân là dãy đã cho phải thỏa mãn hệ thức
u

2
m+n
= u
2m
u
2n
, ∀m, n ∈ N (1.20)
Lời giải. Đặt ln u
n
= v
n
, ∀n ∈ N. Khi đó u
n
= e
v
n
và đẳng thức trên có dạng
e
2v
m+n
= e
v
2m
+v2n
, ∀m, n ∈ N.
hay
2v
m+n
= v
2m

+ v
2n
, ∀m, n ∈ N (1.21)
Theo bài toán trên thì đây chính là điều kiện cần và đủ để dãy số {v
n
} lập thành
một cấp số cộng với công sai d = v
1
− v
0
. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 1.24. Cho hàm số f(x) trên R thỏa mãn điều kiện
f(
√
xy) =
f(x)+f(y)
2
, ∀x, y > 0
và cho cấp số nhân a
n
với a
n
> 0 với mọi n ∈ N. Chứng minh rằng dãy {f(a
n
)} là
một cấp số cộng.
Lời giải. Từ giả thiết, {a
n
} là một cấp số nhân ta có
a

0
a
1
=
a
1
a
2
= =
a
n−1
a
n
=
và vì vậy
a
2
n
= a
n−1
a
n+1
, a
n
> 0, ∀n ∈ N
∗
.
hay
f(a
n

) = f(
√
a
n−1
a
n+1
) =
f(a
n−1
)+f(a
n+1
)
2
, ∀n ∈ N
∗
.
Từ đó suy ra dãy {f (a
n
)} là một cấp số cộng.
Bài toán 1.25. Cho cấp số cộng {a
n
} và hàm số f : R → R
+
thỏa mãn điều kiện
f(
x + y
2
) =

f(x)f(y), ∀x, y ∈ R (1.22)

Chứng minh rằng dãy {f(a
n
)} là một cấp số nhân.