Bao hàm thức tựa biến phân kiểu stampacchia

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
MAI HẢI AN
BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN
KIỂU STAMPACCHIA
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN BÁ MINH
HÀ NỘI- 2013
Mục lục
Lời nói đầu 4
1 Một số tính chất của ánh xạ đa trị 7
1.1 Nón và các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia và ứng dụng 29
2.1 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia . . . . . . . . 29
2.1.1 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia dạng 1 29
2.1.2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia dạng 2 30
2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stam-
pacchia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân vô
hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu
Stampacchia dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu
Stampacchia dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Ứng dụng của bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia

vào một số bài toán tựa cân bằng và bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . 46
2.3.1 Các bài toán tựa cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.2 Ứng dụng của bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stam-
pacchia vào một số bài toán tựa cân bằng . . . . . . . . . . . . 47
1
2.3.3 Ứng dụng của bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stam-
pacchia vào bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Kết luận 52
Tài liệu tham khảo 54
2
Lời cảm ơn
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Bá
Minh, người thầy đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo, định hướng nghiên cứu cho tôi để hoàn
thành luận văn này. Qua đây, tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy
giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Giải tích trường Đại học Khoa
học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, những người đã giúp đỡ, giảng dạy và truyền
đạt kiến thức cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, do hạn chế về thời gian thực hiện nên luận văn không
thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được ý kiến đóng góp quý
báu của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2013
Mai Hải An
3
Lời nói đầu
Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh
tế, lý thuyết giá trị của Edgeworth từ năm 1881 và Pareto từ năm 1906. Cơ sở toán
học của lý thuyết này là những ánh xạ đơn trị cũng như đa trị có giá trị trong một
không gian có thứ tự thỏa mãn những tính chất nào đó đưa ra bởi Cantor và Hausdorff
vào cuối thế kỉ 19, đầu thế kỉ 20. Sau những công trình về điều kiện cần và đủ cho tối
ưu của Kuhn-Tucker, về giá trị cân bằng và tối ưu Pareto trong thập niên 50 thế kỉ

20, lý thuyết tối ưu đa mục tiêu mới thực sự được công nhận là một ngành Toán học
quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Ban đầu các nhà Toán học nghiên cứu những bài toán có liên quan tới ánh xạ đơn
trị trong không gian Euclide hữu hạn chiều mà thứ tự trong nó được sinh ra bởi nón
orthant dương. Sau đó mở rộng các bài toán trong không gian vô hạn chiều với nón
bất kì và những bài toán liên quan tới ánh xạ đa trị trong không gian vô hạn chiều.
Đầu thế kỉ 20 do nhu cầu phát triển của toán học và nhiều lĩnh vực khoa học khác,
những định nghĩa, tính chất của ánh xạ đơn trị dần dần được mở rộng cho ánh xạ đa
trị.
Đối với toán học, bài toán điểm cân bằng đơn trị, bài toán bất đẳng thức biến phân
được biết đến từ lâu, bởi các công trình của Arrow-Debreu, Nash Sau đó bài toán
được mở rộng sang đa trị và phát triển thành các bài toán cân bằng đa trị, tựa cân
bằng, bài toán tựa tối ưu tổng quát, bài toán bao hàm thức tựa biến phân
Đến nay, có nhiều nhà Toán học nghiên cứu về các bài toán này và đã có rất nhiều
công trình được công bố trên các tạp chí toán học có uy tín. Bài toán bao hàm thức
tựa biến phân có cách nhìn bao quát, thống nhất mối quan hệ giữa các bài toán khác
nhau trong lý thuyết tối ưu, do đó luận văn trình bày các bài toán bao hàm thức tựa
biến phân kiểu Stampacchia, đưa ra điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm của bài toán
4
này dựa trên kĩ thuật vô hướng hóa hàm đa trị thông qua các phiếm hàm g
ξ
và G
ξ
và
mối quan hệ của nó với các bài toán tựa cân bằng, bài toán tối ưu lý tưởng.
Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia dạng 1
Cho X,Y,Z là các không gian vectơ tôpô Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z là những tập
hợp con khác rỗng, C ⊂ Y là một nón. Xét các ánh xạ đa trị:S
i
: D → 2

D
; i = 1, 2,
T : D → 2
K
, F : K × D × D → 2
Y
. Tìm x ∈ D sao cho:
• x ∈ S
1
(x), F(y, x, x) ⊂ F (y, x, x)+C với mọi x ∈ S
2
(x), y ∈ T (x) (UQVIP1)
• x ∈ S
1
(x), F(y, x, x) ⊂ F (y, x, x)−C với mọi x ∈ S
2
(x), y ∈ T (x) (LQVIP1)
Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia dạng 2
Cho X,Y,Z là các không gian vectơ tôpô Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z là những tập
hợp con khác rỗng, C ⊂ Y là một nón. Xét các ánh xạ đa trị:S
i
: D → 2
D
; i = 1, 2,
T : D × D → 2
K
, F : K × D × D → 2
Y
. Tìm x ∈ D sao cho:
• x ∈ S

1
(x), F(y, x, x) ⊂ F (y, x, x)+C với mọi x ∈ S
2
(x), y ∈ T (x, x) (UQVIP2)
• x ∈ S
1
(x), F(y, x, x) ⊂ F (y, x, x)−C với mọi x ∈ S
2
(x), y ∈ T (x, x) (LQVIP2)
Luận văn được hoàn thành dựa trên cơ sở hai bài báo: " On the existence of solutions
of quasivariational inclusion problems of Stampacchia type" ([7]) và "On the existence
of solutions of quasi-equilibrium problems with constraints" ([8]) của các tác giả Minh
N. B. và Tan N.X Luận văn có cấu trúc gồm 2 chương như sau:
Chương 1. Một số tính chất của ánh xạ đa trị:
Chương này, luận văn trình bày một số khái niệm và tính chất của nón, điểm hữu
hiệu trong không gian tôpô tuyến tính, một số tính chất của ánh xạ đa trị từ một tập
con khác rỗng trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff vào không
gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, trình bày một số khái niệm mới về tính
liên tục, tính lồi (lõm) theo nón của ánh xạ đa trị, điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa
trị là C-liên tục trên (dưới)và mối liên hệ với tính C-liên tục trên (dưới). Tiếp theo,
luận văn mở rộng định lý Banach-Steihaus cho một họ các hàm lồi (lõm) trong không
5
gian thùng và dựa vào đó để xây dựng các điều kiện cần và đủ về tính C-liên tục trên
hoặc dưới của ánh xạ đa trị. Cuối chương, chúng ta đưa ra một số điều kiện liên hệ
giữa tính C-liên tục trên (dưới) trong trường hợp ánh xạ đa trị là lồi (lõm) theo nón
C. Một số các kết quả của chương này được sử dụng cho việc nghiên cứu và chỉ ra sự
tồn tại nghiệm của các bài toán ở Chương 2.
Chương 2. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia và ứng
dụng
Trong chương này, luận văn trình bày bài toán trong lý thuyết tối ưu vectơ đa trị

đó là các bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia, mỗi loại được phân
thành hai lớp trên, dưới khác nhau. Phần cuối, luận văn trình bày: các định lý về điều
kiện tồn tại nghiệm của bài toán (UQVIP); bài toán (LQVIP). Đồng thời, luận văn
cũng chỉ ra mối quan hệ giữa các bài toán bao hàm thức biến phân với các bài toán
tựa cân bằng lý tưởng trên, dưới, bài toán tựa cân bằng Pareto và điều kiện đủ về sự
tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu lý tưởng phụ thuộc tham số.
6
Chương 1
Một số tính chất của ánh xạ đa trị
Trong chương này, ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản như: nón, điểm hữu hiệu
của một tập hợp, tính liên tục, tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị. Mối quan hệ giữa
các tính chất đó cũng được trình bày trong chương này. Các kiến thức trong chương
này nhằm phục vụ cho các bài toán được xét ở chương sau.
1.1 Nón và các khái niệm
Định nghĩa 1.1.1. Cho Y là không gian tuyến tính và C ⊆ Y . Ta nói rằng C là nón
có đỉnh tại gốc trong Y nếu : tc ∈ C với ∀c ∈ C; t ≥ 0.
Nếu C là tập lồi thì C được gọi là nón lồi.
Cho Y là không gian tôpô tuyến tính, C là nón trong Y, chúng ta kí hiệu:
+ cl(C) là bao đóng của nón C.
+ int(C) là phần trong của nón C.
+ conv(C) là bao lồi của nón C.
+ l(C) = C ∩ (−C).
Ta thấy rằng l(C) là không gian con tuyến tính nhỏ nhất nằm trong C. Nó được gọi
là phần trong tuyến tính của nón C.
Định nghĩa 1.1.2. a. Nón C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = {0}.
b. Nón C được gọi là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn.
c. Nón C được gọi là nón đúng nếu cl(C) + C\l(C) ⊆ C.
7
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
Dễ thấy rằng, một nón lồi C là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng. Nếu C

là nón đóng thì C là nón đúng. Với nón C ⊆ Y cho trước, quan hệ thứ tự từng phần
trên Y được định nghĩa như sau:
x, y ∈ Y , x 
C
y nếu x − y ∈ C, kí hiệu x  y
Cho x, y ∈ Y , kí hiệu x > y nếu x − y ∈ C\l(C) và x  y nếu x − y ∈ int(C)
Như vậy, quan hệ thứ tự từng phần trên Y được định nghĩa như trên có các tính chất
phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Nếu C là nón lồi thì quan hệ thứ tự trên là tuyến
tính nên nó là quan hệ thứ tự từng phần trên Y.
Ví dụ 1.1.1. Ta thấy {0}; Y là các nón tầm thường trong Y, đồng thời l({0})={0};
l(Y )=Y .
Ví dụ 1.1.2. Cho Y = R
n
= {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) | x
j
∈ R, j = 1, 2, , n}
Lấy C = R
n
+
= {x = (x
1
, x
2
, , x

n
) ∈ R
n
| x
j
 0; j = 1, 2, , n}
Khi đó l(C) = {Θ = (0, 0, , 0)}, C lồi nên C là nón lồi, đóng, nhọn. Và quan hệ thứ
tự trên Y, x = (x
1
, x
2
, , x
n
); y = (y
1
, y
2
, , y
n
) x  y nếu x
i
 y
i
với ∀i = 1, 2, , n.
nón này được gọi là nón orthant dương trong R
n
.
Ví dụ 1.1.3. Nếu lấy Y = R
n
; C = R

n
+
= {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
| x
2
 0} thì C là
nón lồi, đóng nhưng không nhọn vì l(C) = {x = (x
1
, 0, x
3
, x
n
) ∈ R
n
} = {0}.
Ví dụ 1.1.4. Cho Y = l
p
= {x = (x
1
, x
2
, , ) |
∞


i=1
| x
i
|
p
< + ∞} với 1  p < +∞
Lấy C = {x ∈ l
p
| x
i
 0, i = 1, 2, } ta có l(C) = {0} thì C là nón lồi, nhọn.
Định nghĩa 1.1.3. Cho Y là không gian tuyến tính, C là nón trong Y. Tập B ⊆ Y
được gọi là tập sinh của nón C, kí hiệu C=cone(B)_bao nón lồi của B nếu: C = {tb :
b ∈ B, t  0}.
Nhận xét:
i) Nếu B không chứa điểm gốc, với mỗi c ∈ B, c = 0 đều tồn tại duy nhất
b ∈ B, t > 0 sao cho c = t.b thì B được gọi là cơ sở của nón C.
ii) Nếu B có hữu hạn phần tử thì tập C := cone(conv(B)) được gọi là nón đa
diện.
iii) Trong không gian hữu hạn chiều, một nón có cơ sở lồi, đóng, giới nội khi và
chỉ khi nó là đóng, nhọn.
8 MAI HẢI AN
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
iv) Trong trường hợp Y là không gian tôpô tuyến tính Hausdorff, một nón có cơ
sở lồi, đóng, giới nội là nón lồi, đóng, nhọn.
Mệnh đề sau cho ta tính chất quan trọng của một nón có cơ sở lồi, đóng, giới nội
trong không gian tuyến tính Y.
Mệnh đề 1.1.1 ([12], Ch1, Mệnh đề 18). Nếu C là nón có cơ sở lồi, đóng, giới
nội thì với mọi lân cận W của điểm gốc trong Y đều tồn tại lân cận V sao cho:

(V + C) ∩ (V − C) ⊆ W .
Định nghĩa 1.1.4. Cho nón C trong không gian tuyến tính Y, gọi Y
∗
là không gian
tôpô đối ngẫu của Y. Nón cực C

được định nghĩa như sau:
C

:= {ξ ∈ Y
∗
|< ξ, c >≥ 0 với ∀c ∈ C}.
Khi đó C

là nón lồi, đóng trong Y
∗
với tôpô yếu
∗
σ(Y, Y
∗
), hơn nữa nếu C là nón
sinh, tức là Y = C ∪ (−C) thì C

là nón nhọn.
Cho nón C, kí hiệu: C

+
:= {ξ ∈ Y
∗
|< ξ, c >> 0, c ∈ C\{0}} ta có điều kiện cần và

đủ để tập lồi B là cơ sở của nón C.
Mệnh đề 1.1.2. Trong không gian tôpô tuyến tính Hausdorff Y, một tập lồi B là cơ
sở của nón C khi và chỉ khi tồn tại ξ ∈ C

+
sao cho B = {c ∈ C |< ξ, c >= 1}.
Khi xây dựng một nón trong không gian tuyến tính tức là ta đã xây dựng một quan
hệ thứ tự trong không gian đó. Từ quan hệ thứ tự này, chúng ta đưa ra các khái niệm
hữu hiệu của một tập hợp trong không gian. Các khái niệm đó được định nghĩa như
sau:
Định nghĩa 1.1.5. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự được sinh bởi nón
lồi C, A là tập con khác rỗng của Y. Ta nói rằng:
i) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với nón C nếu
y − x ∈ C với mọi y ∈ A. Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C được
kí hiệu IMin(A | C) hoặc IMinA.
ii) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của tập A đối
với nón C nếu không tồn tại y ∈ A để x − y ∈ C\l(C). Tập các điểm hữu hiệu Pareto
của A đối với nón C được kí hiệu là PMin(A | C) hoặc Min(A | C) hoặc Min A.
9 MAI HẢI AN
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
iii) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu (khi int(C) = ∅; C = Y ) của tập A
đối với nón C, nếu x ∈ Min(A | {0} ∪ intC). Tức là x là điểm hữu hiệu của A theo
thứ tự sinh bởi nón C
0
= {0} ∪ intC. Tập các điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón C
được kí hiệu là WMin(A | C) hoặc WMinA.
iv) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu thực sự của tập A đối với nón C nếu tồn
tại nón lồi C
1
= Y và chứa C \ l(C) trong phần trong của nó để x ∈ P Min(A | C

1
).
Tập các điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C được kí hiệu PrMin(A | C) hoặc
PrMinA.
Khái niệm các điểm hữu hiệu theo nghĩa cực đại cũng được định nghĩa một cách
đối ngẫu và tập hợp các điểm ấy được kí hiệu là IMax; Max; WMax; PrMax.
Ví dụ 1.1.5. Trong R
2
lấy hai tập A và B như sau:
A = {(x, y) ∈ R
2
| x
2
+ y
2
 1, y  0} ∪ {(x, y) ∈ R
2
| x  0, y ∈ [−1, 0]}
B = A ∪ {−2, −2}
Xét quan hệ sinh bởi nón R
2
+
= {(x, y) ∈ R
2
| x  0, y  0}. Khi đó ta có:
IMinB = MinB = WMinB = PrMinB = {(−2, −2)}
MinA = {(x, y) ∈ R
2
| x
2

+ y
2
= 1; y < 0; x < 0} ∪ {(0, −1), (−1, 0)}
WMinA = MinA ∪ {(x, y) ∈ R
2
| y = −1, x  0}.
Ví dụ 1.1.6. Trong R
2
lấy hai tập A và B như sau:
A = {(x, y) ∈ R
2
| y ≥ x
2
− 1, x  0} ∩ {(x, y) ∈ R
2
| x ∈ [−1, 0]}
B = A ∪ {−1, −2}
Xét quan hệ sinh bởi nón R
2
+
= {(x, y) ∈ R
2
| x  0, y  0}. Khi đó ta có:
IMinB = MinB = WMinB = PrMinB = {(−1, −2)}
MinA = {(x, y) ∈ R
2
| y = x
2
− 1; y < 0; −1 ≤ x ≤ 0}
WMinA = MinA ∪ {(x, y) ∈ R

2
| x = −1, y > 0}.
Từ Định nghĩa 1.1.5 ta nhận thấy các khẳng định sau luôn đúng:
a) x ∈ MinA khi và chỉ khi A ∩ (x − C) ⊂ x + l(C).
b) x ∈ WMinA khi và chỉ khi A ∩ (x − intC) = ∅.
c) IMinA ⊂ PrMinA ⊆ MinA ⊆ W MinA.
Chúng ta thấy rằng các khái niệm về điểm hữu hiệu phụ thuộc chặt chẽ vào tính
chất của nón mà ta xét; nó là nền tảng của tối ưu đa mục tiêu.
10 MAI HẢI AN
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
1.2 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị
Cho X, Y là hai không gian tôpô Hausdorff. Một ánh xạ đa trị F : X → 2
Y
tương
ứng với mỗi phần tử x ∈ X cho một tập con của Y. Miền định nghĩa và đồ thị của ánh
xạ đa trị F được định nghĩa như sau:
domF = {x ∈ X | F (x) = ∅}
graphF = {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x); x ∈ domF }.
Trong trường hợp Y là không gian tôpô tuyến tính Hausdorff với nón C, ta định nghĩa
trên đồ thị của F như sau: epiF = {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x) + C; x ∈ domF }
+ F được gọi là Compact nếu F (D) là tập compact trong Y.
+ F được gọi là đóng theo nón C (C-đóng) nếu epiF là tập đóng trong
X × Y hay F (x) + C là tập đóng với ∀x ∈ domF .
+ Với nón C trong Y thì miền định nghĩa domF của ánh xạ đa tri F có thể
biểu diễn dưới dạng tương đương như sau: x ∈ domF ⇔ ∀ lân cận giới nội V của điểm
gốc trong Y, ∃ρ > 0 : F (x) ∩ (ρV − C) = ∅.
Thật vậy: +) Lấy x ∈ domF , theo định nghĩa F (x) = ∅ nên ∃y ∈ F(x) do đó với mọi
lân cận giới nội V của 0, ∃ρ > 0 : y ∈ ρV ⇒ F (x) ∩ ρV = ∅ ⇒ F (x) ∩ (ρV − C) = ∅
+) Nếu F(x) ∩ (ρV − C) = ∅ đối với ρ > 0 nào đó thì hiển nhiên F(x) = ∅
nên x ∈ domF.

Tiếp theo, chúng ta xem xét đến các khái niệm liên tục của ánh xạ đa trị theo nghĩa
của Berg và theo nón.
Định nghĩa 1.2.1. Cho X, Y là hai không gian tôpô Hausdorff, D ⊂ X, F : D → 2
Y
là ánh xạ đa trị, xét x
0
∈ X
+ F được gọi là nửa liên tục trên tại x
0
nếu với mọi tập mở V, F(x
0
) ⊂ V đều
tồn tại tập mở U của x
0
sao cho F(x) ⊂ V với ∀x ∈ U. F được gọi là nửa liên tục trên
trong D nếu nó là nửa liên tục trên tại mọi điểm x ∈ D.
+ F được gọi là nửa liên tục dưới tại x
0
nếu với mọi tập mở V, F(x
0
) ⊂ V đều
tồn tại tập mở U của x
0
sao cho F(x) ∩ V = ∅ với ∀x ∈ U. F được gọi là nửa liên tục
dưới trong D nếu nó là nửa liên tục dưới tại mọi điểm x ∈ D.
11 MAI HẢI AN
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
Trong trường hợp f : X → R là ánh xạ đơn trị thì f là nửa liên tục trên tại x
0
(tương ứng nửa liên tuc dưới) nếu ∀ε > 0 đều ∃U = U(x

0
) : f(x)  f (x
0
) + ε (tương
ứng f(x)  f(x
0
) − ε) với mọi x ∈ U.
Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương; D là tập con khác rỗng
trong X; C là nón trong Y và F : X → 2
Y
là ánh xạ đa trị. Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.2.2. a) F là C-liên tục trên (hoặc C-liên tục dưới) tại x
0
∈ D, nếu
với bất kì lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại lân cận U của x
0
trong X sao cho:
F (x) ⊂ F (x
0
) + V + C (hoặc F (x
0
) ⊂ F (x) + V − C) với mọi x ∈ U ∩ domF.
b) F là C-liên tục tại x
0
nếu F vừa là C-liên tục trên và C-liên tục dưới tại x
0
.
c) F là C-liên tục trên, C-liên tục dưới hoặc C-liên tục trong D nếu nó là C-liên
tục trên, C-liên tục dưới hoặc C-liên tục tại mọi x ∈ D.
d) F là C-liên tục trên yếu (C-liên tục dưới yếu) tại x

0
nếu lân cận U của x
0
trong định nghĩa ở trên là lân cận trong tôpô yếu của X.
Nhận xét:
a) Nếu nón C = {0} và F (x
0
) là Compact thì định nghĩa (1.2.2a) ở trên
đồng nhất với định nghĩa về tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới của Berg. Trong
trường hợp Y là không gian định chuẩn và F vừa là {0}-liên tục trên và {0}-liên tục
dưới tại x
0
thì F liên tục tại x
0
theo khoảng cách Hausdorff.
b) nếu F là ánh xạ đơn trị thì tính C-liên tục trên và C-liên tục dưới của F
là một và lúc đó gọi là C-liên tục.
c) Lấy Y = R; C = R
+
= {x ∈ R | x ≥ 0}; F là ánh xạ đơn trị C-liên tục
tại x
0
ta sẽ có F nửa liên tục dưới tại x
0
theo nghĩa thông thường của Berg, còn khi
lấy C = R
−
= {x ∈ R | x ≤ 0} thì F là nửa liên tục trên tại x
0
d) Một ánh xạ đa trị F là C-liên tục trên tại x

0
nếu F(x) không giãn ra quá
nhiều so với F (x
0
) + C khi x gần x
0
, khi F là C-liên tục dưới tại x
0
nếu F(x) không
co lại quá nhỏ so với F(x
0
) + C khi x gần x
0
do đó hai khái niệm C-liên tục trên và
C-liên tục dưới của ánh xạ đa trị F là hoàn toàn khác nhau.
Các mệnh đề sau cho ta các điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là liên tục
theo nón.
12 MAI HẢI AN
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
Mệnh đề 1.2.1. a) Nếu F (x
0
) là tập compact trong Y, điều kiện cần và đủ để F là
C-liên tục trên tại x
0
là với mọi tập mở G mà F (x
0
) ⊂ G + C đều tồn tại lân cận U
của x
0
sao cho: F (x) ⊂ G + C với mọi x ∈ U ∩ domF.

b) Nếu F (x
0
) là tập Compact trong Y, điều kiện cần và đủ để F là C-
liên tục dưới tại x
0
là với mọi lân cận V của y, đều tồn tại lân cận U của x
0
sao cho
F (x)∩(V +C) = ∅ với mọi x ∈ U ∩domF. Điều này cũng tương đương với: với mọi tập
mở G; F (x
0
) ∩ (V + C) = ∅ đều tồn tại lân cận U của x
0
sao cho: F (x) ∩ (G + C) = ∅
với mọi x ∈ U ∩ domF .
Chứng minh. a) *)Điều kiện cần: Giả sử F là C-liên tục trên tại x
0
ta cần chứng
minh với mọi tập mở G mà F (x
0
) ⊂ G + C đều tồn tại lân cận U của x
0
sao cho:
F (x) ⊂ G + C với mọi x ∈ U ∩ domF. Thật vậy, lấy tập mở G mà F(x
0
) ⊂ G + C.
Do F (x
0
) là compact nên tồn tại lân cận V
0

= V
0
(0) ⊂ Y sao cho F (x
0
) + V
0
⊂ G + C.
Với V = V(0) là lân cận bất kì của 0 trong Y, ta cũng có V ∩ V
0
cũng là lân cận của
0. Do F là C-liên tục trên, theo định nghĩa sẽ tồn tại lân cận U của x
0
sao cho:
F (x) ⊂ F (x
0
) + V ∩ V
0
+ C với mọi x ∈ U ∩ domF
⇒ F (x) ⊂ F (x
0
) + V
0
+ C ⊂ G + C + C = G + C với mọi x ∈ U ∩ domF.
*)Điều kiện đủ: Lấy V là lân cận bất kì của điểm gốc trong Y. Không giảm tổng quát
có thể giả thiết V mở. Đặt G = F (x
0
) + V ⇒ G mở và F(x
0
) ⊂ G + C. Theo giả thiết
đã cho tồn tại lân cận U = U(x

0
) sao cho: F (x) ⊂ G + C với mọi x ∈ U ∩ domF hay
F (x) ⊂ F (x
0
) + V + C với mọi x ∈ U ∩ domF. Do đó F là C-liên tục trên tại x
0
.
b)*)Điều kiện cần: Giả sử F là C-liên tục dưới tại x
0
, ta cần chứng minh với
mọi y ∈ F(x
0
) và với mọi lân cận V của y, đều tồn tại lân cận U của x
0
sao cho:
F (x) ∩ (V + C) = ∅ với mọi x ∈ U ∩ domF.
Thật vậy: lấy y ∈ F(x
0
) và V là lân cận của y trong Y. Đặt W = V −y ⇒ W là lân cận
của 0 trong Y. Do F là C-liên tục dưới tại x
0
nên tồn tại lân cận U = U(x
0
) sao cho:
F (x
0
) ⊂ F (x) + W − C với mọi x ∈ U ∩ domF . Do y ∈ F (x
0
) ⇒ y ∈ F (x) + W − C
⇒ y = y

∗
+ w − c với y
∗
∈ F (x); w ∈ W ; c ∈ C ⇒ y ∈ F(x) ∩ {y + W + C}
⇒ F (x) ∩ {y + W + C} = ∅ ⇒ F (x) ∩ (V + C) = ∅ với mọi x ∈ U ∩ domF.
*) Điều kiện đủ: Lấy V là lân cận bất kì của O trong Y, ta có:
F (x
0
) ⊂

y∈F (x
0
)
{y +
V
2
}
Do F (x
0
) là Compact nên tồn tại phủ mở hữu hạn của F (x
0
) hay tồn tại số tự nhiên
13 MAI HẢI AN
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
n để F (x
0
) ⊂
n

i=1

{y
i
+
V
2
} với y
i
∈ F (x
0
); i = 1, n. Mặt khác, {y
i
+
V
2
} là lân cận của
y
i
nên theo giả thiết đã cho, tồn tại lân cận U
i
của x
0
sao cho
F (x) ∩ {y
i
+
V
2
+ C} = ∅ với mọi x ∈ U
i
∩ domF .

Đặt U =
n

i=1
U
i
thì U là lân cận của x
0
, đồng thời
F (x) ∩ {y
i
+
V
2
+ C} = ∅ với mọi x ∈ U ∩ domF .
Lấy y
0
∈ F (x
0
) bất kì thì tồn tại i
0
: y
0
∈ y
i
0
+
V
2
⇒ y

0
= y
i
0
+ v
0
với v
0
∈
V
2
Do F (x) ∩ {y
i
0
+
V
2
+ C} = ∅ nên tồn tại y ∈ F (x) và y ∈ y
i
0
+
V
2
⇒ y = y
i
0
+ v + c
với v ∈
V
2

; c ∈ C nên y
0
= y
i
0
+ v = y + (v
0
− v) − c ⇒ y
0
∈ F (x) + V − C với mọi
x ∈ U ∩ domF . Vì y
0
∈ F (x
0
) bất kì ⇒ F(x
0
) ∈ F (x) + V − C với mọi x ∈ U ∩ domF
Vậy F là C-liên tục dưới.
*) Chúng ta chứng minh mệnh đề tương đương của (b)
+) Lấy G là tập mở sao cho F(x
0
)∩(G+C) = ∅, nên tồn tại y
0
∈ F (x
0
); y
0
= y
1
+c

với y
1
∈ G; c ∈ C. Do G mở nên tồn tại lân cận V của 0 sao cho {y
1
+ V } ⊂ G
⇒ y
1
+ c + V ⊂ G + C hay y
0
+ V ⊂ G + C. Mặt khác {y
0
+ V } cũng là lân cận của
y
0
nên theo giả thiết, tồn tại lân cận U = U(x
0
) sao cho:
F (x) ∩ {y
0
+ V + C} = ∅ vói mọi x ∈ U ∩ domF .
vì {y
0
+ V + C} ⊂ (G + C) nên F (x) ∩ (G + C) = ∅ với mọi x ∈ U ∩ domF.
Ngược lại, lấy y
0
∈ F (x
0
) và V là lân cận mở của y
0
. Do F(x

0
) ∩ (V + C) = ∅ nên theo
giả thiết sẽ tồn tại lân cận U của x
0
để F(x) ∩ (V + C) = ∅ với mọi x ∈ U ∩ domF .
Do đó F là C-liên tục dưới. Vậy mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.2.2. Cho F : D → 2
Y
; C ⊂ Y là nón lồi đóng. Khi đó:
a) Nếu F là C_liên tục trên tại x
0
∈ domF và F (x
0
) + C là tập đóng, với mọi
dãy suy rộng x
β
→ x
0
, y
β
∈ F (x
β
) + C, y
β
→ y
0
thì y
0
∈ F (x
0

) + C. Ngược lại, nếu
F là ánh xạ compact và với mọi dãy suy rộng x
β
→ x
0
, y
β
∈ F (x
β
) + C, y
β
→ y
0
đều
suy ra y
0
∈ F (x
0
) + C thì F là C-liên tục trên tại x
0
.
b) Nếu F là compact và C-liên tục dưới tại x
0
∈ domF thì với mọi dãy suy rộng
x
β
→ x
0
; y
0

∈ F(x
0
) + C đều tồn tại dãy suy rộng {y
β
}; y
β
∈ F(x
β
) có dãy suy rộng
con {y
β
λ
} để (y
β
λ
− y
0
) → c ∈ C (hay y
β
λ
→ y
0
+ c ∈ y
0
+ C). Ngược lại, nếu F (x
0
)
là tập Compact và với mọi dãy suy rộng x
β
→ x

0
, y
0
∈ F (x
0
) + C đều tồn tại dãy suy
14 MAI HẢI AN
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
rộng {y
β
}; y
β
∈ F (x
β
) có dãy suy rộng con {y
β
λ
} để (y
β
λ
− y
0
) → c ∈ C thì F là C-liên
tục dưới tại x
0
.
Chứng minh. a)+) Giả sử F là C-liên tục trên tại x
0
∈ domF , x
β

→ x
0
, y
β
∈ F (x
β
)+C,
y
β
→ y
0
. Ta cần chứng minh y
0
∈ F (x
0
) + C. Lấy V là lân cận lồi đóng tùy ý của 0
trong Y, khi đó tồn tại β
0
để F (x
β
) ∈ F (x
0
) +
V
2
+ C và (y
β
− y
0
) ∈

V
2
với mọi β ≥ β
0
,
do đó y
0
= (y
0
− y
β
) + y
β
∈
V
2
+ F(x
β
) + C ⇒ y
0
∈
V
2
+ F(x
0
) +
V
2
+ C + C
⇒ y

0
∈ F (x
0
) +
V
2
+ C. Vì V là lân cận lồi đóng tùy ý của 0 trong Y và F (x
0
) + C
đóng nên y
0
∈ F (x
0
) + C.
+) Ngược lại, nếu F là compact và với mọi dãy suy rộng x
β
→ x
0
, y
β
∈ F (x
β
)+C,
y
β
→ y
0
đều suy ra y
0
∈ F (x

0
)+C, ta cần chứng minh F là C-liên tục trên tại x
0
. Phản
chứng rằng F không là C-liên tục trên tại x
0
, khi đó tồn tại lân cận V của 0 trong Y
sao cho với mọi lân cận U
β
của x
0
ta đều tìm được x
β
∈ U
β
để F (x
β
) ⊂ F (x
0
) + V + C
Lấy y
β
∈ F (x
β
) mà y
β
∈ F (x
0
) + V + C (1).
Lại do F (D) là tập compact, không giảm tính tổng quát giả sử y

β
→ y
0
⇒ y
0
∈
F (x
0
) + C. Mặt khác, tồn tại β
0
≥ 0 để y
β
− y
0
∈ V với mọi β ≥ β
0
⇒ y
β
∈ y
0
+ V ⊂ (F (x
0
) + V + C) với mọi β ≥ β
0
. Điều này mâu thuẫn với (1).
Vậy F là C-liên tục trên tại x
0
.
b) +) Giả sử F là compact và C-liên tục dưới tại x
0

∈ domF và y
0
∈ F (x
0
)
cần chứng minh mọi dãy suy rộng {y
β
}; y
β
∈ F (x
β
) đều có dãy suy rộng con {y
β
λ
}
thỏa mãn y
β
λ
∈ F(x
β
λ
) mà (y
β
λ
− y
0
) → c ∈ C (hay y
β
λ
→ y

0
+ c ∈ y
0
+ C). Do
F là compact và C-liên tục dưới tại x
0
, với lân cận V của 0 trong Y, tồn tại lân cận
U = U(x
0
) : F (x
0
) ⊂ F (x) + V − C với mọi x ∈ U ∩ domF. Do x
β
→ x
0
nên tồn tại
β
0
≥ 0 : x
β
∈ U và F (x
0
) ⊂ F (x
β
) + V − C với mọi β ≥ β
0
. Với y
0
∈ F (x
0

) ⇒ y
0
∈ F (x
β
) + U − C ⇒ y
0
= y
β
+ v
β
- c
β
trong đó y
β
∈ F (x
β
) ⊂ F (D); v
β
∈ V ; c
β
∈ C.
Vì F là ánh xạ compact nên F(D) là tập compact, vì thế ta có thể chọn y
β
λ
→ y
∗
; v
β
λ
→ 0 ⇒ c

β
λ
= (y
β
λ
+ v
β
λ
− y
0
) → (y
∗
− y
0
) ∈ C hay y
β
λ
→ y
∗
∈ y
0
+ C.
+) Giả sử F (x
0
) là tập compact và với mọi dãy suy rộng x
β
→ x
0
, y
0

∈ F (x
0
)+C
đều tồn tại dãy suy rộng {y
β
}; y
β
∈ F (x
β
) có dãy suy rộng con {y
β
λ
} hội tụ trong
y
0
+C tức là y
β
λ
→ y
0
+ c ∈ y
0
+C. Ta sẽ chứng minh F là C-liên tục dưới tại x
0
. Thật
vậy, giả sử F không là C-liên tục dưới tại x
0
, khi đó, tồn tại lân cận V của O trong Y
15 MAI HẢI AN
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ

sao cho với mọi lân cận U
β
của x
0
đều tìm được x
β
∈ U
β
để: F (x
0
) ⊂ F (x
β
) + V − C
Chọn z
β
∈ F(x
0
) và z
β
∈ F(x
β
) + V − C (3). Do F(x
0
) là tập Compact, không giảm
tổng quát có thể giả thiết z
β
→ z
0
∈ F (x
0

) ⇒ z
β
→ z
0
∈ F (x
0
) + C, đồng thời ta cũng
có thể giả thiết x
β
→ x
0
nên tồn tại dãy suy rộng {y
β
}; y
β
∈ F (x
β
) có dãy suy rộng
con {y
β
λ
}; (y
β
λ
- z
0
) → c ∈ C. Giả sử rằng y
β
→ y
∗

∈ z
0
+ C, do đó tồn tại β
1
≥ 0 để
z
β
∈ z
0
+
V
2
; y
β
∈ y
∗
+
V
2
và z
0
∈ y
β
+
V
2
− C với mọi β ≥ β
1
⇒ z
β

∈ y
β
+
V
2
+
V
2
− C ⊂ F (x
β
) + V − C với mọi β ≥ β
1
. Điều này mâu thuẫn với
(3). Vậy F là Cliên tục dưới tại x
0
.
Để nghiên cứu tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị, chúng ta cũng có thể sử
dụng phép vô hướng hóa hàm đa trị. Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính, lồi
địa phương.
Định nghĩa 1.2.3. Xét hàm đa trị F : D → 2
Y
trong đó D ⊂ X. Với mỗi ξ ∈ C

chúng ta định nghĩa các hàm: g
ξ
, G
ξ
: D → R như sau:
g
ξ

= inf
y∈F (x)
< ξ, y >
G
ξ
= sup
y∈F (x)
< ξ, y > với x ∈ D.
Mối liên hệ giữa tính C-liên tục trên (dưới) của ánh xạ đa trị F với tính nửa liên
tục trên (dưới) của các hàm g
ξ
, G
ξ
được thể hiện bởi các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2.3. a) Nếu F là C-liên tục trên (hoặc dưới) tại x
0
∈ domF thì với mỗi
ξ ∈ C

cố định thì g
ξ
(tương ứng G
ξ
) là hàm số nửa liên tục dưới tại x
0
.
b) Nếu F là (-C)-liên tục trên (hoặc dưới) tại x
0
∈ domF thì với mỗi ξ ∈ C


cố
định thì G
ξ
(tương ứng g
ξ
) là hàm số nửa liên tục trên tại x
0
.
Chứng minh. a) Chứng minh g
ξ
là nửa liên tục dưới.
Lấy ε > 0 bất kì. Do ξ ∈ C

là phiếm hàm tuyến tính liên tục từ Y vào R nên tồn tại
lân cận V của 0 trong Y sao cho: ξ(v) ⊂ (−ε, ε); ∀x ∈ V . Do F là C-liên tục trên tại
x
0
nên với lân cận V, tồn tại lân cận U = U (x
0
) sao cho:
F (x) ⊂ F (x
0
) + V + C đúng với mọi x ∈ U ∩ domF
16 MAI HẢI AN
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
Từ đó, ta có inf
y∈F (x)
< ξ, y >≥ inf
y∈F (x
0

)+C+V
< ξ, y >≥
≥ inf
y∈F (x
0
)
< ξ, y > + inf
v∈V
< ξ, v > + inf
c∈C
< ξ, c >
Do −ε < ξ(v) < ε với ∀v ∈ V nên inf
v∈V
< ξ, v >> −ε, vì ξ ∈ C

nên inf
c∈C
< ξ, c >= 0.
do đó: g
ξ
(x) ≥ g
ξ
(x
0
) − ε với mọi x ∈ U ∩ domF
Vậy g
ξ
là nửa liên tục dưới.
Tương tự, do F là C-liên tục dưới tại x
0

∈ domF nên tồn tại lân cận V của 0 trong Y
sao cho: ξ(v) ⊂ (−ε, ε).∀x ∈ V . Do F là C-liên tục trên tại x
0
nên với lân cận V, tồn
tại lân cận U = U(x
0
) sao cho
F (x
0
) ⊂ F (x) + V − C đúng với mọi x ∈ U ∩ domF
Từ đó, ta có: sup
y∈F (x
0
)
< ξ, y > ≤ sup
y∈F (x)+C+V
< ξ, y >
≤ sup
y∈F (x)
< ξ, y > + sup
v∈V
< ξ, v > + sup
c∈(−C)
< ξ, c >
Do −ε < ξ(v) < ε với ∀v ∈ V nên suy ra sup
v∈V
< ξ, v >< ε, mà ξ ∈ C

nên
sup

c∈(−C)
< ξ, c >= 0, do đó
G
ξ
(x
0
) ≤ G
ξ
(x) + ε với mọi x ∈ U ∩ domF
Vậy G
ξ
là nửa liên tục dưới.
b) Chứng minh G
ξ
là nửa liên tục trên tại x
0
.
Lấy ε > 0 bất kì. Do ξ ∈ C

là phiếm hàm tuyến tính liên tục từ Y vào R nên tồn tại
lân cận V của 0 trong Y sao cho: ξ(v) ⊂ (−ε, ε); ∀x ∈ V . Do F là (-C)-liên tục trên tại
x
0
nên với lân cận V, tồn tại lân cận U = U (x
0
) sao cho
F (x) ⊂ F (x
0
) + V − C đúng với mọi x ∈ U ∩ domF.
Từ đó, ta có sup

y∈F (x)
< ξ, y >≤ sup
y∈F (x
0
)+V −C
< ξ, y >≤
≤ sup
y∈F (x
0
)
< ξ, y > + sup
v∈V
< ξ, v > + sup
c∈(−C)
< ξ, c >
Do −ε < ξ(v) < ε với ∀v ∈ V nên sup
v∈V
< ξ, v >< ε, vì ξ ∈ C

nên sup
c∈(−C)
< ξ, c >= 0.
do đó: G
ξ
(x) ≤ G
ξ
(x
0
) + ε với mọi x ∈ U ∩ domF .
Vậy G

ξ
là nửa liên tục trên tại x
0
.
17 MAI HẢI AN
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
Phần tiếp theo, luận văn trình bày Định lý Banach-Steinhaus mở rộng (xem trong
[14])cho một họ các hàm lồi (hoặc lõm) là nửa liên tục đồng bậc, sau đó ta sử dụng
định lý này để tìm điều kiện cần và đủ về tính C-liên tục trên hoặc dưới của các ánh
xạ đa trị F. Tính nửa liên tục đồng bậc của một họ các hàm vô hướng được định nghĩa
như sau:
Định nghĩa 1.2.4. Cho X là không gian tôpô tuyến tính, lồi địa phương, D ⊂ X là
tập khác rỗng và I là tập các chỉ số. Họ hàm số {f
α
: D → R, α ∈ I} được gọi là nửa
liên tục trên (hoặc nửa liên tục dưới) đồng bậc tại x
0
∈ D nếu với ∀ε > 0 tồn tại lân
cận U của x
0
trong X sao cho
f
α
(x) ≤ f
α
(x
0
) + ε
(tương ứng f
α

(x) ≥ f
α
(x
0
) − ε với ∀x ∈ U ∩ D, α ∈ I)
Định lý Banach-Steinhaus được mở rộng cho lớp các hàm lồi (lõm) trong không
gian thùng và chú ý rằng, một không gian tuyến tính, lồi địa phương Hausdorff mà
mọi tập lồi, đóng, khác rỗng, cân đối và hấp thụ dều là lân cận của 0 thì được gọi là
không gian thùng.
Định lý 1.2.1. Cho X là không gian thùng, I là tập chỉ số khác rỗng và f
α
: X →
R, α ∈ I là các hàm lồi và nửa liên tục dưới trong lân cận U
0
của x
0
∈ domf
α
với mọi
α ∈ I. Giả sử rằng với mỗi x ∈ X đều tồn tại λ > 0 sao cho f
λ
(x) ≤ λ, ∀α ∈ I. Khi
đó họ {f
α
, α ∈ I} là nửa liên tục trên đồng bậc tại x
0
.
Chứng minh. Đặt f
α
(x) = f

α
(x + x
0
) − f(x
0
) ⇒ f
α
(0) = 0
Ta thấy, f
α
(x) liên tục tại x
0
⇔ f
α
(x) liên tục tại 0, do đó ta có thể giả sử rằng
f
α
(0) = 0, với ∀α ∈ I và chỉ cần xét tính nửa liên tục trên đồng bậc của họ {f
α
, α ∈ I}
tại 0. Với ∀ε > 0, đặt A
α
= {x ∈ X : f
α
(x) ≤ ε} là tập mức của f
α
. Do f
α
là lồi và nửa
liên tục dưới nên A

α
là tập lồi đóng. Do 0 ∈ A
α
nên A
α
= ∅, không giảm tổng quát,
ta có thể giả sử rằng U
0
là lân cận lồi, đóng, cân đối, hấp thụ của 0 trong X, như thế
U
0
∩ A
α
là tập lồi, đóng với mọi α ∈ I. Đặt U =

α∈I
U
0
∩ A
α
∩ (−A
α
). Khi đó U là tâp
lồi, đóng, cân đối và khác rỗng. Ta chứng minh U là tập hấp thụ. Thật vậy, lấy x ∈ X
bất kì, theo giả thiết ∃λ > 0 : f
λ
(x) ≤ λf
λ
(−x) ≤ λ, ∀α ∈ I. Lấy λ > ε, do
18 MAI HẢI AN

CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
f
λ
(
ε
λ
x) = f
λ
(
ε
λ
x + (1 − λ
ε
λ
).0) ≤
ε
λ
f
α
(x) + (1 −
ε
λ
).f
α
(0) =
ε
λ
f
α
(x) ≤

ε
λ
.λ = ε
⇒
ε
λ
x ∈ A
α
. Vì U
0
là hấp thụ nên với x ∈ X tồn tại p > 0 sao cho
ε
p
x ∈ U
0
. Lấy
λ
0
= max{λ, p} ⇒
ε.x
λ
0
∈ U
0
∩ A
α
, ∀α ∈ I. Tương tự ta cũng có −
ε.x
λ
0

∈ U
0
∩ A
α
hay
ε.x
λ
0
∈ U
0
∩ (−A
α
) với ∀α ∈ I do đó
ε.x
λ
0
∈ U ⇒ U là tập hấp thụ. Do X là không gian
thùng nên U là lân cận của 0 trong X. Với x ∈ U thì f
α
(x) ≤ ε = f
α
(0) + ε, ∀α ∈ I,
hay {f
α
, α ∈ I} là nửa liên tục trên đồng bậc tại 0.
Hệ quả 1.2.1. Giả sử X là không gian thùng, f : X → R là hàm lồi và nửa liên tục
dưới trong lân cận U
0
của x
0

∈ domf = X. Khi ấy f là liên tục tại x
0
.
Chứng minh. Trong Định lý 1.2.1 chúng ta chọn I = {1} thì f là nửa liên tục trên tại
x
0
, suy ra f là liên tục tại x
0
.
Định lý 1.2.2. Cho X là không gian thùng, I là tập các chỉ số khác rỗng và f
α
: X →
R, α ∈ I là các hàm lõm và nửa liên tục trên trong lân cận U
0
của x
0
∈ domf
α
, ∀α ∈ I.
Nếu với x ∈ X tồn tại λ > 0 sao cho f
α
(x) ≥ −λ, ∀α ∈ I thì họ {f
α
(x), ∀α ∈ I} là
nửa liên tục dưới đồng bậc tại x
0
.
Chứng minh. Trong Định lý 1.2.1 ta thay f
α
= −f

α
, do f
α
là hàm lõm, nửa lên tục
trên nên −f
α
là hàm lồi và nửa liên tục dưới, do đó họ {−f
α
(x), ∀α ∈ I} là nửa liên tục
trên đồng bậc tại x
0
hay họ {f
α
(x), ∀α ∈ I} là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x
0
.
Hệ quả 1.2.2. Giả sử X là không gian thùng, f : X → R là hàm lõm và nửa liên tục
trên trong lân cận U
0
của x
0
∈ domf = X và giả thiết f(x) > −∞ với ∀x ∈ X Khi ấy
f là liên tục tại x
0
.
Chứng minh. Hệ quả (1.2.2) được chứng minh trực tiếp từ Định lý 1.2.2 với I = {1}
Tiếp theo, luận văn trình bày điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là C-liên
tục trên (hoặc C-liên tục dưới). Trong không gian Banach thì họ các phiếm hàm tuyến
tính {ξ ∈ C


| ξ = 1} là liên tục đồng bậc. Sử dụng tính chất này và định lý Banach-
Steinhauss mở rộng ở trên, các điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa trị liên tục theo nón
được thể hiện thông qua tính nửa liên tục đồng bậc của họ các hàm vô hướng g
ξ
, G
ξ
.
Chúng ta cũng luôn giả thiết rằng X là không gian lồi địa phương, Y là không gian
Banach, D ⊂ X là tập lồi, đóng, khác rỗng và C là nón lồi trong Y.
19 MAI HẢI AN
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
Định lý 1.2.3. Giả sử F : D → 2
Y
và x ∈ domF với F (x
0
) + C là tập lồi. Khi đó F
là C-liên tục trên tại x
0
nếu và chỉ nếu họ {g
ξ
| ξ ∈ C

, ξ = 1} là nửa liên tục dưới
đồng bậc tại x
0
.
Chứng minh. (i) Điều kiện cần: Giả sử F là C-liên tục trên tại x
0
nên cần chứng minh
họ {g

ξ
| ξ ∈ C

, ξ = 1} là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x
0
. Thật vậy, do F là C-liên
tục trên tại x
0
nên theo định lý Banach-Steinhauss thì họ {ξ ∈ C

, ξ = 1} là liên
tục đồng bậc tại 0, do đó với ∀ε > 0 cho trước tồn tại lân cận V của 0 trong Y để
ξ(y) ⊂ (−ε, ε) với ∀y ∈ V, ξ ∈ C

, ξ = 1, đồng thời cũng tồn tại lân cận U của x
0
sao
cho F (x) ⊂ F (x
0
) + V + C với mọi x ∈ U ∩ D nên:
g
ξ
(x) = inf
y∈F (x)
< ξ, y >≥ inf
y∈F (x
0
)+V +C
< ξ, y >≥
≥ inf

y∈F (x
0
)
< ξ, y > + inf
v∈V
< ξ, y > + inf
c∈C
< ξ, y >≥
≥ inf
y∈F (x
0
)
< ξ, y > −ε
≥ g
ξ
(x
0
) với ∀x ∈ U ∩ D, ξ ∈ C

, ξ = 1
Vậy họ {g
ξ
| ξ ∈ C

, ξ = 1} là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x
0
.
(ii) Điều kiện đủ: Giả sử họ {g
ξ
| ξ ∈ C


, ξ = 1} là nửa liên tục dưới đồng bậc
tại x
0
, cần chứng minh F là C-liên tục trên tại x
0
. Thật vậy giả sử F không là C-liên
tục trên tại x
0
, khi đó tồn tại lân cận lồi V của 0 trong Y để có thể tìm được dãy {x
α
}
trong D với Limx
α
= x
0
và F (x
α
) ⊂ F (x
0
) + V + C.
Lấy y
α
∈ F (x
α
) với y
α
∈ cl(F (x
0
) + V + C) ⇒ y

α
∈ F (x
0
) + V + C
Do (F (x
0
) + V +C) lồi nên cl(F (x
0
) + V +C) cũng là tập lồi, đóng. Theo định lý tách,
tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục ξ
α
trong không gian đối ngẫu Y
∗
mà ξ
α
 = 1
sao cho
ξ
α
(y
α
) < ξ
α
(y) với ∀y ∈ F (x
0
) +
V
2
+ C (1)
(+)Ta cần chứng minh ξ

α
∈ C

, ∀α. Thật vậy giả sử tồn tại α
0
nào đó mà ξ
α
0
∈ C

.
Theo định lý tách tồn tại y
0
∈ C để ξ
α
0
(y
0
) < 0 Do C là nón lồi nên λy
0
∈ C, ∀λ > 0.
Do y ∈ F (x
0
) +
V
2
+ C ⇒ y = z
α
0
+ v

α
0
+ λy
0
với z
α
0
∈ F (
0
); v
α
0
∈
V
2
, y
0
∈ C
20 MAI HẢI AN
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
⇒ ξ
α
0
(y
α
) < ξ
α
0
(z
α

0
+ v
α
0
+ λy
0
) = ξ
α
0
(z
α
0
) + ξ
α
0
(v
α
0
) + λξ
α
0
(y
0
) với ∀λ > 0.
Cho λ → +∞ ⇒ λξ
α
0
(y
0
) → −∞ ⇒ ξ

α
0
(y
α
) < −∞. Điều này vô lý, do đó ξ
α
∈ C

(+) Theo định nghĩa của infimum, với δ > 0, ∃y
α
∈ F (x
0
); v
α
∈
V
2
; c
α
∈ C sao cho:
inf
y∈F (x
0
)
< ξ
α
, y >≥< ξ
α
, y
α

> −
δ
3
inf
v∈
V
2
< ξ
α
, v >≥< ξ
α
, v
α
> −
δ
3
inf
c∈C
< ξ
α
, c >≥< ξ
α
, c
α
> −
δ
3
Ta có z
α
= y

α
+ v
α
+ c
α
nên theo (1) ta có:
ξ
α
(y
α
) < ξ
α
(z
α
) =< ξ
α
, y
α
> + < ξ
α
, y
α
> + < ξ
α
, c
α
> <
< inf
y∈F (x
0

)
< ξ
α
, y > + inf
v∈
V
2
< ξ
α
, v > + inf
c∈C
< ξ
α
, c > +δ
Do y
α
∈ F (x
α
), nên g
ξ
α
(x
α
) = inf
y∈F (x
α
)
< ξ
α
, y >≤< ξ

α
, y
α
>. Do đó:
g
ξ
α
(x
α
) < g
ξ
α
(x
0
) + inf
v∈
V
2
< ξ
α
, v > +δ với ∀α (2)
Mặt khác họ {ξ
α
| ξ
α
∈ C

, ξ
α
 = 1} là liên tục đồng bậc nên:

δ
0
= sup
α
inf
v∈
V
2
< ξ
α
, v >< 0
Từ (2) ta có: g
ξ
α
(x
α
) < g
ξ
α
(x
0
) + δ
0
+ δ với mọi α. Vì δ > 0 tùy ý nên:
g
ξ
α
(x
α
) < g

ξ
α
(x
0
) + δ
0
Lấy ε = −δ
0
> 0 ta được : g
ξ
α
(x
α
) < g
ξ
α
(x
0
) − ε với mọi α
Điều này mâu thuẫn với tính liên tục dưới đồng bậc của họ {g
ξ
| ξ ∈ C

, ξ = 1}. Vậy
F là C-liên tục trên tại x
0
. Do đó định lý được chứng minh.
21 MAI HẢI AN
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
Các định lý sau cũng được chứng minh tương tự Định lý 1.2.3.

Định lý 1.2.4. Cho F : D → 2
Y
là ánh xạ đa trị, F(x) − C là tập lồi với mọi x ∈ D.
Khi đó F là C-liên tục dưới tại x
0
nếu và chỉ nếu họ {G
ξ
| ξ ∈ C

, ξ = 1} là nửa
liên tục dưới đồng bậc tại x
0
.
Định lý 1.2.5. Cho F : D → 2
Y
là ánh xạ đa trị và x
0
∈ domF với F (x) − C là tập
lồi. Khi đó F là (−C)-liên tục trên tại x
0
nếu và chỉ nếu họ {G
ξ
| ξ ∈ C

, ξ = 1} là
nửa liên tục trên đồng bậc tại x
0
.
Định lý 1.2.6. Cho F : D → 2
Y

là ánh xạ đa trị, F(x) + C với mọi x ∈ D là tập lồi.
Khi đó F là (−C)-liên tục dưới tại x
0
nếu và chỉ nếu họ {g
ξ
| ξ ∈ C

, ξ = 1} là nửa
liên tục trên đồng bậc tại x
0
.
1.3 Tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị
Cho X,Y là hai không gian tôpô tuyến tính, D ⊂ X là tập lồi và C là nón lồi trong
Y. Hàm vectơ f : D → Y được gọi là C-lồi trên D nếu với mọi x
1
, x
2
∈ D, α ∈ [0, 1] ta
luôn có: f(αx
1
+ (1 − α)x
2
) ∈ αf(x
1
) + (1 − α)f(x
2
) − C
Hàm f là C-lõm trên D nếu (-f) là (−C)-lồi trên D. Khi C = R
+
; Y = R thì khái

niệm hàm f lồi (lõm) được hiểu theo nghĩa thông thường.
Cho X,Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D là tập con lồi khác
rỗng trong X, C là nón trong Y và F : D → 2
Y
là ánh xạ đa trị. Các khái niệm về tính
liên tục, tính lồi, tựa lồi, tựa lồi chéo của ánh xạ đa trị theo nón được định nghĩa như
sau:
Định nghĩa 1.3.1. (i) Hàm F được gọi là C-lồi trên (hoặc C-lồi dưới) nếu:
αF (x) + (1 − α)F (y) ⊂ F (αx + (1 − α)y) + C
tương ứng: αF (x) + (1 − α)F (y) ⊂ F (αx + (1 − α)y) − C
với mọi x, y ∈ domF và α ∈ [0, 1].
(ii) Hàm F được gọi là C-lõm trên (hoặc C-lõm dưới) nếu:
αF (αx + (1 − α)y) ⊂ αF (x) + (1 − α)F (y) − C
22 MAI HẢI AN
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
tương ứng: F (αx + (1 − α)y) ⊂ αF (x) + (1 − α)F (y) + C
với mọi x, y ∈ domF và α ∈ [0, 1].
Nhận xét:
(i)Nếu C = {0} thì tính {0}-lồi trên và {0}-lõm trên của F đồng nhất với nhau
và F được gọi là dưới tuyến tính.
(ii) Nếu F là đơn trị thì tính C-lồi trên, C-lồi dưới là trùng nhau và gọi là C-lồi,
tương ứng là C-lõm.
(iii) Nếu F là C-lồi trên thì F (x) + C, x ∈ domF, là những tập lồi. Nếu F là
C-lõm trên thì F(x) − C, x ∈ domF, là những tập lồi.
(iv) F là C-lồi trên ⇔ (−F ) là C-lõm trên ⇔ F là (-C)-lõm trên.
Định nghĩa 1.3.2. (i). F là C-tựa lồi trên trên D nếu:
F (x
1
) ⊂ F (αx
1

+ (1 − α)x
2
) + C
hoặc F(x
2
) ⊂ F (αx
1
+ (1 − α)x
2
) + C với mọi x
1
, x
2
∈ D và α ∈ [0, 1].
(ii). F là C-tựa lồi dưới trên D nếu:
F (αx
1
+ (1 − α)x
2
) ⊂ F (x
1
) − C
hoặc F(αx
1
+ (1 − α)x
2
) ⊂ F (x
2
) − C với mọi x
1

, x
2
∈ D và α ∈ [0, 1].
Định nghĩa 1.3.3. Hàm h : D × D → R được gọi là tựa lồi chéo đối với biến thứ 2
nếu với mỗi x
1
, x
2
∈ D, t ∈ [0, 1], x
t
= tx
1
+ (1 − t)x
2
ta có:
h(x
t
, x
t
) ≤ max{h(x
t
, x
1
); h(x
t
, x
2
)}.
Định nghĩa 1.3.4. Cho X, Z là các không gian véctơ tôpô Hausdorff, Y là không gian
véctơ tôpô Hausdorff lồi địa phương, D ⊂ X, K ⊂ Z là các tập con khác rỗng và C là

nón trong Y. Xét các ánh xạ đa trị: F : K × D × D → 2
Y
T : D × D → 2
K
(i). F là (T,C)-tựa lồi chéo trên theo biến thứ 3 trên D nếu:
F (T (x
t
, x
1
), x
t
, x
1
) ⊂ F (T (x
t
, x
t
), x
t
, x
t
) + C
hoặc: F(T(x
t
, x
2
), x
t
, x
2

) ⊂ F (T (x
t
, x
t
), x
t
, x
t
) + C
với mọi x
1
, x
2
∈ D, t ∈ [0, 1], x
t
= tx
1
+ (1 − t)x
2
.
(ii). F là (T,C)-tựa lồi chéo dưới theo biến thứ 3 trên D nếu:
F (T (x
t
, x
t
), x
t
, x
t
) ⊂ F (T (x

t
, x
1
), x
t
, x
1
) − C
hoặc: F(T(x
t
, x
t
), x
t
, x
t
) ⊂ F (T (x
t
, x
2
), x
t
, x
2
) − C
với mọi x
1
, x
2
∈ D, t ∈ [0, 1], x

t
= tx
1
+ (1 − t)x
2
.
23 MAI HẢI AN
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
Nhận xét:
• Nếu nón C = {0} và F (x
0
) là compact thì định nghĩa về tính liên tục theo nón
đồng nhất với định nghĩa về tính nửa liên tục trên và dưới của Berg.
• Nếu F là ánh xạ đơn trị thì các khái niệm liên tục trên (dưới), lồi trên (dưới),
tựa lồi trên (dưới), tựa lồi chéo trên (dưới) theo nón là một.
• Nếu ánh xạ đa trị T và F thỏa mãn với bất kỳ y ∈ K, x ∈ D cố định F(y, x, •) là
C-tựa lồi trên (dưới) từ D vào Y thì F là C-tựa lồi chéo trên (dưới) theo biến thứ 3.
Mối liên hệ giữa tính lồi (lõm) theo nón của hàm đa trị và tính lồi (lõm) của hàm
vô hướng được thể hiện bằng mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.3.1. (i) Nếu F là C-lồi trên (tương ứng C-lồi dưới) thì hàm g
ξ
(tương ứng
G
ξ
) là hàm lồi.
(ii) Nếu F là C-lõm trên (tương ứng C-lõm dưới) thì hàm G
ξ
(tương ứng
g
ξ

) là hàm lõm.
Chứng minh. (i) Cho x
1
, x
2
∈ D, α ∈ [0, 1], lấy δ > 0 tùy ý. Theo định nghĩa của g
ξ
:
g
ξ
(x) = inf
y∈F (x)
< ξ, y >
nên tồn tại y
i
∈ F (x
i
), i = 1, 2 để inf
y∈F (x
1
)
< ξ, y >≥< ξ, y
1
> −δ
⇒ α. inf
y∈F (x
1
)
< ξ, y >≥ α. < ξ, y
1

> −α.δ
Tương tự (1 − α). inf
y∈F (x
2
)
< ξ, y >≥ (1 − α). < ξ, y
2
> −(1 − α).δ nên:
α. inf
y∈F (x
1
)
< ξ, y > +(1 − α). inf
y∈F (x
2
)
< ξ, y >≥ α. < ξ, y
1
> +(1 − α). < ξ, y
2
> −δ
⇒ α. inf
y∈F (x
1
)
< ξ, y > +(1 − α). inf
y∈F (x
2
)
< ξ, y >≥< ξ, αy

1
+ (1 − α)y
2
> −δ ≥
≥ inf
y∈αF (x
1
)+(1−α)F (x
2
)
< ξ, y > −δ ≥ inf
y∈F (αx
1
+(1−α)x
2
)+C
< ξ, y > −δ
24 MAI HẢI AN