Một số lớp nghiệm tường minh của phương trình truyền sóng phi tuyến

ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





NGUYỄN HUY HOÀNG






MỘT SỐ LỚP NGHIỆM TƯỜNG MINH
CỦA PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN SÓNG PHI TUYẾN







LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2012
ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




NGUYỄN HUY HOÀNG




MỘT SỐ LỚP NGHIỆM TƯỜNG MINH
CỦA PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN SÓNG PHI TUYẾN




Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62 46 01 05




LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn
2. PGS. TS. Hoàng Quốc Toàn


HÀ NỘI - 2012
Mục lục
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Bảng ký hiệu vi
Mở đầu 1
1 LỚP NGHIỆM N-SOLITON KHÔNG TÁN XẠ CỦA HAI
PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TRÊN NỬA TRỤC KHÔNG
GIAN 17
1.1 Phương trình Korteweg-de Vries . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.1 Lớp nghiệm được gợi ý từ lý thuyết tán xạ . . . . . 18
1.1.2 Quy luật tiến hóa của các đa thức tán xạ M
j
(x, t) . 27
1.1.3 Một lớp nghiệm N-soliton không tán xạ của phương
trình Korteweg-de Vries trên nửa trục . . . . . . . . 37
1.1.4 Các ví dụ về nghiệm N-soliton không tán xạ của
phương trình Korteweg-de Vries trên nửa trục . . . 40
1.2 Phương trình Schr¨odinger phi tuyến . . . . . . . . . . . . . 46
1.2.1 Lớp nghiệm được gợi ý từ lý thuyết tán xạ . . . . . 47
1.2.2 Biểu diễn của các hàm F (x, t) và G(x, t) . . . . . . 58
1.2.3 Quy luật tiến hóa của các đa thức tán xạ p
j
(x, t) . 64

1.2.4 Một lớp nghiệm N-soliton không tán xạ của phương
trình Schr¨odinger phi tuyến trên nửa trục . . . . . 71
1.2.5 Các ví dụ về nghiệm N-soliton không tán xạ của
phương trình Schr¨odinger phi tuyến trên nửa trục . 76
2 NGHIỆM WRONSKIAN CỦA PHƯƠNG TRÌNH HỖN
HỢP MKDV-SG TRÊN CẢ TRỤC KHÔNG GIAN 81
iv
2.1 Dạng song tuyến tính của phương trình hỗn hợp và nghiệm
Wronskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.1.1 Dạng song tuyến tính của phương trình hỗn hợp . 83
2.1.2 Nghiệm Wronskian với hệ phương trình điều kiện suy
rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.1.3 Hệ phương trình điều kiện chính tắc . . . . . . . . 96
2.2 Các lớp nghiệm tường minh của phương trình mKdV-sG . 98
2.2.1 Ma trận Γ
m
là ma trận đường chéo thực . . . . . . 99
2.2.2 Ma trận Γ
m
là một khối Jordan thực cấp m . . . . 105
2.2.3 Ma trận Γ
m
là một khối Jordan dạng thực cấp hai 112
2.2.4 Ma trận Γ được xây dựng từ các khối Jordan dạng
thực cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.2.5 Ma trận Γ
m
là một khối Jordan dạng thực cấp 2n 123
Kết luận và kiến nghị 132
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . . 133
Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến Luận
án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Tài liệu tham khảo 135
v
Bảng ký hiệu
i Đơn vị ảo. i
2
= −1
Im ρ Phần ảo của số phức ρ
¯a Liên hợp của số phức a
R Tập hợp các số thực
C Tập hợp các số phức
tr A Tổng các tất cả các phần tử trên đường chéo chính
của ma trận vuông A
det A Định thức của ma trận A
W (φ) Định thức Wronskian theo biến x (cấp N) có
cột đầu tiên là φ = (φ
1
, φ
2
, . . . , φ
N
)
T
L(t) Toán tử Schr¨odinger phụ thuộc tham số vào biến t
D(t) Toán tử Dirac phụ thuộc tham số vào biến t
S(t) Tập dữ liệu tán xạ của toán tử Schr¨odinger L(t) hoặc
tập dữ liệu tán xạ của toán tử Dirac D(t)
AC

loc
[0, ∞) Không gian các hàm số liên tục
tuyệt đối địa phương trên nửa khoảng [0, ∞)
AC
loc
([0, ∞), C
2
) Không gian các hàm véc tơ hai chiều
liên tục tuyệt đối địa phương trên nửa khoảng [0, ∞)
L
2
(0, ∞) Không gian các hàm khả tích bậc hai trên (0, ∞)
L
2
((0, ∞), C
2
) Không gian các hàm véc tơ hai chiều khả
tích bậc hai trên (0, ∞)
sign σ Dấu của phép thế σ.
Res



ρ=ρ
j
Thặng dư tại điểm ρ
j
X
1
Tập hợp


(ε
1
, ε
2
, . . . , ε
m
)


ε
j
= ±1,
m

j=1
ε
j
= 1

X
2
Tập hợp

(ε
1
, ε
2
, . . . , ε
m

)


ε
j
= ±1,
m

j=1
ε
j
= −1

vi
MỞ ĐẦU
Trong các phương trình đạo hàm riêng mô tả quá trình truyền sóng có
một nhóm phương trình truyền sóng phi tuyến có tên là các phương trình
soliton.
Về nguồn gốc vật lý, các phương trình này được dẫn ra từ một loạt
bài toán thuộc nhiều lĩnh vực như cơ học chất lỏng, quang học phi tuyến,
vật lý plasma và lý thuyết dây ([3, 20, 39]). Mỗi phương trình thuộc nhóm
này đều thừa nhận một lớp nghiệm đặc biệt được xác định tường minh và
các nghiệm đó mô tả sự lan truyền, tương tác phi tuyến của những sóng
đơn có tốc độ, biên độ không đổi. Tốc độ và biên độ của chúng được bảo
toàn ngay cả sau khi xảy ra sự tương tác. Với đặc tính vật lý như vậy các
sóng này được gọi là các soliton. Thuật ngữ soliton được sử dụng lần đầu
tiên bởi V. E. Zabusky và M. D. Kruskal năm 1965 trong một công trình
nghiên cứu của hai ông về bài toán Fermi-Pasta-Ulam và phương trình
Korteweg-de Vries trong Vật lý plasma ([42]). Trước đó, sóng soliton được
quan sát lần đầu tiên trong thực tế bởi J. S. Russell vào năm 1834 dưới

dạng một sóng nước xuất hiện và lan truyền trên một kênh nước nông ở
Edingburgh, Scotland (xem [3, 46]).
Trong các phương trình soliton mô tả quá trình lan truyền sóng trong
một chiều không gian và một chiều thời gian có bốn đại diện tiêu biểu sau
đây:
Phương trình Korteweg-de Vries là phương trình đạo hàm riêng phi tuyến
u
t
+ 6uu
x
+ u
xxx
= 0, (1)
trong đó u = u(x, t), (x, t) ∈ R
2
là ẩn hàm phải tìm, u
t
, u
x
. . . là ký hiệu
các đạo hàm riêng của u. Biến x là biến không gian, biến t là biến thời
gian. Phương trình Korteweg-de Vries được dẫn ra năm 1895 từ nghiên
cứu của D. J. Korteweg và một học trò của ông là G. de Vries về quá trình
lan truyền của sóng nước nông trên kênh hẹp có đáy phẳng;
1
Phương trình Schr¨odinger phi tuyến là phương trình
iu
t
= u
xx

+ 2|u|
2
u, u = u(x, t), (x, t) ∈ R
2
. (2)
Phương trình Schr¨odinger phi tuyến được dẫn ra từ bài toán truyền sóng
quang học;
Phương trình Korteweg-de Vries biến dạng là phương trình
u
t
+ 6u
2
u
x
+ u
xxx
= 0, u = u(x, t), (x, t) ∈ R
2
. (3)
Phương trình Korteweg-de Vries biến dạng (modified Korteweg-de Vries
equation - viết tắt: mKdV) được dẫn ra bởi R. G. Miura trong bài báo
mở đầu cho một chuỗi các nghiên cứu về phương trình Korteweg-de Vries
và các mở rộng ([32]). Trên thực tế phương trình (3) có quan hệ chặt chẽ
với phương trình (1). Thật vậy nếu v(x, t) là nghiệm của (3) thì u(x, t) =
v(x, t) ± v
x
(x, t) là nghiệm của (1) ([3, 32]);
Phương trình sine-Gordon là phương trình
u
xt

= sin u, u = u(x, t), (x, t) ∈ R
2
. (4)
Phương trình sine-Gordon xuất hiện khá sớm từ đầu thế kỷ 19 và ban đầu
nó được đưa ra trong các nghiên cứu về các mặt giả cầu trong hình học vi
phân (xem [38]).
Trong Vật lý người ta cũng dẫn ra các phương trình soliton mô tả quá
trình truyền sóng trong hai hoặc ba chiều không gian (xem [4, 20]). Tuy
nhiên trong khuôn khổ các kết quả nghiên cứu của Luận án chúng tôi
không đề cập đến các phương trình này.
TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU
Có nhiều phương pháp toán học đã được sử dụng để nghiên cứu các
phương trình soliton. Hai phương pháp trong số đó có liên quan mật thiết
và được sử dụng trong Luận án này là phương pháp bài toán tán xạ ngược
và kỹ thuật Wronskian.
Phương pháp bài toán tán xạ ngược là phương pháp giải bài toán
Cauchy trên toàn trục không gian (x ∈ (−∞, ∞)) đối với các phương trình
soliton trong lớp các hàm giảm nhanh. Phương pháp này được hình thành
từ một chuỗi bài báo với khởi đầu là kết quả trên phương trình truyền sóng
nước nông Korteweg-de Vries (1) (xem [1, 2, 5, 10, 11, 21, 43, 44, 45]).
2
Trong phương pháp này chúng ta liên kết ẩn hàm u(x, t) của các phương
trình soliton (1) và (2) với thế vị tương ứng của các toán tử tuyến tính
Schr¨odinger và toán tử Dirac, mà là các toán tử vi phân theo biến x, trong
đó t đóng vai trò là tham số. Từ đó sử dụng các kết quả đã biết của bài
toán tán xạ đối với các toán tử này chúng ta xây dựng được lời giải của
bài toán Cauchy.
Lời giải của bài toán Cauchy đối với phương trình Korteweg-de Vries
cụ thể như sau. Chúng ta xét toán tử Schr¨odinger
L(t)y =

d
2
dx
2
y + u(x, t)y, (5)
với biến thời gian t được coi là một tham số tự do.
Theo kết quả của bài toán tán xạ thuận, từ thế vị u(x, t) nào đấy là
hàm giảm nhanh, nhận giá trị thực, chúng ta xác định được một tập hợp
có dạng
S(t) =

r(t, k), k ∈ R; iκ
1
, iκ
2
, . . . , iκ
N
; C
1
(t), C
2
(t), . . . , C
N
(t)

. (7)
với κ
j
> 0, C
j

(t) > 0 với mọi j = 1, 2, . . . , N. Tập S(t) được gọi là tập
dữ liệu tán xạ của toán tử L(t). Toán tử L(t) chỉ có các giá trị riêng đơn
là −κ
2
1
, −κ
2
2
, . . . , −κ
2
N
(Chúng ta xét bài toán trong lớp đẳng phổ, tức là
trường hợp các giá trị riêng của toán tử không phụ thuộc vào biến t). Các
giá trị C
j
(t) là giá trị liên quan tới chuẩn của hàm riêng tương ứng với
giá trị riêng −κ
2
j
, j = 1, 2, . . . , N. Thành phần còn lại của tập dữ liệu tán
xạ là hàm r(t, k) được gọi là hệ số phản xạ của toán tử. Có thể tham
khảo các mô tả chi tiết hơn về tập dữ liệu tán xạ S(t) trong các tài liệu
[3, 5, 7, 13, 39, 46].
Đảo lại, từ một tập hợp S(t) nào đấy có cấu trúc như (7), bài toán tán
xạ ngược đã đưa ra một sơ đồ để xây dựng một hàm số u(x, t) sao cho khi
thế hàm u(x, t) nhận được vào toán tử Schr¨odinger (5) thì dữ liệu tán xạ
của toán tử đó lại chính là S(t) (xem [3, 5, 7, 46]). Khâu then chốt trong
bài toán ngược là việc giải một phương trình tích phân kỳ dị có tên là
phương trình Gelfand-Levitan-Marchenko. Sự tồn tại nghiệm và tính duy
nhất nghiệm của phương trình này đã được khẳng định trong các không

gian hàm được sử dụng trong bài toán tán xạ. Tuy nhiên việc tính tường
minh nghiệm của phương trình Gelfand-Levitan-Marchenko mới chỉ thực
hiện được trong một vài tình huống. Trong số các tình huống này có một
trường hợp đặc biệt là tập S(t) chứa hệ số phản xạ r(t, k) = 0 với mọi
3
k ∈ R (ứng với một giá trị nào đấy của t). Thế vị u(x, t) được tính ra theo
bài toán tán xạ ngược trong trường hợp này được gọi là thế vị không phản
xạ. Thế vị không phản xạ của toán tử Schr¨odinger (5) có biểu diễn như
sau (xem [11] và [3, 46]):
u(x, t) = 2
∂
2
∂x
2
ln det(I + A(x, t)), (8)
ở đây I là ma trận đơn vị cấp N, ma trận A(x, t) vuông cấp N và có các
phần tử là
A
jn
=
C
j
(t)C
n
(t)e
−(κ
j
+κ
n
)x

κ
j
+ κ
n
. (9)
Đến đây, khi thế vào (5), hàm u(x, t) nói trên mà là nghiệm của phương
trình Korteweg-de Vries (1) thì người ta sẽ nhận được quy luật tiến hóa
theo biến thời gian t tập dữ liệu tán xạ S(t). Từ đó, lời giải bài toán Cauchy
trong lớp thế vị không phản xạ được xây dựng theo quy trình gồm ba bước
như sau:
Bước 1, tính toán tập dữ liệu tán xạ ứng với t = 0 từ giá trị ban đầu
u(x, 0) mà thuộc lớp thế vị không phản xạ. Kết quả ta nhận được tập hợp
S(0) =

r(0, k) ≡ 0, k ∈ R; iκ
1
, iκ
2
, . . . , iκ
N
; C
1
(0), C
2
(0), . . . , C
N
(0)

.
(10)

Bước 2, xây dựng phương trình tiến hóa để tính toán dữ liệu tán xạ S(t).
Nếu u(x, t) được xác định bởi (8) là nghiệm của phương trình Korteweg-de
Vries (1) thì người ta đã chứng minh rằng: dữ liệu tán xạ S(t) có quy luật
tiến hóa như sau
S(t) =

r(t, k) ≡ 0, k ∈ R; iκ
1
, iκ
2
, . . . , iκ
N
;
C
1
(0)e
−4κ
3
1
t
, C
2
(0)e
−4κ
3
2
t
, . . . , C
N
(0)e

−4κ
3
N
t

, (11)
trong đó, C
1
(0), C
2
(0), . . . , C
N
(0) là các số thực dương nào đó.
Bước 3, phục hồi lại hàm u(x, t) bởi công thức (8) từ dữ liệu tán xạ
S(t) trong (11). Hàm u(x, t) nhận được là nghiệm của bài toán Cauchy
đối với phương trình Korteweg-de Vries (1). Lớp nghiệm này mô tả sự lan
truyền và tương tác của N sóng nước đơn độc và được gọi là nghiệm N-
solion không phản xạ của phương trình (1). Chúng ta có nhận xét rằng lớp
nghiệm này nhận giá trị thực.
Sơ đồ giải bài toán Cauchy cho phương trình Schr¨odinger phi tuyến (2)
là hoàn toàn tương tự.
4
Chúng ta xét toán tử Dirac
D(t) = −i

−1 0
0 1

d
dx

+

0 −iu(x, t)
−i¯u(x, t) 0

, (12)
với thế vị u(x, t) là hàm số nhận giá trị phức và thuộc lớp hàm giảm nhanh,
biến thời gian t được coi là một tham số tự do. Đối với toán tử Dirac có
thế vị giảm nhanh, kết quả của bài toán tán xạ thuận là tập dữ liệu tán
xạ
S(t) = {b(t, k), b(t, k), k ∈ R; λ
j
, λ
j
, C
j
(t), C
j
(t), j = 1, 2, . . . , N}, (13)
trong đó các đại lượng λ
j
, j = 1, 2, . . . , N nằm trên nửa mặt phẳng trên
của mặt phẳng phức (Im λ
j
> 0) và chúng tạo thành phổ rời rạc của toán
tử D(t) ([46]). Các đại lượng C
j
(t), j = 1, 2, . . . , N là đại lượng liên quan
đến chuẩn của hàm riêng ứng với phổ rời rạc. Đặc tính của tập dữ liệu tán
xạ S(t) trong (13) đã được mô tả chi tiết trong các tài liệu [3, 7, 46]. Từ

một tập hợp S(t) có cấu trúc như (13), bài toán tán xạ ngược đã đưa ra
một sơ đồ xây dựng một hàm số u(x, t) sao cho khi thế hàm u(x, t) này
vào (12) thì tập dữ liệu tán xạ của toán tử D(t) lại chính là S(t). Khi
b(t, k) = 0 với mọi k ∈ R (ứng với một giá trị nào đấy của t), thì bài toán
tán xạ ngược cũng giải được tường minh và thế vị u(x, t) nhận được trong
trường hợp này được gọi là thế vị không phản xạ. Hơn nữa, thế vị không
phản xạ của toán tử Dirac có biểu diễn là
u(x, t) =
∂
2
∂x
2
ln det(I + A(x, t)A(x, t)), (14)
ở đây I là ma trận đơn vị cấp N, ma trận A(x, t) vuông cấp N và có các
phần tử là
A
jn
=
C
n
(t)e
−2iλ
n
x
λ
j
− λ
n
. (15)
Bài toán Cauchy đối với phương trình (2) được giải theo một sơ đồ

hoàn toàn giống như đối với phương trình Korteweg-de Vries (1). Kết quả
tính toán về tiến hóa của dữ liệu tán xạ đối với một thế vị không phản xạ
u(x, t) mà là nghiệm của phương trình (2) là:
S(t) ={b(t, k) ≡ 0, b(t, k) ≡ 0, k ∈ R; λ
j
, λ
j
,
C
j
(0)e
4iλ
2
j
t
, C
j
(0)e
−4iλ
j
2
t
, j = 1, 2, . . . , N}, (16)
5
trong đó, C
1
(0), C
2
(0), . . . , C
N

(0) là các số phức nào đó.
Thế C
j
(t) từ (16) vào (14) ta thu được một lớp nghiệm tường minh
của phương trình Schr¨odinger phi tuyến (2). Lớp nghiệm này mô tả sự
lan truyền và tương tác của N sóng soliton đơn và được gọi là nghiệm
N-soliton không phản xạ của phương trình Schr¨odinger phi tuyến.
Trên nửa trục, chúng ta cũng có các bài toán biên-giá trị ban đầu đối
với các phương trình soliton ([9], [14]-[17], [40, 41]). Một vấn đề được đặt
ra là có thể sử dụng được hay không phương pháp bài toán tán xạ ngược
để giải bài toán nêu trên. Cấu trúc của dữ liệu tán xạ của các toán tử
Schr¨odinger và Dirac trên nửa trục x > 0 sẽ được mô tả tương ứng trong
các Tiểu mục 1.1.1 và 1.2.1 dưới đây. Yếu tố then chốt của việc sử dụng
kết quả của bài toán tán xạ để nghiên cứu phương trình soliton chính là
việc xây dựng được quy luật tiến hóa của tập dữ liệu tán xạ theo thời gian.
Kết quả về quy luật tiến hóa đối với dữ liệu tán xạ của bài toán toàn trục
được đưa ra trên cơ sở tính giảm nhanh của u(x, t) khi x −→ ±∞. Khi
chuyển về xét bài toán nửa trục các kết quả của toàn trục nhận được khi
cho x −→ −∞ không còn hiệu lực nữa. Việc sử dụng điểm x = 0 cho thấy
trong phương trình tiến hóa của tập dữ liệu tán xạ chứa các đại lượng
u(0, t), u
x
(0, t) hoặc cả u
xx
(0, t). Việc cho biết toàn bộ các giá trị này sẽ
làm bài toán biên-giá trị ban đầu trở thành quá xác định. Ở một cách nhìn
khác, chúng ta cần đưa ra cách tính u
x
(0, t) hoặc u
xx

(0, t), theo các giá
trị u(x, 0) và u(0, t) và đây là một bài toán khó (xem [9], [14]-[17]). P. L.
Vu đã đưa ra một phương án trong hai bài báo [40, 41] và giải được bài
toán biên giá trị ban đầu trên nửa trục trong một trường hợp đặc biệt.
Trong phương án này ông đã đưa ra thêm một điều kiện đủ có tính kỹ
thuật để tính toán tiến hóa của dữ liệu tán xạ. Để minh họa cho kết quả
nhận được, trong hai bài báo đó P. L. Vu đã đưa ra lớp thế vị không tán
xạ (lớp tương tự với thế vị không phản xạ) và lấy ví dụ về nghiệm của
phương trình soliton trong lớp hàm này.
Lớp thế vị không tán xạ của toán tử Schr¨odinger trên nửa trục được P.
L. Vu xây dựng trong bài báo [41] là lớp hàm số sau đây
u(x, t) = 2
∂
2
∂x
2
ln(det B(x, t)), (17)
ở đây, ma trận B(x, t) = I + A(x, t) vuông cấp N và A(x, t) có các phần
6
tử là
A
jn
=
∞

x
M
j
(x + ξ, t)e
i(ρ

j
+ρ
n
)ξ
dξ, j, n = 1, 2, . . . , N. (18)
Thêm nữa, trong công thức (18), các đại lượng ρ
1
, ρ
2
, . . . , ρ
N
là N số phức
(cho trước) nằm trên nửa mặt phẳng Im ρ > 0, các đại lượng M
1
(x, t),
M
2
(x, t), . . . , M
N
(x, t) là N đa thức của biến không gian x và các hệ số của
đa thức phụ thuộc tự do vào biến thời gian t. Các đa thức M
j
(x, t), j =
1, 2, . . . , N được gọi là các đa thức chuẩn ([24, 41]). Trong bài báo [41], P.
L. Vu mới chỉ xây dựng hai ví dụ về nghiệm của phương trình Korteweg-de
Vries ứng với N = 1 và N = 2 và các đa thức M
1
(x, t), M
2
(x, t) chỉ được

xét với giả thiết chúng là các đa thức có bậc 0 theo x. Vấn đề còn tồn
tại đối với thế vị không tán xạ (17) là việc tìm quy luật tiến hóa của các
đa thức chuẩn M
1
(x, t), M
2
(x, t), . . . , M
N
(x, t) (mà không ràng buộc gì về
bậc đa thức) khi giả thiết u(x, t) là nghiệm không tán xạ của phương trình
Korteweg-de Vries (1).
Lớp thế vị không tán xạ trên nửa trục của toán tử Dirac mà liên kết
với nghiệm của phương trình (2) được P. L. Vu đưa ra trong [40] là lớp
hàm số có dạng như sau:
u(x, t) =
G(x, t)
F (x, t)
. (19)
Trong (19) hàm F (x, t) là định thức của ma trận A kích thước 2N ×2N:
F (x, t) = det A = det

I M

M I

, (20)
M =

− M
lj

(x, t)e
1
2
(k
l
+k
j+N
)x

N
l,j=1
,

M =

M
lj
(x, t)e
1
2
(k
j
+k
l+N
)x

N
l,j=1
,
M

lj
(x, t)e
1
2
(k
l
+k
j+N
)x
=
∞

x
p
l
(x + ξ, t)e
1
2
(k
l
+k
j+N
)ξ
dξ, (21)
với I là ma trận đơn vị cấp N và k
j
= 2iλ
+
j
, k

j+N
= −2iλ
−
j
. Thêm nữa,
λ
+
j
, λ
−
j
, j = 1, 2, . . . , N là N cặp số phức liên hợp với nhau (λ
−
j
= λ
+
j
) và
Im λ
+
j
> 0 với mọi j = 1, 2, . . . , N. Các đại lượng p
1
(x, t), p
2
(x, t), . . . , p
N
(x, t)
là N đa thức đối với biến không gian x với các hệ số phụ thuộc tự do vào
biến thời gian t. Chúng ta gọi các đa thức p

1
(x, t), p
2
(x, t), . . . , p
N
(x, t) là
các đa thức chuẩn của toán tử Dirac ([37, 40]).
7
Tiếp theo trong (19), hàm G(x, t) xác định bởi
G(x, t) = −2
N

j=1

det A
(j+N)

e
1
2
k
j+N
x
, (22)
trong đó A
(j+N)
là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ j + N
bởi cột

0, 0, . . . 0, −¯p

1
(2x, t)e
1
2
k
1+N
x
, −¯p
2
(2x, t)e
1
2
k
2+N
x
, . . . , −¯p
N
(2x, t)e
1
2
k
2N
x

T
.
Trong bài báo [40], P. L. Vu cũng chỉ mới đưa ra một ví dụ ứng với N = 1
và chỉ xét đa thức p
1
(x, t) trong trường hợp nó có bậc 0 theo x. Do đó, vấn

đề còn tồn tại đối với thế vị không tán xạ (19) là việc tìm quy luật tiến
hóa của các đa thức chuẩn p
1
(x, t), p
2
(x, t), . . . , p
N
(x, t) (mà không ràng
buộc gì về bậc đa thức) khi giả thiết u(x, t) là nghiệm của phương trình
Schr¨odinger phi tuyến (2).
Tiếp theo, chúng tôi tổng quan một vấn đề có liên quan đến nội dung
nghiên cứu khác của Luận án. Năm 1979, J. Satsuma đã biểu diễn được
một lớp nghiệm N-soliton của phương trình Korteweg-de Vries dưới dạng
một định thức Wronskian. Để mô tả cụ thể hơn, chúng ta xét định thức
Wronskian
f(x, t) =









φ
1
φ
1,x
. . . φ

(N−1)
1
φ
2
φ
2,x
. . . φ
(N−1)
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
φ
N
φ
N,x
. . . φ
(N−1)
N










. (23)
Để thuận tiện chúng ta gọi các phần tử φ
1
(x, t), φ
2
(x, t), . . . , φ
N
(x, t) trên
cột thứ nhất là các phần tử sinh của định thức Wronskian (23). Các phần
tử còn lại của định thức Wronskian là các đạo hàm riêng theo biến x của
phần tử sinh (φ
(l)
j
=
∂
l
φ
j
∂x
l
).
Đối với phương trình Korteweg-de Vries biến dạng (3), N. C. Freeman
và J. J. C. Nimmo đã chọn các phần tử sinh của định thức Wronskian (23)

là ([33])
φ
j
(x, t) = (1 − i)C
j1
e
k
j
x−4k
3
j
t
+ (1 + i)C
j2
e
−k
j
x+4k
3
j
t
, j = 1, 2, . . . , N, (24)
trong đó, i
2
= −1 và k
j
, C
j1
, C
j2

, j = 1, 2, . . . , N là các hằng số thực. Với
định thức Wronskian f(x, t) có các phần tử sinh được chọn theo (24) thì
8
hàm số
u(x, t) = i
∂
∂x
ln
f(x, t)
f(x, t)
chính là nghiệm N-soliton của phương trình Korteweg-de Vries biến dạng
(3) (Ở đây, hàm f(x, t) là liên hợp phức của hàm f(x, t)).
Đối với phương trình sine-Gordon (4), N. C. Freeman và J. J. C. Nimmo
đã chọn các phần tử sinh của định thức Wronskian (23) là ([33])
φ
j
(x, t) = C
j1
e
k
j
x−
1
4k
j
t
+ iC
j2
e
−k

j
x+
1
4k
j
t
, j = 1, 2, . . . , N, (25)
trong đó, k
j
, C
j1
, C
j2
, j = 1, 2, . . . , N là các hằng số thực. Với định thức
Wronskian f(x, t) có các phần tử sinh được chọn theo (25) thì hàm số
u(x, t) = 2i ln
f(x, t)
f(x, t)
chính là nghiệm N-soliton của phương trình sine-Gordon (4).
Điểm then chốt trong chứng minh chính là các hàm sinh φ
j
được sử
dụng như nghiệm của một hệ quá xác định và khá đặc biệt các phương
trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất sau đây:
φ
jx
= k
j
φ
j

, (26a)
φ
jt
= −4αφ
jxxx
+
β
4k
j
φ
j
, (26b)
trong đó, phương trình (3) ứng với trường hợp α = 1, β = 0 và phương
trình (4) ứng với trường hợp α = 0, β = 1.
Để thuận tiện, hệ phương trình như vậy đối với các phần tử sinh của
định thức Wronskian được gọi là hệ phương trình điều kiện. Cách xây dựng
nghiệm tường minh theo phương án này được gọi là kỹ thuật Wronskian
và nó đã được sử dụng cho khá nhiều phương trình soliton ([6, 8, 19], [23],
[33]-[36], [47]-[51]). Chúng ta gọi các nghiệm của phương trình soliton được
xây dựng từ các định thức Wronskian là nghiệm Wronskian. Sau một chuỗi
nghiên cứu về phương trình Korteweg-de Vries ([25]-[29]),W. X. Ma đã liên
tục mở rộng các lớp nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries bằng cách
thay đổi hệ phương trình điều kiện đối với định thức Wronskian. Tuy vậy,
việc mở rộng này mới chỉ được thực hiện với phương trình Korteweg-de
Vries, Boussinesq và hệ phương trình lưới của Toda ([23], [25]-[29], [50]).
Do đó, việc mở rộng hệ phương trình điều kiện để tính toán các nghiệm
9
Wronskian tường minh mới của phương trình Korteweg-de Vries biến dạng
(3) và của phương trình sine-Gordon (4) là một việc cần thiết và có ý
nghĩa.

Từ sự tương đồng trong việc sử dụng kỹ thuật Wronskian trên hai
phương trình (3), (4), năm 2003 D. J. Zhang đã xét phương trình truyền
sóng phi tuyến sau đây
u
xt
+ α

3
2
u
2
x
u
xx
+ u
xxxx

= β sin u, α, β ∈ R. (27)
Phương trình (28) chứa cả hai phương trình Korteweg-de Vries biến dạng
(3) và phương trình sine-Gordon (4) như hai trường hợp riêng. Rõ hơn, khi
α = 1, β = 0 phương trình (27) sẽ là
u
xt
+
3
2
u
2
x
u

xx
+ u
xxxx
= 0
mà được đưa về phương trình (3) bằng cách đặt v(x, t) =
1
2
u
x
(x, t). Khi
α = 0, β = 1 phương trình (27) sẽ chính là phương trình (4). Vì thế, phương
trình (27) được gọi là phương trình hỗn hợp Korteweg-de Vries biến dạng
và sine-Gordon, viết tắt là phương trình mKdV-sG ([38, 49]).
Để xây dựng nghiệm Wronskian cho phương trình (27), D. J. Zhang đã
đưa ra hệ phương trình điều kiện dạng đơn giản như sau
φ
jx
= k
j
φ
j
, (28a)
φ
jt
= −4αφ
jxxx
+
β
4k
j

φ
j
. (28b)
Việc mở rộng hệ phương trình điều kiện để xây dựng các lớp nghiệm
Wronskian mới cho hai phương trình Korteweg-de Vries biến dạng và sine-
Gordon là một công việc vẫn chưa được thực hiện. Chúng ta thấy rằng, công
việc này có thể thực hiện theo phương án mở rộng hệ phương trình điều
kiện (28a), (28b) để xây dựng nghiệm của phương trình hỗn hợp mKdV-sG
(27) và đây là một tồn tại cần giải quyết. Nếu đưa ra được các lớp nghiệm
mới của phương trình hỗn hợp mKdV-sG (27) thì chúng ta cũng nhận được
các lớp nghiệm của hai phương trình riêng rẽ Korteweg-de Vries biến dạng
(3) và sine-Gordon (4).
NỘI DUNG VÀ MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU
Luận án bao gồm hai nội dung nghiên cứu chính. Nội dung thứ nhất là
khảo sát hai lớp thế vị không tán xạ (17) và (19) để đưa ra từ hai lớp này
10
các nghiệm N-soliton tường minh tương ứng của phương trình Korteweg-
de Vries (1) và phương trình Schr¨odinger phi tuyến (2). Nội dung thứ hai
là xây dựng nghiệm tường minh của các phương trình Korteweg-de Vries
biến dạng (3) và sine-Gordon (4) theo kỹ thuật Wronskian. Tuy nhiên, do
các tính toán chi tiết đối với cả hai phương trình (3) và (4) có nhiều tương
đồng nên chúng tôi gộp chúng thành việc xây dựng nghiệm cho phương
trình hỗn hợp mKdV-sG (27) theo kỹ thuật Wronskian.
Trong nội dung nghiên cứu thứ nhất, mục tiêu của chúng tôi là xác
định quy luật tiến hóa của các đa thức chuẩn M
j
(x, t) trong (18) sao
cho thế vị không tán xạ (17) là nghiệm của phương trình Korteweg-de
Vries (1). Tiếp theo là xác định quy luật tiến hóa của các đa thức chuẩn
p

j
(x, t) trong (21) sao cho thế vị không tán xạ (19) là nghiệm của phương
trình Schr¨odinger phi tuyến (2). Sau đó, với quy luật tiến hóa của các đa
thức chuẩn, chúng tôi sẽ tìm nghiệm N-soliton tường minh tương ứng của
phương trình Korteweg-de Vries và phương trình Schr¨odinger phi tuyến
trong lớp thế vị không tán xạ.
Trong nội dung nghiên cứu thứ hai, mục tiêu nghiên cứu của chúng tôi
là xây dựng hệ phương trình điều kiện đối với các phần tử sinh của định
thức Wronskian, để từ đó xây dựng nghiệm Wronskian tường minh mới
cho phương trình mKdV-sG (27). Hệ phương trình điều kiện được chúng
tôi đưa ra là mở rộng đáng kể so với hệ đơn giản (28a), (28b) của D. J.
Zhang ([49]).
CÁCH TIẾP CẬN MỤC TIÊU VÀ CÁC KẾT QUẢ CHÍNH CỦA
LUẬN ÁN
Mục tiêu thứ nhất của Luận án là tìm quy luật tiến hóa của các đa
thức chuẩn M
j
(x, t) và p
j
(x, t) tương ứng với các toán tử Schr¨odinger và
Dirac trên nửa trục x > 0.
Việc tìm nghiệm trên nửa trục x > 0 của phương trình Korteweg-de
Vries trong lớp thế vị không tán xạ (17), (18) được xét trong hai trường
hợp N = 1 và N ≥ 2.
Trường hợp N = 1 đã được chúng tôi giải quyết triệt để. Chúng tôi xây
dựng điều kiện cần và đủ đối với đa thức chuẩn M
1
(x, t) để thế vị không
tán xạ (17) cũng là nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries. Kết quả
nhận được là đa thức M

1
(x, t) có quy luật tiến hóa: nó là đa thức bậc
không theo biến x và phụ thuộc vào t như sau
M
1
= −kCe
−k
3
t
, k = 2iρ
1
, (29)
11
với C là hằng số phức nào đó.
Trường hợp N ≥ 2 là số nguyên dương tuỳ ý được chúng tôi giải quyết
trên cơ sở đưa thêm vào một giả thiết có tính kỹ thuật (Giả thiết (1.1.42),
trang 34). Kết quả nhận được là tương tự với trường hợp N = 1, các đa
chuẩn M
j
(x, t) có quy luật tiến hóa: chúng là các đa thức bậc 0 theo x và
phụ thuộc vào t như sau
M
j
= −k
j
C
j
e
−k
3

j
t
, k
j
= 2iρ
j
, (30)
với C
j
là hằng số phức nào đó (j = 1, 2, . . . , N).
Trên cơ sở kết quả về quy luật tiến hóa của dữ liệu tán xạ, một lớp
nghiệm u(x, t) tường minh không tán xạ của phương trình (1) được mô tả
trong Định lý 1.1.5.
Tương tự, việc tìm nghiệm phương trình Schr¨odinger phi tuyến trong
lớp thế vị không tán xạ (19) − (22) cũng được chia thành hai trường hợp
N = 1 và N ≥ 2.
Trường hợp N = 1 chúng tôi tìm được quy luật tiến hóa đối với đa
thức chuẩn p
1
(x, t) là
p
1
= Ce
ik
2
1
t
, k
1
= 2iλ

+
1
, (31)
với C là hằng số phức nào đó.
Trường hợp N ≥ 2 là số nguyên dương tuỳ ý, chúng tôi đưa vào một
giả thiết kỹ thuật đối với các số phức λ
+
j
(Giả thiết (1.2.51), trang 67)
và chứng minh được rằng các đa thức chuẩn p
j
(x, t) có quy luật tiến hóa:
chúng là các đa thức bậc 0 theo x và phụ thuộc vào t theo công thức
p
j
= C
j
e
ik
2
j
t
, k
j
= 2iλ
+
j
, (32)
với C
j

là các hằng số phức nào đó (j = 1, 2, . . . , N).
Trên cơ sở kết quả về quy luật tiến hóa của dữ liệu tán xạ, một lớp
nghiệm u(x, t) tường minh không tán xạ của phương trình (2) được mô tả
trong Định lý 1.2.5.
Mục tiêu thứ hai của Luận án là tìm nghiệm tường minh cho phương
trình mKdV-sG (27) theo kỹ thuật Wronskian. Trong bài báo [49], D. J.
Zhang đã chứng minh rằng nếu các phần tử sinh của định thức Wronskian
(23) là nghiệm của hệ phương trình (28a), (28b) thì hàm số u(x, t) được
xây dựng theo công thức sau
u(x, t) = 2i ln
¯
f(x, t)
f(x, t)
, (33)
12
là một nghiệm của phương trình mKdV-sG ([33, 49]).
Để mở rộng lớp nghiệm Wronskian nói trên, chúng tôi xét véc tơ hàm
φ = (φ
1
, φ
2
, . . . , φ
N
)
T
là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
tổng quát hơn sau đây
φ
x
= A

¯
φ, (34a)
φ
t
= −4αφ
xxx
+
β
4
A
−1
¯
φ + Bφ. (34b)
trong đó A(t) = (a
jl
(t))
N×N
, B(t) = (b
jl
(t))
N×N
là các ma trận thực chỉ
phụ thuộc biến t sao cho A(t) là không suy biến và
A
t
+ AB − BA = 0.
Chúng tôi chứng minh được rằng hàm số u(x, t) được cho bởi (33)
thông qua giá trị f(x, t) của định thức Wronskian (23) vẫn là nghiệm của
phương trình (27), nếu chúng ta lấy các phần tử sinh φ = (φ
1

, φ
2
, . . . , φ
N
)
T
là nghiệm của (34a), (34b). Tiếp theo, chúng tôi đưa hệ phương trình
(34a), (34b) về dạng chính tắc trong đó ma trận A là ma trận dạng Jordan
thực và B là ma trận không. Hệ chính tắc sau đó được phân rã thành các
hệ con độc lập. Nghiệm tổng quát của từng hệ con được mô tả một cách
đầy đủ và tạo thành một không gian tuyến tính hữu hạn chiều trên R.
Từ đó chúng tôi tính được các lớp nghiệm Wronskian tường minh mới cho
phương trình mKdV-sG (27).
CẤU TRÚC LUẬN ÁN
Bên cạnh các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận án
được cấu trúc bởi hai chương chính:
Chương 1: Trình bày các kết quả về nghiệm không tán xạ của hai phương
trình Korteweg-de Vries và Schr¨odinger phi tuyến trên nửa trục không gian.
Chương này được chúng tôi cấu trúc thành hai Mục 1.1 và 1.2. Các kiến
thức chuẩn bị của chương này được chúng tôi trình bày trong các Tiểu
mục 1.1.1 và 1.2.1. Nội dung của của hai tiểu mục này là những mô tả
vắn tắt về cặp bài toán tán xạ thuận và ngược trên nửa trục của toán tử
Schr¨odinger, toán tử Dirac và mô tả lớp thế vị không tán xạ của hai toán
tử này.
Mục 1.1 trình bày về việc tìm nghiệm của phương trình Korteweg-de
Vries trong lớp thế vị không tán xạ của toán tử Schr¨odinger. Sau các nội
dung của Tiểu mục 1.1.1, trong Tiểu mục 1.1.2 chúng tôi trình bày hai
13
định lý chính là Định lý 1.1.3 và Định lý 1.1.4. Định lý 1.1.3 phân tích
thế vị không tán xạ (17) tương ứng với số lượng giá trị kỳ dị là N = 1.

Kết quả định lý này là quy luật tiến hóa đối với đa thức M
1
(x, t) mà nó
được chỉ ra là điều kiện cần và đủ để thế vị không tán xạ (17) là nghiệm
của phương trình Korteweg-de Vries. Kết quả đó cụ thể là M
1
(x, t) phải
có bậc 0 đối với x và phụ thuộc vào t theo công thức (29). Định lý 1.1.4
đưa ra điều kiện cần cho thế vị không tán xạ (17) là nghiệm của phương
trình Korteweg-de Vries khi số lượng giá trị kỳ dị là N ≥ 2 tùy ý và N
giá trị kỳ dị này tuân theo Giả thiết (1.1.42). Điều kiện nhận được là quy
luật tiến hóa của các đa thức chuẩn M
j
(x, t) và nó được mô tả trong (30).
Trong Tiểu mục 1.1.3 chúng tôi chỉ ra rằng kết quả nhận được của Định
lý 1.1.4 cũng chính là điều kiện đủ và kết quả này được mô tả trong Định
lý 1.1.5. Tiểu mục 1.1.4 bao gồm các ví dụ về nghiệm của phương trình
Korteweg-de Vries nhận được từ hai Định lý 1.1.3 và 1.1.5.
Mục 1.2 trình bày về việc tìm nghiệm của phương trình Schr¨odinger
phi tuyến trong lớp thế vị không tán xạ của toán tử Dirac. Sau các nội
dung của Tiểu mục 1.2.1, trong Tiểu mục 1.2.2, chúng tôi đưa ra các công
thức biểu diễn hàm F (x, t) trong (20) và G(x, t) trong (22) theo các hàm
số mũ của biến x. Trong Tiểu mục 1.2.3, chúng tôi chỉ ra rằng, khi số cặp
giá trị kỳ dị là N = 1 thì điều kiện cần và đủ để thế vị không tán xạ (19) là
nghiệm của phương trình Schr¨odinger phi tuyến là đa thức chuẩn p
1
(x, t)
phải tiến hóa theo công thức (31). Kết quả này được phát biểu và chứng
minh trong Định lý 1.2.3. Trong Tiểu mục 1.2.3, chúng tôi cũng xét trường
hợp số cặp giá trị kỳ dị là N ≥ 2 tùy ý và N cặp giá trị kỳ dị này thỏa

mãn Giả thiết (1.2.51). Định lý 1.2.4 mô tả điều kiện cần để thế vị không
tán xạ (19) là nghiệm của phương trình Schr¨odinger phi tuyến. Điều kiện
này chính là các đa thức chuẩn p
j
(x, t) phải tiến hóa theo công thức (32).
Trong Tiểu mục 1.2.4 chúng tôi chỉ ra rằng kết quả nhận được của Định
lý 1.2.4 cũng chính là điều kiện đủ và kết quả này được mô tả trong Định
lý 1.2.5. Tiểu mục 1.2.5 bao gồm các ví dụ về nghiệm của phương trình
Schr¨odinger phi tuyến nhận được từ hai Định lý 1.2.3 và 1.2.5.
Chương 2: Trình bày các kết quả về nghiệm của phương trình hỗn hợp
mKdV-sG được xây dựng theo kỹ thuật Wronskian. Chương này được
chúng tôi cấu trúc thành hai Mục 2.1 và 2.2. Các kiến thức chuẩn bị của
chương này được chúng tôi trình bày trong các Tiểu mục 2.1.1. Nội dung
của tiểu mục này mô tả vắn tắt về phép đổi biến Hirota, hệ song tuyến tính
ứng với phương trình mKdV-sG và nghiệm Wronskian của D. J. Zhang.
14
Mục 2.1 trình bày về việc mở rộng hệ phương trình điều kiện. Cụ thể là
chúng tôi lấy hệ phương trình (34a), (34b) để thay thế cho hệ (28a), (28b).
Việc chỉ ra rằng hàm số u(x, t) được cho bởi (33) thông qua giá trị f(x, t)
của định thức Wronskian (23) vẫn là nghiệm của phương trình (27) được
chúng tôi phát biểu và chứng minh trong Định lý 2.1.2. Thay vì tính toán
các nghiệm của phương trình mKdV-sG (27) từ hệ phương trình điều kiện
(34a), (34b), chúng tôi chỉ ra rằng có thể chuyển hệ phương trình điều kiện
(34a), (34b) về một dạng gọn hơn mà vẫn không làm thu hẹp lớp nghiệm
đó của phương trình mKdV-sG (27). Hệ phương trình điều kiện ở dạng
này được gọi là hệ chính tắc, mà nó chính là hệ (34a), (34b) với A được
thay bằng ma trận hằng Γ có dạng chính tắc Jordan thực và B được thay
bằng ma trận không (B = 0).
Mục 2.2 trình bày về việc giải tường minh hệ phương trình điều kiện
dạng chính tắc. Với kết quả tính nghiệm của hệ phương trình điều kiện dạng

chính tắc, chúng tôi tính được giá trị của định thức Wronskian f(x, t) và
tính được nghiệm u(x, t) của phương trình mKdV-sG theo (33). Hệ phương
trình điều kiện dạng chính tắc có thể phân rã thành các hệ con độc lập
mà vẫn ở dạng (34a), (34b) trong đó thay cho Γ là các trường hợp khác
nhau của khối Jordan thực. Tương ứng với các khối Jordan thực khác nhau
chúng tôi trình bày các kết quả thu được của Luận án trong năm tiểu mục
của Mục 2.2.
Các kết quả tính định thức Wronskian f(x, t) của Luận án được mô tả
trong bốn mệnh đề gồm Mệnh đề 2.2.1 và từ Mệnh đề 2.2.3 đến Mệnh đề
2.2.5. Chúng ta cũng xác định được ở đây hai trường hợp của hàm f(x, t)
trong (23) dưới dạng định thức Wronskian kép (xem các trang 109, 128).
Trong Tiểu mục 2.2.4 chúng tôi cũng đã xây dựng hàm f(x, t) trong trường
hợp ma trận Γ chứa n khối Jordan 2 × 2 ứng với n cặp giá trị riêng phức
đơn liên hợp. Định thức Wronskian (23) trong trường hợp Γ chứa các khối
Jordan thuộc về các dạng khác nhau là vẫn có thể tính toán được tường
minh. Tuy nhiên các tính toán chi tiết sẽ phức tạp hơn những tính toán
trong trường hợp đã nêu cụ thể ở trên.
Tương ứng với các tính toán về định thức Wronskian f(x, t) chúng tôi đã
xây dựng được các lớp nghiệm tường minh cho các phương trình mKdV-sG
(27), mKdV (3) và sine-Gordon (4). Các kết quả này được mô tả trong các
Định lý 2.2.1, 2.2.3, 2.2.5, 2.2.6 và 2.2.8. Một số ví dụ đã được chúng tôi
đưa ra để minh họa cho các trường hợp được xét và hầu hết là các kết quả
tính toán mới. Trong số đó, các ví dụ cụ thể thuộc các Tiểu mục 2.2.4, 2.2.5
15
là các ví dụ có quá trình tính toán khá công phu.
Các kết quả chính của Luận án đã được công bố trong 4 bài báo ([1]-[4])
và 1 tiền ấn phẩm ([5]), trong đó bài báo [4] và bài báo [3] chứa các kết
quả riêng rẽ tương ứng cho các phương trình mKdV và sG. Nội dung của
Luận án đã được báo cáo tại các Xêmina:
- Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường đại

học Khoa học Tự nhiên (ĐHKHTN), Đại học Quốc gia (ĐHQG) Hà Nội.
- Xêmina của Phòng Phương trình Vi phân, Viện Toán học, Viện Khoa
học và Công nghệ Việt Nam.
- Hội nghị quốc tế về Giải tích phức "The 17
th
International Conference on
Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications", 1-3,
August, 2009, Ho Chi Minh City, Viet Nam.
- Hội nghị quốc tế "The 4
th
International Conference on Research and
Education in Mathematics", 21-23 October 2009, Kuala Lumpur, Malaysia.
16
Chương 1
LỚP NGHIỆM N-SOLITON
KHÔNG TÁN XẠ CỦA HAI
PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
TRÊN NỬA TRỤC KHÔNG GIAN
Nội dung chương này là các nghiên cứu về việc tính toán các nghiệm không
tán xạ của hai phương trình Korteweg-de Vries và Schr¨odinger phi tuyến.
Lớp hàm mà chúng tôi tìm kiếm các nghiệm cho hai phương trình trên là
lớp thế vị không tán xạ của toán tử Schr¨odinger và toán tử Dirac. Trong
cách tiếp cận này, chúng tôi sử dụng các kết quả đã biết về bài toán tán
xạ trên nửa trục. Cụ thể hơn là chúng tôi sử dụng kết quả về bài toán tán
xạ của V. È. Lyantse đối với toán tử Schr¨odinger, kết quả về bài toán tán
xạ của L. P. Nizhnik và P. L. Vu đối với toán tử Dirac.
Trong Mục 1.1 chúng tôi sẽ xây dựng một lớp nghiệm N-soliton không
tán xạ tường minh nhận giá trị phức cho phương trình Korteweg-de Vries
u
t

+ 6uu
x
+ u
xxx
= 0, x > 0.
Các kết quả thuộc mục này của Luận án đã được công bố trong bài báo
[1] (trong "Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến
Luận án").
Kế tiếp trong Mục 1.2 chúng tôi sẽ xây dựng một lớp nghiệm N-soliton
không tán xạ tường minh nhận giá trị phức cho phương trình Schr¨odinger
17
phi tuyến
iu
t
= u
xx
+ |u|
2
u, x > 0.
Các kết quả mục này của Luận án đã được công bố trong bài báo [2] (trong
"Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến Luận án").
1.1 Phương trình Korteweg-de Vries
Trong mục này chúng tôi sẽ xây dựng một lớp nghiệm N-soliton không tán
xạ tường minh cho phương trình Korteweg-de Vries
u
t
+ 6uu
x
+ u
xxx

= 0, x > 0, −∞ < t < ∞. (1.1.1)
trong đó ẩn hàm u(x, t) là hàm giá trị phức. Chúng tôi giới hạn việc tìm
nghiệm u(x, t) của phương trình Korteweg-de Vries trong một lớp hàm số
mà là lớp thế vị không tán xạ của toán tử Schr¨odinger.
Trong bốn tiểu mục của mục này, ba Tiểu mục 1.1.2, 1.1.3 và 1.1.4 trình
bày các kết quả nghiên cứu của Luận án, Tiểu mục 1.1.1 mô tả các kiến
thức chuẩn bị bao gồm các kết quả nghiên cứu trước đây của V. È. Lyantse
và P. L. Vu về toán tử Schr¨odinger trên nửa trục (ở đây biến không gian
x thuộc nửa trục dương [0, ∞)). Các kết quả của chúng tôi trong hai Tiểu
mục 1.1.2 và 1.1.3 là điều kiện cần và đủ để thế vị không tán xạ u(x, t) của
toán tử Schr¨odinger cũng là nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries.
Các kết quả này sẽ được thể hiện cụ thể trong ba Định lý 1.1.3, 1.1.4
và 1.1.5. Nội dung Tiểu mục 1.1.4 trình bày các ví dụ cụ thể về nghiệm
của phương trình Korteweg-de Vries được xác định theo hai Định lý 1.1.3
và 1.1.5.
1.1.1 Lớp nghiệm được gợi ý từ lý thuyết tán xạ
Nội dung chính của tiểu mục này là các kiến thức chuẩn bị của Mục 1.1
và không chứa kiến thức mới. Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt các kết quả
nghiên cứu của V. È. Lyantse về cặp bài toán tán xạ thuận và tán xạ
ngược đối với toán tử Schr¨odinger trên nửa trục dương (x ∈ [0, ∞)). Sau
đó chúng tôi giới thiệu công thức mô tả thế vị không tán xạ của P. L. Vu.
Các kết quả này đã được chứng minh chi tiết trong các tài liệu trích dẫn.
Bởi vậy chúng tôi chỉ giới thiệu kết quả mà không trình bày chứng minh.
18
A. Bài toán tán xạ thuận trên nửa trục
Xét toán tử Schr¨odinger L(t) được cho bởi công thức
L(t)y =
d
2
dx

2
y + u(x, t)y, (1.1.2a)
với miền xác định là không gian con trù mật sau đây của L
2
(0, ∞)
Dom(L(t)) ={y(., t) ∈ L
2
(0, ∞) ∩ AC
loc
[0, ∞),
dy
dx
∈ AC
loc
[0, ∞), Ly ∈ L
2
(0, ∞), y(0) = 0}, (1.1.2b)
trong đó, AC
loc
[0, ∞) là tập hợp các hàm y(x) liên tục tuyệt đối địa phương
trên nửa khoảng [0, ∞). Ở đây, biến thời gian t là một tham số tự do. Hàm
thế vị u(x, t) được giả thiết là hàm liên tục, nhận giá trị phức và là hàm
giảm nhanh theo đánh giá
∞

0
e
εx
|u(x, t)|dx < ∞ (1.1.2c)
với ε > 0 nào đấy cho trước. Do u(x, t) nhận giá trị phức nên toán tử L(t)

được xét nói chung không phải là toán tử tự liên hợp.
Bài toán tán xạ thuận là bài toán thứ nhất trong cặp bài toán tán xạ
([22, 30, 31]). Trong bài toán tán xạ thuận, một tập hợp đặc biệt được xây
dựng từ toán tử Schr¨odinger L(t) và tập này được gọi là dữ liệu tán xạ của
toán tử L(t). Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày quá trình xây dựng dữ liệu
tán xạ của toán tử L(t).
Từ toán tử L(t) được nêu ra ở trên chúng ta xét phương trình vi phân
d
2
y
dx
2
+ u(x, t)y = −ρ
2
y, (x, t) ∈ [0, ∞) × (−∞, ∞). (1.1.3)
trong đó λ = −ρ
2
là tham số phổ.
Nếu phương trình (1.1.3) có nghiệm không tầm thường y(x, t, ρ) thuộc
không gian L
2
(0, ∞) sao cho y(x, t, ρ) ∈ Dom(L) thì λ = −ρ
2
là một giá
trị riêng của toán tử L(t). Phương trình vi phân (1.1.3) là phương trình
vi phân cấp hai nên tập nghiệm của nó là một không gian tuyến tính hai
chiều. Sau đây chúng ta sẽ đưa ra một cơ sở của không gian hai chiều này
gồm hai nghiệm riêng của (1.1.3).
19
Phương trình (1.1.3) có một nghiệm ký hiệu là e(x, t, ρ) và được xây

dựng theo điều kiện tiệm cận
lim
x→+∞
e
−iρx
e(x, t, ρ) = 1. (1.1.4)
Căn cứ vào điều kiện (1.1.4) và sử dụng phương pháp biến thiên hằng số
chúng ta chuyển được bài toán (1.1.3) −(1.1.4) về phương trình tích phân
e(x, t, ρ) = e
iρx
+
∞

x
sin ρ(ξ −x)
ρ
u(ξ, t)e(ξ, t, ρ)dξ.
Nếu ρ là một số phức thuộc nửa mặt phẳng Im ρ > −
ε
2
thì sự tồn tại nghiệm
của phương trình tích phân trên đã được chỉ ra bằng cách sử dụng phương
pháp xấp xỉ liên tiếp. Tính duy nhất nghiệm của bài toán (1.1.3)−(1.1.4)
cũng đã được chứng minh. Chúng ta mô tả kết quả này bằng bổ đề sau:
Bổ đề 1.1.1. ([24, 30, 31]). Giả sử hàm thế vị u(x, t) thỏa mãn điều kiện
(1.1.2c). Khi đó trên nửa mặt phẳng Im ρ > −
ε
2
tồn tại duy nhất một
nghiệm e(x, t, ρ) của phương trình (1.1.3) thỏa mãn điều kiện tiệm cận

(1.1.4). Hơn nữa, e(x, t, ρ) là hàm chỉnh hình theo biến ρ khi Im ρ > −
ε
2
.
Cùng với nghiệm e(x, t, ρ), phương trình (1.1.3) cũng có một nghiệm
˜e(x, t, ρ) trong miền Im ρ > 0 với điều kiện tiệm cận
lim
x→+∞
e
iρx
˜e(x, t, ρ) = 1. (1.1.5)
Trên nửa mặt phẳng Im ρ > 0 hai hàm e(x, t, ρ) và ˜e(x, t, ρ) hình thành
một cơ sở của không gian tuyến tính hai chiều ứng với tập các nghiệm của
(1.1.3). Do ˜e(x, t, ρ) với Im ρ > 0 là hàm tăng nhanh theo hàm mũ khi
x → +∞ nên ˜e(x, t, ρ) ∈ L
2
(0, ∞), mặt khác e(x, t, ρ) với Im ρ > 0 là hàm
giảm nhanh nên e(x, t, ρ) ∈ L
2
(0, ∞). Suy ra, nếu λ = −ρ
2
là một giá trị
riêng của L(t) thì hàm riêng tương ứng là e(x, t, ρ) và theo điều kiện biên
ta phải có đẳng thức e(0, t, ρ) = 0.
Định nghĩa 1.1.1. Cho toán tử Schr¨odinger L(t) được xác định theo
(1.1.2a)−(1.1.2c) và hàm e(x, t, ρ) là nghiệm duy nhất của bài toán (1.1.3)−
(1.1.4). Chúng ta gọi số phức ρ = 0 nằm trong nửa mặt phẳng Im ρ ≥ 0 là
giá trị kỳ dị của toán tử L(t) nếu e(0, t, ρ) = 0.
20