Một số tìm hiểu tiếp theo về bổ túc xác suất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ DUNG
MỘT SỐ TÌM HIỂU TIẾP THEO
VỀ BỔ TÚC XÁC SUẤT
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành : LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Mã số : 60 46 01 06
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. PHAN VIẾT THƯ
HÀ NỘI, 2014
Mục lục
LỜI MỞ ĐẦU 5
BẢNG KÝ HIỆU 7
1 MARTINGALE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 8
1.1 Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Trường hợp rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Trường hợp Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Hàm mật độ có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4 Sự tồn tại và tính duy nhất . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5 Các tính chất của kì vọng có điều kiện . . . . . . . . 11
1.2 Lý thuyết Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Dừng tùy chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Các bất đẳng thức Doob . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4 Định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Các ứng dụng Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Tổng các biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Martingale không âm và sự thay đổi độ đo . . . . . . 22
1.3.3 Xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.4 Điều khiển ngẫu nhiên tối ưu . . . . . . . . . . . . . 27

2 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN THỜI GIAN LIÊN TỤC 29
2.1 Quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Quỹ đạo chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3 Martingale với thời gian liên tục . . . . . . . . . . . 32
2.2 Hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2
2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2 Định lý Prohorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.3 Hội tụ yếu và hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . 37
3 CHUYỂN ĐỘNG BROWN 39
3.1 Định lý Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Tính bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Tính chất Markov mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 Thời điểm chạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6 Tính chất quỹ đạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7 Hồi quy và sự nhất thời . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.8 Chuyển động Brown và bài toán Dirichle . . . . . . . . . . 50
3.9 Nguyên tắc bất biến của Donsker . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN POISSON VÀ QUÁ TRÌNH LEVY 58
4.1 Độ đo ngẫu nhiên Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.1 Cấu trúc và thuộc tính cơ bản . . . . . . . . . . . . 58
4.1.2 Tích phân đối với một độ đo ngẫu nhiên Poisson . . 60
4.2 Quá trình Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.2 Định lý Levy-Khinchin . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Tài liệu tham khảo 67
3
LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình và cũng hết
sức nghiêm khắc của PGS.TS. Phan Viết Thư. Thầy đã dành nhiều thời
gian quý báu của mình để hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của
tôi trong suốt cả quá trình làm luận văn. Tôi muốn tỏ lòng biết ơn chân
thành và sâu sắc nhất tới người thầy của mình.
Tôi cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học
trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô
đã đảm nhận giảng dạy khóa Cao học 2011 - 2013, đặc biệt là các thầy cô
tham gia giảng dạy nhóm Xác suất thống kê 2011 - 2013 lời cám ơn chân
thành đối với công lao dạy dỗ trong suốt thời gian của khóa học.
Tôi xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các anh chị em trong
nhóm Xác suất thống kê 2011 - 2013 đã quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện
và động viên tinh thần để tôi có thể hoàn thành được khóa học này.
4
LỜI MỞ ĐẦU
Bổ túc xác suất là một quá trình chuyển tiếp từ các khái niệm xác
suất cơ bản; cùng lý thuyết độ đo để xây dựng lý thuyết xác suất hiện đại
thông qua giải tích ngẫu nhiên. Với các khái niệm cơ bản như Lý thuyết
Martingale, Xích Markov, Di động ngẫu nhiên, Quá trình ngẫu nhiên liên
tục, Quá trình Wiener, làm cơ sở để nghiên cứu tiếp về quá trình ngẫu
nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên và tiếp cận các ứng dụng quan
trọng của lý thuyết xác suất như trong toán tài chính, phân tích chuỗi
thời gian, lý thuyết dự báo, Đây là lý do để chúng tôi chọn đề tài:
Một số tìm hiểu tiếp theo về bổ túc xác suất.
Luận văn trình bày nhiều khái niệm đã được học ở chương trình cao
học nhưng do khi học các khái niệm, định lý, tính chất chỉ được giới thiệu
mà chưa có chứng minh đầy đủ. Trong luận văn các khái niệm, định lý,
mệnh đề, tính chất đều được chứng minh chặt chẽ. Giúp tìm hiểu sâu hơn
về Bổ túc xác suất. Luận văn gồm có 4 chương:
Chương 1. Martingale và một số ứng dụng.

Kỳ vọng có điều kiện: Trường hợp rời rạc, Trường hợp Gauss, hàm mật
độ có điều kiện, sự tồn tại và duy nhất, tính chất cơ bản.
Martingale tham số rời rạc, martingale dưới và martingale trên, dừng
tùy chọn, bất đẳng thức Doob, cắt ngang, định lý hội tụ, martingale ngược.
Các ứng dụng của martingale: Tổng của biến ngẫu nhiên độc lập, luật
mạnh số lớn, đồng nhất thức của Wald, martingale không âm và sự biến
đổi độ đo, định lý Radon – Nikodym, định lý tích martingale của Kaku-
tani, kiểm tra tính vững của tỷ số hợp lý, Xích Markov, điều khiển tối ưu
ngẫu nhiên.
5
Chương 2. Quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục.
Quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục: Tiêu chuẩn Kolmogorov,
định lý quỹ đạo chính quy đối với martingale, martingale với thời gian liên
tục.
Hội tụ yếu trong R

: hội tụ của hàm phân phối, hội tụ đối với các hàm
liên tục bị chặn, phép nhúng Skorokhod, định lý Helly, hàm đặc trưng,
định lý liên tục của Levy.
Chương 3. Chuyển động Brown.
Chuyển động Brown: định lý Wiener, tính chất chia tỷ lệ và phép đối
xứng, Martingale liên quan đến chuyển động Brown, tính chất Markov
mạnh, định luật phản xạ, thời gian va chạm, tính chất đường dẫn, phép
hồi quy và sự nhất thời, chuyển động Brown và bài toán Dirichle, nguyên
tắc bất biến của Donske.
Chương 4. Độ đo ngẫu nhiên Poisson và quá trình Levy.
Quá trình Levy: Cấu trúc thuần túy bước nhảy của quá trình Levy bởi
tích phân đối với độ đo ngẫu nhiên Poisson, luật chia được vô hạn, định
lý Levy – Khinchin.
Do thời gian gấp rút và kiến thức còn hạn chế nên luận văn không thể

tránh khỏi những thiếu sót, vì vậy, rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, xin trân trọng cám ơn.
Hà Nội, tháng 08 năm 2014
6
BẢNG KÝ HIỆU
M
1
: Tập các martingale khả tích đều
M
p
: Tập các martingale bị chặn trong L
p
với p > 1
g
i
: Giá phát sinh chi phí trên mỗi lần tới i trước T
f
i
: Giá phát sinh khi đến tại i ∈ ∂D
D
n
: Tập hợp số nguyên bội của 2
−n
trên [0, ∞)
h.c.c: hầu chắc chắn
7
Chương 1
MARTINGALE VÀ MỘT SỐ ỨNG
DỤNG
1.1 Kỳ vọng có điều kiện

1.1.1 Trường hợp rời rạc
Cho (G
i
: i ∈ I) ký hiệu một họ đếm được các biến cố không giao nhau,
hợp của chúng là cả không gian xác suất. Đặt G = σ (G
i
: i ∈ I). Đối với
biến ngẫu nhiên khả tích X, chúng ta có thể định nghĩa
Y =

i
E(X |G
i
) 1
G
i
trong đó đặt E (X |G
i
) = E (X1
G
i
) /P (G
i
) khi P (G
i
) > 0 và định nghĩa
E (X |G
i
) một cách tùy ý khi P (G
i

) = 0. Khi đó dễ dàng thấy Y có 2 tính
chất sau:
(a) Y là G-đo được,
(b) Y khả tích và E (X1
A
) = E (Y 1
A
) với mọi A ∈ G.
1.1.2 Trường hợp Gauss
Cho (W, X) là biến ngẫu nhiên Gauss trong R
2
. Đặt G = σ (W) và
Y = aW + b, trong đó a, b ∈ R được chọn để thỏa mãn:
aE (W) + b = E (X) , a varW = cov (W, X)
Khi đó E (X − Y ) = 0 và
cov (W, X − Y ) = cov (W, X) −cov (W, Y ) = 0
8
nên W và X − Y độc lập. Do đó Y thỏa mãn:
(a) Y là G-đo được,
(b) Y khả tích và E (X1
A
) = E (Y 1
A
) với mọi A ∈ G.
1.1.3 Hàm mật độ có điều kiện
Giả sử U và V là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời f
U,V
(u, v)
trong R
2

. Khi đó U có hàm mật độ f
U
, xác định bởi
f
U
(u) =

R
f
U,V
(u, v) dv.
Hàm mật độ có điều kiện f
V |U
(v|u) của V với U đã cho được xác định
bởi
f
V |U
(v|u) = f
U,V
(u, v)/f
U
(u)
ở đây chúng ta quy ước 0/0 = 0. Cho h : R → R là hàm Borel và giả sử
rằng X = h (V ) khả tích. Đặt
g (u) =

R
h (v) f
V |U
(v|u) dv.

Đặt G = σ (U) và Y = g (U). Khi đó Y thỏa mãn:
(a) Y là G-đo được,
(b) Y khả tích và E (X1
A
) = E (Y 1
A
) với mọi A ∈ G.
Để chứng minh (b) ta chú ý rằng với mọi A ∈ G có dạng A = {U ∈ B},
với một tập Borel B nào đó. Khi đó, từ định lý Fubini,
E (X1
A
) =

R
2
h (v) 1
B
(u) f
U,V
(u, v) d (u, v)
=

R


R
h (v) f
V |U
(v |u) dv


f
U
(u) 1
B
(u) du = E (Y 1
A
) .
1.1.4 Sự tồn tại và tính duy nhất
Định lý 1.1. Cho X là một biến ngẫu nhiên khả tích và G ⊆ F là một
σ-đại số. Khi đó tồn tại một biến ngẫu nhiên Y sao cho:
(a) Y là G-đo được,
9
(b) Y khả tích và E (X1
A
) = E (Y 1
A
) với mọi A ∈ G.
Hơn nữa, nếu Y

cũng thỏa mãn (a) và (b), khi đó Y = Y

h.c.c.
Chúng ta gọi Y (một bản sao của) kỳ vọng có điều kiện của X với G
đã cho và viết Y = E (X |G) h.c.c. Trong trường hợp G = σ (G) với một
biến ngẫu nhiên G nào đó, chúng ta cũng viết Y = E (X |G) h.c.c. Ba ví
dụ trên đây cho thấy làm thế nào xây dựng cụ thể kỳ vọng có điều kiện
trong các trường hợp đơn giản nào đó. Nói chung, chúng ta phải tiếp cận
theo cách gián tiếp được cho bởi các định lý.
Chứng minh. (Tính duy nhất.) Giả sử rằng Y thỏa mãn (a) và (b) và
Y


thỏa mãn (a) và (b) với một biến ngẫu nhiên khả tích X

khác, với
X ≤ X

h.c.c. Xét biến ngẫu nhiên không âm Z = (Y − Y

) 1
A
, trong đó
A = {Y ≥ Y

} ∈ G. Khi đó
E (Z) = E (Y 1
A
) −E (Y

1
A
) = E (X1
A
) −E (X

1
A
) ≤ 0
nên Z = 0 h.c.c, suy ra Y ≤ Y

h.c.c. Trong trường hợp X = X


, chúng
ta suy ra Y = Y

h.c.c.
(Sự tồn tại.) Khởi đầu giả sử X ∈ L
2
(F). Do V = L
2
(G) là một không
gian con đóng của L
2
(F), chúng ta có X = Y +W với Y ∈ V và W ∈ V
⊥
.
Khi đó, với bất kỳ A ∈ G, chúng ta có 1
A
∈ V , nên
E (X1
A
) −E (Y 1
A
) = E (W1
A
) = 0.
Do đó Y thỏa mãn (a) và (b).
Bây giờ giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm bất kỳ. Khi đó, X
n
=
X ∧ n ∈ L

2
(F) và 0 ≤ X
n
↑ X khi n → ∞. Chúng ta phải chứng minh,
với mỗi n, tồn tại Y
n
∈ L
2
(G) sao cho, với mọi A ∈ G,
E (X
n
1
A
) = E (Y
n
1
A
)
và hơn nữa 0 ≤ Y
n
≤ Y
n+1
h.c.c. Cho Y = lim
n→∞
Y
n
, khi đó Y là G-đo
được và theo hội tụ đơn điệu, với mọi A ∈ G,
E (X1
A

) = E (Y 1
A
) .
Đặc biệt, nếu E (X) hữu hạn thì E (Y ) cũng như vậy.
Cuối cùng, đối với một biến ngẫu nhiên khả tích X nói chung, chúng
ta có thể sử dụng cách xây dựng trước cho X
−
và X
+
để thu được Y
−
và
Y
+
. Khi đó Y = Y
+
− Y
−
thỏa mãn (a) và (b).
10
1.1.5 Các tính chất của kì vọng có điều kiện
Cho X là một biến ngẫu nhiên khả tích và G ⊆ F là một σ-đại số. Các
tính chất sau được suy ra trực tiếp từ định lý 1.1:
(i) E (E (X |G)) = E (X),
(ii) Nếu X là G-đo được thì E (X |G) = X h.c.c,
(iii) Nếu X độc lập với G thì E (X |G) = E (X) h.c.c.
Trong chứng minh của định lý 1.1, chúng ta cũng thấy
(iv) Nếu X ≥ 0 h.c.c thì E (X |G) ≥ 0 h.c.c.
Tiếp đó, cho α, β ∈ R và biến ngẫu nhiên khả tích bất kì Y , chúng ta có
(v) E (αX + βY |G) = αE (X |G) + βE (Y |G) h.c.c.

Để thấy điều này, kiểm tra vế phải có các tính chất của định nghĩa (a) và
(b) như của vế trái.
Các định lý hội tụ cơ bản cho kỳ vọng tương tự với kỳ vọng có điều
kiện. Chúng ta hãy xét một dãy các biến ngẫu nhiên X
n
trong giới hạn
n → ∞. Nếu 0 ≤ X
n
↑ X h.c.c, thì E (X
n
|G) ↑ Y h.c.c, đối với một biến
ngẫu nhiên Y G-đo được; vì thế, bởi hội tụ đơn điệu, với mọi A ∈ G,
E (X1
A
) = lim E (X
n
1
A
) = lim E (E(X
n
|G) 1
A
) = E (Y 1
A
) .
suy ra Y = E (X |G) h.c.c. Chúng ta đã chứng minh được định lý hội tụ
đơn điệu có điều kiện:
(vi) Nếu 0 ≤ X
n
↑ X h.c.c thì E (X

n
|G) ↑ E (X |G) h.c.c.
Tiếp đó, bằng lập luận tương tự đã sử dụng để có các kết quả đầu tiên,
chúng ta có thể suy ra các dạng điều kiện của bổ đề Fatou và định lý hội
tụ trội
(vii) Nếu X
n
≥ 0 với mọi n thì E (lim inf X
n
|G) ≤ lim inf E (X
n
|G) h.c.c,
(viii) Nếu X
n
→ X và |X
n
| ≤ Y với mọi n, h.c.c, đối với một biến ngẫu
nhiên khả tích Y , thì E (X
n
|G) → E (X |G) h.c.c.
11
Dạng điều kiện của bất đẳng thức Jensen. Cho c : R → (−∞, ∞] là
một hàm lồi. Khi đó c là cận trên của một số đếm được các hàm afin:
c (x) = sup
i
(a
i
x + b
i
) , x ∈ R

Do đó, E (c (X) |G) được xác định tốt và gần như chắc chắn, với mọi i,
E (c (X) |G) ≥ a
i
E (X |G) + b
i
Vì thế, chúng ta nhận được
(ix) Nếu c : R → (−∞, ∞] là lồi thì E (c (X) |G) ≥ cE (X |G) h.c.c.
Đặc biệt, đối với 1 ≤ p < ∞
E (X |G)
p
p
= E (E |(X |G)|
p
) ≤ E (E (|X|
p
|G)) = E (|X|
p
) = X
p
p
Vì vậy, chúng ta có
(x) E (X |G)
p
≤ X
p
với mọi 1 ≤ p < ∞
Đối với σ-đại số bất kì H ⊆ G, biến ngẫu nhiên Y = E (E (X |G) |H)
là H-đo được và thỏa mãn, đối với mọi A ∈ H
E (Y 1
A

) = E (E (X |G) |1
A
) = E (X1
A
)
vì thế chúng ta tính chất tháp:
(xi) Nếu H ⊆ G thì E (E (X |G) |H) = E (X |H) h.c.c.
Chúng ta luôn đưa ra những cái đã biết:
(xii) Nếu Y bị chặn và G-đo được thì E (Y X |G) = Y E (X |G) h.c.c.
Để thấy điều này, trước hết xét trường hợp Y = 1
B
đối với B ∈ G nào đó.
Khi đó, với A ∈ G,
E (Y E (X |G) 1
A
) = E (E (X |G) 1
A∩B
) = E (X1
A∩B
) = E (Y X1
A
) ,
có nghĩa là E (Y X |G) = Y E (X |G) h.c.c. Mở rộng kết quả này cho biến
ngẫu nhiên đơn giản G-đo được Y bởi tính tuyến tính, khi đó với trường
hợp X ≥ 0 và bất kì biến ngẫu nhiên Y không âm G-đo được bởi sự hội tụ
đơn điệu. Trường hợp tổng quát được suy ra bởi biểu diễn X = X
+
−X
−
và Y = Y

+
− Y
−
Cuối cùng,
12
(xiii) Nếu σ (X, G) là độc lập với H thì E (X |σ (G, H)) = E (X |G) . h.c.c.
Vì giả sử A ∈ G và B ∈ H, khi đó
E (E(X |σ (G, H)) 1
A∩B
) = E (X1
A∩B
) = E (E (X |G) 1
A
) P (B)
= E (E (X |G) 1
A∩B
) .
Tập của các giao như A ∩B là một π-hệ sinh ra σ (G, H) .
Bổ đề 1.1. Cho X ∈ L
1
. Khi đó tập các biến ngẫu nhiên Y có dạng
Y = E (X |G), trong đó G ⊆ F là một σ-đại số, khả tích đều.
Chứng minh. Cho ε > 0, tìm được δ > 0 sao cho E (| X |1
A
) ≤ ε khi
P (A) ≤ δ. Khi đó chọn λ < ∞sao cho E (|X|) ≤ λδ. Giả sử Y = E (X |G),
khi đó |Y | ≤ E (|X||G). Đặc biệt, E (|Y |) ≤ E (|X|), do đó
P (|Y | ≥ λ) ≤ λ
−1
E (|Y |) ≤ δ.

Suy ra
E

|Y |1
|Y |≥λ

≤ E

|X|1
|Y |≥λ

≤ ε.
Do λ được chọn độc lập với G, ta có điều phải chứng minh.
1.2 Lý thuyết Martingale
1.2.1 Định nghĩa
Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất, (E, ε) là một không gian
đo được và I là tập đếm được của R. Một quá trình trong E là một họ
X = (X
t
)
t∈I
của biến ngẫu nhiên trong E. Một bộ lọc (F
t
)
t∈I
là một họ
tăng các σ-đại số con của F: do đó F
s
⊆ F
t

khi s ≤ t. Đặt F
−∞
= ∩
t∈I
F
t
và F
∞
= σ (F
t
: t ∈ I). Mỗi quá trình có một bộ lọc tự nhiên

F
X
t

t∈I
,
xác định bởi
F
X
t
= σ (X
s
: s ≤ t) .
Chúng ta sẽ luôn giả thiết một bộ lọc (F
t
)
t∈I
đã cho. Một σ-đại số F

t
giải
thích như mô hình hóa trạng thái về thông tin ta biết tại thời điểm t. Đặc
biệt, F
X
t
chứa tất cả các biến cố chỉ phụ thuộc (đo được) vào X
s
, s ≤ t,
nghĩa là, tất cả mọi thứ chúng ta biết về quá trình X đến thời điểm t.
Ta nói rằng X thích nghi (đối với (F
t
)
t∈I
) nếu X
t
là F
t
-đo được với mọi
13
t. Hiển nhiên mọi quá trình thích nghi với bộ lọc tự nhiên của nó. Trừ
trường hợp được chỉ rõ khác đi, từ bây giờ sẽ hiểu rằng E = R. Chúng ta
nói rằng X khả tích nếu X
t
khả tích với mọi t. Một martingale X là quá
trình thích nghi khả tích sao cho, mọi s, t ∈ I với s ≤ t,
E (X
t
|F
s

) = X
s
h.c.c.
Thay dấu bằng trong điều kiện trên bởi ≤ hoặc ≥, tương ứng chúng ta
được khái niệm martingale trên và martingale dưới. Chú ý rằng mọi quá
trình là một martingale đối với bộ lọc cho trước cũng là một martingale
đối với bộ lọc tự nhiên của nó.
1.2.2 Dừng tùy chọn
Chúng ta nói rằng một biến ngẫu nhiên T : Ω → I ∪{∞} là thời điểm
dừng nếu {T ≤ t} ∈ F
t
với mọi t. Đối với thời điểm dừng T , ta đặt
F
t
=

A ∈ F : A ∩{T ≤ t} ∈ F
t
với mọi t

.
Dễ dàng kiểm tra được rằng, nếu T ≡ t, thì T là thời điểm dừng và
F
T
= F
t
. Với một quá trình X đã cho, ta đặt X
T
(ω) = X
T (ω)

(ω) khi
T (ω) < ∞. Chúng ta cũng định nghĩa quá trình dừng lại (stoped process)
X
T
bởi X
T
t
= X
T ∧t
.
Chúng ta giả sử trong 2 kết quả sau đây rằng I = {0, 1, 2, }. Trong
trường hợp này, chúng ta viết n, m hoặc k là các phần tử của I, chứ không
phải là t hoặc s.
Mệnh đề 1.1. Cho S và T là các thời điểm dừng và X = (X
n
)
n≥0
là một
quá trình thích nghi. Khi đó
(a) S ∧T là thời điểm dừng,
(b) Nếu S ≤ T thì F
S
⊆ F
T
,
(c) X
T
1
T <∞
là một biến ngẫu nhiên F

T
-đo được,
(d) X
T
là thích nghi,
(e) Nếu X khả tích thì X
T
khả tích.
Định lý 1.1. (Định lý dừng tùy chọn). Cho X = (X
n
)
n≥0
là một quá
trình thích nghi khả tích. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
14
(a) X là một martingale trên,
(b) Với mọi thời điểm dừng bị chặn T và mọi thời điểm dừng S,
E (X
T
|F
S
) ≤ X
S∧T
h.c.c,
(c) Với mọi thời điểm dừng T , X
T
là martingale trên,
(d) Với mọi thời điểm dừng bị chặn T và S, với S ≤ T,
E (X
S

) ≥ E (X
T
) .
Chứng minh. Cho S ≥ 0 và T ≤ n, chúng ta có
X
T
= X
S∧T
+

S≤k<T
(X
k+1
− X
k
)
= X
S∧T
+
n

k=0
(X
k+1
− X
k
) 1
S≤k<T
. (1.1)
Giả sử X là martingale trên và S, T là các thời điểm dừng, với T ≤ n.

Cho A ∈ F
S
. Khi đó A ∩{S ≤ k}, {T > k} ∈ F
k
nên
E ((X
k+1
− X
k
) 1
S≤k<T
1
A
) ≤ 0.
Do đó, nhân (1.1) với 1
A
và lấy kỳ vọng, chúng ta có được
E (X
T
1
A
) ≤ E (X
S∧T
1
A
)
Chúng ta đã chỉ ra (a) suy ra (b).
Hiển nhiên từ (b) suy ra (c) và (d) và từ (c) suy ra (a).
Cho m ≤ n và A ∈ F
m

. Đặt T = m1
A
+ n1
A
C
, khi đó T là thời điểm
dừng và T ≤ n. Chú ý rằng
E (X
n
1
A
) −E (X
m
1
A
) = E (X
n
) −E (X
T
) .
Khi đó từ (d) suy ra (a).
1.2.3 Các bất đẳng thức Doob
Cho X là một quá trình và a, b ∈ R với a < b. Với J ⊆ I, đặt
U ([a, b] , J) = sup {n : X
s
1
< a, X
t
1
> b, , X

s
n
< a, X
t
n
> b
với mọi s
1
< t
1
< < s
n
< t
n
trong J

.
Khi đó U [a, b] = U {[a, b] , I} là số lần cắt ngang lên [a, b] của X.
15
Định lý 1.2. (Bất đẳng thức cắt ngang của Doob). Cho X là một mar-
tingale trên. Khi đó
(b −a) E (U [a, b]) ≤ sup
t∈I
E

(X
t
− a)
−


Chứng minh. Từ U ([a, b] , I) = lim
J↑I,J hữu hạn
U ([a, b] , J), theo sự hội tụ
đơn điệu, ta chỉ cần xét các trường hợp trong đó I hữu hạn là đủ. Giả sử
I = {0, 1, , n}.
Viết U = U[a, b] và chú ý rằng U ≤ n. Đặt T
0
= 0 và định nghĩa bằng
quy nạp với k ≥ 0:
S
k+1
= inf {m ≥ T
k
: X
m
< a}, T
k+1
= inf {m ≥ S
k+1
: X
m
> b}.
Theo quy ước inf∅ = ∞. Khi đó U = max {k : T
k
< ∞}. Với k ≤ U,
đặt G
k
= X
T
k

− X
S
k
và chú ý rằng G
k
≥ b − a. Chú ý rằng T
U
≤ n và
T
U+1
= ∞. Đặt
R =

X
n
− X
S
U+1
nếu S
U+1
< ∞,
0 nếu S
U+1
= ∞
và chú ý rằng R ≥ −(X
n
− a)
−
.
Khi đó chúng ta có

n

k=1
(X
T
k
∧n
− X
S
k
∧n
) =
U

k=1
G
k
+ R ≥ (b − a) U − (X
n
− a)
−
. (1.2)
Bây giờ X là một martingale trên và S
k
∧n và T
k
∧n các thời điểm dừng
bị chặn, với S
k
∧n ≤ T

k
∧n. Do đó, theo dừng lại tùy chọn, E (X
T
k
∧n
) ≤
E (X
S
k
∧n
) và lấy kỳ vọng trong (1.2) được kết quả bất đẳng thức cần chứng
minh trên.
Với bất kì quá trình X, với J ⊆ I, ta đặt
X
∗
(J) = sup
t∈J
|X
t
|, X
∗
= X
∗
(I) .
Định lý 1.3. (Bất đẳng thức cực đại của Doob). Cho X là một martingale
hoặc một martingale dưới không âm. Khi đó, với mọi λ ≥ 0,
λP (X
∗
≥ λ) ≤ sup
t∈I

E (|X
t
|) .
16
Chứng minh. Chú ý rằng
λP (X
∗
≥ λ) = lim
ν↑λ
νP (X
∗
> ν) ≤ lim
ν↑λ
lim
J↑I,J hữu hạn
νP (X
∗
(J) ≥ ν) .
Chỉ cần xét các trường hợp trong đó I hữu hạn. Giả thiết rằng I =
{0, 1, 2, , n}. Nếu X là một martingale thì |X| là một martingale dưới
không âm. Ta chỉ cần xét các trường hợp trong đó X không âm.
Đặt T = inf {m ≥ 0 : X
m
≥ λ} ∧ n. Khi đó T là thời điểm dừng và
T ≤ n theo dừng tùy chọn,
E (X
n
) ≥ E (X
T
) = E (X

T
1
X
∗
≥λ
)+E (X
T
1
X
∗
<λ
) ≥ λP (X
∗
≥ λ)+E (X
n
1
X
∗
<λ
) .
Do đó,
λP (X
∗
≥ λ) ≤ E (X
n
1
X
∗
≥λ
) ≤ E (X

n
) . (1.3)
Định lý 1.4. (Bất đẳng thức L
p
của Doob). Cho X là một martingale hoặc
một martingale dưới không âm. Khi đó, với mọi p > 1 và q = p/(p −1),
X
∗

p
≤ q sup
t∈I
X
t

p
.
Chứng minh. Nếu X là một martingale thì |X| là một martingale dưới
không âm. Sẽ là đủ khi xét các trường hợp X không âm. Từ X
∗
=
lim
J↑I,J hữu hạn
X
∗
(J), theo định lý hội tụ đơn điệu sẽ là đủ khi xét trường
hợp I hữu hạn. Giả sử rằng I = {0, 1, 2, , n}.
Cố định k < ∞. Theo định lý Fubini, phương trình (1.3) và bất đẳng
thức Holder,
E [(X

∗
∧ k)
p
] = E

k
0
pλ
p−1
1
X
∗
≥λ
dλ =

k
0
pλ
p−1
P (X
∗
≥ λ) dλ
≤

k
0
pλ
p−2
E (X
n

1
X
∗
≥λ
) dλ = qE

X
n
(X
∗
∧ k)
p−1

≤ qX
n

p
X
∗
∧ k
p−1
p
.
Do đó X
∗
∧ k
p
≤ qX
n


p
và được kết quả sau khi áp dụng sự hội tụ
đơn điệu khi cho k → ∞.
17
1.2.4 Định lý hội tụ
Nhớ lại rằng, với p ≥ 1, một quá trình X bị chặn trong L
p
nếu
sup
t∈I
X
t

p
< ∞. Cũng như vậy X khả tích đều nếu
sup
t∈I
E

|X
t
|1
|X
t
|>k

→ 0 khi k → ∞.
Nếu X bị chặn trong L
p
với p > 1, khi đó X là khả tích đều. Và nếu X là

khả tích đều thì X bị chặn trong L
1
.
Hai kết quả tiếp theo được phát biểu trong trường hợp sup I = ∞.
Định lý 1.5. (Định lý martingale hội tụ hầu chắc chắn). Cho X là
martingale trên bị chặn trong L
1
. Khi đó X
t
→ X
∞
h.c.c khi t → ∞, với
X
∞
∈ L
1
(F
∞
) nào đó.
Chú ý rằng, nếu inf I ∈ I thì martingale trên không âm bị chặn trong L
1
.
Chứng minh. Bất đẳng thức cắt ngang Doob, với mọi a < b,
E (U [a, b]) ≤ (b −a)
−1
sup
t∈I
E (|X
t
| + |a|) < ∞.

Xét với a < b, các tập hợp
Ω
a,b
=

lim inf
t→∞
X
t
< a < b < lim sup
t→∞
X
t

.
Ω
0
=

X
t
hội tụ trong [−∞, ∞] khi t → ∞

.
Từ U [a, b] = ∞ trên Ω
a,b
chúng ta có P (Ω
a,b
) = 0. Nhưng
Ω

0
∪ (∪
a,b∈Q,a<b
Ω
a,b
) = Ω
suy ra P (Ω
0
) = 1. Định nghĩa:
X
∞
=

lim
t→∞
X
t
trên Ω
0
,
0 trên Ω\Ω
0
Khi đó X
∞
là F
∞
-đo được và từ bổ đề Fatou,
E (|X
∞
|) ≤ lim inf

t→∞
E (|X
t
|) < ∞
nên X
∞
∈ L
1
.
18
Chúng ta kí hiệu M
1
tập các martingale khả tích đều và, với p > 1,
M
p
là tập các martingale bị chặn trong L
p
.
Định lý 1.6. (Định lý martingale hội tụ trong L
p
). Cho p ∈ [1, ∞).
(a) Giả sử X ∈ M
p
. Khi X
t
→ X
∞
khi t → ∞, h.c.c và trong L
p
, với

X
∞
∈ L
p
(F
∞
) nào đó. Hơn nữa, X
t
= E (X
∞
|F
t
) h.c.c với mọi t.
(b) Giả sử Y ∈ L
p
(F
∞
) và đặt X
t
= E (Y |F
t
). Khi đó X = (X
t
)
t∈I
∈
M
p
và X
t

→ Y khi t → ∞, h.c.c và trong L
p
.
Do đó ánh xạ X → X
∞
là sự tương ứng 1-1 giữa M
p
và L
p
(F
∞
).
Chứng minh. Với p = 1. Cho X là một martingale khả tích đều. Khi đó
X
t
→ X
∞
h.c.c do định lý martingale hội tụ hầu chắc chắn. Từ X là UI,
suy ra X
t
→ X
∞
trong L
1
. Tiếp theo, với s ≥ t,
X
t
− E (X
∞
|F

t
)
1
= E (X
s
− X
∞
|F
t
)
1
≤ X
s
− X
∞

1
.
Cho s → ∞ suy ra X
t
= E (X
∞
|F
t
) h.c.c.
Bây giờ giả sử rằng Y ∈ L
1
(F
∞
) và đặt X

t
= E (Y |F
t
). Khi đó,
X = (X
t
)
t∈I
là martingale do tính chất “tháp” và khả tích đều do Bổ đề
1.1. Do đó X
t
hội tụ hầu chắc chắn và trong L
1
với giới hạn X
∞
. Với mọi
t và mọi A ∈ F
t
, chúng ta có
E (X
∞
1
A
) = lim
t→∞
E (X
t
1
A
) = E (Y 1

A
)
Bây giờ X
∞
, Y ∈ L
1
(F
∞
) và ∪
t
F
t
là π-hệ sinh ra F
∞
. Do đó X
∞
= Y
h.c.c.
Chứng minh. .Cho trường hợp p > 1. Cho X là một martingale bị chặn
trong L
p
với p > 1. Khi đó X
t
→ X
∞
h.c.c do định lý martingale hội tụ
hầu chắc chắn. Theo bất đẳng thức Doob trong L
p
,
X

∗

p
≤ q sup
t∈I
X
t

p
< ∞.
Từ |X
t
− X
∞
|
p
≤ (2X
∗
)
p
với mọi t, ta có thể sử dụng hội tụ trội suy ra
X
t
→ X
∞
trong L
p
. Suy ra X
t
= E (X

∞
|F
t
) h.c.c, như trong trường hợp
p = 1.
19
Bây giờ giả sử Y ∈ L
p
(F
∞
) và đặt X
t
= E (Y |F
t
). Khi đó, X = (X
t
)
t∈I
là một martingale do tính chất “tháp” và
X
t

p
= E (Y |F
t
)
p
≤ Y 
p
với mọi t, nên X bị chặn trong L

p
. Do đó, X
t
hội tụ hầu chắc chắn, và
trong L
p
, với giới hạn X
∞
, và chúng ta có thể chỉ ra X
∞
= Y h.c.c, như
trong trường hợp p = 1.
Trong kết quả tiếp theo chúng ta giả sử infI = −∞.
Định lý 1.7. (Định lý martingale ngược hội tụ). Cho p ∈ [1, ∞) và
Y ∈ L
p
. Đặt X
t
= E (Y |F
t
). Khi đó, X
t
→ E (Y |F
−∞
) khi t → −∞,
h.c.c và trong L
p
.
Chứng minh. Suy luận ở đây là một sự thay đổi nhỏ của suy luận đã được
sử dụng trong định lý 1.2, 1.5, 1.6. Quá trình X tự động UI do bổ đề 1.1

và bị chặn trong L
p
bởi vì X
t

p
= E (Y |F
t
)
p
≤ Y 
p
với mọi t. Chúng
ta để lại các chi tiết đó cho người đọc.
Trong kết quả sau, chúng ta lấy I = {0, 1, 2, }
Định lý 1.8. (Định lý dừng tùy chọn(tiếp theo)). Cho X là một UI
martingale và cho S và T là các thời điểm dừng. Khi đó
E (X
T
|F
S
) = X
S∧T
h.c.c
Chứng minh. Chúng ta đã chứng minh định lý khi T bị chặn. Nếu T không
bị chặn, thì T ∧n là thời điểm dừng bị chặn, như vậy
E

X
T

n
|F
S

= E (X
T ∧n
|F
S
) = X
S∧T ∧n
= X
T
S∧n
h.c.c (1.4)
Bây giờ


E

X
T
n
|F
S

− E (X
T
|F
S
)



1
≤


X
T
n
− X
T
∞


1
(1.5)
Chúng ta có X
n
→ X
∞
trong L
1
. Như vậy, trong trường hợp T ≡ ∞
chúng ta có thể lấy được giới hạn trong (1.4) thu được
E (X
∞
|F
S
) = X
S

h.c.c
Khi đó, trở lại (1.5), với T tổng quát, chúng ta có


X
T
n
− X
T
∞


1
= E (X
n
− X
∞
|F
T
)
1
≤ X
n
− X
∞

1
và kết quả có được khi qua giới hạn trong (1.4).
20
1.3 Các ứng dụng Martingale

1.3.1 Tổng các biến ngẫu nhiên độc lập
Trong mục này (X
n
: n ∈ N) là kí hiệu một dãy các biến ngẫu nhiên
độc lập. Chúng ta sẽ sử dụng các lý luận martingale để phân tích các dáng
điệu của tổng
S
0
= 0, S
n
= X
1
+ + X
n
, n ∈ N
Định lý 1.9. (Luật mạnh số lớn). Cho (X
n
: n ∈ N) là dãy các biến
ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối trong L
1
và đặt µ = E (X
1
). Khi
đó, S
n
/n → µ h.c.c và trong L
1
.
Chứng minh. Định nghĩa với n ≥ 1
F

−n
= σ (S
m
: m ≥ n) , J
n
= σ (X
m
: m ≥ n + 1)
Khi đó F
−n
= σ (S
n
, J
n
). Khi X
1
độc lập với J
n
, chúng ta có E (X
1
|F
−n
) =
E (X
1
|S
n
) với mọi n. Bây giờ, với mọi A ∈ B và k = 1, , n, do tính đối
xứng, E (X
k

1
S
n
∈A
) không phụ thuộc vào k. Do đó, E (X
k
|S
n
) không phụ
thuộc vào k. Nhưng E (X
1
|S
n
) + + E (X
n
|S
n
) = E (S
n
|S
n
) = S
n
. Vì
vậy chúng ta có E (X
1
|S
n
) = S
n

/n h.c.c.
Đặt M
−n
= S
n
/n. Chúng ta thấy rằng (M
n
)
n≤0
là một (F
n
)
n≤0
-martingale.
Vì vậy, do định lý martingale ngược hội tụ, S
n
/n hội tụ hầu chắc chắn và
trong L
1
. Cuối cùng, do luật 0-1 Kolmogorov, giới hạn Y là hầu chắc chắn,
hằng số. Vì vậy Y = E (Y ) = lim
n
E (S
n
/n) = µ h.c.c.
Mệnh đề 1.2. Cho (X
n
: n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập trong
L
2

và đặt
µ
n
= E (X
n
) , σ
2
n
= var (X
n
)
Giả sử rằng các chuỗi

n
µ
n
và

n
σ
2
n
đều hội tụ trong R. Khi đó S
n
hội
tụ hầu chắc chắn và trong L
2
.
Mệnh đề 1.3. (Hằng đẳng thức Wald). Cho (X
n

: n ∈ N) là dãy các biến
ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với P (X
1
= 0) < 1. Cho a, b ∈ R với
a < 0 < b và đặt
T = inf

n ≥ 0 : S
n
< a hoặc S
n
> b

21
Khi đó E (T ) < ∞.
Đặt M (λ) = E (exp (λX
1
)). Khi đó, với bất kì λ ∈ R sao cho M (λ) <
∞ và E

M(λ)
−T

< ∞, chúng ta có
E

M(λ)
−T
exp (λS
T

)

= 1
1.3.2 Martingale không âm và sự thay đổi độ đo
Mệnh đề 1.4. Cho (X
n
)
n≥0
là quá trình thích nghi không âm, E (X
n
) = 1
với mọi n.
(a) Chúng ta có thể định nghĩa với mỗi n một độ đo xác xuất
˜
P
n
trên F
n
xác định bởi
˜
P
n
(A) = E (X
n
1
A
) , A ∈ F
n
Các độ đo này là nhất quán, tức là
˜

P
n+1|F
n
=
˜
P
n
với mọi n, nếu và chỉ
nếu (X
n
)
n≥0
là một martingale.
(b) Giả sử rằng (X
n
)
n≥0
là một martingale. Khi đó tồn tại một độ đo
xác suất
˜
P trên F
∞
sao cho
˜
P
|F
n
=
˜
P

n
với mọi n nếu và chỉ nếu
E (X
T
) = 1 với mọi thời điểm dừng hữu hạn T .
(c) Giả sử rằng E (X
T
) = 1 với mọi thời điểm dừng hữu hạn T . Khi đó
tồn tại biến ngẫu nhiên X F
∞
-đo được sao cho
˜
P
n
(A) = E (X1
A
)
với mọi A ∈ F
∞
nếu và chỉ nếu (X
n
)
n≥0
khả tích đều.
Chứng minh. (b). Khi (X
n
)
n≥0
là martingale, theo (a) , chúng ta có thể
xác định một hàm tập hợp

˜
P trên ∪
n
F
n
sao cho
˜
P
|F
n
=
˜
P
n
với mọi n. Chú
ý rằng ∪
n
F
n
là một một vành. Do định lý mở rộng Caratheodory,
˜
P mở
rộng thành độ đo trên F
∞
nếu và chỉ nếu
˜
P là cộng tính đếm được trên
∪
n
F

n
. Vì mỗi
˜
P
n
là cộng tính đếm được, không khó để thấy rằng đây là
điều kiện cố định nếu và chỉ nếu
∞

n=1
˜
P (A
n
) = 1
với mọi phân hoạch thích nghi (A
n
: n ≥ 0) trên Ω. Do đó, nó thỏa mãn
với chú ý rằng phân hoạch thích nghi là tương ứng 1-1 với các thời điểm
22
dừng hữu hạn T , do {T = n} = A
n
, và khi đó
E (X
T
) =
∞

n=1
˜
P (A

n
)
Định lý 1.10. (Định lý Radon-Nykodym). Cho P và
˜
P là độ đo xác suất
trên không gian đo được (Ω, F). Giả sử F là cảm sinh đếm được tức là với
một dãy nào đó các tập (F
n
: n ∈ N),
F = σ (F
n
: n ∈ N)
Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(a) P (A) = 0 suy ra
˜
P (A) = 0 với mọi A ∈ F,
(b) Tồn tại biến ngẫu nhiên X ≥ 0, sao cho
˜
P (A) = E (X1
A
) , A ∈ F
Biến ngẫu nhiên X, duy nhất P-h.c.c, được gọi là (một bản sao của) đạo
hàm Radon-Nikody của
˜
P đối với P. Chúng ta viết X = d
˜
P

dP h.c.c.
Định lý mở rộng trực tiếp tới độ đo hữu hạn do chia tỉ lệ, sau đó đến độ

đo σ-hữu hạn do chia Ω thành các phần rời nhau có độ đo là hữu hạn. Giả
thiết rằng F là cảm sinh đếm được cũng có thể bỏ nhưng chúng ta không
làm chi tiết ở đây.
Chứng minh. Dễ dàng thấy (b) suy ra (a). Giả sử ngược lại (a) đúng. Đặt
F
n
= σ (F
k
: k ≤ n). Với mỗi n, chúng ta có thể xác định một biến ngẫu
nhiên X
n
F-đo được sao cho
˜
P
n
(A) = E (X
n
1
A
) với mọi A ∈ F
n
. Vì
chúng ta có thể tìm được các tập rời nhau A
1
, A
2
A
m
sao cho F
n

=
σ (A
1
, , A
m
) và khi đó
X
n
=
m

j=1
˜
P (A
j
)
P(A
j
)
1
A
j
có tính chất cần tìm. Chúng ta chấp nhận ở đây 0/0 = 0.
Quá trình (X
n
)
n≥0
là một martingale, chúng ta sẽ chứng tỏ nó khả tích
đều. Khi đó, do định lý martingale hội tụ trong L
1

, tồn tại biến ngẫu
23
nhiên X ≥ 0 sao cho E (X1
A
) = E (X
n
1
A
) với mọi A ∈ F. Định nghĩa
Q (A) = E (X1
A
) với mọi A ∈ F thì Q là độ đo xác suất và Q =
˜
P trên
∪
n
F
n
là π-hệ cảm sinh ra F. Do đó Q =
˜
P trên F, suy ra (b).
Còn phải chứng tỏ rằng (X
n
)
n≥0
là khả tích đều. Với ε > 0 tìm δ > 0
sao cho
˜
P (B) < ε khi P (B) < δ, B ∈ F. Nếu không, sẽ là một dãy của tập
B

n
∈ F với P (B
n
) < 2
−n
và
˜
P (B
n
) ≥ ε với mọi n; khi đó P (B
n
i.o.) = 0
và
˜
P (B
n
i.o.) ≥ ε mâu thuẫn với (a). Đặt λ = 1/δ, khi đó, với mọi n,
chúng ta có P (X
n
> λ) ≤ E(X
n
)/λ = 1/λ = δ, nên
E (X
n
1
X
n
>λ
) =
˜

P (X
n
> λ) < ε
Do đó (X
n
)
n≥0
khả tích đều.
Định lý 1.11. (Định lý tích martingale của Kakutani.). Cho (X
n
: n ∈ N)
là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập không âm của giá trị trung bình 1. Đặt
M
0
= 1, M
n
= X
1
X
2
X
n
, n ∈ N
Khi đó, (M
n
)
n≥0
là một martingale không âm và M
n
→ M

∞
h.c.c với một
biến ngẫu nhiên M
∞
nào đó. Đặt a
n
= E

√
X
n

thì a
n
∈ (0, 1]. Hơn nữa,
(a) Nếu

n
a
n
> 0, thì M
n
→ M
∞
trong L
1
và E (M
∞
) = 1,
(b) Nếu


n
a
n
= 0, thì M
∞
= 0 h.c.c.
Chứng minh. Chúng ta có, với mọi n và h.c.c,
E (M
n+1
|F
n
) = E (M
n
X
n+1
|F
n
) = M
n
E (X
n+1
|F
n
) = M
n
E (X
n+1
) = M
n

Vì vậy (M
n
)
n≥0
là một martingale. Từ M
n
≥ 0, (M
n
)
n≥0
bị chặn trong L
1
nên hội tụ hầu chắc chắn do định lý martingale hội tụ hầu chắc chắn.
Đặt Y
n
=
√
X
n

a
n
và N
n
= Y
1
Y
2
Y
n

, khi đó, (N
n
)
n≥0
là một martin-
gale đúng như (M
n
)
n≥0
. Chú ý rằng M
n
≤ N
2
n
với mọi n.
Giả sử rằng

n
a
n
> 0 thì
E

N
2
n

= (a
1
a

2
a
n
)
−2
≤


n
a
n

−2
< ∞
nên (N
n
)
n≥0
bị chặn trong L
2
. Do đó từ bất đẳng thức Doob,
E

sup
n
M
n

≤ E


sup
n
N
2
n

≤ 4 sup
n
E

N
2
n

< ∞
24
Do đó M
n
→ M
∞
trong L
1
, bởi sự hội tụ trội.
Mặt khác, chúng ta biết rằng N
n
hội tụ hầu chắc chắn do định lý
martingale hội tụ hầu chắc chắn. Vì vậy, nếu

n
a

n
= 0 thì chúng ta cũng
có M
∞
= 0 h.c.c.
Hệ quả 1.1. Cho P và
˜
P là các độ đo xác suất trên không gian đo được
(Ω, F). Cho (X
n
: n ∈ N) là dãy biến ngẫu nhiên. Giả sử, theo P (tương
ứng
˜
P), các biến ngẫu nhiên X
n
độc lập và X
n
có quy luật µ
n
(tương ứng
˜µ
n
) với mọi n. Giả sử rằng ˜µ
n
= f
n
µ
n
với mọi n. Định nghĩa tỷ số hợp lý
L

n
=
n

i=1
f
i
(X
i
)
Khi đó, theo P,
(a) Nếu

n

R
√
f
n
dµ
n
> 0 thì L
n
hội tụ hầu chắc chắn và trong L
1
,
(b) Nếu

n


R
√
f
n
dµ
n
= 0 thì L
n
→ 0 h.c.c.
Đặc biệt, nếu µ
n
= µ và ˜µ
n
= ˜µ với mọi n, với µ = ˜µ thì
P (L
n
→ 0) = 1,
˜
P (L
n
→ ∞) = 1
1.3.3 Xích Markov
Cho E là một tập đếm được. Chúng ta nhận biết mỗi độ đo xác suất
λ trên E với vecto hàng (λ
i
: i ∈ E), trong đó λ
i
= λ ({i}). Chúng ta
nhận biết mỗi hàm f trên E với vecto cột (f
i

: i ∈ E), trong đó f
i
= f (i).
Một ma trận P = (p
ij
: i, j ∈ E) được gọi là ngẫu nhiên nếu mỗi hàng
(p
ij
: j ∈ E) là một độ đo xác xuất.
Chúng ta giả sử có một bộ lọc (F
n
)
n≥0
. Cho (X
n
)
n≥0
là một quá trình
thích nghi trong E. Chúng ta nói rằng (X
n
)
n≥0
là một xích Markov với ma
trận chuyển P , nếu với mọi n ≥ 0; i, j ∈ E, và A ∈ F
n
với A ⊆ {X
n
= i},
P (X
n+1

= j |A) = p
ij
Khái niệm xích Markov của chúng ta phụ thuộc vào sự lựa chọn bộ lọc.
Khi cần thiết làm cho nó hiện, chúng ta sẽ nói tới một xích Markov đối
với (F
n
)
n≥0
. Kết quả sau cho thấy định nghĩa của chúng ta trùng với định
nghĩa thông thường đối với phần lớn sự lựa chọn hiển nhiên về bộ lọc.
25