Hàm số mũ, hàm số logarit và một số vấn đề liên quan
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.42 MB, 108 trang )
1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
PHÙNG THỊ HOÀNG NGHĨA
HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT
VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – Năm 2012
2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN – CƠ – TIN HỌC
Phùng Thị Hoàng Nghĩa
HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT
VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành : Phƣơng pháp toán sơ cấp
Mã số : 60 46 40
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS Nguyễn Thành Văn
Hà Nội – Năm 2012
3
Mục lục
Lời nói đầu
3
1
Một số kiến thức cơ bản
5
1.1
Khái niệm hàm số, hàm ngược ……………………………………
5
1.2
Hàm số mũ ………………………………………………………….
6
1.3
Hàm số logarit ……………………………………………………
7
1.4
Định lý Lagrange …………………………………………………
8
2
Đẳng thức, bất đẳng thức mũ và logarit
10
2.1
Tính giá trị biểu thức ……………………………………………….
10
2.2
Chứng minh đẳng thức ……………………………………………
14
2.3
Chứng minh bất đẳng thức …………………………………………
17
3
Phƣơng trình, bất phƣơng trình mũ và logarit
44
3.1
Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và
logarit ……………………………………………………………….
44
3.1.1
Phương pháp đưa về cùng cơ số ………………………….…
44
3.1.2
Phương pháp đặt ẩn phụ …………………………………….
50
3.1.3
Phương pháp đưa về phương trình, bất phương trình tích …
63
3.1.4
Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ và
logarit ……………………………………………………….
67
3.1.5
Phương pháp so sánh ………………………………….…….
74
3.1.6
Phương pháp sử dụng đạo hàm ……………………………
75
3.2
Bài tập áp dụng ……………………………………………………
86
3.2.1
Giải phương trình, bất phương trình ………………………
86
4
3.2.2
Giải và biện luận phương trình, bất phương trình …………
94
3.2.3
Tìm điều kiện của tham số thỏa mãn điều kiện cho trước ….
99
Kết luận
105
Tài liệu tham khảo
106
5
LỜI NÓI ĐẦU
Hàm số là một khái niệm rất quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong
các ngành khoa học khác như kinh tế, cơ học, vật lý, hóa học, kỹ thuật, …. Ở bậc trung
học phổ thông thì hai hàm số sơ cấp quan trọng là hàm số mũ và hàm số logarit. Các
bài toán liên quan đến hai hàm số này cũng là các bài toán khó và xuất hiện nhiều trong
các kỳ thi học sinh giỏi cũng như các kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng hàng năm.
Một trong những nguyên nhân làm cho học sinh trung học phổ thông khó tìm ra lời giải
của các bài toán này là do các bài tập liên quan đến hàm số mũ, logarit rất phong phú,
đa dạng với nhiều phương pháp giải. Do đó, tác giả đã chọn đề tài “Hàm số mũ, hàm
số logarit và một số vấn đề liên quan” để làm luận văn của mình.
Nội dung của luận văn gồm lời nói đầu, kết luận và được chia thành ba chương
Chương 1. Một số kiến thức cơ bản
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm số, hàm ngược, hàm số mũ và
hàm số logarit và định lý Lagrange, định lý Rolle
Chương 2 . Đẳng thức, bất đẳng thức mũ và logarit
Chương này tác giả trình bày một số bài tập liên quan đến đẳng thức, bất đẳng thức
mũ và logarit : rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.
Chương 3. Phương trình, bất phương trình mũ và logarit
Trong chương này, tác giả nêu được một số phương pháp cơ bản giải phương trình,
bất phương trình mũ và logarit như : phương pháp đưa về cùng cơ số, phương pháp đặt
ẩn phụ, phương pháp đưa về phương trình, bất phương trình tích, phương pháp sử dụng
tính đơn điệu của hàm số, phương pháp so sánh và phương pháp sử dụng đạo hàm kèm
theo một số bài tập minh họa. Cuối chương là bài tập áp dụng các phương pháp đã nêu.
6
Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Nguyễn
Thành Văn. Thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo cho học trò trong suốt thời gian xây
dựng đề tài cho đến khi hoàn thành luận văn.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo trong khoa Toán –
Cơ – Tin học, Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên –
Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian học tập tại
trường.
Tác giả xin bày tỏ tình cảm chân thành tới gia đình, bạn bè đã quan tâm, động viên
và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và năng lực còn hạn chế nên bản
luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong được các thầy cô
giáo và các bạn góp ý xây dựng.
Tác giả xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, ngày 25 tháng 2 năm 2012
Học viên
Phùng Thị Hoàng Nghĩa
7
Chƣơng 1
Một số kiến thức cơ bản
1.1. Khái niệm hàm số, hàm ngƣợc.
Định nghĩa 1.1. Cho
D
là một tập con khác rỗng của tập hợp các số thực
¡
.
Một hàm số
f
xác định trên
D
là một quy tắc đặt tương ứng với mỗi số
xDÎ
với
một và chỉ một số thực
y
, kí hiệu là
( )
fx
.
Phần tử
xDÎ
bất kỳ gọi là biến số độc lập (hay biến số, hay đối số).
Số thực
y
tương ứng với biến số
x
gọi là giá trị của hàm số
f
tại
x
.
D
gọi là tập xác định (hay miền xác định) của hàm số
f
.
Tập
( ) ( )
{ }
|:f D y x D y f x= Î $ Î =¡
gọi là tập giá trị của hàm số
f
.
Kí hiệu
K
là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số
( )
y f x=
xác định
trên
K
.
Định nghĩa 1.2.
1. Hàm số
( )
y f x=
đồng biến (tăng) trên
K
nếu
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
,:x x K x x f x f x" Î < Þ <
.
2. Hàm số
( )
y f x=
nghịch biến (giảm) trên
K
nếu
8
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
,:x x K x x f x f x" Î < Þ >
.
3. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên
K
được gọi là hàm số đơn điệu trên
K
.
Định nghĩa 1.3. Cho hàm số
:fD® ¡
với tập giá trị
( ) ( )
{ }
| : :f D y x D y f x Y= Î $ Î = =¡
.
Nếu với mọi giá trị
yYÎ
, có một và chỉ một
xDÎ
sao cho
( )
f x y=
, tức là phương
trình
( )
f x y=
với ẩn
x
có nghiệm duy nhất
xDÎ
thì bằng cách đặt tương ứng với
mỗi
yYÎ
phần tử duy nhất
xDÎ
đó, ta xác định được hàm số
:gY® ¡
( )
y x g y=
(
x
thỏa mãn
( )
f x y=
)
Hàm số
g
xác định như vậy được gọi là hàm số ngược của hàm số
f
, ký hiệu
( )
y g x=
.
1.2. Hàm số mũ
Định nghĩa 1.4. Hàm số mũ (hay còn gọi là hàm mũ) là hàm có dạng
x
ya=
với
01a<¹
,
a
được gọi là cơ số của hàm số mũ.
Hàm số mũ có tập xác định là
¡
, tập giá trị là
( )
0; +¥
.
Tính chất của hàm số mũ
Với
1a >
, hàm số
x
ya=
là hàm đồng biến và
lim , lim 0
xx
xx
aa
® + ¥ ® - ¥
= + ¥ =
.
Với
1a <
, hàm số
x
ya=
là hàm nghịch biến và
lim 0, lim
xx
xx
aa
® + ¥ ® - ¥
= = + ¥
.
Với mọi
,0ab>
, với mọi
12
,,x x x Î ¡
ta có
1 2 1 2
.
x x x x
a a a
+
=
1
12
2
x
xx
x
a
a
a
-
=
( )
.
x
xx
ab a b=
9
x
x
x
aa
b
b
æö
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
( )
2
1 1 2
.
x
x x x
aa=
.
Nếu
0ab>>
thì
,0
xx
a b x> " >
và
,0
xx
a b x< " <
.
Với
0 , 1ab<¹
và
ab¹
thì
0
xx
a b x= Û =
.
1.3. Hàm số logarit
Định nghĩa 1.5. Hàm số ngược của hàm số
x
ya=
được gọi là hàm số logarit cơ số
a
và được ký hiệu là
log
a
yx=
.
Hàm số logarit
log
a
yx=
có tập xác định là
( )
0; +¥
, tập giá trị là
¡
.
Tính chất của hàm số logarit
Với
1a >
, hàm số
log
a
yx=
là hàm đồng biến và
0
lim log , lim log
aa
x
x
xx
+
® + ¥
®
= - ¥ = + ¥
.
Với
1a <
, hàm số
log
a
yx=
là hàm nghịch biến và
0
lim log , lim log
aa
x
x
xx
+
® + ¥
®
= + ¥ = - ¥
.
log 1 0
a
=
và
log 1
a
a =
.
log
,0
a
x
a x x= " >
và
log ,
x
a
a x x= " Î ¡
.
log log log , ,
a a a
xy x y x y= + "
thỏa mãn
0xy >
.
log log log , ,
a a a
x
x y x y
y
= - "
thỏa mãn
0xy >
.
log log , , 0
aa
x x x
a
aa= " Î " >¡
.
log
log
log
b
a
b
x
x
a
=
, với
0 1, 0bx< ¹ " >
.
10
1
log log , 0, 0
a
a
x x x
a
a
a
= " ¹ " >
.
Đặc biệt : Nếu
1a =-
thì ta có
1
1
log log log
aa
a
xx
x
= - =
.
Các hàm số logarit với cơ số đặc biệt
Nếu
10a =
thì quy ước không cần viết cơ số :
10
log logxx=
hoặc
lgx
.
Nếu
ae=
thì hàm logarit được gọi là logarit tự nhiên hay logarit Nêpe và được kí
hiệu
log ln
e
xx=
.
Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit
Hàm số mũ
x
ya=
có đạo hàm tại mọi
x Î ¡
và
( )
' ln
xx
a a a=
.
Đối với hàm số hợp
( )
ux
a
, ta có
( )
( )
( )
( )
' .ln . '
u x u x
a a a u x=
.
Hàm số
log
a
yx=
có đạo hàm tại mọi
x
*
+
Î ¡
và
( )
1
log '
ln
a
x
xa
=
.
Đối với hàm hợp
( )
log
a
y u x=
, ta có
( )
( )
( )
( )
'
log '
ln
a
ux
ux
u x a
=
.
1.4. Định lý Lagrange
Định lý Lagrange
Nếu hàm số
( )
y f x=
liên tục trên đoạn
;ab
éù
êú
ëû
và có đạo hàm trên khoảng
( )
;ab
thì tồn
tại
( )
;c a bÎ
sao cho
( ) ( ) ( )( )
'f b f a f c b a- = -
hay
( )
( ) ( )
'
f b f a
fc
ba
-
=
-
.
Đặc biệt khi
( ) ( )
f a f b=
thì ta có định lý sau
11
Định lý Rolle
Nếu hàm số
( )
y f x=
liên tục trên đoạn
;ab
éù
êú
ëû
, có đạo hàm trên khoảng
( )
;ab
và
( ) ( )
f a f b=
thì tồn tại
( )
;c a bÎ
sao cho
( )
'0fc=
.
12
Chƣơng 2
Đẳng thức, bất đẳng thức mũ và logarit
2.1. Tính giá trị biểu thức.
Để tính được giá trị của các biểu thức có chứa mũ và logarit, ta cần nắm chắc định
nghĩa và các tính chất của hai hàm số này. Ta giả thiết rằng các biểu thức có mặt trong
các bài toán sau là có nghĩa.
Bài toán 2.1. Rút gọn các biểu thức sau
a.
2
4
1
1
2
1
1
3 log 2
2 log
81
x
x
Ax
+
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
= + +
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
èø
.
b.
log log 2log log
a b a b a b a b
B m m m m
+ - + -
= + -
, biết rằng
2 2 2
m a b=-
.
c.
44
log log 2 2
ba
C a b= + + -
trong đó
1 ab<<
.
Giải
a. Ta có
42
11
log 2
2log log
x
xx
==
,
2
2
12
2log
log 2 log 2
x
x
x==
.
Suy ra
( )
( )
2
1
1
log 2 2log
2
2
2
. 2 1 2 1 1
x
x
A x x x x x= + + = + + = +
(do
0x >
).
13
b. Vỡ
( )( ) ( )
2
1 1 1
log log log 1 log
2 2 2
a b a b a b a b
m m a b a b a b
+ + + +
ộ ự ộ ự
= = + - = + -
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ
v
( )( ) ( )
2
1 1 1
log log log 1 log
2 2 2
a b a b a b a b
m m a b a b a b
- - - -
ộ ự ộ ự
= = + - = + +
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ
nờn
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
1 log 1 log 1 log 1 log
2 2 2
a b a b a b a b
B a b a b a b a b
+ - + -
ộ ự ộ ự ộ ựộ ự
= + - + + + - + - + +
ờ ỳ ờ ỳ ờ ỳờ ỳ
ở ỷ ở ỷ ở ỷở ỷ
( ) ( ) ( ) ( )
11
1 log log 2 log log
22
a b a b a b a b
a b a b a b a b
+ - + -
ộ ự ộ ự
= + - + + - + - + +
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ
0=
.
c. Ta cú
( )
2
4 4 2 2
log log 2 log log
b a b a
a b a b+ + = +
nờn
( )
2
22
log log 2 log log log log
b a b a b a
C a b a b a b= + - = - = -
.
Vỡ
1 ab<<
nờn
log log log log
b b a a
a b a b< = <
.
Do ú
log log
ab
C b a=-
.
Bi toỏn 2.2. Cho
( )
( )
1
12
12
x
fx
-
-
=+
. Tớnh
50
2
1
sin
100
k
k
Sf
p
=
ổử
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ồ
.
Gii
Ta vit li
( )
fx
di dng
( )
12
14
1 2 4 2
x
xx
fx
-
==
++
.
Ta chng minh nu
1ab+=
thỡ
( ) ( )
1f a f b+=
.
Tht vy,
( ) ( )
4 4 2.4 2.4 2.4
1
4 2 4 2 4 2.4 2.4 4
a b a b a b
a b a b a b
f a f b
+
+
++
+ = + = =
+ + + + +
.
Ta cú
( ) ( )
50 50
sin cos
100 100 2 100 100
kk
kk
pp
p p p
+ = ị =
.
14
Suy ra
( )
2 2 2 2
50
sin sin sin cos 1
100 100 100 100
k
k k k
p
p p p
-
+ = + =
.
Theo chứng minh trên ta suy ra
( )
22
50
sin sin 1
100 100
k
k
ff
p
p
æö
æö
-
÷
ç
÷
÷
ç
ç
÷
+=
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
ç
÷
èø
÷
ç
èø
.
Do đó
50
2 2 2
1
25 50
sin 24 sin sin
100 100 100
k
k
S f f f
p p p
=
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
= = + +
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
å
( )
1 1 2 151
24 1 24
2 2 3 6
ff
æö
÷
ç
÷
= + + = + + =
ç
÷
ç
÷
ç
èø
.
Nhận xét
1. Điểm mấu chốt của bài toán này là nhận thấy rằng hàm số
( )
fx
đã cho có tính chất
( ) ( )
1f a f b+=
với
1ab+=
.
2. Hàm số có dạng
( )
( )
1
12
1
x
f x C
-
-
=+
với
C
là hằng số,
01C<¹
đều thỏa mãn
( ) ( )
1f a f b+=
với
1ab+=
.
Bài toán 2.3. Cho
6 12
log 10 ,log 45ab==
. Hãy tính
30
log 54
theo
,ab
.
Giải
Bước 1. Biến đổi các biểu thức logarit về dạng loga với cơ số, đối số là tích các số
nguyên tố.
( )
2
6 2.3
2
1 log 5
log 10 log 2.5
1 log 3
a
+
= = =
+
( )
2
2
22
12
2 .3
2
2log 3 log 5
log 45 log 3 .5
2 log 3
b
+
= = =
+
( )
3
2
30 2.3.5
22
1 3log 3
log 54 log 2.3
1 log 3 log 5
+
==
++
15
Bước 2. Đặt các biểu thức logarit của các số nguyên tố là các ẩn, ta thu được hệ
phương trình để tính các ẩn đó.
Đặt
22
log 5, log 3xy==
. Khi đó
( )
1
1
1
2
22
2
x
a
x ay a
y
yx
x b y b
b
y
í
ï
+
ï
=
ï
í
ï
- = -
ï
ï
+
ïï
Û
ìì
ïï
+
+ - =
ïï
ï
=
î
ï
ï
+
ï
î
( )
21
2 2 1
2
ba
a b y b a y
ab
-+
Þ + - = - + Û =
+-
.
Suy ra
2 1 2 2
1 . 1
22
b a a ab b
x ay a a a
a b a b
- + + + -
= + - = + - =
+ - + -
.
Do đó
30
21
1 3.
13
2
log 54
1 2 2 2 1
1
22
ba
y
ab
x y a ab b b a
a b a b
-+
+
+
+-
==
+ + + + - - +
++
+ - + -
2 5 5
2 2 1
ab
a b ab
- + +
=
+ + +
.
Bài toán 2.4. Tìm phần nguyên của số
2
2
.ln
2
n
n
k
k
kk
S
+
=
=
å
( )
,2nnγ¥
.
Giải
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức :
ln 1, 0t t t£ - " >
(1)
Xét hàm số
( )
ln 1, 0f t t t t= - + >
ta có
( )
11
'1
t
ft
tt
-
= - =
,
( )
' 0 1f t t= Û =
.
( )
1
' 0 0 0 1
t
f t t
t
-
> Û > Û < <
,
( )
' 0 1f t t< Û >
.
Ta có bảng biến thiên
t
0
1
+¥
( )
'ft
+ 0 -
( )
ft
0
16
Suy ra
( ) ( )
1 0, 0f t f t£ = " >
hay
ln 1, 0t t t£ - " >
.
Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được
( )
2
21
22
1
22
nn
k
nn
kk
kk
kk
C
ST
++
==
-
£ = =
åå
.
Ta có
2
2
1
1
1
22
1
2
4
22
nn
k
k
n
kk
kk
C
C
T
-
+
+
==
= = +
åå
.
Suy ra
22
2 2 1
11
1
1 1 1 1
22
11
2
44
2 2 2 2
nn
kk
n n k
n n n
n k n k
kk
CC
C C C
T T T
+
+ + + +
==
-
= - = - + = - +
åå
.
Đặt
1
1
1
2
2
n
k
n
k
k
C
U
-
+
=
=
å
11
1
1 2 2
11
11
2 1 2
1
2
2
2 2 2
n n n
kk
k
n
k k k
k k k
CC
C
U
- - -
++
++
= = =
Þ = = = +
å å å
11
1 1 1
22
1
1 1 1
1 1 1
22
1 1 1 3 1
2 2 4
2 2 2 2 2 2
nn
kk
n n n
n
n k n k n n
kk
CC
C C C
U
+
- - -
+ + -
==
-
Þ = - + = - + = - -
åå
.
Suy ra
( )
2
1
1
0 1 1
22
n
nn
nn
n
S
+
-
+
< £ - - <
.
Kết luận :
0, , 2
n
S n n
éù
= " Î ³
êú
ëû
¥
.
2.2. Chứng minh đẳng thức
Khi chứng minh đẳng thức có chứa mũ và logarit ta cần chú ý định nghĩa và áp dụng
các tính chất của hàm số mũ và logarit một cách thích hợp. Trước hết ta xét bài toán
đơn giản mà kết quả của nó cũng thường được sử dụng trong các bài giải phương trình,
bất phương trình.
Bài toán 2.5. Cho
,0ac>
và
01b<¹
. Chứng minh rằng
log log
bb
ca
ac=
(1)
Giải
Cách 1. Nếu
1a =
hoặc
1c =
thì đẳng thức (1) đúng.
Xét
,1ac¹
. Khi đó ta có
17
( )
log
log log log log log
b
b b a a b
a
c a c c a
a a a c= = =
.
Vậy (1) được chứng minh.
Cách 2. Lấy logarit cơ số
b
hai vế ta có ngay điều phải chứng minh.
Bài toán sau có phương pháp giải tương tự bài toán 2.3
Bài toán 2.6 Cho
12 24
log 18 ,log 54ab==
. Chứng minh rằng
( )
51ab a b+ - =
.
Giải
Ta có
22
12
22
log 18 1 2log 3
log 18
log 12 2 log 3
a
+
= = =
+
2
21
log 3
2
a
a
-
Þ=
-
(1)
22
24
22
log 54 1 3log 3
log 54
log 24 3 log 3
b
+
= = =
+
2
31
log 3
3
b
b
-
Þ=
-
(2)
Chú ý là hiển nhiên
12
log 18 2a =¹
và
24
log 54 3b =¹
.
Từ (1) và (2) ta được
( )
2 1 3 1
51
23
ab
ab a b
ab
= Û + - =
.
Bài toán 2.7. Cho
11
1 log 1 log
10 , 10
ab
bg
==
. Chứng minh rằng
1
1 log
10
g
a
-
=
.
Giải
Ta có
1
1 log
1
10 log
1 log
a
bb
a
-
= Û =
-
và
1
1 log
1
10 log
1 log
b
gg
b
-
= Û =
-
.
Do đó
1
1 log
1 1 log 1 1
log 1 log 10
1 log log 1 log
1
1 log
g
a
g a a
a a g
a
-
-
= = = - Þ = Û =
-
-
.
18
Bi toỏn 2.8. Chng minh rng
log log log log log log log log log log
a b b c c a a b c A
A A A A A A A A A abc+ + =
.
Gii
Ta cú
( )
log log log log log log log
a b b c b a c
A A A A A A A+ = +
11
log
log log
b
AA
A
ac
ổử
ữ
ỗ
ữ
=+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
( )
( )
log
log log log log log
log .log
A
b a b c A
AA
ac
A A A A ac
ac
==
.
Do ú
( )
log log log log log log log log log log log log
a b b c c a a b c A c a
A A A A A A A A A ac A A+ + = +
( ) ( )
log log log log 1 log log log log
a c b A a c b b
A A A ac A A ac b
ộ ự ộ ự
= + = +
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ
( ) ( )
log log log log log log log
a c b a b c A
A A abc A A A abc==
.
Bi toỏn 2.9. Cho ba s dng
,,a b c
ụi mt khỏc nhau.
a. So sỏnh
2
log
a
b
c
v
2
log
a
c
b
.
b. Chng minh rng trong ba s
2 2 2
log , log , log
a b c
b c a
c a b
b c a
cú ớt nht mt s ln hn 1.
Gii
a.
2
22
log log log
a a a
b c c
c b b
ổử
ữ
ỗ
ữ
= - =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
.
b. p dng cõu a, ta cú
22
log log
aa
bb
cb
bc
=
,
22
log log
bb
cc
ac
ca
=
,
22
log log
cc
aa
ba
ab
=
.
19
Mà
2
2 2 2 2 2 2
log log log log log log log .log .log 1
a b c a b c a b c
b c a b c a b c a
c a b b c a b c a
b c a c a b c a b
æö
÷
ç
÷
ç
= = =
÷
ç
÷
÷
ç
èø
.
Suy ra trong ba số
2 2 2
log , log , log
a b c
b c a
c a b
b c a
có ít nhất một số lớn hơn 1.
Bài toán 2.10. Cho
0 , , 1x y z<¹
thỏa mãn
( ) ( ) ( )
log log log
x y z x y z x y z x y z
x y z
+ - + - + -
==
.
Chứng minh rằng
y x y z z x
x y z y x z==
(1)
Giải
Ta có
(1) log log log log log logy x x y y z z y z x x zÛ + = + = +
(2)
Đặt
( ) ( ) ( )
1
log log log
x y z x y z x y z x y z
t x y z
+ - + - + -
= = =
.
Khi đó ta có
( ) ( ) ( ) ( )
1
log log log log
x y z x y z x y xy y z x yx z x y
t x y y x x y
+ - + - + - + -
= = = =
2 2 2 2
2
log log log log
xy xyz x y xyz x y xy xyz
y x x y y x x y
+ - + + -
==
++
.
Suy ra
log log 2y x x y xyzt+=
.
Chứng minh tương tự ta có
log log 2y z z y xyzt+=
,
log log 2z x x z xyzt+=
.
Từ đó suy ra (2). Vậy (1) được chứng minh.
2.3. Chứng minh bất đẳng thức
Một trong những bất đẳng thức thường hay được sử dụng để chứng minh bất đẳng thức
khác là bất đẳng thức AM – GM (Arithmetic Mean – Geometric Mean). Cụ thể ta xét
các bài toán sau :
20
Bài toán 2.11. Chứng minh rằng
111
222
log sin 70 log sin 50 log sin10 1° ° ° <
.
Giải
Ta có
11
sin 70 sin 50 sin10 sin 30
48
° ° ° = ° =
.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho ba số dương khác nhau ta được
111
222
3
111
222
log sin 70 log sin 50 log sin10
log sin 70 log sin 50 log sin10
3
° + ° + °
° ° ° <
( )
1
2
log sin 70 sin 50 sin10
1
3
° ° °
==
.
111
222
log sin 70 log sin 50 log sin10 1Þ ° ° ° <
.
Bài toán 2.12. Chứng minh rằng với mọi
x Î ¡
, ta có
12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ççç
÷ ÷ ÷
+ + ³ + +
ççç
÷ ÷ ÷
ççç
÷ ÷ ÷
ççç
è ø è ø è ø
.
Giải
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số dương ta được
12 15 12 15
2 . 2.3
5 4 5 4
x x x
x
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
+ ³ =
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
.
Tương tự
15 20
2.5
43
xx
x
æ ö æ ö
÷÷
çç
÷÷
+³
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
è ø è ø
,
12 20
2.4
53
xx
x
æ ö æ ö
÷÷
çç
÷÷
+³
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
è ø è ø
.
Cộng theo từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều trên với nhau ta được
12 15 20
3 4 5 ,
5 4 3
x x x
x x x
x
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ççç
÷ ÷ ÷
+ + ³ + + " Î
ççç
÷ ÷ ÷
ççç
÷ ÷ ÷
ççç
è ø è ø è ø
¡
.
21
ng thc xy ra khi v ch khi
12 15 20
0
5 4 3
x x x
x
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ
ỗỗỗ
ữ ữ ữ
= = =
ỗỗỗ
ữ ữ ữ
ỗỗỗ
ữ ữ ữ
ỗỗỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
.
Nhn xột t
3, 4, 5a b c= = =
ta i n bi toỏn tng quỏt sau vi cỏch gii tng
t :
Bi toỏn 2.13. Cho
,,a b c
l cỏc s dng tựy ý. Chng minh rng vi mi
x ẻ Ă
, ta
cú
x x x
x x x
ab bc ca
a b c
c a b
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
+ + + +
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
.
Bi toỏn 2.14. Cho
,ab
l nhng s thc dng. Chng minh rng
( ) ( )
11
log 1 log 1 4
ab
a b ab a b ab
++
+ + + + + + +
.
Gii
Ta cú
( ) ( )( ) ( )
1 1 1
log 1 log 1 1 1 log 1
a a a
a b ab a b b
+ + +
ộự
+ + + = + + = + +
ờỳ
ởỷ
( ) ( )( ) ( )
1 1 1
log 1 log 1 1 1 log 1
b b b
a b ab a b a
+ + +
ộự
+ + + = + + = + +
ờỳ
ởỷ
.
p dng bt ng thc AM - GM cho hai s dng ta c
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
log 1 log 1 2 log 1 log 1 2
a b a b
b a b a
+ + + +
+ + + + + =
.
Suy ra
( ) ( )
11
log 1 log 1
ab
a b ab a b ab
++
+ + + + + + +
( ) ( )
11
2 log 1 log 1 4
ab
ba
++
= + + + +
ng thc xy ra khi v ch khi
ab=
.
Ngoi vic s dng cỏc bt ng thc quen thuc ó bit, khi chng minh bt ng
thc m v logarit ta cng cn chỳ ý s dng tớnh cht n iu ca hm s m v
logarit.
22
Bài toán 2.15.
a. Chứng minh với
,1ab>
thì với mọi
0c ³
ta có
log log
a a c
bb
+
³
và dấu đẳng thức
xảy ra khi
0c =
.
b. Chứng minh với
1ba³>
thì với mọi
0c ³
ta có
log log ( )
a a c
b b c
+
³+
và dấu
đẳng thức xảy ra khi
0c =
hoặc
ab=
.
Giải
a. Vì
,1ab>
và
0c ³
nên
( )
log log 0
bb
a c a+ ³ >
. Dấu đẳng thức xảy ra khi
0c =
.
Do đó
( )
11
log
log
b
b
a
ac
£
+
hay
log log
a a c
bb
+
³
.
b. Ta có
( )
log log ( ) log 1 log 1
a a c a a c
b b c b b c
++
³ + Û - ³ + -
log log
a a c
b b c
a a c
+
+
Û³
+
.
Vì
1, 0b a c³ > ³
suy ra
1
bc
ac
+
³
+
và
b b c
a a c
+
³
+
do đó
log log log
a a a c
b b c b c
a a c a c
+
++
³³
++
(theo câu a).
Dấu đẳng thức xảy ra khi
0c =
hoặc
ab=
.
Áp dụng kết quả của bài toán 2.15 ta giải được các bài toán sau :
Bài toán 2.16. Cho
1a >
. Chứng minh rằng
( ) ( )
1
log 1 log 2
aa
aa
+
+ > +
.
Giải
Cách 1. Áp dụng bài toán với
1a >
và
1 , 1 0b a a c= + > = >
với chú ý rằng ở đây
đẳng thức không xảy ra ta có ngay điều phải chứng minh.
Ngoài ra bài toán này ta cũng có thể giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức AM – GM
23
Cách 2.
Do
1a >
nên
( ) ( )
1
log 1 0,log 2 0
aa
aa
+
+ > + >
.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
( )
( )
( )
( )
2
1 1 1
11
log 2 log 2 log
log 2 .log
2
log 1
a a a
aa
a
a a a
aa
a
+ + +
++
éù
+ + +
êú
= + £
êú
+
êú
ëû
( )
( )
2
2
2
1
1
log 2
log 1
1
22
a
a
aa
a
+
+
éù
éù
éù
+
+
êú
êú
êú
ëû
êú
= < =
êú
êú
êú
êú
êú
ëû
ëû
hay
( ) ( )
1
log 1 log 2
aa
aa
+
+ > +
,
1a">
.
Bài toán này cũng có thể được giải bằng phương pháp sử dụng đạo hàm
Cách 3. Xét hàm số
( ) ( )
log 1
x
f x x=+
với
1x >
ta có
( )
( )
( )
( )
2
11
ln ln 1
ln 1
1
' 0, 1
ln
ln
xx
x
xx
f x f x x
x
x
-+
+
+
= Þ = < " >
( )
fxÞ
nghịch biến trên
(1; )+¥
( ) ( )
1
log 1 log 2 , 1
aa
a a a
+
Þ + > + " >
.
Bài toán 2.17. Không dùng bảng số và máy tính, chứng tỏ rằng
a.
32
3
log 29 2 log 7
2
<+
.
b.
6 7 8
log 7 log 8 log 9 3,3+ + <
.
Giải
a. Ta có
3 2 3 2 3 2
3 3 1 1
log 29 2 log 7 log 29 log 28 log 29 log 28
2 2 2 3
< + Û < Û <
98
log 29 log 28Û<
.
Áp dụng bài toán 2.15.b với
8, 28, 1a b c= = =
ta có điều phải chứng minh.
24
b. Áp dụng bài toán 2.15.b ta có
6 7 8 6
log 7 log 8 log 9 3log 7+ + <
(1)
Mặt khác ta có
11 5 5 5 5 5 5 3 2 5 10
6 6.36 6.35 6.5 .7 18000.7 350.50.7 7 .7 .7 7= > = > > > =
6
log 7 1,1Þ<
(2)
Từ (1) và (2) ta có bất đẳng thức đã cho được chứng minh.
Bài toán 2.18. Cho
, , 1a b c >
thỏa mãn
( )( )( ) ( )
3
2
a b b c c a a b c+ + + = + +
.
Chứng minh rằng
3
log log log
2
a b b c c a
a b c
+ + +
+ + <
.
Giải
Cách 1. Ta có
a a c
a b a b c
+
<
+ + +
( )
1
log log
log
a b a b
ac
a b c
a a c
a b a b c
ab
++
+
++
+
Þ < =
+ + +
+
( )
1
log
log
a b c
ac
a b c
ac
a b c
a b c
++
+
++
+
<=
++
++
( )
log 1 log 1
a b a b c
a a c
+ + +
Þ - < + -
( )
log log
a b a b c
a a c
+ + +
Û < +
.
Chứng minh tương tự ta có
( )
log log
b c a b c
b a b
+ + +
<+
,
( )
log log
c a a b c
c b c
+ + +
<+
.
Do đó
( ) ( ) ( )
log log log log log log
a b b c c a a b c a b c a b c
a b c a c a b b c
+ + + + + + + + +
+ + < + + + + +
( )( )( )
log
a b c
a b b c c a
++
éù
= + + +
êú
ëû
( )
3
2
3
log
2
a b c
a b c
++
éù
êú
= + + =
êú
êú
ëû
.
25
Cách 2. Áp dụng bài toán 2.15 ta có
( ) ( )
( )
11
log log
log
log
a a c
ab
a b c
a b a b c
a
ac
+
+
++
+ > + + Þ >
+
( )
log log
a b a b c
a a c
+ + +
Þ < +
.
Tương tự, ta có
( )
log log
b c a b c
b a b
+ + +
<+
,
( )
log log
c a a b c
c b c
+ + +
<+
.
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
( ) ( ) ( )
log log log log log log
a b b c c a a b c a b c a b c
a b c a c a b b c
+ + + + + + + + +
+ + < + + + + +
( )( )( )
log
a b c
a b b c c a
++
éù
= + + +
êú
ëû
( )
3
2
3
log
2
a b c
a b c
++
éù
êú
= + + =
êú
êú
ëû
.
Bài toán 2.19. Với
, , 0a b c >
, chứng minh rằng
( )
( )
1
3
a b c
a b c
a b c abc
++
³
(1)
Giải
Nhận xét rằng hàm số
lgyx=
đồng biến trên
( )
0; +¥
nên ta lấy logarit với cơ số 10
hai vế của bất đẳng thức (1) ta được bất đẳng thức tương đương
( )( )
1
lg lg lg lg lg lg
3
a a b b c c a b c a b c+ + ³ + + + +
( ) ( )( )
3 lg lg lg lg lg lga a b b c c a b c a b cÛ + + ³ + + + +
(2)
Ta có
( )( )
lg lg 0 lg lg lg lga b a b a a b b a b b a- - ³ Û + ³ +
( )( )
lg lg 0 lg lg lg lgb c b c b b c c b c c b- - ³ Û + ³ +
( )( )
lg lg 0 lg lg lg lgc a c a c c a a a c c a- - ³ Û + ³ +
.
Cộng các bất đẳng thức trên ta thu được
