Một số vấn đề về phương trình toán tử ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN






TẠ NGỌC ÁNH






MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ
PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN




LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN






TẠ NGỌC ÁNH





MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ
PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN


Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 62 46 15 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC



NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG







Hà Nội - 2012

Mục lục
Lời cam đoan i
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt iv
Mở đầu 1
1. Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Toán tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Một số kết quả về điểm bất động cho toán tử tất định . 12
2. Phương trình toán tử ngẫu nhiên 16
2.1 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị . . . . . . . . . 16
2.2 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đa trị . . . . . . . . . . 28
3. Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên 34
3.1 Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị . . . . . . 35

3.2 Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đa trị . . . . . . 43
3.3 Điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên . . . . 48
ii
Kết luận và kiến nghị 69
Các kết quả chính của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Những nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến
luận án 70
Tài liệu tham khảo 71
Chỉ số 81
iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
N Tập hợp các số tự nhiên
R Tập hợp các số thực
R
+
Tập hợp các số thực dương
C[a, b] Không gian các hàm số liên tục trên [a, b]
L(X) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X
L
X
0
(Ω) Tập hợp các biến ngẫu nhiên X-giá trị
A, F σ-đại số
B(X) σ-đại số Borel của X
A ⊗ F σ-đại số tích của các σ-đại số A và F
2
X
Họ các tập hợp con khác rỗng của X
C(X) Họ các tập hợp con đóng khác rỗng của X

CB(X) Họ các tập hợp con đóng khác rỗng và bị chặn của X
d(a, B) Khoảng cách từ điểm a đến tập hợp B
d(A, B) Khoảng cách giữa hai tập hợp khác rỗng A, B
H(A, B) Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp đóng A, B
Gr(F ) Đồ thị của ánh xạ F
µ Độ đo Lebesgue
P Độ đo xác suất
p-lim Giới hạn của sự hội tụ theo xác suất
h.c.c. Hầu chắc chắn
iv
MỞ ĐẦU
Phương trình toán tử ngẫu nhiên là một trong các hướng nghiên cứu
của lý thuyết toán tử ngẫu nhiên. Đó là sự mở rộng, ngẫu nhiên hóa lý
thuyết phương trình toán tử tất định. Trong vòng 60 năm trở lại đây,
hướng nghiên cứu này đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán
học và thu được nhiều kết quả. Tuy nhiên, phần lớn các kết quả đạt
được của lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên tập trung vào một
trường hợp riêng là lý thuyết điểm bất động ngẫu nhiên. Các nghiên
cứu về định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên được khởi đầu
bởi O. Hans và A. Spacek trong những năm 1950 (xem [35, 70]). Họ đã
chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên, đó chính
là phiên bản ngẫu nhiên của nguyên lý ánh xạ co Banach. Sau các công
trình của Spacek và Hans, phiên bản ngẫu nhiên của các định lý điểm
bất động nổi tiếng khác cũng được chứng minh. Lý thuyết phương trình
toán tử ngẫu nhiên và điểm bất động ngẫu nhiên thực sự được tiếp thêm
sức mạnh sau sự ra đời của cuốn sách Random integral equations (1972)
và bài báo tổng kết Fixed point theorems in probabilistic analysis (1976)
của A. T. Bharucha-Reid (xem [19, 20]). Nhiều tác giả đã thành công
trong việc mở rộng các kết quả về điểm bất động ngẫu nhiên đã có hoặc
chứng minh phiên bản ngẫu nhiên của các định lý điểm bất động cho

toán tử tất định (chẳng hạn, xem [14, 28, 38, 42, 52, 60, 77]). Vào những
năm 1990, một số tác giả như: H. K. Xu, K. K. Tan, X. Z. Yuan đã
chứng minh các định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, trong đó
các tác giả chỉ ra rằng với một số điều kiện nào đó, nếu các quỹ đạo của
toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động tất định thì toán tử ngẫu nhiên
1
có điểm bất động ngẫu nhiên (chẳng hạn, xem [15, 71, 77]). Gần đây,
một số tác giả như N. Shahzad, D. O’Regan, R. P. Agarwal đã đưa ra
một số định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát mở rộng các kết
quả của các tác giả trước và trên cơ sở đó phiên bản ngẫu nhiên của
nhiều định lý điểm bất động cho toán tử tất định đã được chứng minh
(xem [58, 63, 64, 65]). Nếu lớp các toán tử ngẫu nhiên thỏa mãn các
điều kiện của định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát là rộng rãi
thì việc ngẫu nhiên hóa các định lý điểm bất động cho toán tử tất định
không còn nhiều thú vị, việc chứng minh sự tồn tại điểm bất động của
toán tử ngẫu nhiên thực sự trở thành việc chứng minh sự tồn tại điểm
bất động của một toán tử tất định. Tuy nhiên, một điều đáng chú ý là:
Trong các định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, điều kiện các
tác giả đặt lên các toán tử ngẫu nhiên và các không gian thường khá
phức tạp, thậm chí nhiều khi ta khó có thể tìm được ví dụ về toán tử
ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện đó.
Khi nghiên cứu về phương trình toán tử ngẫu nhiên, chúng tôi cũng
hy vọng đạt được kết quả tương tự như trường hợp bài toán điểm bất
động ngẫu nhiên. Tức là, đưa ra được điều kiện để một phương trình
toán tử ngẫu nhiên nếu có nghiệm tất định thì có nghiệm ngẫu nhiên.
Bằng việc sử dụng các kết quả của lý thuyết ánh xạ đa trị, chúng tôi đã
chứng minh được rằng với điều kiện: Toán tử ngẫu nhiên đo được, xác
định trên không gian metric khả ly đầy đủ, nếu phương trình toán tử
ngẫu nhiên có nghiệm tất định với mỗi ω thì phương trình đó có nghiệm
ngẫu nhiên. Chú ý rằng điều kiện đo được của toán tử ngẫu nhiên là

khá yếu, chẳng hạn các toán tử ngẫu nhiên liên tục sẽ thỏa mãn điều
kiện này. Áp dụng kết quả đạt được cho bài toán điểm bất động ngẫu
2
nhiên chúng tôi nhận được, mở rộng các kết quả quả Xu, Tan, Yuan,
Shahzad, và nhận được hầu hết các định lý điểm bất động ngẫu nhiên
tổng quát hiện có. Theo kết quả mà chúng tôi đạt được, mỗi định lý
điểm bất động cho toán tử tất định sẽ có một phiên bản tương ứng cho
toán tử ngẫu nhiên.
Toán tử ngẫu nhiên có thể được xem như một ánh xạ biến mỗi phần
tử của không gian metric thành một biến ngẫu nhiên. Mỗi phần tử của
không gian metric có thể được xem như một biến ngẫu nhiên suy biến
nhận giá trị là phần tử đó với xác suất 1. Từ cách quan niệm như vậy
ta coi không gian metric X như tập con (gồm các biến ngẫu nhiên suy
biến) của không gian các biến ngẫu nhiên X-giá trị L
X
0
(Ω). Với f là một
toán tử ngẫu nhiên liên tục từ X vào X chúng ta có thể xây dựng được
một ánh xạ Φ từ L
X
0
(Ω) vào L
X
0
(Ω) mà hạn chế của Φ trên X trùng với
f và f có điểm bất động ngẫu nhiên khi và chỉ khi Φ có điểm bất động.
Dựa trên thực tiễn đó cùng với các kết quả về điểm bất động của ánh
xạ trong không gian metric xác suất, O. Hadzic và E. Pap đã có những
liên hệ ứng dụng sang lý thuyết điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên
(xem [33, 34]). Từ ý tưởng của bài toán mở rộng miền xác định của toán

tử ngẫu nhiên và các kết quả của Hadzic và Pap, chúng tôi đưa ra khái
niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, trong đó ánh xạ mỗi biến ngẫu nhiên
nhận giá trị trong không gian metric thành biến ngẫu nhiên nhận giá trị
trong không gian metric. Bước đầu, chúng tôi đã chứng minh được một
số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên dựa trên
các tính toán thuần túy xác suất mà không sử dụng các công cụ của lý
thuyết không gian metric xác suất. Chúng tôi cũng nhận được các kết
quả tương tự như của Hadzic và Pap.
3
Nội dung của luận án liên quan đến các kết quả nghiên cứu về phương
trình toán tử ngẫu nhiên và điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên. Luận
án gồm 3 chương.
Chương 1 thống nhất các khái niệm cơ bản và trình bày một số kết
quả của các tác giả khác mà được sử dụng trong phần sau của luận án.
Những kết quả đó chỉ được trích dẫn và không có chứng minh chi tiết.
Chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu của tác giả về phương
trình toán tử ngẫu nhiên. Nội dung chính của chương này là các định lý
về sự tồn tại nghiệm ngẫu nhiên của phương trình toán tử ngẫu nhiên.
Chương 3 liên quan đến bài toán điểm bất động của toán tử ngẫu
nhiên. Áp dụng các kết quả về phương trình toán tử ngẫu nhiên cho bài
toán điểm bất động ngẫu nhiên chúng tôi nhận được và mở rộng một số
định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên. Phiên bản ngẫu nhiên
của một số định lý điểm bất động cho toán tử tất định cũng được trình
bày. Trong chương này chúng tôi cũng đưa ra khái niệm toán tử hoàn
toàn ngẫu nhiên và chứng minh một số định lý điểm bất động cho toán
tử đó.
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Đặng
Hùng Thắng. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành tới
GS.TSKH Đặng Hùng Thắng, Thầy đã quan tâm hướng dẫn và chỉ bảo
tôi trong suốt nhiều năm qua.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô trong Khoa Toán - Cơ -
Tin học đã cung cấp nhiều bài giảng và giới thiệu cho tôi nhiều tài liệu
bổ ích.
Tác giả xin cảm ơn các thầy trong Hội đồng cấp cơ sở đã có nhiều ý
kiến đóng góp quý báu.
4
Tác giả xin cảm ơn các thành viên của seminar Toán tử ngẫu nhiên,
đã tạo điều kiện cho tác giả trình bày và giúp tác giả kiểm tra các kết
quả nghiên cứu.
Tôi xin cảm ơn các cấp lãnh đạo, các đồng nghiệp trong cơ quan
Học viện Kỹ thuật Quân sự và Đoàn 871 Bộ Quốc Phòng đã tạo điều
kiện cho tôi được học tập và nghiên cứu.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới quỹ NAFOSTED, đã hỗ trợ kinh phí cho
chúng tôi trong quá trình nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn các thành viên của đại gia
đình, đã luôn động viên, chia sẻ và là chỗ dựa vững chắc về mọi mặt.
Hà Nội, ngày 15 tháng 5 năm 2012
Nghiên cứu sinh
Tạ Ngọc Ánh
5
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này nhắc lại, thống nhất các khái niệm cơ bản và trình bày
một số kết quả về ánh xạ đa trị và điểm bất động cho toán tử tất định
của các tác giả khác mà chúng tôi sử dụng trong các phần sau của luận
án. Chúng tôi chỉ trích dẫn nội dung mà không trình bày chứng minh
chi tiết các kết quả đó.
1.1 Các khái niệm cơ bản
Cho Ω là tập khác ∅, được gọi là không gian mẫu. Họ A các tập con của
Ω được gọi là một σ-đại số nếu thỏa mãn các tính chất ∅ ∈ A, Ω\A ∈ A

với mọi A ∈ A và ∪
∞
n=1
A
n
∈ A với mọi A
n
∈ A (n = 1, 2, ). Mỗi phần
tử của σ-đại số A được gọi là một tập đo được. Bộ hai (Ω, A) gọi là một
không gian đo được. Ánh xạ P : A → [0; 1] được gọi là độ đo xác suất
nếu thỏa mãn P (∅) = 0, P (Ω) = 1 và P (∪
∞
n=1
A
n
) =

∞
n=1
P (A
n
) với
mọi A
n
∈ A sao cho A
m
∩ A
n
= ∅, m = n. Với mỗi A ∈ A, P (A) gọi là
xác suất của tập A. σ-đại số A gọi là đầy đủ với độ đo xác suất P nếu

mọi tập con của tập có xác suất 0 là tập đo được. Bộ ba (Ω, A, P ) gọi
là không gian xác suất. Một không gian xác suất gọi là đầy đủ nếu A là
σ-đại số đầy đủ.
Cho X là một không gian metric, σ-đại số Borel B(X) của X là
σ-đại số nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở của X. Trong suốt luận án,
khi nói đến σ-đại số các tập con của không gian metric chúng ta hiểu đó
là σ-đại số Borel. Không gian metric khả ly và đầy đủ được gọi là không
6
gian Polish [37]. Cho (X, A) và (Y, B) là các không gian đo được. Khi
đó, σ-đại số trên X ×Y ký hiệu bởi A⊗B, được xác định là σ-đại số nhỏ
nhất chứa các tập A × B, trong đó A ∈ A, B ∈ B. Với hai không gian
tôpô X, Y bất kỳ ta có B(X ×Y ) chứa B(X) ⊗ B(Y ). Tuy nhiên, nếu X
và Y là các không gian Polish thì B(X × Y ) = B(X) ⊗ B(Y ) (xem [71]).
Cho (X, d) là một không gian metric. Khoảng cách giữa hai tập con
khác rỗng A, B của X được xác định bởi
d(A, B) = inf{d(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}.
Khoảng cách từ điểm a ∈ X đến tập B ⊂ X được xác định bởi d(a, B) =
inf{d(a, b)|b ∈ B}. Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập đóng A, B ∈
C(X) được xác định bởi
H(A, B) = max{sup
a∈A
d(a, B), sup
b∈B
d(b, A)}.
Cho (Ω, A) là không gian đo được và X là không gian metric. Ánh
xạ ξ : Ω → X gọi là A-đo được nếu
ξ
−1
(B) = {ω ∈ Ω|ξ(ω) ∈ B} ∈ A
với mọi B ∈ B(X). Nếu (Ω, A, P ) là không gian xác suất, ξ : Ω → X

là ánh xạ A-đo được thì ξ được gọi là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị
trong X hay biến ngẫu nhiên X-giá trị. Tập hợp các biến ngẫu nhiên
X-giá trị được ký hiệu là L
X
0
(Ω).
1.2 Ánh xạ đa trị
Một trong các công cụ quan trọng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của
một phương trình toán tử ngẫu nhiên hay sự tồn tại điểm bất động của
7
toán tử ngẫu nhiên đó là các định lý về sự tồn tại hàm chọn đo được của
một ánh xạ đa trị. Trong mục này chúng tôi sẽ trích dẫn các kết quả mà
chúng tôi sẽ sử dụng trong các phần sau của luận án.
Cho (Ω, A) là không gian đo được và X là không gian metric. Ánh
xạ đa trị F : Ω → 2
X
gọi là A-đo được nếu
F
−1
(B) = {ω ∈ Ω|F (ω) ∩ B = ∅} ∈ A
với mọi B là tập con mở của X. Trong một số tài liệu, tính đo được của
F còn được gọi là đo được yếu (xem [37]). Đồ thị của ánh xạ F là một
tập con của Ω × X xác định bởi
Gr(F ) = {(ω, x)|ω ∈ Ω, x ∈ F (ω)}.
Ánh xạ u : Ω → X gọi là một hàm chọn của ánh xạ đa trị F : Ω → 2
X
nếu u(ω) ∈ F(ω) với mọi ω ∈ Ω.
Các định lý sau đây sẽ được sử dụng để chứng minh các kết quả ở
các chương sau của luận án.
Định lý 1.2.1 ([37, Định lý 3.3]). Cho (Ω, A) là không gian đo được,

(X, d) là không gian metric khả ly và F : Ω → C(X) là ánh xạ đa trị.
Xét các khẳng định sau:
a) F là A-đo được;
b) Với mỗi x ∈ X, ánh xạ ω → d(x, F (ω)) là A-đo được;
c) Gr(F ) là tập A ⊗ B(X)-đo được.
Khi đó, ta có a) ⇔ b) ⇒ c).
8
Định lý 1.2.2 ([37, Định lý 5.7]). Cho (Ω, A, P ) là không gian xác suất,
X là không gian Polish và F : Ω → 2
X
là ánh xạ đa trị. Nếu Gr(F ) là
tập A ⊗ B(X)-đo được thì tồn tại biến ngẫu nhiên X-giá trị ξ : Ω → X
sao cho ξ(ω) ∈ F (ω) h.c.c.
Bổ đề 1.2.3 ([40, Bổ đề 2.4]). Cho (X, d) là không gian metric khả
ly, ξ : Ω → X và F : Ω → C(X) là các ánh xạ đo được. Khi đó,
ω → d(ξ(ω), F (ω)) là ánh xạ đo được.
1.3 Toán tử ngẫu nhiên
Cho (Ω, A, P) là không gian xác suất và X, Y là các không gian metric.
Định nghĩa 1.3.1. Ánh xạ f : Ω × X → Y được gọi là toán tử ngẫu
nhiên từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X ánh xạ ω → f(ω, x) là
một biến ngẫu nhiên Y -giá trị. Toán tử ngẫu nhiên từ X vào X được
gọi là toán tử ngẫu nhiên trên X. Toán tử ngẫu nhiên từ X vào R được
gọi là hàm ngẫu nhiên.
Với mỗi x cố định, f(ω, x) là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong
Y . Do đó, ta có thể coi toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y như một quy
tắc cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ X một biến ngẫu nhiên nhận giá trị
trong Y . Nói cách khác, toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y chính là ánh xạ
từ X vào L
Y
0

(Ω).
Ví dụ 1.3.2. Cho X
t
(ω), t ∈ R
+
là một quá trình ngẫu nhiên. Khi đó,
(ω, t) → X
t
(ω) là một toán tử ngẫu nhiên từ R
+
vào R. Do đó, toán tử
ngẫu nhiên là một khái niệm mở rộng của quá trình ngẫu nhiên.
9
Ví dụ 1.3.3. Cho X là không gian metric, (f
n
)
∞
n=1
là dãy ánh xạ tất định
từ X vào R và (α
n
)
∞
n=1
là dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực. Giả
sử rằng với mỗi x ∈ X chuỗi
∞

n=1
α

n
(ω)f
n
(x) hội tụ theo xác suất về biến
ngẫu nhiên f
x
(ω). Khi đó, phép tương ứng
(ω, x) → f
x
(ω) =
∞

n=1
α
n
(ω)f
n
(x)
xác định một toán tử ngẫu nhiên từ X vào R.
Định nghĩa 1.3.4. Cho f, g : Ω × X → Y là hai toán tử ngẫu nhiên.
Toán tử ngẫu nhiên f gọi là một bản sao của toán tử ngẫu nhiên g nếu
với mọi x ∈ X ta có f(ω, x) = g(ω, x) h.c.c., trong đó tập các ω mà
f(ω, x) = g(ω, x) nhìn chung phụ thuộc vào x.
Theo quan điểm xác suất, nếu hai biến ngẫu nhiên bằng nhau h.c.c.
thì ta có thể coi chúng trùng nhau. Vì cả toán tử ngẫu nhiên và bản sao
của nó xác định cùng một ánh xạ từ X vào L
Y
0
(Ω) nên nhiều khi chúng
ta có thể đồng nhất toán tử ngẫu nhiên với bản sao của nó.

Định nghĩa 1.3.5. Ánh xạ T : Ω × X → 2
Y
được gọi là toán tử ngẫu
nhiên đa trị từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X ánh xạ đa trị
ω → T (ω, x) là A-đo được.
Định nghĩa 1.3.6. Cho f : Ω × X → Y là toán tử ngẫu nhiên, T :
Ω × X → 2
Y
là toán tử ngẫu nhiên đa trị. Khi đó, với mỗi ω ∈ Ω, các
ánh xạ x → f(ω, x) và x → T (ω, x) tương ứng được gọi là quỹ đạo của
f và T tại ω.
Định nghĩa 1.3.7. 1. Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là
đo được nếu ánh xạ f : Ω × X → Y là A ⊗ B(X)-đo được.
10
2. Toán tử ngẫu nhiên đa trị T : Ω × X → 2
Y
được gọi là đo được nếu
ánh xạ đa trị T : Ω × X → 2
Y
là A ⊗ B(X)-đo được.
3. Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là liên tục nếu với mỗi
ω quỹ đạo f(ω, .) của f là toán tử liên tục từ X vào Y .
4. Toán tử ngẫu nhiên đa trị T : Ω × X → C(Y ) được gọi là liên tục
nếu với mỗi ω quỹ đạo T (ω, .) của T là toán tử liên tục từ X vào
C(Y ) (với khoảng cách Hausdorff trên C(Y )).
5. Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là Lipschitz nếu với
mỗi ω quỹ đạo f(ω, .) là toán tử Lipschitz; nghĩa là, tồn tại số thực
L(ω) sao cho với mọi x, y ∈ X ta có
d(f(ω, x), f(ω, y)) ≤ L(ω)d(x, y).
6. Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là co nếu f là toán tử

Lipschitz với L(ω) ∈ [0; 1) với mọi ω.
Ta dễ nhận thấy: Với toán tử ngẫu nhiên, tính Lipschitz kéo theo
tính liên tục, tính liên tục kéo theo tính đo được (Định lý 1.3.9).
Ví dụ 1.3.8. Cho (Ω, A, P ) = ([0; 1], B, µ), trong đó B là σ-đại số Borel,
µ là độ đo Lebesgue trên [0; 1] và X = Y = [0; 1]. Hai toán tử ngẫu
nhiên f, g : Ω × X → Y được xác định bởi
f(ω, x) =





x.ω nếu x = ω
1 nếu x = ω
và g(ω, x) = x.ω ∀ω ∈ Ω, ∀x ∈ X.
Khi đó, g là một bản sao của f, g là toán tử ngẫu nhiên liên tục, f
không là toán tử ngẫu nhiên liên tục, g là toán tử ngẫu nhiên đo được
và Lipschitz với L(ω) = ω.
11
Định lý 1.3.9 ([37, Định lý 6.1]). Cho X, Y là các không gian Polish
và f : Ω × X → Y là toán tử ngẫu nhiên liên tục. Khi đó, f là toán tử
ngẫu nhiên đo được. Hơn nữa, nếu ξ : Ω → X là biến ngẫu nhiên thì
ánh xạ ω → f(ω, ξ(ω)) là một biến ngẫu nhiên Y -giá trị.
1.4 Một số kết quả về điểm bất động cho
toán tử tất định
Phần này trình bày một số khái niệm và định lý điểm bất động cho toán
tử tất định của các tác giả khác mà chúng ta sẽ sử dụng ở các chương
sau của luận án.
Định nghĩa 1.4.1. Cho X là không gian metric, C là tập con đóng của X.
1. Ánh xạ f : C → X gọi là có điểm bất động nếu tồn tại phần tử

x ∈ C sao cho f(x) = x. Ta gọi x là điểm bất động của f.
2. Hai ánh xạ f, g : C → X gọi là có điểm bất động chung nếu tồn tại
phần tử x ∈ C sao cho f(x) = g(x) = x. Ta gọi x là điểm bất động
chung của f và g.
3. Ánh xạ đa trị T : C → 2
X
gọi là có điểm bất động nếu tồn tại phần
tử x ∈ C sao cho x ∈ T (x). Ta gọi x là điểm bất động của T .
4. Hai ánh xạ đa trị S, T : C → 2
X
gọi là có điểm bất động chung nếu
tồn tại phần tử x ∈ C sao cho x ∈ S(x) và x ∈ T (x). Ta gọi x là
điểm bất động chung của S và T .
12
5. Ánh xạ đơn trị f : C → X và ánh xạ đa trị T : C → 2
X
gọi là có
điểm trùng nhau nếu tồn tại phần tử x ∈ C sao cho f(x) ∈ T(x).
Ta gọi x là điểm trùng nhau của f và T.
Định lý 1.4.2 ([28, Định lý 2.1]). Cho (X, d) là không gian metric đầy
đủ và f : X → X là toán tử thỏa mãn
d(f(x),f(y)) ≤ a. max{d(x, f(x)) + d(y, f(y))}
+b. max{d(x, y), d(x, f(x)), d(y, f(y)),
1
2
[d(x, f(y)) + d(y, f(x))]}
+c.[d(x, f(y)) + d(y, f(x))]
với mọi x, y ∈ X, trong đó a > 0, b ≥ 0, c > 0 và a + b + 2c = 1. Khi đó,
f có duy nhất điểm bất động.
Định nghĩa 1.4.3. Cho X là không gian metric. Hai ánh xạ f, g : X →

X được gọi là giao hoán nếu
f(g(x)) = g(f(x)) với mọi x ∈ X.
Định lý 1.4.4 ([41, Hệ quả 3]). Cho K là tập con khác rỗng, compact
và lồi của không gian Banach khả ly X; f và g là các ánh xạ từ K vào
K trong đó f liên tục và g không giãn. Nếu f và g giao hoán thì f và g
có điểm bất động chung.
Định nghĩa 1.4.5. Cho (X, d) là không gian metric. Các ánh xạ f :
X → X và T : X → CB(X) gọi là tương thích nếu với mọi x ∈ X ta có
f(T (x)) ∈ CB(X); đồng thời, với mọi dãy (x
n
) trong X sao cho T (x
n
) →
M ∈ CB(X) và f(x
n
) → x
0
∈ M ta có H(T (f(x
n
)), f(T (x
n
))) → 0.
13
Định lý 1.4.6 ([43, Định lý 2]). Cho (X, d) là không gian metric đầy
đủ, f : X → X, T : X → CB(X) là các ánh xạ liên tục, tương thích
thỏa mãn T (X) ⊂ f(X) và
H(T (x), T (y)) ≤ λ. max{d(f(x), f(y)), d(f(x), T (x)), d(f(y), T (y)),
1
2
.[d(f(x), T (y)) + d(f(y), T (x))]}

với mọi x, y ∈ X, trong đó 0 ≤ λ < 1 và T (X) = ∪
x∈X
T (x). Khi đó, f và
T có duy nhất điểm trùng nhau.
Định lý 1.4.7 ([45, Định lý 1.4]). Cho (X, d) là không gian metric,
f : X → X và T : X → C(X) là các ánh xạ thỏa mãn T(X) ⊂ f(X),
trong đó T(X) = ∪
x∈X
T (x). Nếu T(X) hoặc f(X) là tập hợp đầy đủ đồng
thời thỏa mãn
H(T (x), T (y)) ≤ λ. max{d(f(x), f(y)), d(f(x), T (x)), d(f(y), T (y)),
1
2
.[d(f(x), T (y)) + d(f(y), T (x))]}
với mọi x, y ∈ X, trong đó 0 ≤ λ < 1, thì f và T có điểm trùng nhau.
Định lý 1.4.8 ([69, Hệ quả 2.6]). Cho (X, d) là không gian metric đầy
đủ; S, T : X → C(X) là các ánh xạ thỏa mãn
H(S(x), T (y)) ≤ λ. max{d(x, y), d(x, S(x)), d(y, T (y)),
1
2
.[d(y, S(x)) + d(x, T (y))]}
với mọi x, y ∈ X, trong đó 0 < λ < 1. Khi đó, S và T có điểm bất động
chung.
Định nghĩa 1.4.9 (Xem [12]). Cho (X, d) là không gian metric và A, B
là hai tập con đóng khác rỗng của X. Phần tử x ∈ A được gọi là điểm
14
xấp xỉ tốt nhất của ánh xạ f : A → B nếu
d(x, f(x)) = d(A, B).
Định nghĩa 1.4.10. Cho (X, d
X

), (Y, d
Y
) là các không gian metric. Ta
nói ánh xạ f : X → Y có tính co nếu
d
Y
(f(x), f(y)) < d
X
(x, y) với mọi x, y ∈ X, x = y.
Định lý 1.4.11 ([12, Định lý 2.1]). Cho (X, d) là không gian metric và
A, B là hai tập con compact khác rỗng của X. Giả sử rằng hai ánh xạ
f : A → B và g : B → A thỏa mãn các điều kiện sau:
1. f và g có tính co.
2. với x ∈ A và y ∈ B, nếu d(x, y) > d(A, B) thì
d(f(x), g(y)) < d(x, y).
Khi đó, các ánh xạ f và g có điểm xấp xỉ tốt nhất. Hơn nữa, với mỗi
phần tử x
0
cố định trong A, đặt x
2n+1
= f(x
2n
) và x
2n
= g(x
2n−1
) thì
dãy (x
2n
) hội tụ về điểm xấp xỉ tốt nhất của f và dãy (x

2n+1
) hội tụ về
điểm xấp xỉ tốt nhất của g.
Định lý 1.4.12 ([21, Định lý 1]). Cho X là không gian Hilbert thực,
f : X → X là ánh xạ liên tục và thỏa mãn: Tồn tại hằng số c > 0 sao
cho

f(x) − f(y), x − y

≥ c.x − y
2
với mọi x, y ∈ X. Khi đó, f là song ánh và có ánh xạ nghịch đảo liên tục.
15
Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN
Trong lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên, định lý tồn tại
nghiệm là một trong những vấn đề quan trọng, nó đảm bảo cho những
nghiên cứu về lời giải phương trình đó trở nên có ý nghĩa. Trong những
năm qua, định lý tồn tại nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên
đã thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả (xem [6], [18], [31], [36],
[39], [42], [44], [54]) và được ứng dụng hiệu quả trong việc chứng minh
sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên và phương
trình vi phân ngẫu nhiên ([19]). Trong chương này, chúng tôi trình bày
các kết quả nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử
ngẫu nhiên. Nội dung chính là các định lý về sự tương đương giữa tồn
tại nghiệm ngẫu nhiên và tồn tại nghiệm tất định của phương trình toán
tử ngẫu nhiên. Một số điều kiện đủ để phương trình toán tử ngẫu nhiên
có nghiệm ngẫu nhiên cũng được chứng minh. Công cụ chủ yếu được sử
dụng để đạt được các kết quả đó là các định lý về sự tồn tại hàm chọn
đo được của ánh xạ đa trị. Các kết quả của chương này được đăng trong

các bài báo [1] và [3] (trong danh sách công trình khoa học của tác giả).
Nội dung của chương được chia thành hai phần: 2.1 Phương trình toán
tử ngẫu nhiên đơn trị và 2.2 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đa trị.
2.1 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn
trị
Cho (Ω, A, P) là không gian xác suất và X, Y là các không gian metric.
16
Định nghĩa 2.1.1. Phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị là phương
trình có dạng
f(ω, x) = g(ω, x) (2.1)
trong đó f, g : Ω × X → Y là các toán tử ngẫu nhiên (đã biết) từ X
vào Y . Để đơn giản, ta gọi phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị là
phương trình ngẫu nhiên.
Ngoài phương trình ngẫu nhiên dạng tổng quát (2.1), ta cũng xét
một số phương trình ngẫu nhiên dạng đặc biệt. Khi vế phải của (2.1) là
biến ngẫu nhiên η nhận giá trị trong Y ta có phương trình
f(ω, x) = η(ω). (2.2)
Khi X là không gian Banach khả ly, ta có thể xét phương trình ngẫu
nhiên có nhiễu dạng
f(ω, x) + k(ω)x = η(ω) (2.3)
trong đó f : Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên trên X, η là biến ngẫu
nhiên nhận giá trị trong X và k là biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực.
Định nghĩa 2.1.2. 1. Ta nói rằng phương trình (2.1) có nghiệm tất
định với hầu hết ω nếu tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi
ω ∈ D tồn tại phần tử u(ω) ∈ X sao cho
f(ω, u(ω)) = g(ω, u(ω)).
Khi đó, ta gọi u(ω) là nghiệm tất định của phương trình (2.1).
2. Ta nói rằng phương trình (2.1) có nghiệm ngẫu nhiên nếu tồn tại
biến ngẫu nhiên ξ : Ω → X sao cho
f(ω, ξ(ω)) = g(ω, ξ(ω)) h.c.c.

17
Khi đó, ta gọi ξ là nghiệm ngẫu nhiên của phương trình (2.1).
Ta nhận thấy rằng nếu biến ngẫu nhiên ξ là nghiệm ngẫu nhiên của
phương trình (2.1) thì ξ(ω) cũng là nghiệm tất định của (2.1) với hầu
hết ω. Do vậy, một phương trình ngẫu nhiên nếu có nghiệm ngẫu nhiên
thì nó có nghiệm tất định với hầu hết ω. Tuy nhiên, ví dụ sau chỉ ra
rằng điều ngược lại chưa chắc đúng.
Ví dụ 2.1.3. Cho Ω = [0; 1] và σ-đại số A trên Ω gồm tất cả các tập con
A ⊂ Ω có tính chất: A là đếm được hoặc Ω \ A là đếm được. Độ đo xác
suất P trên A xác định bởi:
P (A) =





0 nếu A đếm được
1 nếu A không đếm được.
Dễ dàng kiểm tra được (Ω, A, P ) là một không gian xác suất đầy đủ.
Xét X = [0; 1]. Ta xác định hai ánh xạ f, g : Ω × X → X như sau:
f(ω, x) =





x nếu ω = x
1 nếu ω = x
và g(ω, x) =






x nếu ω = x
0 nếu ω = x.
Với mỗi x cố định, ω → f(ω, x) và ω → g(ω, x) là các ánh xạ nhận
nhiều nhất hai giá trị, nghịch ảnh của mỗi tập Borel B ⊂ X qua các ánh
xạ đó là một trong các tập ∅, Ω, {x} hoặc Ω \ {x} nên chúng đều thuộc
vào σ-đại số A. Vì vậy, với mỗi x cố định, ω → f(ω, x) và ω → g(ω, x)
là các ánh xạ đo được. Do đó, f và g là các toán tử ngẫu nhiên. Ta
nhận thấy, với mỗi ω ∈ Ω, u(ω) = ω là nghiệm tất định duy nhất của
phương trình (2.1). Giả sử ξ là một nghiệm ngẫu nhiên của phương trình
(2.1). Khi đó ξ(ω) = ω h.c.c. Do đó, ánh xạ u : Ω → X định nghĩa bởi
18
u(ω) = ω là đo được. Tuy nhiên, nếu lấy B = [0; 1/2) ∈ B(X) thì ta có
u
−1
(B) = B = [0; 1/2) /∈ A, vì cả B và Ω\ B đều không đếm được. Điều
này mẫu thuẫn với tính đo được của u. Từ đó suy ra phương trình (2.1)
không có nghiệm ngẫu nhiên.
Một câu hỏi được đặt ra là: Khi nào một phương trình ngẫu nhiên
có nghiệm tất định với hầu hết ω thì có nghiệm ngẫu nhiên? Đến nay
chúng ta vẫn chưa có câu trả lời đầy đủ cho câu hỏi đó. Tuy nhiên, Định
lý 2.1.4 sau đây sẽ cho chúng ta một điều kiện đủ để đảm bảo sự tồn tại
nghiệm tất định với hầu hết ω tương đương với sự tồn tại nghiệm ngẫu
nhiên.
Định lý 2.1.4. Cho X, Y là các không gian Polish và f, g : Ω × X → Y
là các toán tử ngẫu nhiên đo được từ X vào Y . Khi đó, phương trình
ngẫu nhiên f(ω, x) = g(ω, x) có nghiệm ngẫu nhiên khi và chỉ khi nó có

nghiệm tất định với hầu hết ω.
Hơn nữa, nếu với hầu hết ω, phương trình tất định f(ω, x) = g(ω, x)
có nghiệm duy nhất thì phương trình f(ω, x) = g(ω, x) có nghiệm ngẫu
nhiên duy nhất.
Chứng minh. Trước hết, nếu biến ngẫu nhiên ξ : Ω → X là nghiệm ngẫu
nhiên của phương trình (2.1) thì tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho
f(ω, ξ(ω)) = g(ω, ξ(ω)) với mọi ω ∈ D. Do đó, ξ(ω) chính là nghiệm tất
định của phương trình (2.1) với hầu hết ω.
Ngược lại, giả sử phương trình (2.1) có nghiệm tất định với hầu hết
ω. Không giảm tổng quát ta có thể giả sử rằng phương trình f(ω, x) =
g(ω, x) có nghiệm u(ω) với mọi ω ∈ Ω. Ta xác định ánh xạ F : Ω → 2
X×Y
19
như sau
F (ω) = {(x, y)|x ∈ X, f(ω, x) = g(ω, x) = y}.
Do u(ω) là nghiệm của phương trình tất định f(ω, x) = g(ω, x) nên
(u(ω), v(ω)) ∈ F (ω) với mọi ω, trong đó v(ω) = f(ω, u(ω)). Do đó, F
là ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng F có
đồ thị đo được. Ta coi f và g là các toán tử ngẫu nhiên đa trị, do
chúng đo được nên theo Định lý 1.2.1, f và g có đồ thị đo được. Tức là,
Gr(f), Gr(g) ∈ (A ⊗ B(X)) ⊗ B(Y ). Ta có
Gr(f) = {(ω, x, y)| ω ∈ Ω, x ∈ X, f(ω, x) = y}
Gr(g) = {(ω, x, y)| ω ∈ Ω, x ∈ X, g(ω, x) = y}
Gr(F ) = {(ω, x, y)| ω ∈ Ω, x ∈ X, f(ω, x) = g(ω, x) = y}.
Từ đó suy ra
Gr(F ) = Gr(f) ∩ Gr(g).
Vì vậy, Gr(F ) ∈ (A ⊗ B(X)) ⊗ B(Y ) = A ⊗ B(X × Y ).
Theo Định lý 1.2.2, tồn tại ánh xạ đo được ξ : Ω → X × Y sao cho
ξ(ω) ∈ F(ω) h.c.c. Đặt ξ(ω) = (ξ
1

(ω), ξ
2
(ω)). Ta có
f(ω, ξ
1
(ω)) = g(ω, ξ
1
(ω)) = ξ
2
(ω) h.c.c.
Vì ξ đo được nên ξ
1
: Ω → X cũng đo được. Vì vậy, ξ
1
chính là nghiệm
ngẫu nhiên của phương trình f(ω, x) = g(ω, x).
Cuối cùng, giả sử rằng với hầu hết ω phương trình f(ω, x) = g(ω, x)
có nghiệm tất định duy nhất và ξ, η là hai nghiệm ngẫu nhiên. Từ đó suy
ra ξ(ω) = η(ω) h.c.c. Do đó, phương trình (2.1) có nghiệm ngẫu nhiên
duy nhất.
20