Hệ sinh cực tiểu của đại số đa thức xem như Môđun trên đại số Steenrod và các ứng dụng

Mục
lục .
Lời
cam đoan
Lời
cảm ơn 2.
Mở
đầu 6
1 Đại số
Steenrod
(môđulô 2) 6
2 Bài toán "hit" và các ứng
dụng
8
2.1 Số
hạng
£2 của dãy phổ
Adams
9
2.2 Lý
thuyết
cobordism
li
2.3
Biểu
diễn môđula của nhóm tuyến tính
tổng
quát 12
2.4 Phân tích chẻ ra ổn định của không
gian
phân

loại
14
2.5 Chu trình vĩnh cửu
trong
dãy phổ
Adams
17
2.6 Không
gian
khuyên vô hạn và giả
thuyết
về lớp cầu 19
3 Nội
dung
và bố cục của luận án 22
4 Các kết quả chính của luận án 23
4.1 Bài toán "hit" cho các bất biến Dickson 23
4.2 Bài toán "hit" cho các bất biến
parabolic
25
4.3 Các
phần
tử đối bất biến với k = 4 26
3
4.4 Bài toán "hit" ở bậc đủ tổng quát 28
4.5 SỐ chiều một biểu diễn của nhóm tuyến tính tổng
quát
30
4.6 Áp dụng: Đồng cấu chuyển Singer 32
5 Một số ký hiệu và

kiến
thức
chuẩn bị 33
ì
Bài toán "hit"' cho các bất biến Dickson 35
LI
Tác động của đại số
Steenrod
35
1.2 Chứng minh Đinh lý Cl 39
1.3 Chứng minh Bổ đề 1.2.2 41
1.4 Chứng minh Pổ đề 1.2.3 50
li
Bài toán "hit" cho các bất biến parabolic 52
li.Ì
Các bất biến của QC
n
• lk-n 52
li.2
Tác động của đại số
Steenrod
56
IL3
Chứng minh Định lý C2 62
IL4
Chứng minh Bổ đề
II.3.2
66
HI
Bài toán "hit" ở bậc đủ tổng quát 72

IU.
Ì Phát biểu các kết quả 72
111.2 Chứng minh Định lý III.l.l(i) 76
111.3 Chứng minh Định lý
HI.
LI
(li)
82
111.4 Chứng minh Định lý IIL1.2 100
IIL5 Một số nhận xét 100
111.5.1
Các ví dụ 100
111.5.2
Một tính
chất
số học 102
4
IIL5.3
Mô
tả
v(0,n)
102
Kết
luận 104
Kiến
nghị
về
những
nghiên cứu tiếp
theo

104
Danh mục công trình của tác giả liên
quan
đến luận án 105
Tài
liệu
tham
khảo
106
5
Mở
đầu
Ì Đại số
Steenrod
(môđulô 2)
Đối
đồng điều cùng với cấu trúc tích của nó là một bất biến cơ bản
để phân
loại
đồng luân các không gian tôpô (xem
[88]).
Tuy nhiên,
trong
nhiều trường hợp, bất biến này chưa đủ tinh tế. Chẳng hạn, cái
treo
của
mặt
phang
xạ ảnh
phức

SCP
2
và
tổng
5
3
V s
5
của các mặt cầu 3 và 5
chiều có cùng vành đối đồng điều với cấu trúc tích
bằng
không, nhưng
không có cùng
kiểu
đồng luân.
Một
trong
những
công cụ làm tinh tế đối đồng điều là toán tử đối
đồng điều. Nói một cách sơ lược, một toán tử đối đồng điều (sơ cấp) là
một họ các ánh xạ <&x : H*x —> H*x
giao
hoán với các đồng cấu cảm
sinh trên đối đồng điều bởi các ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô.
Trong phát biểu này, các ánh xạ $jjf không
nhất
thiết bảo toàn chiều đối
đồng điều và không
nhất
thiết tuyến tính, còn H*x = H*(X\¥2)

trong
mối
quan
tâm của luận án này ký hiệu đối đồng điều kỳ dị môđulô 2
của không gian tôpô X. Ví dụ đơn giản về toán tử đối đồng điều là ánh
xạ
bình phương của H*x.
Để
giải
quyết
bài toán phân
loại
đồng luân các ánh xạ liên tục từ
6
một
phức
71 +Ì chiều vào mặt cầu s
n
, năm 1942
Steenrod
[78] đưa ra
một lớp toán tử đối đồng điều, ngày nay
mang
tên ông, và được ký hiệu
Sq
i
: H*x —• H*
+i
X (với ị nguyên không âm). Các toán tử này sau đó
được Thom [101] và Wu [102] sử

dụng
để nghiên cứu các lớp đặc trưng
của phân thớ véctơ và của đa tạp, và
nhanh
chóng t rở thành một
trong
những
công cụ hàng đầu
trong
nghiên cứu tóp ) đại số. Tác động của
các toán tử
Steenrod
lên tích đối đồng điều
thỏa
mãn công
thức
Cartan
[94]:
Sq
l
{u
lU2
)= £
S^MSg^M,
i\-\-t2—i
còn liên hệ nội tại của chúng được thể hiện qua các
quan
hệ Adem
[61,179]:
b-3-l

0<j<[a/2]
nếu a < 26.
Cấu
trúc của tập hợp các toán tử đối đồng điều được làm rõ bởi
Serre
vào năm 1952.
Serre
[100]
chứng
minh
rằng
với phép cộng thông thường
và phép hợp thành của các ánh xạ, các toán tử
Steenrod
sinh ra tất cả
các toán tử đối đồng điều ổn định
(theo
nghĩa
"giao
hoán với đồng cấu
treo").
Ngày nay, đại số các toán tử đối đồng điêu ỗ ì định với hệ số F
2
được gọi là đại số
Steenrod
môđulô 2 và thường được ký hiệu là Ả.
Như vậy, đại số
Steenrod
có thể được định
nghĩa

một cách
thuần
tuy
đại
số như là thương của
F
2
-đại
số kết hợp sinh tự do bởi các ký hiệu Sq
i
(i nguyên không âm) chia cho iđêan hai phía sinh bởi hệ
thức
Sq
ữ
= Ì
và các
quan
hệ Adem. Đại số A có một cấu trúc phân bậc tự nhiên xác
Sq
a
Sq
b
= J2 í !_
2
)Sq
a+b
-
j
Sj
7

định
bởi
deg(Sq
h
Sq
i2
• • •
Sq
ik
)
= h + h +
• • •
+ ú
với
mọi
li,
Ỉ2)
-1
ifc
> 0.
Hơn nữa,
nó là một
đại
số
phân
bậc có bô
sung,
nghĩa
là có một
toàn

cấu
F
2
-đại
số
phân
bậc tự
nhiên
€ : A —• F2
thỏa
mãn
Ì
nếu
1
= 0,
ỉ
0 nếu í > 0.
Là
một tập hợp các
toán
tử
đối đồng điều,
Ả tác
động
một
cách
tự nhiên
lên
đối đồng điều
của

mọi không gian tôpô.
Do đó, đố;
đồng
điều
của
các không gian tôpô không
chỉ là một
F
2
-đại
số mà
còn
J
à
mốt
.4-môđun.
Cấu
trúc ^4-mồđun tinh
tế hơn cấu
trúc
F
2
-đại
số.
Chẳng
hạn,
nhờ cấu
trúc
này ta có thể
thấy

các
không gian
ECP
2
và ố'
3
V
ố'
5
không
có
cùng
kiểu
đồng luân,
vì
toán
tử Sq
2
tác
động
tầm
thường
trẽp
#
3
(S
3
V s
5
)

nhưng không
tầm
thường trên H
3
(ECP
2
). Nguyên nhân
của
sự
kiện
Sq
2
tác
động không
tầm
thường trên
#
3
(ECP
2
)
là
như
sau
(xem
[79]): mặt
phảng
xạ ảnh
phức
CP

2
có thể thu
được
bằng
cách
dán
một ngăn
4
chiều vào
mặt cầu s
2
nhờ
ánh
xạ
Hopf
h
:
s
3
—>
s
2
;
anh xạ
này không đồng luân
tầm
thường.
2
Bài
toán

"hit" và các ứng
dụng
Gọi
V =
H*(RP°°)
k
là
đại
số
đối đồng điều môđulô
2 của
tích
trực
tiếp
k
không gian
xạ ảnh
thực
vô hạn
chiều.
Theo
công
thức
Kủrmeth
[77],
V là một
F2-đại
số đa
thức
phân

bậc của k
biến
(hay
phần
tử
sinh),
trong
đó
mỗi biến
có bậc
bằng
1. Bài
toán chúng
tôi
quan
tam là tìm
8
một hệ sinh cực tiểu cho A-môđun phân bậc V. Một
cách
hình
thức
hơn, điều này có
nghĩa
là tìm một cơ sở cho không
gian
véctơ phân bậc
¥
2
®AV = VỊ ÁP, ở đây à = ker£ là iđêan bổ
sung

của đại số
Steenrod.
Bài toán này thường được gọi là bài toán
"hit."
Để
nhấn
mạnh
tầm
quan
trọng
của bài toán
"hit,"
sau đây chúng tôi
phân tích vai trò của nó
trong
mối liên
quan
với
những
đối tượng sau
đây: số
hạng
E2 của dãy phổ
Adams
(hội tụ đến nhóm đồng luân ổn định
của mặt cầu), lý
thuyết
cobordism,
biểu diễn môđula của nhóm tuyến
tính

tổng
quát, phân tích chẻ ra ổn định của không
gian
phân
loại.
chu
trình vĩnh cửu
trong
dãy phổ Adams, và không
gian
khuyên vô hạn.QS
0
.
2.1 Sô
hạng
E2 của dãy phô
Adams
Để
tiếp cận bài toán nổi tiếng khó là việc tính các nhóm đồng luân ổn
định của mặt cầu, trên cơ sở "dán các dãy phổ
Serre
vào với
nhau,"
năm
1958
Adams
[2] đã đưa ra một dãy phổ hội tụ đến thành
phần
2-xoắn
27rf(S°)

của các nhóm này với số
hạng
E
2
là Ext*
A
(F
2
,F2). Kể từ đó,
việc
tính Ext*
A
(¥2,¥
2
) trở thành một
trong
những
bài toán
quan
trọng
hàng đầu của lý
thuyết
đồng luân ổn định.
Ý
nghĩa
của F
2
<S>A
V được
thiết

lập lần đầu tiên (có lẽ)
trong
mội.
công trình của
Singer,
trong
đó õng sử
dụng
lý
thuyết
bất biến để tìm
hiểu
Ext*
A
(¥
2
,¥
2
)-
Singer
viết công trình này vào quãng năm 1980 và
nó được lưu hành ở
dạng
tiền ấn
phẩm.
Ông chính
thức
công bố [75]
vào năm 1989. Bằng
những

công cụ đại số đồng điều
thuần
túy,
Singer
xây
dựng
một ánh xạ tuyến tính Tor^(F
2
, F
2
) —> F
2
(Su V. Ông
chứng
9
minh
rằng
ảnh của ánh xạ này bất biến
dưới
tác động chính quy của
nhóm tuyến tính
tổng
quát ọc = Ợ£(k, F
2
). Ánh xạ đối ngẫu
Tr
k
:
Hom((F
2

®
Ả
V)
ỢC
,F
2
) —> Ext
k
A
{¥
2
,¥
2
)
được gọi là đồng cấu chuyển
Singer.
Singer
chứng
tỏ giá trị không tầm thường của đồng cấu chuyển
bằng
cách chỉ ra rằng TTk là đẳng cấu khi k = Ì, 2, và rằng 0/-
>o
Trk là một
đồng cấu đại số (bảo toàn phép nhân). Công trình của
Singer
phần
lớn
dựa trên
những
tính toán cụ thể về không gian véctơ (F2 ®A V)

<
Có
thể nói công trình của
Singer
là một
trong
những
công trình đầu tiên
đặt nhu cầu nghiên cứu bài toán
"hit."
Một
thập
kỷ sau khi
Singer
xây
dựng
đồng cấu chuyển, đến nam 1991
Boardman
một lần nữa khẳng định giá trị của nó, cũng như của
F2<Su'P,
đối
với nghiên cứu các nhóm Ext*
A
{W2^i)- Boardm n [9]
chứng
minh
rằng 7>3 cũng là một đẳng cấu. Công trình của ông dựa trên
những
tính toán cụ thể về không gian véctơ F2 <8u V cho k = 3 của Kameko
[38]. Mục 4.6 sẽ cho

thấy
hiện nay việc
khảo
sát dáng điệu của đồng cấu
chuyển đang được tiến hành như thế nào.
Lưu ý rằng, đồng cấu chuyển
Singer,
vốn được xây
dựng
một cách
hoàn toàn đại số, chính là ánh xạ cảm sinh trẽn số
hạng
E2 của dãy phổ
Adams bởi ánh xạ chuyển hình học
£°°(RP~)
A
*
—> x°°s°
trong
lý
thuyết
đồng luân ổn định (xem
[37],[45],[58]).
Trong Mục 2.5,
ta sẽ
thấy
đồng cấu chuyển hình học này được sử
dụng
và đem lại
những

kết quả thú vị
trong
dãy phổ Adams.
10
2.2 Lý
thuyết
cobordism
Bài toán "hit" có liên hệ mật thiết với lý
thuyết
cobordism
thông qua
những
khảo sát của
Peterson
trong
lý
thuyết
này.
Giả
sử M là một đa tạp ả chiều trơn,
compact
và không biên. Giả sử
mọi
tích của nhiều hơn k lớp Stiefel-Whitney của phân chỏ véctơ pháp
tuyến của M đều
bằng
0. Điều
kiện
này được
thỏa

min
(chẳng
hạn) nếu
M có phạm trù
Lusternik-Schnirelmann
không lớn hơn /ĩ,
nghĩa
là nếu
M có thể viết
dưới
dạng
hợp của không quá k + Ì tập con mở và co rút
được
trong
M.
Peterson
[66] khẳng định rằng khi đó, nếu a(d) > k (ở
đây a(d) là số chữ số Ì trong biểu diễn nhị phân của d), thì M là biên
của một đa tạp trơn và compact nào đó.
Để
thiết lập kết quả này,
Peterson
đã đưa ra giả
thuyết
nổi tiếng nói
rằng nếu a(d) > k, thì không gian véctơ phân bậc ¥2 (Su y bằng 0 tại
bậc ả — k. Giả
thuyết
của ông được Wood [90]
chứng

minh năm 1988.
Sau đây chúng tôi
giới
thiệu sơ lược cách
Peterson
suy ra khẳng định
nói trên về đa tạp M từ định lý Wood.
Trước hết,
bằng
lập luận hình học,
Peterson
rút gọn bài toán M là
biên về việc
chứng
minh rằng ảnh của ánh xạ ư* : H*BO{m) —> H*M
tại
chiều đối đồng điều á là
*4-phân
tích được (ký hiệu BO(m) chỉ đa
tạp
Grassmann
của các không gian véctơ
thực
m chiều
trong
M
00
,
với m
là số chiều của phân thớ pháp tuyến của M). Còn V : M —• BO(m) là

ánh xạ cảm sinh ra phân thớ pháp tuyến của M từ phân thớ véctơ phổ
dụng
của BO(m). Nhắc lại rằng H*BO(m) =
F
2
[^1,^2,.
•., Wm]
5
trong
đó Wị là lớp Stiefel—Whitney phổ
dụng
thứ ỉ (xem
[53]).
li
Từ giả thiết về các lớp Stiefel-Whitney của phân thớ pháp tuyến của
M suy ra
rằng
ánh xạ ư* phân tích qua H*BO(m)/I
k
+\
trong
đó I
n
là iđêan sinh bởi các tích của ít
nhất
n
phần
tử
thuần
nhất

bậc dương
của H*BO{m). Do đó chỉ cần
chứng
minh
rằng
các
phần
tử bậc à của
H*BO(m)/I
M
là
4-phân
tích được.
Peterson
khẳng định điều này là
hệ quả của giả
thuyết
của ông (sau này trở thành định lý Wood) nhờ
nhận
xét
rằng
các ánh xạ tuyến tính
w
2
[xu ,xj —> I
s
/I
s+
\ xi
1

.
•
.4- I— w
iì+ì
• • •
(với Ì < 5 < k)
đều
là
những
toàn cấu X-môđun.
2.3 Biêu diên môđula của nhóm tuyên tính tông
quát
Sau khi
chứng
minh giả
thuyết
của
Peterson
về sự
kiện
không gian
véctơ phân bậc ¥2 <8u V
bằng
0 tại
những
bậc nào đó, Wood [91] tiếp
tục khai thác cấu trúc của không gian véctơ này xem như một biểu diễn
môđula của nhóm tuyến tính
tổng
quát.

Gọi
Ai là vị nhóm nhân các ma
trận
vuông cấp k với
phần
tử
thuộc
F
2
.
Nhóm tuyến tính
tổng
quát ọc chính là nhóm con các
phần
tử khả
nghịch
của M. Gọi v
d
là thành
phần
bậc ả của không gian véctơ phân
bậc V. Khi đó M tác động một cách tự nhiên lên v
d
bằng
các phép thế
biến
tuyến tính. Do đó v
d
là một biểu diễn môđula của M và của ọc,
Một

kết quả cổ điển của lý
thuyết
biểu diễn nói
rằng
mọi biểu diễn bất
khả quy của M hay của QC đều là một nhân tử hợp thành của v
d
với
12
ả > 0 nào đó (xem
[92]).
Tác động của M và của A lên Và.
giao
hoán với
nhau,
nên (F
2
®A
p)
d
ẼỂ
(V/ẦP)
d
cũng là một biểu diễn môđula của Ai và của ổ£. Wood
[91] có
nhận
xét thú vị là: mọi biểu diễn òáí &/iả quy của M hay của ọc
đều là một nhân tử hợp thành của (F
2
<8u *P)

d
với d > 0 nào đó. Nhận
í '*
xét này chỉ ra vai trò
quan
trọng
của
F
2
<8u'P
đối với nghiên cứu các biêu
diễn
môđula của nhóm tuyến tính
tổng
quát cũng như vai trò
quan
trọng
của biểu diễn nhóm tuyến tính
tổng
quát
trong
nghiên cứu F2
®A*P'
Sau
đây chúng tồi chi tiết hóa
chứng
minh của Wood cho trường hợp biểu
diễn
của Ợ£.
Giả

sử M là một biểu diễn bất khả quy của ọc. Nói cách khác, Ai
là một F2[ổ£]-môđun đơn. Ta đã biết có thể xem M như một nhân tử
hợp thành M
9
/M" của v
d
với ả > 0 nào đó. Hơn nữa, có thể giả thiết
rằng
á
nhận
giá trị bé
nhất
có thể được.
Giả
sử M' n ÁP <t M". Mỗi
phần
tử của tập hợp khác rỗng {M
1
n
ÃV)\M
n
đều có thể viết
dưới
dạng
tổng
Sq^Uị
-ị
h Sq
ỉn
u

n
với các số
nguyên Ì <
%1
< • • • < in nào đó, và các đa
thức
thuần
nhất
Ui, ,
Un
G
V nào đó
thỏa
mãn
deg^s
= ả
—
i
s
. Ta hãy chọn một
phần
tử lí 6
(M'C\ÃV)\M
!Ỉ
cùng với một cách viết u = Sq
il
u\
-ị
\-Sq
in

u
U)
sao cho
n là bé
nhất
có thể được. Ký hiệu G£(u
x
) là F
2
[Ợ£]-môđun con của v
d
~
h
sinh bởi
phần
tử Ui, và ũ là lớp tương đương của u
trong
M =
M'/M".
Khi
đó ánh xạ ỈM : —> M = M
l
/M", được cho bởi công
thức
X
^9
U
l
1
> XI V

ữ
i
Ằ
g
eF
2ĩ
geGC X
g
eF
2
,geG£
được định
nghĩa
hợp lý và là một toàn cấu F
2
[i?£]-m0dun.
13
Thật
vậy, nếu J2x
g
^g9
u
i
—
0' thì
Xí
J2
\9U
= J2
Sqỉs

E
X
99Us).
Do tính bé
nhất
của
71,
ta phải có J2
X
g
^g9
u e
M". Suy ra J2x
g
Ằ
g
gũ =
0, vì thế ánh xạ iu là xác
định
đúng đắn. Mặt khác, vì M là
F2[ổ£]-
môđun đơn, nên nó được sinh bởi ũ. Suy ra jĩ4 là một toàn cấu
F2[Ễ/£]-
môđun.
Là một môđun thương của Ợ£(ui), M do đó
cũng
là một nhân tử
hợp thành của môđun này. Mặt khác, vì QC(u\) là một môđun con của
v
ả

~
il
,
nên mọi nhân tử hợp thành của QC{u\)
cũng
là một nhân tử hợp
thành của p
d
~
il
. Do đó M là một nhân tử hợp thành của v
ả
~
ix
. Điều
này mâu
thuẫn
với tính bé
nhất
của d.
Vậy
M' n AV c M". Từ đây suy ra
rằng
phối chiếu chính tắc
7T
: V —>
VỊ ẤP
cảm sinh một
đẳng
cấu F

2
[ổ£]-môđun Ai = M
l
/M" =
K(M')/TT(M").
Vậy M là một nhân tử hợp thành của (F
2
®A v)
d
. Nhận
xét của Wood được
chứng
minh.
2.4 Phân tích chẻ ra ổn định của không gian phân
loại
Giả
sử G là một nhóm tôpô. lYong các G-phân thớ chính, tồn tại
một phân thớ với không
gian
toàn thể là co rút. Không
gian
đáy của
phân thớ ấy là không
gian
phân
loại
của G và được ký hiệu là BG (xem
[30]).
Kiểu
đồng luân của BG được xác định một cách duy

nhất.
Nếu
G
là một nhóm với tôpô rời rạc, thì BG = K(G, 1) chính là không
gian
14
Eilenberg-MacLane
thứ
nhất
của G. Nói riêng, (RP°°)
k
= B{Z/2Z)
k
là
không
gian
phân
loại
của nhóm (Z/2Z) .
Liên
quan
đến không
gian
phân
loại
của các nhóm hữu hạn, chúng
tôi tập
trung
sự chú ý vào một
định

lý của Atiyah [8]
(I960),
và các giả
thuyết
của
Segal
[71], Sullivan [80]
(1970).
Định
lý của Atiyah
khẳng
định
rằng
K°(BG) = [BG,Z X BU}
ẼỂ
R(Gf
Jf
trong đó BU là không
gian phân loại của nhóm unita vô hạn, R(G) là vành biêu diễn phức
của G, còn R(G)Ị = lim R(G)/I
N
là cái bổ sung I-ađíc của R(G) theo
iđêan bổ sung I =
ker(dim
: R(G) —> Z). Giả
thuyết
của
Segal
nói
rằng

A(G)] — 7T°(BG), trong đó A(G) là vành Burnside của G, còn
7Ĩ®(BG) là nhóm đối đồng luân ổn định của BG. (Giả
thuyết
Segal
được
chứng
minh qua nhiều bước,
trong
đó bước cuối cùng được
thực
hiện bởi
Carlsson
[15],[16].)
Còn giả
thuyết
của Sullivan (được
chứng
minh bởi
Miller
[50],[51],
được
chứng
minh lại bởi
Lannes
[95],[96]
trong
trường
hợp G = Z2) nói
rằng
không gian các ánh xạ liên tục bảo toàn điểm gốc

từ BG đến một CW-phức hữu hạn là co rút yếu. Quá trình
chứng
minh
các giả
thuyết
Sullivan và
Segal
đã làm nảy
sinh
nhu cầu
khảo
sát cấc
ánh xạ liên tục giữa
khống
gian
phân
loại
của các nhóm hữu hạn. Đây
là một hướng nghiên cứu thời sự, và kết quả đáng chú ý gần đây
theo
hướng này là của Oliver
[62],[63].
(Một giả
thuyết
của Martino-Priddy
được Oliver [63]
chứng
minh năm
2003
dựa trên sự phân

loại
các nhóm
đơn không
giải
được hữu hạn.)
Với
mỗi CW-phức X, tồn tại duy
nhất
một CW-phức X(2) và một
ánh xạ liên tục X —> X(2) sao cho 7T*(X(2)) —
7T*(X)(g>z^(2)>
trong
đó Z(2)
là nhóm
cộng
của các phân số a/b với a, 6 nguyên và b lẻ. Không
gian
15
tôpô Xị2) được gọi là cái 2-địa phương hóa của X (xem
[5]ĩ[10],[81]).
Phân tích chẻ ra ổn định một CW-phức có điểm gốc X thành
tổng
VieiXi
là việc tìm một họ nào đó các CW-phức có điểm gốc Xi(i G /).,
sao cho các phổ
treo
của X và
Vị
€
/Xị

là các vật tương đương
đồng
luân
trong
phạm
trù các CW-phỗ (xem [4]).
Giả
sử G là một nhóm hữu hạn. Một cách phân tích chẻ ra ổn định
của BG{2) thu được từ lý
thuyết
biểu diễn môđula của G
theo
cách sau
(xem [67], [68]) : xét một hệ các
phần
tử lũy
đẳng
trực
giao
đầy đủ bất
kỳ của vành nhóm F
2
[AutG],
trong
đó
AutG
là nhóm các tự đẳng cấu
của G. Hệ này có thể được nâng thành một hệ các
phần
tử lũy đẳng

trực
giao
của vành nhóm Z
2
[AutG],
trong
đó z
2
là vành, các số nguyên
2-ađíc. Đến lượt mình, hệ vừa nêu được ánh xạ thành một hệ các
phần
tử lũy- đẳng
trực
giao
của vành [BG, BG] qua một ánh xạ tự nhiên
Z
2
[Autơ] -> [BG, BGị
trong
đó [BG, BG] là vành các lớp đồng luân ổn
định của các ánh xạ liên tục từ BG{2) vào chính nó. Ký hiệu {ei, ,e
n
}
là hệ mới thu được. Đặt eịBG = colim{5G(2) —> BG{2) —> BG(2) —>•••}
(các ánh xạ đều là eì) với ỉ — Ì, ,n. Khi đó BGị2) phân tích chẻ ra
ổn
định thành Vf
=l
eịBG.
Bằng cách áp

dụng
lý
thuyết
biểu diễn môđula của Ví (nửa nhóm
các ma
trận
vuông cấp k), Wood và các tác giả khác (xem [89]) thu được
kết quả sau: tồn tại các CW-phức Yp sao cho
X^MP
00
)^
vhăn tích chẻ
ra
ổn định thành
V
p
Yp
dp
,
trong đó p chạy trên tập các biểu diễn bất khả
quy
của My còn dp là số chiều của p. Hơn nữa, độ liên thông của Yp
bằng
số nguyên không âm ả bé
nhất
sao cho p
xuất
hiện
trong
v

d
(tập
các đa
thức
thuần
nhất
bậc d) như là một nhân tử hợp thành. Số nguyên
16
này đã được xác định bởi Carlisle-Kuhn [13] và Trí [85]. số ả này và số
nguyên đ bé
nhất
sao cho ọ
xuất
hiện
trong
v
d
' như là một môđun con
có "liên hệ với
nhau"
thông qua các toán tử
Steenrod
(xem chi tiết
trong
[86]).
Bài toán tìm đ đã được Trí
giải
quyết
[84].
Từ phân tích trên suy ra rộng Amôđun V = H*(RP°°)

k
phân tích
thành
tổng
trực
tiếp của các phép
treo
nào đó của các H*Yp.
Việc giải
bài toán "hit" cho ta
những
thông tin về H*Yp và cấu trúc .4-môđun của
chúng,
từ đó có thể hy vọng xác định được Yp. Đây chính là ứng
dụng
của bài toán "hit" đối với lý
thuyết
phân tích chẻ ra ổn định của không
gian phân
loại.
2.5 Chu trình vĩnh cửu
trong
dãy phô Adams
Việc
tính
2?rf
(5°)
bằng
dãy phổ Adams đòi hỏi phải xác định được
số

hạng
£2,
các chu trình vĩnh cửu, và các mở rộng nhóm tại thành
phần
Eco. Trong mục này, chúng tôi
thảo
luận vấn đề tìm các chu trình vĩnh
cửu
trong
dãy phổ Adams, qua đó chỉ ra vai trò của bài toán "hit" (chính
xác hơn, của đồng cấu chuyển
Singer)
đối với vấn đề này.
Một
trong
những
giả
thuyết
táo bạo về chu trình vĩnh cửu được đưa
ra bởi Joel Cohen
trong
nửa sau của
thập
kỷ 70 (xem
[57]).
Giả
thuyết
này được
Barratt
đặt tên là "ngày tận thế," và được Milgram [49] chọn

vào
danh
sách các bài toán mở
trong
Hội
nghị
thường niên
mang
tên
Summer
Research
Institute
lần thứ 17 của Hội toán học Mỹ được tổ
chức
tại Đại học Wisconsin (Madison, Wisconsin) vào năm 1970. Giả
thuyết
"ngày tận thế" nói rằng với mọi k, chỉ có một số hữu hạn các
17
ĐAI HỌC
QUỐC
GIA HÀ NÔI
TRUNG
TẨM THÔNG TIN
THI
r VIÊN
phần
tử của Ext
k
A
{¥

2
,¥2) là chu trình vĩnh cửu trong dãy phổ Adams.
Giả
thuyết
này đúng khi k = Ì,
theo
một kết quả nền
tảng
của
Adams
[3] về các
phần
tử có bất biến Hopf
bằng
Ì
trong
2
7rf
(5°).
(Chính từ kết
quả của
Adams
mà giả
thuyết
được hình thành.)
Khi
k = 2, người ta đã biết
rằng
trong
Ext

2
A
(¥
2)
¥
2
) chỉ có hai họ
phần
tử có thể là chu trình vĩnh cửu, đó là h} (với ỉ > 0) và hiht (với
ì
> 3). Năm 1976, các
phần
tử h\hi (i > 3) được
chứng
minh là chu
trình vĩnh cửu
trong
một công trình nổi tiếng của Mahowald [44]. Như
vậy, giả
thuyết
"ngày tận thế" là sai
trong
trường hợp k — 2.
Việc
tìm hiểu xem các
phần
tử h
2
ị có là chu trình vinh cửu hay không
được gọi là bài toán về bất biến Kervaire. Ten gọi nàv xuât xứ từ công

trình của
Browder
[11] về các
phần
tử có bất biến Kervaire
bằng
Ì
trong
27ff
(5°).
Đây vần là một bài toán mở, và đến nay người ta mới chỉ biết
tiị là chu trình vĩnh cửu với ỉ < 5. Một cách
truyền
thống,
người ta tin
rằng
nếu hf là chu trình vĩnh cửu, thì
phần
tử tương ứng với nó
trong
2^(5°) (được ký hiệu là 9ị) được phát hiện bởi ánh xạ chuyển hình học
X°°(RP™)
A2
—• s°°5
0
nói
trong
mục trước (xem
[57]).
Niềm

tin
truyền
thống
này bị Minami xóa bỏ [54]. Dựa trên
khảo
sát của
Singer
[75] về
đồng
cấu chuyển, cùng với các tính toán BP-\ý
thuyết
của K.?^° A]RP^°,
Minami
chứng
minh
rằng
các
phần
tử
Oi
với i > 5, nếu tồn tại, không
thể bị phát hiện bởi ánh xạ chuyển hình học.
Minami tiếp tục khai thác kỹ
thuật
của ông
trong
[55] cho k = 3 và
trong
[56] cho k tùy ý. Với fc = 3, ông sử
dụng

kết quả của
Boardman
[9] về đồng cấu chuyển
Singer
để tìm ra một
danh
sách các
phần
tử của
Ext^(¥
2ì
¥2)
có tính
chất:
chúng có thể là chu trình vĩnh cửu, và các
18
phần
tử ứng với chúng
trong
2
7rf
có thể được phát hiện bởi ánh xạ
chuyển
hình học. Từ đó, năm 1993 Minami đưa ra
trong
[55] giả
thuyết
mới về "ngày tận thế." Giả
thuyết
này nói

rằng
với mọi k, tồn tại một
số nguyên n = n(k) sao cho tất cả các phần tử của (Sq°)
n
(Ext
ỉ
^(F2
ì
¥2))
đều không phải là chu trình vinh cửu trong dãy phổ Adams. (Xem
[43],[61]
về
ánh xạ Sq° : Ext
k
/(¥
2ì
¥
2
) —> £zíỊf*(F
2í
F
2
).)
Năm 1997, vẫn sử
dụng
các tính toán BP-\ý
thuyết
và một số kỹ
thuật
liên

quan
đến bài toán
''hit,"
Minami [56]
chứng
minh
được một
dạng
yếu của giả
thuyết
mới về "ngày tận thế." Cụ thể hơn, ông
chứng
minh
rằng
với mọi kj tồn tại
Tí
= n(k) sao cho mọi phần tử của 2
7Ĩ
*(S°)
tương ứng với các chu trình vĩnh cửu thuộc (Sq
ũ
)
n
(Extj
i
(¥2j¥2)) đều
không bị phát hiện bởi ánh xạ chuyển hình học.
Có thể nói, sau công trình của
Peterson
[66] về

cobordism
(xem
Mục
2.2), nếu bài toán "hit" thu hút được sự chú ý của
những
người
nghiên cứu khía
cạnh
hình học của Tôpô đại số, thì bài báo của Minami
[56] là một
trong
những
công trình
quan
trọng
góp
phần
tạo nên điều
đó.
Một công trình khác của N. H. V. Hưng,
cũng
đã góp
phần
quan
trọng
trong
việc nâng cao ý
nghĩa
của bài toán "hit" sẽ được giới thiệu
trong

Mục 2.6.
2.6 Không
gian
khuyên vô hạn và giả
thuyết
về lớp
cầu
Không
gian
khuyên vô hạn Q(-) :=
lim^oc
có liên hệ
chặt
chẽ với lý
thuyết
các phổ,
cũng
như với các lý
thuyết
đồng
điều và đối
19
đồng điều suy rộng (xem [4]). Nếu X là một không gian tôpô có điểm
gốc, thì các nhóm đồng luân của thành phần liên thông đường QoX của
điểm
gốc
trong
QX chính là các nhóm đồng luân ổn định của X. Sự kiện
này có thể khiến chúng ta
nghĩ

rằng đồng cấu Hurewicz của QoX chứa
những
thông tin
quan
trọng
về các nhóm đồng luân en định của X.
Tuy nhiên,
trong
trường hợp
quan
trọng
bậc
nhất
X = 5°,
thực
tế
dường như không diễn ra như vậy. Một
trong
những
phán đoán lớn liên
quan
đến điều này là giả
thuyết
cổ điển về lớp cầu (được đưa ra vào
quãng
1970),
nói rằng đồng cấu Hurewicz môdulô 2
K*(QoS
ồ
)

— H*{QoS°;F
2
)
chỉ
phát hiện được các phần tử của TT*(QQS
Ồ
) — nf(S°) có bất biến Hóp/
bằng
Ì hoặc bất biến Kervaire bằng 1. Một số người cho rằng giả
thuyết
này là của Curtis, còn một số khác lại cho rằng nó là cua Madsen (xem
[32]
,[57]).
Nhắc lại rằng
trong
dây phổ Adams hội tụ về đồng luân ổn
định của 5°, các phần tử của 7ĩf có bất biến Hopf
bằng
Ì ứng với
các chu trình vĩnh cửu
/li,
/i2,
hs G Ext\(¥
2
, ¥
2
)
(theo
[3]), còn các phần
tử có bất biến Kervaire

bằng
Ì ứng với các chu trình vĩnh cửu giả định
h%
e Ext^(¥2,¥
2
)
(theo
[li]). Do đó, nói riêng, giả
thuyết
cổ điển về
lớp cầu khẳng định rằng các phần tử của
2?rf
(5°) ứng với các chu trình
vĩnh cửu
trong
£
,
XÍ^(F
2
,F
2
)
với k > 2 đều nằm
trong
hạch của đồng
cấu Hurewicz môđulô 2 của QQS
Ồ
. Giả
thuyết
này có liên

quan
bất ngờ
đến
bài toán "hit" nhờ các công trình của Lannes-Zarati,
Goerss
và N.
H.
V. Hưng.
Trước hết, vào năm 1983
Lannes-Zarati
[97] xây dựng một ánh xạ
20
tuyến tính
LZ : Ext
k
A
{¥
2
, F
2
) —» Hom (F
2
(Su F
2
).
Họ
chứng
minh
trong
[98]

rằng
ánh xạ này tương thích
theo
một
nghĩa
thích hợp với đồng cấu Hurewicz môđulô 2 của QoS
ồ
nói trên thông qua
dãy phổ
Adams
của 5°.
Muộn
hơn họ một chút và
bằng
kỹ
thuật
độc
lập,
Goerss
[28] cũng đã
chứng
minh được tính
chất
này.
Dựa vào các kết quả đó, N. H. V. Hưng đã đưa ra một phát biểu
đại
số cho giả
thuyết
cổ điển về lớp cầu, nói
rằng

ánh xạ cz bằng 0 tại
các bậc dương nếu k > 2. ông đưa ra ý tưởng dùng đồng cấu chuyển
của
Singer
Tr
k
: Hom ((F
2
®A V)
gc
, F
2
) —> Ext
k
A
{¥
2
, F
2
), và vào năm
1995 ông tiên đoán [32]
rằng
cái hợp thành cz o Trỵ
bằng
0 tại các bậc
dương nếu k > 2. Hơn nữa, ông
chứng
minh
rằng
khẳng

định trên về
cz o Tru tương đương với sự
kiện
rằng
ánh xạ F
2
®A V
GC
—• F
2
®A V
được cảm sinh bởi phép nhúng v^
c
c
—>
V bằng 0 tại các bậc dương với
mọi k > 2. Đây là một ý tưởng hiệu quả: tiên đoán đó của ông đã được
chúng tôi
chứng
minh
[3,Danh
mục] vào năm 1998. Lưu ý
rằng
tại thời
điểm 1995, ánh xạ vừa nêu được tin là rất khác 0: có tác giả
(chẳng
hạn
như
Singer)
(lùng miền xác định của ánh xạ này để nghiên cứu miền giá

trị của nó khi k < 2 (xem
[75]).
Như vậy, giả
thuyết
của N. H. V. Hưng về cz o TTk đã chỉ rõ vai
trò của bài toán
"hit";
quan
trọng
hơn nữa, nó đặt ra vấn đề tính ảnh
của đồng cấu chuyển. Công việc tính toán này được chúng tôi
thực
hiện
trong
[99].
21
3 Nội dung và bố cục của
luận
án
Luận
án tổng kết một số kết quả
nghiên
cứu xung quanh bài
toán
"hit"
mà
chúng
tôi đã thu
được
từ năm 1998 đến nay,

được công
bố
trong 5 bài báo
[Ì,2,3,4,5,Danh
mục]. Một số kết quả
khác
đã
được
in
dưới
dạng
tiền
ấn phẩm [99] của Đại học Paris 13 và
đang được
gửi
đăng.
Hầu
hết các
nghiên
cứu này đều đà
được chúng
tôi báo cáo tại các hội
thảo trong
nước
và quốc tế: Hội thảo
châu
Âu về Lý thuyết đồng
luân
hiện
đại (Đại học Paris 13, 11/2002. 60

phút),
Hội nghị quốc tế về Lý
thuyết bất
biến
và những
tương
tác của nó (Đại học
Gõttingen,
3/2003,
45
phút),
Hội nghị quốc tế về
Tồpô
đại số (Hà
Nội,
8/2004, 45
phút).
Hội
nghị
toàn
quốc về Đại
Số-Hình
học-Tôpô
(Đại học Đà lạt, 11/2003),
Hội
nghị tổng kết năm 2004 của
Khoa Toán-Cơ-Tin
học
(Trường
đại

học
khoa học tự
nhiên,
Đại học quốc gia Hà
Nội,
11/2004, báo cáo
toàn
thể), Xemina ĐAHITÔ
(Hà nội, 5/2004), các xemina của
Phòng
Đại
số
thuộc
Viện
Toán
học Hà nội (3/2000), của
Khoa Toán
các Đại học
Nantes (1/2003),
Lille
I (3/2003), Paris 13 (10/2003) và của Bộ môn Đại
Số-Hình
học-Tôpô (Khoa Toán-Cơ-Tin
học,
Trường
đại học khoa học
tự nhiên,
Đại học quốc gia Hà
Nội,
10/2004).

Về
hình
thức
trình bày, luận
án gồm 4
chương. Chương Mở
đầu mang
tính
giới
thiệu
chung; các ký
hiệu dùng
trong
chương
này áp dụng cho
toàn luận
án. Ba
chương
còn lại
được trình
bày độc lập với nhau. Các
phát biểu toán
học trong các
Chương
ì, li, IU
được đánh
số
theo
quy
tắc:

số
chương/số
mục/số
phát biểu. Chẳng
hạn, Bổ đề
li.1.5
là
phát
biểu
thứ 5 của Mục Ì trong
Chương li.
22
Chương ì
giải
quyết
bài toán "hit" cho đại số Dickson. Kết quả của
chương này được công bố
trong
các bài báo [Ì,3,Danh mục]. Chương li
giải
quyết
bài toán "hit" cho các bất biến
dưới
tác động của các nhóm
con
parabolic
của nhóm tuyến tính
tổng
quát. Kết quả của chương này
được công bố

trong
các bài báo
[2,4,Danh
mục]. Chương IU được viết
lại
từ bài báo
[5,Danh
mục];
trong
chương này chúng tôi
giải
quyết
bài
toán "hít" ở bậc đủ
tổng
quát.
4 Các kết quả chính của luận án
về nội
dung
khoa
học, luận án gồm 3 kết quả chính được trình bày
trong
các Định lý Cl, C2, C3.
4.1 Bài toán "hit" cho các bất biến Dickson
Cấu
trúc các
phần
tử của V bất biến
dưới
tác động tự nhiên của QC

đã được làm sáng tỏ
trong
[24] bởi Dickson vào năm 1908. Vì thế người
ta ký hiệu V = v^
c
là tập hợp con của V gồm các
phần
tử bất biến này.
V là một .4-môđun con của V. Định lý
trung
tâm của Chương li là
í* -ó-
Định
lý Cl. Anh xạ ¥2 <8u V —> ¥2 <8u V, được cảm sinh bởi phép
nhúng V
<—*
V, bằng 0 tại các bậc dương với mọi k > 2.
Định lý này (đồng thời là kết quả chính của hai bài báo
[Ì
,3,Danh
mục])
khẳng
định một giả
thuyết
của N. H. V. Hưng [32] và nằm
trong
bối
cảnh sau.
23
(i) Một mặt, các công trình

Singer
[76],
Chen-Shen
[18], Monks [59],
Silverman
[72],[73],[74],
Crossley [23], Karaca [41], Meyer
[47],[48],
Jan-fada-Wood
[36] đều có mục đích tìm càng nhiều càng tốt các
phần
tử của V có ảnh
bằng
0
trong
¥
2
<8u Ps Định lý Cl chỉ ra
một họ lớn các
phần
tử như vậy, đó là họ các bất biến Dickson.
Lưu ý rằng việc tìm càng nhiều càng tốt các đa
thức
phân tích
được có thể đem lại
những
hệ sinh của V/ẢV
[23],[91],[92,p.
502].
Tuy nhiên,

những
hệ sinh này không phải là cực tiểu và do đó
không cho lời
giải
của bài toán
"hit."
Để có thêm thông tin về bài
toán này, độc giả có thể
tham
khảo thêm
[26],[92];
đó là
những
bài
báo
tỏng
quan
xuất
sắc, đặc biệt là Wood [92].
(li)
Mặt khác,
theo
N. H. V. Hưng [32] thì ánh xạ tự nhiên ¥
2
®ÁD —>
F
2
(Su p phân tích thành Trị o cz\
trong
đó cz* : ¥

2
®A V —*
Tơr£(F
2
,F
2
) là ánh xạ đối ngẫu của đồng cấu
Lannes-Zarati
[97],
còn Trị : Torỷ(¥
2
, ¥2) —> F
2
<8u V là ánh xạ đối ngẫu của đồng
cấu chuyển
Singer
[75]. Do đó, Định lý Cl tương đương với sự
kiện:
cái hạn chế của cz trên ảnh của đồng cấu chuyển
bằng
0 tại các
bậc dương nếu k > 2. Thế mà, như đã nói
trong
Mục 2.6, việc
cz = 0 tại các bậc dương với mọi k > 2 chính là một
dạng
phát
biểu
đại số của giả
thuyết

cổ điển về lớp cầu. Nhìn từ khía cạnh
này, Định lý Cl đồng thời là một câu trả lời bộ
phận
cho
dạng
đại
số của giả
thuyết
cổ điển về lớp cầu.
Nói thêm rằng, sau khi đã gửi đăng
[3,Danh
mục], chúng tôi được
Wood và
Peterson
thông báo rằng họ đã
giải
quyết
được trường hợp
24
ế = 4 và có thể cả trường hợp k = 5 của Định lý Cl. Chúng tồi cũng
nhận
được từ Tan-Xu một bài viết [82]
chứng
minh lại trường hợp k = 3
của Định lý Cl. Chứng minh đầu tiên của trường hợp này đã được N. H.
V.
Hưng
thực
hiện dựa vào công trình của
Boardman

[9]. Đóng góp của
Tan-Xu
chỉ là đưa ra một
chứng
minh mới, sơ cấp hơn. Tuy ỉihiên, cách
tiếp cận của N. H. V. Hưng không thể áp
dụng
cho trường hợp Ả: > 5.
vì ông đã phải sử
dụng
các kết quả của Hưng-Peterson [34] về F2
<8>A *D
với
k < 4. Cho đến nay, ¥2 ®A mới chỉ được biết hoàn toàn với k < 5
(xem
[27]).
4.2 Bài toán "hit" cho các bất
biến
parabolic
Trong mục này, chúng ta xét các bất biến của các nhóm con
parabolic
của ỌC, có
dạng
/ , \
Gi.
:={
V
Ai
0
A

m
ỉ
\A
1
egc
kl
, ,A
m
egc
km
}
trong
đó ki +
• • •
+ k
m
= k. Trên cơ sở kết quả của bài toán "hit"
cho các bất biến Dickson,
trực
giác dẫn chúng tôi đền dự đoán rằng:
ánh xạ F
2
®A P
G
*»
km
—* F2 ®A V được cảm sinh bởi phép nhúng
V
Gk
*

fcm
—• V
bằng
0 tại các bậc dương nếu k\>2.
Thật ra, kỹ
thuật
của chúng tôi cho phép
chứng
minh được một
định lý
mạnh
hơn thế. Với n < ký hiệu ỉk-n là ma
trận
đơn vị cấp
Ả é \
k-nvầgc
n
m h-n := {ị \A e ỢCn}. Giả sử kị > 2. Để
0 h-n
25
ý
rằng ợc, • I*_3 c GC
kì
• Ifc-fc c
G
fcl
fc
m
. Từ đó suy ra V
QC

^ D
D
pG
kl
fcm
Qị
n
trúc
của pgc
kỉ
*i
k
-
kỉ
dê dàng thu được từ
các
công trình của Dickson và của H. Mùi [60]. Nhờ đó, chúng tôi chứng
minh
trong
Chương li định lý sau đây.
Định
lý C2. Ánh xạ F
2
«u V
GC
**
lk
~
z
—• F

2
®A V, được cảm sinh bởi
phép nhúng
7>C£í»fc-a
P
}
bằng 0 tại các bậc dương với mọi k > 2.
Từ
định lý này chúng tôi thu được hệ quả: ánh xạ
F
2
£ỉu'p
ơfcl
fem
—•
1B*2
®A
*p
được cảm sinh bởi phép nhúng V
Gk
\
k
™ —> V bằng 0 tại các
bậc dương nếu ki > 2.
Định lý C2 cũng là kết quả chính của 2 bài báo
[2,4,Danh
mục]. Vì
đại
số Dickson là một trường hợp đặc biệt của V
Gk

ì *
m
, từ kết quả trên
chúng
tôi thu được một chứng minh mới cho Định lý Cl. Điều đáng nói
là,
trong
khi các phần tử sinh của đại số Dickson có bậc lớn dần cùng
với
k, thì bậc của các phần tử sinh của đại số T^
3
*
1
*
-3
đều không vượt
quá
8 và không phụ
thuộc
vào k. Do đó, lớp các đa
thức
phân tích được
đưa
ra
trong
Định lý C2 lớn hơn rất nhiều so với lớp các đa
thức
phân
tích
được của Định lý GI.

4.3 Các
phần
tử đối bất biến với k = 4
Peterson
[65] khởi đầu việc
giải
bài toán "hit" bằng việc tính ¥
2
<8>A
V
với
k = 1,2. Cũng
trong
[65],
Peterson
phát biểu giả
thuyết
nổi tiếng
của ông về tính phân tích được của các đa
thức
với bậc nào đó có số biến
k bất kỳ (xem mục tiếp
theo).
Giả
thuyết
này được Wood [90] chứng
minh năm 1988.
26
Với
k = 3, không

gian
véctơ phân bậc F
2
(Su V rất
phức
tạp và đà
được xác định bởi Kameko
trong
luận án tiến sĩ của anh [38] tại Đại
học
Johns
Hopkins
(Baltimore,
Mỹ) vào năm 1990. Khoảng 6 tháng sau,
kết quả của Kameko được xác
nhặn
lại
bằng
một phương pháp đối
ngầu
với
những
kỹ
thuật
độc lập bởi Alghamdi-Crabb-Hubbuck [7] tại Đại
học
Aberdeen.
Bản thân chúng tôi cũng đã tìm lại được kết quả của
Kameko, với kỹ
thuật

chứng
minh độc lập,
trong
khóa luận tốt
nghiệp
Trường đại học
khoa
học tự nhiên Hà Nội năm 1999 [1].
Có thể vì
những
khó khăn kỹ
thuật,
ngoại trừ
những
kết quả tinh
tế hóa định lý của Wood (xem các trích dần
trong
Mục 4.1) và các tính
toán cho k < 2 khi trường các hệ số có đặc số lẻ của Crossley
([20],[21]),
suốt
trong
thập
kỷ 90 hướng nghiên cứu do
Peterson
khởi xướng không
có kết quả gì mới. Chỉ rất gần đây F2 <8u V mới được tính cho k = 4
tại
bậc ả =
2

p+3
+
2
p+2
- 4
trong
công trình của Brưner-Hà-Hưng [12]
(2002).
Với việc tập
trung
vào bậc ả =
2
Í?+3
+
2?+
2
- 4, các tác giả này
đã phủ định một giả
thuyết
của Minami
(1999).
Mục đích của tính toán
của các tác giả này sẽ được nói rõ
trong
Mục 4.6. Tại thời điểm viết luận
án này, chúng tôi được biết Kameko đang hoàn tất bài viết mới [40], cho
kết quả hoàn toàn về F2 (Su V khi k — 4.
Chúng tôi
quan
tâm đến F

2
®
Ả
V là vì muốn sử
dụng
nó để xác định
ảnh của đồng cấu chuyển
Singer.
Dựa vào kết quả đã được thông báo
của Kameko [40] về bài toán "hit" cho đại số đa
thức
4 biến, chúng tôi
xác định không gian véctơ phân bậc Hom ((F2®^P)
Ợ£
Ĩ
F
2
) tại những bậc
chẵn cho k = 4. Kết quả này đã được trình bày
trong
bài [99].
27