Lý thuyết đồ thị với các bài toán phổ thông

Đại học Quốc gia Hà Nội
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Lê Thị Thu Hiền
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VỚI CÁC BÀI TOÁN
PHỔ THÔNG
Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp
Mã số : 60.46.01.13
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TS. Đặng Huy Ruận
Hà Nội- 2013
Mục lục
Mở đầu 4
1 Lý thuyết đồ thị 5
1.1 Các khái niệm cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Bậc của đồ thị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Xích, chu trình, đường, vòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Đồ thị liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Sắc số và đồ thị tô màu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Số ổn định trong, số ổn định ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Nhân của đồ thị và ứng dụng vào trò chơi . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Cây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Khai thác lý thuyết đồ thị vào giải toán trung học phổ thông 30
2.1 Quy trình chuyển đổi từ bài toán thông thường sang ngôn ngữ lý thuyết
đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Bài toán liên quan đến đồ thị có hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Bài toán liên quan đến đồ thị màu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Bài toán có liên quan đến bậc và cạnh của đồ thị. . . . . . . . . . . . . 47
2.5 Bài toán liên quan đến đường đi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6 Bài toán liên quan đến đồ thị liên thông. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.7 Bài toán liên quan đến cây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.8 Tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Kết luận 72
Tài liệu tham khảo 73
2
Mở đầu
Phương pháp lý thuyết đồ thị là môn khoa học có tính khái quát cao giúp nghiên
cứu và tối ưu các mối liên hệ giữa các đỉnh, nút, cạnh hoặc cung để chuyển thành
phương pháp giải bài toán. Đặc biệt là đối với trung học phổ thông phương pháp đồ
thị giải được nhiều bài toán hay và bổ ích. Vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải bài tập
cho học sinh sẽ giúp rèn luyện năng lực hệ thống hóa kiến thức và thúc đẩy quá trình
sáng tạo cũng như quá trình tự học nghiên cứu trong mỗi học sinh. Qua các bài toán
sơ cấp logic, lý thuyết đồ thị giúp phân tích các yếu tố, cấu trúc, đưa ra cách chọn
lựa hợp lý cho từng trường hợp và bài toán.
Lý thuyết đồ thị phát triển trong khoảng hơn 1 thế kỉ trước. Đánh dấu sự xuất
hiện của lý thuyết đồ thị chính là kết quả ứng dụng của nó vào năm 1736 trong bài
báo của Leonhard Euler về “Bảy cây cầu Euler”. Cho đến ngày nay nó mang lại nhiều
ứng dụng quan trọng trong khoa học, kĩ thuật như : Tin học, vật lý, hóa học, mạng
lưới giao thông, điều khiển học, cấu trúc máy tính,. . . .
Để hiểu sâu hơn về lý thuyết đồ thị và phương pháp này, trước hết cần nắm bắt
được tính chất cơ bản của đồ thị :
Đồ thị là một tập các đối tượng được gọi là các đỉnh (hoặc nút) nối với nhau bởi
các cạnh (hoặc cung). Cạnh có thể có hướng hoặc vô hướng. Đồ thị thường được vẽ
dưới dạng một tập các điểm (các đỉnh nối với nhau bằng các đoạn thẳng (các cạnh).
Đồ thị biểu diễn được rất nhiều cấu trúc. Nhiều bài toán thực tế có thể biểu diễn
bằng đồ thị. Do vậy, sự phát triển của các thuật toán xử lý đồ thị là một trong các
mối quan tâm chính của phương pháp đồ thị. Ngoài ra, Cấu trúc đồ thị có thể được
mở rộng bằng cách gán trọng số cho mỗi cạnh. Có thể sử dụng đồ thị có trọng số để
biểu diễn nhiều khái niệm khác nhau.
Luận văn : “Lý thuyết đồ thị với các bài toán trung học phổ thông” nghiên cứu
cấu trúc bài toán được biểu diễn bằng đồ thị, đưa ra các phương pháp nhận dạng bài
toán và phát triển năng lực vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải bài tập toán. Đồng

thời làm nổi bật các ưu thế của lý thuyết đồ thị qua bài toán ứng dụng thực tế.
Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu và ba chương.
Chương 1 : Giới thiệu nội dung của lý thuyết đồ thị, các khái niệm, định lý, tính
chất hệ quả được chứng minh.
Chương 2 : Tập trung khai thác lý thuyết đồ thị vào giải toán trung học phổ
3
thông qua các dạng bài toán cụ thể. Đưa ra phương pháp giải dạng toán liên quan
đến đồ thị, đồ thị tô màu, đồ thị liên thông, cây, bậc, đường đi cùng bài toán tổng
hợp.
Chương 3 : Hướng dẫn giải một số bài toán có thể quy về phương pháp đồ thị,
và một số bài toán áp dụng.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TS. Đặng Huy
Ruận, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, người Thầy đã
tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình nguyên cứu và soạn thảo luận văn này. Tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc tới Giáo sư.
Hà Nội, tháng 9 năm 2013
Tác giả
Lê Thị Thu Hiền
4
Chương 1
Lý thuyết đồ thị
1.1 Các khái niệm cơ bản.
1. Định nghĩa đồ thị và các yếu tố liên quan.
+ Tập hợp X = ∅ các đối tượng tùy ý và bộ E các cặp được sắp thứ tự và không
được sắp thứ tự các phần tử của X được gọi là một đồ thị, đồng thời được kí hiệu
hoặc bằng G(X, E) hoặc bằng G = (X, E) hoặc bằng G(X). Các phần tử của tập X
được gọi là các đỉnh còn các phần tử của tập E được gọi là các cạnh của đồ thị G.
Hình ảnh về đồ thị:
Trong (H1) có:

Tập đỉnh là X = {2, 3, 5, 6, 7, 10}
Tập cạnh là E = {(2, 3), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (3, 10), (6, 5), (6, 7), (7, 5), (7, 10)}
+ Cặp đỉnh không sắp thứ tự a = (x, y) được gọi là cạnh hay cạnh vô hướng, còn
x, y được gọi là các đỉnh đầu của cạnh a; cặp đỉnh được sắp thứ tự b = (u, v) được gọi
là cạnh có hướng hay cung. Đỉnh u được gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v được gọi là đỉnh
cuối của cung b. Người ta còn nói rằng: cung b đi từ đỉnh u đến đỉnh v.
5
Trong hình (H2) có:
Tập cạnh là (3, 5), (5, 7), (7, 10)
Cung là (3,10), trong đó 3 là đỉnh đầu, 10 là đỉnh cuối.
+ Đồ thị chỉ chứa các cạnh được gọi là đồ thị vô hướng. Đồ thị chỉ chứa các cung
gọi là đồ thị có hướng. Nếu đồ thị chứa cả cạnh lẫn cung, thì gọi là đồ thị hỗn hợp
hay đồ thị hỗn tạp.
+ Một cặp đỉnh có thể được nối với nhau bằng hai hoặc nhiều hơn hai cạnh (
hai hoặc nhiều hơn hai cung cùng một hướng). Các cạnh (cung) này được gọi là cạnh
(cung) bội.
+ Một cạnh (hay một cung) có thể bắt đầu và kết thúc tại một đỉnh. Cạnh (cung)
loại này được gọi là khuyên hay nút (có hướng).
6
Trong hình (H4) có:
Cạnh bội là cạnh (3, 5).
Cung bội là cung (3, 10).
Khuyên là (7, 7).
Nút là (5, 5).
+ Cặp đỉnh x, y được gọi là hai đỉnh kề nhau, nếu x = y và là hai đầu của cùng
một cạnh hay cùng một cung.
+ Đối với mỗi đỉnh x dùng D(x) để kí hiệu tập đỉnh, mà mỗi đỉnh này được nối
với x bằng ít nhất một cạnh. D
+
(x) để chỉ tập đỉnh, mà mỗi đỉnh này từ x có cung

đi tới. D
−
(x) để chỉ tập đỉnh, mà mỗi đỉnh này có cung đi tới x.
Trong hình (H4) có:
D(3) = {5, 7}; D
+
(3) = {10}; D
−
(3) = ∅
+ Hai cạnh (cung) a, b được gọi là kề nhau, nếu:
1. Chúng khác nhau.
2. Chúng có đỉnh chung (nếu a, b thì không phụ thuộc vào đỉnh chung đó là đỉnh
đầu hay đỉnh cuối của cung a, đỉnh đầu hay đỉnh cuối của cung b ).
2. Biểu diễn đồ thị bằng hình học.
Đồ thị có nhiều cách để biểu diễn nhưng trong phần này chỉ trình bày cách biểu
diễn bằng hình học.
Giả sử có đồ thị G = (X, E).
Để có dạng biểu diễn hình học của G ta cần biểu diễn đỉnh và cạnh.
Biểu diễn đỉnh: Lấy các điểm trên mặt phẳng hay trong không gian tương ứng
với các phần tử của tập X và dùng ngay kí hiệu các phần tử này để ghi trên các điểm
tương ứng.
Biểu diễn cạnh: Nếu cạnh a với hai đỉnh đầu là x, y thì nó được biểu diễn bằng
một đoạn thẳng hay một đoạn cong nối giữa hai điểm x, y và không đi qua các điểm
tương ứng chung gian khác.
Biểu diễn cung: Cung b có đỉnh đầu là u, đỉnh cuối là v, thì nó được biểu diễn
bằng một đoạn thẳng hay một đoạn cong được định hướng từ u sang v và không đi
qua các điểm tương ứng chung gian khác.
Hình nhận được gọi là dạng biểu diễn hình học của đồ thị G = (X, E). Đôi khi
người ta cũng gọi dạng biểu diễn hình học là đồ thị.
Ví dụ. Giả sử đồ thị G có tập đỉnh X = {x

1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
, x
8
} và tập cạnh E
gồm các cạnh a
1
= (x
1
, x
2
), a
2
= (x
2
, x
3
), a
3

= (x
4
, x
5
), a
4
= (x
5
, x
6
), khuyên vô hướng
a
5
= (x
7
, x
7
), khuyên có hướng (x
6
, x
6
) và cung b
1
= (x
1
, x
8
). Khi đó đồ thị G = (X, E)
có dạng biểu diễn hình học sau:
7

3. Một số dạng đồ thị đặc biệt.
Trong những trường hợp không cần phân biệt cạnh và cung ta quy ước dùng
cạnh thay cho cả cung.
+ Đồ thị G = (X, E) không có khuyên và mỗi cặp đỉnh được nối với nhau bằng
không quá một cạnh, được gọi là đồ thị đơn hay đơn đồ thị và thông thường gọi là
đồ thị.
Hình ảnh về đơn đồ thị.
+ Đồ thị G = (X, E) không có khuyên và có ít nhất một cặp đỉnh được nối với
nhau bằng từ hai cạnh trở lên được gọi là đa đồ thị.
Hình ảnh về đa đồ thị.
+ Đồ thị vô hướng (có hướng) G = (X, E) được gọi là đồ thị đầy đủ nếu mỗi cặp
đỉnh được nối với nhau bằng đúng một cạnh (một cung với chiều tùy ý).
+ Đồ thị (đa đồ thị) G = (X, E) được gọi là hữu hạn, nếu số đỉnh của nó là hữu
hạn, tức tập X có lực lượng hữu hạn.
+ Đồ thị G được gọi là giả đồ thị nếu trong G tồn tại một cạnh nối một đỉnh
8
với chính nó. Cạnh này được gọi là khuyên.
+ Cho Y ⊆ X, Y = ∅, H ⊆ E, F = E ∩ (Y × Y )
Đồ thị G
1
= (Y, F ) được gọi là đồ thị con, còn G
2
= (X, H) là đồ thị bộ phận của
đồ thị G = (X, E).
+ Đồ thị (đa đồ thị) G = (X, E) được gọi là đồ thị (đa đồ thị) hai mảng, nếu tập
đỉnh X được phân thành hai tập con rời nhau X
1
, X
2
, (X

1
∪ X
2
= X và X
1
∩ X
2
= ∅)
và mỗi cạnh đều có một đầu thuộc X
1
, còn đầu kia thuộc X
2
. Khi đó G = (X, E) còn
được kí hiệu bằng G = (X
1
, X
2
; E).
Hình ảnh của đồ thị hai mảng.
1.2 Bậc của đồ thị.
Để định lượng số cạnh thuộc mỗi đỉnh đồ thị người ta đưa ra khái niệm bậc của
đỉnh. Đối với đồ thị và đa đồ thị có hướng để định lượng số cung đi vào và số cung
đi ra tại mỗi đỉnh còn có khái niệm nửa bậc vào và nửa bậc ra.
1. Bậc của đỉnh đồ thị.
Giả sử G = (X, E) là một đồ thị hay đa đồ thị có hướng hoặc là không có hướng.
Số cạnh và cung thuộc đỉnh x được gọi là bậc của đỉnh x và kí hiệu bằng m(x). Nếu
cạnh là khuyên thì được tính là 2.
9
Trong đồ thị hình (H9) có:
m(X

1
) = 3; m(X
2
) = 5
m(X
3
) = m(X
5
) = 2
m(X
4
) = 5
m(X
6
) = 1
m(X
7
) = 0
+ Đỉnh có bậc 0 được gọi là đỉnh biệt lập.
+ Đỉnh có bậc 1 được gọi là đỉnh treo.
+ Cạnh (cung) có ít nhất một đầu là đỉnh treo được gọi là cạnh (cung) treo.
Trong đồ thị hình (H9) có:
X
7
là đỉnh biệt lập.
X
6
là đỉnh treo.
(X
4

, X
6
) là cung treo.
2. Nửa bậc.
Giả sử G = (X, E) là đồ thị hoặc đa đồ thị có hướng.
Số cung đi vào đỉnh x được gọi là nửa bậc vào của đỉnh x và kí hiệu bằng m

(x)
hoặc m
−
(x).
Số cung đi ra khỏi đỉnh x được gọi là nửa bậc ra của đỉnh x và kí hiệu bằng
m

(x) hoặc m
+
(x).
Kí hiệu tập cung đi vào đỉnh x bằng E
−
(x), còn tập cung đi ra khỏi đỉnh x bằng
E
+
(x).
Trong đồ thị hình (H10) có:
m

(X
1
) = 0; m


(X
1
) = 3
m

(X
2
) = 1; m

(X
2
) = 2
10
m

(X
3
) = 2; m

(X
3
) = 1
m

(X
4
) = 2; m

(X
4

) = 2
m

(X
5
) = 2; m

(X
5
) = 0
m

(X
6
) = 1; m

(X
6
) = 0
m

(X
7
) = 0; m

(X
7
) = 0
E
−

(X
1
) = ∅, E
+
(X
1
) = {(X
1
, X
2
), (X
1
, X
4
), (X
1
, X
5
)}.
E
−
(X
4
) = {(X
1
, X
4
), (X
2
, X

4
)}, E
+
(X
4
) = {(X
4
, X
3
), (X
4
, X
5
)}.
3. Một số tính chất.
Định lý 1.1. Trong một đồ thị hay đa đồ thị tùy ý tổng số bậc của tất cả các đỉnh
luôn luôn gấp đôi số cạnh.
Chứng minh. Thật vậy, khi tính bậc của các đỉnh mỗi cạnh vô hướng hoặc có hướng
đều được tính mỗi đầu đúng một lần, mà mỗi cạnh thuộc hai đỉnh nên ta có điều cần
chứng minh.
Định lý 1.2. Trong một đồ thị hay đa đồ thị tùy ý G = (X, U ) số đỉnh bậc lẻ luôn
luôn là một số chẵn.
Chứng minh. Giả sử đồ thị có |X| = n; |U| = m và k đỉnh bậc lẻ là x
1
; x
2
; x
3
; ; x
k

(k ≤
n). Đặt M =

k
i=1
m(x
i
), N =

n
j=k+1
m(x
j
). Áp dụng định lý 1.1 thì M + N = 2m.
Vì N là số chẵn nên M chẵn, suy ra k chẵn.
Định lý 1.3. Trong một đồ thị với n(n ≥ 2) đỉnh có ít nhất 2 đỉnh cùng bậc.
Chứng minh. Giả sử G = (X, E) là đồ thị tùy ý với |X| = n ≥ 2. Xét hai khả năng
sau:
1) Nếu đồ thị có đỉnh bậc 0, thì trong đồ thị không có một cạnh nào nối đỉnh
này với tất cả các đỉnh còn lại trong n đỉnh của đồ thị, do đó mỗi đỉnh của đồ thị có
bậc là một trong n − 1 số nguyên 0, 1, 2, , n − 3, n − 2.
2) Nếu không có đỉnh bậc 0 thì n đỉnh của đồ thị có bậc là một trong n − 1 số
1, 2, , n − 1.
Từ kết quả lý luận trên khẳng định được rằng, đồ thị G(X, E) với n đỉnh, nhưng
chỉ có không quá n − 1 loại bậc. Bởi vậy phải có ít nhất hai đỉnh cùng bậc. Khẳng
định được chứng minh.
Định lý 1.4. Nếu đồ thị với n(n > 2) đỉnh có đúng 2 đỉnh cùng bậc, thì hai đỉnh này
không thể đồng thời có bậc 0 hoặc n − 1.
Chứng minh. Giả sử x, y là hai đỉnh cùng bậc của đồ thị G(X, E) và đều có bậc 0 hoặc
bậc n − 1. Loại x, y và tất cả các cạnh thuộc chúng khỏi đồ thị G, ta được đồ thị con

G
1
có n − 2 đỉnh. Theo định lý 1.3 trong G
1
có hai đỉnh cùng bậc, chẳng hạn u, v.
1) Nếu x, y cùng bậc 0 thì u, v trong G không kề với x, y nên u, v đồng thời hai
đỉnh cùng bậc trong đồ thị G. Như vậy, đồ thị G phải có ít nhất hai cặp đỉnh cùng
11
bậc.
2) Nếu x, y đều có bậc n − 1. Khi đó mỗi đỉnh u, v đều kề đồng thời với x, y nên
trong đồ thị G các đỉnh u, v cũng cùng bậc. Như vậy trong đồ thị G phải có ít nhất
hai cặp đỉnh cùng bậc.
Cả hai trường hợp đều có thể dẫn tới mẫu thuẫn với tính chất: Đồ thị G có duy
nhất một cặp đỉnh cùng bậc, nên x, y không thể cùng bậc 0 hoặc cùng bậc n − 1.
Khẳng định được chứng minh.
Định lý 1.5. Số đỉnh bậc n − 1 trong đồ thị G với n(n ≥ 4) đỉnh, mà 4 đỉnh tùy ý có
ít nhất một đỉnh kề với 3 đỉnh còn lại, không nhỏ hơn n − 3.
Chứng minh. 1) Nếu G đầy đủ, thì khẳng định là hiển nhiên.
2) Nếu G có cặp đỉnh duy nhất không kề nhau khi đó G có n − 2 đỉnh bậc n − 1.
Nếu G có hai cặp đỉnh không kề nhau thì chúng phải có đỉnh chung. Thật vậy,
giả sử A, B và I, D là hai cặp đỉnh không kề nhau. Nếu hai cặp đỉnh này không có
đỉnh chung thì trong bốn đỉnh A, B, I, D không có đỉnh nào kề với ba đỉnh còn lại,
như vậy mâu thuẫn với giả thiết nên hai cặp đỉnh A, B; I, D phải có hai đỉnh trùng
nhau, chẳng hạn B ≡ I.
Lấy đỉnh C tùy ý khác với A, B, D, trong bộ bốn A, B, C, D đỉnh C kề với cả ba
đỉnh A, B, D. Loại D ra khỏi bộ bốn trên và thay vào đó là đỉnh E tùy ý khác với
A, B, C, D. Trong bộ bốn A, B, C, E hoặc C hoặc E phải kề với ba đỉnh còn lại. Nếu E
kề với ba đỉnh còn lại thì C kề với E. Do đó C kề với cả ba đỉnh A, B, E.
Do E là đỉnh tùy ý trong n − 4 đỉnh còn lại (khác các đỉnh A, B, C) nên C có
bậc n − 1. C là đỉnh tùy ý trong n − 3 đỉnh khác A, B, D nên đồ thị có không nhỏ hơn

n − 3 đỉnh bậc n − 1.
Định lý 1.6. Với mọi số tự nhiên n (n > 2) luôn tồn tại đồ thị n đỉnh mà 3 đỉnh bất
kì của đồ thị đều không cùng bậc.
Chứng minh. Nếu n = 3 thì G
3
gồm một đỉnh bậc 0 và hai đỉnh bậc 1.
Giả sử khẳng định đúng với G
n
có n đỉnh. Ta xây dựng đồ thị G
n+1
có n + 1 đỉnh
như sau:
a) Nếu G
n
có đỉnh bậc n − 1 thì không có đỉnh nào bậc 0, nên nếu ta ghép vào
G
n
đỉnh x bậc 0 thì được đồ thị G
n+1
gồm n + 1 đỉnh. Việc ghép thêm đỉnh x vẫn
bảo toàn tính chất của G
n
: Ba đỉnh bất kì đều không cùng bậc và đồ thị G
n
không
có đỉnh bậc 0 nên trong G
n+1
ba đỉnh bất kì đều không cùng bậc.
b) Nếu G
n

không có đỉnh bậc n − 1 khi đó tất cả các đỉnh của G
n
đều có bậc
không vượt quá n − 2. Thêm vào G
n
đỉnh x (không thuộc G
n
) và nối x với từng đỉnh
của G
n
bằng một cạnh ta được đồ thị G
n+1
có n + 1 đỉnh. Đỉnh x có bậc bằng n còn
trong G
n+1
bậc của mỗi đỉnh thuộc G
n
được tăng thêm một đơn vị nhưng đều không
vượt quá n − 1 và trong bậc mới ba đỉnh bất kì của G
n
vẫn không cùng bậc. Khẳng
định được chứng minh.
12
Định lý 1.7. Đồ thị hai mảng G(Y ; Z, E) với mọi đỉnh y ∈ Y đều có m(y) ≥ 1, đồng
thời có tính chất: Bất kì hai cặp đỉnh y
1
, y
2
∈ Y ; z
1

, z
2
∈ Z nào cũng thỏa mãn điều
kiện: Nếu y
1
kề với z
1
, y
2
kề với z
2
, thì trong hai cặp đỉnh y
1
, z
2
; y
2
, z
1
có ít nhất một
cặp đỉnh kề nhau. Khi đó trong tập Z có ít nhất nhất một đỉnh kề với tất cả các đỉnh
thuộc Y .
Chứng minh. Ký hiệu |Y | = m, |Z| = n. Xét ba khả năng có thể sau:
Với m = 1, do Y có phần tử duy nhất y, mà m(y) ≥ 1, trong tập Z có ít nhất
phần tử z kề với y. Bởi vậy m(z) = 1 = |Y |.
Với m > 1, n = 1, theo giả thiết với mọi y ∈ Y đều có m(y) ≥ 1, nên đỉnh z duy
nhất của tập Z phải kề với tất cả các đỉnh thuộc Y hay m(z) = |y|.
Với m > 1, n > 1 gọi z là đỉnh có bậc lớn nhất trong tập Z:
+ Nếu m(z) = |Y | khẳng định được chứng minh.
+ Nếu m(z) = |k| < m = |Y |, ký hiệu y

1
, y
2
, , y
k
là các đỉnh kề với z và y
k+1
phải
kề với đỉnh t ∈ Z và t = z. Xét hai cặp đỉnh (z, y
i
), (t, y
k+1
) với i = 1, 2, , k, ngoài ra t
còn kề với y
k+1
, nên m(t) = k + 1 > k = m(z). Điều này mâu thuẫn với giả thiết m(z)
cực đại.
Khẳng định được chứng minh.
Định lý 1.8. Trong đồ thị G(X, E) với ít nhất kn + 1 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc không
nhỏ hơn (k − 1)n + 1 luôn tồn tại đồ thị con đầy đủ gồm k + 1 đỉnh.
Chứng minh. Khẳng định được chứng minh bằng quy nạp theo k.
Với k = 1 khẳng định hiển nhiên đúng.
Với k = 2 có thể làm chặt hơn giả thiết: Đồ thị 2n + 1 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc
không nhỏ hơn n, thì tồn tại đồ thị con 3 đỉnh đầy đủ. Thật vậy, xét x bất kỳ và y là
một trong các đỉnh kề với x. Tổng các đỉnh kề với x và y là 2n trong số 2n − 1 đỉnh
còn lại, nên tất phải có một đỉnh được tính hai lần. Đỉnh này cùng với x và y tạo
thành một đồ thị con 3 đỉnh đầy đủ.
Giả sử khẳng định đúng với k, ta chứng minh khẳng định đúng với k + 1.
Theo giả thiết, trong đồ thị G gồm (k +1)n + 1 đỉnh, số đỉnh kề với x tùy ý không
nhỏ hơn kn + 1 nên số đỉnh không kề với x sẽ không vượt quá n. Bởi vậy, mỗi đỉnh

y kề với x thì nó kề với nhiều nhất n đỉnh không kề với đỉnh x. Do đó đỉnh y phải
kề với ít nhất kn + 1 − n = (k − 1)n + 1 đỉnh kề với đỉnh x. Xét đồ thị con G
1
gồm
các đỉnh kề với x. Đồ thị con G
1
có ít nhất kn + 1 đỉnh và mỗi đỉnh của nó kề ít nhất
(k − 1)n + 1 đỉnh thuộc G
1
, nên theo giả thiết quy nạp, trong G
1
có đồ thị con đầy đủ
G
2
gồm k + 1 đỉnh. Vì đỉnh x kề với từng đỉnh thuộc G
2
nên đỉnh x kết hợp với các
đỉnh thuộc G
2
lập thành một đồ thị con đầy đủ gồm k + 2 đỉnh trong đồ thị G.
13
1.3 Xích, chu trình, đường, vòng
Đối với đồ thị (đa đồ thị) vô hướng có khái niệm xích (dây chuyền) và chu trình,
còn đối với đồ thị (đa đồ thị) có hướng tồn tại khái niệm đường và vòng. Tuy vậy ta
vẫn thường dùng khái niệm đường cho cả đồ thị và đa đồ thị vô hướng.
1. Xích, chu trình.
Giả sử G(X, E) là một đồ thị hay đa đồ thị vô hướng, dãy α các đỉnh của
G(X, E), α = [x
1
, x

2
, , x
i
, x
i+1
, , x
n−1
, x
n
] được gọi là một xích hay một dây chuyền
nếu ∀i(1 ≤ i ≤ n − 1) cặp đỉnh x
i
, x
i+1
kề nhau.
Tổng số vị trí của tất cả các cạnh xuất hiện trong xích α được gọi là độ dài của
xích α, đồng thời được kí hiệu là |α|.
Các đỉnh x
1
, x
n
được gọi là hai đỉnh đầu của xích α. Ngoài ra còn nói rằng xích
α nối giữa các đỉnh x
1
và x
n
. Để chỉ rõ đỉnh đầu và đỉnh cuối ta còn kí hiệu α bằng
α[x
1
, x

n
].
Một xích có hai đầu trùng nhau được gọi là một chu trình.
Xích (chu trình) α, được gọi là xích (chu trình) đơn (sơ cấp hay cơ bản), nếu nó
đi qua mỗi cạnh (mỗi đỉnh) không quá một lần.
Trong hình (H11) có Y ZW XV U Y là chu trình sơ cấp độ dài 6.
Trong hình (H12) có:
α = [x
1
, x
2
, x
3
, x
7
, x
6
, x
5
, x
1
] là chu trình đơn và sơ cấp.
α = [x
1
, x
4
, x
2
, x
6

, x
4
, x
5
, x
1
] là chu trình đơn, nhưng không là chu trình sơ cấp.
14
2. Đường, vòng.
Giả sử G = (X, E) là đồ thị hay đa đồ thị có hướng. Dãy đỉnh β của G =
(X, E), β = [x
1
, x
2
, , x
i
, x
i+1
, , x
m−1
, x
m
] được gọi là một đường hay một đường đi,
nếu ∀i(1 ≤ i ≤ m − 1) đỉnh x
i
là đỉnh đầu, còn x
i+1
là đỉnh cuối của một cung nào đó.
Tổng số vị trí của tất cả các cung xuất hiện trong β được gọi là độ dài của đường
β, đồng thời được kí hiệu bằng |β|.

Đỉnh x
1
được gọi là đỉnh đầu, còn x
m
là đỉnh cuối của đường β. Người ta nói
rằng: Đường β xuất phát từ đỉnh x
1
và đi tới đỉnh x
m
. Đường β còn được kí hiệu
bằng β[x
1
, x
m
].
Một đường có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau được gọi là một vòng.
Đường (vòng) được gọi là đường (vòng) đơn (sơ cấp hay cơ bản) nếu nó đi qua
mỗi cạnh (mỗi đỉnh) không quá một lần.
Trong hình (H13) có:
β
1
= [x
1
, x
2
, x
3
, x
6
, x

4
, x
5
, x
1
] là vòng sơ cấp.
β
2
= [x
1
, x
4
, x
2
, x
6
, x
4
, x
5
, x
1
] là vòng đơn, nhưng không sơ cấp.
β
3
= [x
1
, x
4
, x

2
, x
3
, x
6
, x
4
, x
2
] là đường không đơn, không sơ cấp.
3. Một số tính chất.
Định lý 1.9. Trong một đồ thị vô hướng với n(n ≥ 3) đỉnh và các đỉnh đều có bậc
không nhỏ hơn 2 luôn luôn tồn tại một chu trình sơ cấp.
Chứng minh. Vì đồ thị là hữu hạn, mà xích sơ cấp qua một đỉnh không quá một lần,
nên số xích sơ cấp trong đồ thị G = (X, E) là một số hữu hạn. Bởi vậy luôn luôn xác
định được xích sơ cấp có độ dài cực đại trong đồ thị G = (X, E).
Giả sử α = [x
1
, x
2
, , x
k−1
, x
k
] là một xích sơ cấp có độ dài cực đại. Do bậc của
mỗi đỉnh không nhỏ hơn 2, nên x
1
phải kề với một đỉnh y nào đó khác với x
2
.

Nếu y không thuộc α, tức là khác với các đỉnh x
i
(3 ≤ i ≤ k), thì xích sơ cấp
α

= [y, x
1
, x
2
, , x
k−1
, x
k
] có độ dài |α

| = |α| + 1 > |α|. Ta đã đi tới mâu thuẫn với tính
chất độ dài cực đại của α. Bởi vậy y phải thuộc α, tức là y ≡ x
i
(3 ≤ i ≤ k) nên trong
đồ thị G = (X, E) có chu trình sơ cấp β = [x
1
, x
2
, , x
i
, x
1
].
Định lý 1.10. Trong đồ thị vô hướng với n(n ≥ 4) đỉnh và các đỉnh đều có bậc không
nhỏ hơn 3 luôn luôn tồn tại một chu trình sơ cấp có độ dài chẵn.

15
Chứng minh. Giả sử α là một trong những xích sơ cấp có độ dài cực đại
α = [x
1
, x
2
, x
3
, , x
i−1
, x
i
, x
i+1
, , x
j−1
, x
j
, x
j+1
, , x
k−1
, x
k
]
Vì α có độ dài cực đại, mà bậc của x
1
không nhỏ hơn 3, nên x
1
phải kề với hai

đỉnh khác thuộc α là x
i
(3 ≤ i ≤ k), x
j
(3 ≤ j ≤ k). Khi đó có hai chu trình sơ cấp:
α
1
= [x
1
, x
2
, x
3
, , x
i−1
, x
i
, x
1
]
α
2
= [x
1
, x
2
, x
3
, , x
i−1

, x
i
, x
1
, , x
j−1
, x
j
, x
1
]
Nếu một trong hai chu trình α
1
, α
2
có độ dài chẵn, thì khẳng định được chứng
minh.
Ngược lại, nếu cả hai chu trình α
1
, α
2
có độ dài lẻ. Khi đó xích α
3
= [x
1
, x
2
, x
3
, , x

i−1
, x
i
]
có độ dài chẵn, còn xích α
4
= [x
i
, x
i+1
, , x
j−1
, x
j
, x
1
] có độ dài lẻ nên chu trình
α
5
= [x
1
, x
i
, x
i+1
, , x
j−1
, x
j
, x

1
] có độ dài chẵn. Khẳng định được chứng minh.
1.4 Đồ thị liên thông
1. Định nghĩa
Hai đỉnh x, y của đồ thị G = (X, E) được gọi là cặp đỉnh liên thông, nếu hoặc
giữa x và y có ít nhất một xích nối với nhau, hoặc tồn tại ít nhất một đường đi từ x
sang y hoặc từ y sang x.
Trong hình (H14) cặp đỉnh A, B liên thông.
Đồ thị vô hướng G = (X, E) được gọi là đồ thị liên thông, nếu mọi cặp đỉnh của
nó đều liên thông.
Hình ảnh đồ thị liên thông:
Đồ thị có hướng G = (X, E) được gọi là đồ thị liên thông mạnh, nếu mọi cặp
đỉnh của nó đều liên thông.
Hình ảnh đồ thị liên thông mạnh:
16
Giả sử a là đỉnh bất kì của đồ thị G = (X, E). Dùng C
a
để kí hiệu tập con các
đỉnh của G gồm đỉnh a và tất cả các đỉnh liên thông với a trong đồ thị G.
Đồ thị con của G có tập đỉnh là C
a
được gọi là một thành phần liên thông của
đồ thị G.
Đỉnh x trong đồ thị liên thông G được gọi là điểm khớp nếu đồ thị con G
1
nhận
được từ G bằng cách bỏ đỉnh x là đồ thị không liên thông.
Điểm khớp x mà nó được nối với mỗi thành phần liên thông của G
1
bằng đúng

một cạnh được gọi là điểm khớp đơn.
2. Tính chất
Định lý 1.11. Đồ thị vô hướng tùy ý với n(n ≥ 2) đỉnh, mà tổng bậc của hai đỉnh
tùy ý không nhỏ hơn n, là đồ thị liên thông.
Chứng minh. Giả sử đồ thị vô hướng G = (X, E) có n đỉnh (n ≥ 2). Với mọi cặp đỉnh
a, b của đồ thị đều có m(a) + m(b) ≥ n (1) nhưng a, b không liên thông. Khi đó đồ thị
G tồn tại hai thành phần liên thông: G
1
có chứa a và n
1
đỉnh, G
2
có chứa b và n
2
đỉnh. Vì G
1
, G
2
là các thành phần liên thông của G nên n
1
+ n
2
≤ n. Khi đó
m(a) + m(b) ≤ (n
1
− 1) + (n
2
− 1) = n
1
+ n

2
− 2 ≤ n − 2 < n(2)
Như vậy quan hệ (1) và (2) mâu thuẫn nhau, nên đồ thị G phải liên thông. Khẳng
định được chứng minh.
Hệ quả 2.1 Đồ thị, mà bậc của mỗi đỉnh không nhỏ hơn nửa số đỉnh, là đồ thị
liên thông.
Định lý 1.12. Nếu đồ thị có đúng hai đỉnh bậc lẻ thì, hai đỉnh này phải liên thông.
Chứng minh. Giả sử đồ thị G = (X, E) có đúng hai đỉnh bậc lẻ và hai đỉnh đó là a, b.
Giả sử a, b không liên thông với nhau. Khi đó chúng phải thuộc hai thành phần
liên thông khác nhau của đồ thị G. Chẳng hạn G
1
chứa đỉnh a, còn G
2
chứa đỉnh b.
Bậc của đỉnh a trong G
1
cũng là bậc của đỉnh a trong G, nên trong G
1
đỉnh a vẫn
là đỉnh bậc lẻ. Ta đi tới mâu thuẫn với tính chất: Số đỉnh bậc lẻ trong đồ thị là số
chẵn. Bởi vậy a, b phải liên thông.
1.5 Sắc số và đồ thị tô màu
Trong phần này sẽ trình bày về các đồ thị mà hoặc tập đỉnh hoặc tập cạnh của
chúng được tô bằng từ hai màu trở lên.
17
1. Định nghĩa
Sắc số của đồ thị là số màu ít nhất cần dùng để tô trên các đỉnh của đồ thị (mỗi
đỉnh một màu), sao cho hai đỉnh kề nhau (có cạnh nối với nhau) tùy ý được tô bằng
hai màu khác nhau.
Sắc lớp là số màu ít nhất cần dùng để tô trên các cạnh của đồ thị (mỗi cạnh một

màu), sao cho hai cạnh kề nhau (có đỉnh chung) tùy ý đều có màu khác nhau.
2. Một số tính chất
Định lý 1.13. Một chu trình độ dài lẻ luôn luôn có sắc số bằng 3.
Chứng minh. Giả sử a là một chu trình có độ dài lẻ tùy ý. Khi đó tồn tại số tự nhiên
n để |a| = 2n + 1.
Kí hiệu các đỉnh của a một cách trực tiếp bằng x
1
, x
2
, , x
2n
, x
2n+1
. Ta sẽ chứng
minh khẳng định trên bằng quy nạp theo n.
Với n = 1 chu trình a gồm 3 đỉnh x
1
, x
2
, x
3
. Do mỗi đỉnh x
i
(1 ≤ i ≤ 3) đều kề
với hai đỉnh còn lại, nên ta phải dùng đúng 3 màu khác nhau thì mới đủ tô trên mỗi
đỉnh một màu để hai đỉnh kề nhau tùy ý đều có màu khác nhau.
Giả sử khẳng định đã đúng với n ≤ k, nghĩa là đối với chu trình a
1
tùy ý với độ
dài 2n + 1(1 ≤ n ≤ k) đều có sắc số bằng 3. Cần phải chỉ ra rằng với n = k + 1 khẳng

định vẫn đúng, nghĩa là chu trình a tùy ý với độ dài 2(k + 1) + 1 cũng có sắc số bằng
3.
Giả sử a là chu trình độ dài lẻ tùy ý có độ dài bằng 2(k + 1) + 1 và có tập đỉnh
được đánh số liên tiếp là x
1
, x
2
, , x
k
, x
k+1
, x
2k+2
, x
2k+3
.
Nối đỉnh x
1
với đỉnh x
2k+1
ta được chu trình a
1
với độ dài 2k + 1. Theo giả thiết
quy nạp sắc số của a
1
bằng 3 đồng thời x
1
và x
2k+1
có màu khác nhau. Chẳng hạn

x
1
được tô màu M
1
và x
2k+1
được tô màu M
2
. Khi đó để tô màu đỉnh x
2k+2
ta có thể
dùng lại màu M
1
và tô đỉnh x
2k+3
ta dùng lại màu M
2
. Nghĩa là không phải thêm
màu mới. Vậy sắc số a bằng 3 và khẳng định được chứng minh.
3. Lớp đồ thị có chu trình tam giác cùng màu
Để phục vụ cho việc giải quyết một số bài toán nào đó cần xét những dãy số
đặc biệt và đưa ra những khẳng định thích hợp, chẳng hạn, để xây dựng lớp đồ thị
có chu trình tam giác cùng màu người ta đưa ra các dãy số nguyên dương.
18
a
1
= 2; a
2
= 5; ; a
n+1

= (n + 1)a
n
+ 1
u
1
= 3; u
2
= 6; ; u
n+1
= (u
n
− 1)n + 2
và có định lý sau:
Định lý 1.14. a) Một đồ thị đầy đủ vô hướng với a
n
+ 1 đỉnh, các cạnh được tô bằng
n màu luôn luôn có chu trình tam giác cùng màu.
b) Một đồ thị đầy đủ vô hướng với u
n+1
đỉnh, các cạnh được tô bằng n màu luôn
luôn có chu trình tam giác cùng màu.
Chứng minh. a) Bằng quy nạp theo chỉ số n.
Với n = 1 đồ thị đầy đủ tương ứng gồm a
1
+ 1 = 2 + 1 = 3 đỉnh lập thành một
chu trình tam giác. Các cạnh của đồ thị này được tô bằng một màu nên chu trình
tam giác lập nên G
1
cùng màu.
Giả sử khẳng định đúng với n = k, nghĩa là đồ thị đầy đủ bất kì G

k
gồm a
k
+ 1
đỉnh với các cạnh được tô bằng k màu đã có chu trình tam giác cùng màu. Cần chứng
tỏ khẳng định cũng đúng với n = k + 1.
Xét đồ thị đầy đủ tùy ý G
k+1
với a
k+1
+ 1 đỉnh và các cạnh được tô bằng k + 1
màu.
Giả sử P là một đỉnh tùy ý của G
k+1
. Khi đó P được nối với a
k+1
= (k + 1)a
k
+ 1
đỉnh bằng các cạnh được tô bởi không quá k + 1 màu, nên xuất phát từ P phải có ít
nhất a
k
+ 1 cạnh được tô bằng cùng một màu. Giả sử màu này là màu đỏ và các cạnh
P A
1
, P A
2
, , P A
a
k

, P A
a
k
+1
được tô bằng màu đỏ. Có hai khả năng xảy ra:
Nếu một trong các cạnh nối giữa các đỉnh A
i
, A
j
(1 ≤ i, j ≤ a
k
+ 1) được tô màu
đỏ, chẳng hạn cạnh (A
1
, A
2
) màu đỏ. Khi đó chu trình tam giác A
1
P A
2
màu đỏ nên
đồ thị G
k+1
có chu trình tam giác màu đỏ.
Nếu không có cạnh nào trong các cạnh A
i
, A
j
(1 ≤ i, j ≤ a
k

+ 1) được tô màu đỏ,
thì khi đó đồ thị con đầy đủ G
k
với tập đỉnh A
1
, A
2
, , A
a
k
, A
a
k+1
có các cạnh được tô
bằng k màu, nên theo giả thiết quy nạp đồ thị G
k
có chu trình tam giác cùng màu.
Bởi vậy đồ thị G
k+1
có chu trình tam giác cùng màu.
Khẳng định được chứng minh. b) Chứng minh tương tự.
1.6 Số ổn định trong, số ổn định ngoài
1. Số ổn định trong
+ Định nghĩa tập ổn định trong.
Giả sử có đồ thị G = (X, E). Tập con A ⊆ X các đỉnh của đồ thị G được gọi là
tập ổn định trong, nếu mọi đỉnh thuộc A đều không kề nhau (không có cạnh hoặc
cung nối với nhau).
Tập con B ⊆ X các đỉnh của đồ thị G được gọi là tập ổn định trong cực đại, nếu
B là tập ổn định trong và nếu thêm vào B một đỉnh tùy ý x ∈ X, thì tập con nhận
được B ∪ {x} sẽ không ổn định trong.

19
+ Tính chất tập ổn định trong.
Nếu A là tập ổn định trong, thì mọi tập con của A đều phải ổn định trong.
+ Số ổn định trong.
Số phần tử của một trong những tập ổn định trong có lực lượng lớn nhất được
gọi là số ổn định trong của đồ thị G, đồng thời được kí hiệu là α(G).
Trong hình (H18) có:
a) Các tập ổn định trong.
- Vì đồ thị không có khuyên, nên mỗi đỉnh lập thành một tập ổn định trong:
M
1
= {x
1
}, M
2
= {x
2
}, M
3
= {x
3
}, M
4
= {x
4
}, M
5
= {x
5
}, M

6
= {x
6
}, M
7
= {x
7
}.
- Các tập ổn định trong bao gồm hai đỉnh: M
8
= {x
1
, x
3
}, M
9
= {x
1
, x
4
}, M
10
=
{x
1
, x
6
}, M
11
= {x

2
, x
5
}, M
12
= {x
2
, x
7
}, M
13
= {x
3
, x
5
}, M
14
= {x
3
, x
6
}, M
15
= {x
3
, x
7
}, M
16
=

{x
4
, x
7
}, M
17
= {x
5
, x
6
}.
- Các tập ổn định trong gồm ba đỉnh: M
18
= {x
1
, x
3
, x
6
}. Đây cũng là tập ổn định
có lực lượng lớn nhất, nên số phần tử của nó chính là số ổn định trong.
b) Số ổn định trong α(G) = |{x
1
, x
3
, x
6
}| = 3.
2. Số ổn định ngoài
+ Định nghĩa tập ổn định ngoài.

Tập con B ⊆ X các đỉnh của đồ thị G được gọi là tập ổn định ngoài, nếu với mọi
đỉnh x thuộc tập (X − B) đều tồn tại đỉnh y ∈ B để hoặc từ x sang y có cung hoặc
cặp đỉnh x, y được nối bằng một cạnh.
+ Tính chất của tập ổn định ngoài.
Nếu B là tập ổn định ngoài, thì mọi tập chứa B đều ổn định ngoài.
+ Số ổn định ngoài.
Số phần tử của một trong những tập ổn định ngoài có lực lượng bé nhất được
gọi là số ổn định ngoài của đồ thị G đồng thời kí hiệu bằng β(B).
Trong hình H18 có:
- Các tập ổn định ngoài gồm 1 đỉnh: Không có.
- Tập ổn định ngoài gồm 2 đỉnh chẳng hạn N = {x
1
, x
4
}.
20
- Số ổn định ngoài β(G) = |{x
1
, x
4
}| = 2.
1.7 Nhân của đồ thị và ứng dụng vào trò chơi
1. Định nghĩa
Giả sử có đồ thị G = (X, U). Tập đỉnh S ⊆ X được gọi là nhân của đồ thị G nếu
nó vừa là tập ổn định trong lại vừa là tập ổn định ngoài.
Trong hình (H19) có hai nhân {A
1
, A
3
} và {A

2
, A
4
}.
Trong hình (H20) không có nhân vì tập ổn định trong chỉ gồm 1 đỉnh, còn các
tập ổn định ngoài phải gồm ít nhất hai đỉnh.
2. Tính chất
Định lý 1.15. Nếu đồ thị có số ổn định trong nhỏ hơn số ổn định ngoài thì nó không
có nhân.
Chứng minh. Giả sử đồ thị G = (X, U) có α(G) < β(G)(1) nhưng G lại có nhân và S
là một trong những nhân của G. Khi đó theo định nghĩa ta có:
α(G) = max{|A|, A ∈ H(G)} ≥ min{|B|, B ∈ K(G)} = β(G) (2)
Trong đó H(G) là tập gồm các tập đỉnh ổn định trong, còn K(G) là tập gồm các
tập ổn định ngoài của đồ thị G.
So sánh (1) và (2) đi tới mâu thuẫn nên G không thể có nhân. Định lý được
chứng minh.
Định lý 1.16. Nếu S là nhân của đồ thị G = (X, U), thì nó cũng là tập ổn định trong
cực đại.
Chứng minh. Giả sử S là nhân của đồ thị G và x là đỉnh tùy ý không phụ thuộc vào
S. Xét tập S ∪ {x}, vì S là nhân và x ∈ S nên ∃y ∈ S để x, y được nối với nhau bằng
một cạnh hoặc từ x sang y có cung. Bởi vậy tập S ∪ {x} không ổn định trong nên S
là tập ổn định cực đại.
Định lý 1.17. Trong đồ thị vô hướng không có khuyên mọi tập ổn định trong cực đại
đều là nhân.
21
Chứng minh. Giả sử tập B là tập ổn định trong cực đại của đồ thị vô hướng G =
(X, E). Khi đó ∀x ∈ (X − B) đều ∃y ∈ B để x, y có cạnh nối với nhau nên đồng thời
B cũng là tập ổn định ngoài. Định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.1 Mọi đồ thị vô hướng không có khuyên đều có nhân.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử đồ thị G = (X, U) là đồ thị vô hướng không có khuyên.

Khi đó mỗi đỉnh đều lập thành một tập ổn định trong. Xuất phát từ đỉnh tùy ý x
0
,
đặt S
0
= {x
0
}, sau đó chọn đỉnh tùy ý x
1
∈ D(x
0
) và đặt S
1
= S
0
∪ {x
1
} = {x
0
, x
1
}.
Tiếp theo, chọn đỉnh tùy ý x
2
∈ D(S
1
) và thực hiện tương tự như trên. Vì đồ thị
G là hữu hạn nên sớm muộn quá trình trên sẽ dừng lại, tức là có n số tự nhiên để
D(S
n

) = X − S
n
. Với cách chọn này S
n
là tập ổn định trong cực đại nên nó là nhân
của đồ thị G.
3. Trò chơi Nim
Giữa hai đối thủ, được kí hiệu là A và B, có một đồ thị G = (X, E) cho phép xác
định một trò chơi nào đó. Trong trò chơi này mỗi thế là một đỉnh của đồ thị.
Khởi đầu là x
0
được chọn bằng cách gắp thăm và các đấu thủ lần lượt đi: Đầu
tiên đối thủ A chọn đỉnh x
1
trong tập D(x
0
) ∪ D
+
(x
0
), sau đó đấu thủ B chọn đỉnh x
2
trong tập D(x
1
)∪D
+
(x
1
), tiếp theo đấu thủ A chọn đỉnh x
3

trong tập D(x
2
)∪D
+
(x
2
),
Nếu một trong hai đấu thủ chọn được đỉnh x
k
mà D(x
k
) ∪ D
+
(x
k
) = ∅ thì ván đó kết
thúc. Đấu thủ nào chọn được đỉnh cuối cùng thì thắng cuộc và đấu thủ kia thua cuộc.
Định lý 1.18. Nếu đồ thị G = (X, E) có nhân S và nếu một đấu thủ đã chọn được
một đỉnh trong nhân S thì việc chọn này đảm bảo cho đấu thủ đó thắng hoặc hòa.
Chứng minh. Thật vậy, nếu đấu thủ A chọn được đỉnh x
1
∈ S, thì hoặc D(x
0
) ∪
D
+
(x
0
) = ∅. Khi đó A thắng cuộc. Nếu D(x
1

) ∪ D
+
(x
1
) = ∅, thì đối phương B buộc
phải chọn đỉnh x
2
∈ (S − X). Khi đó đối thủ A lại có thể chọn x
3
∈ S và cứ như thế
mãi.
Vì đồ thị G có hữu hạn đỉnh, nên đến một lúc nào đó một trong hai đấu thủ bằng
cách chọn được đỉnh x
k
∈ S, mà D(x
k
) ∪ D
+
(x
k
) = ∅. Theo cách chọn trên đấu thủ A
đến lượt chọn x
k
, nên chính A là người thắng cuộc.
4. Trò chơi bốc các vật
A. Trò chơi.
Trên bàn có một đống gồm m vật. Hai đối thủ A và B thực hiện trò bốc các vật
theo nguyên tắc:
1) Người đi đầu xác định ngẫu nhiên (bằng cách bốc thăm hoặc gieo đồng tiền).
2) Với k(1 ≤ k < m) mỗi người đến lượt mình phải bốc ít nhất một vật và không

được bốc quá k vật.
3) Người bốc được vật cuối cùng thắng (thua) cuộc.
22
Khi tham gia cuộc chơi mỗi người đều phải tìm cách thực hiện để chiến thắng.
Mỗi bước chơi đều có vai trò quyết định của nó. Song bước 1 có ý nghĩa quyết
định hơn cả.
Bởi thế người đi đầu có phần chủ động hơn. Nếu người đi đầu có thuật toán chơi
đúng, thì nhất định sẽ chiến thắng. Bởi vậy cần đưa ra thuật toán đúng cho người
chơi đầu.
B. Thuật toán chơi dựa vào nhân của đồ thị.
a. Trường hợp bốc được vật cuối cùng thắng cuộc.
1) Xây dựng đồ thị xác định trò chơi: Cần xác định đỉnh và cung của đồ thị.
Đỉnh: Tương ứng đỉnh lấy m+1 điểm với số lượng vật thể có thể là 0, 1, 2, 3, , m−
1, m. Dùng ngay số lượng vật để ghi trên các điểm tương ứng.
Cung:
a) Đối với mỗi đỉnh x ≥ k có cung đi tới từng đỉnh thuộc tập
D
+
(x) = {x − 1, x − 2, , x − k + 1, x − k}
b) Đối với mỗi đỉnh y(1 ≤ y ≤ k) có cung đi tới từng đỉnh thuộc tập
D
+
(y) = {1, 2, , y − 1}
2) Xác định nhân đồ thị.
Vì từng cặp đỉnh thuộc tập M = {0, k + 1, 2(k + 1), ,

m
k + 1

(k + 1)} không kề

nhau và mỗi đỉnh i ∈ M đều có cung đi tới đỉnh

i
k + 1

(k + 1), nên tập M là nhân
đồ thị G.
3) Thuật toán.
Giả sử A là người được đi đầu. Khi đó A bốc m −

m
k + 1

(k + 1) vật, tức đi theo
cung

m,

m
k + 1

(k + 1)

để đạt đỉnh

m
k + 1

(k + 1) ∈ M.
Đến lượt mình, giả sử B bốc t(1 ≤ t ≤ k) vật. Tiếp theo A bốc k + 1 − t vật, tức là

xuất phát từ đỉnh

m
k + 1

(k + 1) − t đi theo cung

m
k + 1

(k + 1) − t,

m
k + 1

(k + 1)

để đến đỉnh

m
k + 1

(k + 1) ∈ M
Cứ tiếp tục như vậy đấu thủ B chỉ có thể đạt được đỉnh ngoài nhân M , còn đấu
thủ A lần lượt đạt các đỉnh

m
k + 1

(k + 1),


m
k + 1

− 1

(k + 1)
Cuối cùng A đạt đỉnh 0, tức là A bốc được vật cuối cùng nên thắng cuộc.
Ví dụ 4.1: Trên bàn có một đống bi gồm 14 viên. Hai emA, B thực hiện trò chơi bốc
bi theo nguyên tắc sau:
1) Người đi đầu xác định bằng gieo đồng tiền.
2) Mỗi người đến lượt phải bốc ít nhất 1 viên và không bốc quá 3 viên.
3) Ai bốc được viên bi cuối cùng thì người đó thắng cuộc.
23
Nếu A được đi đầu thì em phải có cách bốc như thế nào để đảm bảo thắng cuộc,
tức là bốc được viên bi cuối cùng?
Giải
1) Xây dựng đồ thị G xác định trò chơi.
Tập M = {0, 4, 8, 12} là một trong những nhân của đồ thị.
1) Thuật toán:
Với tư cách người đi đầu, để đảm bảo chiến thắng, thì A phải bốc 2 viên bi, tức
xuất phát từ đỉnh 14 đi theo cung (14, 12) để đạt đỉnh 12 thuộc M.
Đến lượt mình, chẳng hạn B bốc 3 viên, tức là xuất phát từ đỉnh 12 đi theo cung
(12, 9) để đạt được đỉnh 9. Khi đó đến lượt mình, A bốc 1 viên để đạt được đỉnh 8
thuộc nhân M.
Đến lượt mình chẳng hạn B bốc 2 viên, để đạt đỉnh 6, khi đó A bốc 2 để đạt tới
đỉnh 4.
Đến lượt mình chẳng hạn B bốc 1 viên để đạt tới đỉnh 3. Đến lượt mình A bốc 3
viên và thắng cuộc.
b. Trường hợp bốc được vật cuối cùng thua cuộc.

Đối với trường hợp bốc được vật cuối cùng thua cuộc vẫn có cách giải quyết
24
tương tự bằng đồ thị.
1) Xây dựng đồ thị xác định trò chơi.
Đỉnh : Lấy m điểm trên mặt phẳng hoặc trong không gian tương ứng với số lượng
vật có thể là :0, 1, 2, , m − 1, m. Dùng ngay số lượng vật để ghi các điểm tương ứng.
Cung :
+ Đối với mỗi đỉnh x ≥ k có cung đi tới từng đỉnh thuộc tập
D
+
(x) = x − 1, x − 2, , x − k + 1, x − k.
+ Đối với mỗi đỉnh y(1 ≤ y ≤ k) có cung đi tới từng đỉnh thuộc tập
D
+
(y) = 0, 1, 2, , y − 1.
2) Xác định nhân đồ thị.
Vì từng cặp đỉnh thuộc tập N = {1, k + 2, 2(k + 1) + 1, ,

m
k + 1

(k + 1) + 1} không
kề nhau và mỗi đỉnh i ∈ N đều có cung đi tới đỉnh

i
k + 1

(k + 1) + 1, nên tập N là
nhân đồ thị con không chứa đỉnh O.
3) Thuật toán.

Giả sử A là người được đi đầu. Khi đó A bốc m −

m
k + 1

(k + 1) − 1

vật, tức
đi theo cung

m,

m
k + 1

(k + 1) + 1

để đạt đỉnh

m
k + 1

(k + 1) + 1 ∈ N.
Đến lượt mình, giả sử B bốc t(1 ≤ t ≤ k) vật. Tiếp theo A bốc k + 1 − t vật, tức là
xuất phát từ đỉnh

m
k + 1

(k +1)+1 −t đi theo cung


m
k + 1

(k +1)+1 −t, (

m
k + 1

−
1)(k + 1)

để đến đỉnh

m
k + 1

− 1

(k + 1) + 1 thuộc nhân N .
Cứ tiếp tục như vậy đấu thủ B chỉ có thể đạt được đỉnh ngoài nhân N, còn đấu
thủ A lần lượt đạt các đỉnh

m
k + 1

(k + 1) + 1,

m
k + 1


− 1

(k + 1) + 1 Cuối cùngA
đạt đỉnh 1 thuộc N, tức sau khi đấu thủ A bốc được lần cuối cùng trên bàn còn đúng
một vật. Khi đó, đến lượt mình đấu thủ B phải bốc vật cuối cùng, nên thua cuộc.
Ví dụ 4.2: Trên bàn có một đống diêm gồm 11 que, hai em A, B thực hiện trò chơi
theo nguyên tắc sau:
a. Người đi đầu xác định bằng bóc thăm.
b. Mỗi người đến lượt phải bốc ít nhất 1 que diêm và không được bốc quá 3 que
diêm.
c. Ai phải bốc que diêm cuối cùng thì thua cuộc.
Nếu A được đi đầu thì em phải bốc diêm như thế nào để đảm bảo thắng cuộc,
tức là không phải bốc que diêm cuối cùng.
Giải
1) Xây dựng đồ thị G và xác định trò chơi.
2) Thuật toán.
25