Nguyên lý độ chênh lệch lớn và áp dụng

DAI HOC QUÓC
GIÀ HA
NÓI
TRirÒNG
DAI HOC KHOA HOC
TlT NHIÉN
NGUYÉN
THI TRAM
NGUYÉN
LY DÒ CHÉCH
LON VA
AP
DUNG
• • •
Chuyén ngành: Ly thuyét xàc suàt
va thòng
ké
toàn
hoc
Ma
so:
60 46 15
LUÀN VÀN THAC SÌ KHOA HOC
NGUÒI HUÓNG DAN
KHOA HOC
GS.TSKH. DÀNG
HÙNG
THÀNG
Ha Nói-Nàm 2011
Muc
lue

Bang
ky
hiéu viét
tat
ni
Lòi
nói dàu
i
Chi^dng
1. Càc
kién thi^c
chuan bi 3
1.1. Hàm toc
do
3
1.2. Ky
thuàt
to hdp cho bang
chù
cài
hùu
han 4
1.3.
Phép
bién dói
Fenchel-Legrendre 7
Chu'dng
2. Nguyén
ly
do

chéch lón
11
2.1.
Giói
thi^u
nguyén ly dò chéch lón 11
2.1.1.
Dò chéch lón 11
2.1.2. Nguyén ly dò chéch lón 12
2.2.
Dinh ly Sanov 16
2.2.1.
Dinh ly Sanov 16
2.2.2. Dò chéch lón cho
phudng
phàp
lay màu
khòng hoàn lai 19
^3.
Dinh ly Cramer's trong
R
24
1.4.
Dinh ly Cramer's trong
R*^
31
!.5.
Dinh ly
Gartncr-Ellis
37

i
Chifdng
3. Àp dung 43
3.1.
Kiém
dinh già thiét 43
3.2. Kiem dinh ty so hdp ly
tóng
quàt cho bang
cM
cài
hiJu
han 47
3.3.
Do
dai
hiém trong càc di dòng ngau nhién 50
Ket luan
54
Tài
liéu tham
khào 55
n
Bang ky hieu
viét tàt
R"
khòng gian
R"
^
khòng gian topo

B;;^
o"-triròng
Borei
r là
mot tap hdp
r
bao dóng cùa tap hdp
F
r° phàn
trong cùa tàp hdp
T
P
phan
bìi
cùa tap hdp
F
/(•)
hàm toc dò
I^{-)
<5-hàm
toc dò
F,
G, K
tiTdng ùng
là tàp dóng, tàp
mò va
tap compact
\A\
lue lirdng
cùa tap hdp A

E
bang
chij'
cài
M\{Ti)
khòng gian tit cà càc dò do xàc suàt trén bang
chù
cài E
E^
già cùa
luat ji
C-n
tap tit cà càc kiéu xàc suit eó dò
dai
n
d{-,
•),
d{x,
A) metric
va
khoàng
càch tu
x dén tàp A
Tn(-) lóp kiéu
cùa
luàt
xàc suit
//(•)
entropy cùa
mot

vector xàc suit
//(•|-)
entropy
tiTdng
dói cùa mot
mot
vector xàc suit vói
mot
vector xàc suit khàc
ni
Pfi
luàt xàc suit
/i^+
A(-)
hàm sinh
thòi diém Ioga
A*(-)
bién
dèi
Fenchel-Legrender
LDP nguyén ly dò chéch lón ( Farge Deviation Principle)
1A,
l{a} hàm chi
tiéu trén tap
A,
trén tàp {a}
log logarit tu nhién
b.n.n bién ngàu nhién
f
'•—

g f dinh
nghla
là g
V/ gradient cùa /
IV
Lòi
nói
dàu
Fy thuyét xàc suit ra dói vào
nùa
cuoi cùa the ky
thii
17
ò
nuóc
Phàp.
0 nuóc ta, xàc suit
dude
day dau tién tai truòng Dai Hoc Tòng
Hdp
Ha
Noi
tir nhiìng
nàm dàu 1960 cùa
thè
ky 20,
va
ngày nay dà dudc
giàng day tai bau hét càc truòng dai hoc. Ngày nay ly thuyét xàc suit
va

thóng ké toàn hoc là
llnh vUe
toàn hoc
co
ed
so
ly thuyét chat che
va
eó nhièu
ùng
dung trong càc
llnh vUc
boat dóng khàc nhau cùa con
nguòi tu
àm
nbac
tói vat ly,
t\l
vàn hoc tói thóng ké xà bòi,
tu
ed hoc
tói thi truòng
chùng
khoàn,
tu du
bào thòi tiét tói kinh té,
t\ì
nòng hoc
tói y hoc
Fy thuyét dò chéch lón là

llnh
vUc dang phàt trien rat manh ve ly
thuyét
va
eó nhièu
ùng
dung trong ky thuàt. Dò chéch lón dà dude
chiing
minh là còng cu
càn
thiét
de xù
ly nhièu càu bòi
ve
thóng ké, ky thuàt,
toàn thóng ké
va
àp dung trong xàc suit.
Fuàn vàn gom ba
chudng:
Chu'dng
1. Càc kién
thiic chuàn
bi:
ChiTòng
này trình bay
nhiJng
kién
thijfc ccJ
bàn

nhàt
ve hàm toc dò
nhir
dinh nghla hàm toc
dò.
ò^-hàm
toc
dp, ky thuat tò hdp cho bang
chil
cài
hiìu
han,
dinh nghla kiéu,
lóp
kiéu,
entropy, entropy
tirong
dói, phép bién dòi Fenchel-Legrendre,
de àp dung
chùng
minh cho càc chUdng sau.
Chiidng
2. Nguyén ly dò chéch lón: Noi dung cùa chudng này
là giói thiéu nguyén ly dò chéch lón, trình
bay
nguyén ly dò chéch lón
trong truòng hdp bién ngàu nhién dòc
làp,
cùng phàn phói
va

nhàn già
tri trong bang
chiJ
cài
hCu
han, trong truòng hdp nhàn già tri trong R,
trong
R*^,
va
mò ròng trong truòng hdp càc bién ngàu nhién khòng cùng
phàn bo.
1
Chu'dng
3. Ap dung: ChUdng này trình
bay nhUng
àp dung cùa
nguyén
ly dò chéch lón trong vin
de
kiem dinh già thiét, kiem dinh ty
so hdp ly tong quàt cho bang chù: cài hùu han
va
dò
dai
hiém trong càc
di dóng ngàu nhién.
Dù dà co
gang,
nhung
vi

kién
thùc va
khà nàng
con
nhièu han
che
nén chic chàn luan vàn
con
nhièu thiéu sót. Tòi rit mong nhàn dudc
nhiìng
y kién phé bình, dóng góp
va
chi bào cùa càc thày
co,
dong nghiép
va
ban bè.
Fuàn vàn này dUdc hoàn thành là nhò su
chi
bào,
huóng
dàn tàn
tình
cùa
thày
GS. TSKH Dang Hùng Thàng. Vói thày em xin
bay
tò
long
biét dn chàn thành. Em xin chàn thành càm dn càc thày

co
giào trong
khoa Toàn-Cd-Tin dà truyèn dat cho em nhùng kién
thùc
quy
bau va
tao dièu kién
de
em hoàn thành
luàn
vàn này.
Cuòi
cùng, tòi xin càm dn
truòng Dai Hoc Nòng Fàm Bac Giang, càc thành vién trong lóp cao hoc
toàn 2009-2011, dóng nghiép, ban bè
va
nguòi thàn dà
luòn
dóng vién,
giùp dò tòi trong
qua
trình hoc tàp
va
hoàn thành luan vàn này.
Ha
Nói. ngày thàng nàm 2011
Hoc vién
Nguyén Thi
Tram
Chifcfng

1
Càc kién thi^c
chuàn bi
Trong suót luan
vàn
này luòn già thiét X là mot khòng gian Tòpo
ma
tren do càc tap dóng, tap mò
dildc djnh
nghla se là càc
phàn tu
cùa
B^,
dò
là
cr-triròng
Borei tren X. Va ta luòn già thiét
B;^
là
cr-trilòng
Borei.
Càc
ki
hieu sau day
diTdc sii
dung trong suót luan vàn này:
F
là mot
tap hdp, F là bao dóng cùa
F, F^

là
phàn
trong cùa F,
F^
là phàn bù cùa
F.
Infimum
cùa mot hàm
trén
mot tap
ròng
là oc.
1.1 Hàm toc dò
Dinh nghla 1.1.1. (i) Mot hàm
toc
dò / là mot ành xa nùa
lién tue
duói
/ :
X —>
[0; oo]
(tue
là vói moi
a e
[0,
CXD)
tàp
mùc
ìpi{a)
:= {x : I(x) < a}

là tàp con dóng cùa
X).
(ii) Mot hàm
toc
dò
tòt
là mot hàm
tèe
dò
ma
vói moi tàp mùc
v/(a)
là tàp con compact cùa
i^.
Mièn xàc dinh cùa /,
ki
hiéu là
P;,
là tàp càc diém trong cùa
A'
co
toc
do
hùu han, cu
thè
P/
= {x
: I{x) < oc}.
Chù y
ràng

ncu
A"
là
mot
khòng gian metrìc thi tinh chit nùa lién
tue
duói eó the duóc kiém tra trén day. Tue là, / nùa lién tue duói néu
va chi
néu
lim
inf/(xn)
>
/(x),
"ixeX.
Xfi
^x
Dinh
nghia
1.1.2.
Cho hàm toc do
/
va
vói moi 6 > 0,
(5-hàm toc
dò
dUdc dinh nghla là
l\x):=mm!^T{x)-6,^y
(1.1.1)
Trong truòng hdp tong quàt nói chung
I^

khòng là hàm
toc
dò,
trù
khi
nò
dudc
su
dung
tu
truòng hdp. Vói moi tàp
F,
liminf/'^(x) =
inf/(x).
(1.1.2)
Dinh nghla 1.1.3. Già
su
vói mpi tap con compact cùa
X
^
B. Mot
hp càc dò do xàc
suàt {fie}
trén
X
là chat mù néu vói mpi
a <
oc, ton
tai mot tap compact
K^

C
X
sao cho
limsup^log^f(/^^)
<
-a.
(1.1.3)
e—>0
1.2 Ky
thuàt
tò
hdp
cho bang
chiJ
cài hù'u
han
Trong suót phàn này, tàt cà càc bién ngàu nhién già
su
nhàn già tri
trong tap hù'u han
E =
{ai,
a2, ,
a/v}-
S
cùng
dildc
gpi là bang chù cài
ed bàn thòa man |E|
=

A^.
0
day vói moi tàp
Ti,
|.4|
kì hiéu cho
lue ludng
hoàc
so
phàn tu cùa A. Già
su
A/i(E)
là
ki
hiéu cho khòng gian cùa tit
cà càc dò do xàc suit (luàt xàc suit) trén
bang
chù cài E.
0
day
A/i(E)
dUdc xàc dinh vói xàc suit tiéu chuan ddn gian trén
R'^',
tàp hdp cùa
tit cà càc vector thuc |E| chièu vói càc thành phàn khòng àm
va co
tòng
bang
1. Càc tàp mò trong
A/i(E)

là rò ràng cho bòi càc tàp mò trong
Rl^l.
Cho
Fi,
V2,
•••, K là
day càc bién ngàu nhién dòc làp cùng phàn phói
vói luàt
n e
A/i(E).
Cho
E^
là ki hiéu cho già cùa luàt
/i,
tue
là
E^
=
{a, :
/i(a,)
>
0}
Nói chung,
E^
co
the là tàp con thuc su cùa E. Khi xem xét dò do
riéng
p,
khòng giàm tong quàt ta
co

thè già
su
E^
=
E
bang
càch bò
qua nhùng ki hiéu cho ràng xàc suit bang 0.
Dinh
nghia
1.2.1. Kièu
L^
cùa mot
day
hùu han y
=
(yi,
?/2,
••, ^n)
thuòc
E"
là dò do thuc nghiem càm sinh bòi
day
này. Rò ràng
L^
= (L^(ai), ,L^(a|^,))
là càc phàn
tu
cùa
Afi(E),

ò
day
Ll{ar) =
-J2Kiyj),
i
= l,2, ,|El.
Tue
là,
L^(ai)
là tàn so xuit bién cùa
aj
trong
day
yi,
,?/„•
Cho
Cn kì
hiéu tàp tit cà càc
kiéu
cùa
day co
dò
dai
n. Do
dò
Cn-{iy 1^
= 11 Vy}cRl^l
va
do do thuc nghiém
L^

hén két vói day
T
=
("Ki,
Yn)
là
day
càc
phàn
tu
ngàu nhién cùa
£„.
"^
_
N
Bò de
1.2.2.
(a)
\Cn\
<
(n
+
1)1^1.
(h) Vói
moi
vector xàc
suàt
7
G
A/i(E),

ci,(7;£,)-inf(i,(7,7')<^-
(1-2.1)
Trong dà
6^^(7,7')
=
sup[7(yl)
-
7'(^)]
là khoàng càch
bién
phàn
Aci:
giUa
do do 7
va
•y'.
Chiùng
minh. Chù y ràng moi thành phàn cùa vector
V^
thuòc vào tàp
1^,
^, , ^|.
Fuc
luóng
cùa tàp này
bang
(n + 1).
Phàn (a) cùa
bó de dude
suy ra

tu
dièu sau
day:
vi
vector
l'^
dUdc
quy dinh bòi it nhàt so
ludng
cùa |E|.
De chùng
minh phàn (b) ta thày ràng
£„
chùa tàt cà càc vector xàc
suit thành phàn cùa |E| thiét làp
tìf
tàp
(-,
^, , ^1
Do dò vói moi
7
e
A/i(E),
ton tai 7'
€ £„
vói
\j{a^)
-
y{ai)\
<

J Vi =
1,2, ,
|E|.
Chàn cùa (1.2.1) dUdc suy ra
tu tình
hùu han cùa E.
1
""
1=1
D
Chù
y:
(a)
Vi
L^
là mot vector xàc suàt dUdc quy dinh bòi |E| - 1 thành phàn
va
do vày
|>C.|<(n-f
1)1^1-1.
(b) Bó
de
1.2.2 biéu
dién lue ludng
cùa tap
£„,
già
cùa dò do thuc
nghiem
ngàu nhién

L^.
Cà hai tình chit dèu sai khi |E|
=
00.
Dinh nghla 1.2.3. Fóp
kiéu Tni'y)
eùa luàt xàc suit 7
6 £„
là tàp
Tnii) =
{y
e
r^
:
L^
=
^}.
Chù y ràng mot lóp
kiéu
bao gom càc hoàn vi cùa càc vector trong tap
dinh nghla sau day, quy
iróc OlogO :=
0
va Olog
-
:=
0.
Dinh nghla 1.2.4. (a) Entropy cùa mot vector xàc suàt
7
là

^(7) := -^7(^2)
log
7(^1).
(b) Entropy
tirdng
dói cùa mot vector xàc suàt 7 vói mot vector xàc
suàt khàc
fi
là
Chù y:
Bang
càch àp dung bit dàng thùc Jensen's dói vói hàm
lèi
a:Ioga:,
ta ehi ra rang
H{-\ÌL)
là khòng àm. Chù y ràng
//(»
là hùu han
va
lién
tue
trén tàp compact {7
G
A/i(E)
:
E^
C
E^}.
Bòi

vi xlogx
là
lién tue vói 0 <
.r
< 1. Hdn nùa
//(-[/i)
là hàm
toc
dò
tòt.
1.3
Phép
bién dói
Fenchel-Legrendre
Cho
Xi,
X2, ,
Xn
là day
bién ngàu nhién
dòc làp,
cùng phàn phói
d-chièu,
vói
Xi
cùng phàn phói
vói
p
e
A^i(R^).

//„
kì
hieu
cho
luàt
cùa
1
"
Sn :=
—
y Xj
Foga
cùa hàm
sinh moment lién quan
dén
luàt
xàc
suit
fi
dudc dinh
nghia
là
A(A)
:=logAf(A) :=logE
<A,A:I>
(1.3.1)
Òday
<
X,x
>:=

Yl ^^^^ là
tìch
vò
huóng trong
R^,
x^
là toa dò thù
j
cùa X. Tén goi
chung
cho
A(-)
là hàm
sinh tìch
lùy,
|x|
=
>/<
x,x >
là chuàn Euclide.
Chù y
ràng
A(0) = 0,
trong
khi A(A) > -00 vói
mgi
A,
eó thè già
su
A(A) = 00. Cho

/in ki hi^u
cho dò do xàc
suit
cùa
S^
va X
:=
^'[Xi].
Khi x tèn tai
va
huu han,
va E[\Xi — xp]
< 00. Khi dò
n
^ X
khi n
—>•
00
vi
E[|4
-
5|'j
=
^ E
^[l^^
-
5^1']
=
-El\X,
-

xf] "-=2?
n^
^—'
n
0.
Do
dò
trong truòng
hdp này
Pn{F) —^ 0 khi n ^
00 vói moi tàp
dóng
F
sao cho
X ^
F.
Dinh
nghia
1.3.1. Bién
dòi
Fenchel-Fegendre
cùa A(A) là:
A*(x)
:=
sup{<
A,x >
-A(A)}.
BÓ
de 1.3.2. (a) A là hàm lèi
va

A* là hàm
toc
dò lèi.
(h)
Néu
D^
= {0},
khi
dò
A*
dèng
nhàt
0. Néu A(A) < 00 vói
moi
A
> 0,
khi dò
X < 00
(ed thèx
—
-00y) va vói mgi
x >
x,
A*(x)
= sup|Ax-A(A)]
A>0
(1.3.2)
vói moi X > X, là hàm khòng giàm.
Tuang
tu néu

A
(A) <
ce
vói moi
A < 0, khi
dóx> -oo (co thèx
=
oo^,
vói moi x <x,
A*(x)
= sup[Ax-A(A)] (1.3.3)
À<0
vói moi X <x, là hàm khòng tàng. Khi x là
hUu
han, A*(x)
=
0
va
luòn
co
inf A*(x) = 0.
(c)
A(-)
là khà vi tren
Dj
vói
A'irj)
=
—^E[Xie"^^] va
A'{r])

=
y suy
ra
A*{y)
=
ny-A{r]).
(1.3.4)
Chtìng
minh. (a) Tình lèi eùa
A
sau
day
suy ra
tu
bit dàng thùc Holder's
vi
A(^Ai
4- (1 -
e)X2) = \ogE{{e^'^'f{e^'^'Y^-^^]
<
\oglEle^'^'fE[e^'^'f-^A =
6'A(Ai)
+ (1 -
^)A(A2)
vói moi 9 G
[0,1].
Tình lèi eùa A* suy ra
tu
dinh nghla
vi

OA*{xi)
+ (1 -
6')A*(x2)
- sup{^Axi
-
^A(A)}+
+
sup{(l-^)Ax2-(l-^)A(A)}
>
sup{(^xi
+ (1 -
^)X2)A
- A(A)}
XeR
=
A*{exi
+ {ì-9)x2)
ma
A(0) =
logE[l]
= 0, do vày
A*(x)
> Ox - A(0) = 0 là khòng àm.
Ta chùng minh A* là nùa lién tue duói
va
do
dò
là hàm tèe dò.
Co
dinh

mOt day {xn} -^
x. Khi dò vói moi A G R,
lim inf
A*(x„)
>
lim inf[Axn
- A(A)] =
A*(x).
x„—»I Xn—•X
(b) Néu
DA
= {0}, khi
dò
A*(x)
= A(0) = 0 vói mpi x G R. Néu
A(A) = log A/(A) < oo vói moi A > 0.
8
Khi dò
OD
M{X)
xd/i
< —-— <
00
A
0
OD
/
2
—
tue

là
X
< oc
(co
the x =
-CXD).
Bay
giò,
vói mpi A
6
R,
theo bàt dàng
thùc Jensen
A(A)
= log£;[e^^^]
>
£;[loge^^^]
=
Xx.
Néu
X =
-oc, khi do A(A) = oc. Cho A < 0
va
(1.3.2)
hién nhién
dung. Khi
X
là hùu han, theo bàt dàng thùc
triróc
day suy ra

A*(x)
=
0.
Trong
triròng
hdp này, vói mpi x >x
vk
vói mpi A < 0
Xx - A(A)
<Xx-
A(A) <
A*(x)
= 0
suy ra (1.3.2).
Tu
do suy ra
tình
ddn dieu cùa
A*(x)
trén
(x,
oc),
vi
vói
mpi A > 0,
Ax —
A(A) là hàm khòng giàm
nhir
mot hàm
so

cùa x.
Khi A(A) < oc vói mpi A < 0, khi do cà (1.3.3)
va
tinh ddn dieu cùa
A* trén
(—oo,x)
difdc
xem xét
tu Ioga
cùa hàm sinh moment cùa
—X,
àp dung cho mot
triròng
hdp ddn giàn triróc.
Cuòi
cùng ta chùng minh inf A*(x)
=
0. Dièu nàv thòa
man
cho
xeR
D\
=
{0},
X 6 M
trong
triròng
hdp A*
=
0

va
khi x là hùu han, trong
truòng hdp này
A*(x)
=
0.
Bay giò xem xét truòng hdp khi x =
—
CXD
trong khi A(A) < oc vói
moi A > 0. Khi dò theo bit dàng thùc Chebyeheffs
va
(1.3.2)
log/i([x,oo))
< inf
logE[e^(^i-^^]
= - sup{Ax - A(A)}
=
-A*(x).
^>0
A>0
Dodo
lim
A*(x)
< lim
{-log/i([x,oc))}-0
X—> —00 X—»—oo
va
(1.3.3) sau day.
Truòng

bop
x
=
CXD
trong khi
A (A)
< oo vói moi A < 0 là òn dinh
theo
Ioga
eùa hàm sinh moment cùa —X.
(c) Ta
co fe{x) =
hòi tu diém tói
xe'^''
khi
e ^
0,
vk
fe{x)
<
—^ := h(x)
-
ó
^ ^
9
vói mpi e e
(-6,6),
trong khi
£;[|/i(Xi)|]
< oo vói moi

J
> 0 dù nhò.
Cho
A'{rj)
^
y
vk
xem xét hàm
^(A)
:= \y - A(A).
VI g{-)
là hàm
lòm
va
g'{r))
= 0,
g{r]) = sup^(A) va
(1.3.4) là thòa
man.
D
XeR
BÓ
de 1.3.3. Néu 0 G
D^,
khi do A* là mot hàm toc dò tot. Han nùa
néu
DA
—
R,
khi

dò
hm
—~^ =
oo. (1.3.5)
Chiing minh. 0
e
D^,
khi dò tèn tai A_ < 0
va A+
> 0 sao cho cà hai
nàm
trong
DA-
Vi
vói moi A G R
A*(x)
,
.
, ,
A(A)
—\^
>
Asign X
-
-^.
\x\ \x\
Suy ra
A*fxì
lim
inf^-^

>
min{A+:-A_}
> 0,
Ixl-oo
X'
Trong truòng hdp dàc biét A*(x)
—>
0 khi |x|
^
oo
va
tàp mùc là
dóng, bi chàn nén suy ra là tàp compact. Do dò A' là hàm toc dò
tòt.
Chù y ràng (1.3.5) trén day
DA
—
R duòe xem xét
—
A_
=
A-|_
—>•
oo.
D
10
Chu'dng 2
Nguyén
ly dò
chéch

lón
2.1 Giói thiéu
nguyén
ly dò chech lón
2.1.1 Dò chéch lón
Cho
Xi,X2,
,X„
là day
bién
ngàu nhién dòc làp, co phàn phói
1
""
chuàn
A^(0,1)
va
nhan già tri
thirc.
Xét thuc nghiém
5^
= —
y^
^i-
Khi
Ti .
1=1
do,
Sn
lai là mot bién ngàu nhién co phàn phòi chuàn vói
k}^

vpng bang
0
va phifdng
sai bang —. Do vày, vói moi
<5
> 0, ta co
n
P{\Sn\
>
^) -^ 0
khi
n -^
oc (2.1.1)
va vói mpi
A\
PiV^Sn
eA)^^
f
e~^dx
khi
n ^
oc. (2.1.2)
V
27r
J
A
Ma
ta lai co
P(|5„|
>

^) ^
1 -
-i= /
e-f
rfx.
11
Do vày
1
-^
6^
- log P{\Sn\>
6)-^
khi
n^
00
(2.1.3)
hay là
P{\Sn\
>ó)^e~~
khin^oo.
Ta
co
(2.1.3) là
mot vi
du cùa dò chéch lón. Hòn nùa, cà (2.1.1)
va
(2.1.2) van eó già tri khi
ma
càc bién ngàu nhién
{Xi}

dòc làp, cùng
phàn phói vói ky vong
bang
0
va
phudng sai
bang
1. Vày (2.1.3)
con
dùng hay khòng khi
ma {X^}
khòng eó phàn phói chuan?
Va
càu
tra
lòi là lim
- log
P{\Sn\ >
ó)
luòn tèn tai
va
già tri cùa
nò
phu thuòc vào
n—»oo
n
phàn phói cùa
Xi.
Dò chéch lón nham nghién cùu
chình

xàc toc dò bòi tu dén 0 cùa
biéu thùc
P{\Sn\
> 6).
2.1.2 Nguyén ly dò chéch lón
Nguyén ly dò chéch lón (ki hiéu là LDP) dàc
trUng
cho
toc
dò hòi
tu khi
£:
^
0 cùa mot ho dò do xàc suit
{^^}
trén
(A',
B)
thòng qua mot
hàm tèe dò. Dàc trUng này thòng qua tiém càn trén
va
tiém càn duói
cùa giói
h^n
mù
ma /ie
giao vói càc tap con cùa X.
Dinh nghla
2.1.1.
{/le}

thòa man nguyén ly dò chéch lón vói hàm
toc
dò / néu vói moi
F
G
^
— inf
I(x)
<
lim
inf
£ log//e
(r) <
Hmsup£:log/X£(r)
< -
inf/(x).
(2.1.4)
Ben
phài
va
ben
trai
cùa (2.1.4)
tUdng
ùng dUdc goi là càn trén dùng
va
càn duói dùng.
Chù y: 1. Chù y ràng trong (2.1.4) B khòng nhat thiét
là
a-truòng

Borei. Nhu vày ò
day
eó
su
tàch biét giùa tàp trén dò
co
dò do xàc suit
va
tàp già tri bi chàn.
12
2.
Càc càu "
/Xe
thòa man LDP "
dude su
dung de viét tàt cho
>£
thòa man LDP vói hàm toc do I".
Rò ràng là néu
fi^
thòa man LDP
vkT e
B sao cho
inf/(x)
= inf/(x) = /r. (2.1.5)
Khi dò
limelog/i,(r) =
-Ir.
(2.1.6)
Tap

r
thòa
man
(2.1.5)
dUdc
gpi là tap / lién
tue.
Nói chung, nguyén
ly dò chéch lón bao hàm dò
chinh
xàc giói han trong (2.1.6) cho tap /
lién
tue.
Già
su
/ là mot hàm
toc
dò
va ipj{a)
là tàp mùc cùa no. Khi do
(2.1.4)
tifdng dudng
vói giói han sau day:
(a) (Càn trén dùng) Vói mpi
a
< oc
va
vói mpi tàp do
diTdc F
vói

r
e
Mc^T-
limsupe:log//e(r)
<
—a.
(21-7)
e—>0
(b) (Càn duói dùng) Vói mpi x G
P/
va
vói mpi tàp do dUdc
F
vói
XGF^:
liminf£log/i,(F)
>
-/(x).
(2.1.8)
Khi
B;^:
e
B,
LDP
tiTdng diTdng
vói càc giói han sau:
(a) (Càn trén dùng) Vói mpi tap dóng F
C
X:
lìmsupe log fie{F)

< -
inf/(x).
(2.1.9)
e—»0
xeF
(b) (Càn duói dùng) Vói mpi tàp mò
G C ;\:':
liminf £log/i,(G)
> - inf /(x). (2.1.10)
£—•0
xeG
Trong nhicu truòng
bop,
mot
hp dém dUdc càc dò do
fin dUde
xem
xét
(vi
du khi
/in
là luàt trung bình thuc nghiém cùa n bién ngàu nhién).
13
Khi
dò
LDP tUdng ùng dUdc phàt bieu nhu sau
- inf /(x) < lim
infanlpg/in(r)
< lim
supanlog/i„(r)

x€l
n—>oc
"
—
^
n—•oo
(2.1.11)
< -
inf/(x)
V
{an},an ^
0 khi n
—^
oo.
Chù y ràng ò day
a„
thay
thè
cho e cùa (2.1.4)
va
tUdng ùng vói càc
phàt bieu
tu
(2.1.7) dén (2.1.10)
dUde sua
dói cho thich hdp.
Ta thóng nhit quy
Uóe
a^
= -

va
/z^
= Ma-M - J • Ò
day,
a~^
ki hiéu
n
\n/
nghich dào cùa n
i—>•
a„.
Bò de 2.1.2. Cho N là mot so nguyén co
dmh.
Khi dò
vói
moi
a^
> 0
N
limsup£:log( >
a^)
=
max
hmsupeloga!
(2.1.12)
Chùng minh.
Truóc
hét ta chù y rang vói mpi e:
N
0 <

£
log(
V^
al) — max e log al <
e
log
A'".
^^-^
\<i<N
1=1
Vi
N
co
dinh,
e
log
A'"
^
0 khi
£ -^
0
va
do dò
limsup
max
slogai.
=
max
Hmsups
Ioga!

£^0
l<i<7V \<i<N
e-^Q
D
Dinh nghla 2.1.3. Già
su
rang mpi tàp con compact cùa X thuòc B.
Mot
hp càc dò do xàc suit
{//J
dudc gpi là thòa man LDP yéu vói hàm
toc dò / néu càn trén dùng cùa (2.1.7) dùng vói mpi a < oc
va
mpi tàp
con cpmpact cùa
ipi{aY,
va
càn duói dùng cùa (2.1.8) dùng vói mpi tàp
dp dUdc.
Dò
là dièu quan trpng de nhàn ra ràng hp càc dò do xàc suit do
dUde
thòa man LDP yéu vói hàm tèe dò tòt nhung
nò
khòng thòa man LDP
dù.
Vi
du
fie
là dò do xàc suit suy bién tai Hp này thòa man LDP

yéu trong R vói hàm
toc
dò
tòt
/(x)
=
oo, mat khàc
nò
khòng khó
de
14
chùng minh ràng
/x^
khòng thòa
man
LDP vói hàm này hay vói mpi hàm
toc
dò khàc.
7
Chù y: 1. 0 day néu
/le
thòa
man
LDP yéu hoàc
/ie
là chat mù néu nò
sé dUóc mac nhién già dinh ràng càc tàp con compact cùa X thuòc B.
2.
Rò ràng, cho
{//J

là chat mù,
nò
phài thòa
man
K^
compact dùng
cho (1.1.3).
Bò de
2.1
A.
Cho
{fie}
là mot ho chat mù.
(a) Néu càn trén
dùng
cùa (2.1.7) dùng vói moi a < oo
va
vói
moi
tap
con compact cùa
'^/(a)^,
khi do no cùng dùng cho mot tap do
duac T
vói
r
C
ì}ji{ay.
Dàc biét néu
B^

^
B
va
càn tren dùng cùa (2.1.9)
dùng cho moi tàp
compact,
khi dò no cùng dùng cho
moi
tap dóng.
(h) Néu càn duói dùng cùa (2.1.8) (càn
duói
dùng cùa (2.1.10) trong
truòng
hóp
B^
C
B) dùng cho
moi
tàp do duac
(moi
tàp mò). Khi
dò /(•) là hàm toc dò tòt.
Do vày, khi mot ho chat mù cùa ho càc do do xàc
suàt
thòa man LDP
yéu vói hàm
toc
do
/(•) thi
I là hàm toc do tòt

va
LDP dùng,
Chùng minh. Chùng ta xem xét
tnròng
hdp tòng quàt, bao gòm cà
B^CB.
(a) De thiét làp (2.1.7) ta eó dinh mot tàp
T e
B
vk a
< oc sao cho
F C
Ì^[{aY.
Cho
Ka
là
mot
tàp compact trong (1.1.3). Chù y ràng
T
n Ka e
B vk
Ka'
e
B. RÒ ràng
/ie{r)
<
/is{T n Ka) +
M^al
TnKaC i)i(aY
do inf /(x) > a. Két hdp

vói
bit dàng thùc (1.1.3),
xeTr\Ka
_
càn trén dùng cùa (2.1.7) dùng
elio
mpi tàp compact F n
Ka va
Bò de
2.1.2.
Tu dò
suy ra
limsup£log//.(F)
<
-a.
e-»0
(b) Ap dung càn duói dùng (2.1.8) cho tàp mò
Ka'
G B. két
luàn tu
(1.1.3) ràng
\ni J(x)
> a. Do dò
^pi(a) C Ka
ticn hành
tu
tàp khòng
15
compact cùa tàp dóng mùc
ipi{a).

Làp luàn này dùng cho
a
< oo
va
sau
dò
/(•) là hàm
toc
dò
tòt.
•
2.2
Dinh
ly
Sanov
2.2.1
Dinh
ly
Sanov
Cho
P^
kì
hieu cho luàt xàc suit
/i^+
lién két vói mot
day
hùu han càc
bién ngàu nhién (b.n.n) cùng phàn phói
{Yj},
/i

e
A/i(E).
»
_
V
Bò de
2.2.1.
Néu y G
Tn{j)
vói moi
7 G
Cn,
khi
dò
p^((yi, ,yn)
=
?/)
=
e-"i^w^^(^i'^)i.
Chiìng
minh. Dò do thue nghiém ngàu nhién
L^
tàp trung trén kiéu
j E Cn ma
E-y
C
E^,
nghla là
Ili-yl/i)
< 00. Do dò khòng giàm tòng

quàt già
su
ràng
L^
= 7
va
E-^
C
E^.
Khi
dò
PM(m>->>^n)=?/) =
n^(^^)"'^"'^
= ^""
[//(7)+//(7lM)j
1
=
1
trong dò
H(j)
+
//(7|/i) =
-
^7(a.)
log/i(a,).
2
= 1
Dàc biét
vi
H{/L\II)

=
0 vói mpi
/i e Cn va
y G
Tn[/-L)
nén
P,((>l, ,>^n)
=
?/)
=
e-"^^^).
(2.2.1)
D
Bó
de
2.2.2.
VÓI moi
7 G
£„;
(n +
l)-l^le"^(^)
<
1T,(7)|
<
e"^^^).
Chicng
minh.
Theo
P^
kiéu lóp

co
xàc suit tai moi diém là
bang
nhau.
Do vay vói mpi 7 G
Cn,
theo (2.2.1)
1
>
P,{Ll
= 7)
= A((Vi
K.)
e T„(7))
=
e-""'^*
•
|7;(7)|.
16
Tu
dò
suy
ra
càn
trén dùng
cùa
|Tn(7)|.
Bay
giò,
ta

chuyén sang
chùng minh
càn
duói dùng.
Cho
7'
G
Cn
sao cho
Ey
C
E^,
va
de
thuàn
tién
ve
ki
hiéu
ta
giàm
E
sao cho Ey
=
E. Khi
dò
i=\
l^|(n7(a.))!
^^^^^
m\

(
l
\
^"'^
Biéu
dién cuòi cùng
là
so
hang
co
dang
^r ( ~
)
•
Xét triròng
hdp
riéng biét
là
m
>
/ va m
<
/,
suy
ra
m!
.
7
>r-',
^m,l^7L^.

t.
Do
do,
tién hành dàng thùc triróc
Chù
y
ràng
P^(Ll
=
7')
>
0 chi khi Ey
C
E.
va
-r'
G
£,,.
Do vày
7
Dodo
PJLl = ^^)>P,{Ll =
i).
1
=
Y.
^^^^^n
=
7)
<

Knl •
P.(Lr
=
7)
=
K.I
•
e-"^^^)
•
|T„(7)I
7'e£n
'' ,
V
va
càn
duói dùng
cùa
\Tn{-r)\
suy
ra
tu
phàn
(a) cùa bò
de
1.2.2.
D
BÓ
de
2.2.3.
(Xàc suàt

dò
chéch
lón) Vói moi
-j e Cn
ta
co
(n
+
i)-lsie-'^(-i^)
<
P^{Ll
=
7)
<
e-"^^^!'^).
17
DAI HOC
QU^''-'^'^^'^^.
Chùng minh. Theo bo de 2.2.1
P,iLl
=
7)
=
\Tnh)\PMYu ,Yn) ^y.Ll =
7)
=
|T„(7)|
.e-"[^(^)+-^(^l'^)].
Ap dung bp de 2.2.2 suy ra dièu phài chùng minh.
D

Dinh ly 2.2.4. (Sanov) Vói moi tap F
cùa
vector xàc suàt trong
i\/i(E),
- inf
//(7|/i)
< lim inf
ilogP^(L^
G
F)
76ro
n^oo
n
^
< lim sup - log
P^(Ll
G F) < - inf
H{-Ì\/Ì).
n->oo
n
7er
0 day,
F°
là phàn trong cùa F
dùdc
xem nhu
mot
tap con cùa
R'^L
Chùng minh. Truóc hét

tu
Bo de
2.2.3,
càn trén dùng
va
càn duói dùng
cho n hùu han dUòe suy ra. Theo càn trén dùng cùa Bo
de
2.2.3,
P.iLler)^
Yl PÀLl = i)< E
<^""''*'
,„ ^ , -^
inf
H{'^\u)
.
,|T-|
—n inf
//(7|/i)
<\VV\Cn\-e
^ernz:„ ''"^^
< (n +
l)l^le -^^-^"
(2.2.3)
76rn£„ 7ern£„
^ IVI
-n inf
H{j\fi)
> (n +
l)"l^le ^^^"^"

(2.2.4)
Vi
hm
-log(n-h
1)'^'
= 0,
liy
giói han logarit chuan cùa (2.2.3)
va
n—»c«
n
(2.2.4)
lim
sup i log
P^(L^
e n =
- lim inf(
inf H{-f\/i)]
(2.2.5)
n-^00
n
^^ "
n—oc
i yernr^
>
va
lim inf
i log
P^(L^
e

F)
-
- lim
supj inf
II{i\/i)].
(2.2.6)
18
Tu
dò suy ra càn trén dùng cùa (2.2.2)
vi
F
D £„
C F vói moi n. Bàv
giò ta chùng minh cho càn duói dùng cùa (2.2.2) . Ta eó dinh
mot
diém
7 tùy y trong phàn trong cùa F sao cho
E.^
C
E^.
Khi dò, vói
(5
> 0 dù
nhò
{V
:
d^(-f,i)
< 6} dUdc chùa trong F. Do vày theo phàn (b) cùa
Bo
de

1.2.2,
ton tai
mot
day
7^
G F n
>C^
sao cho
7^
-^
7 khi n
^
00.
Hdn nùa khòng giàm tong quàt, ta
co thè
già
su
ràng
E^^
C
E^,
va
do
dò
n
•oo ^
7
ti I
IJL„
J

n—*oc
Nhàc lai ràng
H{j\/i) =
00, vói mpi
i
G
{1,
2, ,
|E|},
7(0,)
> 0 trong
khi
ii{ai)
= 0. Do vày theo bit dàng thùc truóc, ta eó
- Hm
supl
inf
Hh\ii)\
> - inf
Nhìa)
n oo
17ern£n ^
i*"^
j
-
^^po ^ ^^^
va
càn duói dùng cùa (2.2.2) suy ra bòi (2.2.6).
D
2.2.2 Dò chéch lón cho

phu'dng
phàp
lày
màu khòng
hoàn lai
Pham vi cùa phudng phàp kiéu khòng dUde giói han cho dò chéch
lón cùa dò do thuc nghiém eùa b.n.n cùng phàn phói. Vi du. khi xem
xét càc thiét làp cùa
phUdng
phàp liy màu khòng hoàn lai. mot thù
tue
pho bién trong nhièu vin
de
thóng ké.
Tu
màu ban dàu, góp lai
m
so bang phàn biét, y =
(?/i,
,ym)-
Mot
n-bò y
:=
(yt,,
•••,
?/iJ
là
mot
phudng phàp liy màu khòng hoàn lai, cu
thè

là, chi
so
{zi,
,in}
d^óc
chpn
ngàu
nhién sao cho mòi tàp n phàn
tu
phàn biét cùa {1.2, ,m}
eó khà nàng
bang
nhau.
Già
su
ràng, vói mpi 77?,
{YI'^\
,?/L^^)
là càc phàn
tu
cùa tàp hùu
han E
-
{ai,
••.,
a|E|}-
Hdn nùa, già
su
ràng
m = m{n) va

khi
n ^
00
vector
19
hòi
tu ve
do
do
xàc
suàt fi
e
Mi
(E).
Nhàc
lai
ràng
-
m
3
=
1
z =
l,2, ,|E
Già
su
thém rang
Y là
mot
vector ngàu nhién

thu
dUdc
bang
càch
liy ngàu nhién khòng hoàn
lai
cùa
n
trong
m
phàn
tu
phàn biét
dà
cho.
Mot
dièu
tra
dUde
làm
tiép eùa LDP cho
dò do
thue nghiém
ngàu
nhién
L^
lién
két
vói vector
Y.

Dàc biét, tUdng
tu
dinh
ly
Sanov
dUde
thành
làp cho
m
= m{n)
va
m{n)
Xem
xét
cho hàm
tèe
dò
lim
(^)
=P,
0<p<ì
n-*
00
Vmn/
1-/3,
//i-/?7
/(7l/?,/i)
//(7|/x) +
^^^(T^TI^)
"^^ ^^"^^ - ^^^^^^' ^'

P
00
khàc.
(2.2.7)
Nhàn thày ràng,
khi
/? ->
0, hàm
toc
dò
l{-\0,ii)
tiép
càn tói hàm
//(•|/i),
trong
khi
/? ^
1,
mièn xàc dinh
cùa 7
cho
/(7I/?,/i)
< oc de dò
do ddn
7
=
/i.
Dièu này phàn
ành
viéc giàm

so lUdng
ngàu nhién nhung
P
tàng. Chù
y
ràng
L^
thuòc
tàp
£„,
co
nhóm xàc suàt
bang
n
theo
Bò
de
2.1.2. Hdn nùa,
du
doàn
sau
day
cùa dò
chéch
lón
cho
L^
thu
dUde
bòi

tó
hdp càc phàn
tu.
Bò
de
2.2.5. Vói
moi
vector xàc suàt
-y e
Cn-'
(a)
Néu
l(j
—,
L^)
< oc,
khi
dò
-\ogP{rZ
=
j)
+
l(i
n
^
n
Y
ra
< 2(|E|
+

1)
log(m
+
1)
n
(h)
Néu
7(7
-,
L^)
=
00,
khi
dò
P(Ll =
7)
=
0.
(2.2.8)
20