Phân rã ổn định của không gian phân loại của nhóm Abénơ cấp qua biểu diễn Môđula của một số nhóm tuyến tính

MUC LUC
Mór
dau
1
Chucmg
0: Phan chuan hi
5
0.1.
Phàn
tu'
lùy
dang
va
phàn rà on dinh 6
0.2. Ly
thuyét
bieu dien tóng quàt 8
0.3.
Módun
Weyl va
càe bieu dién bàt
khà
quy cùa
Fp[Mn]
va
Fp[GLn]
11
Chuong
1:
Càe
hang

tur
Campbell -
Selick
15
1.1.
Càe
bang tu cùa Campbell
va SeHck
16
1.2. Biéu dién bàt khà quy cùa
P*„
trén
Fp
22
1.3. Bieu dién
modula
cùa
Pp*n xGal(Ppn/Pp)
24
Chuang 2: Phàn rà
B{Z/p)^
qua bieu dién cùa nhóm
F^^
vói m \ n 34
2.1.
Biéu dién bàt khà quy cùa
F*m
trén
Fp
34

2.2.
Truóng hgp
m.
=
1
35
2.3.
Mot so
két
qua trong truóng hgp
m
— n
38
Chucmg 3: Ve ma tran Cartan cùa
Fp[GLn]
va
Fp[Mn]
43
3.1.
Ma tran Cartan C
va C
trong truóng hgp 7?
=
2 44
3.2. Mot so truóng hgp dàn dén
C^A
=
0
va
e'

;^ =
0
52
Ket luan
^g
Tài
lieu
tham khào
^g
MÒ
DAU
Trào
luu
hien nay cùa
tòpo
-dai so là khào sàt su phàn rà on dinh cua
càe
khòng gian
tòpo,
dac biet là càe khòng gian phàn
loai.
Bay chinh là mot trong
nhùng
nguyén nhàn thùe day manh han viéc nghién cuu doi dong dieu
va
bieu
dién nhóm cùa
càe
nhóm cu the.
Tu

nàm 1984, khi Carlsson chùng minh dugc
Du doàn Segai [5], mot su phàt trien gàn
day co
y
nghla
nhàt trong ly thuyét
dóng
luàn,
càe
nhà
tòpo
-dai so tra nén quan tàm nhieu han ve bài toàn tìm
nhùng phàn rà on dinh thành càe bang tu két cùa khòng gian phàn loai cùa
nhóm
hù*u
han .
Cho p là mot so nguyén tó, G ià mot nhóm hùu han
va PG+
là khòng
gian phàn loai cùa G vói mot diem goc rói. Tu
day
ve sau, chùng ta xét moi
khòng gian phàn loai là càe khòng gian dugc day dù hoà tai p. Moi phàn rà
cùa
PG+
là tuang duang vói mot phàn tich cùa phàn tu don vi trong vành
càe
lóp
dong luàn cùa
càe

ành xa on dinh
{PG+,PG_^}
thành tong nhùng
phàn tu lùy dang. Càe phàn
tich
khòng tàm thuóng nhu the thuóng khó tìm
dugc.
Mat khàe. ky thuàt ve ành xa nhàp
chung tò
rang néu P là p -nhóm
con
Sylow
cùa G thì càe bang
tu
cùa
PG+
xuàt hièn trong so càe bang tu
cùa
PP+.
Vi vay chùng ta
co
the truóc hét tàp trung vào càe p - nhóm.
Theo Du doàn Segai, tón tai mot dang càu vành giùa
{BP^,BP^.}^
(day
dù
hoà p - adic cùa
{PP^,PP+}) va
-4(P,P);
(day

dù hoà p - adie cùa vành
Burnside
A{P,P)).
Nhó
dò
bài toàn
tÓpó
ve phàn rà on dinh
PP+
thành
càe
hang
tu
két dugc quy ve bài toàn thuàn tuy dai so ve phàn
tich
phàn
tu
dan vi cùa vành
.4(P,P);
thành mot
t^ng
cùa
càe
phàn
t^
lùy
dàng
truc
giao.
Dà

co
nhieu tàc già dóng góp vào ehù de này, chang han Mitchell-Priddy
(1983,
1984), Mitchell (1985), Harris (1985, 1992),
Carhsle
(1985), Nishida
(1985),
Wood (1986), Kuhn (1987), Harris-Kuhn (1988),
CarHsle-Kuhn
(1989),
Campbell-Sehck
(1990), Haxris-Hunter-Shank (1991), Martino-Priddy (1992).
Benson-Feshbach (1992).
Phàn rà on dinh doi vói
p-nhóm
aben dugc Harris
va
Kuhn nghién cuu
[17],
[20]. Trong khi
dò
, Maxtino, Priddy, Benson
va
Feshbach nghién cuu chù
yéu doi vói
p-nhóm
khòng aben [4], [28]. Trong truóng hgp
p-nhóm
aben.
co

nhieu két qua thù vi
va
hàp dàn han truóng hgp khòng aben. Trong luan àn
cùa
mlnh
[17], Harris dà
chixng
tò
ràng
mot phàn
tich
truc giao (nguyén thùy)
bàt ky cùa phàn tu dan vi trong
A(P,
P)
0 Zfp
luón luón dugc nàng dén mot
phàn
tich
truc giao (nguyén thùy) trong
A{P,P)^.
Khi P aben, bang
càch
nghién cuu càu truc nhàn cùa
A{P^P)^
Harris
tìm dugc mot phép nhùng cua
P^[End(P)]
vào
A{P.P) ®

Z/p. Tu dò Harris quy ve bài toàn
dò
phùc tap
han,
dò
là phàn
tich
phàn tu don vi cùa
P^[End(P)]
thành mot tóng
càe
phàn
tu
lù}'
dang truc giao. Luu y rang két qua này khòng dùng doi vói càe nhóm
khòng aben. Tiép dén, Harris va Kuhn quy bài toàn ve truóng hgp p - nhóm
aben sa càp
(Z/p)^
[20]. Tuy nhién bài toàn ve phàn rà òn dinh cùa
B(Z/p)^l
là
hai
toàn khó
va
mang
tùih
thói su.
nò
dugc su quan tàm cua nhieu nhà toàn
hoc trén the giói.

V"é
mat ly thuyét, phàn rà òn dinh cùa
B{Z/p)1
thành càe bang
tu
két
khòng phàn
tich dnqc
là tuang duang vói phàn
tich
cùa 1 thành càe phàn tu
lùy dang truc giao nguyén thùy trong
Fp[Mn{Z/p)].
Phàn rà này là min nhàt,
nhung nói chung
bau
hét càe phàn tu lùy dang chua dugc biet dén mot càch
tuóng minh. Tuy nhién Harris
va
Kuhn chùng minh dugc
Fp
là mot truóng
phàn rà cùa
Pp[M„(Z/p)]
[20], nén do bòi cùa moi bang tu khòng phàn
tich
dugc trong phàn rà này bang so chieu cùa módun bàt khà quy tuang ùng.
Nàm 1990, Campbell
va
Selick dua ra mot phàn rà tu nhién cùa

if®"
thành
mot tong truc tiép cùa
;;"
- 1
>^-módun
[8], goi là càe bang tu
co
trong
luang
Pn[j)
vói j
E
Z/(p"
-1). Bang
mot
két qua cùa Adam,
Gunawardena va
Miller
[3],
càe bang tu eó trong
lugng
cùa Campbell
va
Sehck này cho mot phàn
tich
cùa phàn tu dan vi trong
Pp[M„(Z/p)]
thành mot tong cùa
p"

- 1 phàn
tu luy
dang truc giao. Dieu này dua dén mot phàn rà on dinh cùa
B{Z/p)1
thành
p"
—
1 bang tu két. Trong bài bào cùa minh [16], Harris mó tà càe bang tu
này nhu là két
qua
chinh.
chùng dugc ky bieu là
Yn{j)^
vói
j G
Z/(p^^
— 1)
va
goi là càe bang tu
Campbell-Selick.
De
làm
dieu này, Harris dua ra mot
tàp góm càe phàn tu lùy dang truc giao nguyén thùy dj trong
Fp[Gn]
càm
sinh phàn rà cùa Campbell
va
Sehck, do dò càm sinh
càe Yn{j)

(a
day
F*u
va
Gn
=
FpTi xGal{Fp^/Fp)
dugc xem là nhùng nhóm con cùa nhóm
GL„{Z/p)).
Thàt ra càe phàn tu
dj
khòng phài duang nhién thuóc
Fp[Gn]
nhu Harris trình
bay.
Tu viéc mó tà cùa Campbell
va
Selick de dàng thày rang
5'n(.?
)
— ^'n(7P)i
Harris dat
Yn{i)
—
Yn{i) \/
.
W
V„(zp''~^
) trong dò
Zj

là so mù
k ducaig nhò
nhàt vói
rp
' =
?-(mod
7?"
—
1). Harris
con
dua ra mot tàp gom càe phàn
tu
lùy
dàng truc giao nguyén thùy
/,
trong
Fp{F*n]
càm sinh càe bang
tu
két
}'„(?).
Càe
/,
dugc mó ta tuóng minh trong khi
càe dj
thì chua
va
su xuàt
hión
cùa

càe bang tu
khòng phàn
tich
dugc cùa
P(Z/p)!j.
trong
y'„(j)
va
V;,(?)
rat khó
xàc dinh.
Mue
dieh
cùa luan àn này là nghién cuu phàn rà
óii
dinh cùa khòng gian
phàn loai
B{Z/p)'^
qua bieu dién
modula
cùa mot so nhóm
tu3^én
tinh. Dóng
góp cùa chùng tói trong luan àn bao góm: 1) ho sung vào càe két qua cùa
Harris; 2) tìm mot phàn rà òn dinh cùa
P(Z/p)"
thành càe bang tu két ma
càe
phàn tu lùy dàng tuang ùng dugc mó tà tuóng minh
va

dò boi cùa càe hang
tu khòng phàn tich dugc trong moi bang tu này déu dugc biet dén
va
3) tìm
dugc mot so két qua ve ma tran Cartan cùa Fp[Mn{Z/p)]
va
Fp[GLn{Z/p)] de
phuc
vu cho bài toàn phàn rà dò. Cu the là càe két qua dugc trình
bay
duói
day.
Trong chuang 1, chùng tòi tìm dugc tàp sinh toi tbiéu cùa dai so
P„(0)
khi p = 2. Dieu dac biet là Pn(0) chua càe bàt bién Dickson
va
viéc tàp sinh toi
thiéu nhu A - módun cùa dai so Dickson vàn là bài toàn ma. Két qua này tuy
chua tìm dugc mot tàp sinh tói thieu nhu A - módun, vàn
co
nhùng dóng góp
nhàt dinh vào viéc khào sàt bang tu
Yn{0) va
buóc dàu eung càp mot thóng
tin cho bài toàn ma ve dai so Dickson dò. Tiép dén, chùng tòi tìm dugc mot
phép tuang ùng 1-1 giùa tàp
day
dù góm càe bieu dién bàt khà quy cùa
P*n
trén

Fp va
tàp góm càe da thùc dan he bàt khà quy f{x)
co
bàc d trong Fp[x]
sao cho
e? I n va
f{x)
^
x. Ngoài ra chùng tòi bò sung khang dinh cùa Harris,
nghla là chùng minh
dj £
FplGn]-
Trong chuang 2, vói
m
| n chùng tòi mó tà phàn rà on dinh cùa
B{Z/p)1
qua biéu dién modula cùa nhóm
Fj%
vói phép nhùng cùa
Fj%
vào
F*n
nào dò.
Khi
77?
=
L B{Z/p)]l
dugc phàn rà thành p - 1 hang
tu ma càe
phàn tu lùy

dàng tuang ung dugc mó tà tuóng minh va dieu thù vi nhàt là do bòi cùa
càe bang tu khòng phàn tich dugc trong moi bang
tu
này déu dugc biét dén.
Khi
777
=
77.
chùng tòi mó tà su xuàt bién cùa mot so bang tu khòng phàn tich
dugc cùa
B{Z/p)\
trong
càe
bang
tu r„(7)
(cùng nhu trong
i;(.?)).
Dac
hict
khi
p = 2
va
77.
> 3, chùng tòi chùng minh dugc
ràng
moi bang tu
Yn{j)
luón
luón chua it nhàt mot hang
tu

Steinberg.
Trong chuang 3, chùng tói tìm dugc mot so két qua ve ma tran Cartan de
phuc vu cho bài toàn phàn rà on dinh cùa
B{Zjp)\.
Dàu tién chùng tòi mó tà
cu the ma tran Cartan C
va
G' cùa
Fp\M^{Zlp)\
va
Fp\GL^{Zlp)\
khi
n =
2
va
p là
sÓ
nguyén tÓ bat ky. Khi n > 2, chùng tòi dua ra mot
sÓ
thòng tin de
xàc dinh cu the mot so phàn tu cùa ma
tran
cartan C
va
G'.
Chircrng
0 :
^
PHAN
CHUAN BI

Trong chuang này chùng tói xàc dinh
càe
ky biéu
va
nhàc lai mot so khài
niem va két
qua
càn thiét cho luàn àn. Dàu tién, mói quan he giùa phàn rà
òn dinh va nhùng phàn tu luy dàng trong vành
càe
ành xa on dinh dugc mò
tà. Ké dén, chùng tòi tóm tàt mot so két qua tu ly thuyét bieu dién tóng quàt
cùa càe dai so . Cuoi cùng chùng tòi nhàc dén mot so khài niém
va
ket qua ve
Fp[Mr,{Z/p)]-
va Fp[GL„{Z/p)]-hìéu
dién.
KY
HIÉU
Trong suót luan àn này, chùng tói su
dimg
càe quy uóc ve ky biéu sau
day.
Fj,n:
truóng dac so p
co
p"
phàn
tu.

F%:
nhóm nhàn góm eàc phàn
tu
khà dào trong
Fpr,.
GaI{Fj,T,
/Fp):
nhóm Galois cua truóng
Fpn
trén
Fp.
G„
=
P^*n
xGal{Fp^/Fp):
tich nùa truc tiép cùa
F'n
va
GaI{FpT,/Fp).
Mn
—
Mn[Z/p):
vành càe ma tran vuóng càp n
lày
he so trén
Z/p.
Fp[M„]:
vành nùa nhóm cùa nùa nhóm nhàn
M^.
GLn =

GLn{Z/p):
nhóm
tu3'-én
tinh tong quàt trén
{Z/p)^.
Fp[G]: vành nhóm cùa nhóm G, vói G là mot nhóm con cùa nhóm
GLn-
E[UQ,
,Wn-i]
(t.u.
Fp[tQ,
,^n-i])
ky biéu là dai so ngoài (t.u. da
thùc)
co
n phàn tu sinh
UQ,.

,Wn_i
(t.u.
to,
,tn-\)
trén
Fp.
H =
H*{B{Z/p);
Fp)
dugc xem nhu là mot módun trén dai so Steenrod A
vàviét
J7®"

^Fp[to,
,tn-i]^E[uo,
,t/„_i],
vai
fiiuk)
= tk vkV\tk) =
ti-
Chù y ràng
J?®"
là doi dong dieu cùa
BiZ/p)"".
0.1.
Phan
tur
luy
dàng
va phàn rà on dinh.
Trong doan này, chùng ta sé thày bài toàn
tòpo
ve phàn rà òn dinh
BPJ^
(P là mot
p-nhóm)
thành càe bang
tu
két dugc quy ve bài toàn thuàn tuy dai
so ve phàn tich phàn tu dan vi cùa vành
-4(P,
P)^
thành mot tong cùa càe

phàn tu luy dàng truc giao. Bang càch nghién cùu cu the càu trùc nhàn cua
vành
.4(P,
P) dugc cho
bòi
May [27], bài toàn này dugc Harris quy ve bài toàn
dai so de han là phàn tich phàn
tu
dan vi cùa
Pp[End(P)]
thành mot tóng càe
phàn tu luy dàng truc giao [17].
\'e
khài niém pham trù on dinh, chùng tói
tham
khào
a
[32]. Dac biét
càe
dinh nghla ve
pho,
ành xa òn dinh, két, telescope,
v.v
co
the tìm
thay à
dò.
Vói eàc khòng gian dugc dành dàu X
va
}',

ky biéu {X. Y} là nhóm càe ành
xa òn dinh
tu
A' vào
F,
nglùa
là nhóm càe ành
xa
giùa càe phò treo cùa chùng
j^oo
^Y^
Y°^
^']-
Khòng gian dugc dành dàu A'
va
phò treo cùa nò
Yl ^ *3cu
dugc ky biéu là A". Trong truóng hgp A''
=
V. {A'.
A*}
là mot vành. Vói
e
là
mot phàn
tu
cua {A'.
A'},
ky bieu
eA'

là telescope
Tel(A'
—^
A'
-^
A' ).
DINH LV 0.1.1
([20],
2.1). (i)
Co mot
tuang ùng
1-1
giùa
càe jìluni tich
phan
tu
luy dàng
l
—
Y^i
tTong
{X. X}
va càe
phàn
ticli
két X
:^
VXj.
(ii) Cho
( va

e'
là
càe
phan
tu
luy dàng trong
{A'.
A'}.
Khi
dò tX
C:^
t'X
néu
va cliì
néu e{A',
A^}
=
e'{A',
A''} nhu là
càe {X,X]-módun
phài.
DjNH
LY 0.1.2
([17],
1.6).
Clio
P là mot
p~nhóm.
Khi dò
co

mot tuang
ùng 1-1 giùa
càe
tap
gòni càe
phan tu luy dang trong
{PP+,PP+} va
trong
{PP+,
PP+}P,
trong dò
Op
là
mot
day dù hoà
p-adic.
Bay
gió két qua cùa du doàn Segai sé dugc mó tà. Chùng tói bat dàu vói
dinh nghla ve nhóm Burnside
A{G,
G'), trong dò G
va
G' là nhùng nhóm hùu
han bàt ky. Ky bieu
A'{G,
G') là tap càe lóp tuang duang cùa càe G x
G'-tàp
G'-tu
do hùu han. Tap này tao thành mot mónòit cong vói phép toàn hgp rói.
Goi

.4(G.
G') là nhóm Grothendieck cùa mònóit
nà}'.
Khi dò .4(G. G') là
nlióm
aben tu do vói ca
so
là eàc G x
G'-tap
G'-tu
do truyén ùng. càe tàp này eó
the dugc mó tà
bò*i
GxG'
= {Gx
G')/Hp
,
p
trong
àó H
<G,
p: H
—>
G' là mot dóng càu,
va
Hf,
=
{{h,
p[h))
\

Ji e
H].
CómÒt
dÓngcàuQ
tù>l(G,G')vào{PG+,BGV).
Néu 5
=
G x G'
€ -4(G,G')
p
thì
Q
dugc
elio
bai
a(5)
:
PG+ -^
BH^
^
BG\
,
trong
dò r
là ành xa chuyen. Khi G
=
G',
A{G,
G) eó dugc mot phép nhàn
xàc dinh

p(T,
S)
~
S x
T.
trong dò
^ G
G tàc dong lén {s. t) bài
[sg^gt).
Vói
dinh nghìa này,
a
là mot dóng càu vành.
DlNH
LY 0.1.3
(Dlf
DOÀN
CÙA SEGAL
[5],[26]).
Néu P là mot
p-nhóm.
thì
o;:A{PP);^{BP+.BP+};
là mot dàng cau vành.
Tu eàc két
qua
trén, Harris dà chùng minh dugc rang
DINH LY 0.1.4
([17].
l.S).

Cho P là mot
p-nhóm.
khi dò (i) càe phàn rà on
dinh cùa
BPJ^
tuang duang vói
càe
phàn
ticli
phàn
tu
luy dang truc giao cùa
phan
tu
dan
vi
trong
A(P,
P)^
va
(n)
mot
hang tu on dinh là khòng phàn
tich
dugc néu va
clu
néu phàn
tu
luy dang
tuong

ùng là nguyén thùy .
Nhó dinh ly sau
va
Bo de 2.1 trong [17], Harris dà quy bài toàn ve viéc
nghién cùu vành hùu han
A{P,P) 0
Z/p,
vói P là mot p-nhóm.
DINH
LY 0.1.5
([14],
3.4). Néu 1 =
6i -f • • •-htk
là mot phàn
tich
thành nhùng
phàn
tu
luy dàng truc giao trong
A{P,P)
®
Z/p,
thì ton tai
càe
phàn
tu
luy
dàng
e,
G

.4(P,
P)^.
vói
TT{e,)
=
e,,
sao
cliol -éi -\
\-tf,
là
mot
phàn
tich
thành nhùng phàn
tu
luy dàng truc giao trong
A{P,
P)p-
(Ò day
TT
:
A(P,
P)^
—*
A(P,
P)
(g)
Z/p là phép
cliiéu.)
Bang càch nghién cùu càu trùc nhàn cùa

A{P,
P), Harris dà tìm dugc mot
dan càu
i
:
Fp[End(P)] —>
.4(P,
P)
0
Z/p
va
két qua sau:
DINH LY 0.1.6
([17],
2.7).
Clio
P là mot
p-nhóm
aben. (i) Néu 1
~
Ci-f-
f-e^-
Jà mot phàn
ticli
thành nhùng phàn tu luy dàng truc giao trong
Fp[End{P)],
thì 1
= i(ei
) +
•••-!- t{e^)

cùng là mot phàn
tich
truc giao trong
A{P,
P)
®
Z/p.
(ìi) Néu
càe Ci
là nguyén thùy thì
càe
i(e,) cùng là nguyén thùy.
Tu eàc
ket qua trén
va eàc
ành xa
P,[End(P)]^^.4(PP);-Z/P^^.4(P.P)P
^^ [BP^.BP^]
.
de dàng thày rang néu
e
là mot phàn
tu
luy dang trong
Fp\Ei\c\(P)]
thì
i{( ]
là mot phàn
tu
luy dàng trong .4(P. P)

(_•:
Z/p.
khi dò tón tai mot phàn tu luy
dàng
e
trong
-4(P,
P)^
sao cho
-(?) =
/.(e),
cuoi cùng
e» = a{e)
là mot phàn
tu
lùy dàng trong
{BP^.BP^}.
DINH LY 0.1.7
([17],
2.8).
fij
A'eu
e,,
,tk
là nhùng phan
tu
luy dang trong
Fp[End{P)] vói
Y
e:

=
1-
thì
BP^
~
e,,BP^
V V
e^^BP^
là mot phan rà.
on dinh cùa
BP^,
trong dò
càe
e,*
dirgc
xàc dinh nhu trén, va (ii) càe
d
là
nguyén thùy néu
va chi
néu eàc
e^^BPj^
là khòng phàn
tich
dugc.
Tuy nhién ve sau chùng ta vàn viét
ePP+
thay
vi
e^BP^.

0.2. Ly
thuyét
bié'u dién
tò'ng
quàt.
Doan này tóm tàt mot so két qua tu ly thuyét biéu dién tong quàt cùa
dai
so.
Trong doan này
A
dugc cho là mot dai so hùu han
cliiéu co
dan vi trén
mot truóng A'. Tón tai mot tàp duy nhàt góm eàc idéan bai phia khòng phàn
tich dugc
Pi
Bs.
gg\
là eàc
khoi,
sao cho A =
®f=iPn
tong truc tiép cùa
càe dai so
([7],
55.2). Moi khói chùa mot phàn tu dan vi ,
h^,
va
P,
=

Ah^.
Càe
hi
là eàc phàn tu lùy dàng truc giao, thuóc tàm, tàm nguyén thùy,
va
1 =
^
ò^
([7],
Bài tàp 55.2). Néu M là mot
A-mòdun
trai
bàt ky thì M =
©f^jAfòj.
Néu
chi
mot trong càe bang tu này, chang han
Mò^
^
0, thì M dugc goi là thuóc
khói
Bj.
Rò ràng néu
M
là khòng phàn tich dugc thì M phài thuóc vào mot
khói nào dò. Chùng ta eó thè xem A nhu là mot
.4-módun trai va
phàn tich
nò
thành nhùng idéan

trai.
Néu chùng ta viét
A =
©,^=]Pi,
vói càe
Pj
là nhung
idéan
trai
khòng phàn tich dugc, thì
Pi dirge
goi là .4-mòdun khòng phàn
tich
dugc
cliinh.
Càe P, nói chung khòng duy nhàt; tuy nhién, néu
-4 — ^ — ^Qj
là
mot
i^hàn
tich khàe
nhu
thè,
thì
h
=
k'
va
P,
=

Q,
vói moi
?.
Mot so tinh chat
cwa
eàc módun này duge tóm tàt trong dinh ly sau.
DlNH
LY 0.2.1 ([7]. 54.5.
54.11,
54.13). Mot idéan P cùa
A
là
mot niòdun
khòng phàn
tich
dune
cliùili
cua
A
neu
va elii
neu P
= Ac
vói
e
là mot phàn
tu
luy dàng nguyén thuy trong
A.
Néu P là mot A-mòdun khòng phàn

tich
dugc
clunh
thì
P/p{P)
là bàt kha quy, trong dò
p{P)
là giao cùa
càe
módun
con
Clic
dai cùa P. Hai
A-inódun
khòng phàn
tich
dugc chinh P
va
Q là dàng
cau néu
va chi
néu
P/p{P)
=
Q/p{Q).
Moi
A-mòdun
bàt khà quy dang càu
vai
P/p{P)

vói módun khòng phàn
tich
dugc chinh P nào dò.
Do dinh ly trén, eó mot tuang ùng 1-1 giùa càe lóp dang càu cùa càe
^-mòdun
bàt khà quy V
va
eàc A-mòdun khòng phàn tich dugc chinh P{V).
O day
P{V) ky biéu là
j4-mòdun
khòng phàn tich dugc chinh eó V là mòdun
thuang bàt khà quy duy nhàt cùa nò. (Mòdun này thuóng dugc goi là phù xa
ành cùa
V.)
9
Mot
.4-mòdun
V
dugc goi là tuyét doi bài khà quy néu ma ròng V ' la
bàt khà quy vói mói mó ròng dai so F cùa A*. Néu moi
A-mòdun
bàt kha quy
là tuyét
dói
bàt khà quy thì A' duge goi là truóng phàn rà doi vói .4.
DINH LY 0.2.2
([17],
3.5). Già
su

K là mot
truóng
phàn rà doi vói
A.
Goi
{Vj}'^j
là mot tap day dù góm eàc A-mòdun bàt
klià
quy,
Pj
=
P{Vj) là
càe
phù xa ành cùa
chùng.
va Uj
=
dimA'(V}).
Khi dò
A =
©^^JH^P^.
Ma
tran
Cartan cùa dai so A dua ra mot dang thuàn
Igi
cho viéc phàn
ành mói quan he giùa eàc mòdun bàt khà quy
va
càe mòdun khòng phàn tich
duae chinh cùa A. Theo dinh ly

Krull-Schmidt,
mot mòdun
trai
khòng phàn
tich duge
eliinh
eó mot chuói
hgj)
thành
va
càe nhàn tu hgp
thànli
l)àt khà
quy là duy nhàt. Goi
c,-^
là so
làn Vi
xuàt bién nhu là mot nhàn tu hgp thành
trong
Pj.
Khi dò ma tran Cartan là G =
(c^j),
mot ma tran
co
/ x / trén Z.
DINH LY 0.2.3 ([7]. 54.12). Ciio
M
là
mot
A~

mòdun trai eó mot
cliuòi ha])
thành.
va
Ac là mot
niòduii khòng
phàn
tich
dune
clii'nh
cua
A.
Dicìi
kién can
va
du de M eó
mot
nhàn tu hap thành A-dàng càu vói
.4c//y(.4c)
là
cM ^
0.
DINH LY 0.2.4 ([7].
54.IG).
Già
su
K là
mot
truóng phàn rà doi vói
A.

Cho
M
là
mot
A-mòdun
trai.
Vói
mot
phan tu luy dang nguyén thuy
e G -4
bàt ky,
so nhàn
tu
hgp thành cùa M
ma
A-dàng
càu vói
Ae/p{Ae) clu'nh
là
dim/^-(eM).
DINH LY
0.2.5
([7], 30.16). Già
su
K là mot truóng hùu han
va
G là
mot
nhóm hùu han. Cho
M,

A^
là nhùng KG~mòdun eó nhùng biéu
dièn
ma tran
M,Àf
tuang ùng. Khi dò M
va
N
co
cùng
càe
nhàn
tu
hgp thành néu va chi
néu vói moi g
E
G,
càe
ma tran
M{g),
Af{g)
co
cùng càe nghiém dac trung.
Cuoi cùng, chùng ta eó nhùng két qua ve dai so nhóm
Fp[GLn] va
dai so
nùa nhóm
Fp[Adn].
10
DINH LY 0.2.6

([20],
4.1).
M„
eó
p''
biéu
dièn
bài khà quy phàn biét trén
Fp
va Fp
là mot truóng phàn rà.
DINH LY 0.2.7
([20],
4.4).
GLr,
co
p'''\p
- 1) bié'u dién bat khà quy phàn
biét trén
Fp va Fp
là mot truóng phàn rà.
0.3.
Mòdun Weyl va
càe
bieu dien bàt khà quy
ella Fp[Mn]
va
P^[Gi„].
Trong doan này chùng tòi sé de càp dén càch xày dung mòdun Weyl
va

càe biéu dién bàt khà quy cùa
M^
va GA„
trén truóng Fp.
Càe
cóng viéc này
dugc James va Kerber
thue
bién trong [21]
va
tiép sau dò là theo Harris
va
Kuhn trong [20].
Mot
day
khòng tàng
o —
(oi,
«2,
•
• •
• cin)
gom càe so nguyén khòng àm eó
tong bang
r??,
dugc goi là mot phàn hoach cùa
777.
Phàn hoach a này eó the
dugc minh boa bang biéu dò Young [a] tuang ùng. bao góm
777

nùt x dat tai
eàc
bang.
Hàng thù
/
cùa
[a]
bao góm
o,
nùt. 1 <
?.
va moi
bang dcu
l^àt
dàu
tai cùng mot còt. Càe dò
dai
Q^
cua
càe
còt cua [a] tao thành mot phàn hoach
o'
=
(o
j -
a',
) khàe cùa
777.
Phàn hoach o' này dugc
gpi

là phàn hoach
lién
két vói a.
!Mot
o-bàng
eó dugc
tu [a]
bang càch thay
thè càe
nùt x cùa [o]
bài eàc so
i
cua
{1,
,
rn}.
Mot bang Young suy ròng eó dang
[a] va
nói dung
(/?!.
/?2.
-
• •
)
co
dugc
tu [a]
bang càch thay càe nùt cùa bieu do bang nhùng so
nguyén duang sao cho so nguyén i xuàt bién dùng
0j

làn. Mot
bang
Young suy
ròng dugc goi là nùa tiéu
cliuan
neu càe so theo mòi
bang
là khòng giàm tinh
tu
trai
sang phài
va
theo moi còt là tàng thàt su tinh tu trén xuóng duói.
Cho W là khòng gian vecta n-chiéu trén truóng F bàt ky, vói ca sa
wi,W2,
•
•
•
i^n
trén dò GLn{F) tàc dong theo càch tu nhién. Ky biéu
L*"^*
là
tich tenxa m làn cùa W. GLn{F) tàc dóng lén
A^""^
bang tàc dòng
chéo
va
Sm
tàc dóng lén
L^^'

bang hoàn vi eàc
chi
so.
11
Vói phàn hoach Q
= (O]
.
G„
) cùa
rn,
dat
W""
=
U);!
0
. .
.
0
U'o'
0
U'i
0
• • •
0
Wa'
©
• • •
®
U'I
®

• • •
®
WQ'
,
V"
=
^
(sgn^JTT
,
1
*;
trong dò
(G^
a'f.)
là phàn hoach hén két vói a. Néu
charP =
2
va
G là 2-
ky di (nghia là,
G,+]
~
QI+2
>
0
vói i > 0 nào
dò),
dat
W =
{u'

e
L^"^^
I sw =
0 vói moi
.s e
FS„,
sao cho
sV'w''
=
0}
H
V^I^"'*.
Trong
mpi
truóng hgp
khàe.
dat
W = {w e
A*"'*
I
sw = 0 vói moi s
G
P5„,
sao cho
sViv''
=
0}.
Vi
tàc dóng cùa
GLn(F)

giao hoàn vói tàc dóng cua
5„,
lén
L^'"'\
W^
là mot
GZ„(P)-mód\m.
Nò dirge
goi là módun Weyl .
\
ói moi hang
"^ouiig
suy róng T
co
dang
[o].
goi
T(1).T(2)
T{ni)
là
eàc so bang trong T theo
tln'r
tu
tu
trén xuóng
dirói
cua eàc còt lién
tiéj) tu
trai
sang phài . Dat

icr
=
^Ì'T{Ì)
C-
w'r(2)
O ' • ' 0
^f'r(m)-
Hai
bang Tj va T2
duge goi là
ttrang
duang hàng néu
T2
eò
thè
nhàn dugc
tu T]
bang hoàn vi thù tu xuàt hien cua càe so trong mòi hàng cùa
T].
Néu T
là
mot bang Young suy ròng eò dang [a], dat
FT
~
V^
2^{^'Ti
I
Al
là tuang duang
bang

vói T).
DINH LY 0.3.1
([21],
8.1.16).
{ET
\ T là mot
a-bàng
nùa tiéu chuan } là
mot
ca sa cùa
W^.
MÈNH
DE 0.3.2
([21],
8.1.17,
2.3.19).
dim^
T^^'^
= Y{,/m-i+j)/{a,-] +
a; z
+
l)
12
MÉNH
DE 0.3.3
([21],
8.1.18).
Càe
già tri riéng doi vói tàc dòng cùa ma tran
chéo

diag(xi,
,
Xn)
trong
GLn{F)
lén
W^
là
{j ^
I A
là mot a-bàng nùa tiéu
ciiuan},
trong dò
x^
=
xf ^
x^^

x^"
néu T eó nói dung
(/?],
/92,
. ,
/3n
)•
Trén
W^
tón tai mot dang song tuyén
<i>°
sao cho

<f)^{mx,
y) =
(j)^{x,
m^y)
vói
777 G
Mn{F),
va
x,y
e
W^
{m^
là chuyén vi cùa m). Dat
Wl =
{w
e W I (f>''{w,v)
= 0 vói
mpi V e
W}.
Khi dò
W^
ià mot
M„(P)-mòdun.
DINH LY 0.3.4
([21].
8.3.7).
So chieu cùa
W/W^
bang hang cùa ma tran
Grain

doi vói ca sa nùa tiéu
ehuàii
cua
W^.
Vói phàn hoach o
= (o]
o,,
) cùa
in.
dat
Ai =
G^
—
o,+
i
vói 1
< / <
77 —
1
va A„
=
G„.
Khi dò chùng ta
co
day A =
( A] A„
)
va
chùng ta eó thè
viét

5(Ai, ,A„)
bay
5(A)
thay
vi
W^
/W^.
Dào lai, vói mói
day
A
==
(A,
A„)
góm
càe
so nguyén khòng àm, tón tai duy nhàt
day a
=
{a-[,
.
Q„
)
thoà man
Gì —
a,+i
=
Xj
(1 <
7
<

77 —
1)
va Gn
=
A„.
Khì
dò
Q'
là mot phàn hoach cùa
777A-
trong dò
777^
= Ai + 2A2 -\ h
nA^.
Dat
A
=
{(Al,
,A„) I
0<
A^-<p-l,l
<^'<r7},
A' = {(Al,
,A„) I
0<
Ai-
<;7-l,l
<^^<n-l,0
<
A„

<p-2}.
Chùng ta eó duge eàc két qua sau trong truóng hgp F = Fp.
DINH LY 0.3.5
([20],
§6).
Irr{Fp[Mn]) = {S^x)
I A
G
A} ,
Irr (P,[GA„]) = {5^^)
|
A G
A'} ,
13
trong
dò S[^^=
Res^lJS^x)).
Hang
tu
òn dinh cùa
BiZ/pY^
tuang ùng vói
S(A)
(t.u.
5[^j)
duge ky
biéu là
A(A)
(t.u.
Xi^.).

Dae biét, goi
M(77)
là bang ttr tuang ùng vói mòdun
Steinberg
Si .^ j
Q
NÒ
cùng dugc goi là bang tu Steinberg. Khi dò
M(77) -
A(r7) V
A(77
- 1). trong dò A(r7)
== ^'"^
SP^^
{S^)/SPP'^~\S^) va
SP^'(S)
ky biéu là tich doi xùng thù k cùa phò càu 5 ([31]).
DINH LY 0.3.6 ([20],
§6).
(i)B{Z/p)l-
V
dim5(A)A(A,
,P(^/;^);
^
V
dim5;,,X;^^,
A€A
AGA'
f^'j)
-^'(Ai, ,A„_,,0)

-
A'(A,
A,._,)'
0'0'^'iX,
A„)
-
V(A,, ,A.),i^eu0< A„ <p-l
,
(^^')
-^(A,
A„_,.0)
-
-^(A,
A„_,.0)
V
A(A,
A,_j,; !)•
HE
QUA
0.3.7.
(ijdim5(\^
^^^^
=dìm5(A,
A.)
néu 1 <
A„
<
;)
- 2.
va

^"^^*^(A,
A_,.U)
=
^Ì"i'^(A,
A.,.,.0)
=
dini5{A,
A„_,,7 ]).
(ii)àìmS^x,
A,) <
dim5(A,
A O
o}-
CHI^NG
MINH:
(i) co duge tu Dinh ly 0.3.6
va
dinh ly
KrulbSclunidt.
(ii) eó
duac tu càe Dinh
Iv
0.3.1
va
0.3.4.
14
Chircrng
1
CAC HANG
Tir

CAMPBELL
-
SELICK
Trong [8],
Campbeh va
Sehck dua ra mot phàn rà tu nhién cùa
if®"
thành
mot tong truc tiép cùa
(p"
-
1)
>il-mòdun,
goi là
càe
bang tu eó trong lugng
P„(j)
vói j G
Z/{p^
-
1)-
Càe
bang tu này dac biét de làm viéc
vi
chùng
co
càe ca sa góm eàc don thùe trong mot dai so hùu han sinh nào dò. Bang
mot két qua cùa Adam,
Gunawardena va
Miller ([3]), eàc bang tu eó trong

lugng cùa Campbell
va
Sehck này cho mot phàn tich cùa phàn tu dan vi trong
Fp[Mjj]
thành mot tong cùa
p"
— 1 phàn tu luy dàng truc giao. Tu Phàn
0.1 cùa Chuang 0, chùng ta thày dieu này
dira
dén mot
])hàn
rà òn dinh cùa
B(Z/py^
thành
p"
—
1 bang tu két. Trong [16], Harris mò tà eàc bang tu này
nhu là két qua chinh, chùng duge ky biéu là
V„(j),
vói
j
G
Z/[p^^
— 1)
va
goi là càe bang tu Campbell
-
Selick. De làm dieu này, Harris dua ra
mot
tàp góm càe phàn

tu
lùy dàng truc giao nguyén
thù}'
d.j
trong
P^,[G„]
càm
sinh phàn rà cùa Campbell
va
Sehck, do
dò
càm sinh eàc
Ynij)
(à
day
P*n
va
Gn
=
F*r.
xGal{Fpn/Fp) dugc xem là nhùng nhóm con cùa nhóm
GLn{Z/p)).
Thàt ra càe phàn tu
d^
khòng phài duang nhién thuóc
Fp[Gn]
nhu Harris trình
bay.
Tu viéc mò tà cùa Campbell
va

Selick
de
dàng thày ràng
Yn{j) ~
V„(jp):
Harris dat
Yn{i) ~ Yn{i)
V V
Yn{ip''''^)
trong dò
z^
là so mù k duang nhó
nhàt vói
ip^
= i(mod
p"
- 1). Harris
con
dua ra mot tap góm eàc phàn tu lùy
dàng truc giao nguyén thùy
/,
trong
Fp[F^n]
càm sinh eàc bang tu két
Yn(i).
Càe
/:
duge mò tà tuóng minh trong khi eàc
dj
thì chua

va
su xuàt bién cùa
càe bang tu khòng phàn tich duge cùa
B{Z/p)'^
trong
Yn{j) va Yn{i) rat
khó
xàc dinh.
15
lama tran chéo
diag(uJ.
L^'''
-'''"'')
trong
GLn[Fp^^
)•
Ma
ròng B
mot
càrh
nhàn tinh dén dai so da
thi'rc.
chùng ta eó
B:Fpn[tQ
^,_i] =
Fpn[xo
,j:r,-i].
Càu trùc
Adai
so cùa

Fp[to tn-i] <3ugc
mò ròng dén
Ap"
[to .^7-1]
de tàc dóng cùa A là
A;,^ tuyén
tinh. Tàc dòng càm sinh cùa A lén eàc ,r
dugc cho
bòi
V^{x,)
=
x^_^.
trong
dò
eàc
chi
so duói dugc lày theo modulo
77.
Àp dung cóng thùc Cartan.
Fp[xo,
,Xn_i]
là
mot >l-módun
con cùa
Fpn [io
tn-i]-
(Néu p là le, toàn tu Bockstein tàc dóng tàm thuóng,
va
néu
p

=
2.1ày
V^
-
Sq\)
Trong [8]. Campbell
va
Selick dà chùng minh ràng
(1.1.1)
Fplxo,
,Xr,-i] =
A,,[to
tu-i]
(dang
càu
A- módun).
Chùng minh su dung phép
hg]:»
thành
t\,
:Ap[zo x„_i] ^
A,, [TO,
.^H-i] ' Fp»[ti) ^,_]]
A
Fj,[iu
^,-i].
trong dò A :
A,,n
[to t„^]] » Fpri[to t„ \]
dugc cho

hai
X{y) =
u:y
~\-
o
(>*.'(/) + ••• +
</'"
i^y)-
Chù
y ràng A là
^-tiiyen
tinh
ma
khòng là nhàn tinh
\''l
DU
1.1.2:
Vói p = 2
va
77 = 2.3,4,5,6, tìm dugc
mot
càch
de
dàng càe da
thùe bàt khà quy p{x) G
F2[x]
sao cho nghiém
LJ
G
A2n

cùa chùng thoà man
ord(u;) =
2"
—
1
va {UJ.O;^, .U:'
} là mot ca sa cùa
Fo^
trén
A2.
1) 77
=
2
:p{x)
= 1
-hx + x^
,
i/'2(xo)
= io +ii ,
V'2(xi)
=
io
•
2)77
= 3
:p{x) = l +
x'^+x^
,
M^o)
= ^0+^1

,
^-3(^1) = ^i , MX2) =
T^I+#2
•
3) n
=
4 :p{x)
=
1
+
x^
-\-x\
^'4(^0) = ^0
+
^i
+
^2 + ^3 , ^4(^1) = ^1
+
1^2
,
^4(^2)
=
^0
+
^2
,
^^4(^3) - ^0
+*1
+Ì2
•

4) n = 5 :pix)
=
1
+x-f-x^
+
z^
-h x^
,
Vó(^o) = ^0+^1 , ^5(^1) = ^3 ,
^5(^2)
=^0
+^1
+*2
+^3
, -05(^3) = t3+t4 , tp^ix^) = il -hÌ2 ;
17
-«43M.
;;(.r)
= 1 +X
-hX^ -hX-*
+X^
,
05(^0
)
=
^0
+
^
+
^3

+
^4
,
^^5(^1)
=^1
+^2+^3+^4
,
V^5(^2)
=^1
>
V'5(-'^3)
=
^2
+
^4
,
^^5(3-4)
=
io
+
^2
;
p{x) = 1
+x2
-hX-^
+X^
-hX^
,
l"5(Xo)
= il

+^2
+^4
-
V'5(^l)
=tl
.
^^5(^2)
=
to
+Ì4
•
^"5(3:3)
=Ì0
+Ìl
H-Ì2
+Ì3
+Ì4
.
^'5(3:4)
=Ì0
+Ì2
+Ì3
•
5)
n
= 6 : p{x)
=
1
-h
x

-f x^ -h x^ -h x^
,
V^6(^o
)
= ii
+
^2
+
^3 ,
^6(2:1)
=Ì4
1
^'6(2^2)
=
i]
+Ì2
+Ì4
+Ì5
.
^^6(2:3)
=Ì4
+Ì5
,
^6(^4)
=Ì0
+Ì1
,
^^6(3:5)
=
t2+ts+Ì4

•
Mot ca sa mói
{yo ,yn-i} <3ugc
xàc dinh tu
{UQ,
.Un-i] gióng
nhu
{xo
.2:„_]}
duge xàc dinh tu
{io,
,tr,-i)-
Vói
/?(yA-)
=
x^t,
(1.1.1)
duge mò ròng dén dàng càu
Amòdun Ap[xo ^n-i]
&E[yo,
.yn-i]
—
Fp[to i„_]]cóA[uo
t/„-i].
Dat
P„
(t.u.
PA„) =
A^[.ro
. .

,x„_i]
(t.u.
A^Jxo
.x„_i] ®
A[yo,
-Vn-i])-
Dinh nglùa eàc trong lugng
1^(777)
trong
Z/{p"
- 1) doi vói càe dan thùe 777 trong
PA,,
bó'i
u'(l)
= 0. iv{xi;)
—
uiyt,)
=
;/. va iv{y=)
=
w(y) +
w{z).
Goi
P„{j)
(t.u.
PE,,[j))
là khòng
gian con cùa
P„
(t.u.

PE^^)
nhàn càe don thùe eó
trpng krgng j
làm ca
so.
Tu dóng càu x/
—>
x/_j.]
cùa
P„
chùng tò rang
P„(j)
(t.u.
PEr,{j))
dàng
càu vói
P„(7j>)
(t.u.
PEnUp)).
Dat
P„(7) =
P„(?)e
0P„(7y'-i)
(t.u.
PA„(7) = PEn{i) e • • • e
PA,,(7j:7-'"~^
)). Néu dat
Z/77,
=<</»>
tàc dóng lén

Z/{p^
— 1) bài
4>{i)
= ip thì
Pn(0
(t.u. PEn{i)) eó the duge mó tà nhu sau.
Goi
Ji
là quy dao chùa
z,
va
I là tàp gom mot phan tu
tu
mòi
qu}-
dao. Khi
dò P„(0 - ^jeJiPnU)
(t.nr.
PA„(2) =
^J^J,PEr^{J)),
z,
là bàn so cùa
J,,
va
Pn =
^iei^n(i)-
Vi
P^
bào toàn trong lugng
(va ^

tàc dóng tàm thuóng néu
p > 2) nén
co
mot phàn rà
P„
(t.u.
PA„)
=
e Pnij)
(t.u.
e PEnU))
18
nhu là càe
>4-mòdun.
Phàn tich này cho mot càu trùc
P7,(0)
(t.u.
PA„(0))-dai
so phàn bàc
co
bò sung trén
P„
(t.u.
PA„).
Dang càu (1.1.1) là mot dàng càu
>^-mòdun
chù khòng phài là mot dang càu vành. Nò
cam
sinh mot dàng càu
>l-módun

(khòng là dang càu vành)
P„(0) ^
(A;,[io,
.tr^^iD^r-
,
PA„(0) ^
(A;,[io,
,<„-i](^^[uo,
,2i„_i])^^
.
Tuy nhién khi han che den
càe
bat bien Dickson, ành xa này là nhàn tinh
([19],
3.9). Do dò
PAn(O)
chùa mot dai so con da thùe nhu
(iif®")
r"
chùa dai so
Dickson.
Sau
day
chùng tòi trình
bay
mot so két qua ve Pn(0) khi p = 2. Mòi dan
thùc
trong P„(0) co dang X =
x^°x^'

x^l-\
vói
ao+2Gi+-•-+2"-^G„_I
=
0
(mod 2"
—1).
Dan thùc khàe hàng eó bàc nhò nhàt trong
PTI(0)
là
xoxj
.
x„_].
Dat
*
va
tàc dòng cùa
^
lén x là
$x
=
x^'xj*^

•x^l2^x^-ì-
DlNH
LY 1.1.3 ([1]).
Dai'
sóP„(0)
eò mot tap sinh toi thiéu là
(^

0
0
0
Vi
1
0
0
0
0
0 .
1 .
0
0
0
•
^^
. 0
. 0
. 1
. 0/
A'
=
{^^x
2"-l
Er^'
n-\
«7'
-1
. . .
X

:ir I
O<^^<U-I,^2'-^G,
< 2
71-1
!}•
1
= 1
CHÙ-NG
MINH: Xét dan thùc khàe hàng bàt ky x G
Pn(0).
Già su x chua
r
-h
1 nhàn tu phàn biet
x,-
(0 < r <
TÌ
— 1). Khi dò trong tàp
{^^x
\
0<^<77 —
l}có nhùng phan tu chùa nhàn tu
XQ-
Tón tai k sao cho
19
^k ^
_
^^o^^'i _ ^^*r 1
<
/"

<
• • •
<
?r < " —
1,
là
phàn tu trong so càe phàn
tu dò
co
Qo
+
X^j^i
2''a,^
= (2" - 1)/ là nhò
nhat.
Néu
J2U^
2'^-'Q,,.
<
2"-'
- 2"
-',
thi
Don thuc thù nhàt thuóc
A",
dan thùc thù hai thuòe < X >. Vi
thè
x G<
A"
>.

Néu
E;=I
2'-'a.^
>
2"-'
-T'-\
thì
§'+"
x =
^o"
<'i„

<'1„
x^l,,
co
a„
+
2-^-'a„
+
• • •
+
2'^ 'Q.,
+
2"-"QO
=
(2"-l)/-ao^,„-,.
^
(2"-V),(^
+ ^o)
>

(2 1K,
2M
2*»
~
do tinh nhò nhàt cùa (2"
-
1)/. Dieu này kéo theo
oo
>
(2'^
- 1)/.
va vi
/ > 1.
chùng ta eó
Oo >
2''
—
1. Bang càch chon
o[
sao
elio
1
<
o,
^
n,
. 1 <
7
<
7-,

va y
,T^'^a',
=
2"-^
-2"-^
chùng ta eò
<P
X —
Xn
X,
'
X,
'Xf,
X,
X,
jt^2'i-l ^M
^'^.r^7,-A-
Oo-(2'i-l)^"'i -«
$"-'^"x'
-'x.'^
X,'^$
X
•
X
0
-^ii'-'-'^ir''
'^'O '^ii
Dan thuc thù nhàt thuòe
A^,
dan thùc thù hai thuóc <

V
> do phép quy nap
theo bàc cùa
càe
dan thùc.
Vi thè
x. G<
A^
>.
Vi
2" - 1 -
X^fJ"/
Tcv,
-f-
2a]
+
• • • +
2"-^a„_i
=
2" - 1, nén tap A' là toi
thieu. Dinh ly dugc chùng minh.
CHÙ
Y 1.1.4 ([1]): De biét thém thóng tin càn thiét ve dai so Pn(0), chùng ta
nén biét ve chuoi Poincaré cùa nò. Bang càch bién doi cóng thùc trong
([16],
5.1), chùng tói thu dugc chuoi Poincaré
A(P„(0);i)
cùa Pn(0) duói dang
de
tinh toàn han.

20
ord(w')
= rf
trong dò
Ù-
là mot càn thù (2" - 1) nguyén thùy cùa don vi trong C. Dac
biét, khi 2" - 1 là mot so nguyén tó, chùng ta eò
77.
cùng là mot so nguyén tó.
Khi dò
::,• =
n vói
mÓi i E T
= I
-
{0}, dieu này kéo theo |
/*
|=
^^. Vi
mói
uj\
1 <
7
< 2" - 2, là mot
càn
thù (2" - 1) nguyén thuy cùa
don
vi, nén
E^:-:5^
= -ivàn^:-(t-5o = ^^^

1
FiPn{o);t)
=.
5;rrTl(73Tj^
+
^I5n;=:o(^ ^"^^)-
^
-1
Tl-l
2"
- 1
(t
fT);r +
"Enn(^ '^')/(^^"-^
+ + ^ + i
Bang càch khai trién tich
a
trén, chùng tói nhàn duge
F{P„ioy,t) =
-
2" —
1
U-D"
9" _
9w2"-2-ii
_
•r^2"-3 i /2"-2 i \ ,2"-2-ri-/t
2)f
EU
0"

_
9
i2"-2+i2"-3 +
+/
+ l
Chuoi Poincaré trong
càe
truóng hgp
r7
= 2,3,4 là nhu sau:
i2
- i
+
1
nP2{0);t) =
FiP3{0);t) =
(i-l)(i3-l)'
i^
-
2i^
+
i^
+
i^
-h
i^
- 2i + 1
(t-mt-^-l)
A(P4(0);
t)

=
—(15i^^
-
22i^^
-\-
15i^^
-
15i^^
+
21t^^
+
15i^^
-
23i^°
15
;9 ,
1 cj8
,
Aj7
+
9i^
-h 15i°
+
9i'
-
23i° -h
15i"
+
21i^
-

15^
-\-
15i^
- 22i + 15)/(i -
l)2(i^
-
l)(i^^
- 1)
.
21
MÉNH DE 1.1.5 ([1]).
P2(0Ì
là
dai
s6
F2[Q2,o^Q2^.Y]/{Q'2^
^Q2.oY -^Y')
trong dò
Q2,o-
Q2.1 ^^ càe
bài bién Dickson
va
Y
=
x\.
CHÙ-NG
MINH: Dai so Dickson trong truóng hgp n = 2 là
F2lto.tif'''
=
F2[Q2,O.Q2A]

trong dò
Q2,Q
=
tgii
+
totl
va
Q2.1 - ^0
+
^0^1
+
^
([10])-
Ngoài ra, trong
truóng hgp này:
J
xo
=
to
+ti^ti,
\
xi =
io
+i0^ti.
Do dò
XQXI
=
(32,1,
xl+xl =
(52,0.

Tu
Dinh ly 1.1.3, chùng ta eó
P2(0)
= <
xoXi,x^,Xj
> = <
XoXi,Xo-f :r^,x5
> .
De
dàng eó duge
Ql^
=
62,0^'
+
Y'^,
vai
Y =
xj.
Chuoi Poincaré cùa
A2[g2,o,92.i,:^1/(QL+Q2.o:^'
+
l'^)làt,J;jf_,.^.,nóbàngA(P2(0);i).
Dieu
nà}-
hoàn thành chùng minh.
1.2. Bieu dien bàt khà quy cùa
Fpu
trén
Fp.
F*n

là mot nhóm aben
va
p khòng
cliia
hét càp cua
P*^.
nén
co
p"
—
1 biéu
dién mot
ciiiéu
phàn biét cùa
F\
dugc xàc dinh trén
P^'
Chùng dugc ky biéu
bai
Pj,
j G
Z/{p^
—
1),
vói Rj{0) =
u)^.
Càe phàn
tu
luy dang trong
Fp^

[P*n]
lién két vói càe biéu dién này là
€j
=
—
Y^l^~^
UJ~^^0^
([7], 33.8). Tàc dòng
cùa Z/n
=< (p
> lén
P"
chuyén
Rj
thành
Rjp va Cj
thành
e^p.
Chùng ta dà
eó
J,
là quy dao chùa i
va
/ là tàp chùa mot phàn tu tu mói quy dao. Vói mói
2
G
/,
chùng ta co the xem i =
min
Ji.

Bang viéc dinh nghla
fi
=
Xlv^j ^j?
vói i G
/,
Harris dà chùng minh dugc két qua sau:
MÈNH DE 1.2.1
([16],
3.5). Vói moi i G /,
ft
là mot phàn tu luy dang trong
Fp[F*n] va Fp[Fpn]fi
là mot
Fp[F*rr]-mòdun
bat khà quy.
22
Bo DE 1.2.2
([11])-
Vói
moi
i G I,
z,
là mot uóc cùa v
va
z,
=
nùn{k
> 0 |
ord[u:']\{p'

-l)].
Ti
CHÙ-NG
MINH: Già
su 77
=
qz,
-h
r.
trong dò 0 < r <
_,.
Khi dò
u-^' = u.^'''
=
(
((u,'"'''''
)^"''
)

)''""'
)^'^
—
u)^^'•
Vi
z,
là so nguyén duang nho nhàt sao cho
uj'
—
u.''''*"'.
nén r

=
0. Dieu thù hai duge suy ra tu
(u;'^Y ~^ ~ ^''^
'
•^^~' - ^•
Bo DE 1.2.3 ([11]). Tàc dòng cùa 6 lén khòng gian vecta
Fp[F*n]fj co
càe già
tri riéng là
L.'
,
ti.'
'
, . . .
,LJ
'
CHÙ-NG
MINH: Tàc dóng cùa 0 lén
Fp[F*n]f:
co u-'
là
mot
già tri riéng néu
va
ehi
néu
P^».
[Epn]ej
là mot nhàn
tu

hgp thành cùa
Fp»
[F*n]fj.
Dieu này xày ra
néu
va
chi néu
Cjfj
7^
0 (Dinh ly 0.2.3). Vi càe
(j
là truc giao nén
r^/,
^
0 néu
va
cln
néu
j
G
Ji.
DINH LY 1.2.4 ([11])-
Co mot
phép tuang ùng 1-1 giùa tàp day du
gòni
càe
bieu dièn bat kha quy cua
F%
trén
Fp

va tap gom eàc da thùc dan
lir
bat kha
quy f{x)
co
bàc d trong Fp[x] sao cho d \
7? va
/(x)
^
x.
CHU-NG
MINH: Tu Ménh de 1.2.1, Bo de 1.2.3. Dinh ly 0.2.5
va
Eie/-/"^
="
1^
chùng ta
co
dugc mot phép tuang ùng 1-1 giùa tap góm càe biéu dién bàt khà
quy cùa
P*n
trén
Fp va
tàp góm càe day
(UJ\LO^^\
.
.UJ^^' '
)^
"^ ^ P
Vói

i
G
P
dat
/,.(x) =
(x -
uj'){x
-
i^^'^') (x
-
u:'^''~')
.Vi
(x -
(u;')^) (x-(u;^^-''"^)^) =
/,,(x)nén/,,(x)GPp[x].
Già
su/,,
(x)
-
p(x)/7.(x),
trong dò
p(x),
h{x)
G Fp[x]
va
u>^
là mot nghiém cùa
g{x).
Khi
dò

UJ\
O,'^^,
,
Lo^^
' là
z^
nghiém phàn biét cùa
^(x),
vi
vay
/7(x)
= 1. Do dò
/;.
là
mot
da
thùe don he bàt khà quy
co
bàc
Zi
trong Fp[x] vói
z^
\ n (Bo de
1.2.2).
Vói
i.i' G
/,
rò ràng ràng
fzii^)
=

/z,-,
(^)
néu
va ehi
néu i
~
i'.
23
Cho
/rf(x)
là
mot
da thùc dan
he
bàt khà quy eó bàc d trong
Pp[x],
trong
6.6
d\n
va /^(x)
7^
x. Già
su
LO'
là mot nghiém cùa
/d(x).
Khi dò
uj'
e<
LJ

>
nghìa là tón tai
?
G / sao
elio
LO'
G
{U-''
LO'^'^
}. Già su
u:'.u;'^'
a*'''
là
e/'
nghiém phàn biét cùa
/^(x),
trong dò d' = mm{k > 0 |
u.^'
=
a-'?'
}.
Tuang tu nhu trén. (x
-
a;')
(x -
LO'^
) là mot da thùc dcm he bàt khà
quy eò bae d' trong Fp[x]
va
nò là mot uóc cùa

/^(x).
Do dò d' = d -
z,.
Dieu
nà}-
hoàn thành chùng minh.
HE
QUX
1.2.5
([11])-
Già
su n
eò phàn
ticlì
thành nhàn
tu
nguyén to là
7?
= pp • •
-pf'
• Wù
dò so càe biéu
dièn
bàt
Idia
quy phàn biét cua
F*^
trén
Fplà
(

01
^r
p.,

+(_i)^p
l<i</
ClU'-NG
MINH:
TU
mot két
qua
eò dién (xem [25]). ban so cùa tàp góm càe da
thùe dan
he
bàt khà quy eó
lìàc
d trong
Fp\.r]
sao cho d \ 77 là
^^/i„
i''(r/)-
trong
dò v[d)
~ ^
X^rf'irf/'(^')7^~
^'^^
ì'
1^
bàm Mòbius :
(

0 néu 777 chia hét cho
q~
vói q là mot so nguyén tó nào dò .
(—1)'"
néu
777
là tich cùa
7'
so nguyén tó phàn biét,
1 néu
777
=
1.
Két
qua
dugc kéo theo
tu
dieu này
va
(1.2.4).
1.3. Bieu
dién
modula
ciia
F*nxGal{Fpn/Fp).
Dat
Gn =
F*n
xGal{Fpr./Fp),
khi dò

va
nò là mot nhóm con cùa
GLn{Z/p).
Goi
A"
là mot truóng so dai so
va
là
mot truóng phàn rà doi vói
G„,
Q{
'^\/r)
là mot truóng nhu
thè.
Goi R là
24
vành eàc so nguyén dai so trong
A',
va
P là
mot
idéan nguyén tó trong R vói
p là so nguyén tó duy nhàt trong P. Truóng A" = R/P là mot truóng hùu
han
va
cùng là mot tnróng phàn rà doi vói
G„.
Goi
I-
là mot càn thù

(/)"
-
1
)
nguyén thùy cùa dan vi trong
A',
nò dugc chon sao cho
pr{Cj) =
u:.
trong
dò
pp
•
Ji —^ Jl/p là
phép ehiéu. Goi
7^
là mot càn thù
7?
nguyén thùy cùa dan vi
trong A'. Vói mèi
?
G
/, va
A'
= 1,
,
r,
=
f
A'[G„]-biéu

dièn
f^tc
duac xàc
dinh bài eàc ma
tran
/
1.3.1)
e
0
\
\ 0 0
0
:D'' 7
/o 0
1 0
0 1
Vo
0
-k.
0
//''""'
\
0 0
0 0
1
0
/
Càe
f,;.
là bàt khà quy, phàn

l)iét.
va
tao thành mot
tàj)
day du càe biéu dién
l)àt khà quy cùa
Gj,
trén A'
([IGj.
3.14). Goi
Tjk
là
7v'-l)iéu
(hén cua
G,>
dugc
xàc dinh giòng
nlnr
F,;
clu viéc thay làn
lugt Z va u hai uo va ;/ =
}>^'(Ì^)
trt)ng
eàc ma
tran
cùa (1.3.1). Chù y ràng
7/
là mot càn thù
^
nguyén

tlniy
eua
dcni
vi . trong dò
7/
=
.^7;'
vói
[s.p)
= 1. Goi
.s,
là so nguyén sao cho
7-,
=
j-
=
•^(/>"'.
va
(.s.;7)
=
1.
CHÙ
Y
1.3.2:
Vói A'
=
QC^),
trong dò
a
là mot càn thù

(p"
— \)n nguyén
thùy cùa dan vi trén
Q,
chùng ta eó A'
=
R/P
=
Fp{a).
trong dò
a
=
pr(a)
là
mot càn thù
[p"
—
l)s
nguyén thuy cùa dan vi trén
Fp
([7]. p.5S8). Do dò néu
A''
là so nguyén duang nhò nhàt sao cho
p^'
=
l(mod
(p"
-
1).^)
thì A'

=
P^A^.
MÉNH DE 1.3.3
([16],
3.16). (i) Càe
Ta là
bat khà
quy,
va (ii)
{T,k
\
r e
Fk
— 1,
,5,}
là mot tàp day dù
gòni
càe bieu dien bat khà quy cùa
G„
trén
K.
MÈNH DE 1.3.4 ([11]). Già
su
n
co
phàn
ticli
thành nhàn tu nguyén to là
n =
p^^

.,
.p^'
trong dò
pi =
p. Khi dò so
càe
biéu dién bat khà quy cua
G„
25