Phương trình sai phân ẩn phi tuyến với kỹ thuật tuyến tính hóa

Mục lục
Lờicamđoan 1
Lờicảmơn 2
Mụclục 3
Danh mục các ký hiệu sử dụng trong luận án . . . . . . . . 5
Mởđầu 6
CHƯƠNG 1 . Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính ẩn
chỉsố1 12
1.1 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân tuyến tính . . 12
1.2 Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính . . . . . . . . . . 14
1.3 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến
tínhchỉsố1 15
1.3.1 Phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 . . 15
1.3.2 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại
số tuyến tính chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Khái niệm chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2 Các tính chất cơ bản của PTSP ẩn tuyến tính chỉ
số1 23
1.5 Lý thuyết Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.1 Định lý Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.2 Định lý Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.3 Định lý Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3
1.6 Áp dụng cho PTSP tuyến tính ẩn có chậm với hệ số tuần
hoàn 42
CHƯƠNG 2 . PTSP tựa tuyến tính ẩn . . . . . . . . . . . . 45
2.1 Một số định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.1 Trường hợp phần chính tuyến tính có chỉ số 1 . . . 45
2.1.2 Trường hợp phần chính tuyến tính tựa chỉ số 1. . . 53
2.2 Giải gần đúng bài toán Cauchy cho PTSP tựa tuyến tính ẩn 61

2.3 PTSP tựa tuyến tính ẩn tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.1 Phương trình vi phân đại số tựa tuyến tính tuần
hoàn 69
2.3.2 PTSP tựa tuyến tính ẩn tuần hoàn . . . . . . . . . 71
CHƯƠNG 3 . PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1. . . . . . . . . . 77
3.1 Phương trình vi phân đại số phi tuyến chỉ số 1 . . . . . . . 77
3.2 PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.1 Khái niệm chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.2 Một số tính chất của PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 . 80
3.3 Bài toán Cauchy cho PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 . . . . . 82
3.3.1 Nguyên lý đồng phôi Hadamard . . . . . . . . . . . 82
3.3.2 Tính giải được duy nhất của bài toán Cauchy cho
PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . 82
3.4 Sự ổn định nghiệm của PTSP phi tuyến ẩn tuần hoàn . . . 88
Kếtluậnchung 96
Danh sách các bài báo đã được công bố . . . . . . . . . . . . 97
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4
Danh mục các ký hiệu sử dụng
trong luận án
R(C): trường số thực (phức).
R
m
(C
m
): không gian véctơ thực (phức) m chiều.
R
m×n
(C
m×n

): không gian các ma trận thực (phức)
kích thước m × n.
I
k
(I): ma trận đơn vị kích thước k × k (k = m).
O
k×s
: ma trận không kích thước k × s.
O
k
(O): ma trận không kích thước k × k (k = m).
x
T
: ma trận (véctơ) chuyển vị của x.
L(R
m
): không gian các ánh xạ tuyến tính trên R
m
.
C(X, Y ): không gian các hàm liên tục từ X vào Y.
ker A : nhân của A.
imA : ảnh của A.
rankA : hạng của A.
det A : định thức của A.
dim W, dim(W ): số chiều của không gian W.
span{u, , v} : không gian sinh bởi các véctơ u, , v.

x y z

,


x, y, , z

: ma trận cột tạo bởi các véctơ x, y, , z.
i =
k, s : i lần lượt nhận các giá trị tự nhiên
từ k đến s.
P
can
(t): phép chiếu chính tắc từ R
m
lên S(t) song
song với ker A(t).
0: véc tơ không trong không gian tương ứng
đang xét.
ind: chỉ số.
{A, B} : cặp ma trận.
⊕ : tổng trực tiếp.
Re(z): phần thực của số phức z.
PTSP: phương trình sai phân.
diag( ): ma trận đường chéo khối.
5
Mở đầu
Trong những năm gần đây, phương trình sai phân (PTSP) ẩn là
đối tượng được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm vì nó xuất hiện ở nhiều
lĩnh vực khác nhau trong toán học cũng như trong thực tế ứng dụng.
PTSP thường xuất hiện trong lý thuyết xác suất, các bài toán sắp hàng,
trong nghiên cứu mạch điện, trong các bài toán thống kê, trong kinh
tế, xã hội (chẳng hạn như mô hình kinh tế Leontief, mô hình phát triển
dân số Leslie), bài toán điều khiển tối ưu hệ suy biến rời rạc, v.v. (xem

[20, 21, 25]). Mặt khác, PTSP ẩn là kết quả tự nhiên thu được từ việc
rời rạc hóa phương trình vi phân đại số, phương trình đạo hàm riêng đại
số, những đối tượng được quan tâm nghiên cứu rất nhiều trong những
năm gần đây (xem [20, 21, 23, 33, 35-37, 40-42]).
Cho đến nay, PTSP ẩn tuyến tính với hệ số hằng dạng Ax
n+1
+
Bx
n
= f
n
, trong đó A ∈ C
m×m
suy biến, đã được nghiên cứu tương đối
đầy đủ và được tổng kết trong [20, 21 , 25]. Theo [20, 21], bài toán giá
trị ban đầu cho PTSP tuyến tính thuần nhất (tức là f
n
=0) có nghiệm
duy nhất khi và chỉ khi tồn tại λ ∈ C sao cho λA + B không suy biến.
Theo đó, nếu
ˆ
A := (λA + B)
−1
A có ind(
ˆ
A)=ν, dim(im
ˆ
A
ν
)=k thì

ˆ
A
có biểu diễn
ˆ
A = T diag(C, N)T
−1
,
trong đó C ∈ C
k×k
là ma trận không suy biến và N là ma trận lũy linh
phức kích thước (m −k) ×(m −k) với ind(N)=ind(
ˆ
A). PTSP ban đầu
được đưa về dạng tương đương
diag(C, N)y
n+1
+ diag(I − λC, I − λN)y
n
=0.
Theo cách phân tích như trên, các tác giả đã đưa ra công thức
tường minh cho nghiệm tổng quát của bài toán giá trị ban đầu của
phương trình thuần nhất, điều kiện tồn tại nghiệm, công thức nghiệm
của bài toán giá trị ban đầu cho phương trình không thuần nhất. Các
kết quả về sự tồn tại nghiệm cũng đã được thiết lập cho bài toán điều
khiển rời rạc x
k+1
= Ax
k
+ Bu
k

,k= 0,N − 1. Đồng thời, những kết
6
quả thu được từ PTSP suy biến hệ số hằng đã được áp dụng để khảo
sát bài toán về mô hình kinh tế đa mục tiêu Leontief (xem [20, 21, 25]).
Tuy nhiên, những kết quả này không thể mở rộng trực tiếp cho PTSP
ẩn tuyến tính với hệ số biến thiên.
Nhóm nghiên cứu M. Benadbdallakh và A. G. Rutkas quan tâm
đến PTSP dạng Ax
n+1
+ Bx
n
= f
n
trong không gian Bannach và thu
được một số kết quả nhất định như áp dụng khai triển tiệm cận để
khảo sát phương trình, đưa ra lời giải cho bài toán giá trị ban đầu
(xem [13, 14]), nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình thuần
nhất từ các đặc tính của phổ của cặp toán tử {A, B} khi A, B là các
toán tử tuyến tính đóng trong không gian Bannach. Từ đó đưa ra định
lý về sự ổn định nghiệm của phương trình tựa tuyến tính (xem [15])
Ax
n+1
+ Bx
n
= ψ
n
(x
n
).
Các bài toán điều khiển suy biến rời rạc với hệ số hằng

Ex
k+1
= Ax
k
+ Bu
k
,y
k
= Cx
k
+ Du
k
,
bài toán có nhiễu
Ex
k+1
=(A +∆A)x
k
+(B +∆B)u
k
,y
k
= Cx
k
+ Du
k
,
bài toán có trễ
Ex
k+1

= Ax
k
+ Fx
k−d(k)
+ Bu
k
,y
k
= Cx
k
+ Du
k
,
và bài toán vừa có nhiễu, vừa có trễ tương ứng cũng được nhiều tác giả
quan tâm như Q. L. Zhang, W. Q. Liu, David Hill, X. Z. Dong, X. Ji,
H. Su, J.Chu, S. Ma, Z. Cheng, C. Zhang, Liyi Dai, Shengyuan Xu, v.v.
(xem [24 , 26, 43] và các tài liệu tham khảo trong đó). Nhiều kết quả
về PTSP suy biến với hệ số hằng đã được thiết lập, được mở rộng cho
PTSP có trễ [38]. Những kết quả đó chưa được mở rộng, phát triển cho
PTSP suy biến với hệ số biến thiên. Nói cách khác, PTSP tuyến tính
ẩn với hệ số hằng đã được nghiên cứu khá kỹ lưỡng, còn những kết quả
nghiên cứu về PTSP ẩn với hệ số biến thiên chưa nhiều.
Nhóm nghiên cứu Bondarenko và A. G. Rutkas quan tâm tới một
lớp các PTSP ẩn với hệ số biến thiên dạng đặc biệt
T
n
x
n+1
+ x
n

= f
n
,
7
trong đó T
n
là ma trận suy biến với mọi n. Họ đã đưa ra một số kết
quả về tính giải được của bài toán giá trị ban đầu và bài toán biên tuần
hoàn cho dạng phương trình này (xem [17, 18, 19]).
Như đã đề cập đến ở trên, phương trình vi phân đại số là đối tượng
được đặc biệt quan tâm trong những năm gần đây. PTSP ẩn là kết quả
tự nhiên thu được khi rời rạc hóa phương trình vi phân đại số. Vì thế, khi
bắt đầu nghiên cứu đề tài này chúng tôi hi vọng có thể thu được những
kết quả tương tự như đã biết đối với phương trình vi phân đại số. Một
trong những kỹ thuật cơ bản khi nghiên cứu phương trình vi phân đại số
nói chung và phương trình vi phân đại số chỉ số 1 nói riêng là kỹ thuật
đưa phương trình vi phân đại số chỉ số 1 về dạng chuẩn tắc Kronecker -
Weierstrass. Nói một cách đơn giản là đưa phương trình vi phân đại số
chỉ số 1 về hệ kế thừa gồm phương trình vi phân thường và phương trình
đại số tuyến tính. Đối với phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ
số hằng, cho bởi cặp ma trận {A, B}, dạng Kronecker - Weierstrass của
phương trình được định nghĩa thông qua dạng Kronecker - Weierstrass
của cặp ma trận như sau:
Định nghĩa ([33], tr 197) Nếu tồn tại cặp ma trận khả nghịch P, Q thỏa
mãn A = P diag(I
r
,U)Q và B = P diag(W, I
m−r
)Q trong đó U là ma
trận lũy linh thì {diag(I

r
,U),diag(W, I
m−r
)} được gọi là dạng Kronecker
- Weierstrass của cặp {A, B}.
Theo đó, dạng Kronecker - Weierstrass của phương trình vi phân đại số
tuyến tính chỉ số 1 Ax

(t)+Bx(t)=q(t) là
diag(I
r
,O
m−r
)¯x

(t)+diag(W, I
m−r
)¯x(t)=¯q(t)
trong đó x(t)=Q¯x(t), ¯q(t)=Pq(t).
Dạng chuẩn tắc Kronecker -Weierstrass của phương trình vi phân
đại số tuyến tính chỉ số 1 với hệ số hằng được mở rộng cho phương trình
vi phân đại số với hệ số biến thiên (trình bày tóm tắt trong Chương 1).
Trên cơ sở đó, nhiều kết quả nghiên cứu về phương trình vi phân đại số
đã được thiết lập [33, 36, 37, 41, 42].
Từ cuối những năm 90 của thế kỷ 20 cho tới nay, nhóm nghiên cứu
của GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh và GS. TS. Nguyễn Hữu Dư dành nhiều
8
thời gian nghiên cứu PTSP ẩn và đã thu được một số kết quả nhất định
(xem [1-3, 5-12, 27-29, 39]).
Khái niệm về chỉ số của PTSP tuyến tính ẩn với hệ số biến thiên

dạng
A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
= q
n
đã được giới thiệu trong [11 , 28, 39] và tính giải được của bài toán giá trị
ban đầu cũng như bài toán biên nhiều điểm đã được nghiên cứu trong [2,
5-10, 39]. Sau đó, trong [10], khái niệm chỉ số đượ c mở rộng cho PTSP
phi tuyến ẩn dạng
f
n
(x
n+1
,x
n
)=0.
Hơn nữa, trong [1, 2, 12, 39], khái niệm tựa chỉ số và chỉ số lạ cho PTSP
ẩn cũng được thiết lập.
Theo [5, 8], khi áp dụng công thức Euler hiện cho phương trình
vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1, ta thu được PTSP tuyến tính ẩn chỉ
số 1. Hơn nữa, nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu và bài
toán biên hai điểm của hệ rời rạc hội tụ tới nghiệm của bài toán liên tục
tương ứng. Thêm vào đó, theo [11], mọi PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1
đều đưa được về dạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass và mọi PTSP

tuyến tính ẩn tuần hoàn với B
n
không suy biến đều tương đương với
PTSP tuyến tính ẩn với hệ số hằng.
Lý thuyết Floquet, lúc đầu được thiết lập cho phương trình vi
phân tuyến tính (xem [22, 32]), sau đó được xây dựng cho PTSP tuyến
tính (xem [4, 34]), và phương trình vi phân đại số (xem [36]), được mở
rộng cho PTSP tuyến tính ẩn (trong [11]). Từ đó khảo sát được tính
ổn định nghiệm của PTSP ẩn chỉ số 1, tuyến tính, tựa tuyến tính cũng
như phi tuyến, đặc biệt là cho lớp các phương trình tuần hoàn. Phương
pháp hàm Lyapunov được áp dụng cho PTSP tựa tuyến tính ẩn trong
[9]. Công thức tính bán kính ổn định nghiệm của hệ PTSP tuyến tính
ẩn chỉ số 1 với hệ số hằng có nhiễu cũng đã được đưa ra trong [29].
Ngoài ra, PTSP ẩn tuyến tính ngẫu nhiên
A(ξ
n
)X(n +1)=B(ξ
n
)X(n)+q
n
,n∈ N,
trong đó {ξ
n
: n ∈ N} là dãy độc lập cùng phân phối với giá trị trong
9
không gian Polish đã được nghiên cứu trong [27].
Luận án nghiên cứu PTSP ẩn phi tuyến dạng
f
n
(x

n+1
,x
n
)=0 (0.1)
trong đó, f
n
:(y, x) ∈ R
m
× R
m
−→ f
n
(y, x) ∈ R
m
khả vi và có đạo
hàm riêng
∂f
n
∂y
suy biến. Một cách tự nhiên, chúng tôi dùng các công cụ,
phương pháp đã được sử dụng trong nghiên cứu phương trình vi phân
đại số để khảo sát PTSP ẩn. Cụ thể là thiết lập một số điều kiện cho
tính giải được duy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu, tính ổn
định nghiệm của phương trình tuần hoàn. Hơn nữa, chúng tôi dùng kỹ
thuật tuyến tính hóa viết lại phương trình phi tuyến (0.1) dưới dạng
∂f
n
∂y
(y
∗

n
,x
∗
n
)x
n+1
+
∂f
n
∂x
(y
∗
n
,x
∗
n
)x
n
+ h
n
(x
n+1
,x
n
)=0. (0.2)
Như vậy, với việc khai triển hàm f
n
trong lân cận (y
∗
n

,x
∗
n
) cố định nào
đó đến hết cấp 1, hàm f
n
được viết lại thành tổng của phần tuyến tính
và phần dư phi tuyến. Do đó, để nghiên cứu phương trình phi tuyến đưa
ra ban đầu, trước hết chúng tôi khảo sát PTSP ẩn tuyến tính (trong
Chương 1). Sau đó, PTSP ẩn tuyến tính có cộng thêm phần phi tuyến
nhỏ (gọi là PTSP ẩn tựa tuyến tính) được nghiên cứu trong Chương
2. Cuối cùng, ở Chương 3, chúng tôi sử dụng kết quả đã thu được với
PTSP ẩn tuyến tính để khảo sát PTSP ẩn phi tuyến tổng quát (0.1).
Luận án này được viết dựa trên ba bài báo đã được đăng [10, 11, 12]
và một vài kết quả áp dụng từ những bài báo đó. Luận án gồm có mở
đầu, kết luận chung và 3 chương được phân bố lần lượt như sau:
1. Chương 1. Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính ẩn: Trong chương
này, chúng tôi đưa ra định nghĩa chỉ số 1, dạng chuẩn tắc Kronecker
- Weierstrass và xây dựng lý thuyết Floquet cho PTSP ẩn tuyến tính
(trong [11]). Áp dụng kết quả thu đượ c cho bài toán Cauchy đối với
PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1 và PTSP tuyến tính ẩn có trễ tuần
hoàn chỉ số 1. Điều kiện ổn định nghiệm của PTSP ẩn tuyến tính
tuần hoàn chỉ số 1 cũng được thiết lập.
2. Chương 2. PTSP tựa tuyến tính ẩn: Đưa ra khái niệm chỉ số 1 và
tựa chỉ số 1. Chứng minh một số định lý tồn tại nghiệm cho bài
10
toán giá trị ban đầu của PTSP tựa tuyến tính chỉ số 1 và tựa chỉ số
1. Đưa ra một phương pháp giải gần đúng bài toán giá trị ban đầu
cho PTSP tựa tuyến tính chỉ số 1 (trong [12]). Đồng thời, chúng tôi
áp dụng kết quả thu được trong Chương 1 để khảo sát tính ổn định

nghiệm của PTSP tựa tuyến tính ẩn chỉ số 1 tuần hoàn.
3. Chương 3. PTSP phi tuyến ẩn : Đề xuất khái niệm chỉ số 1 cho
PTSP phi tuyến ẩn. Thiết lập tính giải được duy nhất nghiệm của
bài toán giá trị ban đầu (trong [10]). Phần cuối của chương khảo
sát tính ổn định nghiệm của PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 tuần hoàn.
Trong việc khảo sát PTSP phi tuyến ẩn, kỹ thuật tuyến tính hóa được sử
dụng triệt để. Khái niệm chỉ số của phương trình, tính chất ổn định của
nghiệm, sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy cho PTSP ẩn phi tuyến
đều được thiết lập thông qua các khái niệm và các tính chất tương ứng
cho PTSP ẩn tuyến tính thu được bằng phương pháp tuyến tính hóa.
Như vậy, các kết quả về PTSP ẩn tuyến tính thu được trong Chương 1
là nền tảng cho việc nghiên cứu PTSP ẩn tựa tuyến tính và phi tuyến
trong các chương tiếp theo. Ngoài ra, một phần kết quả về PTSP tựa
tuyến tính ẩn trong Chương 2 cũng được mở rộng cho PTSP ẩn phi
tuyến trình bày trong Chương 3.
Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội. Các kết quả trong luận án đã được báo cáo
tại Xêmina "Phương pháp giải phương trình vi phân" của Khoa Toán -
Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà
Nội, dưới sự chủ trì GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh, Xêmina "Các phương
pháp ngẫu nhiên và giải tích số" của Hội Ứng dụng toán học, dưới sự chủ
trì của GS. TS. Nguyễn Quý Hỷ. Một phần kết quả trong luận án được
báo cáo tại Hội nghị Khoa học Khoa Toán - Cơ - Tin học của Trường
Đại học Khoa học Tự nhiên năm 2006. Các kết quả của luận án cũng đã
được tổng kết trong bài báo tổng quan [6] và được báo cáo tại Hội nghị
Toán học Toàn quố c 2008 tại Qui Nhơn.
11
Chương 1
Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến
tính ẩn chỉ số 1

Định lý Floquet về dạng chuẩn của ma trận nghiệm cơ bản đầu
tiên được thiết lập cho phương trình vi phân, sau đó mở rộng cho PTSP,
phương trình vi phân đại số, phương trình vi tích phân, Trong chương
này, lý thuyết Floquet được xây dựng cho PTSP tuyến tính ẩn. Trước
hết, chúng ta nhắc lại những nét cơ bản nhất của lý thuyết Floquet cho
phương trình vi phân tuyến tính [22], PTSP tuyến tính [34] và phương
trình vi phân đại số tuyến tính [36].
1.1 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân
tuyến tính
Lý thuyết Floquet là một bộ phận của lý thuyết phương trình vi
phân thường, nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
dạng
x

(t)=A(t)x(t), (1.1.1)
trong đó A : R −→ R
n×n
là hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T. Định
lý chính của lý thuyết là Định lý Floquet. Nó cho ta dạng chuẩn của
ma trận nghiệm cơ bản, đồng thời đưa ra phép đổi biến là hàm tuần
hoàn, cho phép đưa hệ phương trình vi phân tuyến tính tuần hoàn về
hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng. Định lý được phát
biểu như sau
12
Định lý Floquet ([22], tr.165) Nếu φ(t) là ma trận nghiệm cơ bản của
phương trình vi phân tuyến tính tuần hoàn
x

(t)=A(t)x(t),
với A : R −→ R

n×n
là hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T thì
∀t ∈ R ,φ(t + T )=φ(t)φ
−1
(0)φ(T ).
Hơn nữa, với mỗi ma trận B ∈ C
n×n
thoả mãn
e
TB
= φ
−1
(0)φ(T ),
tồn tại hàm ma trận P : R −→ R
n×n
,t−→ P (t), tuần hoàn chu kỳ T
sao cho
φ(t)=P (t)e
tB
∀t ∈ R. (1.1.2)
Đồng thời, tồn tại ma trận R ∈ R
n×n
và một hàm ma trận thực Q(t)
tuần hoàn chu kỳ 2T thoả mãn
φ(t)=Q(t)e
tR
∀t ∈ R . (1.1.3)
Từ định lý Floquet, người ta đã đưa ra những khẳng định quan
trọng cho phép khảo sát các đặc tính của phương trình vi phân tuyến
tính. Một trong số đó là tính ổn định nghiệm của hệ thuần nhất.

Theo định lý Floquet, hàm ma trận Q(t) trong công thức (1.1.3)
có vai trò là ma trận chuyển cơ sở x(t)=Q(t)y(t). Trong cơ sở mới,
phương trình (1.1.1) trở thành phương trình vi phân tuyến tính với hệ
số hằng, thực
y

(t)=Ry(t).
Hơn nữa, Q(t) liên tục, tuần hoàn nên bị chặn. Vì thế, sự ổn định nghiệm
được xác định bởi giá trị riêng của R.
Mặt khác, biểu diễn của φ(t) theo công thức (1.1.2) được gọi là
dạng chuẩn Floquet (Floquet normal form) của ma trận nghiệm cơ bản
φ(t) của phương trình (1.1.1). Nếu sử dụng P (t) là ma trận chuyển cơ sở
x(t)=P(t)y(t) thì phương trình (1.1.1) trở thành phương trình vi phân
tuyến tính với hệ số hằng phức y

(t)=By(t). Các giá trị riêng của e
TB
được gọi là các nhân tử đặc trưng (characteristic multiplier) của phương
13
trình (1.1.1). Số mũ đặc trưng hay số mũ Floquet của (1.1.1) là số µ ∈ C
sao cho e
µT
là nhân tử đặc trưng của (1.1.1). Khi đó Re(µ) được gọi là
số mũ Lyapunov. Nghiệm x =0của (1.1.1) ổn định tiệm cận nếu mọi số
mũ Lyapunov của (1.1.1) đều âm và không ổn định nếu có ít nhất một
số mũ Lyapunov dương.
1.2 Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính
Sau khi được thiết lập cho phương trình vi phân và có những ứng
dụng quan trọng trong khoa học, công nghệ, lý thuyết Floquet được mở
rộng cho PTSP và phương trình vi phân đại số. Trong phần này, chúng

ta nhắc lại vài nét sơ lược về lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính:
x
n+1
= B
n
x
n
,n 0 với B
n
∈ R
m×m
. (1.2.1)
Định lý Floquet ( [34], tr.156) Gọi X
n
là ma trận nghiệm cơ bản của
phương trình (1.2.1), tức là nghiệm của bài toán Cauchy
X
n+1
= B
n
X
n
,X
0
= I, n ≥ 0. (1.2.2)
Khi đó, nếu hệ số B
n
của phương trình (1.2.1) tuần hoàn với chu kỳ N,
tức là B
n+N

= B
n
, với mọi n  0 và B
n
khả nghịch với mọi n thì tồn
tại họ ma trận {F
n
} khả nghịch, tuần hoàn và ma trận hằng R ∈ C
m×m
thoả mãn X
n
= F
n−1
R
n
, với mọi n  0. Qua đó, (1.2.1) đưa được về
phương trình tương đương với hệ số hằng.
Dễ thấy, bài toán (1.2.2) có nghiệm duy nhất X
n
= B
n−1
B
0
,X
n
khả nghịch với mọi n,và
X
n+N
= B
n+N−1

B
N
B
N−1
B
0
= X
n
X
N
.
Hơn nữa, do X
N
khả nghịch nên tồn tại R ∈ C
m×m
thoả mãn X
N
= R
N
.
Đặt F
n−1
= X
n
R
−n
,n 0. Ta có
F
n+N−1
= X

n+N
R
−(n+N)
= X
n
X
N
R
−N
R
−n
= F
n−1
hay {F
n
} tuần hoàn và X
n
= X
n
R
−n
R
n
X
0
= F
n−1
R
n
F

−1
−1
. Đặt X
n
=
F
n−1
˜
X
n
, thì
˜
X
n
= F
−1
n−1
X
n
=(X
n
R
−n
)
−1
X
n
= R
n
. Như vậy, ta có,

X
n+1
= B
n
X
n
⇔ F
n
˜
X
n+1
= B
n
F
n−1
˜
X
n
⇔ F
n
R
n+1
= B
n
F
n−1
R
n
⇔ R = F
−1

n
B
n
F
n−1
.
14
Mặt khác, ta thấy
X
n+1
= B
n
X
n
⇔ F
n
˜
X
n+1
= B
n
F
n−1
˜
X
n
⇔
˜
X
n+1

= F
−1
n
B
n
F
n−1
˜
X
n
⇔
˜
X
n+1
= R
˜
X
n
.
Vậy phương trình (1.2.1) đưa được về phương trình có hệ số hằng với
phép đổi biến X
n
= F
n−1
˜
X
n
.
1.3 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân
đại số tuyến tính chỉ số 1

1.3.1 Phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1
Xét phương trình vi phân đại số
A(t)x

(t)+B(t)x(t)=0, (1.3.1)
trong đó A, B ∈ C(R,L(R
m
)),A(t) suy biến với mọi t ∈ R.
Định nghĩa chỉ số [33] Phương trình (1.3.1) được gọi là phương trình
vi phân đại số chỉ số 1 nếu các điều kiện sau được thoả mãn
i) N(t) := ker A(t) trơn, nói cách khác, N(t) có một cơ sở là các hàm
khả vi liên tục, hay một cách tương đương, tồn tại phép chiếu trơn Q(t)
từ R
m
lên ker A(t);
ii) Với phép chiếu trơn Q(t) lên N(t) đã chọn, đặt P (t):=I − Q(t) thì
G(t):=A(t)+B(t)Q(t) khả nghịch với mọi t ∈ R.
Trong định nghĩa trên, điều kiện i) cho thấy rankA(t) không đổi
với mọi t ∈ R. Điều kiện ii) suy ra G(t) phụ thuộc vào phép chiếu Q(t).
Tuy nhiên người ta đã chứng minh rằng tính khả nghịch của G(t) không
phụ thuộc vào việc chọn phép chiếu Q(t) và do đó định nghĩa chỉ số 1 ở
trên là đúng đắn (xem bổ đề dưới đây). Đặt
S(t)={z ∈ R
m
|B(t)z ∈ imA(t)}⊂R
m
.
Ta có thể thấy mọi nghiệm của phương trình (1.3.1) đều nằm trong
không gian S(t). Dưới đây là tính chất cơ bản của phương trình vi phân
tuyến tính chỉ số 1.

15
Bổ đề ( [33], tr. 36) Cho phương trình vi phân đại số (1.3.1). Các mệnh
đề sau là tương đương.
i/ Phương trình (1.3.1) có chỉ số 1.
ii/ S(t) ∩ N(t)={0}∀t.
iii/ R
m
= S(t) ⊕ N(t) ∀t.
Giả thiết phương trình (1.3.1) có chỉ số 1. Theo [33, 36], tồn tại
E ∈ C(R,L(R
m
)) và phép đổi biến x = F (t)¯x, F ∈ C
1
(R,L(R
m
)),E,F
không suy biến đưa phương trình (1.3.1) về dạng chuẩn tắc Kronecker -
Weierstrass, tức là dạng
¯
A(t)¯x

(t)+
¯
B(t)¯x(t)=0, (1.3.2)
với cặp {
¯
A(t),
¯
B(t)} = {diag(I
r

,O
m−r
), diag(W (t),I
m−r
)}. Cũng theo
[36], sự tương đương động học (nói tắt là tương đương) giữa hai phương
trình vi phân đại số đã được định nghĩa. Từ đó cho phép khảo sát đặc
tính của một phương trình vi phân đại số thông qua phương trình tương
đương của nó.
Định nghĩa [36]
1) Hai phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.3.1) và (1.3.2) được
gọi là tương đương nếu tồn tại E ∈ C(R,L(R
m
)) và F ∈ C
1
(R,L(R
m
)),
E,F không suy biến thỏa mãn
¯
A = EAF,
¯
B = E(BF + AF

).
2) Hai ma trận X,
¯
X được gọi là tương đương nếu tồn tại ma trận không
suy biến K thỏa mãn
X = K

−1
¯
XK.
Như vậy nếu phương trình (1.3.1) có chỉ số 1 thì nó tương đương với
phương trình dạng Kronecker - Weierstrass (1.3.2). Khi đó, bài toán
Cauchy cho phương trình (1.3.1) với điều kiện ban đầu
P (0)

x(0) − x
0

=0 (1.3.3)
giải được duy nhất nghiệm với mọi x
0
∈ R
m
.
16
Bây giờ, ta ký hiệu X(t) là ma trận nghiệm cơ bản của phương
trình (1.3.1), tức là nghiệm của bài toán
A(t)X

(t)+B(t)X(t)=0, (1.3.4)
P (0) (X(0) − I)=0. (1.3.5)
Khi đó, nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.3.1), (1.3.3) biểu diễn
dưới dạng x

t, x
0


= X(t)x
0
. Ta cũng nhận xét thấy rankX(t) không
đổi. Gọi U(t) là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình kế thừa của
(1.3.1)
u

+(−P

P
can
+ PG
−1
B)u =0
trong đó, P
can
là phép chiếu chính tắc lên S(t) song song với N(t),
u = Px.
U

+(−P

P
can
+ PG
−1
B)U =0, (1.3.6)
U(0) = I. (1.3.7)
Ta có khai triển X(t)=P
can

(t)U(t)P (0) và biểu diễn này không
phụ thuộc vào việc chọn ma trận P(t).
1.3.2 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến
tính chỉ số 1
Trong phần này, ta xét phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ
số 1 với hệ số tuần hoàn chu kỳ T
A(t)x

(t)+B(t)x(t)=0,
trong đó A(t+T )=A(t),B(t+T)=B(t), với mọi t ∈ R. Vì phương trình
(1.3.1) có chỉ số 1 nên rankA(t) không đổi, vậy ta giả sử rankA(t)=r. Gọi
{n
r+1
(t), , n
m
(t)} là cơ sở của N(t) gồm các hàm khả vi liên tục, tuần
hoàn và gọi {s
1
(t), , s
r
(t)} là cơ sở của S(t) gồm các hàm liên tục, tuần
hoàn. Đặt V (t)=

s
1
(t) s
r
(t) n
r+1
(t) n

m
(t)

∈ L(R
m
). Khi
đó, P
can
(t)=V (t)

I
r
0
00

V
−1
(t). Chọn P (t) thoả mãn P (0) = P
can
(0)
thì ta có
X(t)=P
can
(t)U(t)P
can
(0) = V (t)

Z(t)0
00


V
−1
(0),
17
trong đó Z(t) không suy biến (do rankX(t)=r không đổi) và Z(0) = I
r
.
Vì Z(T) không suy biến nên tồn tại ma trận hằng
˜
R ∈ C
r×r
thoả mãn
Z(T )=e
T
˜
R
. Do đó, ta có
X(T )=V (T )

Z(T )0
00

V
−1
(0) = V (0)

e
T
˜
R

0
00

V
−1
(0),
X(T ) được gọi là ma trận đơn đạo của phương trình tuần hoàn (1.3.1).
Đặt
F (t)=V (t)

Z(t)e
−t
˜
R
0
0 I
m−r

= X(t)V (0)

e
−t
˜
R
0
00

+ V (t)

00

0 I
m−r

.
Dưới đây là hai định lý chính trong lý thuyết Floquet cho phương trình
vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 [36].
Định lý Floquet Ma trận nghiệm cơ bản của phương trình vi phân đại
số tuyến tính tuần hoàn chỉ số 1 (1.3.1) có thể viết dưới dạng
X(t)=F (t)

e
t
˜
R
0
00

[F (0)]
−1
với F ∈ C
1
N
(R,L(C
m
)) không suy biến, tuần hoàn chu kỳ T.
Định lý Lyapunov
i) Nếu hai phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 tương đương
thì các ma trận đơn đạo của chúng là tương đương và do đó nhân tử đặc
trưng của chúng trùng nhau.
ii) Nếu các ma trận đơn đạo của hai phương trình vi phân đại số tuyến

tính chỉ số 1 tương đương nhau thì hai phương trình vi phân đại số đó
tương đương nhau.
iii) Phương trình vi phân đại số tuyến tính tuần hoàn (1.3.1) có chỉ
số 1 tương đương với một phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng
Kronecker với hệ số hằng.
Bây giờ chúng ta quan tâm tới nội dung chính của chương này
là thiết lập lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính ẩn được trình bày
trong những phần tiếp theo.
18
1.4 PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1
Chúng ta mở đầu phần này bằng việc xây dựng khái niệm chỉ số
1 cho PTSP tuyến tính ẩn với hệ số biến thiên dạng
A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
= q
n
,n 0, (1.4.1)
trong đó A
n
∈ R
m×m
suy biến với mọi n, B
n
∈ R

m×m
, và x
n
,q
n
∈ R
m
.
1.4.1 Khái niệm chỉ số 1
Cho L là không gian con của R
m
với số chiều là k,0 <k<m.Khi
đó, ta có thể phát biểu tính chất sau cho một phép chiếu tuyến tính bất
kỳ Q lên L (Q là phép chiếu lên L nếu Q
2
= Q và imQ =L).
Mệnh đề 1.4.1 Mọi phép chiếu Q từ R
m
lên L luôn đưa được về phép
chiếu chính tắc từ R
m
lên không gian


0 0 a
1
a
k

T

∈ R
m

tức là tồn tại ma trận khả nghịch V ∈ R
m×m
thoả mãn
Q = V
˜
QV
−1
với
˜
Q =

O
m−k
O
(m−k)×k
O
k×(m−k)
I
k

.
Chứng minh. Ký hiệu {v
j
}
m−k
j=1
là một cơ sở của không gian kerQ,

{v
l
}
m
l=m−k+1
là một cơ sở của không gian L , {e
j
}
m
j=1
là cơ sở chính tắc
của R
m
, và V là ma trận tạo bởi các cột là các vectơ v
j
,j = 1,m.
Do V
−1
V = I nên V
−1
v
j
= e
j
với j = 1,m. Mặt khác
Qv
j
=




0 với j =
1,m− k
v
j
với j = m − k +1,m
nên
V
−1
Qv
j
=



V
−1
0=0 với j = 1,m−k
V
−1
v
j
= e
j
với j = m − k +1,m.
Vậy V
−1
QV =
˜
Q hay Q = V

˜
QV
−1
. Mệnh đề được chứng minh.
Bây giờ, chúng ta xét các không gian con k chiều L
α
và L
β
của R
m
với các phép chiếu Q
α
và Q
β
tương ứng lên L
α
và L
β
. Theo tính chất đã
nêu trong Mệnh đề 1.4.1, tồn tại V
α
,V
β
sao cho
Q
α
= V
α
˜
QV

−1
α
,Q
β
= V
β
˜
QV
−1
β
.
19
Do đó ta có thể thiết lập định nghĩa về toán tử nối và đưa ra một số
tính chất của nó. Toán tử nối là công cụ quan trọng giúp chúng tôi định
nghĩa PTSP ẩn tuyến tính chỉ số 1 đẹp hơn định nghĩa cũ [39], trên cơ sở
đó thiết lập định nghĩa chỉ số 1 cho PTSP ẩn tựa tuyến tính, phi tuyến.
Mệnh đề 1.4.2 Gọi toán tử Q
αβ
= V
α
˜
QV
−1
β
là toán tử nối giữa hai
không gian L
α
và L
β
(gọi tắt là toán tử nối). Khi đó toán tử nối thoả

mãn các tính chất sau:
Q
α
Q
αβ
= Q
αβ
= Q
αβ
Q
β
;(1.4.2)
Q
α
V
α
V
−1
β
= Q
αβ
= V
α
V
−1
β
Q
β
;(1.4.3)
Q

αβ
Q
βα
= Q
α
. (1.4.4)
Chứng minh. Từ định nghĩa toán tử nối và Mệnh đề 1.4.1 ta có
Q
α
Q
αβ
= V
α
˜
QV
−1
α
V
α
˜
QV
−1
β
= V
α
˜
QV
−1
β
= Q

αβ
;
Q
αβ
Q
β
= V
α
˜
QV
−1
β
V
β
˜
QV
−1
β
= V
α
˜
QV
−1
β
= Q
αβ
.
Vậy Q
α
Q

αβ
= Q
αβ
= Q
αβ
Q
β
. Đẳng thức (1.4.2) được chứng minh. Một
cách tương tự, ta có
Q
α
V
α
V
−1
β
= V
α
˜
QV
−1
α
V
α
V
−1
β
= V
α
˜

QV
−1
β
= Q
αβ
và
V
α
V
−1
β
Q
β
= V
α
V
−1
β
V
β
˜
QV
−1
β
= V
α
˜
QV
−1
β

= Q
αβ
.
Hơn nữa, vì
˜
Q
2
=
˜
Q nên
Q
αβ
Q
βα
= V
α
˜
QV
−1
β
V
β
˜
QV
−1
α
= V
α
˜
QV

−1
α
= Q
α
.
Vậy (1.4.3) và (1.4.4) được chứng minh.
Trở lại PTSP (1.4.1) với điều kiện 1  rankA
n
= r  m − 1
với mọi n  0. Ta có dim kerA
n
= m − r với mọi n  0. Với mỗi
n  0, gọi Q
n
là phép chiếu nào đó lên kerA
n
và một biểu diễn của nó là
Q
n
= V
n
˜
QV
−1
n
. Đặt P
n
= I−Q
n
. Khi đó, các toán tử Q

n−1,n
= V
n−1
˜
QV
−1
n
và G
n
:= A
n
+ B
n
Q
n−1,n
là các toán tử xác định với n  1. PTSP tuyến
tính ẩn chỉ số 1 được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.4.3 PTSP tuyến tính ẩn (1.4.1) được gọi là có chỉ số 1
nếu:
20
i/ rankA
n
= r, n  0;
ii/ S
n
∩ ker A
n−1
= {0}, ∀n  1, trong đó S
n
:= {ξ ∈ R

m
: B
n
ξ ∈ imA
n
}.
Ngoài ra, giả thiết rằng dim S
0
= r. Gọi A
−1
∈ R
m×m
là ma trận
thoả mãn điều kiện S
0
⊕ kerA
−1
= R
m
. Nếu cặp {A
0
,B
0
} có chỉ số 1
thì ta có thể lấy A
−1
= A
0
. Gọi Q
−1

là phép chiếu nào đó lên ker A
−1
và P
−1
= I − Q
−1
. Ta nhận thấy điều kiện ii/ trong Định nghĩa 1.4.3
bây giờ đúng với mọi n  0 và toán tử nối Q
n−1,n
cũng xác định với mọi
n  0. Dưới đây là vài ví dụ về PTSP ẩn tuyến tính chỉ số 1.
Ví dụ 1.4.1. Xét phương trình sai phân tuyến tính (1.4.1) với
A
n
=




000
2(n+1)
√
(n+1)
2
+1
(n+1)
2
−1
√
(n+1)

2
+1
0
0

(n +1)
2
+1 0




,
B
n
=
1

(n +1)
2
+1



101
010
000




.
Với mọi n  0, rankA
n
=2và ker A
n
= span


001

T

. Đồng thời,
S
n
= span


10−1

T

010

T

. Do đó, S
n
∩ kerA
n−1

= {0}. Vậy
phương trình (1.4.1) có chỉ số 1.
Ví dụ 1.4.2. Xét PTSP tuyến tính (1.4.1) với n  1,
A
n
=




0
√
2n(n+1)
2
√
n
2
+1
−
√
2n(n+1)
2
√
n
2
+1
0
√
2(n+1)
2

√
n
2
+1
−
√
2(n+1)
2
√
n
2
+1
n 00




,
B
n
=




3n
2
n
2
+1

−
√
2
2
√
n
2
+1
√
2(6n−1)
2
√
n
2
+1
3n
√
n
2
+1
3
√
2
2
√
n
2
+1
5
√

2
2
√
n
2
+1
n +1
√
2n(−2
√
n
2
+1)+3n+1
2
√
n
2
+1
−
√
2n(4
√
n
2
+1)+n−1
2
√
n
2
+1





.
Với mọi n  1, ta có rankA
n
=2và ker A
n
= span


011

T

.
Hơn nữa, do S
n
= span


0
n−1
n(3n+1)
1

T
,


1
6n−3
√
n
2
+1
(3n+1)
√
2(n
2
+1)
0

T

nên
21
S
n
∩ kerA
n−1
= {0}. Do đó phương trình có chỉ số 1.
Trong các ví dụ trên, ker A
n
không phụ thuộ c vào n. Dưới đây là
một ví dụ, trong đó ker A
n
thay đổi.
Ví dụ 1.4.3. Xét PTSP tuyến tính (1.4.1) với
A

n
=



n +1 0 −1
000
−(n +1) 0 1



,B
n
=



1 n 0
010
n 01



.
Dễ dàng thấy với mọi n  0, ta có 0 < rankA
n
=1< 3 và
ker A
n
= span



010

T
,

10n +1

T

,
S
n
= span


−10n +1

T

.
Ta tính được S
n
∩ker A
n−1
= {0}. Vậy PTSP (1.4.1) với A
n
,B
n

xác định
trên là PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1.
Theo [20, 21], PTSP ẩn tuyến tính với hệ số hằng
Ax
n+1
+ Bx
n
= q
có chỉ số 1 khi và chỉ khi ind{A, B} =1. Tương tự, theo [33], phương
trình vi phân đại số tuyến tính có chỉ số 1 khi và chỉ khi ind{A(t),B(t)} =
1 với mọi t. Trong khi đó, với PTSP ẩn tuyến tính với hệ số biến thiên
có chỉ số 1, cặp ma trận {A
n
,B
n
} có thể có chỉ số khác 1. Chẳng hạn,
xét phương trình (1.4.1) với
A
n
=

1 n +1
1 n +1

,B
n
=

10
0 −n − 1


.
Khi đó, ker A
n
= S
n
= span

(n +1 − 1)
T

nên ker A
n−1
∩ S
n
= {0},
phương trình (1.4.1) có chỉ số 1. Mặt khác, với mọi λ ∈ C, ta có
ˆ
A
n
=(λA
n
+ B
n
)
−1
A
n
=


1 n +1
−1/(n +1) −1

,
ˆ
A
2
n
= O.
Do đó, ker
ˆ
A
n
=ker
ˆ
A
2
n
hay ind{A
n
,B
n
} khác 1.
22
1.4.2 Các tính chất cơ bản của PTSP ẩn tuyến tính chỉ số 1
Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất cơ bản
của PTSP tuyến tính ẩn. Những tính chất này sẽ được sử dụng để thiết
lập những kết quả mới trong luận án.
Hai Mệnh đề 1.4.4 và 1.4.5 được thiết lập trong [39] cho trường
hợp Q

n
là phép chiếu trực giao. Dưới đây, chúng tôi sẽ đưa ra chứng
minh cho trường hợp Q
n
là phép chiếu bất kỳ.
Mệnh đề 1.4.4 Nếu ma trận G
n
= A
n
+ B
n
Q
n−1,n
là ma trận không
suy biến thì ta có các đẳng thức sau
(i)
A
n
P
n
= A
n
, (1.4.5)
(ii)
P
n
= G
−1
n
A

n
, (1.4.6)
(iii)
G
−1
n
B
n
Q
n−1,n
= Q
n
, (1.4.7)
P
n
G
−1
n
B
n
Q
n−1
=0,Q
n
G
−1
n
B
n
Q

n−1
= Q
n,n−1
.
Chứng minh. (i) Ta thấy, do Q
n
là phép chiếu lên ker A
n
nên Q
n
x ∈
ker A
n
với mọi x ∈ R
m
. Vì vậy, với mọi x ∈ R
m
,A
n
Q
n
x =0hay A
n
Q
n
=
0. Do đó A
n
= A
n

(P
n
+ Q
n
)=A
n
P
n
+ A
n
Q
n
= A
n
P
n
. Đẳng thức (1.4.5)
được chứng minh.
(ii) Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1.4.6) bằng cách tính ma trận
G
n
P
n
. Ta có:
G
n
P
n
=(A
n

+ B
n
Q
n−1,n
)P
n
= A
n
P
n
+ B
n
Q
n−1,n
P
n
= A
n
+ B
n
Q
n−1,n
Q
n
P
n
= A
n
.
Nhân G

−1
n
từ bên trái của đẳng thức vừa thu được, ta có đẳng thức
(1.4.6).
(iii) Tương tự, ta có
G
n
Q
n
=(A
n
+ B
n
Q
n−1,n
)Q
n
= B
n
Q
n−1,n
Q
n
= B
n
Q
n−1,n
.
Vậy Q
n

= G
−1
n
B
n
Q
n−1,n
. Từ đây suy ra P
n
G
−1
n
B
n
Q
n−1
= P
n
Q
n
Q
n,n−1
=
0, và Q
n
G
−1
n
B
n

Q
n−1
= Q
n
G
−1
n
B
n
Q
n−1,n
Q
n,n−1
= Q
n
Q
n
Q
n,n−1
= Q
n,n−1
.
Đẳng thức (1.4.7) được chứng minh.
23
Mệnh đề 1.4.5 Các khẳng định sau là tương đương.
i/ S
n
∩ ker A
n−1
= {0}.

ii/ Ma trận G
n
:= A
n
+ B
n
Q
n−1,n
không suy biến.
iii/ R
m
= S
n
⊕ ker A
n−1
.
Chứng minh. i/ ⇒ ii/. Do G
n
∈ R
m×m
nên G
n
khả nghịch khi và chỉ
khi G
n
là đơn ánh, tức là ker G
n
= {0}. Giả sử x ∈ ker G
n
. Khi đó,

0=G
n
x =(A
n
+ B
n
Q
n−1,n
)x = A
n
x + B
n
Q
n−1,n
x.
Do đó ta có B
n
Q
n−1,n
x = −A
n
x, nên Q
n−1,n
x ∈ S
n
. Mặt khác, Q
n−1,n
x =
Q
n−1

Q
n−1,n
x ∈ ker A
n−1
. Vậy Q
n−1,n
x ∈ S
n
∩ ker A
n−1
= {0}, hay
Q
n−1,n
x =0. Do đó
Q
n
x = Q
n,n−1
Q
n−1,n
x =0.
Hơn nữa, do x ∈ ker A
n
= imQ
n
nên x = Q
n
x =0. Vậy ker G
n
= {0}

hay G
n
không suy biến.
ii/ ⇒ i/. Giả sử x ∈ S
n
∩ ker A
n−1
. Khi đó, vì x ∈ ker A
n−1
=
imQ
n−1
cho nên tồn tại y ∈ R
m
,x= Q
n−1
y. Mặt khác, x ∈ S
n
tức là
tồn tại η ∈ R
m
thỏa mãn A
n
η = B
n
x = B
n
Q
n−1
y. Sử dụng giả thiết tồn

tại G
−1
n
, cùng với các tính chất nêu trong Mệnh đề 1.4.4 ta có
G
−1
n
A
n
η = G
−1
n
B
n
Q
n−1
y = G
−1
n
B
n
Q
n−1,n
Q
n,n−1
y
⇔ P
n
η = Q
n,n−1

y.
Tác động Q
n
từ bên trái hai vế của phương trình trên, ta thu được
Q
n,n−1
y =0. Vậy x = Q
n−1
y = Q
n−1,n
Q
n,n−1
y =0hay S
n
∩ ker A
n−1
=
{0}.
iii/ ⇒ i/. Hiển nhiên có được từ định nghĩa tổng trực tiếp hai
không gian.
i/ ⇒ iii/. Với mọi x ∈ R
m
, đặt v = Q
n−1,n
G
−1
n
B
n
x, u = x − v.

Ta có, v = Q
n−1,n
G
−1
n
B
n
x = Q
n−1
Q
n−1,n
G
−1
n
B
n
x ∈ ker A
n−1
. Hơn nữa,
B
n
u = B
n
(x − v)=B
n
x − B
n
Q
n−1,n
G

−1
n
B
n
x
=(I −B
n
Q
n−1,n
G
−1
n
)B
n
x =(G
n
− B
n
Q
n−1,n
)G
−1
n
B
n
x
= A
n
G
−1

n
B
n
x ∈ imA
n
.
Vậy u ∈ S
n
và do đó R
m
= S
n
⊕ker A
n−1
. Mệnh đề được chứng minh.
24
Hệ quả 1.4.6 Tính khả nghịch của ma trận G
n
= A
n
+ B
n
Q
n−1,n
không
phụ thuộc vào việc chọn các phép chiếu Q
n
,Q
n−1
.

Từ Mệnh đề 1.4.5 và Hệ quả 1.4.6, ta có thể chỉ ra một vài tính
chất của các phép chiếu lên ker A
n
, công cụ hữu hiệu giúp ta thu được
những kết quả chính trong chương này.
Mệnh đề 1.4.7 Giả sử PTSP ẩn tuyến tính (1.4.1) có chỉ số 1 và giả
sử Q
n−1
= V
n−1
˜
QV
−1
n−1
là phép chiếu nào đó lên ker A
n−1
(n  1). Khi đó:
i)
˜
Q
n−1
:= Q
n−1,n
G
−1
n
B
n
là phép chiếu chính tắc lên ker A
n−1

song song
với S
n
;
ii)
˜
Q
n−1
=
˜
V
n−1
˜
Q
˜
V
−1
n−1
, với
˜
V
n−1
=

s
1
n
, , s
r
n

,h
r+1
n−1
, , h
m
n−1

là ma trận có
các cột tương ứng là cơ sở của S
n
và ker A
n−1
, tức là S
n
= span

s
i
n

r
i=1

và ker A
n−1
= span


h
j

n−1

m
j=r+1

.
Chứng minh. i) Theo Mệnh đề 1.4.4, vì (1.4.1) có chỉ số 1 nên ma trận
G
n
và
˜
V
n−1
là các ma trận khả nghịch . Ta có
˜
Q
2
n−1
= Q
n−1,n
(G
−1
n
B
n
Q
n−1,n
)G
−1
n

B
n
= Q
n−1,n
G
−1
n
B
n
=
˜
Q
n−1.
Mặt khác,
˜
Q
n−1
= Q
n−1
Q
n−1,n
G
−1
n
B
n
, kéo theo im
˜
Q
n−1

⊂ imQ
n−1
=
ker A
n−1
. Tiếp theo, với mỗi x ∈ ker A
n−1
bất kỳ, ta luôn có x = Q
n−1
x,
do đó
˜
Q
n−1
x = Q
n−1,n
G
−1
n
B
n
Q
n−1
x = Q
n−1,n
(G
−1
n
B
n

Q
n−1,n
)Q
n,n−1
x
= Q
n−1
x = x,
hay ker A
n−1
⊂ im
˜
Q
n−1
. Vậy ker A
n−1
= im
˜
Q
n−1
. Ta có
x ∈ S
n
⇔ B
n
x = A
n
ξ ⇔ Q
n
G

−1
n
B
n
x = Q
n
G
−1
n
A
n
ξ
⇔ Q
n
G
−1
n
B
n
x =0⇔ V
n−1
V
−1
n
Q
n
G
−1
n
B

n
x =0
⇔ Q
n−1,n
G
−1
n
B
n
x =0,
hay là x ∈ S
n
khi và chỉ khi
˜
Q
n−1
x = Q
n−1,n
G
−1
n
B
n
x =0, tức là
ker
˜
Q
n−1
= S
n

.
ii) Do
˜
V
−1
n−1
˜
V
n−1
= I, nên
˜
V
−1
n−1
s
i
n
= e
i
,i = 1,r và
˜
V
−1
n−1
h
j
n−1
=
e
j

,j = r +1,m, với e
k
=(0, , 1, , 0)
T
,k = 1,m. Vậy ta có
˜
Q
n−1
s
i
n
=
˜
V
n−1
˜
Q
˜
V
−1
n−1
s
i
n
=
˜
V
n−1
˜
Qe

i
=0,i= 1,r
25
và với j = r +1,m, ta có
˜
Q
n−1
h
j
n−1
=
˜
V
n−1
˜
Q
˜
V
−1
n−1
h
j
n−1
=
˜
V
n−1
˜
Qe
j

=
˜
V
n−1
e
j
= h
j
n−1
.
Nói cách khác,
˜
Q
n−1
là phép chiếu chính tắc lên ker A
n−1
song song với
S
n
. Do chỉ có duy nhất phép chiếu lên ker A
n−1
song song với S
n
nên
theo i/, ta có
˜
Q
n−1
=
˜

V
n−1
˜
Q
˜
V
−1
n−1
. Mệnh đề 1.4.7 được chứng minh.
Tính chất cuối cùng mà chúng ta sẽ đề cập đến trong phần này là
sự bất biến của tính chất chỉ số 1 của PTSP tuyến tính ẩn qua cặp biến
đổi tuyến tính không suy biến (E
n
,F
n
).
Định nghĩa 1.4.8 Hai PTSP ẩn tuyến tính
A
n
x
n+1
+ B
n
x
n
= q
n
và
¯
A

n
¯x
n+1
+
¯
B
n
¯x
n
=¯q
n
được gọi là tương đương nếu tồn tại hai họ các ma trận khả nghịch
{E
n
}
n0
và {F
n
}
n−1
thỏa mãn
¯
A
n
= E
n
A
n
F
n

;
¯
B
n
= E
n
B
n
F
n−1
;¯q
n
= E
n
q
n
.
Khi đó, E
n
được gọi là ma trận tỷ lệ và F
n
là ma trận của phép đổi biến
x
n
= F
n−1
¯x
n
.
Mệnh đề 1.4.9 Hai PTSP ẩn tuyến tính tương đương đồng thời có hoặc

không có tính chất chỉ số 1.
Chứng minh. Do E
n
và F
n
là các song ánh tuyến tính nên
rankA
n
= dim(imA
n
)=dim(imA
n
F
n
)=dim(imE
n
A
n
F
n
)
= dim(im
¯
A
n
)=rank
¯
A
n
.

Vì PTSP (1.4.1) có chỉ số 1 nên S
n
∩ ker A
n−1
= {0}, do đó
F
−1
n−1
(S
n
∩ ker A
n−1
)=F
−1
n−1
({0})={0}.
Mặt khác,
F
−1
n−1
(S
n
∩ ker A
n−1
)=F
−1
n−1
(S
n
) ∩ F

−1
n−1
(ker A
n−1
)=
¯
S
n
∩ ker
¯
A
n−1
cho nên
¯
S
n
∩ ker
¯
A
n−1
= {0} hay (1.4.8) là phương trình có chỉ số 1.
Mệnh đề được chứng minh.
26
1.5 Lý thuyết Floquet
1.5.1 Định lý Kronecker
Xét PTSP tuyến tính ẩn (1.4.1) và giả sử rằng nó có chỉ số 1.
Trong phần này chúng ta sẽ tìm cách xây dựng cặp biến đổi tuyến tính
không suy biến E
n
và F

n
để đưa phương trình (1.4.1) về dạng đơn giản
dễ giải hơn.
Định lý 1.5.1 Mọi PTSP tuyến tính chỉ số 1 đều có thể đưa được về
dạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass

I
r
O
r×(m−r)
O
(m−r)×r
O
m−r

¯x
n+1
+

W
n
O
r×(m−r)
O
(m−r)×r
I
m−r

¯x
n

=¯q
n
. (1.5.1)
Chứng minh. Giả sử phương trình (1.4.1) có chỉ số 1. Theo định nghĩa,
ta có S
n
∩ ker A
n−1
= {0} với S
n
= {ξ|B
n
ξ ∈ ker A
n
}. Theo Mệnh đề
1.4.5 và Hệ quả 1.4.6, điều này tương đương với
˜
G
n
:= A
n
˜
V
n
+ B
n
˜
V
n−1
˜

Q
không suy biến.
Do đó, ta có thể chọn ma trận tỷ lệ E
n
=
˜
G
−1
n
và phép đổi biến
F
n
=
˜
V
n
. Khi đó, theo Mệnh đề 1.4.9, phương trình (1.4.1) được biến đổi
tương đương về phương trình
¯
A
n
¯x
n+1
+
¯
B
n
¯x
n
=¯q

n
, với
¯
A
n
=
˜
G
−1
n
A
n
˜
V
n
và
¯
B
n
=
˜
G
−1
n
B
n
˜
V
n−1
. Ta có

˜
G
n
˜
Q = A
n
˜
V
n
˜
Q + B
n
˜
V
n−1
˜
Q = A
n
˜
Q
n
˜
V
n
+
B
n
˜
V
n−1

˜
Q = B
n
˜
V
n−1
˜
Q. Do đó
˜
G
−1
n
B
n
˜
V
n−1
˜
Q =
˜
Q. Một cách tương tự, do
˜
G
n
˜
P = A
n
˜
V
n

˜
P + B
n
˜
V
n−1
˜
Q
˜
P = A
n
˜
V
n
, cho nên
˜
G
−1
n
A
n
˜
V
n
=
˜
P. Vậy
¯
A
n

=
˜
G
−1
n
A
n
˜
V
n
=
˜
P =

I
r
O
r×(m−r)
O
(m−r)×r
O
m−r

.
Ta lại có
¯
B
n
˜
Q =

˜
G
−1
n
B
n
˜
V
n−1
˜
Q =
˜
Q nên
¯
B
n
˜
Q =
˜
Q. (1.5.2)
Mặt khác, nếu z ∈ im
˜
Q thì z =
˜
Qz và
˜
Q
¯
B
n

z =
˜
Q(
˜
G
−1
n
B
n
˜
V
n−1
˜
Q)z =
˜
Qz = z.
Tương tự, với mọi z ∈ im
˜
P, ta có z =
˜
Pz. Do đó,
˜
V
n−1
z =
˜
V
n−1
˜
Pz =

˜
P
n−1
˜
V
n−1
z ∈ S
n
. Suy ra B
n
˜
V
n−1
z = A
n
ζ với ζ ∈ R
m
nào đó. Hơn nữa,
˜
Q
¯
B
n
z =
˜
Q
˜
G
−1
n

B
n
˜
V
n−1
z =
˜
Q
˜
G
−1
n
A
n
ζ =
˜
Q
˜
P
˜
V
−1
n
ζ =0.
27