Tính chất bóng của phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRẦN THỊ BÍCH THỤC
TÍNH CHẤT BÓNG
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2013
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRẦN THỊ BÍCH THỤC
TÍNH CHẤT BÓNG
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ HUY TIỄN
Hà Nội - 2013
Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
1 Tập hyperbolic của phương trình vi phân thường 1
1.1 Định nghĩa tập hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Tính bị chặn đều của các phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Tính liên tục của phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Nhị phân mũ của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Vài tính chất của nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3 Liên hệ nhị phân mũ và tập hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.4 Tính vững của nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Tính co giãn của tập hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6 Tính vững của tập hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Các định lý về tính bóng của tập hyperbolic 46
2.1 Định lý về tính bóng rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Định lý về tính bóng liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Tài liệu tham khảo 69
i
Lời cảm ơn
Để hoàn thành được chương trình đào tạo và hoàn thiện luận văn này, trong thời
gian vừa qua tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quí báu của gia đình, thầy cô và
bạn bè. Vì vậy, nhân dịp này, tôi muốn được gửi lời cảm ơn tới mọi người.
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Huy Tiễn, thầy đã rất
nhiệt tình hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong quá trình hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin
gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các thầy cô trong Khoa, những người đã trực tiếp
truyền thụ kiến thức, giảng dạy tôi trong quá trình học cao học.
Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại học Trường
Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện các thủ tục
bảo vệ luận văn.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình tôi, những người luôn động viên và ủng hộ tôi.
ii
Lời nói đầu
Tính chất bóng có nguồn gốc từ việc giải số phương trình vi phân/sai phân. Tính
chất bóng có nghĩa là tồn tại một quỹ đạo gần một giả quỹ đạo cho trước. Tính bóng
được nghiên cứu bởi Anosov, Bowen, Sinai - những người đầu tiên nhận ra rằng nó
liên quan đến bài toán ổn định toàn cục của hệ động lực.
Trước đây, Anosov, Bowen, Sinai đều dùng phương pháp hình học để nghiên cứu
tính bóng. Sau này, Palmer đã dùng cách tiếp cận giải tích cho tính bóng thông qua
lý thuyết nhị phân mũ của phương trình vi phân.
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính bóng của hệ động lực trong lân
cận của tập hyperbolic từ cuốn sách "Shadowing in Dynamical Systems Theory and

Applications" của Ken Palmer năm 2000. Chúng tôi đơn giản hóa chứng minh của
Palmer.
Luân văn được cấu trúc như sau:
Chương 1 trình bày các kết quả về tập bất biến hyperbolic cho phương trình vi
phân thường. Chương này cũng nhắc lại khái niệm nhị phân mũ và chứng minh vài
tính chất cơ bản (tính vững, tính co giãn) dùng làm công cụ chứng minh các định lý
chính.
Chương 2 là kết quả chính của luận văn, gồm Định lý tính bóng rời rạc và Định lý
tính bóng liên tục. Cuối cùng là một số bình luận về các hướng nghiên cứu tiếp theo
và danh mục tài liệu tham khảo.
Do thời gian có hạn, luận văn có thể không tránh khỏi thiếu sót. Chúng tôi mong
nhận được ý kiến đóng góp để luận văn hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2013
Trần Thị Bích Thục
iii
Chương 1
Tập hyperbolic của phương trình vi
phân thường
1.1 Định nghĩa tập hyperbolic
Cho U là một tập con mở của R
n
và F : U → R
n
là trường vectơ lớp C
1
. Khi đó
với mỗi cặp (τ, ξ) ∈ R × U thì bài toán giá trị ban đầu
˙x = F (x), x(τ) = ξ (1.1)
có duy nhất một nghiệm xác định trên khoảng mở cực đại I(τ, ξ) ⊂ R. Ta đặt
O = {(t, τ, ξ) : τ ∈ R, ξ ∈ U, t ∈ I(τ, ξ)}

thì O là tập mở và nếu ta xác định Φ : O → R
n
bởi
Φ(t, τ, ξ) = x(t),
trong đó x(t) là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.1) thì Φ là hàm thuộc lớp C
1
(C
r
nếu F là C
r
), do tính duy nhất nghiệm ta có tính chất
Φ(t, s, Φ(s, τ, ξ)) = Φ(t, τ, ξ)
và do F độc lập với thời gian, các tính chất
Φ(t, τ, ξ) = Φ(t − τ, 0, ξ), I(τ, ξ) = τ + I(0, ξ)
đúng trong miền xác định tương ứng. Ký hiệu
φ(t, ξ) = φ
t
(ξ) = Φ(t, 0, ξ)(= Φ(0, −t, ξ)).
Ta gọi φ là dòng của phương trình (1.1).
1
Xét phương trình vi phân thường ôtônôm sau
˙x = F (x), (1.2)
trong đó F : U → R
n
là trường vectơ lớp C
1
, ký hiệu φ là dòng tương ứng. Ta có định
nghĩa sau.
Định nghĩa 1.1. Một tập compact S ⊂ U được gọi là hyperbolic của phương trình
(1.2) nếu

(i) F(x) = 0 với mọi x ∈ S;
(ii) S là bất biến, tức là, φ
t
(S) = S với mọi t;
(iii) có một phân tích liên tục
R
n
= E
0
(x) ⊕ E
s
(x) ⊕ E
u
(x) với mọi x ∈ S (1.3)
với E
0
(x) = span{F (x)} và dim E
s
(x), dim E
u
(x) không đổi, sao cho với mọi t và với
mọi x thuộc S
Dφ
t
(x)(E
s
(x)) = E
s
(φ
t

(x)), Dφ
t
(x)(E
u
(x)) = E
u
(φ
t
(x)),
và có các hằng số dương K, α có tính chất với mọi t ≥ 0 và x thuộc S thì
Dφ
t
(x)ξ ≤ Ke
−αt
ξ với ξ ∈ E
s
(x), (1.4)
Dφ
−t
(x)ξ ≤ Ke
−αt
ξ với ξ ∈ E
u
(x). (1.5)
Gọi P
0
(x), P
s
(x) và P
u

(x), với x ∈ S, là các phép chiếu tương ứng với tập hyperbolic
S. Phân tích liên tục trong định nghĩa trên hiểu theo nghĩa ánh xạ x → P
0
(x),
x → P
s
(x), x → P
u
(x) là liên tục. Điều kiện về tính liên tục của phân tích có thể được
suy ra từ các điều kiện khác (như vậy có thể bỏ qua gỉả thiết về tính liên tục của phân
tích).
Ví dụ 1.1. Hệ vi phân hai chiều

x

= x(1 − x
2
− y
2
) − y
y

= y(1 − x
2
− y
2
) + x
có thể biến đổi về dạng toạ độ cực (r, ϕ) như sau

r


=
1
r
(xx

+ yy

) = r(1 − r
2
)
ϕ

=
1
r
2
(xy

− yx

) =
1
r
2
(x
2
+ y
2
) = 1.

Khi đó, đường tròn r = 1 hay S = {(x, y) : x
2
+y
2
= 1} là quỹ đạo tuần hoàn hyperbolic
(xem [3], trang 144-145).
2
1.2 Tính bị chặn đều của các phép chiếu
Xét các phép chiếu P
0
(x), P
s
(x), P
u
(x) tương ứng trong khai triển (1.3). Trong
phần này ta chứng minh các phép chiếu là bị chặn đều.
Mệnh đề 1.1. Gọi P
0
(x), P
s
(x) và P
u
(x), với x ∈ S, là các phép chiếu tương ứng với
tập hyperbolic S. Khi đó chúng bị chặn đều, tức là
sup
x∈S
{P
0
(x), P
s

(x), P
u
(x)} ≤ M < +∞.
Chứng minh. Xét các vectơ khác không v ∈ E
0
(x), ξ ∈ E
s
(x), η ∈ E
u
(x) và đặt
x
0
(t) = Dφ
t
(x)v, x
s
(t) = Dφ
t
(x)ξ, x
u
(t) = Dφ
t
(x)η
với x ∈ S. Chú ý rằng v = αF (x) với α là số thực nào đó và vì vậy
x
0
(t) = αF (φ
t
(x)).
Do đó với mọi t thì

M
−1
0
∆v ≤ x
0
(t) ≤ M
0
∆
−1
v
với M
0
= sup
x∈S
F (x), ∆ = inf
x∈S
F (x). (1.6)
Ta chọn số dương T sao cho
σ =
∆e
αT
M
0
K
> 1.
Khi đó





x
0
(T )
v
+
x
s
(T )
ξ




=
x
s
(T )
ξ




ξ
x
s
(T )
x
0
(T )
v

+
x
s
(T )
x
s
(T )




≥
x
s
(T )
ξ

ξ
x
s
(T )
x
0
(T )
v
−
x
s
(T )
x

s
(T )

=
x
s
(T )
ξ

ξ
x
s
(T )
x
0
(T )
v
− 1

≥ e
−M
1
T

∆e
αT
M
0
K
− 1


= (σ − 1)e
−M
1
T
với
M
1
= sup
x∈S
DF(x).
3
Mặt khác,




x
0
(T )
v
+
x
s
(T )
ξ





=




Dφ
T
(x)

v
v
+
ξ
ξ





≤ e
M
1
T




v
v
+

ξ
ξ




.
Do đó




v
v
+
ξ
ξ




≥ (σ − 1)e
−2M
1
T
.
Từ bất đẳng thức
ξ





v
v
+
ξ
ξ




≤ 2  ξ + v ,
ta có
ξ(σ − 1)e
−2M
1
T
≤ 2ξ + v
ξ ≤
2e
2M
1
T
σ − 1
 ξ + v  .
Từ đó ta suy ra
max {v, ξ} ≤
2e
2M
1

T
σ − 1
 ξ + v 
nên
v
ξ + v
≤
2e
2M
1
T
σ − 1
và
ξ
ξ + v
≤
2e
2M
1
T
σ − 1
. (1.7)
Tương tự xét




x
0
(T )

v
+
x
u
(T )
η




=
x
0
(T )
v




v
x
0
(T )
x
0
uT )
ξ
+
x
0

(T )
x
0
(T )




≥
x
0
(T )
v

v
x
0
(T )
x
u
(T )
ξ
−
x
0
(T )
x
0
(T )


=
x
0
(T )
v

v
x
0
(T )
x
u
(T )
 η 
− 1

≥ e
−M
1
T

∆e
αT
M
0
K
− 1

= (σ − 1)e
−M

1
T
.
Mặt khác




x
0
(T )
v
+
x
u
(T )
η




=




Dφ
T
(x)


v
v
+
η
η





≤ e
M
1
T




v
v
+
η
η




và
η ≤
2e

2M
1
T
σ − 1
η + v.
4
Từ đó suy ra
max{v, η} ≤
2e
2M
1
T
σ − 1
η + v.
Do tính bất biến, với mọi t ta có
max

x
0
(t), x
u
(t) 

≤
2e
2M
1
T
σ − 1
x

0
(t) + x
u
(t)
nên
x
0
(t)
x
0
(t) + x
u
(t)
≤
2e
2M
1
T
σ − 1
và
x
u
(t)
x
0
(t) + x
u
(t)
≤
2e

2M
1
T
σ − 1
. (1.8)
Tiếp theo ta nhận thấy rằng với t ≥ 0 thì
ξ
x
s
(t)
x
0
(t) + x
u
(t)
v + ξ
≥
e
αt
K
x
0
(t) + x
u
(t)
v + η
≥
e
αt
K

x
0
(t) + x
u
(t)
M
0
∆
−1
x
0
(t) + Ke
−αt
x
u
(t)
=
e
αt
K
1
M
0
∆
−1
x
0
(t)
x
0

(t)+x
u
(t)
+ Ke
−αt
x
u
(t)
x
0
(t)+x
u
(t)
≥
e
αt
K
σ − 1
(M
0
∆
−1
+ Ke
−αt
)2e
2M
1
T
do (1.8).
Ta chọn số dương T

1
sao cho
σ
1
=
e
αT
1
K
σ − 1
(M
0
∆
−1
+ Ke
−αT
1
)2e
2M
1
T
> 1. (1.9)
Sau đó, sử dụng




x
s
(T

1
)
ξ
+
x
0
(T
1
) + x
u
(T
1
)
v + η




và theo trên, ta suy ra
ξ ≤
2e
2M
1
T
1
σ − 1
v + η + ξ.
Do P
s
(x)(v + η + ξ) = ξ, nên

P
s
(x) ≤
2e
2M
1
T
1
σ − 1
,
suy ra P
s
(x) bị chặn đều.
Ta lại nhận thấy với t ≥ 0 thì
x
u
(t)
η
v + ξ
x
0
(t) + x
s
(t)
≥
e
αt
K
v + ξ
x

0
(t) + x
s
(t)
≥
e
αt
K
v + ξ
M
0
∆
−1
v + Ke
−αt
ξ
=
e
αt
K
1
M
0
∆
−1
v
v+ξ
+ Ke
−αt
ξ

v+ξ
≥
e
αt
K
σ − 1
(M
0
∆
−1
+ Ke
−αt
)2e
2M
1
T
do (1.7).
5
Chọn T
1
và σ
1
> 1 như (1.9).
Sau đó, sử dụng




x
0

(T
1
) + x
s
(T
1
)
v + ξ
+
x
u
(T
1
)
η




và theo trên, ta suy ra
η ≤
2e
2M
1
T
1
σ − 1
v + η + ξ.
Do P
u

(x)(v + η + ξ) = η, nên
P
u
(x) ≤
2e
2M
1
T
1
σ − 1
,
suy ra P
u
(x) bị chặn đều.
Lại có P
0
(x) = I − P
s
(x) − P
u
(x) nên suy ra P
0
(x) cũng bị chặn đều.
1.3 Tính liên tục của phép chiếu
Mệnh đề 1.2. Gọi P
0
(x), P
s
(x) và P
u

(x), với x ∈ S, là các phép chiếu tương ứng với
tập hyperbolic S. Khi đó chúng liên tục theo x.
Chứng minh. Từ Mệnh đề 1.1 suy ra tồn tại các hằng số M
0
, M
s
và M
u
sao cho
M
0
= sup
x∈S
P
0
(x), M
s
= sup
x∈S
P
s
(x) và M
u
= sup
x∈S
P
u
(x).
Chọn hằng số M = max{M
0

, M
s
, M
u
} thì với mọi x ∈ S ta có
P
0
(x) ≤ M, P
s
(x) ≤ M, P
u
(x) ≤ M.
Từ (1.4) và (1.5) trong định nghĩa tập hyperbolic và hơn nữa ta có
Dφ
t
(x)F (x) = F(φ
t
(x)),
suy ra với x ∈ S
Dφ
t
(x)P
0
(x) ≤ Dφ
t
(x)|
E
0
(x)
P

0
(x).
Mặt khác, từ (1.6) ta có
Dφ
t
(x)v ≤ M
0
∆
−1
v với v ∈ E
0
(x)
nên
Dφ
t
(x)|
E
0
(x)
 ≤ M
0
∆
−1
.
6
Ta suy ra được
Dφ
t
(x)P
0

(x) ≤ M
0
∆
−1
M với mọi t, (1.10)
Dφ
t
(x)P
s
(x) ≤ KMe
−αt
với t ≥ 0 (1.11)
và
Dφ
t
(x)P
u
(x) ≤ KMe
−αt
với t ≥ 0, (1.12)
trong đó M
0
và ∆ như trong biểu thức (1.6). Chú ý từ tính bất biến của khai triển
(1.3) ta luôn có tính bất biến sau
Dφ
t
(x)P (x) = P (φ
t
(x))Dφ
t

(x) (1.13)
với P (x) = P
0
(x), P
s
(x) hoặc P
u
(x).
Để chứng minh các phép chiếu liên tục, ta xét hai nghiệm x(t), y(t) của phương
trình (1.2) trong S sao cho có số dương δ và T để
DF(y(t)) − DF (x(t)) ≤ δ (1.14)
với 0 ≤ t ≤ T . Chú ý rằng ma trận hàm số
U(t) = Dφ
t−T
(y(T ))[P
0
(y(T )) + P
u
(y(T ))]
là một nghiệm của phương trình
˙
U = DF (x(t))U + B(t)U,
với
B(t) = DF (y(t)) − DF (x(t)). (1.15)
Suy ra
U(T ) = P
0
(y(T ) + P
u
(y(T ))

và
U(0) = Dφ
−T
(y(T ))[P
0
(y(T )) + P
u
(y(T )].
Do đó, theo công thức biến thiên hằng số, ta có
U(t) = Dφ
t
(x(0))U(0) +

t
0
Dφ
t−s
(x(s))B(s)U(s)ds.
Cho t = T , ta suy ra
U(T ) = P
0
(y(T )) + P
u
(y(T ))
= Dφ
T
(x(0))Dφ
−T
(y(T ))[P
0

(y(T )) + P
u
(y(T ))]
+

T
0
Dφ
T −t
(x(t))B(t)Dφ
t−T
(y(T ))[P
0
(y(T )) + P
u
(y(T ))]dt.
7
Nhân hai vế với P
s
(x(T )) rồi sử dụng tính bất biến (1.13), ta có
P
s
(x(T ))[P
0
(y(T )) + P
u
(y(T ))]
= P
s
(x(T ))Dφ

T
(x(0))Dφ
−T
(y(T ))[P
0
(y(T )) + P
u
(y(T ))]
+ P
s
(x(T ))

T
0
Dφ
T −t
(x(t))B(t)Dφ
t−T
(y(T ))[P
0
(y(T )) + P
u
(y(T ))]dt
= Dφ
T
(x(0))P
s
(x(0))Dφ
−T
(y(T ))[P

0
(y(T )) + P
u
(y(T ))]
+

T
0
Dφ
T −t
(x(t))P
s
(x(t))B(t)Dφ
t−T
(y(T ))[P
0
(y(T )) + P
u
(y(T ))]dt.
Do
P
s
(x(T ))[P
0
(y(T )) + P
u
(y(T ))] = P
s
(x(T ))[I − P
s

(y(T ))]
nên áp dụng các biểu thức (1.10), (1.11) và (1.12), ta được
P
s
(x(T ))[I − P
s
(y(T ))] ≤ KM
2
e
−αT
[M
0
∆
−1
+ K]
+

T
0
KM
2
e
−α(T −t)
δ[M
0
∆
−1
+ K]dt.
Nếu bất đẳng thức (1.14) xảy ra với 0 ≤ t ≤ T thì
P

s
(x(T ))[I − P
s
(y(T ))] ≤ KM
2
[M
0
∆
−1
+ K](e
−αT
+ α
−1
δ). (1.16)
Nếu ta đặt
U(t) = Dφ
t
(y(0))P
s
(y(0)),
cũng dùng công thức biến thiên hằng số, ta được
U(0) = Dφ
−T
(x(T ))U(T ) −

T
0
Dφ
−t
(x(t))B(t)U(t)dt,

với B(t) như trong biểu thức (1.15). Do đó
U(0) = P
s
(y(0)) = Dφ
−T
(x(T ))Dφ
T
(y(0))(P
s
(y(0))
−

T
0
Dφ
−t
(x(t))B(t)Dφ
t
(y(0))P
s
(y(0))dt.
Tiếp tục áp dụng tính bất biến (1.13), ta có
[P
0
(x(0)) + P
u
(x(0))]P
s
(y(0))
= Dφ

−T
(x(T )[P
0
(x(T )) + P
u
(x(T ))]Dφ
T
(y(0))P
s
(y(0))
−

T
0
Dφ
−t
(x(t))[P
0
(x(t)) + P
u
(x(t))]B(t)Dφ
t
(y(0))P
s
(y(0))dt
8
và do [P
0
(x(0)) + P
u

(x(0))]P
s
(y(0)) = [I − P
s
(x(0))]P
s
(y(0)) nên áp dụng các biểu
thức (1.10), (1.11) và (1.12), ta được
[I − P
s
(x(0))]P
s
(y(0)) ≤ KM
2
e
−αT
[M
0
∆
−1
+ K]
+

T
0
KM
2
e
−αt
δ[M

0
∆
−1
+ K]dt.
Do đó, nếu bất đẳng thức (1.14) thỏa mãn với 0 ≤ t ≤ T thì
[I − P
s
(x(0))]P
s
(y(0)) ≤ KM
2
[M
0
∆
−1
+K](e
−αT
+ α
−1
δ). (1.17)
Từ (1.16) và (1.17) ta suy ra rằng nếu x(t) và y(t) là hai nghiệm trong S thỏa mãn
bất đẳng thức (1.14) với −T ≤ t ≤ T thì
P
s
(y(0)) − P
s
(x(0)) = [I − P
s
(x(0))]P
s

(y(0)) − P
s
(x(0))[I − P
s
(y(0))]
≤ [I − P
s
(x(0))]P
s
(y(0)) + P
s
(x(0))[I − P
s
(y(0))]
≤ 2KM
2
[M
0
∆
−1
+ K](e
−αT
+ α
−1
δ), (1.18)
ở đây ta áp dụng bất đẳng thức (1.16) với đoạn [−T, 0] và (1.17) với đoạn [0, T ].
Tiếp theo ta chứng minh bất đẳng thức tương tự cho P
u
. Ta xét hai nghiệm x(t)
và y(t) trong S thỏa mãn bất đẳng thức (1.14) với 0 ≤ t ≤ T . Trước hết ta xét

U(t) = Dφ
t
(y(0))[P
0
(y(0)) + P
s
(y(0))],
khi đó
U(0) = P
0
(y(0)) + P
s
(y(0))
và
U(T ) = Dφ
T
(y(0))[P
0
(y(0)) + P
s
(y(0))].
Theo công thức biến thiên hằng số, ta có
U(0) = Dφ
−T
(x(T ))U(T ) −

T
0
Dφ
−t

(x(t))B(t)U(t)dt,
với B(t) như trong biểu thức (1.15). Nhân hai vế với P
u
(x(0)) rồi sử dụng tính bất
biến (1.13), ta có
P
u
(x(0))[P
0
(y(0)) + P
s
(y(0))] =
= P
u
(x(0))Dφ
−T
(x(T ))U(T ) − P
u
(x(0))

T
0
Dφ
−t
(x(t))B(t)U(t)dt
= Dφ
−T
(x(T ))P
u
(x(T ))Dφ

T
(y(0))[P
0
(y(0)) + P
s
(y(0))]
−

T
0
Dφ
−t
(x(t))P
u
(x(t))B(t)Dφ
t
(y(0))[P
0
(y(0)) + P
s
(y(0))]dt.
9
Do P
u
(x(0))[P
0
(y(0)) + P
s
(y(0))] = P
u

(x(0))[I − P
u
(y(0))] nên áp dụng các biểu thức
(1.10), (1.11) và (1.12), ta được
P
u
(x(0))[I − P
u
(y(0))] ≤ KM
2
e
−αT
[M
0
∆
−1
+K]
+

T
0
KM
2
e
−αt
δ[M
0
∆
−1
+ K]dt.

Nếu bất đẳng thức (1.14) xảy ra với 0 ≤ t ≤ T thì
P
u
(x(0))[I − P
u
(y(0))] ≤ KM
2
[M
0
∆
−1
+ K](e
−αT
+α
−1
δ). (1.19)
Tiếp theo đặt
U(t) = Dφ
t−T
(y(T ))P
u
(y(T ))
khi đó
U(T ) = P
u
(y(T ))
và
U(0) = Dφ
−T
(y(T ))P

u
(y(T )).
Theo công thức biến thiên hằng số, ta được
U(T ) = Dφ
T
(x(0))U(0) +

T
0
Dφ
T −t
(x(t))B(t)U(t)dt.
Nhân hai vế với P
0
(x(T )) + P
s
(x(T )) rồi sử dụng tính bất biến (1.13), ta có
[P
0
(x(T )) + P
s
(x(T ))]P
u
(y(T ))
= [P
0
(x(T )) + P
s
(x(T ))]Dφ
T

(x(0))U(0)
+ [P
0
(x(T )) + P
s
(x(T ))]

T
0
Dφ
T −t
(x(t))B(t)U(t)dt
= Dφ
T
(x(0))[P
0
(x(0)) + P
s
(x(0))]Dφ
−T
(y(T ))P
u
(y(T ))
+

T
0
Dφ
T −t
(x(t))[P

0
(x(t)) + P
s
(x(t))]B(t)Dφ
t−T
(y(T ))P
u
(y(T ))dt.
Do [P
0
(x(T )) + P
s
(x(T ))]P
u
(y(T )) = [I − P
u
(x(T ))]P
u
(y(T )) nên áp dụng các biểu
thức (1.10), (1.11) và (1.12), ta được
[I − P
u
(x(T ))]P
u
(y(T ))
≤KM
2
e
−αT
[M

0
∆
−1
+ K]
+

T
0
KM
2
e
−α(T −t)
δ[M
0
∆
−1
+ K]dt
≤ KM
2
(M
0
∆
−1
+ K)(e
−αT
+ α
−1
δ).
(1.20)
10

Cho x(t) và y(t) là hai nghiệm trong S thỏa mãn bất đẳng thức (1.14) với −T ≤
t ≤ T . Khi đó,áp dụng bất đẳng thức (1.19) với đoạn [0, T ] và (1.20) với đoạn [−T, 0],
ta có
P
u
(y(0)) − P
s
(x(0)) = [I − P
u
(x(T ))]P
u
(y(0)) − P
u
(x(0))[I − P
u
(y(0))]
≤ [I − P
u
(x(0))]P
u
(y(0)) + P
u
(x(0))[I − P
u
(y(0))]
≤ 2KM
2
[M
0
∆

−1
+ K](e
−αT
+ α
−1
δ). (1.21)
Để hoàn thiện chứng minh tính liên tục của P
s
và P
u
, cho trước một hằng số dương
ε. Xét T > 0 thỏa mãn
4KM
2
(M
0
∆
−1
+ K)e
−αT
≤ ε
và chọn δ > 0 sao cho
4KM
2
(M
0
∆
−1
+ K)α
−1

δ ≤ ε.
Sau đó chọn δ
1
> 0 sao cho
DF(φ
t
(y)) − DF (φ
t
(x)) ≤ δ
nếu x, y ∈ S, −T ≤ t ≤ T và x − y ≤ δ
1
.
Khi đó nếu x, y ∈ S và x − y ≤ δ
1
thì từ (1.18) và (1.21) với x(t) = φ
t
(x) và
y(t) = φ
t
(y) ta suy ra rằng
P
s
(y) − P
s
(x) ≤ ε, P
u
(y) − P
u
(x) ≤ ε.
Do đó cả P

s
, P
u
đều liên tục trên S và do P
0
= I − P
s
− P
u
nên P
0
cũng liên tục trên
S.
1.4 Nhị phân mũ của phương trình vi phân
1.4.1 Định nghĩa
Xét phương trình vi phân tuyến tính
˙x = A(t)x. (1.22)
Khi đó hệ n nghiệm độc lập tuyến tính x
1
(t), x
2
(t), , x
n
(t) của phương trình (1.22)
được gọi là hệ nghiệm cơ bản của nó. Ký hiệu X(t) = [x
1
(t) x
2
(t) x
n

(t)] và gọi là ma
trận cơ bản của phương trình (1.22).
11
Định nghĩa 1.2. Cho A(t) là ma trận cấp n × n liên tục trên đoạn J. Khi đó phương
trình vi phân tuyến tính (1.22) được gọi là có nhị phân mũ trên J nếu có các phép
chiếu P(t), t ∈ J và các hằng số dương K, α sao cho
X(t)X
−1
(s)P (s) = P (t)X(t)X
−1
(s) với t, s ∈ J, (1.23)
X(t)X
−1
(s)P (s) ≤ Ke
−α(t−s)
với t, s ∈ J và t ≥ s (1.24)
và
X(t)X
−1
(s)[I − P (s)] ≤ Ke
−α(s−t)
với t, s ∈ J và t ≤ s. (1.25)
Chú ý rằng K được gọi là hằng số nhị phân và α được gọi là số mũ nhị phân.
Khi A(t) là ma trận hằng (A(t) = A với mọi t) thì tính nhị phân mũ của hệ tương
đương với điều kiện phổ của A không giao trục ảo
σ(A) ∩ iR = ∅.
Sau đây là ví dụ về hệ không otonom có nhị phân mũ.
Ví dụ 1.2.




x

=

2t
(t
2
+ 1)
2
− 1

x
y

= y.
Trong truờng hợp này, P (t) là phép chiếu lên trục x; nghiệm trên E
s
= ImP cho bởi
x(t) = e
1−t−
1
t
2
+1
x(0) và ta có ước lượng
x(t) ≤ e · e
−t
x(0), t ≥ 0.
Tương tự

y(t) = e
t
y(0), t ≤ 0.
1.4.2 Vài tính chất của nhị phân mũ
Trong phần này ta sẽ chứng minh tính nhị phân mũ của phương trình liên hợp; đặc
trưng của không gian ảnh, không gian nhân của các phép chiếu; Định lý Peron và liên
hệ giữa nhị phân mũ của phương trình vi phân với phương trình sai phân.
Mệnh đề 1.3. Giả sử phương trình (1.22) có ma trận cơ bản X(t) và có nhị phân mũ
trên đoạn J với phép chiếu P (t), hằng số K và số mũ α. Khi đó
(i) phương trình liên hợp
˙x = −A
∗
(t)x
12
có nhị phân mũ trên J với phép chiếu I − P
∗
(t), hằng số K và số mũ α;
(ii) nếu J = R thì
R(P (t)) = {ξ : X(τ)X
−1
(t)ξ → 0 khi τ → +∞}
= {ξ : sup
τ ≥t
X(τ)X
−1
(t)ξ < +∞}
và
N (P (t)) = {ξ : X(τ)X
−1
(t)ξ → 0 khi τ → −∞}

= {ξ : sup
τ ≤t
X(τ)X
−1
(t)ξ < +∞};
(iii) nếu J = R và f(t) ∈ BC thì phương trình
˙x = A(t)x + f(t) (1.26)
có duy nhất một nghiệm bị chặn x(t). Hơn nữa
x(t) ≤ 2Kα
−1
f
∞
với mọi t ∈ R;
(iv) nếu phương trình (1.22) có nhị phân mũ trên R, thì phương trình sai phân
u
k+1
= X(k + 1)X
−1
(k)u
k
(1.27)
có nhị phân mũ trên R. Điều ngược lại đúng khi A(t) bị chặn.
Chứng minh. (i) Từ biểu thức X(t)X
−1
(s)P (s) = P (t)X(t)X
−1
(s) với t, s ∈ J, ta suy
ra
X
∗−1

(s)X
∗
(t)P
∗
(t) = P
∗
(s)X
∗−1
(s)X
∗
(t) với t, s ∈ J
−X
∗−1
(t)X
∗
(s)P
∗
(s) = −P
∗
(t)X
∗−1
(t)X
∗
(s) với t, s ∈ J
X
∗−1
(t)X
∗
(s) − X
∗−1

(t)X
∗
(s)P
∗
(s) = X
∗−1
(t)X
∗
(s) − P
∗
(t)X
∗−1
(t)X
∗
(s)
X
∗−1
(t)X
∗
(s)[I − P
∗
(s)] = [I − P
∗
(t)]X
∗−1
(t)X
∗
(s). (1.28)
Lấy liên hợp (1.24) và (1.25), ta được (từ đây ta dùng chuẩn Euclid trong R
n

)
P
∗
(s)X
∗−1
(s)X
∗
(t) ≤ Ke
−α(t−s)
với t, s ∈ J và t ≥ s
và
[I − P
∗
(s)]X
∗−1
(s)X
∗
(t) ≤ Ke
−α(s−t)
với t, s ∈ J và t ≤ s.
13
Suy ra
[I − P
∗
(t)]X
∗−1
(t)X
∗
(s) ≤ Ke
−α(t−s)

với t, s ∈ J và s ≤ t
P
∗
(t)X
∗−1
(t)X
∗
(s) ≤ Ke
−α(s−t)
với t, s ∈ J và s ≥ t.
Áp dụng tính bất biến (1.28), ta được
X
∗−1
(t)X
∗
(s)[I − P
∗
(s)] ≤ Ke
−α(t−s)
với t, s ∈ J và s ≤ t
và
X
∗−1
(t)X
∗
(s)P
∗
(s) ≤ Ke
−α(s−t)
với t, s ∈ J và s ≥ t.

(ii) Rõ ràng ta có
R(P (t)) ⊂ {ξ : X(τ)X
−1
(t)ξ → 0 khi τ → +∞}
⊂ {ξ : sup
τ ≥t
X(τ )X
−1
(t)ξ < +∞}.
Ngược lại, giả sử ξ thỏa mãn
sup
τ ≥t
X(τ )X
−1
(t)ξ < +∞.
Ta cần chứng minh ξ ∈ R(P (t)).
Thật vậy, với τ ≥ t, ta có
[I − P (t)]ξ = [I − P (t)]X(t)X
−1
(τ)X(τ )X
−1
(t)ξ
= X(t)X
−1
(τ)[I − P (τ )]X(τ )X
−1
(t)ξ (do tính bất biến)
≤ X(t)X
−1
(τ)[I − P (τ )]X(τ )X

−1
(t)ξ
≤ Ke
−α(τ −t)
X(τ )X
−1
(t)ξ → 0 khi τ → +∞.
Từ đó [I − P (t)]ξ = 0 hay là ξ = P (t)ξ nên ξ ∈ R(P (t)).
Vậy
R(P (t)) = {ξ : X(τ)X
−1
(t)ξ → 0 khi τ → +∞}
= {ξ : sup
τ ≥t
X(τ )X
−1
(t)ξ < +∞}.
Tương tự với N (P (t)) ta có
ξ ∈ N (P (t))
P (t)ξ = 0
ξ = [I − P (t)]ξ
X(τ )X
−1
(t)ξ = X(τ )X
−1
(t)[I − P (t)]ξ.
14
Vậy
N (P (t)) ⊂ {ξ : X(τ )X
−1

(t)ξ → 0 khi τ → −∞}
⊂ {ξ : sup
τ ≤t
X(τ )X
−1
(t)ξ < +∞}.
Ngược lại, giả sử ξ thỏa mãn
sup
τ ≤t
X(τ )X
−1
(t)ξ < +∞.
Ta cần chứng minh ξ ∈ N (P (t)).
Thật vậy, với τ ≤ t, ta có
P (t)ξ = P (t)X(t)X
−1
(τ)X(τ )X
−1
(t)ξ
= X(t)X
−1
(τ)P (τ)X(τ )X
−1
(t)ξ (do tính bất biến)
≤ X(t)X
−1
(τ)P (τ)X(τ )X
−1
(t)ξ
≤ Ke

−α(t−τ )
X(τ )X
−1
(t)ξ → 0 khi τ → −∞.
Từ đó P (t)ξ = 0 hay ξ ∈ N (P (t)).
Vậy
N (P (t)) = {ξ : X(τ )X
−1
(t)ξ → 0 khi τ → −∞}
= {ξ : sup
τ ≤t
X(τ )X
−1
(t)ξ < +∞}.
(iii) Hiệu hai nghiệm bị chặn của phương trình (1.26) là một nghiệm bị chặn x(t) của
phương trình (1.22). Khi đó vì x(t) = X(t)X
−1
(0)x(0) nên x(0) = X(0)X
−1
(t)x(t)).
Do đó nếu t ≤ 0 thì
P (0)x(0) = P (0)X(0)X
−1
(t)x(t)
= X(0)X
−1
(t)P (t)x(t) (do tính bất biến)
≤ X(0)X
−1
(t)P (t)x(t)

≤ Ke
−α(−t)
x(t) = Ke
αt
x(t) → 0 khi t → −∞.
Do đó P (0)x(0) = 0. Tương tự, với t ≥ 0 thì
[I − P (0)]x(0) = [I − P (0)]X(0)X
−1
(t)x(t)
= X(0)X
−1
(t)[I − P (t)]x(t) (do tính bất biến)
≤ X(0)X
−1
(t)[I − P (t)]x(t)
≤ Ke
−αt
x(t) → 0 khi t → +∞.
15
Vậy [I − P (0)]x(0) = 0 hay x(0) = P (0)x(0) = 0. Do đó x(t) ≡ 0 và là nghiệm bị chặn
duy nhất của phương trình (1.26).
Tiếp theo ta có
x(t) =

t
−∞
X(t)X
−1
(s)P (s)f(s)ds −


+∞
t
X(t)X
−1
(s)[I − P (s)]f(s)ds
xác định tốt và là một nghiệm của phương trình (1.26). Hơn nữa,
x(t) ≤


t
−∞
Ke
−α(t−s)
ds +

+∞
t
Ke
−α(s−t)
ds

f
∞
= 2Kα
−1
f
∞
.
(iv) Giả sử phương trình (1.22) có nhị phân mũ trên (−∞, +∞) thỏa mãn các biểu
thức (1.23), (1.24) và (1.25). Khi đó nếu ta đặt

A
k
= X(k + 1)X
−1
(k), P
k
= P (k)
thì từ (1.23) ta suy ra
X(k + 1)X
−1
(k)P (k) = P (k + 1)X(k + 1)X
−1
(k).
Suy ra
A
k
P
k
= P
k+1
A
k
. (1.29)
Từ (1.24) suy ra
X(k)X
−1
(m)P (m) ≤ Ke
−α(k−m)
với k ≥ m
vì

X(k)X
−1
(m) = X(k)X
−1
(k − 1)X(k − 1). . .X(m + 1)X
−1
(m)
= A
k−1
. . .A
m
= Φ(k, m) với k ≥ m.
Suy ra
Φ(k, m)P
m
 ≤ Ke
−α(k−m)
với k ≥ m. (1.30)
Tương tự từ (1.25) ta suy ra
Φ(k, m)[I − P
m
] ≤ Ke
−α(m−k)
với k ≤ m. (1.31)
Suy ra phương trình u
k+1
= A
k
u
k

hay u
k+1
= X(k + 1)X
−1
(k)u
k
có nhị phân mũ trên
(−∞, +∞).
16
Ngược lại giả sử phương trình (1.27) có nhị phân mũ trên (−∞, +∞) và A(t) bị
chặn, tức là ta có các biểu thức (1.29), (1.30), (1.31) và
A(t) ≤ M ∀ t.
Theo Bổ đề Gronwall ta suy ra rằng
X(t)X
−1
(s) ≤ e
M|t−s|
∀ t, s ∈ R,
ở đây không giảm tổng quát ta giả sử X(0) = I. Nếu ta đặt
P (s) = X(s)P
0
X
−1
(s)
thì ta có
X(t)X
−1
(s)P (s) = X(t)X
−1
(s)X(s)P

0
X
−1
(s)
= X(t)P
0
X
−1
(s)
= X(t)P
0
X
−1
(t)X(t)X
−1
(s)
= P (t)X(t)X
−1
(s)
tức là tính bất biến (1.23) được thỏa mãn. Giả sử t ≥ s, khi đó có các số nguyên m ≤ k
sao cho m ≤ s ≤ m + 1 và k ≤ t ≤ k + 1 và do đó
X(t)X
−1
(s)P (s) = X(t)X
−1
(k)X(k)X
−1
(s)X(s)P
0
X

−1
(s)
= X(t)X
−1
(k)X(k)X
−1
(s)X(s)X
−1
(m)P
m
X(m)X
−1
(s)
(do P
m
= X(m)P
0
X
−1
(m) nên X
−1
(m)P
m
X(m) = P
0
)
= X(t)X
−1
(k)X(k)X
−1

(m)P
m
X(m)X
−1
(s)
≤ X(t)X
−1
(k)X(k)X
−1
(m)P
m
X(m)X
−1
(s)
≤ e
M|t−k|
K(e
−α
)
k−m
e
M|s−m|
≤ e
M
K(e
−α
)
k−m
e
M

(do |s − m| ≤ 1 và |t − k| ≤ 1)
≤ e
2M
K(e
−α
)
t−s−1
= Ke
2M+α
e
−α(t−s)
.
Tương tự, khi t ≤ s ta chứng minh được
X(t)X
−1
(s)[I − P (s)] ≤ Ke
2M+α
e
−α(s−t)
.
Vậy phương trình (1.22) có nhị phân mũ trên (−∞, +∞).
Do đó mệnh đề được chứng minh.
17
1.4.3 Liên hệ nhị phân mũ và tập hyperbolic
Để sử dụng trong phần tiếp theo, ta sẽ chỉ ra tính nhị phân mũ có quan hệ gần gũi
với lý thuyết tập hyperbolic cho các dòng. Thật vậy, cho S là tập compact hyperbolic
của phương trình (1.2) như trong Định nghĩa 1.1. Với điểm x ∈ S cho trước, ta xét
phương trình biến phân
˙y = DF (φ
t

(x))y.
Chọn một ma trận trực giao n × n
T
0
=

F (x)
F (x)




S
0

.
Ta áp dụng phương pháp Gram-Schmidt cho Dφ
t
(x)T
0
để có một ma trận trực giao

F (φ
t
(x))
F (φ
t
(x))





S(t)

và một ma trận tam giác trên
Y (t) = S
∗
(t)Dφ
t
(x)S
0
với đường chéo dương sao cho
Dφ
t
(x)T
0
=

F (φ
t
(x))
F (φ
t
(x))




S(t)






F (φ
t
(x))
F (x)
∗ ∗ ∗
0 Y (t)




. (1.32)
Chú ý rằng
S
∗
(t)S(t) = I, S(t)S
∗
(t) = I −
F (φ
t
(x))F (φ
t
(x))
∗
F (φ
t
(x))

2
và do đó
˙
Y (t) = A(t)Y (t),
trong đó
A(t) = S
∗
(t)[DF(φ
t
(x))S(t) −
˙
S(t)].
Ta đặt
Q(t) = S
∗
(t)P
s
(φ
t
(x))S(t),
18
với P
s
(x) là phép chiếu lên E
s
(x) theo E
0
(x) ⊕ E
u
(x) như trong phần 2.2 và 2.3. Q(t)

là phép chiếu vì
Q(t)
2
= S
∗
(t)P
s
(φ
t
(x))S(t)S
∗
(t)P
s
(φ
t
(x))S(t)
= S
∗
(t)P
s
(φ
t
(x))

I −
F (φ
t
(x))F (φ
t
(x))

∗
F (φ
t
(x))
2

P
s
(φ
t
(x))S(t)
= S
∗
(t)P
s
(φ
t
(x))P
s
(φ
t
(x))S(t)
= S
∗
(t)P
s
(φ
t
(x))S(t) = Q(t),
ở đây ta sử dụng tính chất P

s
(x)F (x) = 0. Hơn nữa
Y (t)Y
−1
(s)Q(s)
= S
∗
(t)Dφ
t
(x)S
0
S
∗
0
Dφ
−s
(φ
s
(x))S(s)S
∗
(s)P
s
(φ
s
(x))S(s)
= S
∗
(t)Dφ
t
(x)


I −
F (x)F (x)
∗
F (x)
2

Dφ
−s
(φ
s
(x))S(s)S
∗
(s)P
s
(φ
s
(x))S(s)
= S
∗
(t)

Dφ
t
(x) −
F (φ
t
(x))F (x)
∗
F (x)

2

Dφ
−s
(φ
s
(x))S(s)S
∗
(s)P
s
(φ
s
(x))S(s)
vì Dφ
t
(x)F (x) = F (φ
t
(x))
= S
∗
(t)Dφ
t
(x)Dφ
−s
(φ
s
(x))S(s)S
∗
(s)P
s

(φ
s
(x))S(s)
do tính trực giao
= S
∗
(t)Dφ
t−s
(φ
s
(x))

I −
F (φ
s
(x))F (φ
s
(x))
∗
F (φ
s
(x))
2

P
s
(φ
s
(x))S(s)
= S

∗
(t)Dφ
t−s
(φ
s
(x))P
s
(φ
s
(x))S(s) do tính trực giao
= S
∗
(t)P
s
(φ
t
(x))Dφ
t−s
(φ
s
(x))S(s) do tính bất biến của P
s
= S
∗
(t)P
s
(φ
t
(x))S(t)S
∗

(t)Dφ
t
(x)S
0
S
∗
0
Dφ
−s
(φ
s
(x))S(s)
làm ngược lại với biến đổi trên
= Q(t)Y (t)Y
−1
(s)
và ta có tính bất biến cần thiết. Hơn nữa, sử dụng một trong các biểu thức trên ta có
Y (t)Y
−1
(s)Q(s) = S
∗
(t)Dφ
t−s
(φ
s
(x))P
s
(φ
s
(x))S(s)

≤ Dφ
t−s
(φ
s
(x))P
s
(φ
s
(x))
≤ KMe
−α(t−s)
với t ≥ s, P
s
(·) ≤ M. Tương tự, nếu t ≤ s thì
Y (t)Y
−1
(s)(I − Q(s)) ≤ KMe
−α(s−t)
,
với P
u
(·) ≤ M. Do đó phương trình
˙y = A(t)y = S
∗
(t)[DF(φ
t
(x))S(t) −
˙
S(t)]y,
19

với ma trận cơ bản Y (t), có nhị phân mũ trên (−∞, +∞) với phép chiếu Q(t), hằng
số KM và số mũ α.
Một trường hợp nữa trong đó nhị phân mũ liên quan với lý thuyết tập hyperbolic
như sau. Tiếp tục xét S là một tập compact hyperbolic của phương trình (1.2) như
trong Định nghĩa 1.1 và P
0
(x), P
s
(x), P
u
(x) là các phép chiếu liên kết với khai triển
(1.3). Với x ∈ S, ta xét phương trình
˙y = DF (φ
t
(x))y.
Nếu y(t) là nghiệm của phương trình trên trong E
u
(φ
t
(x)), thì với t ≤ s
y(t) ≤ Ke
−α(s−t)
y(s). (1.33)
Mặt khác, y(t) là nghiệm của phương trình trên trong E
s
(φ
t
(x)) và α là một số thực
thì khi đó với t ≥ s
y(t) + αF (φ

t
(x)) ≤ y(t) + |α|F (φ
t
(x))
≤ Ke
−α(t−s)
y(s) + |α|M
0
∆
−1
F (φ
s
(x))
≤ max{K, M
0
∆
−1
} [y(s) + |α|F (φ
s
(x))] ,
trong đó
M
0
= sup
x∈S
F (x) và ∆ = inf
x∈S
F (x).
Chú ý rằng
y(s) = P

s
(φ
s
(x))[y(s) + αF (φ
s
(x))]
và
αF (φ
s
(x)) = P
0
(φ
s
(x))[y(s) + αF (φ
s
(x))].
Do đó
y(s) + |α|F (φ
s
(x)) ≤ M y(s) + αF (φ
s
(x)),
trong đó
M
0
= sup
x∈S
P
0
(x), M

s
= sup
x∈S
P
s
(x), M
u
= sup
x∈S
P
u
(x)
và
M = max{M
0
, M
s
, M
u
}.
Do đó, nếu y(t) là nghiệm trong E
s
(φ
t
(x)) và α là một số thực thì khi đó với t ≥ s
y(t) + αF (φ
t
(x))
≤ max{K, M
0

∆
−1
}My(s) + αF (φ
s
(x)).
(1.34)
20