Phương pháp Razumikhin nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân hàm có xung

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của Luận văn, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người
thầy hướng dẫn khoa học của mình: PGS. TS. Đặng Đình Châu - người đã đưa ra
đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu. Đồng thời tác giả cũng
chân thành cảm ơn các thầy, cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu
và thủ tục hành chính để hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn
đến bạn bè, đặc biệt là các bạn trong nhóm Giải Tích lớp Cao học 2008 - 2010 đã
động viên giúp đỡ tác giả về tài liệu tham khảo và kỹ thuật biên soạn Latex.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể tránh
khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý tận tình của các thầy, cô
và bạn bè đồng nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà nội, tháng 12 năm 2010
Học viên
Ngô Quý Đăng.
1
Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình sai phân . . . . . . . . . 7
1.1.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất và công thức biến thiên
hằng số Lagrăng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3. Hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4. Khái niệm ổn định của hệ phương trình sai phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân . . . . . . . . . . . 10
1.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình vi phân hàm . . . . 13
1.2.1. Khái niệm ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2. Một số định lý cơ bản theo phương pháp hàm Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2. Phương trình vi phân có xung và ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1. Khái niệm về hệ phương trình vi phân có xung . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1. Định nghĩa và ví dụ về hệ phương trình vi phân có xung. . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân có xung . . . . . . 26
2.2. Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân thường
có xung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1. Các định lý so sánh nghiệm của hệ phương trình vi phân thường . . . . . . 29
2.2.2. Các định lý so sánh nghiệm của phương trình vi phân có xung . . . . . . . . 30
2.2.3. Các định lý về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có xung . 34
2.3. Nghiên cứu tính ổn định bộ phận của nghiệm của phương trình vi phân
có xung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4. Sử dụng phương pháp Razumikhin nghiên cứu tính ổn định nghiệm
của phương trình vi phân hàm có xung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1. Tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân hàm với xung . . . 38
2.4.2. Các định lý kiểu Razumikhin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2
2.5. Áp dụng cho mô hình quần thể. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3
LỜI NÓI ĐẦU
Phương trình vi phân có xung được phát hiện từ các ứng dụng: xác định quỹ đạo
của vệ tinh, điều khiển máy móc, lấy mẫu dữ liệu, quản lý hệ sinh thái,...
Trong thực tế, những quá trình vật lý khác nhau tạo ra những thay đổi đột ngột
của trạng thái tại thời điểm nhất định của thời gian giữa khoảng tiến hóa liên tục.
Thời gian của những thay đổi này thường không đáng kể so với của toàn quá trình
tiến hóa và do đó những thay đổi đột ngột có thể được xấp xỉ tốt về tức thời thay đổi
của trạng thái tức là xung.
Ví dụ: Mô hình tăng trưởng dân số có thể được mô tả bằng một phương trình vi
phân có xung. Các xung mô tả một số yếu tố bất ngờ như nhập cư, di cư, bệnh dịch.
Trong ứng dụng thông tin liên lạc, phương trình vi phân có xung sử dụng để mô tả

lỗi khi thời gian gây ra lỗi bởi truyền tải và xung được sử dụng để ổn định.
Phương trình vi phân có xung thường bao gồm ba yếu tố: Hệ phương trình vi
phân; hệ phương trình sai phân; tiêu chí để xác định khi các không gian pha của hệ
được thiết lập lại. Do đó nghiệm của của hệ phương trình vi phân có xung thường
liên tục từng mảnh, nên gây ra một số khó khăn: Ví dụ: nếu x(t) là liên tục từng
mảnh, thì x(t) có thể là hàm không liên tục khắp nơi theo t. Khi đó tính tồn tại, ổn
định và bị chặn của nghiệm có thể bị thay đổi do xung.
Phương trình vi phân thường có xung xuất hiện không lâu được viết vào năm
1960 bởi A.Myshkis và V.Mill’man (xem [12]). Kể từ đó một số kết quả cổ điển
phương trình vi phân thường đã được mở rộng cho phương trình vi phân có xung.
Phương trình vi phân trễ có xung ứng dụng rộng rãi nhưng nghiên cứu về phương
trình vi phân trễ có xung mới xuất hiện. Bài viết đầu tiên về chủ đề này vào năm
1986 bởi A.Anokhin (xem [4]).
Trong những năm gần đây, nghiên cứu tính ổn định nghiệm và ứng dụng của
phương trình vi phân có xung được phát triển rất mạnh bởi các ứng dụng thực tế
của chúng. Các công cụ nghiên cứu ổn định thường là phương pháp hàm Lyapunov,
kỹ thuật Razumikhin. Ổn định là một trong những vấn đề quan trọng của phương
trình vi phân trễ có xung, nó có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như mạng thần kinh,
các mô hình tăng trưởng dân số, điều khiển máy móc....
Bố cục của luận vặn gồm:
Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị về: phương trình sai phân, tính ổn
định nghiệm của phương trình sai phân (xem [5]), phương trình vi phân hàm, tính
ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm (xem [7],[9]).
Chương 2: Trình bày khái niệm về phương trình vi phân có xung, tính tồn tại,
duy nhất, tiêu chuẩn so sánh, mối liên hệ gữa hệ phương trình vi phân có xung và
phương trình vi phân có xung (xem [6],[10],[11]).
Trình bày phương trình vi phân hàm có xung và các định lý ổn định kiểu Razu-
mikhin và một số ứng dụng vào giải các bài toán thực tế (xem [13],[14]).
4
Để làm sáng tỏ vấn đề trên công việc của người viết chủ yếu là đọc hiểu khái

niệm ổn định nghiệm, phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình sai phân. Tiêu
chuẩn so sánh nghiệm cho phương trình vi phân thường. Khái niệm tính ổn định
nghiệm, phương pháp hàm Lyapunov, các định lý dạng Razumikhin cho phương
trình vi phân hàm. Sau đó mở rộng các khái niệm cho đó cho phương trình vi phân
có xung và phương trình vi phân hàm có xung. Nghiên cứu vấn đề này người viết đã
cố gắng khai thác triệt để, xong thời gian và trình độ còn hạn chế chắc chắn không
tránh khỏi những thiếu sót rất mong nhận được sự đóng góp của các thầy, cô và các
bạn.
5
Bảng ký hiệu
N Tập hợp các số nguyên không âm.
N(a) Tập hợp các số nguyên lớn hơn hoặc bằng a (a ∈ N).
N(a,b) Tập hợp các số nguyên lớn hơn hoặc bằng a, nhỏ hơn hoặc bằng b(a, b ∈ N).
¯
N Là một trong ba tập N, N(a), N(a, b).
R Tập các số thực.
R
+
Tập hợp các số thực dương.
R
n
Không gian n chiều.
R
n
+
Không gian mã mỗi phần tử có n thành phần toạ độ thực dương.
limsup
n→∞
Giới hạn trên.
liminf

n→∞
Giới hạn dưới.
6
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình
sai phân
1.1.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
Xét hệ phương trình sai phân thuần nhất (xem [5]):
u(n + 1) = A(n).u(n), n  n
0
, (1.1)
trong đó u(n) = (u
1
(n),u
2
(n),...,u
m
(n))
T
∈ R
m
, A(n) = (a
i j
(n))
mm
là ma trận không
suy biến.
Bài toán Cô-si: Xét hệ phương trình sai phân:


u(n + 1) = A(n).u(n), n  n
0
,
u(n
0
) = u
0
.
(1.2)
Bằng phương pháp truy hồi, bài toán Cô-si luôn có nghiệm và nghiệm được xác
định:
u(n) = A(n− 1)A(n− 2)...A(n
0
+ 1)A(n
0
)u
0
,n  n
0
.
* Toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận không suy biến
Định nghĩa 1.1.1. Với mỗi s  n
0
, ký hiệu:
W(n, s) =

A(n− 1)A(n− 2)...A(s + 1)A(s), n > s,
I n = s.
(1.3)
Khi đó, họ {W(n, s)}

nsn
0
được gọi là họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận không
suy biến A(n).
7
* Ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc ( ma trận Cô-si)
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử {W(n, s)}
nsn
0
là họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận
hàm không suy biến A(n). Khi đó W (n, n
0
) được gọi là ma trận nghiệm cơ bản
chuẩn tắc (hay ma trận Cô-si) của hệ (1.2).
Nhận xét 1.1.3. Từ định nghĩa của ma trận Cô-si và họ toán tử tiến hoá ta thấy, với
mỗi s  n
0
thì
W(n, s) = W (n,k).W(k, s),n  k  s.
Đặc biệt W(n, n
0
) = W(n, k).W (k, n
0
), n  k  n
0
, khi đó ta có:
W(n, k) = W(n, n
0
).W
−1

(k, n
0
),n  k  n
0
.
Nhận xét 1.1.4. Khi A(n) = A là ma trận hằng, ta có:
W(n, n
0
) = A
n−n
0
,∀n  n
0
.
Nhận xét 1.1.5. Nghiệm u(n) = u(n, n
0
,u
0
) của bài toán Cô-si (1.2) có thể viết
dưới dạng u(n) = W (n,n
0
).u
0
với mọi n  n
0
, hoặc u(n) = W (n,s).u(s) với mọi
n  s  n
0
.
1.1.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất và

công thức biến thiên hằng số Lagrăng
Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (xem [5]):

v(n + 1) = A(n)v(n) + b(n), n  n
0
,
v(n
0
) = v
0
,
(1.4)
trong đó b(n) ∈ R
m
.
Định lý 1.1.6. Nghiệm v(n) = v(n, n
0
,v
0
) của hệ (1.4) được xác định bởi công thức
v(n) = W(n, n
0
)v
0
+
n
∑
k=n
0
+1

W(n, k)b(k− 1). (1.5)
Chứng minh. Ta tìm nghiệm v(n) của 1.4 dưới dạng
v(n) = W(n, n
0
).C(n) sao cho v(n
0
) = v
0
, (1.6)
bằng phương pháp biến thiên hằng số.
Vì v(n
0
) = W(n
0
,n
0
)C(n
0
) = C(n
0
) nên C(n
0
) = v
0
.
Từ
v(n) = W(n, n
0
)C(n),
8

suy ra
v(n + 1) = W(n + 1, n
0
)C(n + 1). (1.7)
Mà
v(n + 1) = A(n)v(n) + b(n) = A(n)W(n, n
0
)C(n) + b(n),
ta có:
v(n + 1) = W(n + 1, n
0
)C(n) + b(n). (1.8)
Kết hợp (1.7) và (1.8) ta được
W(n + 1, n
0
)C(n + 1) = W(n + 1, n
0
)C(n) + b(n),
suy ra
W(n + 1, n
0
)∆C(n) = b(n),
hay
∆C(n) = W
−1
(n + 1, n
0
)b(n).
Do đó
n−1

∑
k=n
o
∆C(k) =
n−1
∑
k=n
o
W
−1
(k + 1, n
0
)b(k), (1.9)
và ta được
C(n)−C(n
0
) =
n−1
∑
k=n
o
W
−1
(k + 1, n
0
)b(k). (1.10)
Thay (1.10) vào (1.6) ta nhận được kết quả (1.5).
Hệ quả 1.1.7. Nếu A(n) = A là ma trận hằng thì
v(n) = A
n−n

o
.v
o
+
n
∑
k=n
o
+1
A
n−k
b(k− 1), (1.11)
với mọi n > n
0
.
1.1.3. Hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyến
Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyến:

z(n + 1) = A(n)z(n) + g(n,z(n)), n  n
0
,
z(n
0
) = z
0
,
(1.12)
trong đó g : N(n
0
)× R

m
→ R
m
.
Định lý 1.1.8. Nghiệm z(n) = z(n, n
0
,z
0
) của(1.12)được cho bởi công thức
z(n) = W(n, n
0
)z
0
+
n
∑
n
0
+1
W(n, k)g(k− 1, z(k− 1)). (1.13)
Chứng minh. Từ công thức (1.5) lấy b(n) = g(n, z(n)), ta có (1.13).
9
1.1.4. Khái niệm ổn định của hệ phương trình sai phân
Với phương trình vi phân, phương pháp hàm Lyapunov được sử dụng từ năm
1892, trong khi phương trình sai phân mới sử dụng gần đây (xem [5]).
Xét hệ phương trình sai phân:
u(k + 1) = f (k, u(k), k ∈
¯
N, (1.14)
trong đó u và f là các vectơ (1× n) với các thành phần u

i
và f
i
, 1  i  n. Giả sử
f (k, 0) = 0 với mọi k ∈ N(a) vậy hệ (1.14) có nghiệm tầm thường.
Định nghĩa 1.1.9. Nghiệm tầm thường của (1.14) được gọi là:
(i) Ổn định, nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ(a, ε) > 0 sao cho, với mọi nghiệm
u(k) = u(k, a,u
0
) của (1.14) thỏa mãn ||u
0
|| < δ , thì ||u(k, a,u
0
)|| < ε,∀k ∈ N(a).
(ii) Ổn định đều, nếu δ trong (i) không phụ thuộc vào a.
(iii) Ổn định tiệm cận, nếu nó ổn định và tồn tại δ = δ (a) > 0 với mọi nghiệm
u(k) = u(k, a,u
0
) của (1.14), thỏa mãn ||u
0
|| < δ thì ||u(k, a,u
0
)|| → 0 khi k → ∞.
(iv) Ổn định tiệm cận đều, nếu ổn định đều và tồn tại δ > 0 không phụ thuộc
vào a và với mọi nghiệm u(k) = u(k, a, u
0
) của (1.14), thỏa mãn ||u
0
|| < δ , thì
||u(k, a, u

0
)|| → 0 khi k → ∞.
(v) Ổn định tiệm cận mũ, nếu tồn tại số λ > 0 và với ε > 0, tồn tại δ = δ(ε)
sao cho: với mọi nghiệm u(k) = u(k, a, u
0
) của (1.14) thỏa mãn ||u(k
1
)|| < δ với
k
1
∈ N(a), thì ||u(k, a, u
0
)|| < ε exp(−λ(k− k
1
)), với mọi k ∈ N(k
1
).
1.1.5. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân
Trong phần này, chúng ta sẽ mở rộng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên
cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình sai phân.(xem [5])
Xét hệ phương trình sai phân (1.14):
u(k + 1) = f (k, u(k), k ∈
¯
N,
Giả sử S
ρ
={u ∈ R
n
:u  ρ}, và u(k) = u(k, a, u
0

) là một nghiệm bất kỳ của
(1.14) sao cho u(k) < ρ,∀k ∈ N(a).
Cho Ω là tập mở trong R
n
và chứa gốc tọa độ. Giả sử V(k,u) là hàm liên tục vô
hướng xác định trên Ω,V ∈ C[Ω, R] và V (k, 0) = 0.
Định nghĩa 1.1.10. Hàm φ (r) được gọi là thuộc vào lớp K, nếu và chỉ nếu φ ∈
C([0,ρ), R
+
),φ(0) = 0, và φ(r) là tăng chặt theo r.
Định nghĩa 1.1.11. Hàm vô hướng V(k, u) xác định trên N(a)× S
ρ
được gọi là
xác định dương nếu và chỉ nếu V (k, 0) = 0 với mọi k ∈ N(a) và tồn tại một hàm
φ(r) ∈ K sao cho φ(r)  V(k, u),u = r,(k, u)∈ N(a)× S
ρ
.Và là xác định âm nếu
V (k, u)  −φ(r).
10
Định nghĩa 1.1.12. Hàm vô hướng V(k, u) xác định trên N(a)× S
ρ
được gọi là
giảm dần về không (decrescent) nếu và chỉ nếu V (k, 0) = 0 với mọi k ∈ N(a) và
tồn tại một hàm ϕ(r) ∈ K sao cho V (k, u)  ϕ(r),u = r,(k, u) ∈ N(a)× S
ρ
.
Với u(k) = u(k, a, u
o
) là nghiệm của (1.14) sao chou(k) < ρ với mọi k∈ N(a).
Khi đó ta có biến phân của hàm V (k, u(k)) là:

∆V (k, u(k)) = V (k + 1,u(k + 1))−V(k, u(k))
= V(k + 1, f (k, u(k)))−V (k, u(k)).
Định lý 1.1.13. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương V (k, u) ∈ C[N(a)×
S
ρ
, R
+
] sao cho ∆V (k, u(k, a,u
0
))  0, với nghiệm bất kỳ u(k) = u(k, a, u
0
) của
(1.14) thoả mãn u(k) < ρ thì nghiệm tầm thường u(k, a, 0) = 0 của (1.14) là ổn
định.
Chứng minh. Do V(k,u) là xác định dương, tồn tại một hàm φ ∈ K sao cho φ(u) 
V (k, u) với mọi (k, u) ∈ N(a)× S
ρ
. Với 0 < ε < ρ cho trước. Vì V(k,u) liên tục và
V (k, 0) = 0 nên có thể chọn được một số δ = δ (ε) > 0 sao cho u
0
 < δ thoả mãn
V (k
0
,u
0
) < φ(ε). Giả sử nghiệm tầm thường của (1.14) không ổn định thì tồn tại
một nghiệm u(k) = u(k, 0,u
0
) của (1.14), sao cho ||u
0

|| < δ mà ε  u(k
1
) < ρ
với k
1
∈ N(a). Tuy nhiên do ∆V(u(k))  0 khi u(k) < ρ, ta có V (u(k
1
))  V (u
0
)
và do đó
φ(ε)  φ (u(k
1
))  V(u(k
1
))  V(u
0
) < φ (ε),
dẫn tới mâu thuẫn. Vậy nếu u
0
 < δ thì u(k) < ε,∀k ∈ N. Nên nghiệm tầm
thường của (1.14) là ổn định.
Định lý 1.1.14. Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương V (k, u) ∈ C[N(a)×
S
ρ
, R
+
] sao cho ∆V (k, u(k, a, u
0
))  −α(u(k, a, u

0
) với α ∈ K, và nghiệm bất kỳ
u(k) = u(k, a, u
0
) của (1.14) thoả mãnu(k) < ρ thì nghiệm tầm thường u(k, a, 0) =
0 của (1.14) là ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Do các giả thiết của định lý (1.14) được thoả mãn, nên nghiệm tầm
thường của (1.14) là ổn định. Bằng phản chứng với 0 < ε < ρ cho trước, giả sử tồn
tại δ > 0,λ > 0 và một nghiệm u(k) = u(k, a,u
0
) của (1.14) thoả mãn
λ  u(k) < ε, k ∈ N(a), u
0
 < δ . (1.15)
Vìu(k)  λ > 0,∀k∈ N nên tồn tại hằng số d > 0 sao cho α(u(k))  d,∀k∈ N.
Vậy ta có ∆V (k, u(k))  −d < 0, k ∈ N. Điều này kéo theo
V (k, u(k)) = V (a, u
0
) +
k−1
∑
l=0
∆V (l, u(l))  V(a, u
0
)− kd,
với k đủ lớn vế phải sẽ âm, mâu thuẫn với V(k,u) xác định dương. Do đó không tồn
tại λ thoả mãn (1.15). Hơn nữa V(k,u(k)) xác định dương và là hàm giảm theo k nên
11
lim
k→∞

V (k, u(k)) = 0. Do đó lim
k→∞
u(k) = 0. Vậy nghiệm tầm thường u(k, a, 0) = 0
của (1.14) là ổn định tiệm cận.
Định lý 1.1.15. Với giả thiết của định lý (1.1.13) (định lý (1.1.14)) và hàm V(k,u)
là hàm giảm dần về không thì nghiệm tầm thường u(k, a, 0) = 0 của hệ (1.14) là ổn
định đều (tiệm cận đều).
Chứng minh. Vì V (k, u) là hàm xác định dương và giảm dần về không, nên tồn
tại hàm ϕ, φ ∈ K sao cho φ(u)  V (k, u)  ϕ(u), với mọi (k, u) ∈ N(a)× S
ρ
.
Với mỗi ε, 0 < ε < ρ ta chọn δ = δ(ε) > 0 sao cho ϕ(δ ) < φ(ε). Ta chứng minh
nghiệm tầm thường của hệ (1.14) ổn định đều, tức là với k
1
≥ a và u(k
1
)| < ρ,
thì u(k)| < ε với mọi k ≥ k
1
. Bằng phản chứng giả sử tồn tại k
2
> k
1
, thỏa mãn
k
2
 a và u(k
2
)| < ρ kéo theo ε  u(k
2

) < ρ. Nhưng ∆V (k, u(k))  0 suy ra
V (k, u(k))  V(k
1
,u(k
1
))) với mọi k ∈ N(k
1
), từ đó:
φ(ε)  φ (u(k
2
))  V(k
2
,u(k
2
))  V(k
1
,u(k
1
))
 ϕ(u(k
1
))  ϕ(δ ) < φ (ε),
mâu thuẫn. Vậy ta có điều cần chứng minh.
Định lý 1.1.16. Giả sử tồn tại hàm vô hướng V (u) ∈ C[N(a)× S
ρ
, R], sao cho:
(i) |V (k.u)| ≤ ϕ(||u||) với mọi (k, u) ∈ N(a)× S
ρ
, ở đó ϕ ∈ K.
(ii) Với mọi δ > 0 tồn tại u

0
với ||u
0
||  δ sao cho V (a, u
0
) < 0.
(iii) ∆V (k, u(k, a, u
0
)) ≤ −φ (u(k, a, u
0
)) với φ ∈ K và nghiệm bất kỳ u(k) =
u(k, a, u
0
) của (1.14) thoả mãn u(k < ρ.
Thì nghiệm tầm thường u(k, a,0) = 0 của (1.14) là không ổn định.
Chứng minh. Giả sử nghiệm tầm thường của (1.14) là ổn định. Thì với mọi ε >
0(ε < ρ) tồn tại δ = δ (a,ε) > 0 sao cho||u
0
|| < δ ta có ||u(k)|| =||u(k, a, u
0
)|| < ε
với mọi k ∈ N(a). Lấy u
0
thỏa mãn ||u
0
|| < δ và V (a,u
0
) < 0 từ ||u
0
|| < δ ta có

||u(k)|| < ε , từ điều kiện (i) ta có:
|V (k, u(k))| ≤ ϕ(||u(k)||) < ϕ(ε), k ∈ N(a). (1.16)
Từ điều kiện (iii) ta thấy rằng V(k,u(k)) là hàm giảm với mọi k ∈ N(a), nên từ
V (k, u(k))≤ V (a,u
0
) < 0 ta có|V(k, u(k))|≥|V(a, u
0
)| do đó từ điều kiện (i) chúng
ta có ||u(k)|| ≥ ϕ
−1
(|V (a, u
0
)|).
Từ điều kiện (iii) ta có ∆V(k, u(k)) ≤ −φ(||u(k)||), do đó:
V (k, u(k)) ≤ V(a, u
0
)−
k−1
∑
l=a
φ(||u(l)||).
Tuy nhiên từ ||u(k)|| ≥ ϕ
−1
(|V (a, u
0
)|) ta có:
φ(||u(k)||) ≥ φ(ϕ
−1
(|V (a, u
0

)|)).
12
Như vậy ta có:
V (k, u(k)) ≤ V(a, u
0
)− (k− a)φ(ϕ
−1
(|V (a, u
0
)|)).
Hay lim
k→∞
V (k, u(k)) = −∞, trái với điều kiện (1.16).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.1.17. Xét hệ phương trình sai phân:

u
1
(k + 1) = u
2
(k)− cu
1
(k)(u
2
1
(k) + u
2
2
(k)),
u

2
(k + 1) = u
1
(k) + cu
2
(k)(u
2
1
(k) + u
2
2
(k)),
(1.17)
trong đó c là hằng số.
Chọn hàm xác định dương V (u
1
,u
2
) = u
2
1
+u
2
2
trên Ω = R
2
. Khi đó ∆V (u
1
(k), u
2

(k)) =
c
2
(u
2
1
(k) + u
2
2
(k))
3
. Do đó nếu c = 0 thì ∆V(u
1
(k), u
2
(k)) = 0 nên nghiệm tầm
thường của hệ là ổn định. Tuy nhiên nếu c = 0 thì nghiệm tầm thường của hệ là
không ổn định.
1.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình
vi phân hàm
Trong phần này, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của phương trình vi phân
hàm (xem [7],[9]).
Với x ∈ R
n
, ký hiệu |x| là chuẩn của x. Với τ > 0 cho trước ký hiệu C là không
gian các hàm liên tục trên đoạn [−τ, 0] nhận giá trị trong R
n
và với ϕ ∈ C,
ϕ = sup
−τ≤θ≤0

|ϕ(θ )|,
là chuẩn của ϕ trong không gian C. Với H > 0, kí hiệu C
H
= {ϕ ∈ C : ϕ  H}.
Với bất kỳ hàm x(u) liên tục trên [−τ, A] với A > 0 và với t ∈ [0,A], ký hiệu x
t
là
hạn chế của x(u) trên [t− τ,t], tức là x
t
là một phần tử của C xác định bởi x
t
(θ) =
x(t + θ ),−τ  θ  0.
Xét phương trình vi phân hàm:
˙x = f (t, x
t
), (1.18)
với f (t, ϕ) xác định trên [0,c]×C
H
.
Chúng ta gọi phương trình (1.18) là phương trình vi phân có chậm (RDEs),(DDEs)
hoặc phương trình vi phân hàm (FDEs).Dễ thấy (1.18) chứa cả phương trình vi phân
thường (ODEs) và phương trình vi phân
˙x(t) = f (t,x(t),x(t − τ
1
(t)),..., x(t − τ
p
(t)),
13
với 0  τ

j
(t)  τ, j = 1, 2,..., p và ta có thể xây dựng như là phương trình tích
phân sau:
˙x(t) =

0
−r
g(t;θ ; x(t + θ))dθ.
Chúng ta gọi phương trình (1.18) là tuyến tính nếu f (t, x
t
) = L(t,x
t
)+ h(t) trong
đó L(t,x
t
) là tuyến tính đối với x
t
, tuyến tính thuần nhất nếu h(t) ≡ 0, tuyến tính
không thuần nhất nếu h(t) ≡ 0. Chúng ta gọi (1.18) là autonomous nếu f (t, x
t
) =
g(x
t
) ở đây g(t) không phụ thuộc vào t, trường hợp còn lại ta gọi là không au-
tonomous.
Giống như phương trình vi phân thường (ODEs) ta cũng có các kết quả tương
tự như sau:
Bổ đề 1.2.1. Nếu t
0
∈ R, ϕ ∈ C cho trước và f (t, ϕ) là hàm liên tục trên Ω, thì việc

tìm nghiệm phương trình (1.18) tương đương với việc giải phương trình tích phân

x(t) = ϕ(0) +

t
t
0
f (s, x
s
)ds,t ≥ t
0
,
x
t
0
= ϕ.
Định lý 1.2.2. (Tồn tại nghiệm) Giả sử Ω là tập mở trong R×C, f là hàm liên tục
trên Ω. Nếu (t
0
,ϕ) ∈ Ω, thì tồn tại nghiệm của phương trình (1.18) đi qua (t
0
,ϕ).
Chúng ta gọi f (t,φ ) là Lipschitz với φ trong tập compact K của R×C, nếu tồn
tại số dương k > 0 sao cho, với mỗi (t, φ
i
) ∈ K, i = 1,2,
|| f (t, φ
1
)− f (t, φ
2

)||  k||φ
1
− φ
2
||.
Định lý 1.2.3. (Duy nhất nghiệm) Giả sử Ω là tập mở trong R×C, f : Ω→ R
n
liên
tục , và f (t, φ ) là Lipschitz theo φ trên mỗi tập compact trong Ω. Nếu (t
0
,ϕ) ∈ Ω,
thì có duy nhất nghiệm của phương trình (1.18) đi qua (t
0
,ϕ).
Ta có thể đi tìm nghiệm của phương trình vi hàm (1.18) bằng phương pháp từng
bước.
Ví dụ 1.2.4. Xét phương trình vi phân hàm:

˙x(t) = 6x(t− 1),
ϕ(t) = t, 0 ≤ t ≤ 1.
Ta sẽ tìm nghiệm x(t
0
,ϕ), (t
0
= 1), của phương trình vi phân trên đoạn [0,3]. Theo
bổ đề (1.2.1), nghiệm của phương trình vi phân trên có dạng:

x(t) = ϕ(1) +

t

1
6x(s− 1)ds, t ≥ 1,
x(t) = ϕ(t), 0 ≤ t ≤ 1.
14
Trên đoạn [1, 2] ta có:

x(t) = ϕ(1) +

t
1
6sds, 2 ≥ t ≥ 1,
x(t) = ϕ(t), 0 ≤ t ≤ 1,
hay

x(t) = 1 + 3(t− 1)
2
, 2 ≥ t ≥ 1,
x(t) = ϕ(t), 0 ≤ t ≤ 1.
Trên đoạn [2, 3] ta có:

x(t) = ϕ(2) +

t
2
6x(s− 1)ds, 3 ≥ t ≥ 2,
x(t) = 1 + 3(t− 1)
2
, 2 ≥ t ≥ 1.
Suy ra


x(t) = 6(t− 2)[(t − 2)
2
+ 1] + 4, 3 ≥ t ≥ 2,
x(t) = 1 + 3(t− 1)
2
, 2 ≥ t ≥ 1.
Như vây, nghiệm của phương trình trên [0,3] là





x(t) = t, 1 ≥ t ≥ 0,
x(t) = 1 + 3(t− 1)
2
, 2 ≥ t ≥ 1,
x(t) = 6(t− 2)[(t − 2)
2
+ 1] + 4, 3 ≥ t ≥ 2.
Tiếp tục như vậy ta mở rộng nghiệm trên một đoạn hữu hạn tuỳ ý.
1.2.1. Khái niệm ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm
Xét phương trình vi phân (1.18):
˙x(t) = f (t,x
t
),
với điều kiện ban đầu x(t) = ϕ(t), t ∈ [t
0
− τ,t
0
]. Giả sử phương trình (1.18) thoả

mãn tất cả các điều kiện về sự tồn tại, duy nhất nghiệm và f (t, 0) = 0,∀t ∈ R.
Khi đó, phương trình (1.18) có nghiệm tầm thường .
Định nghĩa 1.2.5. Nghiệm tầm thường của phương trình vi phân (1.18) được gọi
là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu:
∀ε > 0,t
0
∈ R
+
,∃δ = δ (t
0
,ε) > 0,sao choϕ < δ ⇒ ||x
t
(t,ϕ)|| < ε,t  t
0
.
15
Định nghĩa 1.2.6. Nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) được gọi là ổn định
đều khi t → +∞ nếu số δ trong định nghĩa (1.2.5) không phụ thuộc vào t
0
.
Định nghĩa 1.2.7. Nghiệm tầm thường của phương trình vi phân (1.18) được gọi
là ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t → +∞ nếu:
1. Nghiệm tầm thường là ổn định,
2. ∃∆ = ∆(t
0
) > 0,∀ϕ ∈ C,ϕ < ∆ ⇒ lim
t→+∞
x(t
0
,ϕ) = 0

Định nghĩa 1.2.8. Nghiệm tầm thường của phương trình vi phân (1.18) được gọi
là ổn định tiệm cận đều theo Lyapunov khi t → +∞ nếu
1. Nghiệm tầm thường là ổn định đều.
2. ∃∆ > 0(∆ không phụ thuộc vào t
0
),
∀ϕ ∈ C,ϕ < ∆ ⇒ lim
t→+∞
x(t
0
,ϕ) = 0.
1.2.2. Một số định lý cơ bản theo phương pháp hàm Lyapunov
Trong phần này, tôi giới thiệu một số điều kiện đủ về sự ổn định và không ổn
định của nghiệm tầm thường của phương trình (1.18). Đây là kết quả mở rộng của
phương pháp thứ hai của Lyapunov cho phương trình vi hàm.
Định nghĩa 1.2.9. (Phiếm hàm Lyapunov) Ta gọi phiếm hàm liên tục V : R×C →
R, thoả mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, là phiếm hàm Lyapunov. Nếu
V : R× C → R liên tục, x(t
0
,ϕ) là nghiệm của phương trình (1.18) đi qua điểm
(t
0
,ϕ), và
˙
V (t,ϕ) = lim
h→0
+
sup
1
h

[V (t + h, x
t+h
(t,ϕ))−V (t,ϕ)],
hàm
˙
V (t,ϕ) được gọi là đạo hàm trên bên phải của hàm V (t,ϕ) dọc theo quỹ đạo
của nghiệm phương trình (1.18).
Xét phiếm hàm Lyapunov V (t) = V (t, ϕ) xác định trên miền Ω = R
+
×C.
Để nghiên cứu tính ổn định đều và ổn định tiệm cận đều của phương trình vi phân
hàm (1.18), ta luôn giả thiết f (t, ϕ) là hoàn toàn liên tục trên Ω và f (t,0) = 0.
Ký hiệu:
K = {a | a : R
+
→ R
+
,a liên tục không giảm và a(0) = 0,a(s) > 0 với s > 0}.
Định lý 1.2.10. (Định lý ổn định) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục (Lyapunov)
thoả mãn điều kiện:
1. V (t, 0) = 0,
16
2. a(ϕ) ≤ V(t,ϕ), a∈ K,
3.
˙
V (t,ϕ) ≤ 0,
thì nghiệm tầm thường của hệ (1.18) ổn định.
Chứng minh. Giả sử phiếm hàm Lyapunov V (t, x) thoả mãn các điều kiện trên, ta
chứng minh nghiệm tầm thường của phương trình vi phân (1.18) là ổn định. Giả sử
ε > 0(ε < H), đủ bé, ta xác định mặt cầu:

S
ε
= {φ|φ ∈ C
H
,φ = ε},
từ điều kiện (2) ta suy ra
0 < a(ε)  V (t,φ),φ ∈ S
ε
.
Vì V (t,0) = 0, V (t,ϕ) là hàm liên tục nên với t
0
cố định và a(ε) > 0 tồn tại
δ(t
0
,ε) > 0 sao cho:
ϕ < δ (t
0
,ε) ⇒ V (t
0
,ϕ) < a(ε).
Lấy x = x(t
0
,ϕ) là nghiệm của (1.18) sao cho với ϕ < δ, ta sẽ chứng minh
x
t
(t
0
,ϕ) < ε,∀t  t
0
. (1.19)

Giả sử (1.19) không xẩy ra tức là tồn tại t
1
> t
0
sao cho nghiệm x
t
(t
0
,ϕ) vớiϕ < δ
thỏa mãn
x
t
1
(t
0
,ϕ) = ε,
Từ điều kiện (3) và tính liên tục V (t) = V (t,x
t
1
(t
0
,ϕ)), nên V (t) giảm theo t và
t
0
< t ≤ t
1
ta có:
V (t
1
,x

t
1
(t
0
,ϕ))  V (t, x
t
(t
0
,ϕ)),
suy ra
a(ε)  V (t
1
,x
t
1
(t
0
,ϕ)  V (t
0
,ϕ) < a(ε).
Vậy
ϕ < δ ⇒ x
t
(t
0
,ϕ) < ε,∀t  t
0
,
tức là nghiệm tầm thường là ổn định.
Định lý 1.2.11. (Định lý ổn định đều) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục V : R

+
×
C → R
+
thỏa mãn các điều kiện sau:
1. a(ϕ(0))  V(t,ϕ)  b(ϕ), a(r), b(r) ∈ K,
2.
˙
V (t,ϕ)  0,
thì nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là ổn định đều.
17
Chứng minh. Lấy ε > 0 tùy ý ε < H, tồn tại δ = δ(ε) > 0,(0 < δ < ε) sao cho
b(δ) < a(ε). Khi đó với t
0
cố định bất kì, lấy một nghiệm x
t
(t
0
,ϕ) tùy ý của (1.18)
sao cho ϕ < δ. Từ giả thiết
˙
V  0 ta có:
a(x
t
(t
0
,ϕ))  V (t, x
t
(t
0

,ϕ))  V (t
0
,ϕ)  b(ϕ)  b(δ) < a(ε).
Tức là
x
t
(t
0
,ϕ) < ε,∀t > t
0
,ϕ < δ .
Vậy nghiệm là ổn định đều.
Định lý 1.2.12. ( Định lí ổn định tiệm cận đều) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục
V : R
+
×C → R
+
thỏa mãn các điều kiện sau:
1. a(ϕ(0))  V(t,ϕ)  b(ϕ), a(r), b(r) ∈ K,
2.
˙
V (t,ϕ)  −c(ϕ), c(r) liên tục và c(r) > 0 khi r > 0.
khi đó nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là ổn định tiệm cận đều.
Chứng minh. Từ định lí trên ta có thể suy ra nghiệm tầm thường của phương trình
(1.18) là ổn định đều. Bây giờ ta sẽ chứng minh nghiệm tầm thường của nó là ổn
định tiệm cận đều. Do nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) là ổn định đều
nên với H > 0 tồn tại δ
0
= δ
0

(H) > 0, sao cho với t
0
> 0 bất kỳ và ϕ  δ
0
, ta có:
x
t
(t
0
,ϕ) < H,∀t > t
0
.
Mặt khác ∀ε > 0,∃δ = δ (ε) > 0 ta có:
ϕ < δ (ε) ⇒ x
t
(t
0
,ϕ) < ε,∀t  t
0
.
Tiếp theo ta chứng minh: Điều kiện (2) của định nghĩa (1.2.8)
Giả sử điều kiện (2) của định nghĩa (1.2.8) không xẩy ra tức là tồn tại một nghiệm
x
t
(t
0
,ϕ), (t
0
∈ R
+

,ϕ < δ
0
) không không thỏa mãn:
lim
t→+∞
x
t
(t
0
,ϕ) = 0,
khi đó tồn tại dãy t
k
, t
k
 t
0
,t
k
→ ∞(k → ∞), đồng thời
δ  x(t
0
,ϕ)(t
k
) < H.
Theo điều kiện (1) ta có:
V (t
k
,x(t
0
,ϕ)(t

k
)  a(δ ).
Từ điều kiện (2) ta suy ra, tồn tại γ > 0 sao cho:
˙
V (t,ϕ)  −γ,
18
với δ (ε) > ϕ ta có:

t
t
0
˙
V (τ,ϕ)dτ 

t
t
0
−γdτ,
hay
V (t,x
t
(t
0
,ϕ))  V (t
0
,ϕ)− γ(t− t
0
).
Kí hiệu
T =

b(δ
0
)− a(δ)
γ
.
Vì V (t
0
,ϕ)  b(δ
0
) nên với t  t
0
+ T và ϕ < δ
0
ta có:
V (t
0
,ϕ)− γ(t− t
0
)  b(δ
0
)− γT
 b(δ
0
)− b(δ
0
) + a(δ)
 a(δ).
Chứng tỏ V (t,x
t
(t

0
,ϕ) < a(δ ). Mâu thuẫn với
V (t
k
,x(t
0
,ϕ)(t
k
)  a(δ ),
điều đó chứng tỏ giả thiết phản chứng sai. Do đó với mọi t  t
0
+ T, (T = T (ε)) và
ϕ < δ ta có:
x(t
0
,ϕ) < ε.
Tức là ngiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.18) là ổn định tiệm cận
đều.
Ví dụ 1.2.13. Xét hệ phương trình vi phân:

˙x(t) = y(t)− x(t)y
2
(t− r
1
(t)),
˙y(t) = −x(t)− y(t)x
2
(t− r
2
(t)),

trong đó t ∈ R và r
j
(t)  0( j = 1,2) Để nghiên cứu tính ổn định của hệ ta xét hàm:
V (x,y) = x
2
+ y
2
.
Khi đó ta có:
V (x,y) = ϕ
2
,
đồng thời
˙
V (x,y) = 2.x(t).[y(t)− x(t).y
2
(t− r
1
(t))] + 2y[−x(t)− y(t).x
2
(t− r
2
(t))]
= −y
2
(t).x
2
(t− r
2
(t))− x

2
(t).y
2
(t− r
1
(t))
 0.
Vậy ta có nghiệm tầm thường của hệ là ổn định đều.
19
Định lý 1.2.14. (Định lý ổn định đều dạng Razumikhin) Giả sử tồn tại u, v∈ K,
w ∈ C(R
+
, R
+
), và phiếm hàm liên tục V : R× R
n
→ R thỏa mãn:
1.u(||x||) ≤ V (t, x) ≤ v(||x||), t ∈ R, x ∈ R
n
. (1.20)
2.
˙
V (t,ϕ(0)) ≤ −w(||ϕ(0)||) với
V (t + θ, ϕ(θ)) ≤ V (t,ϕ(0)),θ ∈ [−τ, 0]. (1.21)
Thì nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) ổn định đều.
Chứng minh. Với ε > 0 tùy ý (ε < H), tồn tại δ = δ (ε) > 0, sao cho v(δ ) < u(ε).
Khi đó với t
0
cố định bất kì, lấy một nghiệm x
t

(t
0
,ϕ) tùy ý của (1.18) sao cho
ϕ < δ. Nếu tồn tại t
∗
> t
0
,||x(t
∗
)|| ≥ ε thì:
V (t
∗
,x(t
∗
))  u(||x(t
∗
)||)  u(ε) > v(δ) ≥ V (t
0
,ϕ).
Do đó, tồn tại
¯
t ∈ (t
0
,t
∗
] sao cho:
˙
V (
¯
t,x(

¯
t)) > 0 trong khi đó V (t + θ, x(
¯
t + θ)) ≤ V (
¯
t,x(
¯
t)),θ ∈ [−τ, 0].
Trái với điều kiện (1.21), vậy
x
t
(t
0
,ϕ) < ε,∀t > t
0
,ϕ < δ .
Hay nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) ổn định đều.
Định lý 1.2.15. (Định lý ổn định tiệm cận đều dạng Razumikhin) Giả sử tồn tại
u,v, w ∈ K, và phiếm hàm liên tục V : R× R
n
→ R thỏa mãn:
1.u(||x||) ≤ V (t, x) ≤ v(||x||), t ∈ R, x ∈ R
n
. (1.22)
2. Tồn tại một hàm liên tục không giảm p(s) > s, s > 0 sao cho:
˙
V (t,ϕ(0)) ≤ −w(||ϕ(0)||) với
V (t + θ, ϕ(θ)) ≤ p(V(t, ϕ(0))),θ ∈ [−τ, 0]. (1.23)
Thì nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) ổn định tiệm cận đều.
Chứng minh. Theo định lý (1.2.14) nghiệm tầm thường của trình (1.18) ổn định

đều. Giả sử δ > 0,h > 0 sao cho v(δ) = u(h) theo định lý (1.2.14) nếu ||φ||≤ δ thì
||x
t
(t
0
,φ)|| ≤ h,V(t, x
t
(t
0
,φ)) ≤ v(δ) với t ≥ t
0
− τ.
Giả sử với η(0 < η ≤ h) tùy ý ta cần chứng minh tồn tại một số
¯
t =
¯
t(η, δ) sao
cho với t
0
≥ 0 và ||φ||≤ δ, nghiệm của phương trình (1.18) thỏa mãn ||x
t
(t
0
,φ)|| ≤
η,t ≥ t
0
+
¯
t + τ tức là ta phải chứng minh
V (t,x

t
(t
0
,φ)) ≤ u(η) với t ≥ t
0
+
¯
t.
Đặt x(t) = x
t
(t
0
,φ), từ tính chất của hàm p(s), tồn tại số thực a > 0 thỏa mãn
p(s)−s > a, u(η)≤ s≤ v(δ ). Lấy N là số nguyên dương sao cho u(η)+Na≥ v(δ),
20
kí hiệu γ = inf
η≤s≤H
w(s) và T = Nv(δ )/γ.
Ta chứng minh với j = 1, 2,..., N, T
j
= jv(δ)/γ thì
V (t,x(t)) ≤ u(η) + (N − j)a, t ≥ t
0
+ T
j
. (1.24)
Thật vậy, bằng quy nạp, với j=1 ta chứng minh:
V (t,x(t)) ≤ u(η) + (N − 1)a,t ≥ t
0
+ (v(δ)/γ).

Giả sử ngược lại
V (t,x(t)) ≥ u(η) + (N − 1)a, ∀t ∈ [t
0
− τ,t
0
+ (v(δ)/γ)],
từ V (t,x(t)) ≤ v(δ) với t ≥ t
0
− τ, θ ∈ [−τ, 0], suy ra
p(V (t, x(t))) > V (t, x(t)) + a ≥ u(η) + Na ≥ v(δ ) ≥ V (t + θ ,x(t + θ)),
theo (1.23) ta có:
˙
V (t,x(t)) ≤ −w(||x(t)||) ≤−γ,
nên
V (t,x(t)) ≤ V (t
0
,x(t
0
))− γ(t− t
0
) ≤ v(δ )− γ(t− t
0
).
Do đó
V (t
0
+ (v(δ)/γ)), x(t
0
+ (v(δ)/γ))) ≤ v(δ))− v(δ )) ≤ 0,
điều này trái với giả thiết (1.22), vậy tồn tại t

∗
∈ [t
0
− τ,t
0
+ (v(δ )/γ)], sao cho
V (t
∗
,x(t
∗
)) ≤ u(η) + (N − 1)a và từ (1.23) với mọi t ≥ t
∗
, ta có:
V (t,x(t)) ≤ V (t
∗
,x(t
∗
)) ≤ u(η) + (N − 1)a.
Hay
V (t,x(t)) ≤ u(η) + (N − 1)a với t ≥ t
0
+ (v(δ)/γ).
Giả sử với j = k, k < N, t ≥ t
0
+ T
k
, ta có V (t,x(t)) ≤ u(η) + (N− k)a, thì
V (t,x(t)) ≤ u(η) + (N − k− 1)a,t ≥ t
0
+ T

k+1
.
Thật vậy, giả sử ngược lại:
V (t,x(t)) ≥ u(η) + (N − k− 1)a, ∀t ∈ [t
0
+ T
k
− τ,t
0
+ T
k+1
],
từ V (t,x(t)) ≤ u(η) + (N− k)a, t ≥ t
0
+ T
k
− τ,, và θ ∈ [−τ, 0], kéo theo
p(V (t, x(t))) > V (t, x(t)) + a ≥ u(η) + (N− k)a ≥ V (t + θ ,x(t + θ)),
theo (1.23) ta có:
˙
V (t,x(t)) ≤ −w(||x(t)||) ≤−γ,
21
nên
V (t,x(t)) ≤ V (t
0
+ T
k
,x(t
0
+ T

k
))− γ(t− t
0
− T
k
) ≤ v(δ )− γ(t− t
0
− T
k
) < 0,
với t ≥ t
0
+ T
k+1
, điều này trái với giả thiết (1.22).
Vậy tồn tại t
∗
∈ [t
0
+ T
k
− τ,t
0
+ T
k+1
), sao cho V (t
∗
,x(t
∗
)) ≤ u(η) + (N− k− 1)a

và từ (1.23) với mọi t ≥ t
∗
ta có:
V (t,x(t)) ≤ V (t
∗
,x(t
∗
)) ≤ u(η) + (N − k− 1)a.
Hay
V (t,x(t)) ≤ u(η) + (N − k− 1)a với t ≥ t
0
+ T
k+1
.
Vậy (1.24) được chứng minh, với j = N ta có V (t,x(t)) ≤ u(η),∀t ≥ t
0
+ Nv(δ)/γ
ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.2.16. Xét phương trình vi phân hàm
˙x(t) = −a(t)x(t)− b(t)x(t− r(t)),
trong đó a(t), b(t), r(t) liên tục và bị chặn trên R, |b(t)|≤ a(t), 0≤ r(t)≤ r với mọi
t ∈ R.
Chọn V (x(t)) =
1
2
x
2
(t). Nếu V (x(t− r(t))) ≤ V (x(t)) thì |x(t− r(t))| ≤|x(t)|, và ta
có:
˙

V (x(t)) = −a(t)x
2
(t)− b(t)x(t)x(t− r(t))
≤ −a(t)x
2
(t) +|b(t)|x
2
(t)
≤ −(a(t)−|b(t)|)x
2
(t) ≤ 0.
Vậy theo định lý ổn định đều dạng Razumikhin nghiệm tầm thường của hệ là ổn
định đều.
Với a(t) ≥ δ > 0, tồn tại hằng số k ∈ (0, 1) sao cho |b(t)| ≤ kδ. Chọn p(s) = q
2
s,
q > 1, kq < 1 ta có V (x(t− r(t))) ≤ p(V(x(t))), khi đó
˙
V (x(t)) ≤ −(1− qk)δ x
2
(t).
Vậy theo định lý ổn định tiệm cận đều dạng Razumikhin nghiệm tầm thường của hệ
là ổn định tiệm cận đều.
22
Chương 2
Phương trình vi phân có xung
và ứng dụng
2.1. Khái niệm về hệ phương trình vi phân có xung
2.1.1. Định nghĩa và ví dụ về hệ phương trình vi phân có xung
Xét phương trình vi phân có xung (xem[6],[10],[11]):


˙x = f (t, x), t = t
k
,
∆x(t
k
) = I
k
(x(t
−
k
)),k = 1, 2,...,
(2.1)
trong đó,
Ω ⊂ R
n
, Ω là tập mở, x = col(x
1
,x
2
,...,x
n
) ∈ Ω, f : R
+
× Ω → R
n
.
x(t
+
k

) = lim
h→0
+
x(t
k
+ h) = x(t
k
), x(t
−
k
) = lim
h→0
−
x(t
k
− h), ∆x(t
k
) = x(t
+
k
)− x(t
−
k
),
I
k
: Ω → R
n
, t
1

< t
2
< ... < t
k
< t
k+1
< ..., k = 1, 2,....
Ví dụ 2.1.1. 1. Xét phương trình vi phân có xung:



˙x = 0, t = k,
∆x(k) =
1
x(k
−
)− 1
,k = 1, 2,...,
(2.2)
với thời điểm ban đầu là (t
0
,x
0
) = (0, 1), nghiệm của phương trình vi phân có xung
trên đoạn [0, 1) là x = 1. Với t > 1, thì ∆x(1) =
1
x(1
−
)− 1
không xác định vì x(1

−
) =
1. Tuy nhiên, nghiệm của phương trình vi phân ˙x = 0 là x(t) = 0 xác đinh và liên
tục với mọi t.
23
2. Xét phương trình vi phân có xung:





˙x = 1 + x
2
;t =
kπ
4
,
∆x(t
k
) = −1,t
k
=
kπ
4
,k = 1, 2...,
(2.3)
với điều kiện ban đầu x(0) = 0 với t ∈ [t
0
,t
1

) = [0,
π
4
) nghiệm của phương trình
(2.3) là x(t) = tant. Với t ∈ [t
1
,t
2
) = [
π
4
,
π
2
) ta có:

x(t) = tan(t + c)
x(t
+
1
) = x(t
−
1
)− 1
⇒

x(t) = tan(t + c)
x(t
+
1

) = 0
⇒

x(t) = tan(t−
π
4
)
x(t
+
1
) = 0.
Vậy với t ∈ [
π
4
,
π
2
) nghiệm của phương trình (2.3) là x(t) = tan(t −
π
4
). Tương tự,
ta thấy rằng, với t ∈ [
kπ
4
,
(k + 1)π
4
) nghiệm của hệ là x(t) = tan(t−
kπ
4

), tuần hoàn
với chu kỳ π/4. Tuy nhiên, nghiệm của phương trình vi phân tương ứng x(t) = tant
tồn tại trong [0,
π
2
) vì lim
t→
π
2
−
tant = ∞.
Qua các ví dụ xét ở trên chúng ta có thể xây dựng một mô hình của phương trình
vi phân có xung, và đưa ra một ví dụ thực tế:
Xét một quá trình tiến hóa được xác định bởi hệ:
(i) Phương trình vi phân
˙x(t) = f (t, x), (2.4)
trong đó, Ω ⊂ R
n
, Ω là tập mở, x = col(x
1
,x
2
,...,x
n
) ∈ Ω; f : R
+
× Ω → R
n
,
(ii) tập M(t), N(t) ⊂ R

+
× Ω, ∀t ∈ R
+
.
(iii) toán tử A(t) : M(t) → N(t) với mỗi t ∈ R
+
.
Giả sử Ω là không gian pha của quá trình tiến hóa. Kí hiệu P
t
là đồ thị của quá
trình tiến hóa tại thời điểm t, đồ thị P
t
là cặp (t,x) của không gian hữu hạn n + 1
chiều. Tập R
+
× Ω được gọi là là không gian pha mở rộng của quá trình tiến hóa.
Giả sử x(t) = x(t,t
0
,x
0
) là nghiệm của (2.4) tại thời điểm ban đầu (t
0
,x
0
) quá
trình tiến hóa như sau:
Đồ thị P
t
của quá trình tiến hóa bắt đầu tại điểm P
t

0
= (t
0
,x
0
), di chuyển dọc
theo đường cong {(t, x(t)) : t ≥ t
0
} đến thời điểm t
1
> t
0
, tại t
1
đồ thị P
t
gặp M(t),
toán tử A(t
1
) lập tức biến điểm P
t
−
1
= (t
1
,(x(t
−
1
))) thành P
t

+
1
= (t
1
,x
+
1
)∈ N(t), x
+
1
=
A(t
1
)x(t
−
1
). Sau đó P
t
bắt đầu tại P
t
1
= x(t
1
,x
+
1
) di chuyển dọc theo đường cong
{(t, x(t)) : t ≥ t
0
,x(t) = x(t,t

1
,x
+
1
) nghiệm của (2.4)} đến thời điểm t
2
> t
1
, tại t
2
đồ thị P
t
gặp M(t), một lần nữa P
t
−
2
= (t
2
,x(t
−
2
)) được dịch chuyển đến điểm P
t
+
2
=
(t
2
,x
+

2
)∈ N(t), x
+
2
= A(t
2
)x(t
−
2
), quá trình tiến hóa cứ tiếp tục khi nghiệm của (2.4)
tồn tại.
24
Mối quan hệ giữa (i),(ii),(iii) đặc trưng bởi quá trình tiến hóa trên lập thành hệ
phương trình vi phân có xung. Đường cong mô tả các điểm P
t
là đường cong tích
phân và hàm định nghĩa đường cong tích phân là nghiệm của hệ phương trình vi
phân với xung. Nghiệm của hệ phương trình vi phân với xung là một hàm:
*Liên tục nếu đường cong không có điểm thuộc tập M(t), hoặc các điểm chung
của chúng là các điểm bất động của toán tử A(t).
*Liên tục từng mảnh với hữu hạn các điểm tại đó gián đoạn loại 1 nếu đường
cong tích phân giao với M(t) tại các điểm không là bất động của toán tử A(t).
*Liên tục từng mảnh với đếm được các điểm gián đoạn loại 1 nếu đường cong
tích phân giao với M(t) tại một số điểm đếm được, tại đó không là bất động của
A(t).
Thời điểm t
k
mà tại đó P
t
gặp M(t) được gọi là hiệu ứng xung, toán tử A(t) :

M(t) → N(t) gọi là toán tử nhẩy (jump operator).
Ví dụ mô hình tương tác vật dữ-con mồi mà Volterra đã đưa ra chưa có xung
như sau:
1. Con mồi sinh trưởng không giới hạn khi vật dữ không kiểm soát nó.
2. Vật dữ sống sót nhờ sự có mặt của con mồi làm thức ăn.
3. Tốc độ ăn thịt phụ thuộc vào xác suất con mồi gặp vật dữ.
4. Tốc độ tăng trưởng của quần thể vật dữ tỉ lệ thuận với lượng thức ăn kiếm
được.
Từ những giả thiết trên, Volterra đã thiết lập phương trình cho mô hình như sau:





dx(t)
dt
= Ax(t)− Bx(t)y(t),
dy(t)
dt
= −Cy(t) + Dx(t)y(t),
(2.5)
trong đó x(t), y(t) là mật độ quần thể con mồi và vật dữ tại thời điểm t(t ≥ 0),
A(A > 0) tốc độ tăng trưởng thực của quần thể con mồi khi không có mặt vật dữ.
C(C > 0) là tỉ lệ chết thực của quần thể vật dữ khi không có mặt con mồi. B, D là
các hằng số thỏa mãn
B
D
là hiệu suất săn mồi, xy thể hiện xắc suất vật dữ gặp con
mồi.
Mô hình trên đã bỏ qua rất nhiều yếu tố, vì trong thực tế sự tương tác giữa vật

dữ và con mồi là rất phức tạp. Ví dụ tại một thời điểm nào đó diễn ra sự nhập cư và
di cư của vật dữ hoặc con mồi, săn bắt hay nuôi thêm vật dữ hoặc con mồi của con
người, sự thay đổi thời tiết, thu hoạch mùa vụ, phun hóa chất.... Các yếu tố trên làm
ảnh hưởng đến mật độ quần thể của vật dữ và con mồi tại mỗi thời điểm ta gọi là
xung. Kết hợp với những yếu tố này với mô hình Volterra ta thu được phương trình
vi phân có xung.
Ví dụ tại thời điểm t = t
k
mật độ của vật ăn thịt bị thay đổi, ta có thể giả sử
∆y(t
k
) = y(t
+
k
)− y(t
−
k
) = g
k
y(t
−
k
), (2.6)
trong đó y(t
−
k
),y(t
+
k
) = y(t

k
) là mật độ động vật ăn thịt trước và sau khi bị xung,
g
k
∈ R là đặc trưng cho hiệu ứng xung tại t
k
. Nếu g
k
> 0 thì mật độ của vật ăn thịt
25