Tính toán ngẫu nhiên và một số ứng dụng vào lĩnh vực tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN






NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THUỶ







TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG
DỤNG VÀO LĨNH VỰC TÀI CHÍNH








LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2012

2


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN







NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THUỶ




TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG
DỤNG VÀO LĨNH VỰC TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học

Mã số: 60 46 15




LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC




NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGUYỄN THỊNH




Hà Nội – Năm 2012

3

BẢNG KÝ HIỆU










n


,

,

AB

AB

A B AB

i
i
a


i
i
a


 
 

:x X x P x X x P    

x

sup E
inf E
lim limsup
n
n




lim liminf
n
n




 
PA

 
P A F

 
:EX X dP





( ) ( )
F
E X E X F

Tập các số tự nhiên
Tập các số hữu tỉ
Tập các số thực
Tập các số nguyên
Tập các số phức
Không gian n - chiều
Thuộc, không thuộc
Tồn tại, với mọi
A là tập con của B
Hợp của A và B
Giao của A và B
Tổng các số a
i

Tích các số a
i


Tập các phần tử
xX
có tính chất P
Chuẩn của
x

Cận trên đúng của E
Cận dưới đúng của E
Giới hạn trên
Giới hạn dưới
Xác suất của A
Xác suất có điều kiện của A đối với F
Kỳ vọng của X
Kỳ vọng có điều kiện của X đối với F

4

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU 7
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 9
Phần 1. Cơ sở giải tích ngẫu nhiên 9
1.1. Một số kiến thức liên quan tới quá trình ngẫu nhiên 9
1.1.1. Quá trình đo được 9
1.1.2. Quá trình đo được dần 9
1.1.3. Quá trình khả đoán 9
1.1.4. Quá trình thích nghi với một bộ lọc 10
1.1.5. Quá trình khuếch tán 11
1.1.6. Quá trình Ornstein-Uhlenbeck 12
1.1.7. Quá trình Wiener (Chuyển động Brown) 13
1.2. Tích phân ngẫu nhiên và Bài toán lọc 14
1.2.1. Tích phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô 14
1.2.2. Lý thuyết lọc ngẫu nhiên 18
Phần 2. Martingale với thời gian rời rạc 22
1.3. Khái niệm tương thích và dự báo được 23
1.4. Thời điểm Markov và thời điểm dừng 23
1.4.1. Thời điểm dừng 23

1.4.2. Quá trình dừng 24
1.4.3. Thời điểm Markov 24
1.4.4. Quá trình Markov 25
1.4.5. Hai điều kiện tương thích của quá trình Markov 25
1.4.6. Các tính chất của thời điểm Markov và thời điểm dừng 25
1.5. Martingale 26
1.5.1. Các định nghĩa 26
1.5.2. Các tính chất 28
1.5.3. Phép biến đổi Martingale 28
1.5.4. Ví dụ 29
1.6. Một số bất đẳng thức và định lý cơ bản 30

5

1.6.1. Bất đẳng thức Kolmogorov 30
1.6.2. Định lý Kolmogorov 30
1.6.3. Bất đẳng thức Doob 30
1.6.4. Bất đẳng thức cắt ngang 31
1.6.5. Định lý hội tụ Doob 31
1.6.6. Định lý về tồn tại và duy nhất lời giải 32
1.6.7. Lời giải yếu và lời giải mạnh 37
CHƢƠNG 2. TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO LĨNH
VỰC TÀI CHÍNH 38
2.1. Thị trường, danh mục đầu tư và thị trường có độ chênh lệch thị giá 38
2.1.1. Định nghĩa 38
2.1.2. Định nghĩa 42
2.1.3. Định nghĩa 42
2.1.4. Ví dụ 43
2.1.5. Định lý của Dudley 45
2.1.6. Bổ đề 45

2.1.7. Định nghĩa 46
2.1.8. Định lý 47
2.1.9. Ví dụ 49
2.2. Tính đạt được và tính đầy đủ 50
2.2.1 Bổ đề 50
2.2.2 Bổ đề 50
2.2.3. Bổ đề 52
2.2.4. Định nghĩa 53
2.2.5. Định lý 54
2.2.6. Hệ quả 57
2.2.7. Ví dụ 57
2.2.8. Ví dụ 57
CHƢƠNG 3. ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 59
3.1. Định nghĩa 60

6

3.2. Định lý 60
3.3. Định lý 65
3.4. Định lý 66
3.5. Ví dụ 67
3.6. Định lý (Công thức tổng quát Black & Scholes) 69
Quyền chọn kiểu Mỹ (American options) 74
3.7. Định nghĩa 74
3.8. Định lý (Công thức định giá quyền chọn kiểu Mỹ) 75
Trường hợp Khuyếch tán Itô: Liên kết với tối ưu dừng 78
3.9. Định lý 80
3.10. Ví dụ 80
KẾT LUẬN 82

7

LỜI MỞ ĐẦU
Ngày nay quá trình ngẫu nhiên ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học
như: tin học, sinh học, y học, vật lý, tài chính. Trong đó có những kiến thức về lý
thuyết các quá trình ngẫu nhiên, lý thuyết martingale, lý thuyết lọc ngẫu nhiên, lý
thuyết khuyếch tán, tích phân ngẫu nhiên, công thức Itô.
Bản luận văn gồm 3 chương: Dựa trên cơ sở các phần nội dung cơ bản là lý
thuyết của các quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu và vận dụng vào các mô hình
toán đáng tin cậy và được áp dụng rất nhiều trong thực tế đặc biệt là trong ngành tài
chính. Các mô hình được nghiên cứu là các mô hình chung (có thể không liên tục)
như mô hình nửa martingale hoặc những mô hình làm cơ sở cho các quá trình ngẫu
nhiên mà không cần nửa martingale như chuyển động Brown.
Chương 1. Trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên
Đó là các quá trình liên quan tới quá trình ngẫu nhiên như: quá trình đo được,
đo được dần, quá trình khả đoán, quá trình thích nghi, quá trình khuyếch tán, quá
trình Ornstein - Uhlenbeck, quá trình Wiener (chuyển động Brown).
Đó là Martingale với thời gian rời rạc nội dung chủ yếu là Thời điểm Markov
và thời điểm dừng, Mactingale; Các bất đẳng thức và Định lý Kolmogorov, Doob.
Chương 2. Trình bày về tính toán ngẫu nhiên Ito và khái niệm đầy đủ của thị trường.
Chương này đưa ra các định nghĩa về thị trường đầu tư, danh mục đầu tư,
danh mục đầu tư chấp nhận được (có độ chênh lệch thị giá - arbitrage) để so sánh
với thị trường thực tế hiện nay là không có độ chênh lệch thị giá -no arbitrage (Định
nghĩa 2.1.1, 2.1.2);
Nội dung cơ bản của chương đó là đưa ra các Bổ đề, trên cơ sở đó nêu định
nghĩa về tính đạt được và tính đầy đủ (Định nghĩa 2.2.4); Định lý quan trọng (2.2.5)
đó là đưa ra điều kiện cần và đủ để một thị trường đầy đủ, hệ quả và ví dụ cụ thể

của thị trường đầy đủ.
Chương 3. Dùng các kỹ thuật tính toán ngẫu nhiên được trình bày trong
chương 2 để tính giá (pricing) và chiến lược đầu tư tương ứng (hedging) cho thị
trường đầy đủ, sau đó áp dụng cho mô hình Black & Scholes là trường hợp riêng
của thị trường đầy đủ.

8

Trong lĩnh vực tài chính ta biết rằng hoạt động tiêu biểu chính là hoạt động
ngân hàng và trong nền kinh tế thị trường hoạt động này thường có các dịch vụ chủ
chốt như: dịch vụ khách hàng, ngoại thương, nhận tiền gửi, dịch vụ cho vay kinh
doanh và các dịch vụ khác. Trong các dịch vụ ấy, có nhiều công đoạn hoạt động với
lãi lỗ khác nhau và thay đổi theo thời gian. Vì vậy điều quan trọng là: xác định được
giá của mỗi quyền chọn mua tại từng thời điểm và đầu tư số tiền bảo chứng là bao
nhiêu cho vừa phải để đảm bảo cho hoạt động kinh doanh. Có hai loại quyền chọn
mua chủ yếu:
- Quyền chọn kiểu Châu Âu (European options) - Nhà đầu tư đi mua quyền
được bán hoặc được mua, trong đó chỉ cho phép kinh doanh tại chính một thời điểm
cố định.
- Quyền chọn kiếu Mỹ (American options) trong đó có thể kinh doanh tại bất
cứ thời điểm nào trước thời điểm kết thúc kinh doanh.
Hiện nay quyền chọn kiểu Châu Âu là khá phổ biến và nội dung cơ bản của
phần này đó là đưa ra các định nghĩa về giá, giá mà người mua sẽ phải trả cho
quyền chọn mua và giá mà người bán có thể chấp nhận trong quyền chọn bán của
mình (Định nghĩa 3.1). Bên cạnh đó cũng đưa ra cơ sở lý luận cho việc đầu tư quay
vòng như thế nào để có thể đạt được một yêu cầu? thể hiện trong nội dung (Định lý
3.4) tìm một danh mục đầu tư quay vòng để đạt được yêu cầu F cho trước. Hiểu rõ
hơn vấn đề này luận văn cũng đưa ra một ví dụ cụ thể (Ví dụ 3.5).
Lý thuyết xác suất nói chung và lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên nói riêng
đã được áp dụng có hiệu quả trong ngành tài chính những năm gần đây, đặc biệt là

sử dụng mô hình Black & Scholes để xác định chính xác hơn giá chi phí cho một
quyền chọn mua kiểu Châu Âu (Định lý 3.6).
Quyền chọn kiểu Mỹ có sự khác biệt với quyền chọn kiểu Châu Âu đó là
người mua có thể tự do chọn lựa thời điểm kinh doanh bất kỳ trước hoặc tại thời
điểm kết thúc kinh doanh. Chương này cũng đưa ra các định nghĩa trong quyền
chọn kiểu Mỹ và công thức định giá quyền chọn kiểu Mỹ (Định lý 3.8).



9

CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
Phần 1. Cơ sở giải tích ngẫu nhiên
Trong chương này, các kiến thức chuẩn bị về giải tích ngẫu nhiên được đưa
ra gồm các khái niệm, các tính chất và các định lý có liên quan được ứng dụng vào
lĩnh vực tài chính. Trong đó có những kiến thức về lý thuyết các quá trình ngẫu
nhiên, lý thuyết martingale, lý thuyết lọc ngẫu nhiên, lý thuyết khuyếch tán, tích
phân ngẫu nhiên, các công thức Itô.
1.1. Một số kiến thức liên quan tới quá trình ngẫu nhiên
1.1.1. Quá trình đo đƣợc
Cho
( , , )P F
là một không gian xác suất. Một quá trình ngẫu nhiên
 
0,
t
X X t
được gọi là đo được nếu nó đo được đối với



trường tích
B



F
. Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel của

, tập hợp
   
 
:
,,
XB
tt


thuộc về


trường tích
B



F
. Đó là


trường nhỏ

nhất chứa các tập có dạng
 
0,
A
t

với
,tA

 F
.
1.1.2. Quá trình đo đƣợc dần
Cho một không gian xác suất được lọc (
 
0
, , ,
t
t
P

 FF
). Gọi
 
0,t
B
là


trường Borel trên
 

0,t
. Cho một quá trình ngẫu nhiên
 

0,
t
t
XX

  




. Xét hạn
chế của
X
trên đoạn
 
0,t
, với một
t
cố định thuộc


. Ta có ánh xạ
 
: 0,Xt  
. Trên tích
 

0,t 
, ta xét


trường tích
 
0,
t
t
BF
. Nếu
X
đo được
đối với


trường tích ấy với mỗi
t


thì quá trình
X
là quá trình đo được dần.
1.1.3. Quá trình khả đoán



trường khả đoán là



trường nhỏ nhất các tập con của


, mà đối
với nó mọi quá trình liên tục trái đều là đo được. Cho một quá trình ngẫu nhiên
 
 
,X X t


thích nghi với
 
t
F
. Nếu hàm
   
,,t X t


(từ

 
) là
P 
đo được thì ta nói
X
là một hàm khả đoán đối với
 
t
F

.

10

a.


trường các tập hoàn toàn đo được trên


đó là


trường
O
các
tập con của


và nhỏ nhất mà đối với nó mọi quá trình liên tục bên phải và có
giới hạn trái là đo được.
b. Nếu
 
 
,X X t


là một ánh xạ đo được từ
 
 

,,OB

 


ta nói
X
là một quá trình hoàn toàn đo được.
1.1.4. Quá trình thích nghi với một bộ lọc
1.1.4.1. Một họ các


trường con
t
FF
được gọi là một bộ lọc nếu thoả mãn
các điều kiện sau:
(i) Họ đó là một họ tăng, tức là
st
Fs F
nếu
st

(ii) Họ đó là liên tục phải, tức là
0
tt







FF

(iii) Mọi tập
P 
bỏ qua được
AF
đều được chứa trong
0
F
(do đó nằm
trong mọi
t
F
).
1.1.4.2. Cho một quá trình ngẫu nhiên
 
0,
t
X X t
. Xét họ


trường
X
t
F

sinh bởi biến ngẫu nhiên

 
t
X

, tức
 
0,
X
t
s
X s t



F
. Khi đó họ
 
0,
X
t
t F
được gọi là bộ lọc tự nhiên của quá trình
X
, hay lịch sử của
X
.
1.1.4.3. Cho một bộ lọc bất kỳ
 
,
t

t

F
trên
 
FW,
. Một quá trình
Y
được gọi
là thích nghi với bộ lọc này nếu với mọi
t
Y
là đo được đối với


trường
t
F
.
Mọi quá trình
 
,
t
X X t


là thích nghi với lịch sử của nó
 
,
X

t
t

F
.
1.1.4.4. Cho một quá trình
X
với lịch sử của nó là
 
,
X
t
t

F
. Một quá trình
Y
bất kỳ là thích nghi với lịch sử
X
t
F
của quá trình
X
nếu và chỉ nếu
 
t
Y

có
thể biểu diễn được dưới dạng

 
   
 
12
, ,
ss
tt
XX
Yf




trong đó
12
, , ss
là một dãy các phần tử của
 
0,t
và
t
f
là một hàm Borel thực trên



.

11

1.1.5. Quá trình khuếch tán
Theo quan điểm tất định, một quá trình khuếch tán là lời giải của bài toán
Cauchy cho một loại phương trình đạo hàm riêng parabolic. Theo quan điểm ngẫu
nhiên, thì quá trình này thực chất là một họ các quá trình ngẫu nhiên và là các quá
trình Markov, chúng thoả mãn một phương trình vi phân ngẫu nhiên được gọi là
phương trình khuếch tán.
1.1.5.1. Định nghĩa
Một họ các quá trình Markov
 
,
tx
XP
trên không gian
 
,
n
n
B


được gọi là
quá trình khuếch tán trên
n

, nếu:
a. Toán tử sinh cực vi
A
của quá trình Markov
X

xác định trên mọi hàm
hữu hạn khả vi liên tục hai lần và tồn tại hàm vectơ liên tục
 
i
bx
và ma trận vectơ
liên tục
 
 
ij
ax
đối xứng và xác định không âm với mọi
x
sao cho

       
2
2
, 1 1
1
:
2
nn
ij i
i j i
i j i
ff
f C Af x Lf x a x b x
x x x



    



b. Toàn bộ quĩ đạo của các
t
X
đều là liên tục
1.1.5.2. Chú ý
a. Toán tử sinh cực vi (infinitesimal generator) của một quá trình Markov:
Một quá trình Markov
X
tương ứng với một bán nhóm
 
t
P
xác định trên
các hàm thuộc lớp
2
C
bởi

      
,
t
P f x P x dy f y

với
 

,P x A
là xác suất chuyển.
Khi đó toán tử sinh cực vi tương ứng
A
được xác định bởi
0
lim
h
h
PI
A
h



,
trong đó
I
là toán tử đồng nhất.
b. Một quá trình khuếch tán
X
trên
n

là một quá trình với quỹ đạo liên tục
12
( , , , )
n
X X X X
sao cho với

0, 0th  
thì

 
; ( )
i i i
t h t s t
E X X X s t b X h h



   



12

và
   
 
   
i i i j j j ij
t h t t t h t t t
E X X b X h X X b X h a X h h


   
     
   

với những hàm
 
1
i
b i n
nào đó trên
n

mà ta gọi là hệ số dịch chuyển và những
hàm
 
1,
ij
a i j n
nào đó trên
n

mà ta gọi là các hệ số khuếch tán.
c. Nếu dịch chuyển b và khuếch tán a là những hàm trơn đến một cấp nào
đấy thì hàm mật độ chuyển
 
,
t
p x y
của quá trình khuếch tán
X
sẽ thoả mãn hai
phương trình đạo hàm riêng sau đây:
(1)
   

,,
t x t
p x y L p x y
t



với
y
cố định
(2)
   
*
,,
t y t
p x y L p x y
t



với
x
cố định
trong đó,
    
 
 
 
2
,

,,
1
,
2
ij i
xt
i j i
i j i
p x y p x y
L p x y a x b x
x x x


  


và
 
   
 
 
 
2
*
,
,,
1
,
2
ij i

yt
i j i
i j i
p x y p x y
L p x y a y b y
y y y


  


Phương trình (1) được gọi là phương trình Kolmogorov lùi,
Phương trình (2) được gọi là phương trình Kolmogorov tiến.
1.1.6. Quá trình Ornstein-Uhlenbeck
Quá trình Ornstein-Uhlenbeck
 
,
t
X X t


với tham số
0


và giá trị
ban đầu
0
(0,1)XN
là một quá trình Gauss với

trung bình
0,
t
EX t

  

hàm tương quan
 
 
exp ,
ts
E X X t s s t


    

Đó là một quá trình dừng theo nghĩa rộng.
Xét quá trình dừng theo nghĩa hẹp, ta xét trên mật độ xác suất chuyển của
một quá trình Ornstein-Uhlenbeck với
1




 
 
2
()
2

2( )
1
, ; , exp
2(1 )
2 (1 )
t t s
ts
ts
y xe
p s x t y
e
e














13

mật độ này chỉ phụ thuộc vào
ts

, do đó phân bố của
X
cũng chỉ phụ thuộc vào
ts
.
1.1.7. Quá trình Wiener (Chuyển động Brown)
1.1.7.1. Một quá trình
 
,0
t
X X t
được xác định trên một không gian xác suất đủ
 
,,FP
được gọi là một quá trình Wiener với tham số phương sai
2

nếu nó là
một quá trình Gauss với các tính chất sau:
(i)
0
0X 
h.c.c.
(ii) Với mỗi cặp
 
,,
ts
s t s t X X
có phân phối chuẩn (Gauss) với trung
bình 0 và phương sai là

 
2
ts



(iii) Có số gia độc lập, tức là các biến ngẫu nhiên
43
tt
XX
và
21
tt
XX
là độc
lập, với
1 2 3 4
t t t t   
.
(iv) Với hầu hết

, các quỹ đạo
 
t
tX


là liên tục.
1.1.7.2.
 

t
XX
là một quá trình Wiener với tham số phương sai
2

nếu
X
là một
quá trình Gauss với
 
0
t
E X t
và hàm tương quan cho bởi:

     
2
, .min ,
ts
R t s E X X t s



1.1.7.3. Một quá trình Wiener
 
t
XX
với tham số phương sai
2
1



được gọi là
quá trình Wiener tiêu chuẩn (hay chuyển động Brown tiêu chuẩn).
1.1.7.4. Các tính chất quan trọng của một quá trình Wiener
Cho
 
t
WW
là một quá trình Wiener
a.
t
W
là một martingale đối với
w
t
F
(


trường nhỏ nhất sinh bởi
,,
s
W s t

còn gọi là lịch sử của
t
W
tính cho đến thời điểm
t

).
b. (i) P{
:

quỹ đạo
 
t
tW


là khả vi }= 0.
(ii) P{
:

quỹ đạo
 
t
tW


có biến phân bị chặn trên một khoảng hữu
hạn bất kỳ}= 0.

14

c.
W
tuân theo luật lôga lặp như sau:
 
: limsup 1 1

2 loglog
t
t
W
P
tt










d. Cho
B

là họ tất cả các hàm thực Borel xác định trên

. Với mỗi
0t 
và
fB

, ta định nghĩa hàm
t
Pf
trên


xác định bởi

  
 
 
2
1
2
1
exp
2
2
t
yx
P f x f y dy
t
t










Khi đó: (i)
t

P f B


(ii) Với
0 st
và
fB

, thì
    
t s t s
P f x E f W W x





hầu khắp nơi đối với độ đo Lesbesgue trên

.
(iii)
      
W
t s t s t s s
E f W F E f W W P f W







,
Vậy
W
là một quá trình Markov.
1.2. Tích phân ngẫu nhiên và Bài toán lọc
1.2.1. Tích phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô
Một số nội dung của luận văn này phải đưa về bài toán tính tích phân có dạng:
 
,
b
t
a
I f t dW



với
 
,ft

là một hàm ngẫu nhiên,
t
W
là một quá trình Wiener.
1.2.1.1. Tích phân ngẫu nhiên Itô
Tích phân Itô của một hàm ngẫu nhiên đo được dần
 
,ft


có thể được định
nghĩa như một giới hạn theo xác suất như sau:

     
1
0
0
, lim ,
ii
T
tt
I f f t dt P f t W W




   




trong đó
 
1
max
kk
tt

  
với mọi phân hoạch

01
0
n
t t t T    
.
1.2.1.2. Các tính chất quan trọng của tích phân Itô
a.
 
0
,0
t
s
E f s dW





15

b.
 
2
2
00
,
tt
s
E f s dW E f ds








c.
 
0
,
t
ts
X f s dW



là một martingale đối với
w
t
F

1.2.1.3. Vi phân ngẫu nhiên Itô
Cho
 
,ft

là một hàm ngẫu nhiên khả đoán,
t
W
là một quá trình Wiener

một chiều, giả sử
 
t
XX
là một quá trình ngẫu nhiên đo được bất kỳ lấy giá trị
trong
 
,B


. Ta nói quá trình ngẫu nhiên này có vi phân ngẫu nhiên Itô
t
dX
nếu
a. Hầu hết các quỹ đạo của
 
t
X

là liên tục
b. Tồn tại
 
,ft

,
 
,ht

là những hàm ngẫu nhiên đo được dần,
f

khả
đoán, khả tích theo mọi đoạn hữu hạn với hầu hết

.
c. H.c.c ta có
   
0
00
,,
tt
ts
X X f s dW h s ds

  


khi đó ta viết
   
,,
tt
dX f t dW h t dt



1.2.1.4. Công thức Itô
Cho
t
XX
là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân ngẫu nhiên Itô (có dạng
tt

dX adt bdW
). Giả sử
 
2
g , :tx 
là một hàm một lần khả vi liên tục theo
biến thứ nhất
t
, hai lần khả vi liên tục theo biến thứ hai
x
.
Khi đó quá trình ngẫu nhiên
 
,
tt
Y g t X
có vi phân Itô tính bởi công thức Itô như
sau:
 
2
2
1
2
1
2
tt
g g g g
I dY dt a dt b dt b dW
t x x x
   

   
   

Hoặc viết dưới dạng tích phân:

         
   
20
00
2
2
2
0
, 0, , ,
1
,,
2
tt
t t s s s
t
s
gg
I Y g t X g X s X ds s X dX
sx
g
s X f s ds
x


   









16

Hoặc
 
 
   
 
   
 
   
 
0
0
2
2
2
00
, , ,
1
, , , ,
2
t

t s s
tt
s s s
gg
Y Y s X a s s X ds
sx
gg
b s s X ds b s s X dW
xx
  
   


  









Chứng minh: Ta có thể giả sử các hàm
2
2
, , ,
g g g
g
t x x


  
là các hàm bị chặn. Theo
công thức Taylor ta có:

   
 
 
      
00
2 2 2
22
22
, 0, , 0,
11
22
t j j j j
j j j
j j j j j
j j j j
gg
g t X g X g t X g X t X
tx
g g g
t t X X R
t t x x

       

  

       
   
  
   

trong đó,
 
j
t
là phân hoạch của
 
0,t
,
2
2
,,
g g g
t x x

  
được tính tại các điểm
 
,
j
jt
tX

     
1 1 1 1
, , , , , ,

j j j j j j j j j j j j
t t t X X X g t X g t X g t X
   
        

22
,
j j j
R t X j

    

Nếu
0
j
t
thì

 
 
0
,,
j
t
j j t j s
jj
g g g
t t X t s X ds
t t s
  

   
  




 
 
0
,,
j
t
j j t j s s
jj
g g g
X t X X s X dX
x x x
  
   
  




    
22
2
2
1
0; 0;

2
j j j
jj
gg
t t x
t t x

    
  


Hơn nữa, vì
tt
dX adt bdW
hay
tt
X a t b W    
nên

        
2 2 2 2
2 2 2
22
2 2 2 2
2
j j j j j j j j j
j j j j
g g g g
X a t a b t W b W
x x x x

   
       
   
   
(*)
Từ (*) ta thấy khi
0
j
t
thì 2 biểu thức đầu tiên đều tiến dần đến 0, thật vậy

    
22
23
2
22
( ) 0
j j j j j j j
jj
gg
a b t W a b t
xx



      







;

17

vì
 
 
1
2
2
1
jj
j t t j j j
W W W t t t


        
.
Biểu thức cuối cùng trong (*) hội tụ tới
   
2
2
2
0
,,
t
s
g

s X b s ds
x




trong
 
2
L 
khi
0
j
t
, thật vậy, đặt
     
 
2
2
2
, , ,
t j j
g
A t t X b t A A t
x





ta có,
 
 
 
 


2
22
2
,
j j j j i j i i j j
j j i j
A W A t A A W t W t




           






  

Nếu
ij
thì

 
 
2
i j i i
A A W t 
và
 


2
jj
Wt  
là độc lập, do đó các biểu thức
tương ứng bị triệt tiêu, vì
 
 
2
2
;
i i j j
W t W t       
tương tự nếu
ij
ta cũng
có kết luận như trên. Vì thế chỉ còn lại trường hợp
ij
, khi đó nếu
0
j
t

thì
 


     
       
2
2 4 2 2
22
2 2 2 2
22
.2
. 3 2 . 0,
j j j j j j j j
jj
j j j j j j
jj
A W t A W W t t
A t t t A t



            






   

          
   





Hoặc, ta có
 
 
2
0
t
jj
A W A s ds


trong
 
2
L 
khi
0
j
t
hay
 
2
t
dW dt

.
Các lập luận trên cũng cho thấy khi
0
j
t
thì
0
j
j
R 

. Công thức Itô được chứng minh.
1.2.1.5. Công thức Itô tổng quát (trƣờng hợp nhiều chiều)
Cho
     
 
1
, , , , ,
m
B t B t B t
  

là chuyển động Brown m-chiều,
1
, ,
n
XX

là các vi phân ngẫu nhiên Itô có dạng:
dX hdt fdB

Với
 
,ft

,
 
,ht

là những hàm ngẫu nhiên đo được dần,
f
khả đoán, khả tích
theo mọi đoạn hữu hạn với hầu hết

.
Giả sử là các ánh xạ hai lần khả vi liên tục
n
  
. Khi đó quá trình
   
,,
t
Y t g t X


là một vi phân ngẫu nhiên p-chiều mà thành phần thứ k là
k
Y
được
cho bởi

     
2
,
1
, , ,
2
k k k
k i i j
i i j
i i j
g g g
dY t X t X dX t X dX dX
t x x x
  
  
   



18

với các biểu thức
ij
dX dX
thì
,0
i j ij i i
dBdB dt dBdt dtdB

  

.
Để chứng minh cho trường hợp tổng quát ta tiến hành bằng cách xấp xỉ hàm
g
bởi dãy hàm
n
g
sao cho
2
2
,,,
n n n
n
g g g
g
t x x

  
là các hàm bị chặn và hội tụ đều trên
các tập con compact của


0,
tương ứng với
2
2
, , ,
g g g
g
t x x


  
sau đó chứng
minh tương tự như phần 1 - chiều.
Ví dụ: Tính tích phân:
0
t
ss
I W dW


Chọn
 
2
;,
tt
X W g t x x
Khi đó,
 
2
,
t t t
Y g t W W

Vì
 
2
2
2
, 0, 2 , 2
g g g

g t x x x
t x x
  
    
  


0
1. 1
t
t t s
X W dW b   


Áp dụng công thức Itô ta có

2
0 0 0
1
2 2. 2
2
t t t
t t s s s
W Y W dW ds W ds t    
  

Suy ra
2
0
22

t
t
ss
W
t
I W dW  

.
1.2.2. Lý thuyết lọc ngẫu nhiên
1.2.2.1. Các khái niệm
Cho
 
,,P F
là một không gian xác suất đủ trang bị bởi một họ tăng liên
tục phải các

-trường con
t
FF
,
 
0,tT
. Cho
 
, 0,
t
X t T
là một họ các quá
trình ngẫu nhiên
t

F
-thích nghi (được gọi là các quá trình tín hiệu hay quá trình hệ
thống). Giả sử ta không thể quan sát
t
X
một cách trực tiếp nhưng muốn biết về
t
X

và ta có thể thực hiện quan sát
t
X
thông qua một quá trình ngẫu nhiên (được gọi là
một quá trình quan sát) có dạng:

19


0
t
t s t
Y h ds Z


trong đó
t
Z
là một quá trình
t
F

-Wiener n-chiều sao cho với mỗi t thì

-trường
tương lai
( )( )
ut
Z Z u t


độc lập với

-trường quá khứ
( , , )
vv
Y h v t


.
Thông tin về
s
X
được giả thiết là có trong quá trình ngẫu nhiên n-chiều
s
h
sao cho
   
2
0
, 0,
t

s
E h ds t T   

.
Các số liệu quan sát được cho bởi

-trường
t
G
sinh bởi các
,
s
Y s t
là một

-
trường con của
t
F
, tức
ts
Y s t

( , )G
.
1.2.2.2. Định lý Girsanov
Cho
 
1
, ,

m
t t t
W W W
là một quá trình Wiener n-chiều trên không gian xác
suất
 
,,FP
và
 
,
ts
B W s t


; cho
 
1
,
m
s s s
g g g
là một quá trình
t
B
-khả đoán
sao cho
2
0
t
s

g ds 

h.c.c.
Đặt
2
00
1
exp ( , )
2
tt
t s s s
g dW g ds






với giả thiết
 
1,
t
Et


(1)
Xây dựng độ đo xác suất
Q
trên
t

B
như sau:
 
 
,
tt
Q A E A A B


(2)
Khi đó:
(i) Nếu
t
M
là một
 
,
t
BP
-martingale địa phương thì


 
0
,,
t
t t s s t
M M g dW M   

là một

 
,
t
BQ
-martingale địa phương (3)
Còn

0
t
t t s
W W g ds

là một quá trình Wiener đối với
 
,
t
BQ
.

20

(ii) Mỗi
 
,
t
BQ
-martingale bình phương khả tích
t
M
đều được biểu diễn dưới dạng




 
0
0
,
t
t s s
M M f dW

với
 
1
,
m
s s s
f f f
là một quá trình
s
B
khả đoán và
2
0
t
Qs
E f ds 

(4)
Chứng minh:

Theo giả thiết ta có
2
00
1
exp ( , )
2
tt
t s s s
g dW g ds






và

0
t
t t s
W W g ds

nên
Áp dụng kết luận ở phần (i) cho phép biến đổi Girsanov
1
t
Q Q P




.
Khi đó, nếu

t
M
là một
 
,
t
BQ
-martingale địa phương thì



 
0
,,
t
t
s
t s t
M M g d W M   

là một
 
,
t
BP
-martingale địa phương.
Vì

t
B
là

-trường sinh bởi
,
tt
WM
được biểu diễn như sau:
0
0
( , )
t
t s s
M M f dW


Khi đó ta có
 
 

0
0 0 0
( , ) ( , ) ( , ),
t t t
tt
ss
s s s s
M M f dW f g g dW M     
  

Số hạng thứ nhất trong vế phải của biểu thức trên là một tích phân Itô và là một
martingale đối với
 
,
t
BQ
. Phần còn lại phải của vế phải phải là một martingale, nó
phải bằng 0 vì nó là một quá trình với biến phân bị chặn (martingale liên tục với
biến phân bị chặn là bằng 0). Vậy ta có
 

0
0
( , )
t
t
s
s
M M f dW

(đpcm)
1.2.2.3. Bài toán lọc tuyến tính (Lọc Kalman-Bucy 1-chiều)
Xét bài toán lọc tuyến tính, trong đó quá trình hệ thống và quá trình quan sát
đều được cho bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính sau:
+ Quá trình hệ thống:
( ) ( ) ; ( ), ( )
t t t
dX F t X dt C t dU F t C t  

+ Quá trình quan sát:
( ) ( ) ; ( ), ( )
t t t
dY G t X dt D t dV G t D t  


21

trong đó
, , ,F G C D
là các hàm giới nội trên những khoảng giới nội
( ) 0Dt 
,
,UV
là
các chuyển động Brown.
Ta có thể tìm được ước lượng

t
tt
X E X  

G
của
t
X
tốt nhất (theo nghĩa
bình phương tối thiểu) dựa trên các quan sát này theo phương trình sau:

  

2
0
0
22
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ;
( ) ( )
tt
t
G t S t G t S t
d X F t X dt dY X EX
D t D t

   



trong đó

2
( ) ( )
t
t
S t E X X



là một hàm tất định thoả mãn phương trình Riccatti
sau đây:

2
22
2
2
00
()
2 ( ) ( ) ( ) ( ),
()
(0) ( )
dS G t
F t S t S t C t
dt D t
S E X EX
  




Ví dụ 1: Quan sát nhiễu của quá trình hằng số. Xét hệ

0
t
dX 
tức là
22
0 0 0
; 0;
t
X X EX EX a  

0
;0
t t t
dY X dt mdV Y  

Ta giải phương trình Riccati đối với


2
22
2
22
22
()
1
, (0)
( ) , 0
t
t
S t E X X
dS
S S a
dt m
am
S t t
m a t

  
  



Do đó phương trình vi phân ngẫu nhiên đối với

t
X
là

 

22
2 2 2 2
0
0
0
tt
t
aa
d X X dt dY
m a t m a t
X EX

  







hay

2 2 2
2 2 2 2 2 2
00
( exp( )) exp( )
tt
t
t
a a a
d X ds ds dY
m a s m a s m a t

  




2
22
,0
t
t
a
X Y t
m a t
   

.

22

Phần 2. Martingale với thời gian rời rạc
Martingale bắt nguồn từ trò chơi và ngày nay đã trở thành mô hình toán
quan trọng trong lĩnh vực thị trường chứng khoán. Khi bắt đầu chơi, người chơi có
vốn là
0
X
, thông tin ban đầu mà người chơi biết được là 
0
. Sau khi chơi ván thứ
nhất vốn của người chơi sẽ là biến ngẫu nhiên
1
X
và thông tin sau khi chơi 1 ván sẽ
tăng lên 
0


1
. Tiếp tục chơi ván thứ hai, vốn sau khi chơi ván thứ hai sẽ là biến
ngẫu nhiên
2
X
và thông tin bây giờ lại tăng lên 
0


1



2
. Bằng cách đó tiền vốn
sau ván thứ n sẽ có là biến ngẫu nhiên
n
X
và thông tin sau khi chơi n ván là 
n
.
Như vậy vốn của người chơi và thông tin thu được lập thành dãy {
n
X
, 
n
}, ta có
thể xem {
n
} là dãy


trường không giảm và biến ngẫu nhiên
n
X
phụ thuộc vào

n
- đo được.
Trò chơi được xem là không thiệt hại hoặc công bằng, nếu trung bình có điều
kiện vốn của ván sau bằng vốn của ván trước, có nghĩa là
1

(
n
EX


n
) =
n
X
và {
n
X
,

n
} được gọi là martingale.
Trò chơi được xem là thiệt hại, nếu trung bình có điều kiện vốn của ván sau
bé hơn hay bằng vốn của ván trước, có nghĩa là
1
(
n
EX


n
)

n
X
và {

n
X
, 
n
} được
gọi là martingale trên.
Trò chơi được xem là có lợi, nếu trung bình có điều kiện vốn của ván sau lớn
hơn hay bằng vốn của ván trước, có nghĩa là
1
(
n
EX


n
)

n
X
và {
n
X
, 
n
} được gọi
là martingale dưới.
Khi tham gia chơi người chơi phải định ra một chiến lược đến một mục đích
nào đó sẽ dừng cuộc chơi (chẳng hạn khi vốn đạt được vượt quá số nào đó thì dừng
lại; Thời gian lần đầu tiên người chơi đạt được mục đích đã định gọi là thời điểm
dừng) hoặc tiếp tục chơi hoặc bỏ thêm vốn. Chẳng hạn

1
V
là tiền đặt cược cho ván
thứ nhất,
1
V
phụ thuộc thông tin 
0
. Sau đó căn cứ vào thông tin 
1
thu được sau
ván thứ nhất, người chơi đặt cược
2
V
cho ván chơi thứ hai ; căn cứ vào thông tin

23


n
thu được sau n ván, người chơi đặt cược
1n
V

cho ván chơi thứ n+1. Tức là
n
V
là

n - 1

-đo được và gọi {
n
V
, 
n - 1
} là dãy dự báo được.
1.3. Khái niệm tƣơng thích và dự báo đƣợc
Giả sử
( , , )P F
là một không gian xác suất,
F

 là


trường con của 
và
X
là biến ngẫu nhiên nào đó. Ta nói rằng
X
tương thích với
F
(
X

F
) nếu
X
là
F

-đo được. Đặt
1
( ) ( )XX


 B
trong đó
B
là


trường Borel của

. Khi đó
X

F
khi và chỉ khi
()X

 F
.
Cho trước dãy ngẫu nhiên X =
 
,
n
Xn
; ký hiệu
 
 

,
n
Xn


là


trường con bé nhất của  chứa tất cả các


trường
 
,
n
Xn


. Khi đó ta gọi
 
 
,
n
Xn


là


trường sinh ra từ X =

 
,
n
Xn
.
Cho dãy


trường con
 
,
n
nA
của , dãy này được gọi là không giảm
nếu
, , ,
mn
m n m n   AA
.
Định nghĩa
Quá trình ngẫu nhiên X =
 
,,
nn
XnA
là dãy tương thích nếu
,
nn
Xn  A
.

V=
 
1 1 0
, , ,
nn
Vn

A A A
là dãy dự báo được nếu
1
,
nn
Vn

  A
.
1.4. Thời điểm Markov và thời điểm dừng
1.4.1. Thời điểm dừng
Cho
t
F
là bộ lọc tự nhiên của quá trình ngẫu nhiên
X
, thời điểm dừng
T
có
nghĩa là với
0t
tập hợp
 

Tt
có thể biểu diễn dưới dạng

     
 
 
12
: , , ,
ss
T t X X B

  

trong đó
12
, , ss
là một dãy các phần tử của
 
0,t
và
B
là một hàm Borel trên



.

24

Tổng quát: Cho

t
F
là một bộ lọc tùy ý và giả sử
T
là một thời điểm dừng và
Y
là một quá trình liên tục thích nghi cho trước. Khi đó ta có thể định nghĩa một quá
trình mới bằng cách đặt:

 
   
 
 
 
,,
,
,,
Y t t T
Zt
Y T t T


  









hoặc
   
 
,,Z t Y T t
  


quá trình
Z
là liên tục và thích nghi. Ta nhận được
Z
bằng cách dừng quá trình
Y
tại thời điểm ngẫu nhiên
T
. Ký hiệu:
:
TT
Y Z Y
.
1.4.2. Quá trình dừng
Cho
( , )
t
X X t T
. Quá trình đó sẽ là
* Dừng theo nghĩa hẹp, nếu phân bố của
1
( , , )

n
t h t h
XX

và của
1
( , , )
n
tt
XX
là như
nhau, với mọi
1
, ,
n
t t T
.
* Dừng theo nghĩa rộng hay dừng tương quan, nếu
2
,
tt
EX EX
là hằng số,
( , )
X
R t x
là hàm của
( ) ( )
X
t s C t s  

.
Ta luôn có: Dừng hẹp

Dừng rộng
Ví dụ: Xét
1
( ) ( , , , )
nn
X X X
là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân
bố với kỳ vọng

và phương sai
2


    
 
2
2
0,
,
,
X n m
n
nm
R n m E X X
E X n m






   

  



2
()
Xh
Ch


với
1, 0
()
0, 0
h
h
h
h








Vậy
1
( ) ( , , , )
nn
X X X
là một quá trình dừng theo nghĩa rộng.
1.4.3. Thời điểm Markov
Giả sử
 
:

   
là biến ngẫu nhiên (có thể lấy giá trị

). Ta nói rằng

là thời điểm Markov đối với
 
,
n
nA
nếu

 
 
:,
n
nn
  

   A


25

Nếu thêm vào đó
( ) 1,P

  
thì

được gọi là thời điểm dừng.
1.4.4. Quá trình Markov
Một quá trình
( , )
t
X t T
được gọi là một quá trình Markov nếu với một họ
tăng
1

n
tt
trong
T
ta có:

   
1 1 1 1
1 1 1

, ,
n n n
t n t t n t n t n
P X x X x X x P X x X x


     
.
1.4.5. Hai điều kiện tƣơng thích của quá trình Markov
(i) Nếu ký hiệu
   
,,
ts
P x t P X x X     
và
   
,,
ts
P x t x P X x X

  
thì
ta có
 
 
, , , ( , )P x t P x t s dP s







(ii)
 
 
0 0 0 0 0
, , , , ( , , )P x t x t P x t s dP s t x t s t



  


(Phương trình Chapman - Kolmogorov đối với quá trình Markov
t
X
)
1.4.6. Các tính chất của thời điểm Markov và thời điểm dừng
Tính chất 1. Giả sử

là thời điểm Markov đối với
 
,
n
nA
. Khi đó
 
n
n


A
.
Tính chất 2. Nếu
12
,

là các thời điểm Markov đối với
 
,
n
nA
thì
   
1 2 1 2 1 2 1 2
min , , max ,
       
   
và
12


là các thời điểm Markov đối
với
 
,
n
nA
.
Tính chất 3. Nếu
12

, ,

là dãy các thời điểm Markov đối với
 
,
n
nA
thì
inf , sup
n n n n n n n n
   
   
cũng là các thời điểm Markov đối với
 
,
n
nA
.
Tính chất 4. Nếu

là các thời điểm Markov đối với
 
,
n
nA
thì


A
. Nếu



và

là các thời điểm Markov đối với
 
,
n
nA
sao cho
( ) 1P


thì

AA
.
Tính chất 5. Nếu Nếu
12
, ,

là dãy các thời điểm Markov đối với
 
,
n
nA
và
inf
kk



thì
k
k



AA
.