Tối ưu hệ động lực phi tuyến và bài toán chuyển tiếp trong lò phản ứng

,("•!
'
v:-
m
^*v^
TRUÒNG
DAI
HOC
TONO
HOP
HÀ
NÓI
LE CHf DtJNG
TÓI
UV
HE
DONG
LVC
PHI
TUYÉN
VA
BÀI
TOAN
CHUYÉN
TlÉP
TRONO LO PHÀN
I?NG
I
Chuyén ngành :
Phadng trình vi phàn
va phUdng trình

tìch phàn
Ma
so:
010102
[OAI
-r-C
]mi[,-'
"
f'\
;
V
•
,:.'\h.
•
.••
• " ,
U4|
.m!
t'J
LUANAN
PHÓ TIEN Si
TOÀN LY
!
f-?i'^v,r
7TU
^^
Nguòi huóng
dàn :
PTS toàn
1;^,

GiàosuVU
TUAN
Ha
npi,
1991
MVCLVC
Trang
MÒ dàu
3
Chuong
I
- Tóì Uu h$ dOng lire
11
LI.
Dièu
khién duce 11
1.2.
Dièu
kién
tdi uu 16
L3.
Dieu kién ndi tdi uu 21
Chuong II - Nguyén
15^
tòi Uu
tua 24
II.L
He khóng
co
ràng buóc pha 24

11.2.
He
co
ràng buòc pha 33
11.3.
Bài toàn tàc dóng nhanh 38
ChUdng
III -
Phuong
phàp tua 42
IILl.
Bài toàn
tua 42
III.2.
Cài tua
Clic
tri 48
Chuong IV
-
Tòi Uu qua trình
chuyen
tiép trong lo phàn
ùng
53
IV.l.
Bài toàn tdi
uu 53
IV.2.
Bài toàn cuc tiéu thòi gian chuyén tiép 55
IV.3.

Vi du sd giài bài toàn tàc dóng nhanh 58
Tài
liéu
tham
kbào
64
MODAU
Trong
ky
thuàt,
nguòi ta thuòng
ed
gang dieu khién càc qua trình
v|t
ly
theo
mong mudn
cùa
mình,
tue
là
de co
dupc qua trình tdi uu theo mot
nghia
nào
dò.
Vi du,
làm
sao
de

dat duce
muc tiéu sau thòi gian
ngàn
nhàt,
it tdn nàng
luong
nhàt
Vói su ra dòi cùa nguyén
ly tdi
uu Pontriagin (1956),
ly
thuyét
dièu
khién tdi uu phàt trién
nhanh
va
trò thành
mot
ngành toàn hoc dpc
I^p.
Càc phuong phàp tdi uu dua trén co
so
nguyén
ly
Pontriagin dà giài quyét
duoc
nhièu bài toàn thuc té
:
chuyén dóng trong vu tru, dieu khién
lo

phàn ùng hat nhàn Tuy nhién, nguyén
ly
Pontriagin chi giùp kiém
nghiém
tinh tdi uu cùa
mot
dièu khién cho
truóc,
ma
khóng chi ra
duoc
thuàt toàn xày dung dièu khién tdi uu.
R. Gabasov
va
F.M. Kirillova dà dua ra khài niém cài tua, chùng minh nguyén ly tdi uu
tua (dang kién thiét cùa nguyén
ly
Pontriagin) cho he dóng
lue.
Nhò
dò,
càc tàc già dà xày dung
duoc
thujt
toàn giài càc bài toàn tdi uu tuyén tinh, mot sd bài toàn phi tuyén dang dàc biét.
Càc khài niém co bàn (cài tua, nguyén ly tua, ) dà
duòc
xày dung cho he phi tuyén dang
i = AoX +
a^,fl(x)

+
bu,
(1)
trong
dò
A^j
là ma tran hàng,
a^,
b là
càc véc
to hàng, phàn phi tuyén f
j
(x)
duOc
già thiét là hàm
vó huòng [56].
Trong
luan
àn này, chùng tòi sé phàt trién phuong phàp Gabasov - Kirillova cho he dóng
lue
phi tuyén dang
i
= fl(x) +
f2(x)u.
•
(2)
Ngoài muc dich
thuàn
tùy toàn hoc là mò róng
lóp

càc bài toàn giài duce
bang
phuong
phàp Gabasov
-
Kirillova, chùng tòi
con co
nhièm vu ùng dung là giài quyét bài toàn tdi uu
qua
trình chuyén tiép trong
lo
phàn ùng hat nhàn. Càc nghién cùu trình
bay
trong
luàn
àn
duoe
phàt trién tu de tài nghién cùu khoa hoc
50.01.09.01,
trong chuong trình
càp
nhà
nuòc "Su
dung
nàng
luòng
nguyén
tu
trong càc
linh

vuc cùa nèn kinh té qudc dàn".
Khi thay ddi cóng
suàt lo
phàn ùng
(tàt
lo),
su càn
bang
giùa mat
dò
1-135
va
Xe-135
bi
phà
vò.
M|t
dò Xe-135 tàng
lén,
dat già tri cuc dai sau
-
5
-10
giò.
Sau dò,
nò
bàt dàu giàm,
trò lai già tri ban
dàu
sau 24 - 36

giò.
Dò phàn ùng àm do Xe-135 sinh ra vuot qua
dò
phàn
ùng du du
trù
cùa
lo
phàn
ùng:
lo
phàn ùng
bi
nhiém dóc
va
khóng the tàng cóng
suàt lo
trong
khoàng 1
-1,5
ngày.
Vi
vày,
càn
co
giai doan chuyén tiép
de
ha cóng suàt
lo
ve 0. Giai doan

chuyén tiép càn thòa man dièu kién: sau giai doan chuyén tiép,
co thè
tàng cóng suàt
lo
tu bàt
cu
thòi diém nào, va càc
dféu
kién tdi uu: cuc tiéu thòi gian chuyén tiép, cuc tiéu nàng
luòng
tòa
ra
Mó hình toàn hoc cho
qua
trình chuyén tiép theo màu
lo
diém
co thè
xem nhu truòng
hop
riéng cùa (2). Càc nhà toàn hoc dà quan
tàm
giài quyét bài toàn này:
D.
Tabak, B.C. Kuo dà
su
dung phuong phàp qui hoach dóng. R.P. Fedorenko
su
dung phuong phàp xàp xi
lién

tiép
Lòi giài cùa càc phuong phàp này dèu co
nhuòc
diém là khó thuc hién
bang
càc giài phàp
kl
thuàt. Càc nhà vat ly va ki thuàt
co thè
chàp nhàn lòi giài cùa A.P. Rudik
(su
dung nguyén li
tdi uu Pontriagin). Tuy nhién, nhu dà nói ò trén, nguyén li Pontriagin khóng cho ta thuàt toàn
"kin"
giài bài toàn dièu khién tdi uu, do
co mot
sd dai
luOng
khóng duoc xàc dinh. Trong luan
àn này, chùng tói
su
dung y tuòng cùa Gabasov
va
Kirillova cho bài toàn nói trén.
Càc két qua khoa hoc
mói
cùa luàn àn là :
- Dièu kién càn tdi uu tai càc diém cuc tri Pontriagin kì di.
- Xày dung cài tua
va

chùng minh nguyén ly tdi uu tua cho bài toàn tdi uu he dóng
lue
phi
tuyén
co
càu truc dièu khién.
- Chi ra mdi quan he giùa viéc tòn tai cài tua va tinh dièu khién duoc dia phuong ddi vói
càc ràng buóc cùa he dóng
lue
phi tuyén
co
càu trùc dièu khién.
- Giài bài toàn cuc tiéu thòi gian chuyén tiép trong
lo
phàn ùng. Chùng minh
bang
vi du
sd y nghìa thuc tién cùa thuàt toàn tua.
Càc két
qua
trình
bay
trong luàn àn dà
duoc
bào cào tai Hói nghi khoa hoc ky thuàt
"Su
dung nàng
luOng
nguyén
tu

trong càc linh vuc cùa nèn kinh té qudc dàn" (Ha nói. 28/2 - 1/3,
1983),
Hói nghi nghiém thu
de
tài càp nhà nuòc (Ha nói, 12/1985), xemina khoa hoc cùa bó
món Càc phuong phàp dièu khién tdi uu. truòng Dai hoc tong hop Belorutxi (Minsk, 5/1989),
Hói nghi Toàn hoc toàn qudc
làn
thù 4
(Ha
nói, 4 -
7/9,1990)
va
xemina khoa hoc chuyén ngành
Phuong trình vi phàn (Lién càc truòng dai hoc,
Ha
nói).
Càc két qua cùa luàn àn dà
duOc
cóng btì trong 3 bài bào, trong
Tom tàt
bào cào cùa 3
Hói nghi khoa hoc, 1 cóng trình khoa hoc càp nhà nuòc.
TÓNG
QUAN TÀI LIÉU
CO
LIÉN QUAN
Ly
thuyét dièu khién duoc phàt trién nhu
mot

linh
vuc
dóc
làp
cùa
ly
thuyét dièu khién càc
he dóng
lue
tu sau bào cào quan trong cùa R. Kalman [68].
Theo Kalman, he dóng
lue
X
= Ax + Bu,x(t*) =
XQ
^
(3)
(A là ma tran n
x n
chièu,
B
là ma tran
n x
r
chièu),
duOc
gpi là dièu khién duòc hoàn toàn, néu
vói moi trang thài
x^ tòn
tai thòi diém

t*
va
dièu khién lién
tue
tùng doan u(t), t e
[t*.
t*
],
sao
cho qui dao cùa he (3) thòa man x(t )
= 0. De
cho he (3) dièu
kiùén
duoc hoàn toàn, dièu kién
càn
va
dù là rank
{
B,
AB, ,A"-^
B
}
= n [36, 68].
Tinh dièu khién duoc cùa he tuyén tinh khóng dùng
i = A(t)x
+
B(t)u,x(t,)=x^
(4)
duoc nghién cùu trong [74, 76].
N.N.

Krasovski dà chùng minh ràng he (4) dièu khién
duOc
hoàn toàn néu tòn tai t >
t*
sao cho rank
{Q^(
t ),
Qi(
t
),
Q^.j
(
t )}
=
n
,
Q
Ji) =
B(t).
Q^
(t)
= A(t)Qj^.j
(t) -
Q;^ i(t),
k =
1,2,.„,
n-L
Ddi vói he phi tuyén
i
= f(x,u,t),x(t,) =

x^.f(0,0,t)
= 0 (5)
càc cóng trình dàu tién [70, 74. 75] dua ra khài niém dièu khién duoc nhò
(tue
là ehi ddi vói
càc trang thài ban dàu
x^
nàm trong làn càn dù nhò cùa gdc tpa dò).
R. Gabasov,
M.F.
Kirillova
va
càc dòng su dà chùng minh duoc mdi quan he giùa su
tòn
tai cài tua va tinh dièu khién
duóc
tuong ddi ddi vói càc ràng buóc cùa he dóng
lue
[56].
Khài niém cài tua duoc R. Gabasov
va
M.F. Kirillova dua ra làn dàu cho bài toàn qui
hoach tuyén tinh. Khài niém phuong àn (ddi phuong àn) tua
duoc
xem nhu mò róng tu nhién
cùa khài niém phuong àn (ddi phuong àn) co
so
cùa phuong phàp don hình [51 -
53].
Phuong

phàp don hình (cung nhu phuong phàp ddi ngàu cùa nò) khóng
su
dung nhùng thóng tin phu
ve
càc phuong àn
(hoàc
ddi phuong
àn),
ma
nguòi ta
co thè
biét truóc do
y
nghia vat
ly,
ky
thuàt
cùa bài toàn thuc té. Phuong phàp tua cho phép tàn dung nhùng thóng tin
co
san, Dièu này
dàc biét hùu ich ddi vói nhùng bài toàn
co
lón,
giàm duoc nhièu buòc tinh toàn.
Bài toàn tdi uu he dóng lue tuyén tinh
ànóc
nghién cùu trong [54]. Nguòi ta
co thè
xem
chùng nhu truòng

hdp
riéng cùa bài toàn qui
ìoach va co
thè
su
dung phuong phàp don hình
(hoàc càc dang ddi ngàu). Nhung viéc dò thuòng kém hiéu qua do
de
gap phài su xoay vòng
(suy bién) trong tinh toàn. Tàc già dà thù nghiém mot càch xù ly trong qua trình the hién thuat
toàn trén mày tinh [78]. Ky thuat
dò
là tdt ddi vói càc bài toàn qui hoach khóng
co
nguòn gdc
dièu khién tdi uu.
Con
néu là
dang
xàp xi cùa bài toàn dièu khién tdi uu thì
dò
chinh xàc
co thè
bi giàm hoàc thòi gian tinh tàng lén
rat
nhièu. Phuong phàp tua cho phép giài quyét nhùng dàc
trung cùa bài toàn dièu khién tdi uu.
Càc he mó phòng trén
luói
duoc nghién cuu ò [55].

Phuong phàp giài bài toàn tdi uu càc he toàn phuong duoc trình
bay ò
[57].
Mot sd mò róng phi tuyén dà
duOc
nghién cùu ò [56].
Co
so
cho phuong phàp tua là nguyén ly tdi uu tua (hoàc
e
- tdi uu). Khi àp dung nguyén
ly Pontriagin [82], nguòi ta gap khó
khan
trong viéc xàc dinh
mot
sd dai
luOng
(nhu dièu kién
bién
va
càc buóc nhày cùa hàm
hén hOp
).
Nguyén ly tdi uu tua cho phép xày dung duoc càc
dai
luong
này, nhò già thiét tòn tai cài tua.
Y
tuòng cùa phuong phàp tua ddi vói càc bài toàn
dièu khién tdi uu là : tich

lùy
dàn càc doan dièu khién tdi uu (thòa man nguyén ly tói uu tua
hoàc
e
•
tói
uu
t.
Càc doan dièu khién dà tdi uu ò buòc làp truóc
duOc luu
giù lai cho buóc
lap
sau, trành càc thay ddi
"hón
loan"
trong qua trình the hién thuat toàn
trén
mày tinh.
Mot
phàt trién tu nhién cùa phuong phàp tua là
su
dung càc dièu kién tdi uu bac cao.
Co
thè
xem dièu kién Keìley [25, 69] nhu két qua dàu tién
ve
dièu kién càn tdi u
j
bac cao. Càc két
qua cùa R.E. Kopp

va
H.G. Moyer [73]
là
buòc phàt trién tiép theo cùa y tuòng H.J. Keìley,
su
dung bién phàn dièu khién dang:
óu(t)
=
J
V
, t e
[0.
e +
e)
-V,
te
[e
+
e.e
-\-
le)
0,
t^
[e,o +
2e)
H.J. Kelley cùng dua ra phuong phàp bién ddi [26]
de
nghién cùu càc bài toàn
loai
này.

R. Gabasov, F.M. Kirillova va V.A. Srochko dà tìm duoc càc dièu kién tdi uu bac cao nhò
ma tran xung [46, 47, 84]
va
bó bién phàn [58].
V.I.
Gurman dà
su
dung phuong phàp V.F.Krotov
de
giài mot sd bài toàn thuc té [62-66].
D.H. Jacobson dà
co
nhùng két
qua ve
dièu kién tdi uu bac cao nhò
su
dung phuong phàp
qui hoach vi phàn dóng [36 - 42].
Co
thè xem cài tua cuc tri [56] nhu
y
tuòng dàu tién ve su phàt trién phuong phàp tua theo
huóng
su
dung dièu kién tdi uu bac cao.
Trong thuc té, dièu khién tdi uu gòm càc doan cuc tri kì di
va
khóng kì di [49].
Vi
vày,

nguòi ta cùng nghién cùu dièu kién ndi tdi uu càc doan dò. Càc két qua dàu tién là cùa
H.J.Kelley, R.E. Kopp, H.G. Moyer
[27].
Tàc già cùa luan àn dà tìm
duoc
mot sd dièu kién ndi
tdi uu cho bài toàn minimax
va
cho he co tré [77, 79]. Nói chung, trong càc bài toàn
co
ràng
buóc pha : càc doan dièu khién làm cho ràng buóc pha
co
dang dang thùc là càc doan dièu
khién kì di.
Vi
vày, buóc hoàn thién nghiém cùa phuong phàp tua duoc xem nhu bài toàn ndi
tdi uu càc doan cuc tri kì di
va
khóng kì di.
Mó hình toàn hoc duoc nghién cùu chù yéu trong luan àn này là he dóng
lue
phi tuyén
co
càu trùc dièu khién. Càc nhà toàn hoc dà quan tàm dén mò hình này
tu
giai doan phàt trién
dàu tién cùa ly thuyét dièu khién tdi uu
[1-4,7,11-14,41j.
Va

ngày nay,
nò
vàn
con
là ddi tuong
cùa nhièu nhà nghién cùu [6, 8
-10,
28, 39].
Phàt trién phuong phàp tua cho he (2) vói càc ràng buòc dang:
g(x(t*)) =
0,d(x(t))<0,teT
=
[t„t*],
chùng ta
co
thè giài
duoc
bài toàn tdi uu qua trình chuyén tiép xenon trong
lo
phàn ùng hat
nhàn.
Bài toàn này
co
nhièu y nghia thuc té, nén
duce
quan tàm giài quyét ò nhièu khia canh
khàc nhau, trong cà giai doan thiét ké va van hành [5, 22-24,
30-33,
37,40,
42-44, 81]. Mó hình

day dù cho bài toàn nhiém dóc xenon
co
the tìm thày trong [45, 60, 83]. Dà
co
nhùng co gang
trong viéc giài bài toàn dièu khién tdi uu theo phuong phàp qui hoach dóng Bellman [38]. theo
nguyén ly Pontriagin [61], phuong phàp tuyén tinh hòa lién tiép [86] va càc phuong phàp xàp
xi khàc, nhung nguòi ta vàn chua tìm ra duoc thuàt toàn
co
hiéu qua, tìm duoc dièu khién tdi
uu vói dò chinh xàc mong mudn
va de
thuc hién trong ky thuàt.
TOM TAT
NÓI DUNG LUÀN
ÀN
Luàn àn gòm Mò dàu, 4 chuong
va
Tài liéu tham khào
Xét he dóng
lue duOc
mó tà bòi he phuong trình vi phàn phi tuyén (2) (hoac (5)).
Véc to n chièu x =
(xj
, ,
Xj^
) duoc goi là véc to trang thài. Càc thành phàn cùa nò dàc
trung cho càu trùc
ben
trong cùa

he
dóng
lue
tai thòi diém t
va
duoc goi là càc bién pha. Véc
to r chièu u =
(uj, ,
u^.
)
duoc
gpi
là
véc to dièu khién. Càc bién
Uj,
u^.
là càc già tri cùa tàc
dóng
co
muc dich tu
ben
ngoài tai thòi diém t. Càc tàc dóng dò thuòng bi han
che
bòi phuong
tién
va
dièu kién thuc hién. Trong luàn àn chùng ta sé già thiét r
=
1. Tuy nhién,
de

thày là
nhièu két qua
co
thè mò róng cho truòng
hOp
r > 1.
Duói
tàc dóng cùa dièu khién u = (u(t), t >
t*
), trang thài cùa he sé thay ddi theo qui
luàt
hùu han x(t) = x(t,
x^.
u ), t >
t*.
Ta
co
qui luàt
dò bang
càch thay u
=
u(t). t >
t*
,
vào (2) (hoàc (5)) va giài bài toàn Cosi.
Bài toàn này giài duoc vói lóp
rat
róng càc hàm u(t), t >
t*,
va

f|(.),
f2(.)
(hoàc f(.)). Càc già
thiét trong
lu&n
àn dàm bào cho bài toàn Cosi
co
nghiém duy nhàt. Khi dò
co
thè xét hàm muc
tiéu
J(u) =
y>(x(t*)),
t*
>
t^
Càc nghién cùu dinh tinh
co
quan he truc tiép dén li thuyét kién thiét bao gòm: tinh dièu
khién duoc
va
dièu kién tdi uu. Nhò tinh dièu khién duOc cùa he ddi vói càc ràng buóc (phàt
trién
tu
tinh dièu khién duoc theo huóng), ta
co
thè xày dung càc dièu khién chàp nhàn
duOc
làm tdt hon hàm muc tiéu. Gabasov va Kirillova
su

dung cài tua de thiét làp dièu khién chàp
nhàn duoc. Cài tua
co
vai trò gàn nhu co
so
trong phuong phàp don hình.
Cùng nhu càc phuong phàp tdi uu duoc xày dung trén co
so
nguyén ly Pontriagin, phuong
phàp tua thuc
chat
là phuong phàp xàc dinh dièu khién thòa man nguyén ly tdi uu dang
H(x(t),
v(t),
u(t), t) = max H(x(t), v(t), v, t)
ve U
H(x,v',u,t)=v''f(x,u,t),v'=-iy'
ÓX
U là tàp hOp càc già tri cùa hàm dièu khién u(.).
«
Ddi vói he (2), nguyén ly tdi uu sé
luòn
duOc thòa
man
néu
f^ix)
= 0.
Ta gpi dang thùc trén là dièu kién tdi uu dang dàng thùc.
Trong thuc té tinh toàn càc dièu kién tdi uu dang dang thùc
co

vai trò quan trpng trong
viéc duy
tri
càc doan dièu khién tdi uu.
Vi
vày, cài tua duoc xày dung
con de
duy
tri
càc dièu
kién tdi uu dang dàng thùc. Dièu kién tdi uu bac cao duoc
su
dung trong viéc xày dung he
phuong trình hoàn thién nghiém (giai doan két thùc cùa thuàt toàn tua).
Duói su huóng dàn truc tiép cùa giào su R. Gabasov, trong thòi gian thuc tàp tai truòng
Dai hoc Tdng hpp Belorutxi, tàc già dà thu duoc càc két qua trong viéc xày dung cài tua cho
he phi tuyén trén co
so
tinh dièu khién duoc dia phuong, chùng minh nguyén ly tdi uu
bang
phuong phàp
già
sd phiém hàm, viéc xày dung bài toàn tua cho bài toàn phi tuyén,
su
dung [56]
nhu tài liéu tham khào chinh.
Chuong I trình
bay
mot sd két qua chù yéu cùa ly thuyét dièu khién duce [48], nguyén ly
tdi uu ed dién

va
càc dièu kién tdi uu bac cao [49, 77, 79].
8
Chuong
li
nghién cùu vàn
de
co
so
cùa ly thuyét kién thiét càc
he
dóng lue: cài tua. nguvén
ly tdi uu tua, e - tdi uu. Chùng ta sé trình bay két qua cho
he co
càu trùc dièu khién
co
ràng
buóc diém cudi, khóng
co
ràng buòc pha va mò róng cho he
co
ràng buóc pha.
Chuong III trình
bay
phuong phàp tua giài bài toàn phi tuyén, vó han chièu. Bài toàn ban
dàu duoc xàp
xi
bòi càc bài toàn tua. Thuat toàn cho tùng bài toàn tua
va
cho bài toàn ban dàu

duoc két thùc bòi buóc hoàn thién nghiém. Ò buóc này chùng ta su dung phuong phàp
Niuton,
ma
vói nhùng dièu kién thich hop, dà duOc chùng minh là hói tu vói dò hói tu nhanh nhàt trong
sd
cac
phuong phàp giài bài toàn phi tuyén.
Chuong IV giài bài toàn tdi uu qua
trình
chuyén tiép xenon trong
lo
phàn ùng hat nhàn.
Ta sé
su
dung màu
lo
diém cho bài toàn dùng
lo
tdi uu,
co 2
vi du sd giài bài toàn cuc tiéu thòi
gian chuyén tiép.
Nói dung chù yéu cùa luan àn duoc trình
bay
trong càc cóng trình [30- 34, 77-80].
MQT
SO
KV
HIÉU
Stì

DVNG TRONG LUÀN AN
' (dàu nhày) - phép chuyén vi
X =
(xj, ,
x^y
'
véc to cót
co
n thành phàn
Xj
,
x^
x'
- véc to dòng
n
x'y
= Sx^yj
- tich vó huóng cùa
2 véc tox =
(x^, ,
Xjj)'vày ^
(y^
,
-,y^''
i = 1
ÓK
- ma tran m x n chièu, phàn
tu
ò dòng thù i,
còt j là dao hàm

^^^
néu f(x)
=
(fi(x), ,
fm(x))'
là véc to
hàm m chièu; néu f(x) là hàm vó huóng, thì
=
grad f(x),
d
X
r__
1 n
r
a
f;
I
^^ ^1
- véc to m chiéu, phàn
tu
ò dóng t hù i là
2 2
—
v^y
j = 1 k =
li?x;duu
u
=
(ui,
,U^),V

=
(VJ, ,VY).
o(.) là vó cùng bé bac cao hOn 1.
u(t),
t e T, là hàm dièu khién xàc dinh trong T.
9
LOI
CAM ON
Tàc già xin càm on giào su Rafail Gabasov dà giùp dò hoàn thành phàn dàu cùa bàn luàn
àn. Tàc già vó cùng càm on giào su huóng dàn chinh Vù Tuàn
ve
su chù y thuòng xuyén cùa
giào su
de co
thè hoàn thành toàn bó bàn luàn àn.
Tàc già xin chàn thành càm on Tién
si
Pham Thè Long, Tién si Nguyén Khoa Son, PTS
Nguyén
Dinh
Quyét dà
co
nhùng
y
kién dóng góp qui
bau ve
càch trình
bay
bàn luàn àn này.
Tàc già xin duoc càm on Tién si Huynh Mùi, Tién si

Tran
Vàn Nhung, PTS Dàng
Dinh
Chàu, ban bè, dòng nghiép
va
nguòi thàn dà dóng vién, khich le
de
tàc già vùng tin vào cóng
viéc nghién cùu cùa mình.
10
CHUONG I
-
TÒI UU HE DÒNG LUC
Trong chuong này, chùng ta sé trình
bay mot
so vàn
de
cùa ly thuyét dièu khién
duóc va
dièu kién
tói
uu,
co
lién quan truc tiép dén phuong phàp tua. Càc két qua, chi dàn day dù
ve
phuong phàp nghién cùu, tài
héu
tham khào duoc giói thiéu trong [48, 49].
$LDìéu
khién

duoc.
1.
Dféu khién
dtf0c ve
khóng. Xét he dòng
lue
duoc mó tà bòi he phuong trình vi phàn
i
=
f(x,u,t),
x(t*)
=
x^
(1)
vói
X
=
(xj,
,
x^)
- véc to trang thài, u =
(Uj, ,
Uj.)
- véc to dièu khién, t - thòi gian
va
dièu
kién f(0, 0, t) = 0. u(.) duoc già thiét là hàm lién tue tùng doan, f(x. u, t) lién
tue
dòng thòi vói
càc dao hàm riéng cùa nò.

Bài toàn dat ra là tìm dièu khién
u(t),
t
eT=[t*,
t*],
sao cho qui dao tuong ùng cùa he (1)
thòa
man
dièu kién x(t ) = 0.
Djnh nghia
LI.
Trang thài
x^
cùa he (1) duOc gpi là TL
-
dféu khién duoc, néu tòn tai hàm
lién tue tùng doan u(t), ||u(t) ||< L. t
eT,
sao cho
qui
dao tuong ùng
cùa he
(1) thòa
man
dièu
kiénx(t*)
= 0.
He dóng
lue
duoc gpi

ìà
TL
-
dièu khién duOc. néu tòn tai so a =
a(T,
L) sao cho mpi trang
thài
X
e{
X
: x < a } là TL - dièu khién duOc.
Trang thài
x^
duOc gpi là dièu khién
dupc,
néu tòn tai
T,
L de nò TL - dièu khién duoc.
Tuong tu, ta
co
dinh nghìa he dóng
lue
dièu khién duoc.
He
duoc gpi là dièu khién duoc hoàn toàn, néu nò TL - dièu khién duoc vói mpi T, L
(L>0).
Nhàn xét
LI.
Dièu kién f(0, 0, t) = 0 là
de

dàm bào cho qui dao cùa he (1) dà dat diém
x(t*)=0, sé duoc giù lai tai diém dò vói u(t)
=
0, t > t*. Néu
co
thè xày ra khà nàng x(t)
^^0,
vói
t >t*, ta nói ràng trang thài
x^
(hoàc he dóng
lue)
dièu khién duoc tuong dói.
Xét hàm
<p(x)
= {
^^(x), ,
^i(x)
},
^(0)
= 0.
Già
su co thè
phàn tich
<p(x) =
Vx + o(x) (2)
Néu
W(t)
là ma
tr$n

hàm n x n chièu, thì
11
%
r*(t)x(t)j
=
'i'(t)x(t)
+
^(t)i(t)
Vi
yly,
ta
co
«P(t)x(t)
* *
t t
t
=
/
^(t)x(t)dt-f
/
W(t)x(t)dt
(3)
t* t, t*
Già thiét
XQ
là TL - dièu khién dupc. Chpn
W(t*)
= -V, tu (2), (3) ta
co
t t

Kxo)
= /
^(t)x(t)dt 4
;
W(t)i(t)dt
+
0(XJ.
t* t*
Ngupc lai, néu
co
dàng thùc này, thì
^(t*)x(t*)
= 0. Thay x(t) bòi
ve
phài cùa (1)
va
il/(t)
= -
^p(t)A(t),
ta dupc
t
y<Xo)=
/
W(t)B(t)u(t)dt
+
^
t*
vOl
*
t

V^=
J
^(t)C(t)u(t)x(t)dt
t*
t
^2
= /
^(t)0(
||x
||2 +
||x
II.
Il
u
II + Il U ||2
)dt,
t*
A(t) =
B(t)
=
af(0,0,t)
dX
af(0,0,t)
du
(4)
12
C(t)
= ^^ft^'^-O'O
dXdU
De

tìm dièu kién dièu khién dupc cho
he
(1), truóc hét ta xét
he
tuyén tinh
k
= A(t)x
+
B(t)u
.„
. (5)
vói càc ma
tr^n
hàm A(t), B(t) dù tron. Thay
y)(x)
= x vào (4), ta dupc
*
t
x^ = ; V(t)B(t)u(t)dt
(6)
W(.)
là nghiém cùa phuong trình
^ =
-
^A,
W(t*)
= - E, E là ma tran don vi cap n.
Lay tich phàn (6), ta dupc
^o
n-l

,
, ^ (t-t,)k
2(-l)*=+iQi^.(t.)/
u(t)dt
+
k=0
, k
*
(-l)"/W(t)Q„(t)
J
u(T)drdt
Qo(t)
= B(t),
Q^+i(t)
=
A(t)Q^.(t)
-
Qk(t).
k= 0, ,
n-1
.
Do dò, ta
co
dinh ly sau [48] :
Djnh
\S
I.l.
Già
su
A(t)

e
C""^
, B(t) e
C"-^,
he
dóng
lue
(5) hoàn toàn dièu khién dupc,
néu rank {
Qo(t*), ,
Qn.i(t*)
} = n.
Tuyén tinh hòa
he
(1) theo bién x vói x = 0 ;
X
= A(t)x +
b(u,
t) + h(x,
u,
t),
b(u,t) =
f(0,
u,
t),
of(0,u,t) af(0,0,t)
Già
su
bj(t), ,
bj.(t)

là co
so
cùa khóng gian con nhò
nhàt
chùa tàp hpp
Q(t) =
conv { b(u, t) : ||u ||< L }. Ta
co
dinh ly sau [48] :
13
Dinh
Fy
1.2.
Néu
1) A(t) e
C"-^
b*^'
e
C"-^
k = 1, , r; t >
t*
2
2) càc
hàm
^(2:}^)
,
l^C^At)
lién tue theo
u
cK

ax2
3) 0 e int
Q(t),
t >
t*.
L > 0
4) tbn tai t > t*, sao cho rank {
QQ(t), ,Qj^_2(t)
} = n,
QoO)
=
i
bl(t),
••, br(0
}'
Qk+l(0
=
A(t)Q,,(t)
-
Qk(t),
k = 0, , n-2,
thì he (1) dièu khién dupc hoàn toàn.
2.
Diéu
khién
dtfpc
theo huóng.
Xét he dóng
lue
dupc mó tà bòi he phuong trình

i -
f(x.u),
x(t,)
= 0. t €T
=
[t,.
t*].
f(0,0)
=
0 (7)
t*
- co dinh
D|nh nghia 1.2. Góc tpa
dò
dupc gpi là TL - dièu khién dupc theo huóng p, || p || = 1,
néu tòn tai so
a^
=
^^{1*,
L,
p) > 0, sao cho vói mói a. a <
a^,
tòn tai dièu khién
chàp
nhàn
dupc u(t), ||u(t)
Il
< L
de co
p'x(t*)

= a.
.
He dóng lue dupc gpi là TL - dièu khién dupc (tai góc tpa
dò),
néu góc tpa do dièu khién
duoc theo moi huóng inf
a^(t*,
L, p) > 0.
iipii=i°
Góc tpa dò dupc gpi là dièu khién dupc theo huòng p, ||p ||= 1, néu nò TL - dièu khién
dupc theo huóng p vói t = t (p) < +
oo,
L
=
Up)<+~(a„(t*,L,p)>0).
He dóng lue (7) dupc gpi
là
dièu khién dupc (tai góc tpa dò), néu góc tpa dò dièu khién
duòc theo moi huóng ( inf
aQ(t*(p),
L(p), p) > 0).
IIP
IN
Góc tpa dò dupc gpi là dièu khién dupc hoàn toàn theo huòng p, néu
nò
TL - dièu khién
dupc theo huòng dò vói mpi
t*
>
t*,

L > 0
{^^{1%
L, p) >
0,
t*
> 0, L > 0).
14
He dòng
lue
dupc gpi là dièu khién dupc hoàn toàn (tai góc tpa dò), néu góc tpa dò dièu
khién duòc hoàn toàn theo moi huòng ( inf
aQ(t*,
L, p) > 0
.
t > 0, L > 0).
IIPIH
Tuong tu nhu ò muc 1,
de co
két
qua
cho he (7), ta xét he tuyén tinh :
X
= Ax
+
bu
(8)
0 dàv ta chi xét
he co mot dàu
vào,
tue

là u
-
mot chièu.
*
t
J(u) =
p'x(t*)
= /vWbu(t)dt
(9)
t,
Néu A(t) =
v XOt» 4
0 , thì vói mpi
a^
(khóng phu thuóc vào p, t*) tbn tai L, dièu khién
chàp
nhàn dupc u(t) =
^LsignA(t)
sao cho phiém hàm J(u) nhàn tàt cà càc già tri cùa doan
[-a^,
aj
vói tham
só^
thay dói trong doan [-1, 1]. Ngupc lai, néu J(u) nhàn càc già tri trong
doan
[-a^,
a^],
thì (9) dupc thòa man.
Dao hàm cùa hàm A(t)
co

dang
A(t)
=
-V'Xt)Ab, ,
A(")(t)
=
(-l)"v'XOA'*b
Mat khàc. theo dinh ly Haminton - Kelley, mói ma tran vuóng A thòa
man
phuong trình
dac trung cùa nò
Tacò
A"
+ yiA"-i + + y„.iA +
7^E
= 0
Suy ra
A(")(t)
-
yiA("-l)(t)
+ +
y„.i(-l)("-l)A(t)
+
(-l)V„A(t)
= 0
vói dièu kién ban dàu
A(t*)
=
p^b,
À(t*)

=
-p'Ab, ,
A(n-l)(t*) =
(-l)("-l)
p'A("-l)b.
Tu
dièu kién A(t)
^
0 ta nhàn dupc két qua sau [48] :
Djnh
15^
13.
Góc tpa dò cùa he dóng
lue
(8) dièu khién dupc (hoàn toàn dièu khién dupc)
theo huòng p khi
va
chi khi
co
it nhàt
mot
trong càc so sau khàc 0
p'b,
p'Ab,
p'A"-lb
15
He
qua
I.l. Dièu kién càn va dù
de he

(8) dièu khién dupc (dièu khién dupc hoàn toàn)
là rank {
b,
Ab, ,
A^'^b
}
=
n.
Bay giò ta xét
he
(7) trong truòng hpp xàp xi tuyén tinh cùa nò là (8),
A=
^J(M)
b=
^J^
dX '
du
Chpn dièu khién u = u(t) dang u(t)
=
//v(t),
| v | < L vói tham so
M
^^
nhò. Khi dò,
nghiém x(t) cùa he (7) tuong ùng phu thuóc lién
tue
vào
M
va
x(t)

~ /^.
Ta
co:
*
t
J(u)= /./V''(t)bv(t)dt + o(/.)
t*
De
dàng thày tinh dièu khién dupc cùa he (7) (tai góc tpa dò) tuong duong vói tinh dièu
khién dupc cùa xàp xi tuyén tinh cùa nò.
Dinh ly
1.4.
Néu góc tpa dò cùa
he
(8) dièu khién dupc hoàn toàn theo huóng p, thì he (7)
dièu khién dupc hoàn toàn theo huóng p.
He
qua
L2. Néu he (8) dièu khién dupc hoàn toàn, thì he (7) cùng dièu khién dupc hoàn
toàn.
i2.
Diéu
kìf
n tòi Uu.
1.
Cóng thuc
già
so'
phiém hàm. Xét bài toàn cuc tiéu phiém hàm
J(u)

= Kx(t*))
(10)
vói dièu khién chàp nhàn dupc u(.) là hàm hén tue tùng doan, nhàn già tri trong tàp hpp U,
x(.) là nghiém tuong ùng cùa he (1). Cùng vói tinh tron cùa hàm f(.), ta sé già thiét tinh trOn
cùa hàm
<p(.).
Dièu khién chàp nhàn dupc
vP{.)
làm cuc tiéu phiém hàm (10) dupc gpi là dièu khién tói
Uu, qui dao
x^(.)
tuong ùng dupc gpi là qui dao tói uu.
Néu dféu khién u(.)
co già so
Au(.)
va
ù(.) = u(.) + Au(.) là càc dièu khién chàp nhàn dupc,
qui dao tuong ùng vói u(.) là x(.) = x(.) + Ax(.), ta
co
thè tinh
già
so phiém hàm
A J(u) = J(u) - J(u) =
Kx(t*))
-
Kx(t*)).
Dat
16
r:
V,'(t*)

= -
Mx(t*))
dX
Ta
co
:
>;n:
!
Z
V.
M///^
(11)
AJ(U)
^j^MÙ) Ax(t*) + o(||Axrt')|i)
dX
-/vXt)Ax(t)dt
t*
/V'Xt)AÌ(t)dt +
0( ||x(t )|i)
Dàt H(x,
V,
u, t) =
V''f(x,u,t)
(dupc gpi là hàm Haminton) va chu y ràng
già
so Ax(t) thòa
man phuong
trình
Ax(t) = f(x +
Ax,

u
+
Au,
t) - f(x, u, t),
Ax(t*)
= 0
ta
co
AJ(u)
/vXt)Ax(t)dt
t*
t
ax
;
[H(x,
v,
u
+
Au, tj - H(x,
v,
u, t)]dt
-; 0j( Il
Ax(t)
Il
)dt +o( || Ax(t ) || )
t*
Ta xàc dinh hàm
v(-)
nhu là nghiém cùa
he

phuong trình vi phàn
V'
= -
6H'(x(t),v,u(t),t)
^
(12)
vói dièu kién ban dàu
(11).
Dàt
A^(x,
V,
u,
t) = H(x,
V',
V,
t) - H(x,
V,
u,
t),
ta
co thè
viét cóng thùc
già so
phiém hàm duói dang
AJ(U)
= -
/A-H(x,v,u,t)dt
+
)7
t*

/rU
?-?
(13)
17
vói
»/
='7i
+'?2
+ '?.V
Vl=o(
||Ax(t*)||
)
t' t'
V2=-
J0,(
||Ax(t)|| )dt,
,3 = -
/
^_^uHJjMM)^dt
ax
t, t*
Ta viét he (1) duói
dang
X
=^
^^'- ^' ^' ^^ va
gpi
v'(.)
là
qui dao Hén hpp cùa x(.).

Cóng thùc
già so
phiém hàm (13) dupc gpi là cóng thùc càp
mot
Cóng thùc càp hai
co
dang
* *
t t
ex
AJ
= - /
A-H(x,v,u,
t)dt - / [
a^uHXx^V^u^t)
^
A^f
(x,u,t)^t)]Ax(t)dt
-
?j
u u
vói
^(t)
là nghiém cùa phuong trình
^ ^. af(x,u,t) ^f
_
^ af(x,u,t)
_
a^H(x,v;u,t)
ÓK

ax
ax-^
a^^(x(t*))
Tuong tu ta
co
thè viét cóng thùc
già so
phiém hàm càp ba.
Chon
già
so dièu khién dang :
Au(t)=r "^^'^' te[M + 0
VÓÌVGU,
^
e
[t*,
t*),
£
là
so
duong dù nhò.
Do tinh hén tue tich phàn
va
tinh hén tue theo già tri ban dàu cùa nghiém cùa he (1), Ax(t)
<
ke
, 0 < k < +
00
,
t*

< t <
t*,
ta
co
18
AJ(u) =
-e
\H(S),^
e+
2
2T'
dt
'• " '
V
V
. ^ ^
V
^ . ^
'\ d aAvH'(s)
- [ -
A,^(s)
+
A/(S)*
(S)
A^(S)
+
——-
A,i(s
)],^e+0
e"

1 d " d
aAvH'(s)
-
-
[-
^vH(s)
+-(
A/(S)V
(S)
A,f(s)
+_^^
i,i(s))
+A,
QJ1J2
A/jiA,fJ2
],=e+0
3!
2
dt
dt ax
+ 0(^3)
(14)
vói
Qjj2(x,V',u,t)
=
VJlJ2)3
VJiJ2Ì3(^*)
=
3 1
I —

V3i.iJj"ifj(x,U,t)
+
1=1 3!
2 2
1=1
k=l
' 3 3
- 1 2
1 =
1
k = l
a^'V(t*))
axi.
axi^axj-
1
d^'^
fj(x,u,l)
vii liìi
TJI-XJJI
k!(3-k)! ax. ax.
Jk J2
3
a"^'^
fj(x,u,t)
vii liii
7-JI-IJJJ
k!(4-k)! ax. ax.
Jk J3
2.
Cuc tri Pontriagin. Néu u(.) là dièu khién tói uu, thì

Aj(u)
> 0 .
Tu
cóng thùc
già so
phiém hàm (14) suy ra duOc nguyén ly tói uu Pontriagin [82].
Djnh
nghìa
13.
Dièu khién
chàp
nhàn duòc u(.) duOc goi là cuc tri Pontriagin néu u(.) va
càc
qui
dao x(.),
V'(-)
cùa he (1), (11), (12) tuong ùng thòa man dièu kién tói uu
H(x(t),v(t),u(t),t)
= max H(x(t),v(t),v,t)
veU
Doan
T*
=
[T*,
T
],
t*
<
T*
<

T
< t , duoc goi là doan kì di cùa cuc tri Pontriagin, néu
tòn
tai tàp
hpp
con
a>(t) e
U sao cho
co
dòng
nhàt
thùc
H(x(t),v(t),v,t) ^
H(x(t),v(t),u(t),t), vói moi u
ea;(t),
t e
[r^,
r*].
Cuc tri Pontriagin duce goi là cuc tri kì di, néu
T^,,
=
T.
19
Khài niém này duoc
L.L
Rozonoer dua ra vào nàm 1959. Nhung
lue dàu
it duoc quan tàm,
vi
nguòi ta cho

ràng,
it tòn tai càc cuc tri kì di. Thè nhung, ly thuyét tói uu càc he dòng
lue
phàt
trién nhanh, tham nhàp vào càc bài toàn thuc té
co
lién quan dén dóng
lue
hoc tén
lùa,
chuyén
dòng trong vù tru, dièu khién
lo
phàn ùng Càc bài toàn này duoc mó tà bòi mó hình toàn
hoc dang
i = fl(x) +
f2(x)u,x(t,)=x,
(15)
J(u) =
Kx(t'^)) -*
min
Nguòi ta dà nhàn ra su
co
mat
rat
thuòng xuyén cùa càc doan cuc tri kì di.
3.
Diéu kién Kelley. Xét bài toàn (15)
vói
hàm dièu khién vó huòng u(.), |u(t) |

^
1,
t e T =
[t*,
t ]. Tu nay
ve
sau, chùng ta sé luòn già thiét càc hàm mó tà bài toàn tói uu là dù
tron, vi du
ò day
ta sé già thiét
f^(.),
f2(.).
KO ^^^^ tue
dòng thòi vói dao hàm dén bac hai cùa
chùng theo x.
Già
su
càc doan dièu khién kì di thòa man bàt dàng thùc |u(t)
|
< 1. Khi dò
su
dung bién
phàn Kelley,
co
the chùng minh duoc dinh ly sau [69] :
Djnh
ly
I.S.
Dièu khién kì di tói uu thòa
man

dièu kién Kelley
_a_
d^
_aH
^ Q
audt^
au
'
vói H =
V''(fi(x)
+
^2^^)'
V'(-)
l3 qui
<^^o
lièri
hOp cùa he (15).
•
Dièu kién |u(t)
|
<
1
tai càc doan kì di là khà róng rài trong càc bài toàn thuc té. Vói dièu
kién dò, ta
co thè su
dung
già
so Au(t)
=
e(5u(t),

t
G
T,
va
sé
co
Ax(t) =
£Óx(t) +
Oj(£),
AV<t) =
eòxp(X)
+
02(£)
Cóng thùc
già so
phiém hàm sé
co
dang
*
t 2 2
*
AJ
=
;
^'<5udt +Udx\ty
'f((^('
)) dx(X*) +
au
z
^ '

ax^
t*
*
2 2 2
+ / [
óx'
i3ix
-
2dip'
^-i^
óu
-
òu'
^ óu]dt} + o(£^)
^
dx^
dipdu aiP ^ ^ ^
Bién phàn thù hai cùa phiém hàm là
20
ó'j=
óx\x')^
^^l^*)k(t*) + ;[
òx'
^
òx-2ò^'
^
óu-óu^
A^
<3u
]dt

^ ^
cK^
^ ^ ^
aj?^
a^au
^u^
^
U
Bién dói bién phàn này theo dièu khién kì di, ta
co
két qua tóng quàt hon dièu kién Kelley.
Djnh ly
1.6.
Néu dièu khién tói uu kì di thòa
man
dièu kién
(-1)1^
L ^ ^ -0.k=l
q-l,
^ ^
au
dt2k au M '
thì
(.i)q
^
J?^
^ ^
0
^ ^
au

dt^q
au
13.
Diéu kién nói tòi Uu.
1,
Khài niém
ve dié'm
nò'i.
Diém
^
G
T duOc gpi
là
diém nói kì di - khóng kì di cùa dièu
khién u(.) néu dièu khién
co
kì di ò làn càn
trai va
doan khóng kì di ò làn càn phài cùa
e.
Tuong
tu, ta
co
dinh nghia diém nói khóng kì di - kì di. kì di - kì di. Néu doan kì di suy bién thành mot
diém
6,
vói
oj
(e) \
u{0) 9t

0 va ò làn càn hai
ben
cùa
e,
dièu khién khóng kì di, thì 0 duOc
gp^"
là
diém kì di.
Diém nói duOc gpi là tói uu, néu nò tao ra dupc dièu khién tói uu.
2.
Diéu kién nó'i tó'i Uu kì
dj
- khóng kì dj. Già thiét càc dièu kién sau duOc thòa man :
a) trén doan kì di :
/
2^q
d_
d2q dH
^' ^
du
"dt^q "au
< 0 (16)
t =e
vói q là ehi
so
nhò nhàt
de ve trai
cùa (16) khàc 0.
b) trén doan khóng kì di :
u(t)=

l,tG[^,^
+
ó),ó>0
21
e)
tai diém nói :
u(e-O)
=
u(0),
u{e
- 0) =
ù(^), ,
u(P-^)(e
- 0)
= u(P-^)
(e) (17)
u<P\e
- 0)
^ u(P)(6')
Tu
dièu kién b) suy ra
ù(e)
= u(e) = =
u(P'^)(e)
= 0
Két hpp vói e) ta
co
(trén doan kì di) ;
u(t) =
u(e) + (i/p!)u(P)(e

- 0)(t
- ef +
o((t
-
e)P),
t<e
Do dò
u^P\e
-
0) < 0, p - chàn
u(P)(e-0)>0,
p-lé
Tu
a) suy ra : dièu khién u xuàt hién trong cóng thùc dao hàm
^a -
••
^ '- =a(x,v.) +
ub(x.v.)
dt^
au
dt^
au
^ ^ ^ ^
Lav dao hàm
dànc
thùc nàv p làn, ta duoc
S^P
'^
=A(x,v u.u u(P-l')^u(P)b(x,v.)
•iTJ

Dièu kién b) cho ta
„
> 0, t e
(e,
é'
+
ó)).
Nghia là dao hàm
au
4T-
— , k = 1, 2, khàc 0 dàu tién
co
dàu duong.
dt*^
au
Tu e) suy ra :
qua
trình
lày
dao hàm hén tiép theo t
de
làm xuàt hién
u(P)
sé dùng
lai ò buóc 2q
+
p.
Ta chùng minh dupc dinh ly sau [49] :
Dinh ly
1.7.

Cho
e
là diém nói kì di - khóng kì di cùa
dfèu
khién u(.) va
co
càc dièu kién
(16),
(17). Khi dò, néu p
chàn
(le),
thì dièu kién nói tói uu là q
le
(tuong ùng, chàn)
va
ngupc
lai.
Tuong tu, ta
co thè xàc
dinh dièu kién nói tói uu khóng kì di - kì di.
22
3.
Diéu
ki^n
tòi
Uu
tal diém ki di. Xét bài toàn tóng quàt
X
= f(x,u,t),
x(t,) =

XQ,
t e T
=
[t*,
t*],
u e
U,
J(u) =
^(x(t
))
-*
min
Dinh ly
1.8.
Dièu kién càn tói uu tai diém kì di e là
d
aAvH'
[-A^^A/>.A,i^^A,/]
^^^^^SO
Chùng minh.
Tu
cóng thùc
già
so phiem hàm (14) ta
co
2
AJ(U)=
- -
[A^'(s)A^(s) +
A/(s)ns)A^(s)

],=e+o
+«(.
2)
2
Bang phuong phàp phàn chùng
ta
suy
ra
dièu phài chùng minh.
Djnh
nghia
1.4.
Diém
kì
di
6
vói
tàp
hpp
a)(0)tuong
ùng dupc gpi
là
diém
kì dj bac hai cùa
dièu khién u(.),
néu tòn tai tàp con
oj-^iO) G
oj{e),
VJ'^{6)\U{6)
^

0 sao cho
d
aAvH'
f
-
A H +
A,f
VPA
f
+——
A
f
1 =
0.
V
G
wAQ)
Djnh
ly
1.9.
Dièu kién
càn tói uu tai
diém
kì di bac hai
e
là
1
d^
d
aAvH'

[2S2 ^H^dt (V^^vf+
1^^^^
A,QjjJ2A^JlAjj2
]
^
0
Chùng
minh.
Vói già
thiét d
là
diém
kì di bac hai cùa
dièu khién
tói
Uu u(.),
tu
cóng thùc
(14) tacò
AJ(U)
=
^^
id^
d
aAvHYs)
-
-[-
A^(S)+_(A/(S)^(S)A^(S)+
A^(s))+A,QJiJ2A^JlA/J2U^+0
3!

2dt
dt ax
^^^^3)
Bang
phuong phàp phàn chùng
ta suy ra
dièu phài chùng minh.
Tàc
già dà thu
dupc
két qua
tuong
tu cho bài
toàn minimax
va
bài
toàn
tàc
dóng nhanh
[79].
23
CHUONG
II.
NGUYÉN
LY TÓI
UU TUA
Chuong này trình
bay
càc két qua co
so

cùa phuong phàp tua : cài tua va nguyén li tói uu
tua. Nguyén li tói uu tua thuan tién hon nguyén li tói uu co dién,
vi
càc dièu kién cho hàm lién
hpp dupc xàc dinh tuòng minh. Vói dièu kién tó] uu bac nhàt, ta thuòng chi
su
dung
cài
tua
don. Dò là tàp hpp hùu han càc thòi diém (bài toàn
co
ràng buóc diém
cuóij va
càc khoàng
thòi gian (bài toàn
co
ràng buóc pha), tai dò
co
thè thay dói dièu khién
ma
vàn duy
tri
càc ràng
buòc
va
diéu kién tói uu dang dàng thùc. Cài tua
bàc
cao hon thuòng dupc
su
dung vói càc dièu

kién tói Uu bac cao. Khi dò cài tua bao gòm thém bac cùa dao hàm càc hàm xàc dinh bài toàn
tói uu.
§1.
He khóng
co
ràng buòc pha.
1.
Bài toàn. Càn tói uu hòa phiém hàm
J(u) =
Kx(t*))-min
. - (1)
vói
he
phi tuyén dang
i
= fj(x) +
f2(x)u,
teT =
[t.,t*].
x(t.) = x^
(2)
Djnh nghia
ILI.
Hàm lién
tue
tùng doan u
=
u(t),
u*
< u(t)< u*.

teT,
dupc gpi là dièu
khién chàp nhàn dupc, néu nghiém cùa he (2) tuong ùng vói nò thòa man ràng buóc
g(x(t*))
= 0 (3)
Càc véc to hàm
n chièu
f](.),
f2(.).
m chièu
g(.) va mot chièu
y^.)
hén
tue dòng
thòi vói dao
hàm dén bac hai cùa chùng.
Khóng mat tinh tóng quàt,
co
thè già thiét
t*
= 0,
u+ =
-1,
u* = 1.
2.
Nguyén
ì^
tó'i
tìu
tua. Già

su
(u,x) là dièu khién
va
nghiém chàp nhan dupc cùa he (2)-(3).
Xét he hén hpp
^=-A'(t)v,teT
(4)
V.(t*)
=
G'y-c
(5)
^^^ ^i(x(t))
rf'?(x(t))
A(t)=
_J:L1Z^
+ ^J^^J u(t),tGT
ax
ax
24