bài toán tìm cực trị của hàm số

1


I.LÝ THUYẾT
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau đây:
1. Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa)
Giả sử
f
xác định trên
D
. Ta có
 
max
xD
M f x





 
 
00
:
f x M x D
x D f x M
  




  


;
 
min
xD
m f x





 
 
00
:
f x m x D
x D f x m
  



  


.
2. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn): Để tìm giá GTLN,
GTNN của hàm số
f

xác định trên đoạn
 
;ab
, ta làm như sau:
 B1 Tìm các điểm
1
x
,
2
x
, …,
m
x
thuộc khoảng
 
;ab
mà tại đó hàm số
f
có đạo hàm
bằng
0
hoặc không có đạo hàm.
 B2 Tính
 
1
fx
,
 
2
fx

, …,
 
m
fx
,
 
fa
,
 
fb
.
 B3 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN
của
f
trên đoạn
 
;ab
; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của
f
trên đoạn
 
;ab
.
 
           
 
12
;
max max , , , , ,
m

x a b
f x f x f x f x f a f b

 
.
 
           
 
12
;
min min , , , , ,
m
x a b
f x f x f x f x f a f b

 
.
Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số
f
mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào thì
ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của
f
.
II.VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1. [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
2 3 3
1
xx
y

x



trên đoạn
 
0;2
.
Giải. Ta có
  
 
   
2
2
22
4 3 1 2 3 3
24
'0
11
x x x x
xx
y
xx
    

  

 
0;2x
. Lại có

 
03y 
,
 
17
2
3
y 
. Suy ra
 
0;2
min 3
x
y


,
 
0;2
17
max
3
x
y


.
Nhận xét.
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ

2


f
đồng biến trên
 
;ab



 
   
 
   
;
;
min
max
x a b
x a b
f x f a
f x f b










;

f
nghịch biến trên
 
;ab



 
   
 
   
;
;
min
max
x a b
x a b
f x f b
f x f a










.
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số  =  + 2  
2

Giải: Điều kiện 2 – x
2
≥ 0  -

2   

2 => D = [

2,

2]
y’ = 1 -


2
2

y’ = 0  2  
2
= x  
  0
2  
2

= 
2

 x = 1
Ta lại có: f(

2) = -

2
f(1) = 2
f(

2)=

2
Vậy Max y = 2 khi x = 1
Min y = -

2 khi x = -

2
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = sin2x – x trên [-

2
,

2
]
Giải: Tập xác định D = R
y’ = 2 cos 2x – 1 => y’ = 0  2cos2x – 1 = 0  cos 2x = ⅟2  x = ±


6

Ta lại có: f(-

2
) =

2
; f (

6
) =

3
2
+

6
; f(

2
) = -

2

Vậy ta được: Max y =

2
khi x = -


2

Min y = -

2
khi x =

2

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =

  2 +

4  
Đáp án: Max y = 2 khi x = 3
Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y =
1+ 
6
+ 
6

1+ 
4
+ 
4


Đáp án: Min y = 5/6 khi x =


4
+ k

2


3

Max y = 1 khi x = k

2

Ví dụ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y =

2+
với x ϵ [0, ]
Đáp án: Min y = 0 khi x = 0 hoặc x = 
Max y = 1/

3 khi x = 2/3
Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

2
 3+1

với x > 0
Đáp án: Min y = -1, khi x = 1