Báo cáo mạng hàng đợi

Báo cáo mạng: Hàng đợi
MỤC LỤC
Mở đầu
Chương I: Giới thiệu
1.Lịch sử hình thành hàng
đợi
2.Chức năng và tầm quan
trọng của hàng đợi
Chương II: Các khái niệm cơ
bản
1.Định nghĩa về hàng đợi
2.Các tham số đặc trưng
của một hàng đợi
3.Mô tả trạng thái cho hệ
thống hàng đợi
4.Các thông số hiệu năng
thường dùng trong mô hình
mạng hàng đợi
Chương III: Một số hàng đợi
cơ bản
1.Hàng đợi Markov M/M/1.
2.Các hàng đợi nhiều trạm
dịch vụ: M/M/m.
3.Các hàng đợi có số khách
hàng hạn chế M/M/m/N/N
4.Hàng đợi M/G/1.
5.Các hệ thống có phản hồi
Chương IV: Mạng các hàng
đợi
1.Định lý đến
2.Thuật toán nhân chập

3.Thuật toán phân tích giá
trị trung bình
Kết luận
Tài liệu tham khảo
Mở đầu
Sự phát triển của mạng máy
tính có tác động sâu sắc đến
nhiều khía cạnh của khoa học
kĩ thuật cũng như cuộc sống
con người. Việc ra đời và
phát triển của các mạng tốc
độ cao đã đẩy nhanh sự phát
triển của mạng máy tính. Qua
mạng tốc độ cao, quá trình
truy xuất các luồng thông tin
khác nhau được thực hiện
nhanh hơn với giá thành thấp
hơn. Hệ thống thông tin cũng
như mạng máy tính cần phải
được xây dựng phức tạp hơn
để đáp ứng nhu cầu xử lí,
truyền tải thông tin với tốc độ
nhanh và dung lượng lớn. Sự
phát triển của mạng máy tính
hiện nay đã dẫn đến sự hình
thành và phát triển của mạng
Internet, Internet cung cấp
cho thế giới rất nhiều dịch vụ
đa dạng, một trong những
dịch vụ của Internet được sử

dụng rộng rãi và được nhiểu
người quan tâm nhất nhất là
Word Wide Web. Các trang
Web được lưu trữ trong các
WebServer, với số lượng các
trang Web tăng một cách
nhanh chóng hiện nay thì việc
đảm bảo cho các WebServer
hoạt động có hiệu quả là một
yêu cầu hết sức cần thiết.
Trong quá trình thiết kế xây
dựng mạng máy tính đặc biệt
là hệ thống Internet thì một
nhiệm vụ đặt ra hết sức quan
trọng là phải phân tích đánh
giá được hiệu năng của hệ
thống để hỗ trợ cho việc xây
dựng và phát triển hệ thông
tin.
Việc phân tích đánh giá hiệu
năng của mạng máy tính là
một việc tương đối phức tạp.
Một trong những phương
pháp đánh giá được sử dụng
rộng rãi và có hiệu quả trên
thực tế là phương pháp mô
hình hoá và các mô hình được
sử dụng hiện nay là mô hình
hàng đợi, mạng Petri, đồ thị,
và các mô hình lai ghép.

Trong đó mô hình hàng đợi là
một mô hình đơn giản và tỏ ra
có hiệu quả trong thực tế. Lý
thuyết xếp hàng đã được
nghiên cứu rộng rãi trên thế
giới đầu thế kỉ 20. Có nhiều
ứng dụng được cài đặt sử
dụng lí thuyết này, có các thư
viện mở được xây dựng để
giải quyết các bài toán trên
mô hình hàng đợi một trong
số đó có thể kể đến là thư
viện PDQ
Chương 1. Giới thiệu
1. Lịch sử hình thành hàng
đợi
2. Chức năng và tầm quan
trong
Lý thuyết hàng đợi
(Queueing theory) là một
chuyên ngành thú vị của xác
suất. Những bài báo đầu tiên
viết về nó cách đây khoản vài
chục năm nhưng ứng dụng
của nó mang lại là rất lớn
trong công nghệ thông tin,
kinh tế…
Lý thuyết hàng đợi, nghiên
cứu quá trình phục vụ. Nó
nghiên cứu những đặc trưng

và xác định các tính chất của
hệ thống được thiết lập bởi
các yêu cầu (của khách hàng).
Những yêu cầu, thời gian
phục vụ là những đại lượng
ngẫu nhiên. Những hệ như
vậy thường là những mô hình
của các hệ thống thực tế, ví
dụ: mạng điện thoại, mạng
máy tính, hệ thống tính toán,
…
Thành phận quan trọng của
một hệ thống phục vụ:
+ Luồng các yêu cầu vào.
+ Máy phục vụ.
+ Phương pháp phục vụ.
+ Hàng đợi.
+ Luồng các yêu cầu ra.
Mục đích nghiên cứu của
chuyên ngành:
+ Đánh giá tham số hệ thống
tự tế bằng phương pháp thống
kê.
+ Tìm điều kiện dừng của hệ
thống.
+ Tìm những đặc trưng cơ
bản của hệ thống: xác suất
được phục vụ, phân phối của
số các yêu cầu ở trong phục
vụ.

+ Bài toán tối ưu của hệ
thống.
Chương 2. Các khái niệm cơ
bản
1. Định nghĩa về hàng
đợi:
• Hàng đợi là hệ
thống bao gồm các
thành phần : khách
hàng vào/ra hệ
thống
(input/output), hệ
thống phục vụ
(server), hàng
đợi(queue).
• Khách hàng vào hệ
thống được đưa vào
hàng đợi, đến lượt
thì được phục vụ ở
server, sau khi được
phục vụ xong thì ra
khỏi hệ thống. Khi
dùng hàng đợi ta
hiểu là toàn bộ hệ
thống xếp hàng bao
gồm các yêu cầu
đợi phục vụ và các
yêu cầu đang được
phục vụ .
Ví dụ:

Các hệ thống điện
thoại: khi số lượng
lớn khách hàng quay
số để kết nối đến một
trong những đường ra
hữu hạn của tổng đài.
Trong mạng máy tính:
khi mà gói tin được
chuyển từ nguồn tới
đích và đi qua một số
lượng các nút trung
gian. Hệ thống hàng
đợi xuất hiện tại mỗi
nút ở quá trình lưu
tạm thông tin tại bộ
đệm.
Hệ thống máy tính:
khi các công việc tính
toán và tuyến làm
việc của hệ thống yêu
cầu dịch vụ từ bộ xử
lý trung tâm và từ các
nguồn khác.
Những tình huống này
được diễn tả bằng
hình vẽ sau:
Hình 2-1 Mô hình
chung của hệ thống
hàng đợi
Hình 2-2: Ví

dụ về mạng
hàng đợi mở
Hình 2-3 Ví
dụ về mạng
hàng đợi đóng
2. Các tham số đặc
trưng của hàng đợi.
- Tính chất của
dòng khách
hàng đến hàng
đợi hay phân
bố xác suất
khoảng thời
gian giữa các
yêu cầu hàng
đợi.
- Phân bố xác
suất khoảng
thời gian dịch
vụ cho mỗi
yêu cầu trong
hàng đợi.
- Số các server
tại hàng đợi.
- Dung lượng bộ
đệm hay dung
lượng lưu trữ
tại hàng đợi.
- Tổng số các
yêu cầu hiện

đang có mặt tại
hàng đợi.
- Các kiểu dịch
vụ.
Theo kí pháp của
Kendall một hệ thống
xếp hàng được phân loại
qua các kí hiệu của bộ
mô tả kendall tổng quát
có dạng α/δ/m/β/N/Q
α: phân bố xác suất của
khoảng thời gian yêu cầu
để phục vụ các khách
hàng trong hệ thống xếp
hàng .
δ: phân phối xác suất
trong khoảng thời gian
yêu cầu để phục vụ các
khách hàng trong hệ
thống xếp hàng
β: kích thước bộ đệm
hoặc dung lượng lưu trữ
tại hệ thống xếp hàng.
N : số lượng khách hàng
được phép chuyển qua
hệ thống.
Q: phương thức phục vụ.
3. Mô tả trạng thái
cho hệ thống hàng
đợi:

• Trạng thái của một
hệ thống hàng đợi
là một véc tơ biểu
diễn số khách hàng
trong mỗi hàng đợi
của hệ thống tại mỗi
thời điểm cụ thể.
Trạng thái hệ thống
hàng đợi cho phép
mô tả hàng đợi một
cách đầy đủ ở thời
điểm bất kì mà
không cần biết thêm
các đại lượng khác
như thời gian phục
vụ, thời gian giữa
hai lần đến liên tiếp
• Đối với hệ thống
xếp hàng ta thường
dùng mô hình
thống kê Markov để
tính toán , để mô tả
trạng thái hệ thống
ta tính P
n
(t) là xác
suất để hệ thống có
véc tơ trạng thái n
tại thời điểm t.
4. Các thông số hiệu

năng thường dùng
trong mô hình
mạng hàng đợi:
Ví dụ về hệ thống
hàng đợi đơn giản
Hình 2-4 Hệ thống
hàng đợi đơn giản
λ - tốc độ đến trung
bình , thời gian đến
trung bình -1/λ
µ - tốc độ phục vụ
trung bình, thời gian
phục vụ trung bình
1/µ
Với kích thước của
bộ đệm là vô hạn,
quy tắc phục vụ là
FCFS (đến trước
phục vụ trước )
• Tốc độ đến của các
khách hàng (λ) : λ
=
T
A

• trong đó A - số các
khách hàng đến hệ
thống. T-Thời gian
quan sát (hay thời
gian đó). Trong khi

A đếm số các yêu
cầu đến hàng đợi thì
λ biểu diễn tốc độ
mà các yêu cầu đó
đến. Đơn vị đo của
tốc độ là : khách
hàng đơn vị thời
gian. Ví dụ, nếu
một hệ điều hành
được cung cấp các
công cụ để mà đếm
số yêu cầu về phục
vụ một số tài
nguyên (CPU,
đĩa ) thì tổng số
lần đếm trong một
đơn vị thời gian
chính là tốc độ đến.
• Thông lượng
(throughput) của hệ
thống xếp hàng hay
là tốc độ trung bình
các khách hàng
chuyển qua hệ
thống: X =
T
C
Trong đó C là số
các khách hàng
hoàn thành dịch vụ.

Đại lượng này cũng
biểu thị tốc độ. Do
nó là một đại lượng
có thể đo tốc độ
hoàn thành dịch vụ
một cách trực tiếp,
giống như tốc độ
đến. Trong một số
trường hợp ta sẽ
thấy tốc độ đến hệ
thống của các khách
hàng λ sẽ bằng với
thông lượng X.
• Số khách hàng
trung bình trong hệ
thống xếp hàng :
Q = n =
∑
∞
=1n
np
n
(khách hàng)
Độ đo này là trung
bình trọng số của số
các khách hàng
trong hệ thống xếp
hàng với các xác
suất trạng thái được
dùng như các trọng

số. Các biểu diễn
khác.
Q =
T
τ
Trong đó, τ - tổng
thời gian thường trú
của tất cả khách
hàng đã hoàn thành
dịch vụ.
• Thời gian đáp ứng
(R-Response time)
R =
C
τ
(giây)
trong đó, τ là tổng
thời gian thường trú
của tất cả các khách
hàng đã hoàn thành
dịch vụ.
Cách biểu diễn
khác, thời gian đáp
ứng : R = W+S
(thời gian thường
trú bằng tổng thời
gian phục vụ và
thời gian mà khách
hàng đó phải đợi
trước khi được

phục vụ.
• Thời gian phục vụ
(S-service time)
được định nghĩa là :
S =
C
B
trong đó B - tổng
thời gian hệ thống
bận trong khoảng
thời gian T. Đại
lượng này không
phải là tốc độ mà nó
biểu diễn tổng thời
gian trung bình để
hoàn thành phục vụ
một yêu cầu đến.
• Thời gian đợi (W-
waiting time) thời
gian đợi của một
khách hàng trước
khi được phục vụ
được xác định :
W=SQ, trong đó Q
- số các khách hàng
trung bình trong
hàng đợi, S - tốc độ
dịch vụ.
• Độ hiệu dụng
(utilitization) hay là

xác suất để hệ thống
xếp hàng là không
rỗng và tất cả các
server bận (trường
hợp nhiều server):U
= 1 - p
o
Cách định nghĩa
khác : độ hiệu dạng
trung bình U =
T
B
:
Đại lượng này biểu
diễn tổng thời gian
trung bình mà
server hay tài
nguyên bị bận trong
khoảng thời gian
quan sát T. Độ hiệu
dụng không có đơn
vị mà thường được
biểu diễn dưới dạng
%.
• Xác suất để hệ
thống xếp hàng là
rỗng p
o
• Xác suất để tất cả
các kênh phục vụ

đều bận hay xác
suất để 1 khách
hàng bị từ chối là :
P
N
hay P[quetteing]
(trong đó N-kích
thước hệ thống).
Chương III: Một số hàng
đợi cơ bản
Bất kỳ hệ thống xếp hàng
nào cũng được mô tả bởi :
Tiến trình đến
Nếu các khách hàng đến
vào các thời điểm t1, t2 … tj

thì
các biến số ngẫu nhiên Pj=tj-
tj-1 được gọi là các thời
điểm giữa các lần đến.
Các thời điểm này thường
được giả thiết là các biến
số ngẫu nhiên độc lập và
được phân bố đồng nhất
IID (Independent and
Identycally distributed).
Các tiến trình đến thông
dụng nhất là :
M: Tiến trình mũ (là tiến
trình Markov hay tiến trình

không nhớ)
Er: Tiến trình Erlang bậc r
Hr: Tiến trình siêu số mũ
bậc r
D: Tiến trình tất định
(deterministic)
G: Tiến trình chung
Tiến trình phục vụ
Thời gian mà mỗi công
việc tiêu tốn cần thiết tại
server gọi là thời gian phục
vụ. Các thời gian phục vụ
thường giả thiết là các biến
số ngẫu nhiên IID. Các tiến
trình phục vụ thông dụng
nhất cũng giống như thời
gian đến.
Số lượng các bộ server:
Số lượng các server phục
vụ cho hàng đợi
Dung lượng hệ thống
Kích thước bộ nhớ đệm
cực đại
Qui mô mật độ
Số lượng các công việc
đến tại hàng đợi. Qui mô
mật độ luôn là hữu hạn
trong các hệ thống thực.
Tuy nhiên phân tích hệ
thống với qui mô mật độ

lớn sẽ dễ dàng hơn nếu
giả thiết rằng qui mô mật
độ là vô hạn.
Qui tắc phục vụ
Thứ tự mà theo đó các
công việc trong hàng xếp
được phục vụ. Các qui tắc
phổ biến nhất là đến trước
phục vụ trước FCFS (First
Come First Served), đến
sau phục vụ trước LCFS
(Last Come First Served),
theo vòng tròn RR (Round
Robin), thời gian xử lý
ngắn nhất phục vụ trước
SPT (Shortest Procesing
Time First) và thời gian xử
lý ngắn nhất được đề cử
SRPT (Shortest Remaining
Processing Time First)
1. hàng đợi Markov
M/M/1.
Hình 2.2.Hàng đợi đơn giản
Hàng đợi đơn giản là hàng
đợi chỉ có 1 server, với thời
gian phục vụ cho mỗi khách
hàng là như nhau, do đó, thời
gian phục vụ trung bình S cố
định. Chiến lược của hàng đợi
này là chiến lược FIFS.

Hàng đợi M/M/1 có hai đặc
trưng chủ yếu là :
- Tiến trình đến là tiến
trình Poisson
- Hệ thống phục vụ
( Server) có thời gian dịch vụ
cho mỗi khách hàng là biến
ngẫu nhiên có phân bố mũ.
Sau đây ta sẽ khảo sát hai đặc
trưng trên của hàng đợi này
Quá trình đến của khách
hàng là một tiến trình
Poisson
- Xác suất để 1 khách hàng
đến hệ thống trong khoảng
thời gian [t, t+
∆
t] là
t∆λ
- Xác suất để không có khách
hàng nào đến hệ thống trong
khoảng thời gian [t, t+
∆
t] là
(1-
t∆λ
)
λ
là tốc độ khách hàng đến .
Sử dụng lí thuyết quá trình

Poisson ta có :
- Xác suất để có n khách hàng
đến hệ thống trong khoảng
thời gian t s là :
P
n
(t)=
!x
e)t(
tx λ−
λ
- Số khách hàng trung bình
đến hệ thống trong t(s) là :
t)t(nPn
0n
n
λ==
∑
∞
=
Thời gian phục vụ mỗi khách
hàng là biến ngẫu
nhiên tuân theo phân
bố mũ
Trong hệ thống xếp hàng
M/M/1 thì thời gian phục vụ
là các biến ngẫu nhiên tuân
theo phân bố mũ nghĩa là:
- Xác suất để một dịch
vụ được hoàn thành trong

khoảng thời gian [t, t+
∆
t] là
t∆µ
- Xác suất để không có
một dịch vụ nào được hoàn
thành trong khoảng thời gian
[t, t+
∆
t] là 1-
t∆µ
Trong đó
µ
là tốc độ dịch vụ
trung bình của server va 1/
µ
lf
thời gian dịch vụ trung bình
cho mỗi khách hàng của
server. Hệ thống serve phục
vụ như vậy là hệ thống không
nhớ.
2. Các hàng đợi nhiều
trạm dịch vụ: M/M/m.
Trước hết, ta xét hàng đợi chỉ
có 2 server (hình 2.4).
Hình 2.4. Hàng đợi có 2
server.
Với hàng đợi này, ta có thể
làm giảm thời gian lưu trú của

khách hàng trong hệ thống.
Ta có:
QSSR
ρ
2
1
+=
Công thức này xây dựng được
vì khi có 2 server cùng xử lý
một hàng đợi, thời gian phục
vụ của mỗi server giảm đi còn
một nửa. Mặt khác, không
phải lúc nào 2 server cũng
bận, do đó có thể chưa cần
phục vụ xong khách hàng thứ
nhất (ví dụ ở server 1) ta đã
có thể phục vụ tiếp khách
hàng thứ 2 (ở server 2) nên
thời gian phục vụ thực tế phụ
thuộc vào xác suất bận của
server, tức là phụ thuộc vào
mức độ tận dụng hệ thống tại
một server
ρ
.
Từ đây, ta có:
( )
( )
RSRXSSR
2

2
1
ρρ
+=+=
.
Suy ra:
2
1
ρ
−
=
S
R
hay
2
1
2
ρ
ρ
−
=Q
Công thức này cũng được sử
dụng cho hệ thống đa server,
tuy nhiên, dạng của nó như
sau:
m
S
R
ρ
−

=
1
và
m
m
Q
ρ
ρ
−
=
1
, với m là
số server của hệ.
Thời gian đáp ứng chính xác
của các hệ thống đa server có
thể được tính bằng công thức
sau:






−
+=
)1(
),(
1
ρ
ρ

m
mC
SR
, trong đó
),( SmC
λ
là xác suất mọi server
đều bận và yêu cầu gửi đến sẽ
được đặt vào hàng xếp.
Thông thường, hàm này được
định nghĩa:
( )
!
)(
!
)(
1
!
)(
),(
1
0
m
m
k
m
m
m
mC
m

m
k
m
ρρ
ρ
ρ
ρ
+−
=
∑
−
và
được gọi là hàm Erlang C.
Hàm Erlang B được định
nghĩa cho hệ thống không có
hàng đợi, tức là nếu khách
hàng đến yêu cầu dịch vụ khi
tất cả các server đều bận thì
yêu cầu của họ sẽ bị huỷ.
Hàm này có dạng như sau:
∑
−
=
1
0
!
)(
!
)(
),(

m
k
m
k
m
m
m
mB
ρ
ρ
ρ
Các hàm này có khả năng tính
toán khá dễ. Do đó, nó cũng
thường được sử dụng trong
việc tính thời gian đáp ứng
chính xác của hệ phân tán.
3. Các hàng đợi có số
khách hàng hạn chế
M/M/m/N/N(hàng đợi
đóng)
Hàng đợi đóng có đặc điểm là
nó chỉ phục vụ được một
lượng khách hàng hạn chế.
Gọi N là số khách hàng của
hệ thống. N là một tham số
của mô hình.
Mỗi khách hàng trong hệ
thống ở một trong các trạng
thái: hoặc là đi vào hàng đợi
(thời gian chuẩn bị để đi vào

hàng đợi được gọi là thời gian
nghĩ của hệ thống Z) hoặc đã
ở trong hàng đợi và chờ được
phục vụ.
Trong hệ này, ta có:
Z
X
N
R −=
Biến đổi phương trình trên
như sau:
S
Z
m
N
S
Z
U
N
S
Z
XS
N
S
R
−=−=−=
ρ
Khi thời gian suy nghĩ ngắn
nhất và bằng 0, ta có R lớn
nhất và bằng

m
NS
R =
max
4. Hàng đợi M/G/1.
Ký pháp biểu diễn một hàng
đợi không có phân phối xác
suất hàm mũ được cho trên
hình 2.6.
Hình 2.6. Mô hình hàng đợi
M/G/1
Trong mô hình này, các khách
hàng sẽ đi dần ra khỏi hệ
thống khi đang được phục vụ,
đến khi nó được phục vụ
xong thì hoàn toàn rời khỏi hệ
thống. Thời gian lưu trú tổng
thể sẽ giảm đi một lượng (1-
k), với k là phần còn lại trong
hệ thống của khách hàng.
Thay vào công thức, ta có:
R=S+SQ-(1-k)ρS.
Tính toán, ta có:
])1(1[
1
ρ
ρ
k
S
R

PK
−−
−
=
Với tính chất của phân phối
tổng thể, ta có:
)1(
2
1
2
s
Ck +=
,
với C
s
là giá trị hiệp biến của
dãy thời gian đến. Vì thế, ta
có:
)1(2
)1(
2
ρ
ρ
−
+
+=
s
PK
CS
SR

5. Các hệ thống có phản
hồi.
Hình 2.5 Hệ thống có phản
hồi.
Có một số khách hàng sau khi
được phục vụ lại tiếp tục yêu
cầu loại tài nguyên đó. Điều
này thể hiển ở dòng quay lại
hệ thống trên hình. Gọi p là
xác suất quay lui. Thế thì, ta
có tốc độ yêu cầu tới hàng đợi
là:
11
λλλ
p+=
.
Sử dụng các định nghĩa về
lượng khách thăm đã nói đến
ở phần trên, ta tính được
lượng khách đến thăm server
là:
p
V
−
=
1
1
và yêu cầu dịch vụ
là D=VS.
Thế thì,

D
D
R
λ
−
=
1
.
Chương IV: Mạng các hàng
đợi