Bộ đề thi kiểm tra năng lực học sinh giữa hoc kỳ II toán lớp 8

KIỂM TRA GIỮA KÌ II
Năm học 2014 – 2015
MƠN TỐN LỚP 8- THỜI GIAN 60 PHÚT
Câu 1 ( 2,5đ) : Cho biểu thức A =

x
10x
5
− 2
−
x − 5 x − 25 x + 5

a) Tìm tập xác định của A và rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A biết x = 9
c) Tìm giá trị nguyên của x nguyên để biểu thức A đạt giá trị nguyên
Câu 2 (1,5đ) : Giải phương trình sau :
a) 2x – 3 = 3(x – 1) + x + 2

; b) 2x(x – 3) – 5(x – 3) = 0

2x
x2 − x + 8
=
c)
x + 1 (x + 1)(x − 4)
Câu 3 (2đ) : Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 15 km/h. Lúc về người
đó đi với vận tốc trung bình là 12 km/h, nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là
22 phút. Tính độ dài quãng đường từ A đến B
Câu 4 ( 3,5đ) : Cho tam gi¸c AOB cã AB = 18cm ; OA = 12cm ; OB = 9cm . Trên
tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OD = 3cm . Qua D kẻ đờng thẳng song song

víi AB c¾t tia AO ë C . Gäi F là giao điểm của AD và BC .
a) Tính độ dµi OC ; CD

;

b) Chứng minh rằng FD . BC = FC . AD

;

c) Qua O kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lợt tại M vµ N . Chứng
minh OM = ON
Câu 5(0,5đ)Giải phương trình sau

(x

2

+ 1) + 3x ( x 2 + 1) + 2x 2 = 0
2

ĐỀ II
Câu 1 (3 điểm): Giải các phương trình sau:
a) 4x + 16 = 0

c)

3x
x
−2=
x+2

x−2

b) (x – 2)(2x + 3) = 5(x – 2)
Câu 2 (1.5 điểm): Cho phương trình: 2(m - 1)x + 3 = 2m – 5

(1)

a) Tìm m để phương trình (1) là phương trình bậc nhất một ẩn.


b) Với giá trị nào của m thì phương trình(1)tương đương với phương trình
2x + 5=3(x + 2)- 1
Câu 3 (2 điểm):Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc trung bình 50 km/h. Lúc từ B về
A ô tô đi với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi 20 km/h nên thời gian lúc về hết nhiều
hơn lúc đi là 40 phút. Tính độ dài quãng đường AB.
Câu 4 (2.5 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A. Đường phân giác BM ( M ∈ AC )
và CN ( N ∈ AB ) cắt nhau tại O. Biết độ dài AB = 15cm, AM = 9cm.
a) Tính độ dài cạnh BC.
b) Chứng minh MN // BC.
c) Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Câu 5 (1.0 điểm): a) Chứng tỏ rằng phương trình: mx – 3 = 2m – x – 1 luôn nhận
x = 2 làm nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó
cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.
ĐỀ III
Câu 1:( 3 điểm). Giải các phương trình sau:
a) 5(3x + 2) = 4x + 1

C)

2
1
3 x −11
−
=
x +1 x − 2 ( x +1)( x − 2)

b) (x – 3)(x + 4) = 0
Câu 2: ( 3 điểm). Một ôtô đi từ A đến B với vận tốc trung bình 50km/h. Lúc về,
ơtơ đi với vận tốc trung bình 60km/h, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30
phút. Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu kilômét?
Câu 3: ( 3,5 điểm).Cho tam giác nhọn ABC , có AB = 12cm , AC = 15 cm . Trên
các cạnh AB và AC lấy các điểm D và E sao cho AD = 4 cm , AE = 5cm .
a, Chứng minh rằng:DE // BC, từ đó suy ra ∆ ADE đồng dạng với ∆ ABC ?
b, Từ E kẻ EF // AB ( F thuộc BC ) . Tứ giác BDEF là hình gì?
Từ đó suy ra : ∆ CEF đồng dạng ∆ EAD ?
c, Tính CF và FB khi biết BC = 18 cm ?
Câu 4: ( 0,5 điểm). Giải phương trình sau:
1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
=
x 2 + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 9x + 20 x + 11x + 30 8

ĐỀ IV

Câu 1 (2,5 điểm): Cho

x+2 x−2
4x 2  x 2 − 6x + 9
A= 
 x − 2 − x + 2 + x2 − 4  : 2


 x − 5x + 6

a.Rút gọn A.
1
b. Tính giá trị của A biết x = 3

c. Tìm giá trị nguyên lớn hơn 4 của x để biểu thức A có giá trị là một số
nguyên.
Câu 2 (2,5 điểm): Giải các phương trình sau:
a/ 3x – 7 = 0

c/

1
2x 2 − 5
4
+ 3
= 2
x −1 x −1
x + x +1

b/ 2x(x - 1) - (x - 1) = 0
Câu 3 (1,5 điểm):Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 5. Nếu tăng cả
tử và mẫu thêm 5 đơn vị thì được phân số mới bằng phân số

2
.Tìm phân số ban
3

đầu .
Câu 4 (3 điểm):Cho tam giác ABC vng ở A, trung tuyến BD, phân giác của góc
ADB và góc BDC lần lượt cắt AB, BC ở M và N, biết AB = 8cm, AD =6cm
a. Tính tỉ số

MA
MB

b. Chứng minh rằng: MN//AC.
c. Tứ giác MNCA là hình gì? Tính diện tích tứ giác MNCA?
Câu 5 (0,5 điểm): Tìm tất cả các cặp số (x;y) thoả mãn 2013x 2 + 2014y 2 - 4026x +
4028y +4027 = 0
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
CÂU 1 : a) Tìm được tập xác định x ≠ ± 5
x
10x
5
− 2
−
A=
x − 5 x − 25 x + 5

x(x + 5) − 10x − 5(x − 5)
=
( x − 5) ( x + 5)

0 ,5đ

0,5đ
0,5đ

x 2 + 5x − 10x − 5x + 25
=
( x − 5) ( x + 5)
x 2 − 10x + 25
=
( x − 5) ( x + 5)

( x − 5)
( x − 5) ( x + 5)
2

=

=

x −5
x +5


9−5 4 2
= =

9 + 5 14 7
x −5
x + 5 − 10
10
=1−
c)
=
x +5
x+5
x +5
Tìm được x ∈ { -15 ; -10 ; -7 ; -6 ; -4 ; -3 ; 0
CÂU 2 : a) x = - 1

0,5đ

b) Thay x = 9 vào A =

0,25đ

}

0,25đ

b) Phân tích được thành tích và tìm được x = 3 hoặc x =

5
2

c) Làm đủ các bước loại nghiệm và kết luận nghiêm của
hương trình là x = 8

CÂU 3(2đ)
Gọi quãng đường AB là x km/h ( x > 0)
x
h
Thì thời gian đi từ A đến B là
15
x
h
thời gian đi từ B về A là
12

0,5đ

0,5đ
0,5đ

Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 22 phút =
Ta có phương trình :

0,5đ
0,5đ

0,5đ

11
h.
30

x
11

x
=
12 15 30
 5x – 4x = 22

0,5đ

 x = 22 ( tmđk)
Vậy quãng đường AB dài 22 km
F

D

C

M

N
O

A

CÂU 4 :
a) Xét tam giác OAB có CD // AB ( gt)
=>

B

1,5đ

OC OD CD
=
=
( Hệ quả của định lý Talet)
OA OB AB

OC 3 CD
12.3
18.3
= =
= 6cm
=> OC =
= 4cm ; CD =
12 9 18
9
9
b) Xét tam giác FAB có CD // AB
=>

=>

FC FD
=
CB DA

=> FC . DA = CB . FD

1đ

c) Vì MN // AB (gt)

1đ

CD // AB (gt) =>MO // CD , NO // CD
Xét tam giác ACD có OM // CD
MO AO
=
(1)
CD AC

=>

Xét tam giác BCD có ON // CD
=>
Mà

NO BO
=
(2)
CD BD
AO BO
=
(ta let) (3)
AC BD

Từ (1) , ( 2 ) , (3) =>

(x

2

MO NO
=
=> OM = ON
CD CD

+ 1) + 3x ( x 2 + 1) + 2x 2 = 0
2

(0,5đ)

⇔ ( x 2 + 1) + x ( x 2 + 1) + 2x ( x 2 + 1) + 2x 2 = 0
2

CÂU5 :

⇔ ( x 2 + 1) ( x 2 + 1 + x ) + 2x ( x 2 + 1 + x ) = 0
⇔ ( x 2 + 1 + x ) ( x 2 + 1 + 2x ) = 0
( x 2 + 1 + x ) = 0

( x 2 + 1 + 2x ) = 0


=> x = - 1
HS làm cách khác : đặt ẩn phụ+ tách
ĐỀ II
Câ

ý

Nôị dung

u
1

Điểm
3

a)

4x + 16 = 0
⇔ 4x = -16
⇔ x = -4

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-4}

0.75
0.25

b) (x – 2)(2x + 3) = 5(x – 2)
⇔ (x – 2)(2x + 3) - 5(x – 2) = 0
⇔ (x – 2)[(2x + 3) - 5] = 0

0.5


⇔ (x – 2)(2x - 2) = 0
⇔ x – 2 = 0 hoặc 2x – 2 = 0
⇔ x = 2 hoặc x = 1

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1;2}
c)

0.25
0.25

3x
x
−2=
x+2
x−2

(1)

ĐKXĐ: x ≠ ±2
PT (1) ⇒ 3x(x - 2) - 2(x + 2)(x – 2) = x(x + 2)
⇔ 3x2 – 6x – 2x2 + 8 = x2 + 2x

0.25
0.25

⇔ 3x2 – 6x – 2x2 + 8 - x2 - 2x = 0
⇔ -8x + 8 = 0
⇔x =1

0.25

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1}
2

0.25
1.5

a) - Pt (1) ⇔ 2(m – 1)x – 2m + 8 = 0
- Pt (1) là phương trình bậc nhất một ẩn ⇔ 2(m – 1) ≠ 0

0.25

⇔ m–1 ≠ 0
⇔ m ≠ 1

0.25

- KL: m ≠ 1 thì Pt (1) là phương trình bậc nhất một ẩn.
b) - Giải PT(*) tìm được nghiệm x = 0

0.25
0.25

- Pt(1) tương đương với Pt(*) ⇔ Pt(1) là phương trình bậc nhất
một ẩn nhận x = 0 làm nghiệm.
Thay x = 0 vào Pt(1) tìm được m = 4 (thoả mãn đk)

0.25

- Kết luận.

0.25
2

0.25

3
- Gọi độ dài quãng đường AB là x km ;
- Thời gian ô tô đi từ A đến B là:

đk: x>0

x
(giờ)
50

Vì từ B về A ơ tơ đi với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi 20 km/h
nên vận tốc lúc về là 30 km/h.

0.25
0.25


- Thời gian lúc từ B về A là:

- Vì thời gian lúc về nhiều hơn thời gian lúc đi 40 phút ( =
nên ta có phương trình:

0.25

x
(giờ)
30
2

giờ)
3

x
x
2
==
30
50
3

0.5

- Giải phương trình tìm được x = 50 (thoả mã đk)
0.25

- Kết luận

0.25
4

2.5

a) - Tính được MC = 6 cm

0. 5

- Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có :
AB AM
AB.MC

=
⇒ BC =
BC MC
AM

- Thay số tính được BC = 10 cm
- kết luận

0.25
0.25

b) - Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có :
AM AB
=
MC BC
AN AC
=
NB BC

(1)
(2)

Mặt khác AB = AC ( tam giác ABC cân tại A) (3)

0.25


- Từ (1), (2), (3) ⇒

AM AN

=
MC NB

- Theo định lý Ta-lét đảo ⇒ MN//BC.
c) - Chứng minh được ∆AMN đồng dạng với ∆ABC
⇒

AM MN
AM .BC
=
⇒ MN =
AB
BC
AB

- Thay số tính được MN = 6 cm.
- KL

0.25
0.25

0.25
0.25
0.25
0.25

5

1
a

- Thay x = 2 vào phương trình ta được :
VT = m.2 – 3 = 2m – 3
VP = 2m – 2 – 1 = 2m – 3

0.25

Suy ra VT = VP
- Vậy phương trình ln nhận x = 2 làm nghiệm với mọi
b

0.25

giá trị của m.
Gọi hai số lần lượt là a2 và (a+1)2
Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 0.25
1
= (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a2 + a) + 1
= ( a2 + a + 1)2 là một số chính phương lẻ vì a2 + a = a(a +
1) là số chẵn ⇒ a2 + a + 1 là số lẻ
0.25
ĐỀ III

Câu

Nội dung
a) 5(3x + 2) = 4x + 1

Điểm
(0,25 điểm)

 15x + 10 = 4x + 1
15x – 4x = 1 – 10
Câu 1
(3 điểm )

11x
 x

0,25 điểm)

= -9
= −

9
11

(0,25 điểm)
(0,25 điểm)


Vậy PT có nghiệm x = −

9
11

b) (x – 3)(x + 4) = 0
=> (x – 3) = 0 hoặc (x + 4) = 0

(0,25 điểm)

=> x = 3 hoặc x = - 4
Vậy PT có nghiệm x = 3, x = - 4
b)

0,25 điểm)

2
1
3 x − 11
−
=
x + 1 x − 2 ( x + 1)( x − 2)

(0,25 điểm)

- ĐKXĐ: x ≠ -1:x ≠ 2
- Quy đồng khử mẫu ta được:
2(x – 2) – (x + 1) = 3x – 11

(0,25 điểm)

 2x – 4 – x – 1 = 3x – 11
 - 2x
 x

=-6
= 3

(TMĐK)

0,25 điểm)

Vậy PT có nghiệm x = 3

(0,25 điểm)
(0,25 điểm)

Câu 2
(3 điểm )

(0,25 điểm)
(0,5 điểm)

Gọi quãng đường AB là x km ( x > 0)

0,5 điểm)

Thời gian đi từ A -> B là

x
giờ
50

Thời gian đi từ B -> A là

x
giờ
60

(0,5 điểm)

1
x
x
= .
50 60 2

(0,5 điểm)

Theo bài ta có pt:

Giải PT ta được: x = 150 (T/m ĐK)
Vậy quãng đường AB dài 150km.
Câu 3

+ Vẽ hình đến câu a), ghi gt +kl

(3,5 điểm )

(0,5 điểm)

A

(0,5 điểm)
(0,5 điểm)

E

D

C
B

F


a,

(*) C/m được :

DE // BC

(*) Theo hq ta suy ra : ∆ ADE ∼ ∆ ABC (c.c.c)
b, (*) Tứ giác BDEF là Hình Bình Hành
(*)

Cm được : ∆ CEF ∼ ∆ EAD (gg)

c, Ta cm được ∆ CEF ∼

∆ CAB (t/c)

0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)

=> = = => 3 CF = 2 CB = 36

=> CF = 12 cm , FB = 6 cm .

(0,5 điểm)

Câu 4
(0,5 điểm ) tách mẫu ta được:
1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
=
x + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 9x + 20 x + 11x + 30 8

0,25 điểm)

2

⇔

1
1
1
−
=
x+2 x+6 8

Giải pt tìm ra nghiệm

(0,25 điểm

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
I. Phương trình đường thẳng:
Định nghĩa :
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 0(x0;y0;z0) và có
vectơ chỉ phương :
Nếu a1, a2 , a3 đều khác khơng .Phương trình đường thẳng viết dưới
dạng chính tắc như sau:

II Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng:
1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng


+ , cùng phương.
d // d’
d ≡ d’
+ , không cùng phương
Xét hệ: (I)
- d cắt d’ hệ (I) có một nghiệm. Muốn tìm giao điểm thay nghiệm t vào phương
trình d hoặc t’ vào d’
- d chéo d’hệ (I) vơ nghiệm
2) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Trong khơng gian Oxyz cho (α): và
Xét phương trình:
P.trình (1) vơ nghiệm thì d // (α)
P.trình (1) có một nghiệm thì d cắt (α)

P. trình (1) có vơ số nghiệm thì d(α)
Đặc biệt :
() () cùng phương
Ví dụ: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:
1. d: và mp(P): 2x+y+2z=0.

2. d: và mp(P): x+2y-z+5=0.

BÀI TẬP
DẠNG 1 : VIẾT PHƯƠNG TRINH DƯỜNG THẲNG
Vấn đề 1 : Viết đường thẳng đi qua một điểm và xác định được véctơ chỉ
phương
Cho hai điểm A(1;2;3), B(-2;0;-3).Viết phương trình đường thẳng đi qua hai
điểm A, B.
Cho điểm E(1;-2;3), và mặt phẳng (P): 2x-3y+4y-5=0. Viết phương trình đường
thẳng đi qua E và vng góc với mặt phẳng (P).
Cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d: .Viết phương trình đường thẳng đi qua A
và song song với d.
Cho điểm A(1;-2;0) và hai đường thẳng d: , d’:
Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vng góc với d và d’.
Vấn đề 2: Viết phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng
Cho
–Tìm vec tơ pháp tuyến

của (P),vec tơ pháp tuyến

của (Q)

–Tính
-Giải hệ phương trình tạo bởi (P) và (Q) tìm một điểm chung A

- Viết phương trình đường thẳng qua A và nhận là véctơ chỉ phương


Viết phương trình đường thẳng (c) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) sau:
Vấn đề 3 : Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm, vng góc và cắt
đường thẳng cho trước

-Tìm vec tơ chỉ phương của
- Gọi H là giao điểm của và d -Tìm tọa độ véctơ .
- Do . Giải phương trình tìm t.
- Viết phương trình đường thẳng qua A nhận là véctơ chỉ phương
Viết phương trình của đường thẳng (d) đi qua A và vng góc với đường thẳng (a):
a)A(2 ;-1 ; 1) (a):x=3 ; y =2t ; z= 4-2t
;z=c)A(0 ; 1 ;2)

(a): x=1+2t ; y = t z= -1 – t

b)A(3 ;-2;1)
d)A(0 ;1 ;-1)

(a):x = -2+t ; y = 1+2t
(a): x= t ; y= ;z=-t

Vấn đề 4 : Viết phương trình đường vng góc chung của hai
đường chéo nhau
-Gọi A là giao điểm của d và d1
- Gọi B là giao điểm của d và d2
- Tìm tọa độ A, B bằng cách giải điều kiện:
- Viết phương trình đường thẳng qua A hoặc B nhận là véctơ chỉ phương
Viết phương trình đường vng góc chung của (d) và (d’).

1)

2)

3)

4)

Vấn đề 5:Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt
phẳng và cắt hai đường thẳng cho trước
- Tìm giao điểm A của (P) và d1
- Tìm giao điểm B của (P) và d2


- Viết phương trình đường thẳng AB
Viết phương trình của đường thẳng (a) năm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng (d) ;
và (d’)
a)(P):6x+3y-13z+39 = 0
5+2t’

(d):x=1+t ;y=5+2t ;z =1-t

(d’):x = 2; y= -3+t’ ; z=

b) (P):2x – 3y +6z -11 = 0 (d):x= 1+2t ; y = -1 +t ;z = 1 (d’):x=4 ;y= -5 +t’ ;z= -2
+ 2t’;
c)(P):5x – 4y +2z = 0
3t’ ; z= 1;

(d):x = 2t ; y= 1+t ;z= 2 -2t

(d’) : x= 2+t’ ;y = 3 –

d)(P):x – 9y +2z +11 = 0 (d): x= 6+t ; y= -7 -9t ;z = 3+2t (d’):

Vấn đề 6: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A và cắt
hai đường thẳng d1 và d2
-d1 có vtcp và đi qua M; d2 có vtcp là và đi qua N
-Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và chứa d1 nhận là vtpt
- Viết phương trình mp (Q) qua A và chứa d2 nhậnlàm vtpt
- d là giao tuyến của (P) và (Q) : d qua A và nhận là vtcp
Viết phương trình đường thẳng (a) đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng (d) và
(d’)
1)M(1;1;-2) (d):x=-2+t ;y = -t ;z=-1 +3t (d’):x = -1-2t’ ; y= 1+5t’ ; z = -3t
2)M(-4 ; -5 ; 3)
3)M(5 ; 2 ; 5)
4)M(1 ; -1 ; 1) (d):x=1+2t ; y =t ; z= 3-t (d’):x = -2+t’ ; y= 3 – 2t’ ; z =t’
Vấn đề 7 : Viết phương trình đường thẳng d qua A vng góc d1 và cắt d2

- Viết phương trình mp (P) qua A và vng góc d1 nhận là vtpt
- Gọi B là giao điểm của d và d2 suy ra B là giao điểm của (P) với d2, tìm tọa độ B
- Viết phương trình đường thẳng qua A và nhận là vtcp


a)

b)

c)

DẠNG 2 : HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM LÊN ĐƯỜNG, CỦA
ĐIỂM LÊN MẶT
Vấn đề 1 : Tìm hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d
- Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vng góc với đường d
- Giao điểm H của (P) và d là hình chiếu cần tìm
Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d và điểm M
đối xứng với M qua đường thẳng d:
a)
b)

c)

d)

Vấn đề 2: Tìm hình chiếu H của một điểm M lên mặt phẳng (P)
– Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với (P).
– Khi đó: H = d (P)
Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P) và điểm M
đối xứng với M qua mặt phẳng (P):
a) b)
c) d)
Vấn đề 3: Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của trên (P)

TH1: //(P)

o

d// nên 1 vtcp của d là

Lấy một điểm M thuộc rồi tìm hình chiếu H của nó trên (P)

Viết phương trình đường thẳng d nhận làm vtcp và đi qua H


TH2: cắt (P)
Cách 1:

o Tìm giao điểm A của và (P)
Lấy 1 điểm M trên rồi tìm hình chiếu H của nó trên (P).
o Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và M

Cách 2:

o Viết phương trình (Q) chứa và vng góc (P)
o Khi đó

Viết phương trình của đường thẳng (a’) là hình chiếu của (a) lên mp(P)
1)(a): (P):3x+5y-z-2 = 0

2)(a):x =1+2t ; y ==2+3t ; z = 3+t

(P)mp(Oyz)

3)
4)(a):x= 2t ; y = 1+2t ; z =-2+t (P):2x –y +z+4=0
DẠNG 3 : GĨC
1. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP .Góc giữa d1, d2
bằng hoặc bù với góc giữa .
2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP và mặt phẳng () có VTPT .

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () bằng góc giữa đường
thẳng d với hình chiếu d của nó trên ().
1.Tính góc giữa hai đường thẳng:
a)
b)
2. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
1. d: và mp(P): 2x+y+2z=0.

2.

d: và mp(P):

DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d
Cách 1: Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP .
Cách 2:
– Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng
d.
– d(M,d) = MH.
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2.
d1 đi qua điểm M1 và có VTCP , d2 đi qua điểm M2 và có VTCP


Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d 1, d2 bằng
khoảng cách giữa d1 với mặt phẳng () chứa d2 và song song với d1.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách
từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song
song

Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng () song song với
nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng
().
1.Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d:
a)
b)
2. Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau. Tính khoảng cách giữa
chúng:
a)
b)
3. Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 song song với nhau. Tính khoảng
cách giữa chúng:
a)
b)
4.Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P). Tính khoảng
cách giữa chúng:
a)
b)

BÀI TẬP TỔNG HỢP
1. Trong khơng gian Oxyz, cho
a) Tìm y, x để cùng phương với
b) Tìm biết ngược hướng với và
2. Cho . Gọi là 3 góc tạo bởi với Ox, Oy, Oz. Chứng minh rằng:
3. Cho 3 điểm
a) Tìm N thuộc Oy cách đều hai điểm B, C
b) Tìm M thuộc mp (Oxy) cách đều A,B,C
c) Tìm P thuộc Oxy sao cho PA + PB ngắn nhất
4. Cho mp (P): và đường thẳng
a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d. Tính góc giữa d và (P)

b)Viết phương trình mặt phẳng qua và vng góc với d


c) Viết phương trình hình chiếu của d lên mp(P)
d)Viết phương trình đường thẳng nằm trong mp (P), vng góc và cắt đường
thẳng d
e) Cho điểm B(1;0;-1), hãy tìm tọa độ B’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của
BB’
5. Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng và điểm M(1;0;5)
a) Chứng minh (P) và (Q) cắt nhau. Tính góc giữa (P) và (Q)
b) Viết phương trình tham số của giao tuyến của (P) và (Q)
c) Gọi H là hình chiếu của M lên (P), K là hình chiếu của M lên (Q). Tính độ dài
HK
d) Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng
e) Viết phương trình mặt phẳng chứa và vng góc với mp
6. Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng .
Gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng và và điểm M(1;1;2)
a) Xét vị trí tương đối của hai đường thằng và
b) Viết phương trình mp chứa và song song
c) Viết phương trình mặt phẳng qua M và vng góc
d) Viết phương trình đường thẳng qua M, cắt cả và
e) Tính khoảng cách giữa và
f) Viết phương trình đường vng góc chung của và
7. Cho mặt cầu (S): và hai đường thẳng
Viết phương trình mp (P) tiếp xúc với (S) đồng thời song song
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng qua tâm mc (S) đồng thời cắt cả
hai đường
8. Cho mc (S): và mp (P): .Chứng minh (S) cắt (P) theo giao tuyến là một đường
tròn (C). Tìm tọa độ tâm và bán kính của đtr (C)
9. Cho mặt cầu (S): và mp. Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với mp và

cắt mc (S) theo một đường trịn có bán kính bằng 3
10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho và hai đường thẳng
a) Chứng minh d1 chéo d2.
b) Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với
hai đường thẳng d1 và d2.
11. Trog không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy viết phương trình mp (P) qua O và
vng góc với (Q): và cách điểm M(1;2;-1) một khoảng bằng


12. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho mp(S) : x2 + y2 + Z2 – 2x + 4y + 2z - 3
=0
và mp(P) : 2x – y + 2z – 14 = 0.
a) Viết phương trình mp(Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường trịn có bán
kính bằng 3.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mp(P)
lớn nhất.
13. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thắng :
Tìm tọa độ điểm M thuộc đương thẳng sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.
14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d : .
a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của điểm A trên đường thẳng d.
b) Viết phương trình mp()chứa d sao cho khoảng cách từ A đến mp() lớn nhất.
15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho mặt phẳng (P): x - 2y + 2z – 5 = 0 và
hai điểm
A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy
viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ
nhất.
16. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : và hai điểm
A (-2; 1; 1); B (-3; -1; 2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho tam giác
MAB có diện tích bằng .
17. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm và đường thẳng .

a) Chứng minh A,B, d đồng phẳng
b) Tìm M thuộc d sao cho AM + BM nhỏ nhất
18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp (P): và đường thẳng . Tìm tọa
độ giao điểm của d và (P). Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vng góc với
(P).
19. Trong khơng gian Oxyz cho 4 điểm A(1; 2; 3), B(–2; 1; 0), C(–1; 0; 2), D(0; 2;
3).
a. Chứng minh ABCD là tứ diện. Tính thể tích tứ diện đó.
b. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, B và vng góc với mặt phẳng 2x
+ 3y – z = 0.
c. Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện ABCD.
d. Tìm điểm E thuộc mặt phẳng (α 1): 2x – 3y – z + 2 = 0 sao cho EA + EB nhỏ
nhất.
e. Viết phương trình hình chiếu vng góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng
(α2)
f. Tính góc tạo bởi đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).


g. Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng Oxy và đi qua ba điểm A,
B, C.
h. Viết phương trình mặt phẳng đi qua C, song song với Oy và vng góc với
mặt phẳng (α3):