Bất đẳng thức trong đề đại học

February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT
Bất đẳng thức trong đề đại học
Câu 1: (Diễn đàn Toán phổ thông) Cho
,a b
và c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2
( )( ) 4
( )
a b c ab bc ca bc
P
abc b c
   
 


Hướng đi: (Nhiệm vụ của hướng đi là giúp bạn hướng tư duy và dự đoán dấu bằng)
Việc đầu tiên ta sẽ dự đoán dấu bằng của nó. Đối với bài này, thông thường dấu = xảy ra khi
b c
.
Khi đó
2
2
( 2 )( ) ( 2 )( 2 )
1 1 2 5 1
a b ab b ab a b b a a b
P
ab ab b a
    

 
       
 
 

Đến đây ta có thể dự đoán
a b
(theo Cauchy).
Từ đây ta sẽ biết được
a b c 

Giải:
 
2 2
( )( ) 4 1 1 1 4
( ) ( )
a b c ab bc ca bc bc
P a b c
abc b c a b c b c
   
 
       
 
 
 

Đến đây ta dùng Bất đẳng thức phụ:
( )( )
a b x y ax by
   

( )( ) 2 2
a b x y ax by abxy ay bx abxy
        
(luôn đúng theo Cauchy).
Dấu = xảy ra khi
a x
b y

.
Đến đây ta sẽ lồng biểu thức
 
1 1 1
a b c
a b c
 
   
 
 
vào BĐT phụ trên, và điều ưu tiên là ta sẽ khử đi ẩn
a
.
 
1 1 1 1 1 1
. ( ) 1
b c
a b c a b c
a b c a b c
bc


   
         
   
   

Đến đây ta kiểm tra, dấu = xảy ra khi
2
1
1 1
( )
a a bc
a
a bc
b c b c a b c
b c
    
  

. Điều này đi đúng với
hướng đã vạch ra là
a b c 
.
( Ở bước này ta có thể làm như sau
 
   
2 2
1 1 1 ( )
1 1 2 1
b c b c
a b c b c b c b c

a b c
a b c bc bc a bc
bc bc
 
   
 
            
 
 
)
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT

 
2
2
4 1 1
1 1 4 ( ), 0;
2
b c bc bc
P t f t t
t b c
bc
b c

 
         




 


3
3
2 2
2
1
8. 1
1 8 1
2
'( ) 8 0 ( )
1
2
t
f t t f t
t t


     
nghịch biến trên
1
0;
2
 


 

1
( ) 4
2
f t f
 
  
 
 
. Dấu = khi
1
2
t a b c   

Vậy
4
MinP

khi
a b c 
.

Câu 2: (nguoithay.vn) Cho
,a b
và c là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
( ) 4 4
a b c a b c
    
. Tim giá trị lớn

nhất của
   
2 2
1
a b c b a c
P
a c b c c
 
  
 
.
Hướng đi: Với đề bài như thế này, ta sẽ mập mờ đoán ra
a b
. Khi đó, giả thiết sẽ là
2 2
2 2
a ac c
  

   
2 2
2 2
1 1 1 1 1
2 ( ) 4 4 4 4 1
2 2
a a c a a c
P a a c c c
a c a c c c c c c
 
 

             
 
 
 
(cauchy 3 số)
Dấu = khi
1
, 1
2
c a b
  

Giải: Chìa khóa bài này chính là bất đẳng thức phụ
 
2
2 2
x y
x y
a b a b

 


Đây là bất đẳng thức đầu tiên mà bạn nên học nếu muốn chinh phục 10 điểm đề thi THPT Quốc gia. Nó có rất
nhiều tên gọi, một trong số đó là Schwarz. Cách chứng minh BĐT này đã có rất nhiều trên mạng, các bạn có thể
lên google search. Vì là đất nước trên con đường hội nhập nên cách bạn hãy tự trang bị cho mình các kĩ năng,
và một trong đó là kĩ năng tìm kiếm thông tin. Tôi chỉ xin nói ra dấu bằng của nó.
Dấu = xảy ra khi
x y
a b



Từ đây ta sẽ có
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1
( ) 4 4 4 4 1
2 2
b a
P a c b c a b c a b c c
a b c c c c c
   
 
                 
   
 
 
   

February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT
Dấu bằng xảy ra khi
1
, 1
2
c a b
  

Câu 3: (diendantoanhoc.net) Cho
,x y
và
z
thực dương thỏa mãn
2 2 2
6 4 ( )x y z z x y   
. Tim giá trị nhỏ
nhất của
   
2 2
3 3
2 2
x y
x y
P
z
y x z x y z

  
 

Hướng đi: Qua hai câu trên, chắc chắn các bạn đã dự đoán được
x y

Từ giả thiết suy ra
( )( 3 ) 0
x z x z
  
. Đến đây ta sẽ thử 2 trường hợp

x y z 
và
3x y z 
lần lượt vào P.
Thấy khi
x y z 
thì P có giá trị nhỏ hơn. Vậy dấu bằng khi
x y z 

Giải: Để ý thấy đây là BĐT là thuần nhất (có nghĩa là đồng bậc) nên ta sẽ sử dụng phép đặt như sau:
Đặt
,
x y
a b
z z
 
(từ đây hướng đi của chúng ta đều quy về
1
a b
 
)
 
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
1
4( ) 6 6
4 4

6 4 ( ) 6 0
2
4( ) 2 6
a b a b a b
x y x y
x y z z x y
z z z z
a b ab

      

          


  


2
a b
  
và
2( ) 3
a b ab
  

       
2 2
3 3 3 3
2 2
2 2 2 2

1 1
x y
x y a b
P a b
z
y x z x y z b a a b

      
   

Đến đây, ta thấy sự tương quan giữa
 
3
2
1
a
b a 
và
 
3
2
1
b
a b 
. Nhiệm vụ bây giờ của chúng ta là khử mẫu hoặc
làm cho chúng cùng chung mẫu số. Bây giờ ta 2 chia ra hai hướng.
Hướng 1: Khử mẫu.
Ta thấy ở tử là bậc ba, điều đó liên tưởng cho ta cauchy 3 số. Và ta có thể khử theo hai cách như sau:
Cách 1.1:
Ta có

 
3
2
1 3
8 8 4
1
a a ab b a
b a
 
  

(lưu ý khi
1
a b
 
thì
 
3
2
1 1
8 8 4
1
a a ab b
b a
 
  

nên ta chọn như
thế).
Tương tự

 
3
2
1 3
8 8 4
1
b b ab a b
a b
 
  


February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT
   
 
3 3
2 2
2( ) 2( ) 3 1
2( ) 1 1
4 4 2
1 1
a b a b
a b a b ab
b a a b
    
  
    

 

Suy ra
2 2
1 1 1
2
2 2 2
2
a b
P a b

      

Cách 1.2: Ta có

 
 
3 2
2
3 2
2
2 1 3
;
4 16 4
1
2 1 3
4 16 4
1
a b a a a
b a

b a b b b
a b
 
  

 
  

   
 
 
3 3
2 2
2 2
3 1 1 3 1 1 1 1 1
( ) ( ) 4 4 6 ( )
8 16 8 8 16 8 8 4 2
1 1
a b
a b a b a b a b a b
b a a b
                
 

Suy ra
2 2
1 1 1
2
2 2 2
2

a b
P a b

      

Hướng 2: Làm cho chúng cùng chung mẫu số
   
3 3 3 3 3 3 3 3
2 2
3 3
2 2 54( ) 27( )
2 ( 1)( 1) 2 (b 1)(b 1) (2 2 2) 4( 1)
1 1
a b a b a b a b
b a a a a b a b
b a a b
 
    
       
 

Mặt khác:
3
3 3
2( )
27
a b
a b

 

(BĐT này rất dễ dàng chứng minh bằng tương đương, nhưng bạn hãy thử chứng
minh theo hướng khác nhé, mọi bài toán lớn đều cần 1 bài toán nhỏ thế này)
   
3 3
3 3
3 3
2 1
(3 3 ) (2 2 2)
4 4.27 27.4 27
a b a b
a b a b
a b
  
  
     

Từ đó ta suy ra
   
 
 
3
3 3
2 2 3
2 1
27.
1
27
2
1 1 4 1
a b

a b
b a a b a b
 
  
   


Suy ra
2 2
1 1 1
2
2 2 2
2
a b
P a b

      

Câu 4: (Boxmath) Cho
,a b
và
c
là các số thực dương thỏa
3 ( )
a a b c bc  
. Tìm GTNN của
b c
P
a




February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT
Hướng đi: Ta dự đoán
b c
. Khi đó,
 
2
3 ( 2 ) 3 2 3a a b b b a
    

Vậy dấu bằng khi
 
3 2 3b c a
  

Giải: Ta thấy đây là BĐT thuần nhất. Đặt
;
b c
x y
a a
 
(từ đây ta sẽ xoay quanh
3 2 3
x y  
)
Theo giả thiết:

 
2
3 3( ) 6 4 3
4
x y
x y xy x y

       

6 4 3
P x y   

Dấu = khi
 
3 2 3 3 2 3x y b c a
      

Câu 5: (THTT) Cho các số thực dương
, ,x y z
thỏa
2 2 2
1
x y z
  
.Tìm GTNN của
2 2
1 1 2 3
1
P
z

x xy y xy
  

 

Hướng đi: Ta dự đoán dấu
2 2
2 1
x y x z   
.Thay vào P ta được
2
2 2 3
1
1
P
z
z
 



Giải: Theo giả thiết
 
0;1
z 

  
 
2 2 2
2 2

2 2
4
4
1 1 2 3 2 2 3 2
1 1
2
4
P
z z
x xy y xy
x xy y xy
x xy y
     
 
 
 
 

 
2
2 2
2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3
( )
1 1 1
1
2
f z
x y z z z
z
x y

      
   



 
 
 
2
2 2
2 2 3 2 3
'( ) . 0
(1 ) 1 1 1 1
1
1 1
z z
f z
z z z z z
z
z z
 
    
 
 
    

 
 

 

 
3 2 2 3 2
1
1 1 3 3 3 1 3 3 (2 1)(2 3 3) 0
2
z z z z z z z z z z z z z
                 

Bảng biến thiên:
Z
0
1
2
1

Theo bảng biến thiên,
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT
f’(z)
0

8 3
3
MinP 
. Dấu bằng xảy ra khi
3 1
,
2 2

x y z
  



f(z)
2 2 3




8 3
3

Lưu ý rằng sẽ nhiều bạn gặp khó khăn khi tìm
2
1
2 2 3
lim
1
1
x
z
z

 

 
 



 
. Để làm tốt đề thi THPT Quốc Gia, tôi biết
các bạn sẽ phải chọn lọc những thứ cần học, và dĩ nhiên phần giới hạn lớp 11 sẽ bị bỏ qua, nên gặp những
trường hợp thế này, các bạn cứ làm theo cảm tính, cứ tưởng tượng, z càng tiến tới 1 thì
2
2
1
z
càng lớn. Nên
ta cứ tự tin mà cho
2
1
2 2 3
lim
1
1
x
z
z

 
  
 
 


 

Câu 6: Cho các số thực không âm

, ,a b c
thỏa
1a b c  
và không có hai số nào đồng thời bằng 0. Tìm GTNN:
 
  
1 1
1 3
( )( ) (c )
P c a b
a b b c a a b
     
   

Hướng đi: Ta dự đoán dấu = khi
a b
khi đó
2 1a c 

Khi đó
   
  
  
  
2
2
1 1 4 4
1 2 3 1 4 3 4
2 2 1 1 1
P c a c c c c

a a c a a c c c c
            
    

Giải: Theo giả thiết
 
0;1
c 

  
1 1 1
1 4
( ) (c )
P c c
a b b c a
 
    
 
  
 
(thêm 1 lần nữa, ta thấy được sức mạnh của Schwarz)
2 2
1 4 1 4
. 3 4 . 3 4
1 2 1 1
c c c c
c a b c c c
       
    
2

2
4
3 4 ( )
1
c c f c
c
    


 
 
 
 
2
2
8
' 2 1 1 0 0;1
1
c
f c c c
c
      


Suy ra hàm số nghịch biến trên
 
   
0;1 0 8
f c f
  

Vậy
8
MinP

khi
1
, 0
2
a b c
  

Câu 7: (nguoithay.vn) Cho các số thực dương
, ,x y z
thỏa
2 2 2
5( ) 9( 2 )x y z xy yz zx
    
. Tìm GTLN của
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT
 
3
2 2
1x
P
y z
x y z

 

 

Hướng đi: Dự đoán
y z
. Khi đó
   
2 2 2
5 2 18 4x y xy y x y
    

Do đó
3
2 1
216.
P
y y
 
. Khảo sát hàm số này ta thấy Pmax khi
1
12
y


Vậy dấu = khi
1 1
,
3 12
x y z

  

Giải: Từ giả thiết, ta sẽ hướng đến các đại lượng đối xứng (
yz
hoặc
y z
hoặc
2 2
y z
)
 
 
 
2
2 2 2 2 2 2
5( ) 9( 2 ) 9 5 5 18 2
x y z xy yz zx x y z x y z yz y z
             

 
2
2
2 9 ( ) 5 0
y z x y z x
     
(đây là bất phương trình đẳng cấp)
 
2
y z x  

Đó là những gì ta có được từ giả thiết, và ta không thể quy về ẩn x để khảo sát hàm số. Do đó ta sẽ quy về 1 ẩn
khác. Và chìa khóa chính là ẩn
y z

 
 
     
3
3 2 3 3
2 2
2
1 1 4 1 1
4 ( ), 0
27
27 27
2
y z
x t
P t f t t
y z y z y z
x y z y z y z y z

          
  
    

2
'( ) 4 0 6
9
t

f t t    

Bảng biến thiên
T
0
6




Theo bảng biến thiên,

16
MaxP

. Dấu bằng xảy ra khi
1 1
,
12 3
y z x
  



f’(t)
0


f(t)
0





16


Câu 8: (toanhoc24h) Cho
, ,a b c
là các số thực dương thỏa mãn
 
2
4
ac b a b c
   
. Tìm GTNN của
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT
 
 
2
2 2
2
8 8 1
1
a c b
b

P
a c
a b c
  

 

 

Thoạt nhìn biểu thức của P thật phức tạp, nhưng hãy nhìn kĩ, các biểu thức sẽ phân ra 2 phần, 1 phần đối xứng
gồm (a,c). Và 1 phần không đối xứng gồm b. Nên các bạn đừng quá lo lắng. Cốt lõi bài toán sẽ nằm ở những thứ
đó.
Hướng đi: Ta tiếp tục dự đoán như những bài trên
a c
. Và các bạn hãy làm thử các bước tiếp theo. Tôi tin tới
đây các bạn đã có thể vạch ra hướng đi trong đầu mà không cần ghi ra hướng đi trên nháp.
Giải:
     
2 2 2
2
2 ( ) 4 2( ) 1
a b c b b a c a c ac b a c b b a c
               
(bước này tương tự các
câu trên, ta sẽ quy các biểu thức về
ac
hoặc
a c
hoặc
2 2

a c
. Và bạn đừng ngại, cứ thử hết 3 cái đó, thế nào
cũng có cái gọn nhất)
Và để ý 1 tí ta sẽ cần thứ này
2( ) 1a b c b   

Đến biểu thức P:
 
 
   
 
 
 
2 2 2 2
2 2
2 2 2
8 8 1 4 1 8 1
1 2 2 2 2
4.
1 1
1 1
a c b a c b b
b b b
P
a c b b
a b c b b
      
  
     
  

   

Đặt
1
1
b
t
b



(cái này khó mà tìm điều kiện chặt của t, nhưng ta chỉ cần điều kiện t>0 là đủ)
2
2
( ) 8P f t t
t
  

2
2 1
'( ) 16 0
2
f t t t
t
    

Bảng biến thiên:
T
0
1

2




Theo bảng biến thiên,

6
MinP

. Dấu bằng xảy ra khi
1 1 1
,
2 3 6
t b a c
    




f’(t)
0


f(t)




6


Câu 9: (nguoithay.vn) Cho
, ,a b c
là các số thực dương thỏa mãn
  
2 4a b b c bc
  
và
3
a c
Tìm GTNN
của
2 2
2a b
P
ac



February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT
Hướng đi: Như những định hướng ở các bài trước, ta sẽ đoán được
b c
. Và bài này còn dễ hơn các bài trước
là có thêm dữ kiện

3
a c
nên ta có thể giữ niềm tin dấu bằng sẽ xảy ra khi
3
a b c 

Nhìn vào giả thiết và cả biểu thức P ta đều nghĩ tới phép đặt ẩn phụ
,
a b
x y
c c
 
.
Giải: Từ giả thiết ta có
1
3
a
c


  
2 4 2 1 4 2 2
a b c a a b
a b b c bc
c c b c b c
  
          
  
  

Đặt
,
a b
x y
c c
 

1
3
x
 

Và
2
2 2 1 1 1
2 2
1 3 3 2
x y y
x y x y
y y

        


   
 
2 2
2
2 2 2
2 2

3 2 3
2 1 1
2 2 2
( )
1 1 1 1
y y y
y y y y
y y y y y
P x f y
x y y y y
 
  
 
      
   

Đến đây đạo hàm hơi vất vả.
    
 
 
 
 
 
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
1 3 1 2 2 2 3 2 3
1 9 4 3 2 3 2 3

1 1
'( ) 0 ;
3 2
1 1
y y y y y y
y y y y y y
f y y
y y
 
      
     
 
 
    
 
 
 
Vậy
( )f y
đồng biến trên
1 1 1
; ( ) 1
3 2 3
y f y f
   
   
 
 
   

Dấu bằng khi
1 1
3 3 3
c
y x a b
     

Từ đây, ta thấy hướng của ta đã vạch ra là không đúng, đây là một bài toán khá hay, cho ta thấy được sự bất
biến của BĐT, bây giờ cũng đề bài trên, các bạn hãy thử tìm GTLN xem!
Câu 10: (ĐH Vinh) Cho các số thực dương
, ,x y z
thỏa
 
2 2 2
2 3
x y z xy x y z     
. Tìm GTNN của
20 20
2
P x y z
x z y
    
 

Hướng đi: Bài này thực sự là 1 bài khá khó, đây không phải BĐT nửa đối xứng, và ta khó mà đoán được điểm
rơi của nó. Nhưng khó chứ không phải là không thể. Để ý kĩ, ta sẽ thấy sự xuất hiện của 2 biểu thức
1
x z
và
February 22, 2015

BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT
1
2
y

. Điều này giúp ta liên tưởng đến việc khử mẫu và rất để ý thấy, hệ số của chúng đều là 20, nên rất có
thể chúng bằng nhau.
Khi chúng bằng nhau thì
 
2 2 2 2 2
2 2 3 2 1 0
x z y x y z xy x y z x y x y
               

Và
40
2( ) 2
P x z
x z
   

. Khảo sát hàm số này thì hàm số sẽ có GTNN là 26 và
4
x z
 

2 2
4

2 1; 2; 3
2 1 0
x z
x z y x y z
x y x y

 

       


    


Từ đó ta đã biết được điểm rơi của BĐT.
Giải:
   
2
2 2 2 2
3 2
x y z x y z xy x y z        
(dễ thấy
x y z 
nên ta làm tiếp)
 
2
2
x y z
 


6
x y z
   

  
 
4
20 20 40 40 2
2 2
2 2
2
P x y z x y z x y z
x z y x y z
x z y
              
    
 

Đến đây thì đã đơn giản, có nhiều cách sử lí, và tôi sẽ chọn cách gần gũi với các bạn nhất.
Đặt
2 2 2
t x y z    

 
2
40 2
2
P f t t
t

    

 
3
2 2
40 2 2 40 2
'( ) 2 0 2 2
t
f t t t f t
t t

      
nghịch biến trên

2; 2 2



Vậy
 
 
2 2 26
f t f
 
.
Vậy
26
MinP

khi

1; 2;z 3
x y
  

Câu 11: (Tilado.edu.vn) Cho
, ,x y z
là các số thực không âm thỏa mãn
0
xy yz zx
  
và
2
3x xy yz zx
  
.
Tìm GTNN của
16 25x y z
P
y z z x x y
  
  

February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT
Hướng đi: Thoạt nhìn, ta thấy đây là bất đăng thức thuần nhất, vì thế không cần suy nghĩ nhiều, ta sẽ dùng
phép đặt ẩn phụ.
Giải:
0

x

:
2
3 0 0
x xy yz zx yz xy yz zx
        
(vô lí)
Vậy
0
x


Đặt
;
y z
a b
x x
 
(các bạn có thể đặt khác tôi),
0
a


2
2
3 1 1
3 1 3 1 3
1 3
y yz z b

x xy yz zx a ab b a b
x x x b

               


 
 
 
2
2
16 3 1 25 1
16 25 1 16 25 1
1 1 4 1 4
1
b b
x y z a b b
P
y z z x x y a b b a b b
b
 

        
       


Đến đây ta sẽ xét hàm
 
f b
, nhưng thực phức tạp để đạo hàm, ta hãy dự đoán dấu bằng. Ở trên kia ta đã thấy

1
3
b

nên ta hãy thử với
1
3
b

thì khi đó
34
3
P 

 
 
   
 
2 2
2 2
1
25
16 3 1 25 1 16 3 1
1 1 34
3
3
4 1 4 4 1 4 3
1 1
b
b b b

b b
P
b b b b
b b
 

 
  
 
 
 
       
 
   
 
 

 
 
 
 
 
2 2
2 2
16 3 1 25 3 1
1 34 16 4 25 34
3 3 1
4 1 12 3 4 1 12 3
1 1
b b

b b
b
b b b b
b b
 
 
 
 
         
 
 
   
 
 
 
 

 
 
 
4 3 2
2
2
25 138 320 710 265 34 34
3 1
3 3
12 1 4 1
b b b b
b
b b b

   
   
  
(vì
4 3 2
1
25 138 320 710 265 0
3
b b b b b
      
)
Vậy
34
3
MaxP 
khi
1
, 0 0, 3
3
b a y x z    

Bài toán này đòi hỏi sự biến đổi cẩn thận, các bạn hãy thử theo con đường khảo sát hàm số xem. Biết đâu sẽ
nhanh hơn.
Câu 12: (THTT) Cho các số dương
, ,a b c
thỏa
2 2 2
14
a b c
  

. Tìm GTLN của
 
 
2
2 2 2
4
4 5 3
3 28 7 ( )
a c
a
P
a c a bc a b c
a b

   
    


Hướng đi: Bài toán này tôi đánh giá rất khó, để tạo ra bài toán này, chắc hẳn tác giả phải tạo ra điểm rơi trước
rồi mới nêu lên ý tưởng. Còn đối với chúng ta, điểm rơi vẫn còn là dấu chấm hỏi.
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT
Nhận xét thấy các biểu thức trong P được chia thành hai nhóm là
+Nhóm 1:
2
4 3
7 ( )
a

a bc a b c

  
có chứa cả 3 biến
, ,a b c

+Nhóm 2:
 
 
2
2 2
4
5
3 28
a c
a c
a b


 

chỉ chứa 2 biến số
Ta sẽ xử lý nhóm 1 trước. Bây giờ, ta lồng ghép giả thiết vào P xem thử thế nào. Để ý ta sẽ thấy
 
2
3 12
( )a b c
a b c



 
. Dấu = xảy ra khi
a b c 

 
2
2 2 2 2
2
4 8 8
7 3 2
3
a a a
a bc a bc b c
a b c
 
    
 

Như các bài trên, ta cần đưa chúng về cùng dạng mẫu số với biểu thức
 
2
12
a b c
 
và phải chú ý
a b c 
nên
ta làm như sau:
 
 

 
2
2
2
2
2 2
8 8 8 4
2 2
3
2
a a a
a a b c a b c
a b c
a a b c
  
   
 
 
  
 

Vì ta chia thành 2 nhóm nên đồng nghĩa với việc ta sẽ biến đổi P thành hai hàm số độc lập (kiểu như
   
P f x g y
 
) nên ta cần tìm lần lượt GTLN của các hàm số thành phần.
Ta sẽ tìm GTLN của
 
2
2

2
4 3 4 12 1 1 1 1
12
7 ( ) 6 3 3
a
a bc a b c a b c a b c
a b c
 
       
 
      
 
 

Tới đây, ta đã ép bài toán vào dấu = khi
2 2 2
3
6 2
1
14
a b c a
a b c b
c
a b c

  

 
    
 

 

  


. Giờ ta sẽ đi giải quyết bài toán.
Giải: Ta có
 
2
3 12
( )a b c
a b c


 
và
 
 
 
2
2
2
2
2 2
8 8 8 4
2 2
3
2
a a a
a a b c a b c

a b c
a a b c
  
   
 
 
  
 

Suy ra
 
2
2
2
4 3 4 12 1 1 1 1
12
7 ( ) 6 3 3
a
a bc a b c a b c a b c
a b c
 
       
 
      
 
 

Tiếp tục, ta lại có:
February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT
   
 
 
 
2 2
2
2 2
4 4 4
3
3 1
3 28
28
1 3 28
4
4 3
a c a c a c
a c
a c
a c
  
 
 
 
 
  
 
 
(bunhiacopsky)

 
1 6
25 25
a c  
. (Đây là BĐT tiếp tuyến).
 
 
2
5 2 3
25 5
a b
a b
   

. (Tiếp tục ta sử dụng BĐT tiếp tuyến. Để biết thêm về BĐT tiếp tuyến, các bạn xem
)
Từ đó ta có
 
 
  
2 2 2 2 2 2
2
2 2
3 2 1
4
5 3 2 9 9 1
3 28 25 25 25 25 5
a b c
a c
a b c

a c
a b
   

 
     
 


Vậy
8
15
MaxP

khi
3, 2, 1a b c  

Câu 13: (ĐH Vinh) Cho
, ,x y z
là các số thực không âm thỏa mãn
 
 
2 2 2
5 6
x y z xy yz zx
    
. Tìm GTLN
của
 
 

2 2
2
P x y z y z
    

Hướng đi: Ta dự đoán
y z
. Khi đó
 
 
2 2 2
2
5 6
5
2
x y
x y z xy yz zx
x y



     




Khi
2
5
x y


thì
2
25
2 3
2
P x x
 
(khảo sát ta thấy ra x dấu nên ta cứ cho là nó sai đi :3 )
Khi
2x y
thì
2
2
2
x
P x
 
Khảo sát hàm số này thì được
3
min
2
P

khi
1
1;
2
x y z
  

Giải:
 
 
 
 
 
   
2 2
2
2 2 2 2 2
5
5 6 6 5 5 6 6 5 6 0
4 2
y z y z
x yz x y z y z x x y z x x y z y z
 
               

        
2
2
5 5 0 5 0
x x y z y z x y z x y z x y z
 
 
             
 
 

5x y z x   

 
 
 
   
2
2
2 2
1
2
2 1 1
2 2 2
y z x y z
y z
x y z
P x y z y z
      

  
 
         

February 22, 2015
BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT
Vậy
1
MaxP


khi
1
1;
2
x y z
  
.
Bài này vẫn còn rất nhiều cách khác, cách bạn hãy thử tìm 1 lời giải khác cho bài này nhé!