Bất đẳng thức luyện thi đại học

Phú Khánh và Gởi tặng các em tài liệu của thầy Lê Anh Dũng – Kiên Giang

.
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ðẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 1
TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ðẲNG THỨC, GTLN – GTNN NHỜ DỰ ðOÁN
DẤU BẰNG
Lê Anh Dũng
(G/v THPT chuyên Huỳnh Mẫn ðạt – Kiên Giang)
Các em h/s và các bạn thân mến, trong các ñề thi TSðH thường có một câu V là câu
khó (ñể chọn các cao thủ võ lâm) câu này những năm gần ñây thường cho dưới dạng các
bài toán BðT. Và thường thì các sĩ tử không biết bắt ñầu từ ñâu ñể giải quyết nó. Bài viết
này tôi sẽ truyền ñạt cho các bạn một “tuyệt chiêu” võ công ñộc ñáo (chỉ cần một chiêu thôi).
Sau khi học ñược “tuyệt chiêu” này các bạn sẽ thấy các vấn ñề trở nên rất ñơn giản.
ðể lĩnh hội ñược “tuyệt chiêu” mà tôi tổng hợp từ vô số các chiêu thức của các môn
phái khác thì trước tiên các bạn phải nắm ñược một số “chiêu thức” bản ñã.
1. Bất ðẳng thức Côsi
(các chiêu này xem trong “ðại số 10”)
a. Bất ðẳng thức Cauchy cho 2 số :
Cho 2 số a, b
≥
0 .Khi ñó: a + b
≥
2
ab
. Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b.
b. Bất ðẳng thức Cauchy cho 3 số :
Cho 3 số a, b, c
≥
0 . Khi ñó ta có: a + b + c
≥
3

3
abc
. Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c.
Nhận dạng:

+ Tìm nhỏ nhất của tổng khi biết tích.
+ Tìm lớn nhất của tích khi biết tổng, tổng bình phương.
+ Chứng minh tổng lớn hơn tích, tích chia tổng (tổng bình phương, . . .)
+ Dùng nhập các tổng, tổng nghịch ñảo, . . . thành một.
Các BðT cơ bản liên quan hay dùng
:
1. a
2
+ b
2

≥
2ab.
2. a
2
+ b
2
+ c
2

≥
ab + ac + bc .Dấu ‘=’ khi a = b = c.
3. a
2
+ b

2
+ c
2

≥
3
1
(a + b + c)
2

≥
ab + ac + bc . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c.
4. Với a, b > 0. Ta có : (a + b)(
ba
11
+
)
≥
4 . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b (hay :
ba
11
+
≥
ba+
4
)
5. Với a, b, c > 0. Ta có : (a + b + c)(
cba
111
++

)
≥
9 . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c (hay :
cbacba ++
≥++
9111
) .
Ý nghĩa của các bất ñẳng thức 4, 5 là cho phép ta nhập các phân số thành một do ñó rất
thuận lợi cho việc xét hàm với một ẩn.
2. Bất ðẳng Thức Bunhiacopxki –BðT Trị Tuyệt ðối
:
Trong chương trình thi ðại Học chúng ta chỉ ñược áp dụng BðT Cauchy cho 2 và 3 số không
âm và bất ñẳng thức Bunhiacopxki cho 2 cặp số.

2211
b.ab.a +
≤
)bb)(aa(
2
2
2
1
2
2
2
1
++

Dấu ‘=’ xảy ra khi
2

2
1
1
b
a
b
a
=
(Nếu bỏ dấu thì cần thêm
≥
0 nữa)
Phú Khánh và Gởi tặng các em tài liệu của thầy Lê Anh Dũng – Kiên Giang

.
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ðẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 2
b. Nhận dạng:
+ Tổng các cặp số có tích không ñổi.
+ Tổng bình phương bằng một số không ñổi.
c. Ứng dụng

+ Nhập các tổng bình phương thành một.
3. Khảo sát hàm số

Trên ñây là các vấn ñề mà ðại Hội Anh Hùng thường ra ñể chọn cao thủ. Hi vọng các sĩ tử nắm
ñược các chiêu thức cơ bản này ñể lĩnh hội cho tốt.

Khi tìm GTNN, GTLN các em thường mắc phải sai lầm phổ biến trong việc tìm giá trị
của biến tại các ñiểm ñạt max, min ñó là : thực hiện liên tiếp nhiều bước ñánh giá nhưng dấu
‘=’ tại mỗi bước là không như nhau do ñó không có dấu ‘=’ ñể xảy ra ñẳng thức cuối. Xét
bài toán:

Tìm GTLN của f(x) = sin
5
x +
3
cosx, có bạn ñã giải như sau:
Chỉ cần xét trong x
∈
[0 ;
2
π
].Ta có:sin
5
x
≤
sinx suy ra : f(x)
≤
sinx +
3
cosx
Mặt khác : sinx +
3
cosx = 2sin(x +
3
π
)
2≤
.
Vậy f(x)
max
= 2.

Nhận xét
: bài giải trên sai (bài giải ñúng xem ở dưới) do ñã vướng sai lầm trong tìm dấu
‘=’. f(x) không thể ñạt giá trị bằng 2 ñược vì ñể tới BðT cuối chúng ta ñã thực hiện 2 phép
biến ñổi :
+ lần 1: sin
5
x
≤
sinx ; dấu ‘=’ khi x = 0,
π
/2.
+ lần 2: 2sin(x +
6/π
)
2≤
; dấu ‘=’ khi x=
6/π

Như vậy, khi thực hiện mỗi bước biến ñổi ta thường tự ñặt ra câu hỏi:
+ Khi thực hiện các bước biến ñổi như vậy thì liệu dấu ‘=’ có ñạt ñược ở bước cuối
cùng không ?
+ ðánh giá như thế nào ñể có thể ñưa về vế còn lại ñược hay không ?
Mặc dù bài toán có thể thực hiện liên tiếp nhiều bước biến ñổi nhưng ñể dấu ‘=’ ñạt ñược
thì ở mỗi bước dấu ‘=’ cũng phải giống như dấu ‘=’ ở ñẳng thức cuối cùng. Vậy thì tại sao
ta không dự ñoán trước dấu ‘=’ của BðT (hoặc giá trị mà tại ñó biểu thức ñạt max, min)
rồi từ ñó mới ñịnh hướng phương pháp ñánh giá ?. ðây là một cách phân tích tìm lời giải
mà tôi muốn giới thiệu. ðể có hướng suy nghĩ ñúng chúng ta thực hiện các bước phân tích
sau:
I.Phân tích –tìm lời giải:

1.Dự ñoán dấu ‘=’ của BðT hay các ñiểm mà tại ñó ñạt GTLN, GTNN.
2.Từ dự ñoán dấu “=”, kết hợp với các BðT quen thuộc dự ñoán phép ñánh giá. Mỗi phép
ñánh giá phải ñảm bảo nguyên tắc “dấu ‘=’ xảy ra ở mỗi bước này phải giống như dấu ‘=’
dự ñoán ban ñầu”.
ðể làm rõ, tôi xin phân tích cách suy nghĩ tìm lời giải trong một vài ví dụ sau:
II. Các thí dụ
:
Phú Khánh và Gởi tặng các em tài liệu của thầy Lê Anh Dũng – Kiên
Giang

.
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ðẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 3
Thí dụ 1: (ðH 2003-A)
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn : x + y + z
≤
1. Cmr:
P =
2
2
2
2
2
2
111
z
z
y
y
x
x

+++++
82≥

Phân tích:

B1. Dự ñoán dấu ‘=’: x = y = z = 1/3
B2. ðể làm mất dấu căn, ta có thể suy nghĩ theo 2 hướng: mất dấu căn ở từng số hạng
hoặc nhập dấu căn ở mỗi số hạng thành một.
1. Nếu suy nghĩ theo hướng mất dấu căn ở từng số hạng ta dùng BðT Bunhiacopxki:

+
2
2
1
x
x
+
ở dạng tổng hai bình phương
→
BðT BCS
→
ta cần tìm:
[ ] [ ]
≥++
)??)(
x
x(
2
2
1

. . Dấu
‘=’ của dự ñoán ban ñầu là x =
3
1
và dấu ‘=’ của ñánh giá BðT BCS là
?
?
x
x/
=
1
.Như vậy 2 số
còn lại cần ñiền sẽ có tỉ lệ 3 :
3
1
= 9 : 1. Ta ñược :
x
x))(
x
x(
9
91
1
22
2
2
+≥++
. Tương tự với y, z
và cộng lại, ta ñược: P.
zyx

999
82 ++≥
+ x+ y+ z.
+ Vế phải là tổng các phân sốquen (BðT Côsi )
→
zyxzyx ++
≥++
9111
. (Dấu ‘=’ vẫn ñảm bảo)
→

82
P
zyx
zyx
++
+++≥
81
t
t)t(f
81
+==

(với t = x + y + x (0 < t
1≤
). Khảo sát hàm ta ñược ñpcm. (Tới ñây có em dùng BðT Côsi
18
81
≥+
t

t
không thu ñược kết quả vì ñã vi phạm nguyên tắc dấu ‘=’)
2. Nếu suy nghĩ theo hướng nhập các dấu căn:
+ Ở mỗi dấu căn là dạng bình phương
→
tổng 3 ñộ dài của ba vectơ .
+ Dự ñoán dấu ‘=’ khi x = y = z =
3
1
. Khi ñó 3 vectơ
u
= (x ;
x
1
),
v
= (y ;
y
1
) và
w
= (z ;
z
1
)
cùng hướng ñược tức ñẳng thức sau xảy ra ñược : P =
22
111
)
zyx

()xyx(wvuwvu
+++++=++≥++

+ Tới ñây thực hiện các bước phân tích như 1.
Khi thay dữ kiện x + y + z
1
≤
bằng dữ kiện khác, chẳng hạn: x + y + z
2
≤
thì vế phải bài
toán như thế nào ?
Thí dụ 2:
(DBðH - 2003)
Tìm GTNN, GTLN của : P = sin
5
x +
3
cosx.
Phân tích:

Ta thấy P chứa một ẩn x suy nghĩ ñầu tiên của ta thường là dùng ñạo hàm. Thử ñạo hàm :
f’(x) = 5sin
4
x.cosx –
3
x
Phú Khánh và Gởi tặng các em tài liệu của thầy Lê Anh Dũng – Kiên
Giang

.
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ðẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 4
+ Chúng ta thấy có một nghiệm là sinx = 0 nhưng các nghiệm còn lại ta không thể tìm ñược.
Như vậy hướng giải quyết khi ñạo hàm trực tiếp là không khả thi. Nhưng qua ñây cho ta có
dự ñoán ñược các ñiểm mà tại ñó ñạt NN, LN sẽ là các ñiểm làm sinx = 0.(thường thì các
ñiểm ñạt max, min là các ñiểm tới hạn của hàm số)
+ Từ ñiều này, khi ta biến ñổi và sử dụng các bất ñẳng thức ñể ñánh giá phải luôn luôn có
dấu ‘=’ tại các ñiểm làm sinx = 0.
+ Muốn ñưa về một ẩn t, ta ñặt t = cosx, nhưng sin
5
x không chuyển về t ñược
→
ñánh giá
sin
5
x ñể hạ một bậc (sin
2
x, sin
4
x, . . . thì ñưa về t = cosx ñược). Phải ñánh giá như thế nào
ñể dấu ‘=’có ñược khi sinx = 0
→
sin
5
x
≤
sin
4
x
→

Khi ñó : sin
4
x = (1 – t
2
)
2

f(x)
≤
g(t) = (1 – t
2
)
2
+
3
t , t
∈
[-1 ; 1].
+ g’(t) =
3
- 4t(1 – t
2
)
→
hàm bậc 3 nhưng ta không nhẩm nghiệm ñược (thử bấm máy
xem có nghiệm trong [-1 ; 1]
→
không có nghiệm
→
g’(t) chỉ mang dấu) ñánh giá g’(t) ñể

chứng minh g’(t) có một dấu
→
dùng BðT hoặc ñạo hàm :
+ g”(t) = 12t
2
– 4, g’’(t) = 0
21/t ±=⇔
. Lập BBT hoặc ñể ý rằng g’(
±
1), g’(
21
/
±
) > 0
⇒

g’(t) > 0,
];[t 11−∈∀
. Suy ra : max g(t) = g(1) (vẫn ñảm bảo dấu ‘=’ như ở trên).
Thí dụ 3:
(ðH 2004-A)
Cho tam giác không tù ABC, thỏa mãn ñiều kiện: cos2A +
22
cosB +
22
cosC = 3.
Tính các góc của tam giác ABC.
Phân tích:

Bài toán yêu cầu tính 3 góc trong khi ñó chỉ cho một ñẳng thức ràng buộc như vậy chỉ có

cách dùng BðT ñể ñánh giá một vế lớn hơn hoặc bằng vế còn lại.
+ Dự ñoán dấu ‘=’: B = C = 45
0
và A = 90
0
. (B, C ñối xứng nên dự ñoán B = C, hệ số cosB
là
2
từ ñây dự ñoán B = 45
0
thử vào thấy thỏa.)
+ Ta thực hiện biến ñổi biểu thức quen thuộc : cosB + cosC = 2cos
2
CB
−
.cos
2
CB
+
, với dự
ñoán B = C thì cos
2
CB
−
= 1, ta có thể ñánh giá cosB + cosC ñể chuyển về một ẩn : cosB +
cosC = 2cos
2
CB
−
.sin

2
A
2
2
A
sin
≤

+ Vậy : cos2A +
03
2
24
≥−
A
sin
.
ðây là bài toán một ẩn ta có thể
H1: ðặt t = sin
2
A
(t
];(
2
2
0
∈
) chuyển
f(t)=(2(2t
2
– 1)

2
–1) + 4
2
t –1= 8t
4
–8t
2
+4
2
t -1
f’(t)=32t
3
–16t + 4
2
→
không giải ñược nghiệm. (bấm máy tìm nghiệm t
];(
2
2
0
∈
thấy không
có nghiệm
→
f’(t) chỉ có một dấu )
→
f”(t) lập BBT suy ra ñược f’(t)
≥
0 ,
t

∀
⇒
f(t)
3
2
2
=≤
)(f
(
bài toán thường gặp ở lớp 12)
Phú Khánh và Gởi tặng các em tài liệu của thầy Lê Anh Dũng – Kiên
Giang

.
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ðẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 5
H2: ðánh giá cos2A ñể giảm bớt bậc, có thể phân tích theo hướng : cos2A = 2cos
2
A –
1.Với dự ñoán dấu ‘=’ khi A = 90
0
ở trên, ta có thể ñánh giá cos
2
A như thế nào?ðánh
giá :cos
2
A
≤
cosA (ñể ñảm bảo dấu ‘=’ xảy ra khi A = 90
0
)

+ Thu ñược : cosA +
03
2
24
≥−
A
sin

hay: –2sin
2
2
A
+
04
2
sin24
≥−
A
.
Suy ra:
0)2
2
sin2(
2
≥−−
A
⇒
sin
2
A

=
2
2
→

Thí dụ 4:
(ðH Mỏ ðịa Chất - 99)
Giả sử A, B, C là 3 góc một tam giác. Tìm GTNN :
P =
CcosBcosAcos
22
1
22
1
22
1
−
+
+
+
+

Phân tích:

+ Dự ñoán ñiểm ñạt GTNN: thử một số giá trị ñặc biệt và dự ñoán A = B (A, B ñối xứng)
A , B
15
0
30
0

45
0
60
0

P
3
2
34
4
+
+
6/5 4/3 26/15
Vậy dự ñoán A = B= 30
0
, C = 120
0

+ Với giá trị dự ñoán ta ñể ý :
2 + cos2A = 2 + cos2B = 2 – cos2C, và cần ñánh giá
≥
. ðiều này trùng với cách nhập các
phân số trongBðT Côsi :
+ Vậy : P
CcosBcosAcos
2226
9
−++
≥
= Q

+ Mục tiêu bây giờ là ñi chứng minh:
R = cos2A + cos2B – cos2C
≤
3/2 (giá trị tại ñiểm dự ñoán, chiều
≤
ñể ñảm bảo Q
≥
6/5)
+ Biểu thức của R chứa tổng quen thuộc của tam giác : cos2A + cos2B = 2cos(A – B).cos(A
+ B) =
- 2cos(A – B). cosC và cos2C = 2cos
2
C – 1. Vậy :
R = - 2cos(A – B).cosC – 2cos
2
C + 1
+ Tới ñây, có 2 suy nghĩ :
H1 : Khi A = B = 30
0
xảy ra thì cos(A – B) = 1 và cosC =
=−
2
1
)BAcos(
−−
2
1
. Tỉ lệ này giống
tỉ lệ phân tích thành bình phương trong biểu thức của R.
Ta thử phân tích: R = - 2(cosC +

)BAcos(
−
2
1
)
2
+ 1 +
2
1
cos
2
(A – B)
2
3
≤
. ðây là mục tiêu cần ñi
tới.
H2 : ðánh giá R ñưa về một ẩn. Theo dự ñoán thì cos(A – B) = 1 xảy ra ñược. Vậy ta có
ñánh giá quen thuộc : cos(A – B)
1
≤
. Nếu nhân cosC vào 2 vế ta gặp sai lầm vì chưa biết dấu
cosC. Ta tránh bằng cách :